专题3.3.2 抛物线的简单几何性质（高效培优讲义）数学人教A版高二选择性必修第一册

本讲义聚焦抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质，通过类比椭圆、双曲线的研究思路，对比四种标准方程的焦点、对称轴、范围等要素，构建圆锥曲线知识体系，提供焦半径公式、直线与抛物线位置关系分析等学习支架。 资料特色在于以类比迁移培养数学思维，用对比表格（数学语言）清晰呈现性质差异，即学即练与题型分类（如最值问题中定义转化）引导学生用数学眼光发现规律。课中辅助教师系统授课，课后通过变式练习和综合题帮助学生查漏补缺，提升直观想象与数学运算素养。

专题3.3.2 抛物线的简单几何性质 教学目标 1.掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质，能够由标准方程读出焦点、对称轴、开口范围，会运用性质完成基础计算。 2.类比椭圆、双曲线的研究思路，学会通过方程研究曲线几何特征，强化定义转化、数形结合的解题方法，提升分析问题能力。 3.对比三种圆锥曲线性质的异同，完善圆锥曲线知识体系，培养直观想象与数学运算的核心素养。 教学重难点 重点 1.抛物线范围、对称性、顶点等基础几何性质。 2.依据开口方向，熟练运用几何性质处理求值问题。 3.利用抛物线定义结合几何性质求解距离、简单最值。 难点 1.区分四种开口方向下抛物线的几何要素，避免焦点、对称轴混淆。 2.结合几何性质处理抛物线上动点的最值问题，找准变量取值范围。 3.辨析抛物线与椭圆、双曲线性质差异，理解抛物线离心率恒等于一的特点。 知识点01 抛物线的简单几何性质 抛物线标准方程的几何性质 范围：，， 抛物线（）在y轴的右侧，开口向右，这条抛物线上的任意一点M的坐标的横坐标满足不等式；当x的值增大时，也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．抛物线是无界曲线． 对称性：关于x轴对称 抛物线（）关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．抛物线只有一条_____． 顶点：坐标原点 抛物线（）和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．抛物线的顶点坐标是． 抛物线的通径 通过抛物线的焦点且垂直于对称轴的直线被抛物线所截得的线段叫做抛物线的_____． 因为通过抛物线（）的焦点而垂直于x轴的直线与抛物线两交点的坐标分别为，，所以抛物线的通径长为．这就是抛物线标准方程中的一种几何意义．另一方面，由通径的定义我们还可以看出，刻画了抛物线开口的大小，值越大，开口越宽；值越小，开口越窄． 【即学即练】 1．直线过抛物线的焦点，交抛物线于，两点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．已知抛物线，过点作一条直线交抛物线于，两点，则弦的中点的轨迹方程为________． 3．（多选）已知抛物线的焦点为F，准线为l，过焦点F作直线与抛物线交于，两点，又过A，B两点分别作，，垂足为，连接，，则（     ） A． B． C． D．以为直径的圆与l相切 知识点02 抛物线标准方程几何性质的对比 图形 标准方程 顶点 范围 ， ， ， ， 对称轴 x轴 y轴 焦点 离心率 准线方程 焦半径 【即学即练】 1．（多选）已知抛物线，点在上，与轴交于，两点，则（   ） A．直线是的切线 B．的半径为6 C．直线与有两个交点 D．截轴所得的弦长为4 2．（多选）已知曲线，则（    ） A．可以是圆 B．可以是抛物线 C．当或时，为双曲线 D．当时，为椭圆 3．（多选）已知方程C：，则下列结论正确的是（    ） A．若则方程C表示椭圆 B．若，则方程C表示焦点在y轴上的双曲线 C．存在m，使方程C表示直线 D．存在m，使方程C表示抛物线 知识点03 焦半径公式 设抛物线上一点的坐标为，焦点为． 1、抛物线，_______________． 2、抛物线，． 3、抛物线，． 4、抛物线，． 【即学即练】 1．已知点在抛物线上，则点到抛物线焦点的距离为__________. 2．若抛物线的顶点在原点，开口向上，为焦点，为准线与轴的交点，为抛物线上一点，且，，求此抛物线的标准方程． 3．已知抛物线：的焦点为，点在上，且位于第一象限，，则点的坐标为______． 知识点04 直线与抛物线的位置关系 1、直线与抛物线的位置关系有三种情况： 相交（有两个公共点或一个公共点）；相切（有一个公共点）；相离（没有公共点）． 2、以抛物线与直线的位置关系为例： （1）直线的斜率不存在，设直线方程为， 若，直线与抛物线有两个交点； 若，直线与抛物线有一个交点，且交点既是_____又是_____； 若，直线与抛物线没有交点． （2）直线的斜率存在． 设直线，抛物线， 直线与抛物线的交点的个数等于方程组，的解的个数， 即二次方程（或）解的个数． ①若， 则当_____时，直线与抛物线相交，有两个公共点； 当时，直线与抛物线相切，有个公共点； 当时，直线与抛物线相离，无公共点． ②若，则直线与抛物线相交，有一个公共点． 【即学即练】 1．已知抛物线的焦点为，直线交于P，Q两点，点的坐标为，则下列结论正确的是（    ） A．若上的点满足，则 B．上有且仅有两个点满足 C．若直线过点，取得最大值，则的面积等于16 D．为坐标原点，若，取得最小值，则点到的距离为8 2．（多选）已知抛物线，为上一点，过点的直线交于两点，为坐标原点，则（    ）． A．的焦点坐标为 B．直线与相切 C． D．的取值范围为 3．已知直线与曲线与曲线分别切于，两点，则（   ） A． B． C． D． 知识点05 直线与抛物线相交弦长问题 弦长:设为抛物线的弦，，，弦AB的中点为． （1）弦长公式：_______________（为直线的斜率，且）． （2）， （3）直线的方程为． 【即学即练】 1．设坐标原点为，抛物线，斜率为的直线与抛物线交于，线段的中点为，直线的斜率为，满足． (1)证明：直线过定点； (2)已知直线经过在（1）的条件下的定点． ①当与抛物线有且仅有一个交点时，求的方程； ②若直线与抛物线交于的中点为，记的面积为，求的取值范围． 2．已知点在抛物线上． (1)求的方程； (2)过的焦点作斜率为的直线，且与交于两点，求． 3．已知抛物线的焦点为，抛物线上一动点到焦点距离的最小值为1．过点的直线交抛物线于两点，点在抛物线上，且的重心在轴上． (1)求抛物线的标准方程； (2)若（为坐标原点），垂足为，求证：存在定点，使得为定值； (3)若，求重心的坐标． 题型01 抛物线的几何性质 抛物线几何性质，牢记离心率恒等于一，没有中心，只有一条对称轴。根据标准方程判断开口方向、顶点与范围，看清一次项变量确定对称轴。解题经常结合定义实现距离转化，简化计算。参数 p 代表焦点到准线的距离，p 大于零，p 越大开口越宽大。注意抛物线没有封闭图像，自变量存在取值限制。处理最值问题，要兼顾变量范围，不能直接套用全体实数的结论。做题对比椭圆双曲线，分清三者离心率区别，避免参数相互混淆，审题看清抛物线的开口朝向。 【典例1】已知抛物线：与圆：（）交于，两点，且，则（   ） A． B． C．2 D．1 【变式1】已知抛物线的焦点为准线为为抛物线上一点，过点作直线于点，且的内心，则内切圆的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式2】双曲线的两条渐近线与拋物线的三个交点为顶点的三角形为等边三角形，则双曲线的离心率为（   ） A．2 B． C． D． 题型02 直线与抛物线的位置关系 设直线，抛物线， 直线与抛物线的交点的个数等于方程组，的解的个数， 即二次方程（或）． 【典例1】（多选）已知抛物线：，其焦点到准线的距离为2，且为上的动点，则（   ） A．的方程为： B．已知点，则的最小值为4 C．直线被抛物线截得的弦长最小值为4 D．