模块综合检测（一）(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZxXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 模块综合检测（一） 1.B2.C3.B4.A5.B6.A 7.D 8.A 9.ACD 10.BD对于A,由a1+3a2+.…+(2n-1)am=n可得，当n=1时，a41=1,当n≥2时，41十3a2 +.+(2n-3)a-1=n-1,两式相减得(2n-1)·an=1,即a,=2点，a=1也适合上式，综上 所述，a,=点，A错误；对于B,an+1一a,=2一点=-2叶2m-1<0,当n∈N+时恒成 立，故an+1<an,即数列al为递减数列，B正确；对于C,:b,=帝=2叶2m=主（点 )，∴。=是(1-青+青-言十十点-本）=是(1-）=品，C错误；对于D, 本>0对任意n∈N+恒成立，故S,=支(1-2）<克，若对于任意的n∈N+都有S<X,则入 ≥，D正确.故选B、D. 11.AC由题意可知f(x)的定义域为R.对于A,令f(x)==0,则x2十x一1=0，解得x= 5,所以函颈∫x)与x轴有两个不同的交点，故A正确：对于B,因为P()=型=- -2)+1,当x∈(-∞，-1)U(2,+∞)时，f(x)<0;当x∈(-1,2)时，f(x) >0,可知f(x)在（一∞，一1），(2，十∞)上单调递减，在（一1,2）上单调递增，则f(x) 的极大值为f(2)=吾，极小值为f(-1)=-e,当x一-∞时，f(x)→+∞；当x→十∞时，f (x)→0， 可知函数f(x)有最小值f(一1)=一，无最大值，故B错误；对于C,因为函数f(x)有最小值 f(-l)=-e,若当x∈[t,+∞)时，∫(x)mim=-e,则t长-l,所以t的最大值为-1，故C正 确；对于D,方程f(x)=k有1个实根等价于曲线y=f(x)与直线y=k有1个交点，结合图象可 知ke(-eU(是，十∞)，故D错误.故选A、C 12.3x-y+2=0解析：由题可得，f(x)=(2e2r+e*)cosx+(-sinx)(e2x十e),P(0)= 3,f(0)=2,故所求切线方程为y-2=3x,即3x-y+2=0. 13.16解析：.2a3-+2a11=2(a3十a11)-=4a-=0,又.b=a≠0，∴.b=a=4. b6b8=b号=16. 1/5 ·独家授权侵权必究 学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZxXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 14.1 解析：依题意，f()=g()，即e1=- Inxa (,>0）.:-=安n高=n 意en品，则e1=ln是en(,>0).设f(x)=xe,则f(x)=e*十xe>0在(0，十∞)上 恒成立，“函数f(x)=xe在(0，十o)上单调递增，则=ln高台e的=，∴-灯一lnx=: e1-(:十ln)=en1-(:十ln).令t=十ln,显然t=x十ln在(0，十o）上单调 递增，t∈R,设h(t)=e-t,h'(t)=e-1=0曰t=0,∴.h(t)在区间（一∞，0）上单调递 减，在区间(0，十∞)上单调递增，h(t)mim=h(0)=1. 15.解：(1)由VSn-VS1=1,得数列VS是公差为1的等差数列， 又“51=Va=1,∴V5=m,S=. 当n≥2时，am=Sm-Sm-1=n2-(n-1)2=2n-1, 又·a=1也满足上式，.am=2n-1(n∈N+）. (2）由(1)知，bm=2n2+=(点-z）, 1 ∴1，=生[(1-)+（侍-）++（点-）]=支(1-)=品： 由Tm≥是得n2≥4n十2，得(n-2)2≥6，n≥5， .n的最小值为5. 品， 16.解：(1)由 得S+1十S,=an+1(Sn+1-Sn)=虽+1①， 所以当n≥2时，Sn十Sm-1=孟② 由①-②得an+1+a,=+1-=(am+1+an）·(an+1-an), 因为数列{an为各项均为正数的数列，所以an+1一am=1(n≥2)， 又由4=1，司-，得=2， 所以a2-a=l,所以au+1-a,=1(n∈N+). 故数列{am}是首项为1，公差为1的等差数列，所以am=1+(n一1)×1=n. (2)由(1)得b,=贵=0， 所以数列{b的前n项和T,=十导十十十贵， 所以1=青十十十十器+是， 两欧红=1++中++中专学 2/5 ·独家授权侵权必究· 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 所以7。器<. 由于Tm-1m-1=0>0,T1=b1=1, 则数列T在n∈N+上为递增数列，于是Tm∈[1，呈)· 1 17.解：(1)(x)=本，"()=-+1， ∴.f(0)=1,(0)=-1, -2ab 又R'(x)=+bx,R”(x)=+bx了， 由R'(0)=1,R"(0)=-1, 得a=1,b=支 (2)证明：令h(x)=f(x)-R(ax)=ln(x+1)-, 则州()=本22导 2x+2上2x82 =s+1x+2了>0对x∈(0，+∞）恒成立， ∴.h(x)在(0，十∞)上单调递增， 又h(0)=0, .h(x)>0,即当x>0时，f(x)>R(x). :ln(x+1)>经在x∈(0，+∞)时恒成立， 2×克 h器=h1+)>辞=可>动， 又动cos亦<动， ∴cos动<ln器. 18.