3.2.1 任意角三角函数的定义(一)（课件）-2018年数学同步优化指导（湘教版必修2）

第3章　三角函数 3.2　任意角的三角函数 3.2.1　任意角三角函数的定义(一) 探究·课堂互动 数学 · 必修2(F) 预习·自主学习 反馈·课堂达标 1．理解任意角的三角函数的定义．(重点) 2．掌握三角函数在各个象限的符号． 探究·课堂互动 数学 · 必修2(F) 预习·自主学习 反馈·课堂达标 探究·课堂互动 数学 · 必修2(F) 预习·自主学习 反馈·课堂达标 1．三角函数的定义 (1)正弦、余弦、正切 如图，顶点在原点，角α的始边在x轴的非负半轴，在α的终边上任取一点P(x，y)，设OP＝r(r≠0)．定义：sin α＝eq \f(y,r)，cos α＝eq \f(x,r)，tan α＝eq \f(y,x)，分别称为角的正弦、余弦、正切． 探究·课堂互动 数学 · 必修2(F) 预习·自主学习 反馈·课堂达标 依照上述定义，对于每一个确定的角α，都分别有唯一确定的正弦值、余弦值与之对应；当α≠kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)时，有唯一的正切值与之对应．因此这三个对应法则都是以α为自变量的函数，分别称为角α的正弦函数、余弦函数和正切函数． 探究·课堂互动 数学 · 必修2(F) 预习·自主学习 反馈·课堂达标 (2)余切、正割、余割 角α的余切：cot α＝eq \f(1,tan α)＝eq \f(x,y)；角α的正割：sec α＝eq \f(1,cos α)＝eq \f(r,x)；角α的余割：csc α＝eq \f(1,sin α)＝eq \f(r,y)． 这就是说，cot α，sec α，csc α分别是α的正切、余弦、正弦的倒数． 由上述定义可知，当α的终边在y轴上，即α＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)时，tan α，sec α没有意义；当α的终边在x轴上，即α＝kπ(k∈Z)时，cot α，csc α没有意义． 探究·课堂互动 数学 · 必修2(F) 预习·自主学习 反馈·课堂达标 【想一想】 　三角函数值的大小与点P在角α终边上位置是否有关？ 提示：三角函数值是比值，是一个实数，它的大小与点P在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关． 探究·课堂互动 数学 · 必修2(F) 预习·自主学习 反馈·课堂达标 2．三角函数在各个象限的符号 探究·课堂互动 数学 · 必修2(F) 预习·自主学习 反馈·课堂达标 【练一练】 若α是第二象限角，则有(　　) A．sin α>0　 B．cos α>0 C．tan α>0 D．sin αcos αtan α<0 解析：∵α为第二象限角， ∴sin α>0，cos α<0，tan α<0， sin αcos αtan α>0，只有A正确． 答案：A 探究·课堂互动 数学 · 必修2(F) 预习·自主学习 反馈·课堂达标 3．三角函数的定义域 三角函数 定义域 sin α，cos α R tan α，sec α eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)) cot α，csc α {α|α≠kπ，k∈Z} 探究·课堂互动 数学 · 必修2(F) 预习·自主学习 反馈·课堂达标 探究·课堂互动 数学 · 必修2(F) 预习·自主学习 反馈·课堂达标 三角函数定义的应用 已知角α的终边在直线y＝eq \r(3)x上，求α的正弦、余弦、正切函数值． [思路点拨]eq \x(取点)―→eq \x(求正切)―→eq \x(求正弦、余弦) 探究·课堂互动 数学 · 必修2(F) 预习·自主学习 反馈·课堂达标 解：设P(a，eq \r(3)a)(a≠0)是其终边上任一点， 则tan α＝eq \f(\r(3)a,a)＝eq \r(3)，r＝eq \r(a2＋\r(3)a2)＝2|a|， 当a＞0时，sin α＝eq \f(\r(3)a,2a)＝eq \f(\r(3),2)，cos α＝eq \f(a,2a)＝eq \f(1,2)； 当a＜0时，sin α＝eq \f(\r(3)a,－2a)＝－eq \f(\r(3),2)，cos α＝eq \f(a,－2a)＝－eq \f(1,2). 所以tan α＝eq \r(3)，sin α＝eq \f(\r(3),2)，cos α＝eq \f(1,2)； 或tan α＝eq \r(3)，sin α＝－eq \f(\r(3),2)，cos α＝－eq \f(1,2). 探究·课堂互动 数学 · 必修2(F) 预习·自主学习 反馈·课堂达标 　利用三角函数的定义求值的策略 (1)已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种： ①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后利用