若抛物线准线与轴交于点，设斜率为，则的最小值是1 【变式1】已知为抛物线的焦点，直线与交于两点，直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为，若与的面积之比为，则______． 【变式2】（多选）已知抛物线与直线交于，两点，焦点为，若，则（    ） A． B．直线与相切 C．的准线方程为 D． 题型03 中点弦问题 若AB为抛物线的任意一条弦，，弦的中点为，则 （1）弦长公式： （2） 【典例1】过抛物线的焦点作直线与相交于两点，点在轴上，，为线段的中点，为坐标原点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知在抛物线：上存在两个不同的点，关于直线：对称，则的最大值是_________． 【变式2】设抛物线的焦点为，过且斜率为1的直线与抛物线相交于两点，若线段的中点为，为坐标原点，且，则______. 题型04 焦半径问题 抛物线上的点与焦点的距离称为焦半径，若，则焦半径，． 【典例1】设为坐标原点，抛物线的焦点为，点在抛物线上，若，则点的横坐标为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】已知抛物线的焦点为，抛物线上一点满足（为坐标原点），则（    ） A．1 B． C．2 D．4 【变式2】（多选）已知的顶点均在抛物线 上，且的重心为抛物线的焦点.若，则（ ） A． B．的周长小于72 C．的三个顶点到轴的距离之和为72 D．上一动点到直线的距离的最小值为 题型05 弦长问题 若AB为抛物线的任意一条弦，，弦的中点为，则 弦长公式： 【典例1】已知抛物线：（）的焦点为，直线与轴的交点为，与的交点为，且． (1)求抛物线的方程； (2)过的直线与相交于，两点，若的垂直平分线与相交于，两点，且，，，四点在同一个圆上，求直线的方程． 【变式1】（多选）已知抛物线：，焦点为，过的动直线交抛物线于、两点，则下列结论正确的有（     ） A．抛物线的准线方程是 B．的最小值是8 C．若直线倾斜角为60°，则面积为（是坐标原点） D．抛物线在、两点处的切线的交点在定直线上 【变式2】在直角坐标系中，已知抛物线：，焦点为，过点且垂直于轴的直线与抛物线交于两点，的面积为. (1)求的值； (2)过点的直线与抛物线交于两点，直线与线段交于点. （i）证明：直线轴； （ii）求面积的最大值. 题型06 定点定值问题 抛物线定点定值问题，一般设出直线方程，联立抛物线方程，借助韦达定理整体处理坐标关系。注意直线斜率不存在的情况，需要单独讨论。定值问题把目标表达式化简，消去参数得到常数结果。定点问题整理式子，令参数的系数等于零，解出定点坐标。小题可以用特殊位置猜想结果，大题必须完整推导。抛物线运算整体比椭圆双曲线简便，但要留心判别式，保证交点存在。注意抛物线的开口方向，运算仔细，防止符号出错 【典例1】已知抛物线经过点，过点的直线l与抛物线C有两个不同的交点，且直线交y轴于M，直线交y轴于N．设O为原点， .求证：为定值． 【变式1】（多选）已知抛物线C：，过焦点的直线交于点，，则（   ） A．的坐标为 B． C．的最小值为3 D． 【变式2】已知抛物线： （ ），为坐标原点，直线 ： ， 经过该抛物线的焦点，且与抛物线交于， 两点，为线段 中点．动直线 ： 在轴上方．    (1)求抛物线的方程； (2)当线段在直线上方时，直线等分三角形的面积，求 的值． (3)点在直线上的射影为点 ，是否存在 使得以点为圆心且过点 的圆过定点，若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由． 题型07 最值问题 抛物线最值问题，优先利用抛物线定义转化距离，结合几何图像求解。代数方法将条件联立，转化为函数，结合抛物线自变量取值范围求最值。处理弦长、面积最值，常联立直线与抛物线，依靠韦达定理建立目标函数。注意讨论直线斜率不存在的特殊情形。几何法多用于小题，大题要规范书写推导过程。求解函数最值不能忽略变量范围，判断最值能否取到。注意 p 大于零，看清开口方向，运算注意符号，做完结合草图验证，避免出现取不到最值的错误。 【典例1】在平面直角坐标系中，已知两点，点在直线上，若为抛物线上一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知抛物线，其准线方程为，直线过点且与抛物线交于两点，为坐标原点. (1)求抛物线的方程； (2)当时，求证：的值与直线的倾斜角的大小无关； (3)若为抛物线上的动点，记的最小值为，求函数的解析式. 【变式2】已知点F为抛物线的焦点，点（）在C上，且. (1)求C的方程； (2)过C上的动点P作C的切线，与直线交于点Q，过Q作PF的垂线，垂足为H. （ⅰ）当时，求点P的坐标； （ⅱ）求的最大值. 1．已知O为坐标原点，F是抛物线C：的焦点，A，B是C上位于x轴异侧的两点，且，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（多选）已知抛物线的焦点为F，A，B是抛物线上两动点，下列说法正确的有（    ） A．抛物线的焦点坐标为 B．若，则线段AB的中点到轴的距离为3 C．以线段为直径的圆与轴相切 D．以为圆心，线段的长为半径的圆与准线相切 3．设F为抛物线的焦点，A，B，C为抛物线上的三个点，若，则（    ） A．6 B．4 C．3 D． 4．已知是抛物线的焦点，直线与抛物线交于，两点，与准线相交于点，且点A为的中点，求__． 5．抛物线的焦点到准线的距离为. (1)求抛物线的标准方程； (2)过焦点的直线（斜率存在且不为0）交抛物线于两点，线段的中垂线交抛物线的对称轴于点，求. 6．已知AB是经过抛物线的焦点的弦，若点A、B的横坐标分别为1和，则该抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 7．已知过抛物线的焦点，且倾斜角为的直线交抛物线于A，B两点，则（    ） A．32 B． C． D．8 8．（多选）已知抛物线的焦点到准线的距离为4，过的直线与抛物线交于两点，为线段的中点，则下列结论正确的是（    ） A．抛物线的准线方程为 B．当，则直线的倾斜角为 C．若，则点到轴的距离为8 D． 9．已知抛物线的焦点为，以和的准线上的两点为顶点可以构成边长为的等边三角形． (1)求的方程； (2)讨论过点的直线与的交点个数． 10．已知为抛物线的焦点，为坐标原点，为的准线上的一点，直线的斜率为，的面积为4. (1)求的方程； (2)过抛物线的焦点作倾斜角为的直线交抛物线于A、B两点，求弦长|AB|. 1．（多选）设抛物线的焦点为为上一动点，为定点，则下列结论正确的是（    ） A．准线方程是 B．的最小值为4 C．的最大值为5 D．以线段为直径的圆与轴相切 2．如图，抛物线C：的焦点为F，C的准线与x轴交于点A，过点F且斜率为的直线与C交于M（M在x轴上方），N两点，则（    ）    A．3 B．4 C． D．6 3．（多选）已知抛物线为坐标原点，一束平行于轴的光线从点射入，经过上的点反射后，再经上的另一点反射后，沿直线射出，经过点，延长交的准线于点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（多选）已知抛物线，点，，过点的直线与抛物线交于，两点，AP，AQ分别交抛物线于，N两点，为坐标原点，则（    ） A．焦点坐标为 B．向量与的数量积为5 C．直线MN的斜率为 D．若直线PQ过焦点，则OF平分 5．（多选）设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（    ）． A． B． C．以MN为直径的圆与l相切 D．为等腰三角形 6．已知直线与抛物线相交于A，B两点，F为C的焦点．若，则k＝________，________． 7．（多选）已知抛物线C：的准线为，直线与C相交于A、B两点，M为AB的中点，则（    ） A．当时，以AB为直径的圆与相交 B．当时，以AB为直径的圆经过原点O C．当时，点M到的距离的最小值为2 D．当时，点M到的距离无最小值 8．（多选）已知直线：过抛物线：（）的焦点，且与抛物线交于A，两点，过A，两点分别作抛物线准线的垂线，垂线分别为，，则下列说法错误的是（    ） A．抛物线的方程为 B．线段的长度为 C． D．线段的中点到轴的距离为 9．已知抛物线的焦点是． (1)若过原点作两条直线交曲线于两点，且，求证：直线过定点； (2)若过曲线上一点作两条直线交曲线于两点，且，求的面积的取值范围． 10．已知抛物线的焦点为F. (1)过点F且斜率为的直线交抛物线C于P，Q两点，若，求抛物线C的方程； (2)过点F的直线交抛物线C于A，B两点，直线AO，BO分别与直线相交于M，N两点，试判断与的面积之比是否为定值，并说明理由． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.3.2 抛物线的简单几何性质 教学目标 1.掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质，能够由标准方程读出焦点、对称轴、开口范围，会运用性质完成基础计算。 2.类比椭圆、双曲线的研究思路，学会通过方程研究曲线几何特征，强化定义转化、数形结合的解题方法，提升分析问题能力。 3.对比三种圆锥曲线性质的异同，完善圆锥曲线知识体系，培养直观想象与数学运算的核心素养。 教学重难点 重点 1.抛物线范围、对称性、顶点等基础几何性质。 2.依据开口方向，熟练运用几何性质处理求值问题。 3.利用抛物线定义结合几何性质求解距离、简单最值。 难点 1.区分四种开口方向下抛物线的几何要素，避免焦点、对称轴混淆。 2.结合几何性质处理抛物线上动点的最值问题，找准变量取值范围。 3.辨析抛物线与椭圆、双曲线性质差异，理解抛物线离心率恒等于一的特点。 知识点01 抛物线的简单几何性质 抛物线标准方程的几何性质 范围：，， 抛物线（）在y轴的右侧，开口向右，这条抛物线上的任意一点M的坐标的横坐标满足不等式；当x的值增大时，也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．抛物线是无界曲线． 对称性：关于x轴对称 抛物线（）关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．抛物线只有一条对称轴． 顶点：坐标原点 抛物线（）和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．抛物线的顶点坐标是． 抛物线的通径 通过抛物线的焦点且垂直于对称轴的直线被抛物线所截得的线段叫做抛物线的通径． 因为通过抛物线（）的焦点而垂直于x轴的直线与抛物线两交点的坐标分别为，，所以抛物线的通径长为．这就是抛物线标准方程中的一种几何意义．另一方面，由通径的定义我们还可以看出，刻画了抛物线开口的大小，值越大，开口越宽；值越小，开口越窄． 【即学即练】 1．直线过抛物线的焦点，交抛物线于，两点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解法一：设直线，与抛物线方程联立利用韦达定理运算求解即可；解法二：利用结论，，代入运算求解即可. 【详解】解法一：由题意可知：，且直线的斜率不为0， 设直线，，， 联立方程，消去x可得， 则，可得，， 则，， 可得， 所以的取值范围为； 解法二：设直线的倾斜角为，点在点上方， 则，， 则， 由题意知，，即， 所以的取值范围为. 2．已知抛物线，过点作一条直线交抛物线于，两点，则弦的中点的轨迹方程为________． 【答案】 【分析】方法一：设，，利用中点坐标公式结合点差法运算求解即可；方法二：设直线的方程为，，，利用韦达定理可得，消参即可. 【详解】方法一：设，，弦的中点为，则， 因为，两式相减可得， 即，可得， 显然，则有： 若，则，且， 即，整理可得； 若，检验可知符合； 故所求轨迹方程为． 方法二：由题意可知：直线的斜率不为0， 设直线的方程为，，， 联立方程，消去x可得， 则，则，， 可得， 设的中点为，则， 消去m可得，整理可得， 所以所求轨迹方程为． 3．（多选）已知抛物线的焦点为F，准线为l，过焦点F作直线与抛物线交于，两点，又过A，B两点分别作，，垂足为，连接，，则（     ） A． B． C． D．以为直径的圆与l相切 【答案】BD 【分析】选项A，设过抛物线的焦点的直线为，联立抛物线并应用韦达定理得，进而有；选项B，结合向量数量积的坐标运算来判断；选项C，利用抛物线定义和韦达定理化简，；选项D，中点到准线的距离等于，故以为直径的圆与准线相切. 【详解】选项A，设过抛物线的焦点的直线为， 代入抛物线方程得，因，， 则，， 所以，A错误； 选项B，，， 所以， B正确； 选项C，由抛物线定义，，则，由可知，，，代入得，C错误； 选项D，设中点为，过点作于， 由抛物线定义，即点在以为直径的圆上，故以为直径的圆与l相切，D正确. 知识点02 抛物线标准方程几何性质的对比 图形 标准方程 顶点 范围 ， ， ， ， 对称轴 x轴 y轴 焦点 离心率 准线方程 焦半径 【即学即练】 1．（多选）已知抛物线，点在上，与轴交于，两点，则（   ） A．直线是的切线 B．的半径为6 C．直线与有两个交点 D．截轴所得的弦长为4 【答案】ABC 【详解】设与轴交于点，，则圆心在直线上， 所以，即，不妨设， 对于B，的半径，故B正确； 对于A，圆心到直线的距离，故A正确； 对于C，由A知直线与有两个交点，根据对称性易知直线与有两个交点，故C正确； 对于D，截轴所得的弦长为，故D错误. 2．（多选）已知曲线，则（    ） A．可以是圆 B．可以是抛物线 C．当或时，为双曲线 D．当时，为椭圆 【答案】AC 【分析】根据圆、椭圆、双曲线和抛物线的标准方程逐项分析即可. 【详解】令，解得，此时方程，表示圆心在原点，半径为1的圆，故A正确. 抛物线的标准方程中或的指数会出现一次，而曲线中都是二次，故B错误. 当时，，分母异号，此时曲线可表示为双曲线， 当时，，分母异号，此时曲线可表示为双曲线，故C正确. 当时，，分母同号，但时曲线表示圆，故D错误. 故选：AC. 3．（多选）已知方程C：，则下列结论正确的是（    ） A．若则方程C表示椭圆 B．若，则方程C表示焦点在y轴上的双曲线 C．存在m，使方程C表示直线 D．存在m，使方程C表示抛物线 【答案】BC 【分析】根据直线、椭圆、双曲线和抛物线的方程特征和要求列出关于的不等式，求解后逐一判断各选项即可. 【详解】对于A，若方程C表示椭圆，则由可得， 需使，解得且，故A错误； 对于B，当时，由可得， 则，，故方程表示焦点在y轴上的双曲线，故B正确； 对于CD，由上分析，对于方程， 当时，表示焦点在y轴上的双曲线，当时表示椭圆， 当时，表示一个圆，当时，表示轴，当时，表示y轴， 当时，表示焦点在x轴上的双曲线，故C正确，D错误. 故选：BC. 知识点03 焦半径公式 设抛物线上一点的坐标为，焦点为． 1、抛物线，． 2、抛物线，． 3、抛物线，． 4、抛物线，． 【即学即练】 1．已知点在抛物线上，则点到抛物线焦点的距离为__________. 【答案】 【详解】将点的坐标代入抛物线的方程， 得，解得. 所以抛物线的方程为，即， 其焦点为，准线为. 所以点到抛物线焦点的距离等于点到其准线的距离，为. 2．若抛物线的顶点在原点，开口向上，为焦点，为准线与轴的交点，为抛物线上一点，且，，求此抛物线的标准方程． 【答案】或． 【分析】设所求抛物线的标准方程，,结合抛物线的定义和距离公式求得，进而求出抛物线方程. 【详解】设所求抛物线的标准方程为， 设，由题意知． 因为，所以， 因为，所以， 所以，代入方程得，，解得或． 所以所求抛物线的标准方程为或． 3．已知抛物线：的焦点为，点在上，且位于第一象限，，则点的坐标为______． 【答案】 【详解】∵ 抛物线的标准形式为， ∴ ，解得，故抛物线的准线方程为. ∵ 点在抛物线上，由抛物线的定义可知， 又，代入得，解得. ∵ 点位于第一象限，将代入抛物线方程，得，即，解得， ∴ 点的坐标为. 知识点04 直线与抛物线的位置关系 1、直线与抛物线的位置关系有三种情况： 相交（有两个公共点或一个公共点）；相切（有一个公共点）；相离（没有公共点）． 2、以抛物线与直线的位置关系为例： （1）直线的斜率不存在，设直线方程为， 若，直线与抛物线有两个交点； 若，直线与抛物线有一个交点，且交点既是原点又是切点； 若，直线与抛物线没有交点． （2）直线的斜率存在． 设直线，抛物线， 直线与抛物线的交点的个数等于方程组，的解的个数， 即二次方程（或）解的个数． ①若， 则当时，直线与抛物线相交，有两个公共点； 当时，直线与抛物线相切，有个公共点； 当时，直线与抛物线相离，无公共点． ②若，则直线与抛物线相交，有一个公共点． 【即学即练】 1．已知抛物线的焦点为，直线交于P，Q两点，点的坐标为，则下列结论正确的是（    ） A．若上的点满足，则 B．上有且仅有两个点满足 C．若直线过点，取得最大值，则的面积等于16 D．为坐标原点，若，取得最小值，则点到的距离为8 【答案】C 【分析】根据题意，求得抛物线的焦点坐标和准线方程，利用抛物线的定义和抛物线的几何性质，结合直线与抛物线的位置关系，逐项求解，即可得到答案. 【详解】对于A，由抛物线，可得焦点为，准线方程为， 设点是抛物线的点， 由抛物线的定义，可得点到焦点的距离等于其到准线的距离，即， 因为，可得， 又因为，且，可得， 整理得，解得，所以，所以A错误； 对于B，若，可得 整理得，其中， 所以方程有两个不等的实数根，设两个根分别为， 可得，所以方程仅有一个正根， 即抛物线上仅存在1个点满足，所以B错误； 对于C，直线过焦点，设直线，且， 联立方程组，整理得， 其中，且， 则， 又由直线的斜率，直线的斜率， 可得， ， 则， 令，则，可得，其中， 因为函数在上为单调递增函数， 所以当时，即时，取得最大值，即取得最大值， 此时直线的方程为，代入抛物线，解得，即， 此时，且点到直线的距离为， 所以，所以C正确； 对于D，设直线，且， 联立方程组，整理得，则， 由，可得，其中， 所以，解得或（舍去）， 所以，可得直线过定点，且， 又由弦长公式得 ， 所以，即时，取得最小值，此时直线方程为， 则点到直线的距离为，所以D错误. 2．（多选）已知抛物线，为上一点，过点的直线交于两点，为坐标原点，则（    ）． A．的焦点坐标为 B．直线与相切 C． D．的取值范围为 【答案】BCD 【分析】选项A，将点代入抛物线方程可求出的值，进而得到抛物线标准方程，判断焦点坐标；选项B，联立直线与抛物线方程，利用判别式判断直线与抛物线的位置关系； 选项C、D， 设直线的方程，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理得到、纵坐标的关系，结合抛物线方程可得横坐标的关系，再分别计算、的表达式，结合直线与抛物线有两个交点分析取值范围. 【详解】因为点在C上，所以，， 故C的方程为，其焦点坐标为，A错误； 由、，可得直线斜率， 所以由点斜式可得直线的方程为， 代入，得，， 故直线与C相切，B正确； 设，，直线MN的方程， 代入，得，， 即，且，， ， ，C正确； ，， 所以 ， 因为，所以的取值范围为，D正确． 3．已知直线与曲线与曲线分别切于，两点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解法一：可设切点位于第一象限，根据导数以及直线与圆的相切列式求解可得，结合几何性质求长度；解法二：设直线方程为，联立方程根据判别式可得，求交点坐标即可得长度. 【详解】解法一：由题意知曲线为焦点在轴上的抛物线，是以原点为圆心，为半径的圆． 由曲线的对称性不妨设切点位于第一象限，且满足， 此时由可得函数，则， 可得曲线在点处的切线为，即， 又因为与圆相切，则， 整理可得，解得或， 可得点，故，所以； 解法二：由题意可知直线的斜率不为0，设直线方程为， 联立方程，消去x可得， 则，可得， 联立方程，消去x可得， 则，可得， 联立方程，解得，所以直线方程为， 根据对称性不妨取直线方程为， 由，解得，即， 由，解得，即， 所以． 知识点05 直线与抛物线相交弦长问题 弦长:设为抛物线的弦，，，弦AB的中点为． （1）弦长公式：（为直线的斜率，且）． （2）， （3）直线的方程为． 【即学即练】 1．设坐标原点为，抛物线，斜率为的直线与抛物线交于，线段的中点为，直线的斜率为，满足． (1)证明：直线过定点； (2)已知直线经过在（1）的条件下的定点． ①当与抛物线有且仅有一个交点时，求的方程； ②若直线与抛物线交于的中点为，记的面积为，求的取值范围． 【答案】(1)设直线​的方程为，与抛物线联立得 ，设， 由韦达定理得，，因此线段中点的横坐标为， 代入得纵坐标为， 因为直线的斜率，代入，，. 因此直线​的方程为，当时，故​恒过定点. (2)①或或；② 【详解】（1）略. （2）①因为直线过定点，分两种情况讨论与抛物线仅有一个交点的情形： （1）直线斜率不存在：方程为，代入得唯一交点，符合条件； （2）直线斜率存在：设，联立得. 因为直线与抛物线仅有一个交点，所以，解得或， 当时，对应直线方程为；当时，对应直线方程为. 综上（1）（2）所述，的方程为或或. ②设，由（1）知​​，​，所以. 设​的斜率为，且直线过定点，设，联立得. 因为直线与抛物线有两个交点，所以，解得或，同理可得中点. 又由（1）知直线过定点且与抛物线有两个交点，同理得或. 由得，因为在直线上，所以，同理，因此. ， . 因为为直角三角形，面积， 因为或，或且，所以得或. 当时，， 求导得，因为，所以，， 所以，所以在上单调递增，所以. 当时，， 所以， 又因为，代入得， 因为，且，所以， 所以与的值域完全相同，即. 综上所述，的取值范围为. 2．已知点在抛物线上． (1)求的方程； (2)过的焦点作斜率为的直线，且与交于两点，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件，直接求出的值，即可求解； （2）根据条件，由（1）可得直线l的方程，联立直线与抛物线方程，再利用根与系数间的关系和抛物线的定义，即可求解. 【详解】（1）将点的坐标代入，得，解得， 所以的方程为． （2）由（1）得的焦点为， 所以直线l的方程为，设，． 由，消得， 则，，， 所以． 3．已知抛物线的焦点为，抛物线上一动点到焦点距离的最小值为1．过点的直线交抛物线于两点，点在抛物线上，且的重心在轴上． (1)求抛物线的标准方程； (2)若（为坐标原点），垂足为，求证：存在定点，使得为定值； (3)若，求重心的坐标． 【答案】(1) (2)由（1），得． 方法一：由题意，得直线过定点，直线过定点， 且于点，所以点在以为直径的圆上， 圆心为点，半径为． 所以存在定点，使得为定值． 方法二：由题意，得直线的倾斜角不为0，设直线的方程为． 因为，所以直线的方程为． 解得所以点 设，则，消去，得， 即， 所以点在以点为圆心，为半径的圆上 所以存在定点，使得为定值． (3)． 【详解】（1）因为抛物线，所以抛物线的准线方程为． 设，则由抛物线的定义，得， 所以当时，取得最小值1， 所以，解得， 所以抛物线的标准方程为. （2）略 （3）由题意，得直线的倾斜角不为0， 设直线的方程为， ，，，，重心． 由消去，化简得， 则． 所以． 由题意，得，解得． 因为的重心在轴上，所以， 所以，则． 因为，所以， 故的重心． 题型01 抛物线的几何性质 抛物线几何性质，牢记离心率恒等于一，没有中心，只有一条对称轴。根据标准方程判断开口方向、顶点与范围，看清一次项变量确定对称轴。解题经常结合定义实现距离转化，简化计算。参数 p 代表焦点到准线的距离，p 大于零，p 越大开口越宽大。注意抛物线没有封闭图像，自变量存在取值限制。处理最值问题，要兼顾变量范围，不能直接套用全体实数的结论。做题对比椭圆双曲线，分清三者离心率区别，避免参数相互混淆，审题看清抛物线的开口朝向。 【典例1】已知抛物线：与圆：（）交于，两点，且，则（   ） A． B． C．2 D．1 【答案】A 【分析】利用抛物线与圆的对称性，得出即可求解． 【详解】设，（）， 由，得，所以． 因为在圆上，所以，得， 故选：A． 【变式1】已知抛物线的焦点为准线为为抛物线上一点，过点作直线于点，且的内心，则内切圆的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】法一：不妨设且，由抛物线的光学性质知直线和抛物线相切，利用导数求得，结合两点式列方程求得，进而得到为等边三角形，求出内切圆半径，即可得；法二：设圆与的切点分别是，连接，根据已知得到在轴上，在直线上，设，，且，由得，等面积法求内切圆半径，即可得. 【详解】.设内切圆半径为， 法一：由抛物线的光学性质知直线和抛物线相切， 不妨设且，，则，解得， 所以，则，而，所以， 即为等边三角形，其内切圆半径，故内切圆面积为. 法二：设圆与的切点分别是，连接，    由，又，所以，即，所以在轴上， 连接，所以是的角分线，所以在直线上， 设，，且， 由，所以，解得或， 若时，与题设矛盾，所以，易知， 由，解得，则内切圆面积为. 故选：B 【变式2】双曲线的两条渐近线与拋物线的三个交点为顶点的三角形为等边三角形，则双曲线的离心率为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对称性，即可根据求解. 【详解】由对称性可得，双曲线的一条渐近线的倾斜角为，所以 故，所以，所以双曲线的离心率. 故选：C 题型02 直线与抛物线的位置关系 设直线，抛物线， 直线与抛物线的交点的个数等于方程组，的解的个数， 即二次方程（或）． 【典例1】（多选）已知抛物线：，其焦点到准线的距离为2，且为上的动点，则（   ） A．的方程为： B．已知点，则的最小值为4 C．直线被抛物线截得的弦长最小值为4 D．若抛物线准线与轴交于点，设斜率为，则的最小值是1 【答案】BCD 【分析】利用抛物线的性质得，从而得抛物线方程，判断A，把抛物线上的点到焦点距离转化为该点到准线的距离，转化求解最小值判断B，直线方程与抛物线方程联立方程组，利用韦达定理求得弦长判断C，由判别式不小于0判断D. 【详解】对A，由题意，所以抛物线方程为，A错； 对B，由抛物线方程得其焦点为，准线为直线，如图，过作于点，则，所以，所以当三点共线时，取得最小值为点到准线的距离4，B正确； 对C，由得，， 所以，， 直线被抛物线截得的弦长为： ，当且仅当时，，C正确； 对D，由以上推导知，直线的方程为， 由得，，所以，的最小值是1,D正确. 【变式1】已知为抛物线的焦点，直线与交于两点，直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为，若与的面积之比为，则______． 【答案】3 【分析】设，得到，以及直线的方程为，联立方程组求得和，得到和，结合题意，列出方程，即可求解. 【详解】 如图所示，抛物线的焦点为， 因为直线与抛物线交于两点，可设，其中， 则，所以直线的方程为， 联立方程组，整理得， 设，可得，解得， 将其代入直线方程，可得，即，同理可得：点， 所以，则， ， 因为与的面积之比为， 可得，整理得，因为，解得. 【变式2】（多选）已知抛物线与直线交于，两点，焦点为，若，则（    ） A． B．直线与相切 C．的准线方程为 D． 【答案】AD 【分析】根据给定条件，利用弦长公式求出，再逐项判断即可. 【详解】设，由得， ，，， 由，得或（舍去）， A正确； 由得，方程无实根，则直线与无公共点， 即直线与不相切，B错误； 抛物线的准线方程为，C错误； ，D正确. 题型03 中点弦问题 若AB为抛物线的任意一条弦，，弦的中点为，则 （1）弦长公式： （2） 【典例1】过抛物线的焦点作直线与相交于两点，点在轴上，，为线段的中点，为坐标原点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】联立直线与抛物线，由韦达定理求出中点的坐标，结合求出点的坐标，通过的单调性即可求得的取值范围． 【详解】由抛物线可知, 设直线，，，，中点， 联立得，故，， 进而， ， 因此，， 又由得，即， 即，代入化简得， 解得，因此， 故， 令，则， 代入得，该函数在上单调递增， 故当，即时，取最小值，对应， 当时，，对应， 因此的取值范围是． 【变式1】已知在抛物线：上存在两个不同的点，关于直线：对称，则的最大值是_________． 【答案】/ 【分析】根据题意及直线垂直关系设出直线方程，与抛物线方程联立，结合韦达定理及对称关系求出的范围；根据弦长公式及二次函数性质求解即可. 【详解】由题意知，，则. 设直线：，，，中点. 联立，整理得. ， 因为，所以①. 所以，，所以. 因为中点在上， 则，即，所以. 又在上，则， 所以，整理得②. 将②代入①中，得，整理得，解得. . 因为在内，所以当时，取得最大值， 此时. 【变式2】设抛物线的焦点为，过且斜率为1的直线与抛物线相交于两点，若线段的中点为，为坐标原点，且，则______. 【答案】2 【分析】设，利用点差法求得，再由，可求得 【详解】由题意可知，则直线为， 设，由题意得， 相减得：， 因为E为线段的中点，所以，即， 因为E在直线上，所以， 又因为，所以. 题型04 焦半径问题 抛物线上的点与焦点的距离称为焦半径，若，则焦半径，． 【典例1】设为坐标原点，抛物线的焦点为，点在抛物线上，若，则点的横坐标为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由抛物线的焦半径公式即可求解. 【详解】由抛物线，可得，准线方程， 则，所以． 根据抛物线的定义可得，则， 解得． 即点的横坐标为. 【变式1】已知抛物线的焦点为，抛物线上一点满足（为坐标原点），则（    ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】不妨设点为第一象限内一点，将直线的方程与抛物线方程联立，求出点的坐标，然后利用抛物线的定义可求得. 【详解】不妨设点为第一象限内一点，因为，所以直线的斜率为， 又抛物线的方程为，所以，所以直线的方程为， 联立，解得或（舍去），即点， 所以，. 【变式2】（多选）已知的顶点均在抛物线 上，且的重心为抛物线的焦点.若，则（ ） A． B．的周长小于72 C．的三个顶点到轴的距离之和为72 D．上一动点到直线的距离的最小值为 【答案】ABD 【分析】先根据抛物线的定义、重心坐标公式结合题设列方程求解判断AC；根据基本不等式可求解判断B；设与直线平行且与抛物线相切的直线方程为，联立直线与抛物线方程，结合求出，再根据平行线间的距离求解判断D. 【详解】对于抛物线：，其焦点，准线方程为， 设，，. 由抛物线的定义知，，. 已知，则， 即. 因为的重心为，根据三角形重心坐标公式，可得. 则，即.因为，解得， 所以抛物线方程为. 选项A：由上述计算可知，A选项正确. 选项B：根据基本不等式与， ，B选项正确. 选项C：的三个顶点到轴的距离之和为，C选项错误. 选项D：设与直线平行且与抛物线相切的直线方程为， 联立，消去得， 由，解得， 因此，两平行线间的距离，D选项正确. 题型05 弦长问题 若AB为抛物线的任意一条弦，，弦的中点为，则 弦长公式： 【典例1】已知抛物线：（）的焦点为，直线与轴的交点为，与的交点为，且． (1)求抛物线的方程； (2)过的直线与相交于，两点，若的垂直平分线与相交于，两点，且，，，四点在同一个圆上，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设代入抛物线方程，再根据可求值，进而可得抛物线方程. （2）设的方程为（）与抛物线联立，利用韦达定理，弦长公式可得弦长,直线与抛物线联立，利用韦达定理，弦长公式可得弦长,由于垂直平分，故，，，四点在同一圆上等价于(为线段中点)，进而可求直线方程. 