解：(1)当k=0时，f(x)=ex+1-x2,可得f(x)=er+1-2x, 则曲线y=f(x)在点(-1，f(-1))处的切线斜率为(-1)=3，且f(-1)=0, 所以曲线y=f(x)在点（一1，f(-1))处的切线方程为y=3x十3. (2)由f(x)=ex+1-x2-x,可得f(x)=ex+1-2x-k. 因为f(x)在区间[一1，+∞)上单调递增，所以x∈[一1，+∞)，(x)≥0恒成立. 令F(x)=f(x)=ex+1-2x一k,则F'(x)=ex+1-2, 令F'(x)=0,解得x=ln2-1>-1, 所以当x∈（一1,1n2-1)时，F'(x)<0,故F(x)单调递减； 当x∈(1n2一1，+o)时，F'(x)>0,故F(x)单调递增， 3/5 ·独家授权侵权必究· 学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 所以F(x)mim=F(1n2-1)=4-2n2-k. 又因为f(x)≥0，所以F(x)mm≥0，即4-2ln2-k≥0，解得k≤4-2ln2. 所以实数k的取值范围为（一∞，4一2ln2]. (3)因为f(一1)=k,所以题意等价于当x>一1时，f(x)≥k, 即Vx∈（-1，+o),ex+1-x2-x≥k,整理得ex+1-x2≥k(x+1). 因为>-1，所以x+1>0,故等价于xe(-1,十o),产≥k 设GG)=,x∈(-1，+o)，可得G(x)= (e+1-2x)x+1(e+1-x2】 x+1)2 化简得G(x)=+1(e+1-x-2)· 令函数g(x)=ex-x一1，x∈（-∞，十∞)，可得g'(x)=ex-1, 当x<0时，g'(x)<0,g(x)单调递减；当x>0时，g'(x)>0,g(x)单调递增， 故在x=0时，g(x)取到最小值，即g(x)≥g(0)=0,即e*≥x十1， 所以ex+1≥x十2，即ex+1一x一2≥0，所以当x∈（一1,0）时，G(x)<0,G(x)单调递减， 当x∈(0，+∞)时，G(x)>0,G(x)单调递增，所以G(x)的最小值为G(0)=e, 故k≤e,即实数k的取值范围为（一o,e]. 19.解：(1)当m=5时，所有满足41=a5=1,S5=6的“约束数列”有： 1,1,2,1,1;1,1,1,2,1;1,2,1,1,1. (2)p是9的充分不必要条件.理由如下： 当42000=2024时， la+1-al≤1(n=1,2,,1999）,.an+1-am≤1. 则a200=(a2000-a1999）+(a1999-a199s)+(a198-a4997）++(a-a1)+a4≤1999+a41=2 024, 当且仅当a2000-a4199=a1999-a1998=a1998-a4197=.=a2-a4=1时，a200=2024成立， .“约束数列”{an}是公差为1的等差数列. 当“约束数列”{a}是等差数列时，由|a+1-aa≤1， 得an+1-a,=1或an+1-am=0或an+1一am=一1， 若a+1-a,=0,则{an}的公差为0，.a2o00=a1=25; 若a+1一a,=-1,则{a}的公差为-1， 4/5 ·独家授权侵权必究· 。学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.Zxxk.com● 您身边的互联网+教辅专家 .a2000=-1999=-1974; 若a+1-a,=1,则{an}的公差为1， ∴.a2000=a1+1999=2024, 即当“约束数列”{am}是等差数列时，a2oo0=25或一1974或2024. 综上得p是9的充分不必要条件. (3),a1=1,a2k=0,∴.要使得Sm取最大值，则a≥0，当且仅当同时满足以下三个条件时， Sm取最大值. ①当2≤n≤k时，a一an-1=1; ②当k+1≤n≤2k时，am-an-1=一1； ③当2k+1≤n≤m时，an-an-1=1. Slms=[×2-幻+m2+2 =k2+m-2k)0m-2k+1) 2 5/5 ·独家授权侵权必究· 模块综合检测（一） （时间：120分钟　满分：150分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.函数f（x）＝cos x（sin x＋1）的导数是（　　） A.cos 2x＋sin x　　　 B.cos 2x－sin x C.cos 2x＋cos x D.cos 2x－cos x 2.函数f（x）＝x3－2x2＋3x＋1的图象在x＝1处的切线在x轴上的截距是（　　） A.1 B. C.－ D.0 3.已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3＋a6＝25，S5＝40，则数列{an}的公差d＝（　　） A.4 B.3 C.2 D.1 4.已知数列{an}满足a1＝1，点（n，an＋an＋1）在函数y＝kx＋1的图象上，其中k为常数（k≠0），且a1，a2，a4成等比数列，则k的值为（　　） A.2 B.3 C.4 D.5 5.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，nan＋1＝2Sn，bn＝（－1）nan，数列{bn}的前n项和为Tn，则T100＝（　　） A.0 B.50 C.100 D.2 525 6.已知数列{an}满足a1＝0，a2＝1.若数列{an＋an＋1}是公比为2的等比数列，则a2 026＝（　　） A. B. C.21 013－1 D.21 012－1 7.已知定义在（0，＋∞）上的函数f（x）满足xf'（x）－f（x）＜0，其中f'（x）是函数f（x）的导函数，若2f（a－2 025）＞（a－2 025）f（2），则实数a的取值范围为（　　） A.（0，2 025） B.（2 025，＋∞） C.（2 027，＋∞） D.（2 025，2 027） 8.对n∈N＋，设xn是关于x的方程nx3＋2x－n＝0的实数根，an＝[（n＋1）xn]（n＝2，3，…），其中符号[x]表示不超过x的最大整数，则＝（　　） A.1 014 B.1 015 C.2 025 D.2 026 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9.已知函数f（x）＝－x，则下列结论错误的是（　　） A.f（x）的单调递减区间为（0，1） B.f（x）的极大值点为1 C.f（x）的极小值为－1 D.f（x）的最大值为0 10.已知数列{an}满足a1＋3a2＋…＋（2n－1）an＝n，其中bn＝，Sn为数列{bn}的前n项和，则下列四个结论中，正确的是（　　） A.数列{an}的通项公式为an＝ B.数列{an}为递减数列 C.Sn＝ D.若对于任意的n∈N＋都有Sn＜λ，则λ≥ 11.已知函数f（x）＝，则下列结论正确的是（　　） A.函数f（x）与x轴有两个不同的交点 B.函数f（x）既存在最大值又存在最小值 C.若当x∈[t，＋∞）时，f（x）min＝－e，则t的最大值为－1 D.若方程f（x）＝k有1个实根，则k∈（，＋∞） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上） 12.函数f（x）＝（e2x＋ex）cos x的图象在点（0，f（0））处的切线方程是　　　　. 13.公差不为零的等差数列{an}中，2a3－＋2a11＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b6b8＝　　　　. 14.“朗博变形”是借助指数运算或对数运算，将x化成x＝ln ex，x＝eln x（x＞0）的变形技巧，已知函数f（x）＝xex，g（x）＝－，若f（x1）＝g（x2）＞0，x1，x2＞0，则－x1－ln x1的最小值为　　　　. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分13分）已知数列{an}的前n项和Sn满足＝＋1（n≥2，n∈N＋），且a1＝1. （1）求数列{an}的通项公式； （2）记bn＝，Tn为{bn}的前n项和，求使Tn≥成立的n的最小值. 16.（本小题满分15分）已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且＝. （1）求数列{an}的通项公式； （2）设bn＝，且数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn的取值范围. 17.（本小题满分15分）帕德近似是法国数学家帕德于19世纪末提出的，其基本思想是将一个给定的函数表示成两个多项式之比的形式，具体是：给定两个正整数m，n，函数f（x）在x＝0处的[m，n]阶帕德近似为R（x）＝，其中R（0）＝f（0），R'（0）＝f'（0），R″（0）＝f″（0），…，R（m＋n）（0）＝f（m＋n）（0）（f（n）（x）为f（n－1）（x）的导数）.已知函数f（x）＝ln（x＋1）在x＝0处的[1，1]阶帕德近似为R（x）＝. （1）求实数a，b的值； （2）证明：当x＞0时，f（x）＞R（x），并比较cos与ln的大小. 18.（本小题满分17分）设函数f（x）＝ex＋1－x2－kx. （1）当k＝0时，求曲线y＝f（x）在点（－1，f（－1））处的切线方程； （2）若f（x）在区间[－1，＋∞）上单调递增，求k的取值范围； （3）当x≥－1时，f（x）≥f（－1），求k的取值范围. 19.（本小题满分17分）已知数列{an}共有m（m≥2，m∈N＋）项，且an∈Z，若满足≤1（1≤n≤m－1），则称{an}为“约束数列”.记“约束数列”{an}的所有项的和为Sm. （1）当m＝5时，写出所有满足a1＝a5＝1，S5＝6的“约束数列”； （2）当m＝2 000，a1＝25时，设p：a2 000＝2 024；q：“约束数列”{an}为等差数列.请判断p是q的什么条件，并说明理由； （3）当a1＝1，a2k＝0（1≤k≤，k∈N＋）时，求｜Sm｜的最大值. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $