3.3 公因数和最大公因数（同步分层作业）数学北京版五年级下册

参考答案： 1．图见详解； （1）1，5；5； （2）1，3，5，15；15 （3）1，2，5，10；10。 （4）1和5是15、20、30公有的因数。 【分析】写出所有两个整数的乘积是15、20、30的乘法算式，就可以找到15、20、30的因数。两个数公有的因数叫做这两个数的公因数，其中最大的一个叫做这两个数的最大公因数，据此解答。 【详解】15＝1×15＝3×5； 20＝1×20＝2×10＝4×5； 30＝1×30＝2×15＝3×10＝5×6； 15的因数有：1、3、5、15； 20的因数有：1、2、4、5、20； 30的因数有：1、2、3、5、6、10、15、30 （1）15和20的公因数有1，5，最大公因数是5。 （2）15和30的公因数有1，3，5，15，最大公因数是15。 （3）20和30的公因数有1，2，5，10，最大公因数是10。 （4）我还发现：1和5是15、20、30公有的因数。 （答案不唯一） 2． 2 4 1 2 11 1 9 2 【分析】我们可以利用质因数分解法来求出两个数的最大公因数：每个数分别分解质因数，然后找出相同的质因数，最后将这些相同的质因数相乘得到最大公因数。据此解答即可。 【详解】8和14：8＝2×2×2    14＝2×7 所以，8和14的最大公因数：2； 12和28：12＝2×2×3   28＝2×2×7 所以，12和28的最大公因数：2×2＝4； 由于7和11只有1和它们本身两个因数，因此它们的最大公因数只能是1，所以，7和11的最大公因数是1； 4和6：4＝2×2   6＝2×3 所以，4和6的最大公因数：2； 33和22：33＝3×11   22＝2×11 所以，33和22的最大公因数：11； 由于19和24只有1和它们本身两个因数，因此它们的最大公因数只能是1，所以，19和24的最大公因数：1； 36和9：36＝2×2×3×3   9＝3×3 所以，36和9的最大公因数：3×3＝9； 4和10：4＝2×2   10＝2×5 所以，4和10的最大公因数：2。 因此：8和14（ 2  ）    12和28（  4  ）    7和11（ 1   ）    4和6（  2  ） 33和22（ 11  ）    19和24（  1  ）    36和9（  9  ）    4和10（  2  ） 3． 16 24 12 24 12 16 【分析】最大公因数是指两个或多个整数的所有公因数中最大的一个，分别找出12，16和24的因数，并确定它们之间的最大公因数即可解答。 【详解】12的因数有：1，2，3，4，6，12 16的因数有：1，2，4，8，16 24的因数有：1，2，3，4，6，8，12，24 所以在12、16、24三个数中，16和24的最大公因数是8，12和24的最大公因数是12，12和16的最大公因数是4。 【点睛】本题主要考查了学生对找两个数最大公因数方法的掌握情况，解答的关键是要正确找出每个数的因数，不遗漏。 4． 1 2 【分析】整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。 举例说明，如两个相邻奇数3和5、两个相邻偶数2和4，列举出每个数的所有因数，再从中找出两个相邻奇数、两个相邻偶数的最大公因数，据此得出结论。 【详解】如：两个相邻奇数3和5； 3的因数是1，3； 5的因数是1，5； 3和5的最大公因数是1； 如：两个相邻偶数2和4； 2的因数：1，2； 4的因数：1，2，4； 2和4的最大公因数是2； 填空如下： 两个相邻奇数的最大公因数是（1），两个相邻偶数的最大公因数是（2）。 5． 【分析】根据“当两个数是倍数关系时，它们的最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数”，据此解答。 【详解】和是非零自然数，若10＝，说明和是倍数关系，且＜，则和的最大公因数是。 6．1 【分析】根据“当两个数是互质数时，它们的最大公因数是1”，据此解答。 【详解】b是非零自然数，若a＝b＋1，说明a和b是相邻的两个自然数，那么a和b是互质数，则a和b的最大公因数是1。 7． 【分析】先根据分解因数的方法找出15和10的因数，再找出它们的公因数即可求解。 【详解】 【点睛】本题考查了找一个数因数的方法，以及求两个数公因数的方法。 8．42＝2×3×7 【分析】分解质因数就是把一个合数写成几个质数相乘的形式，一般先从较小的质数试着分解。分解质因数只针对合数。利用乘法写成几个质数相乘的形式（这些不重复的质数即为质因数），实际运算时可采用逐步分解的方式。如：36＝3×2×2×3，运算时可逐步分解写成36＝4×9＝2×2×3×3或36＝3×12＝3×2×2×3。 【详解】42＝6×7＝2×3×7 即把42写成质数相乘的形式是：42＝2×3×7。 9．20 【分析】要求剪出的正方形的边长最大是多少，就是求60和40的最大公因数是多少。先把每个数分别分解质因数，再把两个数中的全部公有质因数提取出来连乘，所得的积就是这两个数的最大公因数，据此解答。 【详解】60＝2×3×2×5 40＝5×2×2×2 60和40的最大公因数是2×2×5＝20，剪出的正方形的边长最大是20厘米。 【点睛】此题主要考查了最大公因数的应用，理解正方形边长与长方形长、宽的关系是解题的关键。 10． 15 5 【分析】每小段的长度最长是60厘米和45厘米的最大公因数，由此确定每段的长度。锯的次数要比锯的段数少1，因此用60除以15再减去1就是第一根锯的次数，用同样的方法计算出第二根锯的次数，再相加即可。 【详解】45＝3×3×5，60＝2×2×3×5，45和60的最大公因数是3×5＝15，所以每小段的最长是15厘米。 锯的次数：（60÷15－1）＋（45÷15－1） ＝3＋2 ＝5（次） 【点睛】本题的关键是让学生根据求出最大公因数的方法求出每段的长度是多少，进而根据锯钢条问题求出一共要锯的次数。 11．10a 【分析】求最大公约数也就是这几个数的公有质因数的连乘积，对于两个数来说：两个数的公有质因数连乘积是最大公约数，由此解决问题即可。 【详解】A、B公有的质因数是2、5、a，所以A和B的最大公约数是2×5×a。 【点睛】此题主要考查求两个数的最大公约数，两个数的公有质因数连乘积是最大公约数，数字大的可以用短除解答。 12．50棵 【分析】要使栽树最少，应使每相邻两棵树之间的距离最大，即相邻两棵树之间的距离是64和36的最大公因数，求出64和36的最大公因数，即相邻两棵树之间的距离；长方形的周长＝（长＋宽）×2，然后用长方形的周长除以最大公因数，即可求出最少要栽的棵数。 【详解】64＝2×2×2×2×2×2 36＝2×2×3×3 则64与36的最大公因数是2×2＝4 （64＋36）×2÷4 ＝100×2÷4 ＝200÷4 ＝50（棵） 答：最少要栽50棵树。 13．9人；男生：3排，女生：2排 【分析】（1）要求每排最多排多少人，就是求27和18的最大公因数，根据分解质因数的方法，先把27和18分解质因数，再找出它们的最大公因数就是每排最多排的人数； （2）分别用男生、女生人数除以每排最多排的人数就是对应的排数。 【详解】27＝3×3×3 18＝2×3×3 27和18的最大公因数是：3×3＝9 27÷9＝3（排） 18÷9＝2（排） 答：要使每排人数都相等，每排最多排9人，男生要排成3排，女生要排成2排。 14．6人；五（1）班可6队；五（2）班7队 【分析】根据题意，老师要把每班分成人数相等的若干支队伍，那么每队的人数是两个班人数的公因数；求每队最多的人数就是求两个班人数的最大公因数； 然后看每班人数里各有几个最大公因数，用除法计算，就是每班各可以分成的队数。 【详解】36＝2×2×3×3 42＝2×3×7 36和42的最大公因数是：2×3＝6 即每队最多有6人。 36÷6＝6（队） 42÷6＝7（队） 答：每队最多有6人，五（1）班可以分成6队，五（2）班可以分成7队。 15．7人 【分析】根据题意可知，问在书法比赛中获奖的学生有多少人，先算出钢笔和练习本各需要多少，再求出它们的最大公因数，就是在书法比赛中获奖的学生的人数，据此解答即可。 【详解】36－1＝35（支） 40＋2＝42（本） 35＝5×7 42＝2×3×7 35和42的最大公因数是：7 答：在书法比赛中获奖的学生有7人。 26．12个；4本；3支 【分析】根据题意可得求最多有多少个同学获奖即是求48和36的最大公因数，将48和36分解质因数，找出相同部分，相乘即可得出最大公因数；接下来用笔记本的数量÷最大公因数即可得出每人获笔记本的数量；用铅笔的数量÷最大公因数即可得出每人获铅笔的支数。 【详解】48＝2×2×2×2×3   36＝2×2×3×3 48和36的最大公因数2×2×3＝12，即最多12人获奖。 每人获笔记本：48÷12＝4（本） 笔：35÷12＝3（支） 答：最多12个同学获奖，每人获得的笔记本4本，铅笔3支。 【点睛】此题属于公因数和公倍数问题，明确求两个数的最大公因数的方法，是解答此题的关键。 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.3 第1课时 公因数和最大公因数（分层作业） 姓名: 班级: 公因数和最大公因数知识点 公因数定义：两个或两个以上的整数，如果有一个整数是它们共同的因数，那么这个数就叫作它们的公因数。例如12的因数有1，2，3，4，6，12；16的因数有1，2，4，8，16。12和16的公因数有1，2，4。 公因数特点：1、1是任何数的公因数，2、公因数的个数是有限的，3、最小的公因数为1，最大的公因数不唯一。 求最大公因数的方法：1、列举法，2、分解质因数法，3、短除法。 两个数的最大公因数用（ ，）表示，如（12,4）=4 1．在15的因数上画“”，在20的因数上画“”，在30的因数上画“”。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 （1）15和20的公因数有（    ），最大公因数是（    ）。 （2）15和30的公因数有（    ），最大公因数是（    ）。 （3）20和30的公因数有（    ），最大公因数是（    ）。 （4）我还发现（    ）。 2．在括号里写出每组数的最大公因数。 8和14( )    12和28( )    7和11( )    4和6( ) 33和22( )    19和24( )    36和9( )    4和10( ) 3．在12、16、24三个数中，( )和( )的最大公因数是8，( )和( )的最大公因数是12，( )和( )的最大公因数是4。 4．两个相邻奇数的最大公因数是( )，两个相邻偶数的最大公因数是( )。 5．和是非零自然数，若10＝，则和的最大公因数是( )。 6．b是非零自然数，若a＝b＋1，则a和b的最大公因数是( )。 7．找出15和10的因数、公因数、填写在下面的圈里。 8．把42写成质数相乘的形式( )。 9．有一张长方形纸，长60厘米，宽40厘米。如果要剪成若干同样大小的正方形而没有剩余，剪出的正方形的边长最大是 厘米。 10．两根钢条，一根长60厘米，另一根长45厘米，现将它们锯成同样长的小段，且没有剩余，每小段最长是( )厘米，一共要锯( )次。 11．如果，分解质因数A＝2×5×a×b，分解质因数B＝2×5×a×c那么，A和B的最大公约数是( )。 12．下图是一个长方形水池的示意图。要在水池的四周及四角栽上景观树，每相邻两棵树之间的距离要相等，最少要栽多少棵树？ 13．五（1）班有男生27人、女生18人，如果男、女生分别排队，要使每排人数都相等，每排最多排几人？男、女生各要排成几排？ 14．某小学组织五年级学生去春游。五（1）班有36人，五（2）班有42人，为了方便清点人数，老师要把每班分成人数相等的若干支队伍。每队最多有多少人？每班各可以分成多少队？ 15．班主任把36支钢笔和40本练习本平均奖励给在书法比赛中获奖的学生，结果钢笔多了1支，练习本少了2本。在书法比赛中获奖的学生有多少人？ 16．桑老师买来48本笔记本和36支铅笔作“经典诵读”活动的奖品，每样都平均分给每一个获奖同学，而且都正好分完。最多有多少个同学获奖？每个同学获得多少本笔记本和多少支铅笔？ 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$