【详解】（1）设，代入，得，，． 由题设得，解得（舍去）或，的方程为； （2） 由题设知与坐标轴不垂直，故可设的方程为， 代入得，， 设，，则，． 故线段的中点为， ． 又的斜率为，所以的方程为． 代入，得，， 设，，则，． 故的中点为， ． 由于垂直平分，故，，，四点在同一圆上等价于， ， 即， 化简得，解得或．所求直线的方程为或． 【变式1】（多选）已知抛物线：，焦点为，过的动直线交抛物线于、两点，则下列结论正确的有（     ） A．抛物线的准线方程是 B．的最小值是8 C．若直线倾斜角为60°，则面积为（是坐标原点） D．抛物线在、两点处的切线的交点在定直线上 【答案】ABD 【分析】由抛物线方程确定准线方程判断A，根据抛物线的定义及焦点弦、通径的性质判断B，由题设，联立抛物线并应用韦达定理、三角形面积公式求三角形面积判断C，设，过抛物线上一点的切线方程写出两条切线方程并联立求出交点横坐标判断D. 【详解】 A：由，得，焦点为，准线方程为，故A正确； B：由抛物线定义，而为抛物线的焦点弦， 根据抛物线的性质，焦点弦中通径的长度最短，即， 当且仅当直线垂直于轴时为通径长，则最小值为8，故B正确； C：直线倾斜角为，其方程为，代入，得， 设，则， ， 则的面积为，故C错误； D：若，则点处的切线方程为，点处的切线方程为， 其中且均不为0，，，联立两切线方程， 消去得，则交点的横坐标①， 因为直线过焦点，则，联立，则， 所以，代入①得，故两切线的交点恒在定直线（即抛物线准线）上，故D正确. 【变式2】在直角坐标系中，已知抛物线：，焦点为，过点且垂直于轴的直线与抛物线交于两点，的面积为. (1)求的值； (2)过点的直线与抛物线交于两点，直线与线段交于点. （i）证明：直线轴； （ii）求面积的最大值. 【答案】(1) (2)（i）证明：由（1）知，抛物线， 由题意可知直线的斜率存在，且不等于0， 设直线的方程为： ， 由，得， ，解得，且， 所以，则， 而直线的方程为：， 令，得，即， 所以直线轴. （ii） 【分析】（1）由题意可得，由，求解即可； （2）（i）直线的方程为： ，与抛物线方程联立，结合韦达定理可得，从而得，求出直线与的交点纵坐标为，通过化简可得，即可得证； （ii）不妨设，则，由三角形的面积公式可得，利用换元法及导数求解即可. 【详解】（1）由题意可知，直线的方程为， 不妨设， 所以， 所以，解得； （2）（i）略 （ii）由题意可得， 不妨设，则，即， 令，则， 所以， 令，则， 令，得， 所以当时，单调递增； 当时，单调递减； 所以， 即面积的最大值为. 题型06 定点定值问题 抛物线定点定值问题，一般设出直线方程，联立抛物线方程，借助韦达定理整体处理坐标关系。注意直线斜率不存在的情况，需要单独讨论。定值问题把目标表达式化简，消去参数得到常数结果。定点问题整理式子，令参数的系数等于零，解出定点坐标。小题可以用特殊位置猜想结果，大题必须完整推导。抛物线运算整体比椭圆双曲线简便，但要留心判别式，保证交点存在。注意抛物线的开口方向，运算仔细，防止符号出错 【典例1】已知抛物线经过点，过点的直线l与抛物线C有两个不同的交点，且直线交y轴于M，直线交y轴于N．设O为原点， .求证：为定值． 【答案】极点极线背景：与符合与Q调和共轭， 所以Q为极点时，P在其对应极线上，此时极线方程为，即直线交于R， 所以，以P为射影中心，， 所以，即 【分析】应用极点极线背景，得出极线方程，再得出比例关系，最后计算求解. 【详解】略 【变式1】（多选）已知抛物线C：，过焦点的直线交于点，，则（   ） A．的坐标为 B． C．的最小值为3 D． 【答案】BD 【分析】A根据抛物线的性质求焦点坐标可判断，B设直线，联立方程组结合根与系数的关系求可判断，C结合抛物线焦点弦公式求弦长的表达式，再求其最小值可判断，D根据抛物线定义利用表示，进一步计算可判断. 【详解】A，抛物线，设抛物线的焦点到准线的距离为，则， 故的坐标为，故A错误； B，设直线，联立，得， 方程的判别式，，， ，， 故，故B正确； C，因为， 所以时，弦的长度最小，最短弦的长度为4，故C错误； D，由，得，故D正确. 【变式2】已知抛物线： （ ），为坐标原点，直线 ： ， 经过该抛物线的焦点，且与抛物线交于， 两点，为线段 中点．动直线 ： 在轴上方．    (1)求抛物线的方程； (2)当线段在直线上方时，直线等分三角形的面积，求 的值． (3)点在直线上的射影为点 ，是否存在 使得以点为圆心且过点 的圆过定点，若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）利用抛物线标准方程的焦点坐标公式，结合直线恒过的定点与焦点重合，直接求解参p，得到抛物线方程； （2）联立直线与抛物线方程，通过韦达定理得到交点坐标的整体关系，结合三角形面积公式及共线线段的纵坐标比例，将面积条件转化为t与交点纵坐标的等式，进而求出t； （3）用斜率参数k表示圆心、半径相关点的坐标，写出圆的标准方程，将方程整理为关于参数k的多项式形式，构造方程组得出定点坐标及t的值． 【详解】（1）直线l： 经过点，由题意知，抛物线焦点即为， 所以 ， 故抛物线方程为： ． （2）已知直线与抛物线交于 两点，设，，联立直线与抛物线方程得： ， ，， 记直线分别与 ， 交于点E，F， 由三角形面积公式 ， 则，， 所以．    （3）存在，， D为线段 中点，则 ， ， 故，点， 以点为圆心且过点 的圆为， 即 ， 令， 所以存在，，使得以点为圆心且过点 的圆过点．    题型07 最值问题 抛物线最值问题，优先利用抛物线定义转化距离，结合几何图像求解。代数方法将条件联立，转化为函数，结合抛物线自变量取值范围求最值。处理弦长、面积最值，常联立直线与抛物线，依靠韦达定理建立目标函数。注意讨论直线斜率不存在的特殊情形。几何法多用于小题，大题要规范书写推导过程。求解函数最值不能忽略变量范围，判断最值能否取到。注意 p 大于零，看清开口方向，运算注意符号，做完结合草图验证，避免出现取不到最值的错误。 【典例1】在平面直角坐标系中，已知两点，点在直线上，若为抛物线上一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】方法一：设点，利用点到直线的距离求出进而求最小值即可；方法二：：设直线与直线平行，且与抛物线相切，求出直线方程，利用平行线的距离公式求解即可. 【详解】方法一：因为直线的斜率，所以直线的方程为，即， 易知抛物线与直线没有交点， 设点，则点到直线的距离， 所以当时，取得最小值，. 方法二：设直线与直线平行，，且与抛物线相切， 联立得，令解得， 则与的切点为，则.    故选：C 【变式1】已知抛物线，其准线方程为，直线过点且与抛物线交于两点，为坐标原点. (1)求抛物线的方程； (2)当时，求证：的值与直线的倾斜角的大小无关； (3)若为抛物线上的动点，记的最小值为，求函数的解析式. 【答案】(1)； (2) 设直线：，点， 由消去得，则， 因此，为常数， 所以的值与直线的倾斜角的大小无关.    (3). 【分析】（1）根据准线方程求出，即可求出抛物线的方程. （2）设直线方程为，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理及数量积的坐标表示计算得证. （3）设，用表示，再借助二次函数的性质求出. 【详解】（1）由抛物线的准线方程为，得，解得， 所以抛物线的方程为. （2）略 （3）设，则，，， 令，函数图象的对称轴为直线， 当，即时，，则； 当，即时，，则， 所以. 【变式2】已知点F为抛物线的焦点，点（）在C上，且. (1)求C的方程； (2)过C上的动点P作C的切线，与直线交于点Q，过Q作PF的垂线，垂足为H. （ⅰ）当时，求点P的坐标； （ⅱ）求的最大值. 【答案】(1) (2)（i）或；（ii） 【分析】（1）根据题意，点在上，由抛物线的定义，可得，进而得到抛物线的标准方程； （2）（ⅰ）设点，求得切线方程为，得到，再求得和的方程，联立方程组，求得，得到，结合，得到，由抛物线的定义，求得，即可求解； （ⅱ）由（i）知，得到点在以点为圆心，半径为的圆上，结合圆的性质，即可求解. 【详解】（1）解：由抛物线，可得其焦点为，准线方程为， 因为点在上，且，可得，解得， 所以抛物线的方程为. （2）解：（ⅰ）由抛物线，可得， 设点，可得，所以切线方程为， 整理得， 令，代入切线方程，可得，即， 又由，可得，所以的方程为， 则，则的方程为， 联立方程组，解得， 则， 因为，可得， 由抛物线的定义，可得，所以，解得，解得， 所以点或. （ⅱ）因为点（）在抛物线上，可得，即， 由（i）知，点在以点为圆心，半径为的圆上， 又由， 则，当且仅当三点共线时，等号成立， 所以的最大值为.    1．已知O为坐标原点，F是抛物线C：的焦点，A，B是C上位于x轴异侧的两点，且，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用焦半径公式算出A，B的坐标，求出直线AB的方程，进而证明A，B，F三点共线，最后利用计算即可． 【详解】由题意可知，，不妨设点，，且点A在第一象限，如图， 则，， 则，，故， 所以直线的方程为， 令得，即A，B，F三点共线， 所以． 故选：C． 2．（多选）已知抛物线的焦点为F，A，B是抛物线上两动点，下列说法正确的有（    ） A．抛物线的焦点坐标为 B．若，则线段AB的中点到轴的距离为3 C．以线段为直径的圆与轴相切 D．以为圆心，线段的长为半径的圆与准线相切 【答案】BCD 【分析】由抛物线的标准方程可判断A，由抛物线的焦点弦公式可判断B，由抛物线的定义计算圆心到直线的距离等于半径可判断C和D. 【详解】对于A，抛物线的准线方程为，焦点为，故A错误． 对于B，设点，由抛物线的定义可得， 可得，所以线段的中点到轴的距离为，故B正确． 对于C，因的中点为  该点到轴的距离为， 故以线段为直径的圆与轴相切，故C正确． 对于D，因，故以为圆心，线段的长为半径的圆与准线相切，即D正确． 故选：BCD. 3．设F为抛物线的焦点，A，B，C为抛物线上的三个点，若，则（    ） A．6 B．4 C．3 D． 【答案】C 【分析】设A，B，C三点的坐标，得向量，，的坐标，由已知条件可得横坐标之和，再利用抛物线的定义，即可求解. 【详解】由题意得焦点，设点，，， 则， 所以，所以. 故选：C. 4．已知是抛物线的焦点，直线与抛物线交于，两点，与准线相交于点，且点A为的中点，求__． 【答案】2 【分析】设，，根据条件结合抛物线定义可得，由即可求解． 【详解】由题意可得的焦点，准线方程为，    直线与抛物线交于，两点，与准线相交于点，且点A为的中点， 设，， 可得，即有，整理得， 根据抛物线的定义，知，， 所以， 故答案为：2． 5．抛物线的焦点到准线的距离为. (1)求抛物线的标准方程； (2)过焦点的直线（斜率存在且不为0）交抛物线于两点，线段的中垂线交抛物线的对称轴于点，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据抛物线的定义即可得解； （2）不妨取抛物线的方程为，设直线的方程为，、，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，利用弦长公式表示出，再求出中垂线方程，即可求出点坐标，即可求出，从而得解. 【详解】（1）因为抛物线的焦点到准线的距离为，所以， 根据建系方案的不同，抛物线的标准方程有四种可能， 分别是，，，. （2）在平面直角坐标系中，抛物线的位置并不影响的取值，因此不妨取抛物线的方程为，此时焦点， 根据题意，直线的斜率存在且不为，因此设直线的方程为， 与抛物线联立，得关于的一元二次方程， 则，设、， 则，，， ， 则， 线段的中点坐标为，中垂线方程为， 令，解得，即中垂线与轴交于， 所以，则.    6．已知AB是经过抛物线的焦点的弦，若点A、B的横坐标分别为1和，则该抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，设出直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理求解作答. 【详解】抛物线的焦点，准线方程为，显然直线斜率存在且不为0， 设直线的方程为，由消去y整理得，， 因为点A、B的横坐标分别为1和，显然,于是，解得， 所以该抛物线的准线方程为. 故选：D    7．已知过抛物线的焦点，且倾斜角为的直线交抛物线于A，B两点，则（    ） A．32 B． C． D．8 【答案】A 【分析】由题意可得直线的方程为，联立直线与抛物线的方程得，由韦达定理可得，再根据抛线的定义即可得答案. 【详解】解：因为抛物线， 所以，， 所以直线的方程为， 由，得， 显然， 设 则有， 所以， 由抛物线定义可知. 故选：A. 8．（多选）已知抛物线的焦点到准线的距离为4，过的直线与抛物线交于两点，为线段的中点，则下列结论正确的是（    ） A．抛物线的准线方程为 B．当，则直线的倾斜角为 C．若，则点到轴的距离为8 D． 【答案】AD 【分析】根据抛物线的图象与几何性质，抛物线焦点弦性质逐个解决即可.其中对于D, . 【详解】对于A，易知，从而准线方程为，故A正确； 对于B，如图分别过 两点作准线的垂线，垂足分别为，过点作的垂线，垂足为点. 由于，不妨设，则， 由抛物线的定义易知：，， 在直角中，， 此时的倾斜角为， 根据抛物线的对称性可知，的倾斜角为或，故B错误； 对于C， 点， 由抛物线的定义知，， 所以有， 所以到轴距离，故C错误； 对于D，由抛物线定义知， 所以， 当且仅当，即时取得等号，故D正确； 故选:AD. 9．已知抛物线的焦点为，以和的准线上的两点为顶点可以构成边长为的等边三角形． (1)求的方程； (2)讨论过点的直线与的交点个数． 【答案】(1) (2) 当的方程为或的斜率或时，与的交点个数为0；当的斜率或或时，与的交点个数为1；当的斜率时，与的交点个数为2． 【分析】（1）根据抛物线和等边三角形的对称性进行求解即可； （2）根据直线是否存在斜率，结合一元二次方程根的判别式分类讨论进行求解即可. 【详解】（1）由题意得焦点，准线方程为， 以焦点和的准线上的两点为顶点可以构成边长为的等边三角形， 而这个等边三角形的高为， 即焦点到准线的距离，解得（负值舍去）， 所以的方程为． （2）若直线的斜率存在，设的方程为． 由方程组可得． （Ⅰ）当时，解得，此时方程只有一个实数解，与只有一个公共点； （Ⅱ）当时，方程的根的判别式为， （ⅰ）由，解得或，此时方程有两个相等的实数解，与只有一个公共点； （ⅱ）由，解得或，此时方程有两个不等的实数解，与有两个公共点； （ⅲ）由，解得，或，此时方程没有实数解，与没有公共点； 若直线的斜率不存在，则直线的方程为，易知与没有公共点． 综上，当的方程为或的斜率或时，与的交点个数为0；当的斜率或或时，与的交点个数为1；当的斜率时，与的交点个数为2． 10．已知为抛物线的焦点，为坐标原点，为的准线上的一点，直线的斜率为，的面积为4. (1)求的方程； (2)过抛物线的焦点作倾斜角为的直线交抛物线于A、B两点，求弦长|AB|. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出焦点坐标，设点的坐标，从而根据直线的斜率和三角形面积得到方程组，求出答案； （2）求出直线的方程，联立抛物线方程，得到两根之和，根据弦长公式求出答案. 【详解】（1）由题意知，设点的坐标为， 则直线的斜率为． 因为直线的斜率为，所以，即， 所以的面积，    解得或（舍去），故抛物线的方程为． （2）设点，，其中．    则直线的方程为，由，消去整理得 ，显然， ， 故弦长. 1．（多选）设抛物线的焦点为为上一动点，为定点，则下列结论正确的是（    ） A．准线方程是 B．的最小值为4 C．的最大值为5 D．以线段为直径的圆与轴相切 【答案】ABD 【分析】根据抛物线方程写出准线判断A，根据抛物线定义及三角形三边长关系判断B、C，写出的中点坐标，根据其横坐标与关系即可判断D. 【详解】A（√）由抛物线，知其焦点为，准线方程为． B（√）如图所示，过作准线于点，则， 故， 当且仅当，，共线时（即图中），最小， 最小值为到准线的距离4.    C（×）由，当且仅当共线时取等号，故的最大值为． D（√）由，知的中点坐标为，而，故，所以以线段为直径的圆与轴相切． 故选：ABD 2．如图，抛物线C：的焦点为F，C的准线与x轴交于点A，过点F且斜率为的直线与C交于M（M在x轴上方），N两点，则（    ）    A．3 B．4 C． D．6 【答案】D 【分析】设直线MN的方程为，与抛物线联立可求出的坐标，由两点间的距离公式可求出，即可得出答案. 【详解】∵，，∴直线MN的方程为， 联立方程，解得，. ∵点M在x轴上方，可得，， ∴. 故选：D. 3．（多选）已知抛物线为坐标原点，一束平行于轴的光线从点射入，经过上的点反射后，再经上的另一点反射后，沿直线射出，经过点，延长交的准线于点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据抛物线的光学性质可知，直线经过抛物线的焦点，直线平行于轴，由此可求出点的坐标，判断各选项的真假． 【详解】如图所示：    因为过点且轴，故， 故直线，化简得， 由消去并化简得， 所以，，故A错误； 又, 故，B， 故，故B错误； 因为，故为等腰三角形，所以， 而，故，即，故C正确； 直线，由 得，， 故，所以 三点共线，故D正确． 故选：CD． 4．（多选）已知抛物线，点，，过点的直线与抛物线交于，两点，AP，AQ分别交抛物线于，N两点，为坐标原点，则（    ） A．焦点坐标为 B．向量与的数量积为5 C．直线MN的斜率为 D．若直线PQ过焦点，则OF平分 【答案】BCD 【分析】由抛物线方程即可判定A项；设直线AP方程与抛物线联立利用韦达定理计算数量积即可判定B项；设直线PQ方程及P、Q坐标，用来表示直线AP、AQ，并与抛物线联立求得M、N坐标，即可判定C项；设直线PQ方程及P、Q坐标，与抛物线联立结合韦达定理求得AP、AQ斜率关系即可判定D项. 【详解】    对于A项，由抛物线标准方程可得焦点，即A错误； 对于B项，可设直线AP方程为：，设， 与抛物线联立可得 ∴，故B正确； 对于C项，可设直线QP方程为：， 设， ∴， 直线QP方程与抛物线方程联立， 化简可得， 又由上可知，同理有， ∴，，故C正确； 对于D项，由上设直线QP方程为：，， 联立抛物线有， 若PQ过焦点F，则有，即结合上，及可知， 此时，即直线AP、QA关于横轴对称，OF平分，故D正确. 故选：BCD 5．（多选）设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（    ）． A． B． C．以MN为直径的圆与l相切 D．为等腰三角形 【答案】AC 【分析】先求得焦点坐标，从而求得，根据弦长公式求得，根据圆与等腰三角形的知识确定正确答案. 【详解】A选项：直线过点，所以抛物线的焦点， 所以，则A选项正确，且抛物线的方程为. B选项：设， 由消去并化简得， 解得，所以，B选项错误. C选项：设的中点为，到直线的距离分别为， 因为， 即到直线的距离等于的一半，所以以为直径的圆与直线相切，C选项正确. D选项：直线，即， 到直线的距离为， 所以三角形的面积为， 由上述分析可知， 所以， 所以三角形不是等腰三角形，D选项错误. 故选：AC.    6．已知直线与抛物线相交于A，B两点，F为C的焦点．若，则k＝________，________． 【答案】 【分析】由联立直线与抛物线方程，根据韦达定理结合抛物线的定义计算得A、B坐标，并由余弦定理计算即可得出结果. 【详解】 设，易知， 由直线与抛物线方程联立得， ∴，   ① 由抛物线的标准方程及定义可知：，， ∴．    ② 由①②得， 则，，， 由余弦定理得，. 故答案为：， 7．（多选）已知抛物线C：的准线为，直线与C相交于A、B两点，M为AB的中点，则（    ） A．当时，以AB为直径的圆与相交 B．当时，以AB为直径的圆经过原点O C．当时，点M到的距离的最小值为2 D．当时，点M到的距离无最小值 【答案】BC 【分析】将直线代入，结合韦达定理求得坐标、点到准线的距离及．当时，由可判断A；当时，由可判断B；当时，得的关系式，代入表达式，利用基本不等式可判断C；当时，得的关系式，代入表达式，利用对勾函数的性质可判断D． 【详解】抛物线，准线方程是， 直线代入，可得，， 设，则， ， ， 设，则， 点到准线的距离， ， 当时，，点到准线的距离，则以AB为直径的圆与相切，故A错误； 当时，，则，则以AB为直径的圆经过原点O，故B正确； 当时，即，得， 则，当且仅当时等号成立，故C正确； 当时，即，得， 所以，令， 则，由对勾函数的性质得，当时，单调递增， 故当时，取最小值，故D错误． 故选：BC． 8．（多选）已知直线：过抛物线：（）的焦点，且与抛物线交于A，两点，过A，两点分别作抛物线准线的垂线，垂线分别为，，则下列说法错误的是（    ） A．抛物线的方程为 B．线段的长度为 C． D．线段的中点到轴的距离为 【答案】BD 【分析】求出抛物线的焦点坐标，可得，即可判断A;联立方程求出A,B坐标，可得，判断B；确定M,N坐标，可计算，判断C;求出线段的中点坐标，即可判断D. 【详解】由题意不妨设点A在点上方，直线：与x轴交点， 又经过的焦点，故，可得， 即抛物线方程为：，A正确． 由，可得，解得或， 可得，，所以，B错误． 由以上分析可知，，，， 可得， 则，即，C正确． 因为，，故线段的中点为， 则线段的中点到轴的距离为，D错误， 故选：BD． 9．已知抛物线的焦点是． (1)若过原点作两条直线交曲线于两点，且，求证：直线过定点； (2)若过曲线上一点作两条直线交曲线于两点，且，求的面积的取值范围． 【答案】(1) 因为是两直线与抛物线的交点，所以的斜率均存在，且不为零， 故可设直线，则直线． 由，所以． 同理得． 则， 则直线的方程为， 所以直线过定点． (2) 【分析】（1）由题意的斜率均存在，且不为零，不妨设直线，则直线，联立抛物线方程可表示出坐标，进一步表示出直线方程即可得解； （2）将已知点坐标代入抛物线方程求得参数即得抛物线方程，，设，由题意可知直线的斜率存在，则可设直线的方程为，联立抛物线方程，结合、韦达定理可得关系，进一步结合判别式大于0可得的范围，将的面积表示成的函数，结合的范围即可求解. 【详解】（1）略 （2） 因为点在曲线上， 所以将点的坐标代入曲线的方程可得，解得，即，则． 设， 由题意可知直线的斜率存在，则可设直线的方程为． 则由得，则． 所以 ， 得或，满足． 而点到的距离， 则． 所以． 所以的面积的取值范围为． 10．已知抛物线的焦点为F. (1)过点F且斜率为的直线交抛物线C于P，Q两点，若，求抛物线C的方程； (2)过点F的直线交抛物线C于A，B两点，直线AO，BO分别与直线相交于M，N两点，试判断与的面积之比是否为定值，并说明理由． 【答案】(1) (2)是定值，理由为： 当直线垂直于x轴时，与相似， 所以. 当直线与x轴不垂直时，设直线AB方程为 设 由得， 所以，且，则， 所以， 综上，＝. 【分析】（1）将过点F且斜率为的直线与抛物线方程联立，由韦达定理以及抛物线的性质得出抛物线E的方程； （2）直线垂直于x轴时直接求出面积比，直线与x轴不垂直时，设直线AB方程，直线方程代入抛物线方程后由韦达定理得，然后计算面积比可得． 【详解】（1）设过点F且斜率为的直线方程为，代入 得，若， 则， 所以，则， 即抛物线C的方程为. （2）略 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $