3.1.2椭圆的简单几何性质暑假预习讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.1.2椭圆的几何性质 一、概念填空 标准方程 图像 性质 对称性 对称轴：坐标轴对称中心：原点 顶点 ，， ， ，， ， 轴 长轴的长为______，短轴的长为______ 范围 ， ， a、b、c的关系 ______ 离心率 ______ 注意：（1）长轴长是______，短轴长是______，长半轴长是______，短半轴长是______． （2）椭圆的其他相关性质： ①椭圆上到中心距离最大的点是______，到中心距离最小的点是______； ②椭圆上到焦点距离最大和最小的点是____________，最大、最小距离分别是______、______； ③P是椭圆上的点，当P点在______时，最大． 专题练习 一、求椭圆的焦点、焦距、长轴、短轴 1．焦点在x轴上的椭圆经过，，则下列说法正确的是（    ） A．长轴为4 B．短轴为2 C．焦距为 D．离心率 2．已知椭圆的焦距为，则（    ） A．2 B． C． D． 3．已知椭圆与椭圆有相同的焦点，且的长轴长为，则的短轴长为（    ） A． B． C． D． 4．已知椭圆的焦距为，则实数的值为__________. 5．已知分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆交于不同的两点，连接和. (1)写出椭圆的长轴长，短轴长，焦距和的坐标； (2)求△的周长. 二、根据椭圆相同焦点求标准方程 1．与椭圆有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 2．已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为，长轴长为，则椭圆方程为（    ） A．或 B． C．或 D．或 3．与椭圆有相同的焦点，且经过点的椭圆的标准方程为______. 4．求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)经过点，且离心率： (2)经过点，且与椭圆有相同的焦点. 5．分别求满足下列各条件的椭圆的标准方程． (1)已知椭圆的离心率为，短轴长为； (2)椭圆与有相同的焦点，且经过点，求椭圆的标准方程. 三、根据椭圆的性质求最值 1．点、分别在圆和椭圆上，则、两点间的最大距离是（    ） A． B． C． D． 2．过椭圆的中心作直线交椭圆于两点，是的一个焦点，则周长的最小值为（    ） A．16 B．14 C．12 D．10 3．设圆经过椭圆的右顶点及右焦点，且圆心在椭圆上，则圆心到椭圆中心的距离为________． 4．已知点是椭圆：上的动点，若，则的最小值为_____. 5．若P是椭圆上一动点，，则的最大值为__________． 四、计算椭圆离心率 1．椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 2．已知椭圆，该椭圆上一点到直线距离的最大值为，则该椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 3．记椭圆的焦点分别为，，点在直线上，若，则的离心率的取值范围是（  ） A． B． C． D． 4．已知、分别是椭圆（）的左右焦点，A、B是以坐标原点为圆心，以为半径的圆与该椭圆在轴左侧的两个交点，且是等边三角形，则该椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 5．已知椭圆的左、右焦点分别为，点是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点，若，则该椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 6．已知椭圆上两点关于原点对称，为椭圆的右焦点，交椭圆于点，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 7．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点是椭圆短轴的一个端点，且，则椭圆的离心率为______. 8．椭圆 的左、右焦点分别为，P是椭圆上一点，直线的斜率为2，，则椭圆的离心率为______． 五、由椭圆离心率求参数的值或范围 1．椭圆的离心率为，则（    ） A．8 B．2或8 C．4或8 D．8或12 2．设椭圆的离心率分别为．若，则（    ） A． B． C． D． 3．椭圆（）的左、右焦点分别是，，斜率为1的直线l过左焦点，交C于A，B两点，且的内切圆的面积是，若椭圆C的离心率的取值范围为，则线段AB的长度的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知椭圆的离心率，则实数的值为（    ） A．3 B．3或 C． D．或 5．椭圆的离心率的范围为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．椭圆的离心率为，则______. 7．已知椭圆的离心率，则实数______． 六、直线和椭圆的位置关系 1．已知椭圆：的焦距为4，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)若斜率为的直线过椭圆的右焦点，且与椭圆相交于、两点，求弦的长度． 2．已知椭圆的左、右焦点分别为，短轴长为2，离心率为. (1)求的标准方程； (2)过点的直线与相交于两点，若线段的中点的纵坐标为，求的面积. 3．已知椭圆方程的左焦点为F，直线（）与椭圆E相交于A，B，点A在第一象限，直线与椭圆E的另一点交点为C，且点C关于原点O的对称点为D. (1)设直线，的斜率分别为，，求的值 (2)求面积的最大值. 4．椭圆的两个焦点是和，椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于． (1)求椭圆的离心率． (2)已知椭圆的弦的中点的坐标为，求直线的方程． 5．已知椭圆：的左、右顶点分别为，，是上与，不重合的一动点． (1)证明：直线与的斜率之积为定值； (2)直线，与直线分别交于点，，求的最小值； (3)若不过点且斜率为的直线与交于，两点，证明：的外心在定直线上． 6．已知点在圆上，作垂直于轴，垂足为，点为中点． (1)求动点的轨迹的方程； (2)直线与轴交于点，与交于、两个相异点，且，求的取值范围． 参考答案 1、 概念填空 2a； 2b； ； ； 2a； 2b； a； b； 长轴的两个端点； 短轴的两个端点； 长轴的两个端点； ； ； 短轴端点. 专题练习 一、求椭圆的焦点、焦距、长轴、短轴 1．D 2．C 3．D 4．或 5．(1)长轴长为，短轴长为，焦距为，坐标为 (2) 二、根据椭圆相同焦点求标准方程 1．B 4．C 3． 4．(1)或 (2) 5．(1)或； (2). 三、根据椭圆的性质求最值 1．C 2．B 3． 4．/ 5．4 四、计算椭圆离心率 1．D 2．B 3．B 4．B 5．B 6．D 7．/ 8．/ 五、由椭圆离心率求参数值或者范围 1．B 2．A 3．C 4．B 5．D 6． 7．或 六、直线和椭圆的位置关系 1．(1) (2) 【详解】（1）由题知得，， 所以椭圆的方程为． （2）椭圆的右焦点，所以直线的方程为：， 代入椭圆的方程，化简得，， 设，，由韦达定理知，，， 故． 由弦长公式，得， 即弦的长度为． 2．(1) (2)或 【详解】（1）由题意知：椭圆短轴长为，即，所以， 离心率，且， 代入得 ， 所以，从而， 因此，椭圆的标准方程为； （2）由题意，直线过右焦点， 当直线斜率不存在时，，此时中点纵坐标为，不合题意，    设直线的方程为， 代入椭圆方程中，得， 整理得关于的一元二次方程， 设，，由韦达定理得，， 已知线段的中点的纵坐标为，即，所以， 因此 ， 整理得， 因式分解得，解得或， 由， 其中， 当时，，面积， 当时，，面积， 综上所述，的面积为或. 3．(1) (2)3 【详解】（1）由题意知，，若，此时直线的斜率不存在，不符合要求，舍去， 设，，，此时， 则，，， 又①，②， 式子①－②，得， 所以； （2）由题意可知，三角形面积等于三角形的面积2倍， 椭圆左焦点F为，可设直线方程为， 联立方程组， 即， 故，， 所以三角形的面积为 ， 令，， 由对勾函数性质可得在单调递增， 故，当且仅当取得最小值， 所以，当且仅当，即时成立， 三角形的面积的最大值为， 所以面积的最大值为3. 4．(1) (2) 【详解】（1）椭圆的焦点在轴上，故设椭圆的标准方程为 ， ，， ． （2）， 椭圆的标准方程为； 设，． 因为是的中点，所以，， 即：，， 点和都在椭圆上：， 将相减；， 即：， 代入和， ， 即：， 因此，直线的斜率：， 直线过点，斜率为， 其方程为：，即． 5．(1)由椭圆方程可知：，则，， 设，，则，即， 可得， 所以直线与的斜率之积为定值． (2)6 (3)设，，直线：，， 联立方程，消去y得， 因为，解得且， 则，， 可得 则， ， ， 设外接圆的方程为，，圆心为， 把点代入圆的方程得， 因为点，在圆上，则， 可得， 即，整理可得， 且， 整理可得， 因为，且，即， 可得， 即，可得，整理可得， 代入得， 解得或， 当时，，不满足题意； 当时，即，则点在定直线上， 所以的外心在定直线上； 综上所述：的外心在定直线上. 6．(1) (2) 【详解】（1）由题意，设点、，则， 因为点为线段的中点，则，即， 因为点在圆上，所以，即， 因此，点的轨迹的方程为． （2）由已知可得，设点、， 联立得， 由已知可得，得， 由韦达定理可得，， 因为，即，则，即， 所以，所以， 即， 当时，不成立， 所以，代入得， 解得，因此，的取值范围是． 学科网（北京）股份有限公司 $