专题3.1.2 椭圆的简单几何性质（高效培优讲义）数学人教A版高二选择性必修第一册

本讲义聚焦椭圆的简单几何性质这一核心知识点，系统梳理从椭圆标准方程出发，推导范围、对称性、顶点、离心率等性质，对比两种标准方程的几何特征，延伸至直线与椭圆的位置关系及弦长、中点弦等应用，构建“定义-方程-性质-应用”的学习支架。 该资料以“以数研形”思想为统领，通过即学即练与典例变式结合，细化8类题型。注重培养逻辑推理（如离心率范围推导）和直观想象（椭圆扁平程度判断），课中助力教师系统授课，课后通过分层练习辅助学生查漏补缺，提升解析几何问题解决能力。

专题3.1.2 椭圆的简单几何性质 教学目标 1.掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质；能根据椭圆标准方程求出椭圆的基本参数，会利用几何性质分析椭圆图形特征。 2.通过观察方程推导椭圆几何性质，体会数形结合思想；提升学生由方程研究曲线几何特征的解析几何研究方法。 3.理解离心率的几何意义，能通过离心率大小判断椭圆扁平程度，培养逻辑推理与直观想象核心素养。 4.感受椭圆几何特征的内在联系，体会解析几何 “以数研形” 的思想，提升学生探究解析几何问题的兴趣。 教学重难点 重点 1.椭圆的范围、对称性、顶点、离心率的概念与求解； 2.由椭圆标准方程分析椭圆的几何性质； 3.离心率e的含义，利用离心率判断椭圆的扁平程度。 难点 1.理解离心率e的几何意义，掌握离心率范围0<e<1； 2.利用椭圆几何性质解决参数范围、离心率求值等综合问题； 3.区分a,b,c的几何含义，避免顶点、长轴短轴概念混淆。 知识点01 椭圆的简单几何性质 我们根据椭圆来研究椭圆的简单几何性质 椭圆的范围 椭圆上所有的点都位于直线和所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足，． 椭圆的对称性 对于椭圆标准方程，把换成，或把换成，或把、同时换成、，方程都不变，所以椭圆是以轴、轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心． 椭圆的顶点 ①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的_________． ②椭圆与坐标轴的四个交点即为椭圆的_________，坐标分别为，，，． ③线段，分别叫做椭圆的_________和_________，，．和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长． 椭圆的离心率 ①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用表示，记作． ②因为，所以的取值范围是_________．越接近1，则就越接近，从而越小，因此椭圆越扁；反之，越接近于0，就越接近0，从而越接近于，这时椭圆就越接近于圆．当且仅当时，，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为． 【即学即练】 1．若过点的直线与椭圆有且仅有一个公共点，则直线的方程为________． 2．从椭圆上的动点作圆的两条切线，切点为和，直线与轴和轴的交点分别为和，则面积的最小值为________． 3．已知椭圆的左焦点为，过的直线与椭圆交于，两点．若线段的中点的横坐标为，则________． 知识点02 椭圆两个标准方程几何性质的比较 标准方程 图形 性质 焦点 ， ， 焦距 范围 ， ， 对称性 关于x轴、y轴和原点对称 顶点 ， ， 轴 长轴长=_________，短轴长=_________ 离心率 【即学即练】 1．与椭圆有公共焦点的椭圆是（   ） A． B． C． D． 2．已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为，长轴长为，则椭圆方程为（    ） A．或 B． C．或 D．或 3．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为，点在椭圆上，且，的面积为，则椭圆的长轴长为（     ） A． B． C． D． 知识点03 直线与椭圆的位置关系 1.平面内点与椭圆的位置关系 椭圆将平面分成三部分：椭圆上、椭圆内、椭圆外，因此，平面上的点与椭圆的位置关系有三种，任给一点， 若点在椭圆上，则有； 若点在椭圆内，则有； 若点在椭圆外，则有． 2.直线与椭圆的位置关系 将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为． ①直线和椭圆相交直线和椭圆有_________（或两个公共点）； ②直线和椭圆相切直线和椭圆有_________（或一个公共点）； ③直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点． 3.直线与椭圆的相交弦 设直线交椭圆于点，两点，则 同理可得 这里，的求法通常使用韦达定理，需作以下变形： 【即学即练】 1．已知椭圆的离心率为，O为坐标原点，椭圆C上的点到两个焦点的距离之和为4． (1)求C的方程； (2)过点的直线交椭圆C于M，N两点，过点M作直线的垂线，垂足为E． ①若的面积是的面积的两倍，求直线的方程； ②证明直线过定点． 2．已知椭圆，经过其左顶点作斜率为的直线与椭圆交于点，直线交椭圆于点，是坐标原点．求面积的最大值． 3．已知椭圆C：的离心率为，左、右焦点分别为，，且． (1)求C的方程． (2)设C的上顶点为P，过点的动直线与C交于A，B两点． （ⅰ）若B与C的下顶点重合，求的面积； （ⅱ）过点B作y轴的垂线，与直线交于点Q，证明：直线AQ被圆E：截得的弦长为定值． 题型01 椭圆的简单几何性质问题 解决椭圆简单几何性质问题，首先牢记 a,b,c 关系a2=b2+c2，分清长半轴、短半轴、半焦距。由标准方程可直接读出范围、对称性、顶点坐标，椭圆关于 x 轴、y 轴、原点对称。离心率e=ac​，0<e<1，e 越接近 1 椭圆越扁，e 越接近 0 椭圆越圆。求离心率常用构造 a,c 齐次方程，结合条件建立等式求解。解题注意焦点位置，焦点在 x 轴、y 轴的方程形式不能混淆。遇到参数范围问题，结合椭圆范围约束变量。小题可利用几何特征快速判断，大题要规范推导。做题谨防混淆 a、b、c，注意顶点与长短轴对应关系，检验离心率取值范围。 【典例1】设圆经过椭圆的右顶点及右焦点，且圆心在椭圆上，则圆心到椭圆中心的距离为________． 【变式1】椭圆，，焦点为，，圆过两焦点且与椭圆相交．一条公切线与圆切于．求的所有可能值． 【变式2】设为椭圆的两个焦点，P为上一点且在第三象限，若，则点P的坐标为________． 题型02 求椭圆离心率的值 求椭圆离心率核心公式e=c/a​，0<e<1，解题关键是构造a,c的齐次关系式。常用途径：利用椭圆定义、焦点三角形结合余弦定理；借助几何图形，利用垂直、角度、边长关系建立等式；结合顶点、弦长、距离条件列方程。把条件转化为含、的齐次方程，两边同除以a2，转化为关于e的一元二次方程求解。注意离心率取值范围0<e<1，舍去不符合范围的解。注意区分焦点在 x 轴、y 轴，不改变离心率结果。遇到范围类问题，结合图形临界位置分析。大题要写出推导过程，小题可灵活用二级结论，避免混淆a,b,c之间的关系。 【典例1】设，分别是椭圆的左、右焦点，过点且斜率为1的直线与相交于，两点，且，求的离心率． 