3.1.2 椭圆的简单几何性质-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册同步精品讲义

本高中数学讲义聚焦椭圆的简单几何性质，系统梳理椭圆两种标准方程的范围、顶点、轴长等基础性质，延伸至通径、焦点弦长公式，再到直线与椭圆位置关系及弦长、中点弦问题，构建递进式学习支架。 资料通过对比表格明晰焦点位置差异，培养数学眼光，题型涵盖性质应用、方程求解等，提升数学思维中的推理与运算能力，实例与训练结合助力用数学语言表达问题，课中辅助教学，课后便于学生查漏补缺。

3.1.2 椭圆的简单几何性质 知识点一、椭圆的简单几何性质 1.椭圆两种标准方程的几何性质的比较 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 (a>b>0) (a>b>0) 范围 －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b，0)，B2(b，0) 轴长 短轴长＝2b，长轴长＝2a 焦点 焦距 |F1F2|＝ 对称性 对称轴：x轴、y轴　对称中心：原点 离心率 e＝∈(0,1) 2.离心率 （1）定义：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率，用e表示，即e＝∈(0,1). （2）离心率对椭圆形状的影响： e越接近1，c越接近a，b=就越小，因此椭圆越扁平； e越接近0，c越接近0，b=就越接近a，因此椭圆越接近圆. 极端情况：当a=b，c=0时，这个时候两个焦点重合，图形变为圆. 知识点二、椭圆简单几何性质拓展 1.椭圆的通径：过椭圆的焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦称为椭圆的通径.通径的长度为：. 2.椭圆的焦点弦长公式 椭圆的左、右焦点分别为，倾斜角为的直线经过点，且与椭圆交于两点. 如图，连接，在中，根据椭圆定义、余弦定理可推得. 同理在中，可推得. 则弦长. 若规定，则焦半径，，焦点弦公式. 易得，当时，焦点弦最短，且，即最短的焦点弦是通径. 知识点三、直线与椭圆的位置关系 1.直线y＝kx＋m与椭圆的位置关系的判断方法：联立. 消去y（或x）得到一个关于x（或y）的一元二次方程．直线与椭圆的位置关系、对应一元二次方程解的个数及Δ的取值的关系如表所示． 直线与椭圆 解的个数 Δ的取值 两个不同的公共点 两解 Δ>0 一个公共点 一解 Δ＝0 没有公共点 无解 Δ<0 2.弦长公式： 设直线直线y＝kx＋m交椭圆于A（x1，y1），B（x2，y2）两点. . . ②当k=0时，可直接利用|AB|=|x1-x2|求弦长. ③当斜率不存在时，可直接利用|AB|=|y1-y2|求弦长. 3.中点弦 （1）设直线直线y＝kx＋m交椭圆于A（x1，y1），B（x2，y2）两点. 记弦AB的中点为M（x0，y0）（x0≠0）. 则，，. （2）当椭圆的标准方程为：时，. 题型一：椭圆的简单几何性质 例1.设椭圆方程mx2＋4y2＝4m(m＞0)的离心率为，试求椭圆的长轴长和短轴长、焦点坐标及顶点坐标． 解：椭圆方程可化为. （1）当0＜m＜4时，a＝2，b＝，c＝，∴e＝＝＝， ∴m＝3，∴b＝，c＝1，∴椭圆的长轴长和短轴长分别是4,2， 焦点坐标为F1(－1,0)，F2(1,0)，顶点坐标为A1(－2,0)，A2(2,0)，B1(0，－)，B2(0，)． (2)当m＞4时，a＝，b＝2，∴c＝， ∴e＝＝＝，解得m＝，∴a＝，c＝， ∴椭圆的长轴长和短轴长分别为，4，焦点坐标为F1 ，F2，顶点坐标为A1，A2，B1(－2,0)，B2(2,0)． 跟踪训练： 1.已知椭圆C1：，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上． (1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率； (2)写出椭圆C2的方程，并研究其几何性质． 解：(1)由椭圆C1：，可得其长半轴长为10，短半轴长为8， 焦点坐标为(6,0)，(－6,0)，离心率e＝. (2)由题意可知椭圆C2方程为：.几何性质如下： ①范围：－8≤x≤8，－10≤y≤10；②对称性：对称轴：x轴、y轴，对称中心：原点；③顶点：长轴端点(0,10)，(0，－10)，短轴端点(－8,0)，(8,0)；④焦点：(0,6)，(0，－6)；⑤离心率：e＝，焦距为12. 2.