专题11 解三角形中的最值与范围问题-2019年高考数学二轮复习之重难点微专题突破训练

专题11 解三角形中的最值与范围问题 【知识准备】 1、正弦定理：，其中为外接圆的半径 正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化.其原则为关于边，或是角的正弦值是否具备齐次的特征.如果齐次则可直接进行边化角或是角化边，否则不可行。 例如：（1） （2）（恒等式） （3） 2、余弦定理： 变式： 此公式在已知的情况下，配合均值不等式可得到和的最值 4、三角形中的不等关系 （1）任意两边之和大于第三边：在判定是否构成三角形时，只需验证较小的两边之和是否比第三边大即可.由于不存在等号成立的条件，在求最值时使用较少[来源:学科网ZXXK] （2）在三角形中，边角以及角的三角函数值存在等价关系：[来源:Z_xx_k.Com] 其中由利用的是余弦函数单调性，而仅在一个三角形内有效. 【方法全解】 类型一：转变为一个变量的函数：通过边角互化和代入消元，将多变量表达式转变为函数，从而将问题转化为求函数的值域（最值）或一元二次不等式求范围。 例1：四边形中， ， ，设、的面积分别为、，则当取最大值时，__________． 【掌握练习】 1、已知的内角的对边成等比数列，则的取值范围为________． 2、设的内角所对的边成等比数列（其中），则的取值范围是_______．[来源:学科网ZXXK] 3、在中，角所对的边分别为，若且，则面积的最大值为_______． 4、在锐角中，，则的最小值为_________． 5、已知的内角的对边分别为，若，则的取值范围为_________． 类型二、利用正弦定理“化边为角”或余弦定理转化为正弦型函数的性质求解。 例：在中，，，则的最大值为_________． 【掌握练习】[来源:学|科|网Z|X|X|K] 1. 在中，内角所对的边分别为，且边上的高为，则取得最大值时，内角的值为_________． 2、在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且．若，则的取值范围是_________． 3、已知的三个内角，，的对边分别为，，，面积.若，则的最大值是_________． 4、在中，分别是角的对边，已知，且，则的最小值是_________． 类型三、利用余弦定理转化为的关系，再利用基本不等式求解。 例：已知中，角所对的边分别为，外接圆半径是，且满足条件，则的面积的最大值为_________．[来源:学科网] 【掌握练习】 1、在中，角所对的边分别为，若，，且的面积的最大值为，则此时的形状为_________． 2、若的内角满足，则当取最大值时，角大小为_________． 3、在中，为边上一点，若是等边三角形，且，则的面积的最大值为_________． 4、若的内角满足，则的最小值是_________． 5、已知中，的对边分别为，若，则的周长的取值范围是_________． 6、在锐角中，内角的对边分别为，已知，则的面积取最小值时有_________． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$ 【知识准备】 1、正弦定理：，其中为外接圆的半径 正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化.其原则为关于边，或是角的正弦值是否具备齐次的特征.如果齐次则可直接进行边化角或是角化边，否则不可行。 例如：（1） （2）（恒等式） （3） 2、余弦定理： 变式： 此公式在已知的情况下，配合均值不等式可得到和的最值 4、三角形中的不等关系 （1）任意两边之和大于第三边：在判定是否构成三角形时，只需验证较小的两边之和是否比第三边大即可.由于不存在等号成立的条件，在求最值时使用较少 （2）在三角形中，边角以及角的三角函数值存在等价关系： 其中由利用的是余弦函数单调性，而仅在一个三角形内有效. 【方法全解】 类型一：转变为一个变量的函数：通过边角互化和代入消元，将多变量表达式转变为函数，从而将问题转化为求函数的值域（最值）或一元二次不等式求范围。 例1：四边形中， ， ，设、的面积分别为、，则当取最大值时，__________． 【答案】 【解析】 设，在、中分别利用余弦定理可得： ，再由三角形的面积公式得： ， 则当即时，取得最大值。 【掌握练习】 1、已知的内角的对边成等比数列，则的取值范围为________． 【答案】 2、设的内角所对的边成等比数列（其中），则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 成等比数列，所以，∴，∵，∴，由得， ∴，同理得，所以取值范围是. 3、在中，角所对的边分别为，若且，则面积的最大值为_______． 【答案】[来源:学*科*网] 4、在锐角中，，则的最小值为_________． 【答案】8 【解析】  ,即,所以两边同时除以 ,可得，设， 那么有,,所以，那么，故最小值为 5、已知的内角的对边分别为，若，则的取值范围为