专题09 外接球和内切球问题的处理技巧-2019年高考数学二轮复习之重难点微专题突破训练

专题09 外接球和内切球问题的处理技巧 一、外接球的问题 简单多面体外接球问题是立体几何中的难点和重要的考点，此类问题实质是解决球的半径尺或确定球心的位置问题，其中球心的确定是关键． （一）由球的定义确定球心 在空间，如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体的外接球的球心． 由上述性质，可以得到确定简单多面体外接球的球心的如下结论． 结论1：正方体或长方体的外接球的球心其体对角线的中点． 结论2：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点． 结论3：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点． 结论4：正棱锥的外接球的球心在其高上，具体位置可通过计算找到． 结论5：若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心．[来源:学#科#网] 例：直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)的各顶点都在同一球面上．若，，则此球的表面积等于_________． 【掌握练习】 1、一个正四棱柱的各个顶点都在一个直径为的球面上．如果正四棱柱的底面边长为，那么该棱柱的表面积为_________． 2、一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积是，那么这个三棱柱的体积是_________．[来源:学科网] 3、已知正方体的外接球的体积是，则这个正方体的棱长是_________． 4、如图，已知球的面上有四点，平面,,,则球的表面积为_________．   5、如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的体积为________. [来源:学,科,网Z,X,X,K] 6、已知各顶点都在同一个球面上的正四棱锥高为，体积为，则这个球的表面积是________. （二）构造正方体或长方体确定球心 长方体或正方体的外接球的球心是在其体对角线的中点处．以下是常见的、基本的几何体补成正方体或长方体的途径与方法． 途径1：正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是是直角三角形的三棱锥都分别可构造正方体．[来源:学科网ZXXK] 途径2：同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥都分别可构造长方体和正方体． 途径3：若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体． 途径4：若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体． 例：棱长为的正四面体的外接球半径为________.  【掌握练习】 1、如图是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积________. 2、如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体的外接球的表面积为________. 3、已知正三棱锥,点，C都在半径为的球面上,若两两互相垂直,则球心到截面的距离为________. 4、在三棱锥中，面面，，，则三棱锥的外接球的表面积是________. （三）由性质确定球心 利用球心O与截面圆圆心O1的连线垂直于截面圆及球心O与弦中点的连线垂直于弦的性质，确定球心． 例：一个棱长为的正方体，其八个顶点都在同一个球面上，那么这个球的表面积为________. 【掌握练习】 1、三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的表面积为________. 2、在半径为2的球面上有不同的四点，若，则平面被球所截面图形的面积为________.  二、内切球问题 若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。 1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。 2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。 3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合。 4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。 5、体积分割是求内切球半径的通用做法。 例1：一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积是，那么这个三棱柱的体积是________.[来源:学,科,网] 例2：若正四棱锥的底面边长及高均为2，刚此四棱锥内切球的表面积为．  【掌握练习】 1、已知三棱锥的所有棱长都相等，现沿三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为，则三棱锥的内切球的体积为________. 2、在直三棱柱中,,,若一个球和它的各个面都相切,则该三棱柱的表面积为________. 3、若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为1，则圆锥的体积为________. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$ 一、外接球的问题 简单多面体外接球问题是立体几何中的难点和重要的考点，此类问题实质是解决球的半径尺或确定球心的位置问题，其中球心的确定是关键． （一）由球的定义确定球心 在空间，如果一个定点与一个简单多面