【变式1】椭圆的两个焦点为，点P在椭圆上，且的最大值为，则椭圆的离心率为________ 【变式2】已知椭圆（）的右焦点为，过原点的直线交椭圆于，两点，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 题型03 求椭圆离心率的取值范围 求椭圆离心率取值范围，核心是e=c/a​，0<e<1，本质是建立关于a,c的不等式。常用方法：利用焦点三角形，结合三角形边角关系、余弦定理得到不等关系；借助点与椭圆位置、直线与椭圆相交判别式建立不等式；利用几何临界位置，如垂直、相切等条件找边界。将不等式化为a,c齐次式，两边除以a2转化为关于e的不等式求解。注意结合椭圆固有范围0<e<1，舍去超出区间的解。区分焦点在 x 轴、y 轴，离心率不受影响。解题要注意等号能否取到，结合图形验证临界状态，避免漏解、增解。 【典例1】在平面直角坐标系中，若椭圆：上存在两点A，B，使得，且，则的离心率的取值范围是_______. 【变式1】已知直线与椭圆（）交于A，B两点，若在E上存在一点C使得是以为斜边的直角三角形，则E的离心率的最小值为______． 【变式2】设，分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，若到两焦点的距离之比为，则离心率范围为________． 题型04 直线与椭圆的位置关系 直线与椭圆位置关系，常用联立方程法。将直线方程与椭圆方程联立，消元得到一元二次方程，计算判别式Δ。Δ>0时直线与椭圆相交；Δ=0相切；Δ<0相离。相交时，利用韦达定理得到两根之和与两根之积，用于求解弦长、中点、斜率等问题。注意直线斜率不存在的特殊情况，要单独检验。遇到中点问题可用点差法简化运算。计算过程注意判别式的符号，不要忽略二次项系数不为零。大题步骤要完整，小题可结合图像快速判断位置关系。 【典例1】在平面直角坐标系中，直线与椭圆交于，两点．若原点到直线的距离为，并且，当时，求的面积的最值． 【变式1】已知椭圆的两个焦点分别为，，且椭圆与直线相切．过作两条互相垂直的直线，，与椭圆分别交于点，及，，则四边形面积的最大值与最小值分别为________． 【变式2】设椭圆的左、右焦点分别为，．已知在椭圆C上，且的面积为． (1)求椭圆C的标准方程； (2)如图，过点M的直线l与椭圆C交于另一点N与x轴交于点P，若． （ⅰ）求P点的坐标； （ⅱ）求的面积． 题型05 弦长问题 椭圆弦长问题，核心采用联立方程结合韦达定理求解。把直线与椭圆方程联立，消元得到一元二次方程，先判断判别式Δ>0，保证直线与椭圆有两个交点。弦长公式，利用韦达定理求出两根之和与两根之积代入计算。若直线斜率不存在，直接代入椭圆求纵坐标差计算弦长。遇到中点弦也可搭配点差法简化运算。计算时注意化简，避免运算出错。大题要写出联立、判别式、韦达定理的完整步骤。注意区分斜率存在与不存在两种情况，防止漏解。 【典例1】已知斜率为2的直线经过椭圆的右焦点，与椭圆相交于A、B两点，则弦的长为________． 【变式1】已知A，B，C分别是椭圆的左顶点、右顶点和上顶点，点在椭圆上且位于第四象限，连接PC与轴交于点．若的面积比的面积大1，则点的横坐标为（   ） A．1 B． C． D． 【变式2】已知椭圆：的焦距为4，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)若斜率为的直线过椭圆的右焦点，且与椭圆相交于、两点，求弦的长度． 题型06 中点弦问题 椭圆中点弦问题有两种常用解法。一是联立方程法，将直线与椭圆方程联立，利用韦达定理，结合中点坐标公式建立关系式，同时注意判别式Δ>0，保证弦存在。二是点差法，设弦两端点坐标，代入椭圆方程作差，变形得到中点与弦斜率的关系，运算更简便。使用点差法时，要验证判别式，防止求出不存在的弦。注意直线斜率不存在的特殊情形，需单独讨论。解题分清焦点所在坐标轴，不要混淆、。大题中使用点差法需要写明推导过程，不能直接套用结论。遇到求参数范围，一定要结合Δ>0进行约束，避免出现增解。 【典例1】已知焦点在轴上的椭圆的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的短半轴长为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【变式1】已知椭圆（），斜率为的一条直线与椭圆交于点，且的中点坐标为，则椭圆的离心率__________． 【变式2】已知圆与椭圆：交于两点，且线段恰好为圆的直径，则（    ） A．2 B． C． D． 题型07 定点定值问题 椭圆定点定值问题，核心思路是设参运算，通过代数化简消去变量，得到固定结果。一般设直线方程，优先设斜截式，注意讨论斜率不存在的情况。将直线与椭圆联立，借助韦达定理表示相关点坐标、向量、距离等表达式。把待证的式子展开整理，分离参数，令参数系数为零，求解定点坐标；定值则化简消参，得到常数结果。计算过程运算量较大，注意化简准确性。小题可代入特殊位置猜想定点定值，再进行证明。大题要完整写出联立、韦达定理推导步骤。注意判别式大于零，保证直线与椭圆相交，防止出现无意义的解。 【典例1】（多选）已知方程所表示的曲线即为函数的图象，则下列结论正确的是（    ） A．函数在上单调递增 B．函数的图象关于直线对称 C．函数不存在零点 D．曲线上第一象限内的点到直线与的距离之积为定值 【变式1】已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，且，离心率为．不与y轴垂直的直线l与C交于A，B两点． (1)求C的方程； (2)若直线l经过点，求的面积的最大值； (3)C的左顶点为D，若，证明：直线l过定点． 【变式2】已知椭圆方程的左焦点为F，直线（）与椭圆E相交于A，B，点A在第一象限，直线与椭圆E的另一点交点为C，且点C关于原点O的对称点为D. (1)设直线，的斜率分别为，，求的值 (2)求面积的最大值. 题型08 最值问题 直线与椭圆联立的最值问题，常求弦长、距离、面积、斜率等最值。将直线与椭圆联立，得到一元二次方程，先保证Δ>0，确保存在两个交点。利用韦达定理表示出目标表达式，转化为关于斜率k或者参数的函数。优先转化为二次函数，结合定义域求最值；也可利用基本不等式求解。要注意讨论直线斜率不存在的特殊情况，避免漏解。遇到面积最值，可借助弦长公式结合点到直线距离公式表示面积。计算时注意参数取值范围，二次函数要结合定义域判断最值能否取到。大题规范写出联立、判别式、韦达定理过程，小题可结合图形辅助分析。 【典例1】已知椭圆的右焦点为，且过点． (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆相交于，两点，求的取值范围． 【变式1】已知椭圆：的一个顶点，离心率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)若点为椭圆上一动点，直线与坐标轴交于，两点，求面积的取值范围． 【变式2】（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在C上，且，的最大值为3，则下列结论正确的是（   ） A．椭圆C的离心率为 B．的周长为 C．当P为椭圆短轴端点时，的面积最大 D．的最大值为 1．已知椭圆C的标准方程为分别是椭圆的左右焦点，为椭圆上一点，，则__________. 2．已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，是C上一点. (1)求C的方程； (2)已知斜率为1的直线l与C交于M，N两点，若，求l的方程. 3．已知椭圆的焦距为，则（    ） A．2 B． C． D． 4．已知椭圆的离心率为，则C的方程可以为（    ） A． B． C． D． 5．已知椭圆：的一个长轴端点与一个短轴端点之间的距离为，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 6．若平面内有两个定点，一动点，则“为定值”是“点的轨迹是椭圆”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．已知椭圆的左，右焦点分别为，不在轴上的动点在上运动，的平分线交轴于点，则（   ） A． B． C． D． 8．设椭圆的离心率为，，，分别为其左、右焦点，点为椭圆短轴的一个端点，且的面积为2，则椭圆的方程为（   ） A． B． C． D． 9．设双曲线的离心率分别为．若，则（    ） A．1 B． C． D．2 10．已知椭圆经过点，其右焦点为，左、右顶点分别为，． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知点为椭圆上任意一点（不与左、右顶点，重合），求证：直线，的斜率之积为定值，并求出该定值； (3)若过点的直线与椭圆交于，两点，求的面积的最大值． 1．（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P为椭圆C上任意一点，则下列说法正确的是（    ） A．椭圆C的离心率为 B．周长为 C．点P到焦点的距离取值范围为 D．椭圆上不存在点P，使得 2．已知椭圆的左､右焦点分别为，上､下顶点分别为，且，直线与椭圆交于两点，则四边形的周长为（    ） A．2 B． C．4 D． 3．（多选）已知，分别是椭圆的左、右焦点，，是椭圆长轴端点，点P是椭圆上异于长轴端点的一点，则下列结论正确的是（   ） A．椭圆C的离心率 B．的最大值为25 C．存在点P使 D．以为直径的圆与以为直径的圆内切 4．若将方程化简为的形式，则________． 5．已知曲线上动点到两点，的距离之和为4，直线和曲线相交于两点，为坐标原点． (1)写出曲线的方程； (2)若以为直径的圆经过原点，求实数的值． 6．已知函数在区间上的最小值恰为，方程表示焦点在轴上的椭圆，记所有满足条件的为集合，实数的取值集合为，则（    ） A． B． C． D． 7．已知椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为，离心率为，且点P在C上． (1)求椭圆C的标准方程； (2)过左焦点且斜率为的直线l与椭圆C交于A，B两点，求内切圆的面积． 8．（多选）已知曲线：和曲线：，是的两个焦点，下列描述正确的是（     ） A．与有两个交点 B．的焦点到准线的距离为 C．的离心率为 D．为与的公共点，则的周长为 9．已知椭圆：，为坐标原点． (1)求的离心率e； (2)设点，点在上，求的最大值和最小值； 10．已知椭圆 ： ，点是椭圆的右顶点． (1)求椭圆离心率； (2)已知点， ，若椭圆 上存在一点 ，满足，求 的值； (3)若直线 与 交于 、 两点，且 为直角，求证：直线 恒过定点． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.1.2 椭圆的简单几何性质 教学目标 1.掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质；能根据椭圆标准方程求出椭圆的基本参数，会利用几何性质分析椭圆图形特征。 2.通过观察方程推导椭圆几何性质，体会数形结合思想；提升学生由方程研究曲线几何特征的解析几何研究方法。 3.理解离心率的几何意义，能通过离心率大小判断椭圆扁平程度，培养逻辑推理与直观想象核心素养。 4.感受椭圆几何特征的内在联系，体会解析几何 “以数研形” 的思想，提升学生探究解析几何问题的兴趣。 教学重难点 重点 1.椭圆的范围、对称性、顶点、离心率的概念与求解； 2.由椭圆标准方程分析椭圆的几何性质； 3.离心率e的含义，利用离心率判断椭圆的扁平程度。 难点 1.理解离心率e的几何意义，掌握离心率范围0<e<1； 2.利用椭圆几何性质解决参数范围、离心率求值等综合问题； 3.区分a,b,c的几何含义，避免顶点、长轴短轴概念混淆。 知识点01 椭圆的简单几何性质 我们根据椭圆来研究椭圆的简单几何性质 椭圆的范围 椭圆上所有的点都位于直线和所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足，． 椭圆的对称性 对于椭圆标准方程，把换成，或把换成，或把、同时换成、，方程都不变，所以椭圆是以轴、轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心． 椭圆的顶点 ①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点． ②椭圆与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为，，，． ③线段，分别叫做椭圆的长轴和短轴，，．和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长． 椭圆的离心率 ①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用表示，记作． ②因为，所以的取值范围是．越接近1，则就越接近，从而越小，因此椭圆越扁；反之，越接近于0，就越接近0，从而越接近于，这时椭圆就越接近于圆．当且仅当时，，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为． 【即学即练】 1．若过点的直线与椭圆有且仅有一个公共点，则直线的方程为________． 【答案】 【分析】先说明直线的斜率存在，设直线的方程为，联立直线与椭圆的方程，消元得到一元二次方程.根据已知有，列出方程，求解即可得出答案. 【详解】因为，所以点在椭圆上， 又点不是椭圆的顶点， 由题意可知，直线的斜率存在，设直线的方程为， 与椭圆的方程联立，消去得， 令， 化简，得，解得， 所以直线的方程为，即． 2．从椭圆上的动点作圆的两条切线，切点为和，直线与轴和轴的交点分别为和，则面积的最小值为________． 【答案】 【分析】首先根据圆的切线方程，确定直线的直线方程，再求点的坐标，求三角形的面积，再根据基本不等式求最值. 【详解】设点，，，由题意知，． 直线和的方程分别为，， 因为点在直线和上，所以，． 可知，两点坐标都满足方程，所以直线的方程为． 由此可得直线与轴和轴的交点分别为和， 所以的面积． 因为，所以． 所以，当且仅当时，面积取得最小值，最小值为． 3．已知椭圆的左焦点为，过的直线与椭圆交于，两点．若线段的中点的横坐标为，则________． 【答案】 【分析】设，由题设及椭圆第二定义可得答案. 【详解】由椭圆的标准方程知，，， 设，，则. 由椭圆第二定义可得：，. 所以． 知识点02 椭圆两个标准方程几何性质的比较 标准方程 图形 性质 焦点 ， ， 焦距 范围 ， ， 对称性 关于x轴、y轴和原点对称 顶点 ， ， 轴 长轴长=，短轴长= 离心率 【即学即练】 1．与椭圆有公共焦点的椭圆是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义计算即可. 【详解】椭圆的焦点在轴上，故排除选项A，D． 在椭圆中，；在椭圆中，，故排除选项B； 在椭圆中，，易知中的椭圆符合题意． 2．已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为，长轴长为，则椭圆方程为（    ） A．或 B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】由条件知，所以，，则， 当椭圆的焦点在轴上时，椭圆的标准方程为； 当椭圆的焦点在轴上时，椭圆的标准方程为. 综上所述，椭圆的标准方程为或. 3．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为，点在椭圆上，且，的面积为，则椭圆的长轴长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用椭圆知识得到三边与的关系，然后将的面积用表示，从而得到的值，进而得到长轴长. 【详解】由椭圆的定义可知，又，可得，. 已知椭圆的离心率为，故. 在中，由余弦定理可得， 因为，所以. 则， 于是，解得， 故椭圆的长轴长为12. 知识点03 直线与椭圆的位置关系 1.平面内点与椭圆的位置关系 椭圆将平面分成三部分：椭圆上、椭圆内、椭圆外，因此，平面上的点与椭圆的位置关系有三种，任给一点， 若点在椭圆上，则有； 若点在椭圆内，则有； 若点在椭圆外，则有． 2.直线与椭圆的位置关系 将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为． ①直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点（或两个公共点）； ②直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点（或一个公共点）； ③直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点． 3.直线与椭圆的相交弦 设直线交椭圆于点，两点，则 同理可得 这里，的求法通常使用韦达定理，需作以下变形： 【即学即练】 1．已知椭圆的离心率为，O为坐标原点，椭圆C上的点到两个焦点的距离之和为4． (1)求C的方程； (2)过点的直线交椭圆C于M，N两点，过点M作直线的垂线，垂足为E． ①若的面积是的面积的两倍，求直线的方程； ②证明直线过定点． 【答案】(1)； (2)①或； ②若直线过定点，由对称性可知定点必在x轴上，设为， 设，，所以， 所以，所以， 令得，   因为，，所以， 所以， 所以为直线所过定点． 【分析】（1）由椭圆的定义得到，由离心率得到，继而求出b，从而得到椭圆的方程； （2）①设直线方程，与椭圆方程联立得到根与系数的关系式，由的面积是的面积的两倍，解出m的值，得到直线的方程；②判断直线所过定点位于x轴上，表示出，令，结合根与系数的关系化简即可证明结论. 【详解】（1）由题意得，所以， 又因为，所以，， 所以C的方程为． （2）①当直线与y轴垂直时，此时O，F，M，N四点共线，不合题意； 当直线与y轴不垂直时，设，，， 不妨设点M在x轴上方，点N在x轴下方，即，， 联立，消去x并整理得， 直线过椭圆的焦点，必有，，， 因为，即，所以， 所以，， ，， 所以，解得，， 所以或， 即直线的方程为或．   ②略 2．已知椭圆，经过其左顶点作斜率为的直线与椭圆交于点，直线交椭圆于点，是坐标原点．求面积的最大值． 【答案】4 【分析】联立直线与椭圆方程求出交点坐标，将目标三角形的面积转化为关于直线斜率的函数，最后利用基本不等式求出该面积的最大值. 【详解】依题意，椭圆的左顶点，所以直线的方程为． 联立得，解得（舍去）或． 即点的纵坐标是． 因为是的中点，因此与等底同高，面积相等， 所以的面积． 因为，所以， 由于，当且仅当，即时取等， 所以，即面积的最大值等于4． 3．已知椭圆C：的离心率为，左、右焦点分别为，，且． (1)求C的方程． (2)设C的上顶点为P，过点的动直线与C交于A，B两点． （ⅰ）若B与C的下顶点重合，求的面积； （ⅱ）过点B作y轴的垂线，与直线交于点Q，证明：直线AQ被圆E：截得的弦长为定值． 【答案】(1) (2) （ⅰ）； （ⅱ）当直线AB的斜率为0时，其与x轴重合，直线AQ也与x轴重合，此时直线AQ被圆E截得的弦长即为圆E的直径. 当直线AB与x轴不重合时，要证明直线AQ被圆E截得的弦长为定值，只需证明直线AQ恒过圆心，即证明即可． 设AB的方程为， 由得， 设，，则①，②． 由题意知，所以，． 要证， 即证， 即， 将①②式代入，可得左边＝右边，等式成立． 因此原命题得证． 【分析】(1)利用半焦距与离心率得到，再求出； (2)（ⅰ）求出A的横坐标，求解； （ⅱ）分直线AB的斜率为0和直线AB与x轴不重合两种情况，要证明直线AQ被圆E截得的弦长为定值，只需证明直线AQ恒过圆心，证明即可． 【详解】（1）设C的半焦距为．由题意知，所以， 因为离心率为，所以，， 所以C的方程为． （2）（ⅰ）由题意知，， 当B与C的下顶点重合时，，此时直线AB的方程为， 由得，解得或0， 因为点B的横坐标为0，所以点A的横坐标为， 所以． （ⅱ）略 题型01 椭圆的简单几何性质问题 解决椭圆简单几何性质问题，首先牢记 a,b,c 关系a2=b2+c2，分清长半轴、短半轴、半焦距。由标准方程可直接读出范围、对称性、顶点坐标，椭圆关于 x 轴、y 轴、原点对称。离心率e=ac​，0<e<1，e 越接近 1 椭圆越扁，e 越接近 0 椭圆越圆。求离心率常用构造 a,c 齐次方程，结合条件建立等式求解。解题注意焦点位置，焦点在 x 轴、y 轴的方程形式不能混淆。遇到参数范围问题，结合椭圆范围约束变量。小题可利用几何特征快速判断，大题要规范推导。做题谨防混淆 a、b、c，注意顶点与长短轴对应关系，检验离心率取值范围。 【典例1】设圆经过椭圆的右顶点及右焦点，且圆心在椭圆上，则圆心到椭圆中心的距离为________． 【答案】 【分析】先求出椭圆右顶点、右焦点坐标，利用垂直平分线确定圆心横坐标，代入椭圆求出圆心纵坐标，最后用两点间距离公式算出圆心到原点距离． 【详解】由椭圆的方程为，得右顶点的坐标为，右焦点的坐标为， 圆的圆心在线段的垂直平分线上，所以圆心的横坐标为， 将，代入，得，解得， 所以圆的圆心坐标为或， 所以圆心到椭圆中心的距离． 【变式1】椭圆，，焦点为，，圆过两焦点且与椭圆相交．一条公切线与圆切于．求的所有可能值． 【答案】 【分析】先根据圆过两焦点，判断圆心位置，设出圆方程，写出圆在切点处的切线方程，利用直线与椭圆相切的判别式条件建立等式，结合点在圆上的关系式消去参数，代入化简，因式分解后即可得解. 【详解】椭圆焦点为，，其中，圆过，，其圆心必在y轴上． 设圆心为．则圆方程为． 设切点为．于是．（1） 圆在处的切线为．该直线与椭圆相切． 直线与椭圆相切的条件为．因此．（2） 由（1）得．代入（2），并用，化简得． 由于，所以．因此．    【变式2】设为椭圆的两个焦点，P为上一点且在第三象限，若，则点P的坐标为________． 【答案】 【分析】由焦半径公式求得横坐标，代入椭圆方程可求得纵坐标. 【详解】椭圆，则，所以，， 由题意设，所以，， 即，，，所以． 题型02 求椭圆离心率的值 求椭圆离心率核心公式e=c/a​，0<e<1，解题关键是构造a,c的齐次关系式。常用途径：利用椭圆定义、焦点三角形结合余弦定理；借助几何图形，利用垂直、角度、边长关系建立等式；结合顶点、弦长、距离条件列方程。把条件转化为含、的齐次方程，两边同除以a2，转化为关于e的一元二次方程求解。注意离心率取值范围0<e<1，舍去不符合范围的解。注意区分焦点在 x 轴、y 轴，不改变离心率结果。遇到范围类问题，结合图形临界位置分析。大题要写出推导过程，小题可灵活用二级结论，避免混淆a,b,c之间的关系。 【典例1】设，分别是椭圆的左、右焦点，过点且斜率为1的直线与相交于，两点，且，求的离心率． 【答案】 【分析】由椭圆的定义得：，，结合条件可得，联立直线方程与椭圆方程求弦长，由此可得，结合离心率定义求结论. 【详解】由椭圆的定义得：，，， 所以，因为，所以可得． 易知直线的方程为，其中． 设点，，则，两点的坐标满足方程组， 消去，整理得，则，． 因为直线的斜率为1，所以， 即，故， 所以的离心率． 【变式1】椭圆的两个焦点为，点P在椭圆上，且的最大值为，则椭圆的离心率为________ 【答案】/ 【分析】由椭圆的性质及已知得是等边三角形，即可得椭圆参数的齐次式，即可得. 【详解】椭圆上，点对两个焦点的张角为， 当落在椭圆短轴端点时，取得最大值，且最大值为， 因此在短轴端点时，，此时为等腰三角形，顶角为， 故是等边三角形，得，则椭圆离心率. 【变式2】已知椭圆（）的右焦点为，过原点的直线交椭圆于，两点，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出另一个焦点，利用椭圆的定义结合余弦定理求出基本量的关系，可得椭圆的离心率. 【详解】如图， 设椭圆的左焦点为，根据椭圆的对称性可得：四边形为平行四边形， 所以，， 所以，所以. 又，所以. 在中，由余弦定理得：， 即. 所以椭圆的离心率为. 题型03 求椭圆离心率的取值范围 求椭圆离心率取值范围，核心是e=c/a​，0<e<1，本质是建立关于a,c的不等式。常用方法：利用焦点三角形，结合三角形边角关系、余弦定理得到不等关系；借助点与椭圆位置、直线与椭圆相交判别式建立不等式；利用几何临界位置，如垂直、相切等条件找边界。将不等式化为a,c齐次式，两边除以a2转化为关于e的不等式求解。注意结合椭圆固有范围0<e<1，舍去超出区间的解。区分焦点在 x 轴、y 轴，离心率不受影响。解题要注意等号能否取到，结合图形验证临界状态，避免漏解、增解。 【典例1】在平面直角坐标系中，若椭圆：上存在两点A，B，使得，且，则的离心率的取值范围是_______. 【答案】 【分析】设，，将A，B的坐标分别代入C的方程， 法一：消去，得出，由椭圆的性质得到，，进而得到，最后根据椭圆的离心率求解； 法二：消去，得，根据，得到，最后根据椭圆的离心率求解； 法三：分直线斜率是否存在讨论，当斜率存在时，设直线，的方程分别为，，将直线与椭圆方程联立，求出，，得到，令，则，求出，由，得到，最后根据椭圆的离心率求解. 【详解】由题意，设，， 将A，B的坐标分别代入C的方程，得 法一：消去，可得，由椭圆的性质，得，，得， 整理得，即，又， 所以，故C的离心率的取值范围为. 法二：消去，可得，解得，考虑到，可得，即，下同法一. 法三：当直线斜率不存在，即，时，显然有； 当直线斜率存在时，设直线，的方程分别为，， 由与联立，解得，则， 所以，同理， 所以. 令，则，所以，解得， 由，解得， 所以，， 又，所以. 故的离心率的取值范围为. 【变式1】已知直线与椭圆（）交于A，B两点，若在E上存在一点C使得是以为斜边的直角三角形，则E的离心率的最小值为______． 【答案】/ 【分析】先转化为以AB为直径的圆与椭圆的交点找到点C的坐标，再利用椭圆上的点的坐标取值范围求解. 【详解】将直线 代入椭圆方程 ， ，因此，，， 因为是以为斜边的直角三角形，所以,即点C在以AB为直径的圆上， AB 的中点（圆心）是，故半径 圆的方程： 因为点 在椭圆上，联立 由椭圆方程解出 ，代入圆的方程：， 所以，即，因为是方程的一个解， 所以，解得（舍去），（对应点 C 的纵坐标）， 椭圆上点的纵坐标范围为 ，只需满足：， 解得， 椭圆离心率 ， 由于 随 增大而增大，故当 时， 取得最小值：. 【变式2】设，分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，若到两焦点的距离之比为，则离心率范围为________． 【答案】 【详解】设到两个焦点的距离分别为，，根据椭圆定义可知：， 又结合椭圆的性质可知．根据三角形三边关系有，即，，即．又因为， 所以． 题型04 直线与椭圆的位置关系 直线与椭圆位置关系，常用联立方程法。将直线方程与椭圆方程联立，消元得到一元二次方程，计算判别式Δ。Δ>0时直线与椭圆相交；Δ=0相切；Δ<0相离。相交时，利用韦达定理得到两根之和与两根之积，用于求解弦长、中点、斜率等问题。注意直线斜率不存在的特殊情况，要单独检验。遇到中点问题可用点差法简化运算。计算过程注意判别式的符号，不要忽略二次项系数不为零。大题步骤要完整，小题可结合图像快速判断位置关系。 【典例1】在平面直角坐标系中，直线与椭圆交于，两点．若原点到直线的距离为，并且，当时，求的面积的最值． 【答案】， 【分析】设出直线方程，联立后用韦达定理表达出弦长及面积，根据的取值范围，求出面积的取值范围. 【详解】已知直线与椭圆交于，两点，如图所示， 由原点到直线的距离为，得，化简得， 联立直线方程与椭圆方程，得，消去，得， 设，，则，，且， 所以， 代入，，后，化简得， 所以，所以的面积，化简得， 设，对称轴为，所以在上单调递减， 当时，；当时，． 所以的面积的最大值、最小值分别为，． 【变式1】已知椭圆的两个焦点分别为，，且椭圆与直线相切．过作两条互相垂直的直线，，与椭圆分别交于点，及，，则四边形面积的最大值与最小值分别为________． 【答案】2， 【详解】设椭圆方程为．因为它与直线只有一个公共点，所以方程组只有一组解，消去，整理得． 所以，化简得． 又焦点为，，所以，联立上式解得，， 所以椭圆的方程为．    若直线的斜率不存在（或为0），则四边形的面积为． 若直线的斜率存在且不为0，设为，则直线的斜率为． 所以直线的方程为，设，， 联立方程得化简得， 则，， ， 同理可得． 所以． 因为（当且仅当时，等号成立）， 所以，所以． 综上所述，四边形面积的最大值为2，最小值为． 【变式2】设椭圆的左、右焦点分别为，．已知在椭圆C上，且的面积为． (1)求椭圆C的标准方程； (2)如图，过点M的直线l与椭圆C交于另一点N与x轴交于点P，若． （ⅰ）求P点的坐标； （ⅱ）求的面积． 【答案】(1)； (2)（ⅰ）；（ⅱ）； 【分析】（1）根据三角形面积和椭圆定义可得，，进而求出，得到椭圆方程； （2）（ⅰ）求出直线的方程，联立椭圆方程，求出点坐标，进而得到直线的方程，得到； （ⅱ）利用求出答案. 【详解】（1）的面积为，解得， 因为左、右焦点分别为， 所以， 解得，因为， 故椭圆方程为； （2）（ⅰ）由于，，故， 因为，所以，故， 直线的方程为， 联立直线和椭圆方程得， 解得或1，故点的横坐标为， 此时，故点的坐标为， 因此，所以直线的方程为， 即，令得，故， （ⅱ）的面积为 题型05 弦长问题 椭圆弦长问题，核心采用联立方程结合韦达定理求解。把直线与椭圆方程联立，消元得到一元二次方程，先判断判别式Δ>0，保证直线与椭圆有两个交点。弦长公式，利用韦达定理求出两根之和与两根之积代入计算。若直线斜率不存在，直接代入椭圆求纵坐标差计算弦长。遇到中点弦也可搭配点差法简化运算。计算时注意化简，避免运算出错。大题要写出联立、判别式、韦达定理的完整步骤。注意区分斜率存在与不存在两种情况，防止漏解。 【典例1】已知斜率为2的直线经过椭圆的右焦点，与椭圆相交于A、B两点，则弦的长为________． 【答案】/ 【分析】依题意，写出直线的方程，与椭圆方程联立，利用弦长公式即可求得. 【详解】由题意知，椭圆的右焦点的坐标为，直线的方程为． 联立方程，消去y整理得． 设，由根与系数的关系，得． 则. 【变式1】已知A，B，C分别是椭圆的左顶点、右顶点和上顶点，点在椭圆上且位于第四象限，连接PC与轴交于点．若的面积比的面积大1，则点的横坐标为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，由题可知， 又，所以． 设为坐标原点，则，所以， 设，则，解得. 【变式2】已知椭圆：的焦距为4，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)若斜率为的直线过椭圆的右焦点，且与椭圆相交于、两点，求弦的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由离心率和焦距列出等式，求得即可； （2）由弦长公式即可求解. 【详解】（1）由题知得，， 所以椭圆的方程为． （2）椭圆的右焦点，所以直线的方程为：， 代入椭圆的方程，化简得，， 设，，由韦达定理知，，， 故． 由弦长公式，得， 即弦的长度为． 题型06 中点弦问题 椭圆中点弦问题有两种常用解法。一是联立方程法，将直线与椭圆方程联立，利用韦达定理，结合中点坐标公式建立关系式，同时注意判别式Δ>0，保证弦存在。二是点差法，设弦两端点坐标，代入椭圆方程作差，变形得到中点与弦斜率的关系，运算更简便。使用点差法时，要验证判别式，防止求出不存在的弦。注意直线斜率不存在的特殊情形，需单独讨论。解题分清焦点所在坐标轴，不要混淆、。大题中使用点差法需要写明推导过程，不能直接套用结论。遇到求参数范围，一定要结合Δ>0进行约束，避免出现增解。 【典例1】已知焦点在轴上的椭圆的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的短半轴长为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】运用作差法、中点坐标公式及直线斜率求解即可. 【详解】设直线与椭圆相交于，， 由题意得，， 直线的斜率为， 由，两式相减得， 所以，即，所以，即. 所以椭圆的短半轴长为4. 【变式1】已知椭圆（），斜率为的一条直线与椭圆交于点，且的中点坐标为，则椭圆的离心率__________． 【答案】 【分析】根据直线斜率和中点坐标公式，利用点差法可得，再结合的关系可得，进而求解即可. 【详解】设，有， 两式相减得，则， 即， 又因为弦的中点坐标为，直线的斜率为， 所以，则，即， 则，即，则，所以. 【变式2】已知圆与椭圆：交于两点，且线段恰好为圆的直径，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出直线的方程，再根据同解可求的值. 【详解】设，，直线的斜率为， 由已知，则，， ，， 两式相减整理得：，故可得：， 故直线， 由可得， 由可得， 由题设，两个方程均有解， 故，故． 题型07 定点定值问题 椭圆定点定值问题，核心思路是设参运算，通过代数化简消去变量，得到固定结果。一般设直线方程，优先设斜截式，注意讨论斜率不存在的情况。将直线与椭圆联立，借助韦达定理表示相关点坐标、向量、距离等表达式。把待证的式子展开整理，分离参数，令参数系数为零，求解定点坐标；定值则化简消参，得到常数结果。计算过程运算量较大，注意化简准确性。小题可代入特殊位置猜想定点定值，再进行证明。大题要完整写出联立、韦达定理推导步骤。注意判别式大于零，保证直线与椭圆相交，防止出现无意义的解。 【典例1】（多选）已知方程所表示的曲线即为函数的图象，则下列结论正确的是（    ） A．函数在上单调递增 B．函数的图象关于直线对称 C．函数不存在零点 D．曲线上第一象限内的点到直线与的距离之积为定值 【答案】ACD 【分析】本题核心是根据绝对值分段拆解方程，分，，，四种区间写出分段曲线，再逐一验证单调性、对称性、零点、距离定值四个选项，综合双曲线性质与函数单调性、点到直线距离公式判断正误. 【详解】首先拆解曲线方程： 当，（第一象限）时：，，方程化为，即； 当，（第四象限）时：，，方程化为，即； 当，（第二象限）时，，，方程化为，即，无实数解，不存在对应曲线； 当，（第三象限）时，，，方程化为，即. 作出图象： 对于A：由图可知，三段图象全部随增大增大，在全体实数域单调递增，A 正确. 对于B：将中的替换成，替换成，得与不相同， 故的图象不关于直线对称，故B错误. 对于C：直线为双曲线与双曲线的一条公共的渐近线， 且直线与曲线无公共点， 则直线与函数的图象没有公共点，则函数不存在零点，C正确. 对于D：设曲线上第一象限内的点为，则，即， 所以点到直线的距离， 点到直线的距离， 所以，故D正确. 【变式1】已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，且，离心率为．不与y轴垂直的直线l与C交于A，B两点． (1)求C的方程； (2)若直线l经过点，求的面积的最大值； (3)C的左顶点为D，若，证明：直线l过定点． 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】（1）根据离心律和椭圆系数求得； （2）设而不求，联立直线与椭圆联立，用伟达定理求出得到三角形面积；第三小问，设直线为横截距式，设与轴交点为，联立求解。 【详解】（1）设C的半焦距为．由题意可得解得 所以C的方程为． （2）由（1）可知，． 可设l：，，， 由消去x得， 则，． 所以． ， 当且仅当，即时“=”成立， 即的面积的最大值为2． （3）设l：．由消去x得， 所以，，． 因为，，所以由可得， 所以， 即， 化简整理得，解得或． 当时，直线l：经过点D，不符合题意； 当时，直线l：经过点，也满足，符合题意． 综上所述，当时，直线l过定点． 【变式2】已知椭圆方程的左焦点为F，直线（）与椭圆E相交于A，B，点A在第一象限，直线与椭圆E的另一点交点为C，且点C关于原点O的对称点为D. (1)设直线，的斜率分别为，，求的值 (2)求面积的最大值. 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）设出，，则，表达出，，由点差法得到的值； （2）三角形面积等于三角形的面积2倍，设直线方程为，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，求出，换元后，结合对勾函数性质求出最值，得到答案. 【详解】（1）由题意知，，若，此时直线的斜率不存在，不符合要求，舍去， 设，，，此时， 则，，， 又①，②， 式子①－②，得， 所以； （2）由题意可知，三角形面积等于三角形的面积2倍， 椭圆左焦点F为，可设直线方程为， 联立方程组， 即， 故，， 所以三角形的面积为 ， 令，， 由对勾函数性质可得在单调递增， 故，当且仅当取得最小值， 所以，当且仅当，即时成立， 三角形的面积的最大值为， 所以面积的最大值为3. 题型08 最值问题 直线与椭圆联立的最值问题，常求弦长、距离、面积、斜率等最值。将直线与椭圆联立，得到一元二次方程，先保证Δ>0，确保存在两个交点。利用韦达定理表示出目标表达式，转化为关于斜率k或者参数的函数。优先转化为二次函数，结合定义域求最值；也可利用基本不等式求解。要注意讨论直线斜率不存在的特殊情况，避免漏解。遇到面积最值，可借助弦长公式结合点到直线距离公式表示面积。计算时注意参数取值范围，二次函数要结合定义域判断最值能否取到。大题规范写出联立、判别式、韦达定理过程，小题可结合图形辅助分析。 【典例1】已知椭圆的右焦点为，且过点． (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆相交于，两点，求的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据椭圆性质，结合椭圆过的点的坐标，代入椭圆方程，联立方程组求得的值，进而得到椭圆的方程； （2）分直线的斜率是否存在进行分类讨论，当直线的斜率不存在时，不符合题意；当直线的斜率存在时，设斜率为，列出直线方程，与椭圆联立，由得，再根据两点间距离公式，可得，通过换元法即可求得其取值范围. 【详解】（1）由题意，椭圆的右焦点为，且过点， 所以可得，解方程组得， 所以椭圆的方程为； （2）当过点的直线斜率不存在时，直线的方程为，此时直线与椭圆无交点，不成立；    当过点的直线斜率存在时，设斜率为，直线的方程为， 与椭圆联立，化简得，    因为直线与椭圆相交于，两点，设，， 所以，解得， 又，所以，，，， 所以 ， 令，则，由，所以， 所以， 因为，所以，则，所以， 所以，即的取值范围是. 【变式1】已知椭圆：的一个顶点，离心率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)若点为椭圆上一动点，直线与坐标轴交于，两点，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)结合椭圆顶点坐标、离心率及求解参数得标准方程. (2)先求线段长度，再通过椭圆参数方程将点到直线距离转化为三角函数最值问题，进而得到面积取值范围. 【详解】（1）由题意，椭圆短轴上顶点为，故，即. 已知离心率，即，结合椭圆参数关系， 代入得： ， 解得， 因此椭圆的标准方程为. （2）对直线，令得，即，令得，即， 故. 设椭圆上点的参数坐标为， 由点到直线距离公式，到直线的距离为： ， 因，故，取绝对值得，因此. 的面积，代入的范围得. 【变式2】（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在C上，且，的最大值为3，则下列结论正确的是（   ） A．椭圆C的离心率为 B．的周长为 C．当P为椭圆短轴端点时，的面积最大 D．的最大值为 【答案】ACD 【分析】由题设列式求出、、根据椭圆的离心率公式计算可判断A；结合椭圆的定义求出的周长即可判断B；设由可判断C；利用余弦定理以及椭圆的定义，结合基本不等式可判断D. 【详解】由题可知，得；因为的最大值为，所以，得，故 对于A选项,离心率，A选项正确； 对于B选项,由椭圆的定义可得的周长，B选项错误； 对于C选项,设，因为，所以当P为椭圆短轴端点时，的面积最大，故C选项正确； 对于D选项，设，由余弦定理可得 ，当且仅当时，即当点P位于短轴端点时，等号成立， 又因为余弦函数在上为减函数，且，故， 即当P为椭圆短轴端点时，取得最大值，故D选项正确． 1．已知椭圆C的标准方程为分别是椭圆的左右焦点，为椭圆上一点，，则__________. 【答案】 【分析】利用椭圆中的关系，求解值以及焦点坐标，再结合椭圆的定义求解. 【详解】由椭圆标准方程，得，， 因此，，即. 根据椭圆定义，椭圆上任意点满足. 因为，在轴上，所以点横坐标为， 代入椭圆方程得：, 因此， 由椭圆定义. 2．已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，是C上一点. (1)求C的方程； (2)已知斜率为1的直线l与C交于M，N两点，若，求l的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知条件列出关于的方程组求解； （2）设直线l：y＝x＋m，，直线方程与椭圆方程联立方程组，消元后应用韦达定理，然后由圆锥曲线中的弦长公式求解. 【详解】（1）由题可知解得a＝2，， 所以C的方程为. （2）设直线l：y＝x＋m，. 由得，则， ， 解得，所以l的方程为. 3．已知椭圆的焦距为，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】先由判断椭圆的长轴在轴上，再设半焦距为，利用及“焦距”为列方程求． 【详解】因为，所以，椭圆的长轴在轴上，长半轴长为，短半轴长为． 设椭圆的半焦距为，则. 因为椭圆的焦距为，即. 解得.代入，得. 即. 所以.解得. 因为，所以. 4．已知椭圆的离心率为，则C的方程可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设椭圆的焦距为. 由题意得，则， 所以，即， 结合选项依次判断，只有A选项满足. 5．已知椭圆：的一个长轴端点与一个短轴端点之间的距离为，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，短半轴，长半轴为 因为一个长轴端点与一个短轴端点之间的距离为，所以，代入，两边平方得，解得，即 ，即 离心率 6．若平面内有两个定点，一动点，则“为定值”是“点的轨迹是椭圆”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】根据椭圆的定义可知，只有为定值，且时， 点的轨迹才是椭圆， 因此，“为定值”是“点的轨迹是椭圆”的必要不充分条件. 7．已知椭圆的左，右焦点分别为，不在轴上的动点在上运动，的平分线交轴于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据角平分线定理及椭圆的定义，联立求解，即可得答案. 【详解】由椭圆的方程得，，即，所以， 因为为的平分线， 所以由角平分线定理得，则，即， 由椭圆定义得，联立解得. 8．设椭圆的离心率为，，，分别为其左、右焦点，点为椭圆短轴的一个端点，且的面积为2，则椭圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由椭圆离心率为，得，即，又因为，所以， 又点为椭圆短轴顶点，则，解得，所以， 即椭圆的方程为. 9．设双曲线的离心率分别为．若，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【详解】由 可知，则，， 又，所以．由可知， 则由 ，解得． 10．已知椭圆经过点，其右焦点为，左、右顶点分别为，． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知点为椭圆上任意一点（不与左、右顶点，重合），求证：直线，的斜率之积为定值，并求出该定值； (3)若过点的直线与椭圆交于，两点，求的面积的最大值． 【答案】(1) (2)设点，则，即， 由题意可知：，， 则， 所以直线，的斜率之积为定值，该定值为． (3) 【分析】（1）根据题意列方程求的值，即可得椭圆的标准方程； （2）设点，可得，结合斜率公式分析证明即可； （3）设，，，，与椭圆方程联立利用韦达定理可得，进而可得，换元利用基本不等式求最值即可. 【详解】（1）由题意可得：，解得，，， 所以椭圆的标准方程为． （2）略 （3）由题意可知：直线不垂直于坐标轴，且过点， 设，，，， 联立方程，消去x可得， 则，解得， 可得，， 则， 因为，则， 可得的面积． 设，则， 可得， 当且仅当，即，时，等号成立 所以的面积的最大值为． 1．（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P为椭圆C上任意一点，则下列说法正确的是（    ） A．椭圆C的离心率为 B．周长为 C．点P到焦点的距离取值范围为 D．椭圆上不存在点P，使得 【答案】ABC 【详解】，则， 椭圆C的离心率为，故A正确； 周长为，故B正确； 点P到焦点的距离取值范围为，即，故C正确； 当点位于短轴顶点时最大，此时，则， 此时，故D错误. 2．已知椭圆的左､右焦点分别为，上､下顶点分别为，且，直线与椭圆交于两点，则四边形的周长为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【详解】设椭圆半焦距为，则，即，， 连接，由关于原点对称，关于原点对称，    得四边形为平行四边形，， 则，而点与点关于直线对称， 因此，， 所以四边形的周长为. 3．（多选）已知，分别是椭圆的左、右焦点，，是椭圆长轴端点，点P是椭圆上异于长轴端点的一点，则下列结论正确的是（   ） A．椭圆C的离心率 B．的最大值为25 C．存在点P使 D．以为直径的圆与以为直径的圆内切 【答案】ABD 【详解】对于A，由，得，，则，椭圆的离心率，故A正确； 对于B，由，当且仅当时等号成立，故B正确； 对于C，设，则，即； ，分别是椭圆的左、右焦点，，； ，. ；故C错误； 对于D，，是椭圆长轴端点，，则以为直径的圆的圆心为原点,半径为； 设以为直径的圆的圆心为，则其半径为. 是的中点，是的中点， . 是椭圆上的点，，分别是椭圆的左、右焦点，； ，即以为直径的圆与以为直径的圆内切，故D正确. 4．若将方程化简为的形式，则________． 【答案】 25 【分析】方程左侧是平面上点到两个定点(0，5)的距离之和，根据椭圆的定义，若距离之和大于两定点间的距离，那么该点的轨迹是椭圆，以此作为解题突破口。 【详解】方程可以看作点P(x，y)到距离之和为26， 由椭圆的定义可知，方程表示的轨迹是以 �� 1 ， �� 2 为焦点的椭圆， 设椭圆长半轴长，短半轴长，半焦距分别为，，. 所以  所以 因此方程为 所以 因为a>0，b>0 所以a=12，b=13 故 �� + �� = 12 + 13 = 25 . 5．已知曲线上动点到两点，的距离之和为4，直线和曲线相交于两点，为坐标原点． (1)写出曲线的方程； (2)若以为直径的圆经过原点，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）曲线上动点满足，得出，求出几何量，即可得到椭圆的方程； （2）直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理，及，即可求得结论． 【详解】（1）由题意知曲线是椭圆， 设椭圆的焦半距为，则由题设，得，， 所以， 故所求椭圆的方程为； （2）若以为直径的圆经过原点，    设点，，，， 将直线的方程代入， 并整理，得， 则，． 因为以线段为直径的圆恰好经过坐标原点， 所以，即． 又， 于是，解得， ， 当时，，符合条件， 所以以为直径的圆经过原点，． 6．已知函数在区间上的最小值恰为，方程表示焦点在轴上的椭圆，记所有满足条件的为集合，实数的取值集合为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由满足条件的集合求，再由椭圆条件求，最后判断集合关系. 【详解】当时，， 此时的最小值为，所以，即． 若，此时能取到最小值， 即，代入可得，满足要求，即； 若取不到最小值，则需满足，即， 而在上单调递减， 所以存在唯一符合题意；所以集合. 由椭圆的焦点在轴上，得， 解得，所以实数的取值集合为， 则，即. 7．已知椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为，离心率为，且点P在C上． (1)求椭圆C的标准方程； (2)过左焦点且斜率为的直线l与椭圆C交于A，B两点，求内切圆的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题目条件的离心率和过点P求出椭圆方程； （2）设直线方程并联立椭圆方程进行求解. 【详解】（1）由椭圆C离心率为，得＝，即， 所以，故椭圆C的方程为 代入点，得，故，， 所以椭圆C的标准方程为． （2）由题意得，直线l的方程为， 设，， 由，消去y，得， 所以 则， 又，直线l的方程为， 则点到直线AB的距离， 所以， 设内切圆的半径为r， 由，解得， 故内切圆的面积为. 8．（多选）已知曲线：和曲线：，是的两个焦点，下列描述正确的是（     ） A．与有两个交点 B．的焦点到准线的距离为 C．的离心率为 D．为与的公共点，则的周长为 【答案】AD 【分析】本题结合抛物线、椭圆的基本性质，通过联立方程判断交点个数，再利用圆锥曲线定义、离心率公式、焦点三角形周长公式逐一求解，分析选项即可． 【详解】    对于A，联立，整理为，解得， 抛物线中，则，（舍去负根）， 对应，存在两个互为相反数的值，因此两曲线有个交点，A正确； 对于B，抛物线：中，， 焦点到准线的距离等于，不是，B错误； 对于C，椭圆中，，， 所以离心率，C错误； 对于D，是椭圆上的点，由椭圆定义得， 又，所以的周长为，D正确． 9．已知椭圆：，为坐标原点． (1)求的离心率e； (2)设点，点在上，求的最大值和最小值； 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 【分析】（1）根据给定的椭圆方程直接求出离心率. （2）设出点的坐标，利用二次函数性质及椭圆的范围求出最值. 【详解】（1）设的半长轴长为，半短轴长为，半焦距为， 则，，，所以的离心率． （2）依题意，设，则，， 因此， 则当时，取得最小值为， 当时，取得最大值为， 所以的最大值为，最小值为. 10．已知椭圆 ： ，点是椭圆的右顶点． (1)求椭圆离心率； (2)已知点， ，若椭圆 上存在一点 ，满足，求 的值； (3)若直线 与 交于 、 两点，且 为直角，求证：直线 恒过定点． 【答案】(1)； (2)； (3)设，， 当直线斜率不存在时，设直线方程为 ，则，， 由 为直角，可得 ， 也即 ，解得或 （舍去）． 当斜率存在时，设直线 方程为 ，联立， 整理得 ，可得 且 为直角，可得 ， 所以 ，即 ， 整理得 ， 将式代入上式得： ， 化简得 整理得 ，可得 或 ， 当 时，直线方程为，此时直线过定点，不符合题意，舍去， 当 时，直线方程为，此时直线过定点，符合题意． 综上，直线 恒过定点． 【分析】（1）结合椭圆方程列方程，解方程求得 的值，由此求得椭圆的离心率； （2）设出点 ，则可利用坐标表示出两向量，从而用 表示点 坐标，再将该点坐标代入方程计算即可得； （3）设，，根据题意得到 ，分为斜率不存在和斜率存在两种情况分别讨论，求出直线的方程判断过定点即可. 【详解】（1）由已知 ，则 ，又，. 得 ， ， 故椭圆的离心率为； （2）由椭圆的标准方程为 ， 则，设，则，， 由，则，解得， 则有 ，解得 ，又 ，故； （3）略 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $