3.2.1 任意角三角函数的定义(二)（课件）-2018年数学同步优化指导（湘教版必修2）

第3章　三角函数 3.2　任意角的三角函数 3.2.1　任意角三角函数的定义(二) 探究·课堂互动 数学 · 必修2(F) 预习·自主学习 反馈·课堂达标 1．了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切．(重点) 2．能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题．(难点) 探究·课堂互动 数学 · 必修2(F) 预习·自主学习 反馈·课堂达标 探究·课堂互动 数学 · 必修2(F) 预习·自主学习 反馈·课堂达标 三角函数线 如图，设单位圆与x轴的正半轴交于点A，与角α的终边交于P点．过点P作x轴的垂线PM，垂足为M，过A作单位圆的切线交OP的延长线(或反向延长线)于T点．单位圆中的有向线段_____、____、____分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线．记作：sin α＝_____，cos α＝____，tan α＝_____. MP OM AT MP OM AT 探究·课堂互动 数学 · 必修2(F) 预习·自主学习 反馈·课堂达标 探究·课堂互动 数学 · 必修2(F) 预习·自主学习 反馈·课堂达标 【练一练】 如图所示，P是角α的终边与单位圆的交点，PM⊥x轴于M，AT和A′T′均是单位圆的切线，则角α的(　　) A．正弦线是PM，正切线是A′T′ B．正弦线是MP，正切线是A′T′ C．正弦线是MP，正切线是AT D．正弦线是PM，正切线是AT 解析：α为第三象限角，故MP＝sin α，OM＝cos α，AT＝tan α. 答案：C 探究·课堂互动 数学 · 必修2(F) 预习·自主学习 反馈·课堂达标 探究·课堂互动 数学 · 必修2(F) 预习·自主学习 反馈·课堂达标 [思路点拨]首先作出单位圆，然后利用三角函数线的意义画出角α满足条件的终边范围． 三角函数线的作法 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边范围，并由此写出角α的集合． (1)sin α≥eq \f(\r(3),2)；(2)cos α≤－eq \f(1,2). 探究·课堂互动 数学 · 必修2(F) 预习·自主学习 反馈·课堂达标 解：(1)作直线y＝eq \f(\r(3),2)，交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则满足sin α≥eq \f(\r(3),2)的角α的终边在如图所示的阴影区域内. ∴角α的集合为α2kπ＋eq \f(π,3)≤α≤2kπ＋eq \f(2π,3)，k∈Z． 探究·课堂互动 数学 · 必修2(F) 预习·自主学习 反馈·课堂达标 (2)作直线x＝－eq \f(1,2)交单位圆于C，D两点，连接OC，OD，则满足cos α≤－eq \f(1,2)的角α的终边在如图所示的阴影区域内． ∴满足cos α≤－eq \f(1,2)的角α的集合为 α2kπ＋eq \f(2π,3)≤α≤2kπ＋eq \f(4π,3)，k∈Z． 探究·课堂互动 数学 · 必修2(F) 预习·自主学习 反馈·课堂达标 单位圆中求作角的终边的方法 三角函数线是利用数形结合思想解决有关问题的重要工具，应用它可以求作满足形如f(α)＝m的三角函数的角的终边．具体作法是先作出直线y＝m或x＝m与单位圆的交点，再将原点与交点连接所得射线即为所求角的终边． 探究·课堂互动 数学 · 必修2(F) 预习·自主学习 反馈·课堂达标 【互动探究】 　若将题(2)“cos α≤－eq \f(1,2)”改为“cos α＝eq \f(1,2)”，则如何画出角α的终边？ 解：作直线x＝eq \f(1,2)交单位圆于点A，B，连接OA，OB，则射线OA，OB即为角α的终边，如图所示． 探究·课堂互动 数学 · 必修2(F) 预习·自主学习 反馈·课堂达标 利用三角函数线解不等式 (1)若α∈[0,2π)，且cos α≥eq \f(\r(3),2)，则α的取值范围是________． (2)解不等式sin x＞eq \f(1,2)的解集为________． [思路点拨]作出x＝eq \f(\r(3),2)或y＝eq \f(1,2)与单位圆的交点，再将原点与交点连接所得射线即为所求角的终边． 探究·课堂互动 数学 · 必修2(F) 预习·自主学习 反馈·课堂达标 解析：(1)如图，OM为[0,2π)内的角eq \f(π,6)和eq \f(11π,6)的余弦线，欲使cos α≥eq \f(\r(3),2)，角α的余弦线≥OM，当OM伸长时，OP与OQ扫过部分为扇形POQ， ∴0≤α≤eq \f(π,6)或eq \f(11π,6)≤α<2π. 探究·课堂互动 数学 · 必修2(F) 预习·自主学习 反馈·课堂达标 (2)如图，作出正弦值等于eq \f(1,2) 的角x的终边，则正弦值大于eq \f(1,2)的角x的终边