求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率. 解：椭圆的方程可化为. 因为，所以，椭圆的焦点在轴上，且. 所以长轴长，短轴长，焦点坐标分别为， 顶点坐标分别为， 离心率.. 题型二：由椭圆的几何性质求标准方程 例1.已知以坐标轴为对称轴的椭圆的长轴长是短轴长的2倍，且过点，求椭圆的标准方程. 解：方法1：若椭圆的焦点在轴上，则设椭圆方程为. 由题意得，解得. 所以椭圆的标准方程为. 若椭圆的焦点在轴上，则设椭圆方程为. 由题意得，解得.所以椭圆的标准方程为. 综上所述，椭圆的标准方程为或. 方法2：设椭圆方程为， 由题意得 解得. 所以椭圆的标准方程为或. 跟踪训练： 1.若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，一个焦点的坐标是(3,0)，则椭圆的标准方程为 ． 解：由题意，得，解得. 因为椭圆的焦点在x轴上，所以椭圆的标准方程为.故答案为：. 2.求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6； (2) 过点(3,0)，离心率e＝. 解：(1)依题意可设椭圆方程为． 如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b， 所以c＝b＝3， 所以a2＝b2＋c2＝18， 故所求椭圆的标准方程为. (2)当椭圆的焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为， 由题意，得a＝3， 因为e＝，所以c＝，从而b2＝a2－c2＝3，所以椭圆的标准方程为； 当椭圆的焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为， 由题意，得b＝3， 因为e＝，所以，把b＝3代入，得a2＝27，所以椭圆的标准方程为. 综上可知，所求椭圆的标准方程为或. 题型三：求椭圆的离心率的值或范围 例1.设椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为 ． 解：方法一：由题意可设|PF2|＝m，结合条件可知|PF1|＝2m，|F1F2|＝m， 故离心率e＝. 方法二：由PF2⊥F1F2可知P点的横坐标为c，将x＝c代入椭圆方程可解得y＝±，所以|PF2|＝.又由∠PF1F2＝30°可得|F1F2|＝|PF2|，故2c＝，变形可得(a2－c2)＝2ac， 等式两边同除以a2，得(1－e2)＝2e，解得e＝或e＝－(舍去)． 例2.若椭圆上存在一点，使得（分别为椭圆的左、右焦点），求椭圆的离心率的取值范围. 解：方法1：设，则.因为， 所以. 因为，所以，所以. 又，所以， 即，所以，所以，所以. 故椭圆的离心率的取值范围是. 方法2：设，因为，所以，则解得，因为，所以 由①得，即，所以. 又，所以.由②得，此式恒成立. 综上所述，所求椭圆的离心率的取值范围是. 方法3：设椭圆与轴的一个交点为，因为椭圆上存在一点，使， 所以，则，所以，所以，所以. 又，所以椭圆的离心率的取值范围为. 跟踪训练： 1.直线经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 解：方法1：不妨设直线过椭圆的上顶点和左焦点，，则直线的方程为，由已知得. 整理得.又，所以，即，解得或（舍去）. 方法2：不妨设直线过椭圆的上顶点和左焦点，，则直线的方程为，由已知得，所以，即，所以. 方法3：如图，由题意得，在椭圆中. 在中，，即. 解得，所以椭圆的离心率.故选：B. 2.已知椭圆，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，椭圆上总存在点P使得PF1⊥PF2，则椭圆的离心率的取值范围为________． 解：由PF1⊥PF2，知△F1PF2是直角三角形，所以c≥b，即c2≥a2－c2，所以a≤c， 因为e＝，0<e<1，所以≤e<1.故答案为：[，1）. 题型四：直线与椭圆的位置关系 例1.已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：试问当m取何值时，直线l与椭圆C： （1）有两个不同的公共点； （2）有且只有一个公共点； （3）没有公共点？ 解：直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组 将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0③， 关于x的一元二次方程的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144. (1)由Δ>0，得－3<m<3.于是，当－3<m<3时，方程③有两个不同的实数根， 可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个不同的公共点． (2)由Δ＝0，得m＝±3. 也就是当m＝±3时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点． (3)由Δ<0，得m<－3或m>3. 从而当m<－3或m>3时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点． 例2.已知动点P与平面上两定点A(－，0)，B(，0)连线的斜率的积为定值－. （1）试求动点P的轨迹方程C； （2）设直线l：y＝kx＋1与(1)中曲线C交于M，N两点，当|MN|＝时，求直线l的方程． 解：(1)设动点P的坐标是(x，y)，由题意得kPA·kPB＝－. ∴，化简整理得：＋y2＝1.故点P的轨迹方程C是＋y2＝1(x≠±)． (2)设直线l与曲线C的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)， 由，得(1＋2k2)x2＋4kx＝0. Δ＝16k2>0，∴x1＋x2＝，x1x2＝0.|MN|＝， 整理得k4＋k2－2＝0，解得k2＝1或k2＝－2(舍)．∴k＝±1，经检验符合题意． ∴直线l的方程是y＝±x＋1，即x－y＋1＝0或x＋y－1＝0. 跟踪训练： 1.已知直线，椭圆.试问当取何值时，直线与椭圆： （1）有两个公共点； （2）有且只有一个公共点； （3）没有公共点. 解：将直线的方程与椭圆的方程联立，得方程组， 消去，得，. （1）由，解得，所以当时，直线与椭圆有两个公共点. （2）由，解得，所以当时，直线与椭圆有且只有一个公共点. （3）由，解得或，所以当时，直线与椭圆没有公共点. 2.已知斜率为1的直线l过椭圆的右焦点F，交椭圆于A，B两点，求弦AB的长． 解：设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，由椭圆方程知a2＝4，b2＝1， ∴c＝，∴F(，0)，∴直线l的方程为y＝x－， 将其代入椭圆方程，并化简、整理得5x2－8x＋8＝0， ∴x1＋x2＝，x1x2＝， ∴|AB|＝. 3.已知椭圆和点，直线经过点且与椭圆交于两点. （1）当直线的斜率为时，求线段的长度； （2）当点恰好为线段的中点时，求的方程. 解：直线的方程为，即.设， 联立，消去，整理得.则. 于是. 所以线段的长度为. （2）方法1：设的斜率为，则其方程为. 联立消去，得. 设，则. 因为线段的中点恰好为，所以， 解得，且满足.所以直线的方程为，即. 方法2：设，则有 两式相减得，整理得. 因为是线段的中点，所以，所以， 所以直线 的方程为 ，即 . 1.已知椭圆的离心率为，焦点是(－3,0)和(3,0)，则椭圆方程为(　　) A. B. C. D. 解：由题意知c＝3，，则a＝6，∴b2＝a2－c2＝27，∴椭圆方程为.故选：A. 2.过椭圆的焦点F(c，0)的弦中最短弦长是(　　) A. B. C. D. 解：最短弦是过焦点F(c，0)且与焦点所在坐标轴垂直的弦．将点(c，y)的坐标代入椭圆，得y＝±，故最短弦长是.故选：B. 3.已知直线l：x＋y－3＝0，椭圆＋y2＝1，则直线与椭圆的位置关系是(　　) A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切 解：把x＋y－3＝0代入＋y2＝1，得＋y2＝1＋(3－x)2＝1，即5x2－24x＋32＝0. ∵Δ＝(－24)2－4×5×32＝－64<0, ∴直线与椭圆相离．故选：A. 4.若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为(　　) A. B. C. D. 解：设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，B为椭圆的上顶点． 依题意可知，△BF1F2是正三角形．∵在Rt△OBF2中，|OF2|＝c，|BF2|＝a，∠OF2B＝60°， ∴cos 60°＝，即椭圆的离心率e＝.故选A. 5.已知F是椭圆的一个焦点，AB为过椭圆中心的一条弦，则△ABF面积的最大值为(　 　) A．6 B．15 C．20 D．12 解：S＝|OF|·|y1－y2|≤|OF|·2b＝12.故选：D. 6.若椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，且长轴长是短轴长的2倍，则m的值为 ． 解：∵椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，∴，则m＝. 故答案为：. 7.已知椭圆的短半轴长为1，离心率0<e≤，则长轴长的取值范围为 ． 解：∵e＝，b=1，0<e≤.∴≤，则1<a≤2，∴2<2a≤4，即长轴长的取值范围是(2,4]．故答案为：(2,4]． 8.已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m，当直线与椭圆有公共点时，则实数m的取值范围是 ． 解：由得：5x2＋2mx＋m2－1＝0， 当直线与椭圆有公共点时，Δ＝4m2－4×5(m2－1)≥0， 即－4m2＋5≥0，解得－≤m≤.故答案为：[－，]. 1.椭圆6x2＋y2＝6的长轴端点坐标为(　　) A．(0，－)，(0，) B．(－，0)，(，0) C．(－6,0)，(6,0) D．(－1,0)，(1,0) 解：∵椭圆方程化为标准式为＋x2＝1，∴a2＝6，且焦点在y轴上， ∴长轴端点坐标为(0，－)，(0，) ．故选：A. 2.(多选)若直线y＝kx＋2与椭圆相切，则斜率k的值是(　　) A. B. C. D. 解：由，得(3k2＋2)x2＋12kx＋6＝0，由题意知Δ＝144k2－24(3k2＋2)＝0， 解得k＝±.故选：AB. 3.直线x－y＋1＝0被椭圆所截得的弦长|AB|等于(　　) A.2 B. C．3 D． 解：由得交点为(0,1)，，则|AB|＝. 故选：D. 4.焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为4，则椭圆的方程为(　　) A. B. C. D. 解：依题意得c＝2，a＋b＝10，又a2＝b2＋c2，所以解得a＝6，b＝4.故选：C. 5.已知椭圆C：的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为(　　) A. B. C. D. 解：以线段A1A2为直径的圆的方程为x2＋y2＝a2，由原点到直线bx－ay＋2ab＝0的距离d＝＝a，得a2＝3b2，所以C的离心率e＝＝.故选：D. 6.若O和F分别为椭圆的中心和左焦点，P为椭圆上的任意一点，则的最大值为(　　) A．2 B．3 C．6 D．8 解：由题意得点F(－1,0)．设点P(x0，y0)，则有， 可得y＝3.∵＝(x0＋1，y0)，＝(x0，y0)， ∴＝x0(x0＋1)＋＝x0(x0＋1)＋3＝＋x0＋3. 此二次函数的图象的对称轴为直线x0＝－2. 又－2≤x0≤2，所以当x0＝2时，取得最大值，最大值为＋2＋3＝6.故选：C. 7.以F1(－1,0)，F2(1,0)为焦点且与直线x－y＋3＝0有公共点的椭圆中，离心率最大的椭圆方程是(　　) A. B. C. D. 解：由题意设椭圆方程为，， 得(2b2＋1)x2＋6(b2＋1)x＋8b2＋9－b4＝0，由Δ≥0得b2≥4，所以b2的最小值为4， 由e＝，则b2＝4时，e取最大值.故选C. 8.已知椭圆的方程为的左、右焦点分别为F1，F2，经过点F1的一条直线与椭圆交于A，B两点．若直线AB的倾斜角为，则弦长|AB|为 ． 解：易知F1(－1,0)，∵直线AB的倾斜角为， ∴直线AB的斜率为1，可得直线AB的方程为y＝x＋1.联立， 整理得7x2＋8x－8＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由根与系数的关系可知x1＋x2＝－，x1·x2＝－， 则由弦长公式得|AB|＝. 故答案为：. 9.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么椭圆C的方程为 ． 解：设椭圆方程为，由e＝，知，故. 由于△ABF2的周长为|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝4a＝16， ∴a＝4，∴b2＝8，∴椭圆C的方程为.故答案为：. 10.已知椭圆C：的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，若∠ABF＝90°，则椭圆C的离心率为 ． 解：由题意知，A(－a，0)，B(0，b)，F(c，0)， ∵∠ABF＝90°，∴kAB·kBF＝－1，∴＝1，即b2＝ac. ∴c2－a2＋ac＝0，即e2＋e－1＝0，∴e＝(舍)或e＝.故答案为：. 11.已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，椭圆的长轴长为6，且cos∠OFA＝，则椭圆的标准方程是 ． 解：因为椭圆的长轴长是6，cos∠OFA＝，所以点A不是长轴的端点(是短轴的端点)． 所以|OF|＝c，|AF|＝a＝3，所以＝，所以c＝2，b2＝32－22＝5， 所以椭圆的标准方程是或.故答案为：或. 12.设椭圆，点，则椭圆在点处的切线的方程为. 解：方法1：因为点的坐标满足，所以点在椭圆上，可知切线的斜率存在，所以设切线方程为， 将代入中，得， 化简整理得， 令， 化简整理得，即，解得， 所以切线方程为，即. 方法2：因为点的坐标满足，所以点在椭圆上，所以切线方程为，即. 13.(1)求与椭圆有相同的焦点，且离心率为的椭圆的标准方程； (2)已知椭圆的两个焦点间的距离为8，两个顶点坐标分别是(－6,0)，(6,0)，求焦点在x轴上的椭圆的标准方程． 解：(1)∵c＝，∴所求椭圆的焦点为(－，0)，(，0)． 设所求椭圆的方程为． ∵e＝，c＝，∴a＝5，b2＝a2－c2＝20，∴所求椭圆的方程为. (2)∵椭圆的焦点在x轴上，∴设它的标准方程为， ∵2c＝8，∴c＝4，又a＝6，∴b2＝a2－c2＝20. ∴椭圆的方程为. 14.已知椭圆C：过点，离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于A，B两点． (1)求椭圆C的方程； (2)当△F2AB的面积为时，求直线的方程． 解：(1)∵椭圆过点， ∴，又e＝＝且a2＝b2＋c2， 解得a2＝4，b2＝3，c2＝1， ∴椭圆方程为. (2)显然直线AB的斜率不为0， 设AB的方程为x＝ty－1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立， 整理得(3t2＋4)y2－6ty－9＝0，Δ＝36t2＋36(3t2＋4)＝144t2＋144>0， ∴y1＋y2＝，y1y2＝， S△F2AB＝|F1F2||y1－y2|＝|y1－y2|＝＝. 解得t2＝1，∴直线方程为x＝±y－1，即y＝x＋1或y＝－x－1. 15.已知椭圆()的离心率. （1）若，求椭圆方程； （2）直线过点交椭圆于两点，且满足，试求面积的最大值. 解：（1）由题意知，解得. 所以，所以椭圆方程为. （2）由及，得. 可设椭圆的方程为().设，由题意知直线的斜率存在，则设的方程为，联立. 因为，所以， 所以，所以.又到直线的距离， 所以. 所以当且仅当，即时，取得最大值. 16.设F1，F2分别是椭圆E：的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|＝3|F1B|. (1)若|AB|＝4，△ABF2的周长为16，求|AF2|； (2)若cos∠AF2B＝，求椭圆E的离心率． 解：(1)由|AF1|＝3|F1B|，|AB|＝4，得|AF1|＝3，|F1B|＝1. 因为△ABF2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a＝16， |AF1|＋|AF2|＝2a＝8，故|AF2|＝8－3＝5. (2)设|F1B|＝k，则k>0且|AF1|＝3k，|AB|＝4k. 由椭圆定义可得|AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－k. 在△ABF2中，由余弦定理可得：|AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－2|AF2|·|BF2|cos∠AF2B， 即(4k)2＝(2a－3k)2＋(2a－k)2－(2a－3k)(2a－k)． 化简可得(a＋k)(a－3k)＝0，而a＋k>0，故a＝3k.于是有|AF2|＝3k＝|AF1|，|BF2|＝5k. 因此|BF2|2＝|F2A|2＋|AB|2，可得F1A⊥F2A，故△AF1F2为等腰直角三角形． 从而c＝a，所以椭圆E的离心率e＝＝. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1.2 椭圆的简单几何性质 知识点一、椭圆的简单几何性质 1.椭圆两种标准方程的几何性质的比较 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 (a>b>0) (a>b>0) 范围 －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b，0)，B2(b，0) 轴长 短轴长＝2b，长轴长＝2a 焦点 焦距 |F1F2|＝ 对称性 对称轴：x轴、y轴　对称中心：原点 离心率 e＝∈(0,1) 2.离心率 （1）定义：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率，用e表示，即e＝∈(0,1). （2）离心率对椭圆形状的影响： e越接近1，c越接近a，b=就越小，因此椭圆越扁平； e越接近0，c越接近0，b=就越接近a，因此椭圆越接近圆. 极端情况：当a=b，c=0时，这个时候两个焦点重合，图形变为圆. 知识点二、椭圆简单几何性质拓展 1.椭圆的通径：过椭圆的焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦称为椭圆的通径.通径的长度为：. 2.椭圆的焦点弦长公式 椭圆的左、右焦点分别为，倾斜角为的直线经过点，且与椭圆交于两点. 如图，连接，在中，根据椭圆定义、余弦定理可推得. 同理在中，可推得. 则弦长. 若规定，则焦半径，，焦点弦公式. 易得，当时，焦点弦最短，且，即最短的焦点弦是通径. 知识点三、直线与椭圆的位置关系 1.直线y＝kx＋m与椭圆的位置关系的判断方法：联立. 消去y（或x）得到一个关于x（或y）的一元二次方程．直线与椭圆的位置关系、对应一元二次方程解的个数及Δ的取值的关系如表所示． 直线与椭圆 解的个数 Δ的取值 两个不同的公共点 两解 Δ>0 一个公共点 一解 Δ＝0 没有公共点 无解 Δ<0 2.弦长公式： 设直线直线y＝kx＋m交椭圆于A（x1，y1），B（x2，y2）两点. . . ②当k=0时，可直接利用|AB|=|x1-x2|求弦长. ③当斜率不存在时，可直接利用|AB|=|y1-y2|求弦长. 3.中点弦 （1）设直线直线y＝kx＋m交椭圆于A（x1，y1），B（x2，y2）两点. 记弦AB的中点为M（x0，y0）（x0≠0）. 则，，. （2）当椭圆的标准方程为：时，. 题型一：椭圆的简单几何性质 例1.设椭圆方程mx2＋4y2＝4m(m＞0)的离心率为，试求椭圆的长轴长和短轴长、焦点坐标及顶点坐标． 跟踪训练： 1.已知椭圆C1：，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上． (1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率； (2)写出椭圆C2的方程，并研究其几何性质． 2.求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率. 题型二：由椭圆的几何性质求标准方程 例1.已知以坐标轴为对称轴的椭圆的长轴长是短轴长的2倍，且过点，求椭圆的标准方程. 跟踪训练： 1.若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，一个焦点的坐标是(3,0)，则椭圆的标准方程为 ． 2.求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6； (2) 过点(3,0)，离心率e＝. 题型三：求椭圆的离心率的值或范围 例1.设椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为 ． 例2.若椭圆上存在一点，使得（分别为椭圆的左、右焦点），求椭圆的离心率的取值范围. 跟踪训练： 1.直线经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 2.已知椭圆，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，椭圆上总存在点P使得PF1⊥PF2，则椭圆的离心率的取值范围为________． 题型四：直线与椭圆的位置关系 例1.已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：试问当m取何值时，直线l与椭圆C： （1）有两个不同的公共点； （2）有且只有一个公共点； （3）没有公共点？ 例2.已知动点P与平面上两定点A(－，0)，B(，0)连线的斜率的积为定值－. （1）试求动点P的轨迹方程C； （2）设直线l：y＝kx＋1与(1)中曲线C交于M，N两点，当|MN|＝时，求直线l的方程． 跟踪训练： 1.已知直线，椭圆.试问当取何值时，直线与椭圆： （1）有两个公共点； （2）有且只有一个公共点； （3）没有公共点. 2.已知斜率为1的直线l过椭圆的右焦点F，交椭圆于A，B两点，求弦AB的长． 3.已知椭圆和点，直线经过点且与椭圆交于两点. （1）当直线的斜率为时，求线段的长度； （2）当点恰好为线段的中点时，求的方程. 1.已知椭圆的离心率为，焦点是(－3,0)和(3,0)，则椭圆方程为(　　) A. B. C. D. 2.过椭圆的焦点F(c，0)的弦中最短弦长是(　　) A. B. C. D. 3.已知直线l：x＋y－3＝0，椭圆＋y2＝1，则直线与椭圆的位置关系是(　　) A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切 4.若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为(　　) A. B. C. D. 5.已知F是椭圆的一个焦点，AB为过椭圆中心的一条弦，则△ABF面积的最大值为(　 　) A．6 B．15 C．20 D．12 6.若椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，且长轴长是短轴长的2倍，则m的值为 ． 7.已知椭圆的短半轴长为1，离心率0<e≤，则长轴长的取值范围为 ． 8.已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m，当直线与椭圆有公共点时，则实数m的取值范围是 ． 1.椭圆6x2＋y2＝6的长轴端点坐标为(　　) A．(0，－)，(0，) B．(－，0)，(，0) C．(－6,0)，(6,0) D．(－1,0)，(1,0) 2.(多选)若直线y＝kx＋2与椭圆相切，则斜率k的值是(　　) A. B. C. D. 3.直线x－y＋1＝0被椭圆所截得的弦长|AB|等于(　　) A.2 B. C．3 D． 4.焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为4，则椭圆的方程为(　　) A. B. C. D. 5.已知椭圆C：的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为(　　) A. B. C. D. 6.若O和F分别为椭圆的中心和左焦点，P为椭圆上的任意一点，则的最大值为(　　) A．2 B．3 C．6 D．8 7.以F1(－1,0)，F2(1,0)为焦点且与直线x－y＋3＝0有公共点的椭圆中，离心率最大的椭圆方程是(　　) A. B. C. D. 8.已知椭圆的方程为的左、右焦点分别为F1，F2，经过点F1的一条直线与椭圆交于A，B两点．若直线AB的倾斜角为，则弦长|AB|为 ． 9.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么椭圆C的方程为 ． 10.已知椭圆C：的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，若∠ABF＝90°，则椭圆C的离心率为 ． 11.已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，椭圆的长轴长为6，且cos∠OFA＝，则椭圆的标准方程是 ． 12.设椭圆，点，则椭圆在点处的切线的方程为. 13.(1)求与椭圆有相同的焦点，且离心率为的椭圆的标准方程； (2)已知椭圆的两个焦点间的距离为8，两个顶点坐标分别是(－6,0)，(6,0)，求焦点在x轴上的椭圆的标准方程． 14.已知椭圆C：过点，离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于A，B两点． (1)求椭圆C的方程； (2)当△F2AB的面积为时，求直线的方程． 15.已知椭圆()的离心率. （1）若，求椭圆方程； （2）直线过点交椭圆于两点，且满足，试求面积的最大值. 16.设F1，F2分别是椭圆E：的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|＝3|F1B|. (1)若|AB|＝4，△ABF2的周长为16，求|AF2|； (2)若cos∠AF2B＝，求椭圆E的离心率． 1 学科网（北京）股份有限公司 $