专题15 利用空间向量计算空间角、空间距离-2019年高考数学二轮复习之重难点微专题突破训练

专题15 利用空间向量计算空间角、空间距离 类型一、求异面直线所成角 直线和直线所成的角：求二直线的方向向量的夹角或补角，注意角的范围是。此类问题一般采用平移法，但平移法不方便时可采用此法 例：直三棱柱中，若，，则异面直线与所成的角的余弦值等于_________.[来源:Zxxk.Com] 【掌握练习】 1、有共同底边的等边三角形和所在平面互相垂直，则异面直线和所成角的余弦值为__________. 2、如图，在三棱柱中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，,.若，分别是棱，上的点，且，，则异面直线与所成角的余弦值为__________. 类型二、直线和平面所成的角： ①找出射影，求线线角； ②求出平面的法向量，直线的方向向量，设线面角为θ,则. 例：如图，在四棱锥中，平面，，，.点为线段上一点（含端点），设直线与平面所成角为，则的取值范围是_________. [来源:学*科*网Z*X*X*K] 【掌握练习】 1、如图，在三棱锥中，已知，都是边长为的等边三角形，为中点，且平面，为线段上一动点，记. （1）当时，求异面直线与所成角的余弦值； （2）当与平面所成角的正弦值为时，求的值. 2、如图所示，在四棱锥中，底面为菱形，且，，为的中点，. （1）求证：平面平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 类型三、二面角： ①求平面角，或求分别在两个面内与棱垂直的两个向量的夹角（或补角）； ②求两个法向量的夹角（或补角）. 例：如图，三棱柱中，，分别为和的中点，，侧面为菱形且，，． （1）证明：直线平面； （2）求二面角的余弦值． 【掌握练习】[来源:Zxxk.Com] 1、已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，底面ABCD，[来源:学科网ZXXK] 且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中点。 （1）证明：面PAD⊥面PCD； （2）求AC与PB所成的角余弦值； （3）求面AMC与面BMC所成二面角的余弦值. 2、如图，四棱柱的底面是菱形，，底面，． （1）证明：平面平面； （2）若，求二面角的余弦值． 类型四、求距离 （1）点M到面的距离 （如图）就是斜线段MN在法向量方向上的正投影. 由 得距离公式： （2）线面距离、面面距离都是求一点到平面的距离； （3）异面直线的距离：求出与二直线都垂直的法向量和连接两异面直线上两点的向量，再代上面距离公式. 例：如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1，中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动. （1）证明：D1E⊥A1D； （2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离； （3）AE等于何值时，二面角D1—EC—D的大小为. 【掌握练习】 1、如图，在正三棱柱中，所有棱长均为，则点到平面的距离为________.[来源:Zxxk.Com] 2、正方体的棱长为1，分别为的中点，则点到平面的距离为________. _ a _ n N M H θ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$ 类型一、求异面直线所成角 直线和直线所成的角：求二直线的方向向量的夹角或补角，注意角的范围是。此类问题一般采用平移法，但平移法不方便时可采用此法 例：直三棱柱中，若，，则异面直线与所成的角的余弦值等于_________. 【答案】 【掌握练习】 1、有共同底边的等边三角形和所在平面互相垂直，则异面直线和所成角的余弦值为__________. 【答案】 【解析】 设等边三角形的边长为，等边三角形和所在平面互相垂直， 取中点，则，以为原点建立如图空间直角坐标系， 则，，，， ，， ， 异面直线和所成角的余弦值为. 2、如图，在三棱柱中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，,.若，分别是棱，上的点，且，，则异面直线与所成角的余弦值为__________. 【答案】 【解析】 以为原点，为轴，在平面中过作的垂线为轴，为轴，建立空间直角坐标系， ∵在三棱柱中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，，， 分别是棱上的点，且，， ∴，，，， ，， 设异面直线与所成角所成角为，则． ∴异面直线与所成角的余弦值为. 类型二、直线和平面所成的角： ①找出射影，求线线角； ②求出平面的法向量，直线的方向向量，设线面角为θ,则. 例：如图，在四棱锥中，平面，，，.点为线段上一点（含端点），设直线与平面所成角为，则的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 解法一：取的中点，以为原点建立如图空间直角坐标系， 则有，，，，， 【掌握练习】 1、如图，在三棱锥中，已知，都是边长为的等边三角形，为中点，且平面，为线段上一动点，记. （1）当时，求异面直线与所成角的余弦值； （2）当与平面所成角的正弦值为时，求的值. 【答案】见解析 【解析】