3.2.2 同角三角函数之间的关系（课件）-2018-2019版数学创新设计课堂讲义同步系列（湘教版必修2）

第3章—— 三角函数 3.2　任意角的三角函数 3.2.2　同角三角函数之间的关系 [学习目标] 1.能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式. 2.理解同角三角函数的基本关系式. 3.能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和证明. 1 预习导学 挑战自我，点点落实 2 课堂讲义 重点难点，个个击破 3 当堂检测 当堂训练，体验成功 栏目索引 CONTENTS PAGE 1.任意角的正弦、余弦、正切函数分别是如何定义的？ 答　在直角坐标系中,以原点为圆心,以单位长度为半径的圆为单位圆.锐角α的终边与单位圆交于P(x,y)点,则有sin α＝y, cos α＝x,tan α＝ . [知识链接] 预习导学 挑战自我，点点落实 ‹#› 3.2.2　同角三角函数之间的关系 2.如何利用任意角的三角函数的定义推导同角三角函数的基本关系式？ ‹#› 3.2.2　同角三角函数之间的关系 ‹#› 3.2.2　同角三角函数之间的关系 [预习导引] 1.任意角三角函数的定义 如图所示,以任意角α的顶点O为坐标原点,以角α的始边的方向作为x轴的正方向,建立直角坐标系.设P(x,y)是任意角α终边上不同于坐标原点的任意一点. 则sin α＝ ,cos α＝ ,tan α＝ . ‹#› 3.2.2　同角三角函数之间的关系 2.同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系： . (2)商数关系： . 3.同角三角函数基本关系式的变形 (1)sin2α＋cos2α＝1的变形公式： sin2α＝ ；cos2α＝ ； (2)tan α＝ 的变形公式： sin α＝ ；cos α＝ . sin2α＋cos2α＝1 1－cos2α 1－sin2α cos αtan α ‹#› 3.2.2　同角三角函数之间的关系 要点一　利用同角三角函数的基本关系式求值 课堂讲义 重点难点，个个击破 ‹#› 3.2.2　同角三角函数之间的关系 如果α是第三象限角,同理可得 ‹#› 3.2.2　同角三角函数之间的关系 规律方法　已知角α的某一种三角函数值,求角α的其余三角函数值时,要注意公式的合理选择,一般是先选用平方关系,再用商数关系.另外也要注意“1”的代换,如“1＝sin2 α＋cos2α”.本题没有指出α是第几象限的角,则必须由cos α的值推断出α所在的象限,再分类求解. ‹#› 3.2.2　同角三角函数之间的关系 又sin2 α＋cos2α＝1② ‹#› 3.2.2　同角三角函数之间的关系 要点二　三角函数代数式的化简 ‹#› 3.2.2　同角三角函数之间的关系 ‹#› 3.2.2　同角三角函数之间的关系 解　由于sin α·tan α<0,则sin α,tan α异号,∴α是第二、三象限角, ∴cos α<0, ‹#› 3.2.2　同角三角函数之间的关系 规律方法　解答这类题目的关键在于公式的灵活运用,切实分析好同角三角函数间的关系,化简过程中常用的方法有：(1)化切为弦,即把非正弦、余弦的函数都化为正弦、余弦函数.从而减少函数名称,达到化简的目的. (2)对于含有根号的,常把根号下化成完全平方式,然后去根号达到化简的目的. (3)对于化简含高次的三角函数式,往往借助于因式分解,或构造sin2 α＋cos2α＝1,以降低函数次数,达到化简的目的. ‹#› 3.2.2　同角三角函数之间的关系 ‹#› 3.2.2　同角三角函数之间的关系 ‹#› 3.2.2　同角三角函数之间的关系 跟踪演练2　已知tan α＝3,则 1 ‹#› 3.2.2　同角三角函数之间的关系 (2)sin2α－3sin αcos α＋1＝ . 解析　sin2α－3sin αcos α＋1 1 ‹#› 3.2.2　同角三角函数之间的关系 要点三　三角函数恒等式的证明 ∴原等式成立. ‹#› 3.2.2　同角三角函数之间的关系 规律方法　(1)证明三角恒等式的实质：清除等式两端的差异,有目的的化简