第5讲 基本初等函数举例-【学考一号】2025年高中数学学业水平复习方略精讲精练

一尧单项选择题 1. 设 a>0袁将 a a窑 a23姨姨 表示成分数指数幂的形式袁其结果是 渊 冤 A. a 16 B. a 56 C. a 76 D. a 32 2. 已知 log2m-log2n=1袁则 渊 冤 A. mn=2 B. m-n=2 C. 2m=n D. m=2n 3. 幂函数 f渊x冤越x a2-10a+23渊a沂Z冤为偶函数袁且 f渊x冤在区间渊0袁垣肄冤上是减函数袁则 a= 渊 冤 A援 3 B援 4 C援 5 D援 6 4. 若函数 y=渊a2-3a+3冤ax是指数函数袁则 渊 冤 A. a>1且 a屹1 B. a=1 C. a=1或 a=2 D. a=2 5. 函数 y=loga渊x-4冤-5渊a>0袁且 a屹1冤的图象恒过定点 P袁则点 P的坐标是 渊 冤 A. 渊4袁-5冤 B. 渊5袁-5冤 C. 渊4袁0冤 D. 渊5袁0冤 6. 若 a=0.32袁b=20.3袁c=log20.3袁则下列结论正确的是 渊 冤 A. a<b<c B. c<a<b C. c<b<a D. a<c<b 7. 若四个幂函数 y越xa袁y越xb袁y越xc袁y越xd在同一坐标系中的图象如图所 示袁则 a袁b袁c袁d的大小关系是 渊 冤 A援 d>c>b>a B援 a>b>c>d C援 d>c>a>b D援 a>b>d>c 8援 设 a袁b袁c 都是正数袁且 3a越4b越6c袁那么 渊 冤 A援 1c 越 1a 垣 1b B援 2c 越 2a 垣 1b C援 1c 越 2a 垣 2b D援 2c 越 1a 垣 2b 9. 已知 0<b<a<1袁则 渊 冤 A. aa>ab>ba B. ba>ab>aa C. aa>ba>ab D. ab>aa>ba 10. 已知下表中的对数值有且只有一个是错误的. 其中错误的对数值是 渊 冤 A. lg 1.5 B. lg 5 C. lg 6 D. lg 8 11. 已知 f渊x冤=2x2- x +1袁a=f log2 13蓸 蔀 袁b=f 32蓸 蔀 袁c=f渊log32冤袁则下列不等式成立的是 渊 冤 A. c<b<a B. c<a<b C. a<b<c D. a<c<b 第 5讲 基本初等函数举例 y x y=xd1O y=xc y=xb y=xa 1 x lg x 1.5 3a-b+c 3 2a-b 5 a+c 6 1+a-b-c 8 3咱1-渊a+c冤暂 9 2渊2a-b冤 81 12. 已知 a>1袁b>0袁若 a姨 +log2a=b+log2b袁则 渊 冤 A. a>2b B. a<2b C. a>b2 D. a<b2 二尧多项选择题 13. 已知幂函数 f渊x冤=渊m-1冤xa的图象经过点 8袁 116蓸 蔀 袁下列结论正确的有 渊 冤 A. m=2 B. f渊0冤=0 C. f渊x冤是偶函数 D. 若 f渊3-2x冤>f渊x+1冤袁则 x沂 23 袁4蓸 蔀 14. 已知 3a=5b=15袁下列关系式正确的有 渊 冤 A. ab>4 B. a+b>4 C. a2+b2<4 D. 渊a+1冤2+渊b+1冤2>16 15. 高斯是德国著名的数学家尧近代数学奠基者之一袁享有野数学王子冶的称号袁他和阿基米德尧牛 顿并列为世界三大数学家袁用其名字命名的野高斯函数冶为院设 x沂R袁用咱x暂表示不超过 x的最 大整数袁则 y=咱x暂称为高斯函数袁例如咱-3.5暂=-4袁咱2.1暂=2. 已知函数 f渊x冤= 2x1+2x - 12 袁则关于 函数 g渊x冤=咱f渊x冤暂的叙述正确的有 渊 冤 A. f渊x冤是奇函数 B. g渊x冤是偶函数 C. g渊x冤的值域为{-1袁0} D. 方程 g渊x冤+2渊x-咱x暂冤=0在咱-1袁1暂上有三个实数根 三尧填空题 16. 646姨 +27 23 + 1100蓸 蔀 0 + 916蓸 蔀 - 12 = . 17. 在研究天文学的过程中袁约翰纳皮尔为了简化其中的计算而发明了对数袁恩格斯曾经把对数 的发明尧解析几何的创始和微积分的建立称为 17世纪数学的三大成就. 已知 log3x=lg y= 15 袁 则实数 x袁y的大小关系为 袁logx9= . 18. 如图袁曲线淤于盂榆中有 3条分别是函数 y=2x袁y=3x袁y= 13蓸 蔀 x的图象袁 其中曲线淤与榆关于 y轴对称袁曲线于与盂关于 y轴对称袁则 y= 13蓸 蔀 x 的图象是曲线 渊填序号冤. 19. 已知函数 f渊x冤= ln x 袁0<x臆10袁 f渊20-x冤袁10<x<20袁嗓 设方程 f渊x冤=t渊t沂R冤的 4个不等实根从小到大依次为 x1袁 x2袁x3袁x4袁则 x1x2= 袁x3x4-20渊x3+x4冤= . 1 榆盂于淤 xO y 82 四尧解答题 20. 已知指数函数 f渊x冤=ax渊a>0袁且 a屹1冤的图象过点渊3袁8冤. 求院 渊1冤函数 f渊x冤的解析式. 渊2冤函数 g渊x冤=f 2渊x冤-2f渊x冤+5在 x沂咱-1袁2暂上的值域. 21. 幂函数 f渊x冤=渊m2-m-5冤xm是偶函数. 渊1冤求 m的值袁并写出 f渊x冤的解析式. 渊2冤g渊x冤=f渊x冤+ln渊x+4冤+ln渊4-x冤. 淤判断 g渊x冤的奇偶性袁并用定义证明. 于指出 g渊x冤的单调递减区间渊无需证明冤袁并解关于实数 t的不等式 g渊t冤<g渊1-t冤. 83 22. 已知函数 f渊x冤=loga渊ax-2t冤渊a>0袁且 a屹1冤. 渊1冤若 0<a<1袁且 t=1袁求 f渊x冤的定义域. 渊2冤若 a>1袁函数 f渊x冤的定义域为 D袁存在咱m袁n暂哿D袁使得 f渊x冤在咱m袁n暂上的值域为咱2m袁2n暂袁 求实数 t的取值范围. 84 15. BD揖解析铱当 x=0袁y=1时袁有 f渊1冤-f渊0冤窑f渊1冤=0袁又 f渊1冤屹0袁 所以 f渊0冤=1袁A错误曰当 x=1袁y=-1时袁有 f渊0冤-f渊1冤窑f渊-1冤= 1袁所以 f渊1冤窑f渊-1冤=0袁又 f渊1冤屹0袁所以 f渊-1冤=0袁令 y=-1袁 有 f渊x-1冤-f渊x冤窑f渊-1冤=x袁所以 f渊x-1冤=x袁所以 f渊x冤=x+1袁所 以 f渊x冤的图象关于渊-1袁0冤中心对称袁B正确曰当 x=0时袁ex= x+1=0袁C错误曰y=-xf渊x冤=-x2-x袁在 x=- 12 时取到最大值袁D 正确. 三尧填空题 16. 3 渊-1袁+肄冤揖解析铱f渊1冤= 1+3姨 +log2渊1+1冤=3曰由 x+3逸0袁x+1>0袁嗓 解得 x>-1袁故函数的定义域为渊-1袁+肄冤. 17. -5揖解析铱要使函数有意义袁则 16-x2跃0袁解得-4约x约4袁所以 函数 f渊x冤定义域为 {x|-4约x约4}袁因为 f渊x冤= 5-x +m16-x2姨 =5+m-x 16-x2姨 是奇函数袁f渊-1冤= 6+m 15姨 袁f渊1冤= 4+m 15姨 袁所以6+m 15姨 =- 4+m 15姨 袁解得 m=-5袁所以 f渊x冤= -x 16-x2姨 袁此时 f渊-x冤= x16-x2姨 =-f渊x冤袁满足奇函数概念. 18. 咱 32 袁2冤 揖解析 铱由已知条件得 f 渊x冤为增函数 袁所以 2原a>0袁 a>1袁 渊2原a冤伊1垣1臆a袁嗓 解得 32 臆a<2. 19. 2+2 2姨 揖解析铱当 x逸0时袁f渊x冤= x渊x-2冤=x2-2x曰当 x约0时袁f渊x冤=x渊-x- 2冤=-2x-x2袁作出 f渊x冤=x渊 x -2冤的 图象袁如图所示. 由图象得袁当 x跃 0时袁令 x2-2x=1袁解得 x=1+ 2姨 曰 当 x约0时袁令-2x-x2=-1袁解得 x=-1- 2姨 袁所以 f渊x冤在咱-1- 2姨 袁1+ 2姨 暂内的最大值为 1袁最小值为-1袁所以 n-m的 最大值为 1+ 2姨 -渊-1- 2姨 冤=2+2 2姨 . 四尧解答题 20. 渊1冤函数 f渊x冤=x2-2x+4=渊x-1冤2+3逸3袁所以 f渊x冤的值域为 咱3袁+肄冤. 渊2冤函数 g渊x冤= x2-2x+4x =x+ 4x -2. 淤因为 x跃0袁所以 g渊x冤=x+ 4x -2逸2 x窑4x姨 -2=2. 当且仅 当 x= 4x 袁即 x=2时袁等号成立. 所以当 x=2时袁g渊x冤取到最 小值袁最小值为 2. 于证明院设 2约x1约x2袁则 g渊x1冤-g渊x2冤= x1+ 4x1 -2蓸 蔀- x2+ 4x2 -2蓸 蔀= x1+ 4x1 -x2- 4 x2 = 渊x1-x2冤渊x1x2-4冤x1x2 袁因为 2约x1约x2袁所以 x1-x2约0袁 x1x2-4跃0所以 g渊x1冤-g渊x2冤约0袁即 g渊x1冤约g渊x2冤. 所以 g渊x冤在 区间渊2袁+肄冤上单调递增. 21. 渊1冤由 f渊1冤= 2a+b =2袁可得 a+b=1袁又因为 f渊x冤是奇函数袁所 以 f渊x冤+f渊-x冤=0袁即 x2+1ax+b + x 2+1 -ax+b = 2b渊x 2+1冤渊ax+b冤渊-ax+b冤 =0恒 成立袁所以 b=0袁则 a=1袁此时 f渊x冤= x2+1x 袁定义域是{x|x屹 0}袁f渊-x冤= x2+1-x =-f渊x冤袁符合题意 . 所以 a=1袁b =0袁f渊x冤= x2+1 x =x+ 1x . 渊2冤函数 h渊x冤=x2+ 1x2 -2m x+ 1 x蓸 蔀 渊m沂R袁x沂咱1袁3暂冤袁由对 勾函数的性质可知 y=x+ 1x 在区间咱1袁3暂上单调递增袁最小 值为 1+ 11 =2袁最大值为 3+ 13 = 103 . 令 t=x+ 1x 沂 2袁 103蓘 蓡袁 则 t2=x2+2+ 1x2 袁h渊x冤转化为 y=t2-2mt-2 2臆t臆 103蓸 蔀 袁又因 为此时函数图象开口向上袁最小值为-8袁对称轴为 t=m袁当 m约2时袁函数 y在 2袁 103蓘 蓡上单调递增袁当 t=2时袁函数有 最小值袁为 4-4m-2=2-4m=-8袁解得 m= 52 跃2袁矛盾曰当 2臆 m臆 103 时袁当 t=m 时袁函数有最小值袁为 m2-2m2-2=-m2- 2=-8袁解得 m= 6姨 渊负根舍去冤曰当 m跃 103 时袁函数 y 在 2袁 103蓘 蓡上单调递减袁当 t= 103 时袁函数有最小值袁为 103蓸 蔀 2 - 2m伊 103 -2= 829 - 20m3 =-8袁解得 m= 7730 约 103 袁矛盾. 综上 所述袁m= 6姨 .22. 渊1冤函数 f渊x冤=mx5+nx3+3袁f渊-x冤=-mx5-nx3+3袁则有 f渊x冤+ f渊-x冤=6袁又由 f渊5冤=2袁则 f渊-5冤=4. 渊2冤证明院设 F渊x冤=g渊x+2冤-3袁函数 g渊x冤= 3x2-11x+13x2-4x+5 = x-2 x2-4x+5 +3= x-2渊x-2冤2+1 +3袁则 F渊x冤=g渊x+2冤-3= xx2+1 袁易得 F渊x冤的定义域为 R袁且 F渊-x冤=-F渊x冤袁则 F渊x冤为奇函数袁故 函数 g渊x冤的对称中心为渊2袁3冤. 渊3冤h渊x冤=x3-3x2=咱渊x-1冤+1暂3-3咱渊x-1冤+1暂2=渊x-1冤3-3渊x-1冤- 2袁设 G渊x冤=h渊x+1冤+2袁则 G渊x冤=h渊x+1冤+2=x3-3x袁易得 G渊x冤 的定义域为 R袁且 G渊-x冤=-G渊x冤袁则 G渊x冤为奇函数袁h渊x冤 的对称中心为渊1袁-2冤袁则有 h渊x冤+h渊2-x冤=-4袁故 h渊-7冤+h渊-6冤+ h渊-5冤+噎+h渊8冤+h渊9冤=h渊-7冤+h渊9冤+h渊-6冤+h渊8冤+噎+h渊-1冤+ h渊3冤+h渊1冤+h渊2冤=-34. 第 5讲 基本初等函数举例 一尧单项选择题 1. A揖解析铱 a a窑 a23姨姨 = a a窑a 23姨 = aa 53姨 = aa 56 =a 16 . 2. D揖解析铱log2m-log2n=log2mn =1袁所以mn =2袁m=2n. 3. C揖解析铱因为 a2原10a垣23越渊a原5冤2原2袁f渊x冤越x渊a-5冤 -22 渊a沂Z冤为偶 函数袁且在区间渊0袁垣肄冤上是减函数袁所以渊a原5冤2原2<0袁从而 a越4袁5袁6袁又渊a原5冤2原2为偶数袁所以 a越5援 4. D揖解析铱若函数 y=渊a2-3a+3冤ax是指数函数袁则 a2-3a+3=1袁解 得 a=2袁或 a=1袁又因为指数函数的底数 a跃0且 a屹1袁故 a=2. 5. B揖解析铱对于函数 y=loga渊x-4冤-5渊a>0袁且 a屹1冤袁令 x-4=1袁 求得 x=5袁y=-5袁可知它的图象恒过定点 P渊5袁-5冤. 6. B揖解析铱a=0.32=0.09袁b=20.3>1袁c=log20.3约0袁所以 b跃a跃c.7. B揖解析铱由幂函数的性质可知袁在渊0袁1冤上幂函数的指数越 大袁函数图象越靠近 x轴袁由题图知 a>b>c>d援 8. B揖解析铱设 3a越4b越6c越k袁故 a越log3k袁b越log4k袁c越log6k袁变形为 1a 越 logk3袁 1b 越logk4袁 1c 越logk6袁所以 2c 越logk36袁 2a 垣 1b 越logk36袁所 以 2c 越 2a 垣 1b 援 9. D揖解析铱y=ax渊0<a<1冤是减函数袁故 ab>aa袁又 y=xa渊x>0袁a>0冤是 增函数袁故 ba<aa袁故 ab>aa>ba. -2-1 x31 O -1-3 12 3 y 201 10. A揖解析铱由表可知袁lg 9=2渊2a-b冤=2lg 3袁即 lg 9 和 lg 3正 确曰lg 8=3lg 2=3渊1-lg 5冤袁即 lg 8和 lg 5正确曰lg 6=lg 2+lg 3= 1+a-b-c袁即 lg 6正确曰lg 1.5=lg 9-lg 6=3a-b+c-1袁即错误的 对数值为 lg 1.5. 11. A揖解析铱f渊x冤=2x2- x +1袁则 f渊x冤定义域为 R袁有 f渊-x冤= 2渊-x冤2- -x +1=2x2- x +1=f渊x冤袁故 f渊x冤为偶函数袁当 x逸0 时袁有 f渊x冤=2x2-x+1=2 x- 14蓸 蔀 2 + 78 袁故 f渊x冤在 0袁 14蓸 蔀上单 调递减袁在 14 袁+肄蓸 蔀上单调递增袁则 a=f log2 13蓸 蔀=f渊-log23冤= f渊log23冤袁由 log23= 12 log232= 12 log29跃 12 log28= 32 袁又 14 约 log3 3姨 约log32约1袁即 log23跃 32 跃log32跃 14 袁故 c约b约a. 12. D揖解析铱当 a=4时袁 a姨 +log2a=b+log2b=4圯b+log2b-4=0袁函 数 g渊x冤=x+log2x -4是渊0袁+肄冤上的增函数袁因为 g渊2冤g渊4冤=-1伊2约0袁因此 b沂渊2袁4冤圯2b沂渊4袁8冤袁显然 a约2b袁A 错误曰 当 a=16时袁 a姨 +log2a=b+log2b=8圯b+log2b-8=0袁函数 h渊x冤= x+log2x-8是渊0袁+肄冤上的增函数袁因为 h渊4冤g渊8冤=-2伊3约0袁 因此 b沂渊4袁8冤圯2b沂渊8袁16冤袁显然 a跃2b袁B错误曰因为 a跃1袁 所以 log2a跃0袁由 a姨 +log2a= a姨 +2log2 a姨 跃 a姨 +log2 a姨 圯b+log2b跃 a姨 +log2 a姨 袁构造函数 f渊x冤=x+log2x渊x跃0冤袁 显然该函数单调递增袁由 b+log2b跃 a姨 +log2 a姨 圯f渊b冤跃 f渊 a姨 冤圯b跃 a姨 圯b2跃a袁C错误袁D正确. 二尧多项选择题 13. AC揖解析铱幂函数 f渊x冤=渊m-1冤xa的图象经过点 8袁 116蓸 蔀 袁则 有 m-1=员袁 8a= 116 袁嗓 解得 m=2袁a=- 43 袁嗓 即 f渊x冤=x- 43 袁A正确曰由 f渊x冤=x- 43 袁 其定义域为渊-肄袁0冤胰渊0袁+肄冤袁B错误曰由 f渊-x冤=渊-x冤- 43 =x- 43 = f渊x冤袁故 f渊x冤是偶函数袁C正确曰由 f渊x冤=x- 43 袁故 f渊x冤在渊0袁+肄冤 上单调递减袁又 f渊x冤是偶函数袁故可得 3-2x 约 x+1 袁 3-2x屹0袁 x+1屹0袁嗓 可 得 x沂 23 袁 32蓸 蔀胰 32 袁4蓸 蔀袁D错误. 14. ABD揖解析铱因为 3a=5b=15袁所以 a>0袁b>0袁a屹b袁a=log315袁b= log515袁所以 1a + 1b =log153+log155=1. 因为 1= 1a + 1b >2 1ab姨 袁 所以 ab>4袁A正确曰因为 a+b=渊a+b冤 1a + 1b蓸 蔀= ab + ba +2逸 2 1姨 +2=4袁又因为 a屹b袁所以 a+b>4袁B正确曰因为 1a + 1b = a+b ab =1袁所以 a+b=ab袁所以 a2+b2=渊a+b冤2-2ab=渊ab冤2-2ab= 渊ab-1冤2-1>8袁C错误曰因为渊a+1冤2+渊b+1冤2=a2+b2+2渊a+b冤+2= 渊ab冤2+2>18>16袁D正确. 15. ACD揖解析铱f渊x冤= 2x1+2x - 12 = 12 - 11+2x 袁因为 f渊-x冤= 2 -x 1+2-x - 12 = 11+2x - 12 =-f渊x冤袁f渊0冤=0袁所以 f渊x冤为奇函数袁A正确曰 因为 g渊1冤=咱f渊1冤暂= 21+2 - 12蓘 蓡=0袁g渊-1冤=咱f渊-1冤暂= 12+1 - 12蓘 蓡= -1袁所以函数 g渊x冤既不是奇函数也不是偶函数袁B错误曰因 为 2x>0袁所以 1+2x>1袁所以- 12 <f渊x冤< 12 袁所以 g渊x冤=咱f渊x冤暂 的值域为{-1袁0}袁C正确曰当 x=1时袁g渊1冤=0袁所以 0+2渊1-1冤= 0袁满足方程袁当 x=0时袁g渊0冤=0袁所以 0+2渊0-0冤=0袁满足方 程袁当 x=-1时袁g渊-1冤=-1袁所以-1+2渊-1+1冤=-1屹0袁不满足 方程袁当-1<x<0 时袁- 16 <f渊x冤<0袁所以 g渊x冤=-1袁所以-1+ 2渊x+1冤=0袁解得 x=- 12 袁当 0<x<1时袁0<f渊x冤< 16 袁所以 g渊x冤= 0袁所以 2渊x-0冤=0袁解得 x=0渊舍去冤袁综上袁g渊x冤+2渊x-咱x暂冤=0 在咱-1袁1暂上的根为 1袁0袁- 12 袁D正确. 三尧填空题 16. 403 揖解析铱原式=渊26冤 16 +渊33冤 23 +1+ 34蓸 蔀 2蓘 蓡 - 12 = 403 . 17. x<y 10揖解析铱因为 log3x=lg y= 15 袁所以 x=3 15 袁y=10 15 袁故 x<y曰logx9=log3 15 23 = 215 log33=10. 18. 于揖解析铱由指数函数的图象和性质可知袁y=3x袁y= 13蓸 蔀 x图 像关于 y轴对称袁y=3x在 R上单调递增袁y= 13蓸 蔀 x在 R上单 调递减袁又曲线淤于盂榆中有 3条分别是函数 y=2x袁y=3x袁 y= 13蓸 蔀 x的图象袁曲线淤与榆关于 y轴对称袁曲线于与盂关 于 y轴对称袁所以曲线盂为 y=3x袁曲线榆为 y=2x袁曲线于为 y= 13蓸 蔀 x . 19. 1 -399揖解析铱因为 10<x<20时袁f渊x冤=f渊20-x冤袁所以 f渊x冤 在渊0袁20冤上的函数图象关于直线 x=10对称袁所以 x1+x4=x2+ x3=20袁且 0<x1<1<x2<10<x3<19<x4<20. 由-ln x1=ln x2可得ln x2+ln x1=ln渊x1x2冤=0袁所以 x1x2=1袁又 x1=20-x4袁x2=20-x3袁所 以渊20-x3冤渊20-x4冤=1袁整理得 x3x4-20渊x3+x4冤=-399. 四尧解答题 20. 渊1冤函数 f渊x冤的图象过点渊3袁8冤袁则 f渊3冤=a3=8袁解得 a=2袁因 此袁f渊x冤=2x. 渊2冤g渊x冤=渊2x冤2-2伊2x+5袁令 t=2x袁因为 x沂咱-1袁2暂袁则 t沂 12 袁4蓘 蓡袁 令 h渊t冤=t2-2t+5=渊t-1冤2+4袁当 t沂 12 袁1蓘 蓡时袁函数 h渊t冤单调 递减袁此时袁x沂咱-1袁0暂袁当 t沂渊1袁4暂时袁函数 h渊t冤单调递 增袁此时袁x沂渊0袁2暂袁故当 x沂咱-1袁2暂时袁g渊x冤min=g渊0冤=4袁又 g渊-1冤= 12 -1蓸 蔀 2 +4= 174 袁g渊2冤=渊4-1冤2+4=13袁故 g渊x冤max=13袁 所以函数 g渊x冤在咱-1袁2暂上的值域为咱4袁13暂. 21. 渊1冤由 f渊x冤=渊m2-m-5冤xm是幂函数袁可得 m2-m-5=1袁解得 m=-2或 3袁因为 f渊x冤是偶函数袁所以 m=-2袁f渊x冤=x-2. 渊2冤淤g渊x冤是偶函数. 函数 g渊x冤需满足 x屹0袁 x+4>0袁 4-x>0袁嗓 解得-4<x< 4袁且 x屹0袁则 g渊x冤的定义域为渊-4袁0冤胰渊0袁4冤. g渊x冤=f渊x冤+ ln渊x+4冤+ln渊4-x冤=x-2+ln渊16-x2冤袁g渊-x冤=渊-x冤-2+ln咱16-渊-x冤2暂= g渊x冤袁所以 g渊x冤是偶函数. 于单调递减区间为渊0袁4冤. 因为 g渊x冤为偶函数袁所以 g渊t冤< g渊1-t冤可化为 g渊 t 冤<g渊 1-t 冤袁由 g渊x冤在渊0袁4冤上单调递 减可得 t > 1-t 袁又由 g渊x冤定义域为渊-4袁0冤胰渊0袁4冤袁可 得 0< t <4袁 0< 1-t <4袁 t > 1-t 袁嗓 解得 12 <t<4且 t屹1袁所以不等式的解集为 12 袁1蓸 蔀胰渊1袁4冤. 202 22. 渊1冤f渊x冤=loga渊ax-2冤袁ax-2跃0袁解得 x约loga2袁故当 0约a约1且 t=1 时袁函数 f渊x冤的定义域为渊-肄袁loga2冤.渊2冤因为 a跃1袁内层函数 p=ax-2t在定义域内为增函数袁外层 函数 y=logap 在定义域内为增函数袁所以函数 f渊x冤在定义域 内单调递增袁因为函数 f渊x冤的定义域为 D袁存在咱m袁n暂哿D袁 使得 f渊x冤在咱m袁n暂上的值域为咱2m袁2n暂袁故 f渊m冤=2m袁f渊n冤=2n袁嗓 所以关 于 x的方程 loga渊ax-2t冤=2x有两个不同的解袁故 ax-2t=a2x袁 即 a2x-ax+2t=0有两个不同的解. 令 ax=u袁若 t臆0袁则 D=R袁 u跃0袁 即方程 a2x-ax+2t=0可转化为 u2-u+2t=0有两个不同的 正数根袁令 g渊u冤=u2-u+2t袁则 驻=1-8t跃0袁设函数 g渊u冤=u2-u+ 2t的两个零点分别为 u1袁u2袁则 u1u2=2t臆0袁不合题意曰若 t跃0袁则 D=渊loga渊2t冤袁+肄冤袁u逸2t袁即方程 a2x-ax+2t=0可转化为 u2-u+2t=0在渊2t袁+肄冤上有两个不同的实数根袁则 驻=1-8t跃0袁2t跃0袁嗓 解得 0约t约 18 袁故实数 t的取值范围为 0袁 18蓸 蔀 . 第 6讲 函数的应用 一尧单项选择题 1. B揖解析铱f渊x冤=2x-3在 R上单调递增袁且 f渊x冤=0有唯一解. 2. B揖解析铱此户居民这一年应缴纳的燃气费为 3.2伊300+3.6伊渊500-300冤=1 680渊元冤.3. C揖解析铱因为 f渊x冤在区间渊0袁垣肄冤上单调递减袁f渊1冤越6原log21越 6>0袁f渊2冤越3原log22越2>0袁f渊4冤越 32 原log24越原 12 <0袁所以函数 f渊x冤 的零点所在区间为渊2袁4冤援 4. D揖解析铱 MN = 3 361 1080 = 10 lg 3361 1080 =10361窑lg 3-80抑10173.28-80=1093.28. 5. B揖解析铱令 v=klog2 x100 袁则有 12 =klog2 200100 袁解得 k= 12 袁所 以 v= 12 log2 x100 渊x逸100冤袁设鳙鱼开始的游速为 v0袁耗氧量 的单位数为 x0袁提速后的游速为 v1袁提速后的耗氧量的单位 数为 x1袁因为 v1=v0+1= 12 log2 x0100 +1= 12 log2 x0100 +2蓸 蔀= 12 log2 4x0100 袁又因为 v1= 12 log2 x1100 袁所以 x1=4x0. 6. B揖解析铱因为函数 f渊x冤的图象是连续不断的袁由图表知袁f渊2冤窑 f渊3冤约0袁f渊3冤窑f渊4冤约0袁f渊4冤窑f渊5冤约0袁所以函数 f渊x冤在区间 咱2袁3暂袁咱3袁4暂袁咱4袁5暂上都至少存在一个零点袁所以函数 f渊x冤 在区间咱1袁6暂上至少有 3个零点.7. D揖解析铱由条件可知袁x逸A 时所用时间为常数袁所以组装第 4件产品用时必然满足第一个分段函数袁即 f渊4冤= c4姨 =30圯 c=60袁f渊A冤= 60 A姨 =15圯A=16. 8. B揖解析铱设 y1= k1x 袁y2=k2x袁k1跃0袁k2跃0袁因为在距离车站 6 km 处建仓库时袁y2=4y1袁所以 6k2= 4k16 袁所以 k1=9k2袁所以两项费 用之和为 y=y1+y2= 9k2x +k2x逸2 9k2x 窑k2x姨 =6k2袁当且仅当9k2 x =k2x袁即 x=3时等号成立袁所以要使这家公司的两项费 用之和最小袁则应该把仓库建在距离车站 3 km. 9. C揖解析铱BC= AB2-AC2姨 =3 cm袁点 Q 到达点 B的时间是 52 s袁到达点 C的 时间为 4 s袁点 P到达点 C 的时间为 4 s袁当点 Q在 AB边上时渊不含端点冤袁 0约t约 52 袁AQ=2t袁AP=t袁如图 1袁过点 Q 作 QD彝AC于点 D袁则 DQ椅BC袁所以 吟ADQ易吟ACB袁所以 DQBC = ADAC = AQAB 袁所以 DQ3 = AD4 = 2t5 袁解得 DQ= 65 t袁AD= 85 t袁所以 S= 12 伊PA窑DQ= 35 t2袁当点 Q在 BC边上时袁 52 臆t臆4袁BQ=2t-5袁 AP=t袁如图 2袁所以 CQ=8-2t袁PC=4-t袁 所以 S= 12 伊AC窑CQ- 12 伊CQ窑PC=-t2+ 4t袁 综上所述袁S与 t的函数关系式为 S= 35 t2袁0约t约 52 袁 -t2+4t袁 52 臆t臆4袁 扇 墒 设缮设 所以函数图象第一段为过原点的开口 向上的抛物线的一部分袁第二段为自左向右逐渐下降的抛 物线的一部分. 10. C揖解析铱因为对于任意的 x沂R袁都有 f渊x冤=f渊2-x冤袁f渊1-x冤= -f渊x+3冤袁所以 x=1为 y=f渊x冤的一条对称轴袁渊2袁0冤为 y=f渊x冤 的一个对称中心袁故 f渊x冤=f渊2-x冤=-f渊x+2冤=-咱-f渊x+4冤暂= f渊x+4冤袁所以 T=4为 y=f渊x冤的周期袁由 11f渊x冤-x+2=0得 f渊x冤= x-211 袁又由 x沂咱0袁1暂时袁有 f渊x冤=sin 仔2 x袁可以画出 y=f渊x冤 与 y= x-211 的图象袁如图所示袁由于 y= x-211 也关于渊2袁0冤对 称袁且当 x=13时袁y=1袁由图象可得袁y=11f渊x冤-x+2 函数共 有 11个零点袁故所有零点之和为 5伊4+2=22. 11. D揖解析铱当 x臆2 时袁 f渊x冤= -3x2 +6x 对称轴为 x =1袁所 以 x1+x2=2袁作出函数 f渊x冤的 大致图象袁如图所示袁由图 可知袁0<t<3袁又因为-log2渊x3-2冤 =log2渊x4-2冤袁所以渊x3 -2冤窑渊x4-2冤=1袁即 x3x4-2渊x3+x4冤+4= 1袁解得 x3= 1x4-2 +2渊x4>3冤袁所以 2x3+ 12 x4= 2x4-2 + 12 x4+4= 2 x4 - 2 + 12 渊x4-2冤+5逸2 2x4-2窑 x4-22姨 +5=7袁当且仅当 2 x4-2 = 12 渊x4-2冤袁即 x4=4时等号成立. 所以 x1+x2+2x3+ 12 x4逸 2+7=9. 12. B揖解析铱当 x逸a时袁f渊x冤=2x2-ax+a=2渊x- a4 冤2+a- a 2 8 袁当 x<a 时袁f渊x冤=ax+a. 当 a逸0 时袁若 x逸a袁函数 f渊x冤单调递增袁 即 f渊x冤逸f渊a冤=a2+a袁若 x<a袁函数 f渊x冤单调递增袁即 f渊x冤< f渊a冤=a2+a袁所以当 a逸0时袁函数 f渊x冤有一个零点袁不符合题 意曰当 a<0时袁若 a<x< a4 袁函数 f渊x冤单调递减袁若 x> a4 袁函 数 f渊x冤单调递增袁故函数 f渊x冤有最小值袁最小值为 a- a28 <0袁 当 x<a时袁函数 f渊x冤单调递减袁所以当 a<0时袁函数 f渊x冤有 两个零点袁当 f渊a冤=a2+a逸0袁因为 a<0袁所以有 a臆-1袁此时袁 x1+x2= a2 袁x1x2= a2 袁设 x2x1 =k袁所以 x2=kx1袁显然 k<0袁所以有 x1+kx1= a2 袁kx12= a2 袁所以渊k+1冤x1= a2 袁 咱渊k+1冤x1暂 2 kx12 = 渊 a2 冤2 a2 袁 即 2渊k+1冤2k =a袁而 a臆-1袁所以 2渊k+1冤 2 k 臆-1袁所以 2k2+5k+ 图 2 CPA Q B x y=tx4x3x2x1O 1 2 3 y 1 32 图 1 CPA D Q B x1412108642-2-4 -6-8 -10 -2 2 O y 203