3.3.2 抛物线的简单几何性质 讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦抛物线的简单几何性质与直线和抛物线的位置关系，通过表格系统梳理四种标准方程的范围、对称轴、焦点坐标等性质，为后续直线与抛物线位置判断、弦长计算及焦点弦性质探究搭建学习支架。 资料以表格对比助学生用数学眼光观察方程与图形联系，题型从基础应用到轨迹、定点定值问题分层设计，培养逻辑推理与运算能力，例题如等腰直角三角形内接抛物线问题，用数学语言表达几何关系，课中辅助教学，课后助力学生查漏补缺。

3.3.2 抛物线的简单几何性质 知识点一、抛物线的简单几何性质 标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 图形 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 对称轴 x轴 x轴 y轴 y轴 焦点坐标 F F F F 准线方程 x＝ x＝ y＝ y＝ 顶点坐标 O(0,0) 离心率 e＝1 知识点二、直线与抛物线的位置关系 1.直线与抛物线的三种位置关系 （1）直线的斜率存在时 直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程组解的个数，即二次方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0解的个数. ①当k≠0时， 若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点； 若Δ＝0，直线与抛物线有一个公共点； 若Δ<0，直线与抛物线没有公共点. ②当k＝0时，直线与抛物线的轴平行或重合，此时直线与抛物线有1个公共点. （2）直线的斜率不存在时，设直线l:x=m. 当m<0时，直线与抛物线相离，无交点； 当m=0时，直线与抛物线相切，有一个交点； 当m>0时，直线与抛物线相交，有两个交点； 2.弦长公式 设直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点. . . 3.通径 （1）定义：通过抛物线的焦点作垂直于对称轴的直线，交抛物线于A,B两点，线段AB称为抛物线的通径，如图所示. 对于抛物线，由，可得，即抛物线的通径长为2p. （2）通径是所有焦点弦中最短的弦. （3）通径具有反映抛物线开口大小的作用，抛物线的通径AB的长度为2p，这是常数2p的又一几何意义，所以越大，通径越长，即抛物线的开口越大；反之，越小，通径越短，即抛物线的开口越小. 4.焦点弦 (1)焦点弦的定义：过抛物线焦点的直线被抛物线所截得的线段称为抛物线的焦点弦. (2)焦点弦长公式：如图，设抛物线的焦点为，焦点弦的两端点分别是点，则 . 这是抛物线的焦点弦长公式. (3)焦点弦的几何性质：如图， 已知是抛物线的焦点弦，点是抛物线的焦点，设，直线的倾斜角为，过分别作准线的垂线，垂足分别为，为的中点，于点，为准线与轴的交点，则有以下结论： ①三点共线，且三点共线； ②； ③以为直径的圆与准线相切，以为直径的圆与相切，以或为直径的圆与轴相切； ④； ⑤； ⑥； ⑦； ⑧； ⑨； ⑩. 题型一：抛物线几何性质的应用 例1.等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2＝2px(p>0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△AOB的面积是(　　) A.8p2 B.4p2 C.2p2 D.p2 解：因为抛物线的对称轴为x轴，内接△AOB为等腰直角三角形，所以由抛物线的对称性知，直线AB与抛物线的对称轴垂直，从而直线OA与x轴的夹角为45°. 由方程组，解得或. 不妨设A，B两点的坐标分别为(2p，2p)和(2p，－2p). 所以|AB|＝4p，所以S△AOB＝×4p×2p＝4p2.故选：B. 例2.已知长为的线段的端点在抛物线上移动，求的中点到轴的距离的最小值，并求出此时点的坐标. 解：如图，点是抛物线的焦点，过点分别作准线的垂线， 垂足分别为点，连接，则. 由抛物线的定义可知，所以. 设点的坐标为，则.又，所以， 当且仅当弦过抛物线的焦点时，等号成立，此时点到轴的距离的最小值为. 设，则.当时，. 所以. 所以，即.所以点的坐标为或. 跟踪训练： 1.边长为1的等边三角形AOB，O为坐标原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程是(　　) A.y2＝x B.y2＝x C.y2＝x D.y2＝x 解：设抛物线方程为y2＝ax(a≠0).又A(取点A在x轴上方)，则有， 解得a＝，所以抛物线方程为y2＝x.故选C. 2.已知双曲线(a>0，b>0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p>0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点，若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则抛物线的焦点坐标为(　　) A.(2,0) B.(1,0) C.(8,0) D.(4,0) 解：因为＝2，所以＝＝4，于是b2＝3a2，则＝， 故双曲线的两条渐近线方程为y＝±x.而抛物线y2＝2px(p>0)的准线方程为x＝， 不妨设A，B，则|AB|＝p，又三角形的高为， 则S△AOB＝··p＝，即p2＝4.因为p>0，所以p＝2，故抛物线焦点坐标为(1,0). 故选：B. 3.已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，|AB|＝2，求抛物线方程. 解：由已知可得，抛物线的焦点可能在x轴正半轴上，也可能在负半轴上. 故可设抛物线方程为y2＝ax(a≠0).设抛物线与圆x2＋y2＝4的交点A(x1，y1)，B(x2，y2). ∵抛物线y2＝ax(a≠0)与圆x2＋y2＝4都关于x轴对称，∴点A与B关于x轴对称， ∴|y1|＝|y2|且|y1|＋|y2|＝2，∴|y1|＝|y2|＝，代入圆x2＋y2＝4，得x2＋3＝4，∴x＝±1， ∴A(±1，)或A(±1，－)，代入抛物线方程，得()2＝±a，∴a＝±3. ∴所求抛物线方程是y2＝3x或y2＝－3x. 题型二：直线与抛物线的位置关系 例1.已知抛物线，直线过点且斜率为.当分别取何值时，与相交、相切、相离？ 解：由题意得直线的方程为，将代入整理，得. （1）当时，，把代入中，得，直线与抛物线只有一个公共点，直线与相交. （2）当时，. 由，得， 所以当或时，，直线与无公共点，直线与相离； 当时，，与有且只有一个公共点，直线与相切； 当且时，，直线与有两个公共点，直线与相交. 综上，当或时，直线与相离； 当时，直线与相切； 当时，直线与相交. 例2.设为抛物线的焦点，过且倾斜角为的直线交于两点，为坐标原点，则的面积为（ ） A. B. C. D. 解：方法1：由，知焦点.又， 所以直线的方程为，代入抛物线方程，整理得. 设，则.故. 又原点到直线的距离，所以. 方法2：由题意得直线的方程为， 与抛物线方程联立消去得. 设，则. 因此. 方法3：的面积为. 跟踪训练： 1.已知直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与C：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点. 解：联立,消去y，得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0. 当k＝0时,该方程只有一个解x＝，∴y＝1，∴直线l与C只有一个公共点， 此时直线l平行于x轴. 当k≠0时，该方程是一个一元二次方程，Δ＝(2k－4)2－4k2＝16(1－k). ①当Δ>0，即k<1，且k≠0时，l与C有两个公共点，此时直线l与C相交； ②当Δ＝0，即k＝1时，l与C有一个公共点，此时直线l与C相切； ③当Δ<0，即k>1时，l与C没有公共点，此时直线l与C相离. 综上所述，当k＝1或0时，l与C有一个公共点； 当k<1，且k≠0时，l与C有两个公共点； 当k>1时，l与C没有公共点. 2.已知抛物线方程为y2＝2px(p>0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且|AB|＝p，求AB所在的直线方程. 解：由题意知焦点F，设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 若AB⊥x轴，则|AB|＝2p≠p，不满足题意. 所以直线AB的斜率存在，设为k， 则直线AB的方程为y＝k，k≠0. 由,消去x，整理得ky2－2py－kp2＝0. 由根与系数的关系得y1＋y2＝，y1y2＝－p2. 所以|AB|＝=p， 解得k＝±2.所以AB所在的直线方程为2x－y－p＝0或2x＋y－p＝0. 3.过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，且两点的纵坐标之积为，则抛物线的方程为 . 解：由于抛物线的焦点为，故可设直线的方程为. 由，得. 设，则，所以. 由，可得，所以抛物线的方程为.故答案为：. 题型三：和抛物线有关的轨迹问题 例1.若动圆M与圆C：(x－2)2＋y2＝1外切，又与直线x＋1＝0相切，求动圆圆心的轨迹方程. 解：设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，由已知可得定圆圆心为C(2,0)，半径r＝1. 因为两圆外切，所以|MC|＝R＋1. 又动圆M与已知直线x＋1＝0相切，所以圆心M到直线x＋1＝0的距离d＝R. 所以|MC|＝d＋1.即动点M到定点C(2,0)的距离等于它到定直线x＋2＝0的距离. 由抛物线的定义可知，点M的轨迹是以C为焦点，x＋2＝0为准线的抛物线， 且＝2，p＝4，故其方程为y2＝8x. 跟踪训练： 1.已知动圆M经过点A(3,0)，且与直线l：x＝－3相切，则动圆圆心M的轨迹方程为(　　) A.y2＝12x B.y2＝－12x C.x2＝12y D.x2＝12y 解：设动点M(x，y)，⊙M与直线l：x＝－3的切点为N，则|MA|＝|MN|， 即动点M到定点A和定直线l：x＝－3的距离相等， ∴点M的轨迹是抛物线，且以A(3,0)为焦点， 以直线l：x＝－3为准线，∴＝3，∴p＝6，故动圆圆心M的轨迹方程是y2＝12x. 故选：A. 2.已知定点F(1,0)，动点P在y轴上运动，点M在x轴上，且，延长MP到点N，使得||＝||，则点N的轨迹方程是 . 解：由于||＝||，则P为MN的中点.设N(x，y)，则M(－x，0)，P， 由，得,，所以(－x)·1＋＝0， 则y2＝4x，即点N的轨迹方程是y2＝4x.故答案为：y2＝4x. 3.设点P(x，y)(y≥0)为平面直角坐标系xOy内的一个动点(其中O为坐标原点)，点P到定点M的距离比点P到x轴的距离大. （1）求点P的轨迹方程； （2）若直线l：y＝kx＋1与点P的轨迹相交于A，B两点，且|AB|＝，求实数k的值. 解：（1）过点P作x轴的垂线且垂足为点N，则|PN|＝y，由题意知|PM|－|PN|＝， ∴，化简得x2＝2y.故点P的轨迹方程为x2＝2y. （2）由题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立，消去y化简得x2－2kx－2＝0， ∴x1＋x2＝2k，x1x2＝－2. ∵|AB|＝. ∴k4＋3k2－4＝0，又k2≥0，∴k2＝1，∴k＝±1. 题型四：与抛物线有关的定点、定值问题 例1.已知为抛物线上异于顶点的两个动点，且以为直径的圆过原点. 求证：直线过定点. 证明：方法1设线法：设，直线的方程为. 由，得，则. 由已知得，即， 即，满足.所以直线的方程为，直线过定点. 方法2解点法：显然直线的斜率存在且不等于.设直线的方程为. 因为，所以直线的方程为. 由解得或，即.同理可得. 当时，直线的方程为，即， 所以直线过定点. 当时，直线的方程为，过定点； 当时，直线的方程仍为，过定点. 综上，直线必过定点. 例2.如图，已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点P(2,0)的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，直线AF，BF分别与抛物线交于点M，N. （1）求y1y2的值； （2）连接MN，记直线MN的斜率为k1，直线AB的斜率为k2，证明：为定值. 解：（1）依题意，设AB的方程为x＝my＋2， 代入y2＝4x，得y2－4my－8＝0，从而y1y2＝－8. （2）证明：设M(x3，y3)，N(x4，y4)， 则， 设直线AM的方程为x＝ny＋1，代入y2＝4x，消去x得y2－4ny－4＝0， 所以y1y3＝－4，同理y2y4＝－4，. 由(1)知y1y2＝－8，所以＝2为定值. 跟踪训练： 1.已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），过焦点的直线l与抛物线C交于两点A，B，当直线l 的倾斜角为时，|AB|＝16. （1）求抛物线C的标准方程和准线方程； （2）记O为坐标原点，直线x＝﹣2分别与直线OA，OB交于点M，N，求证：以MN为直径的圆过定点，并求出定点坐标. 解：（1）由已知可得，抛物线的焦点坐标为，直线l的方程为， 联立抛物线与直线的方程，可得， 设A（x1，y1），B（x2，y2），由韦达定理可得x1+x2＝7p， 所以|AB|＝x1+x2+p＝8p＝16，所以p＝2， 所以抛物线的方程为y2＝4x，准线方程为x＝﹣1. （2）证明：设直线l：x＝my+1， 联立直线与抛物线的方程，可得y2﹣4my﹣4＝0， 所以y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，又，， 所以，同理可得，设圆上任意一点为Q（x，y）， 则由，可得圆的方程为， 整理可得， 令y＝0，可得x＝2或x＝﹣6， 所以MN为直径的圆过定点，定点坐标为（2，0）和（﹣6，0）. 2.已知动点P在y轴的右侧，且点P到y轴的距离比它到点F(1,0)的距离小1. （1）求动点P的轨迹C的方程； （2）设斜率为－1且不过点M(1,2)的直线交C于A，B两点，直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，求证：k1＋k2＝0. 解：（1）依题意动点P的轨迹是抛物线(除原点)，其焦点为F(1,0)，准线为x＝－1， 设其方程为y2＝2px（p＞0），则＝1，解得p＝2， 所以动点P的轨迹C的方程是y2＝4x（x＞0）. （2）证明：设直线AB：y＝－x＋b(b≠3)，， 由，得y＝＋b，即y2＋4y－4b＝0， Δ＝16＋16b>0，所以b>－1，y1＋y2＝－4，因为x1＝，x2＝， 所以k1＋k2＝. 因此k1＋k2＝0. 1.已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为(　　) A. B. C.－1 D. 解：因为抛物线C：y2＝2px的准线为x＝，且点A(－2,3)在准线上，所以＝－2， 解得p＝4，所以y2＝8x，所以焦点F的坐标为(2,0)，故直线AF的斜率k＝. 故选：D. 2.(多选)以y轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为(　　) A.y2＝8x B.y2＝－8x C.x2＝8y D. x2＝－8y 解：设抛物线方程为x2＝2py或x2＝－2py(p>0)，依题意得y＝，代入x2＝2py或x2＝－2py得|x|＝p，∴2|x|＝2p＝8，p＝4.∴抛物线方程为x2＝8y或x2＝－8y.故选：CD. 3.过点P(0,1)与抛物线y2＝x有且只有一个交点的直线有(　　) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 解：如图，过P可作抛物线的两条切线，即y轴和l1均与抛物线只有一个公共点，过P可作一条与x轴平行的直线l2与抛物线只有一个公共点. 故过点P与抛物线只有一个公共点的直线共3条.故选：C. 4.动点P(x，y)到点F(3,0)的距离比它到直线x＋2＝0的距离大1，则动点的轨迹是(　　) A.椭圆 B.双曲线 C.双曲线的一支 D.抛物线 解：依题意可知动点P(x，y)在直线x＋2＝0的右侧，设P到直线x＋2＝0的距离为d， 则|PF|＝d＋1，所以动点P到F(3,0)的距离与到x＋3＝0的距离相等，其轨迹为抛物线. 故选：D. 5.设A，B是抛物线x2＝4y上两点，O为原点，若|OA|＝|OB|，且△AOB的面积为16，则∠AOB等于(　　) A.30° B.45° C.60° D.90° 解：由|OA|＝|OB|，知抛物线上点A，B关于y轴对称，设A，B，a>0. S△AOB＝×2a×＝16，解得a＝4，∴△AOB为等腰直角三角形，∠AOB＝90°. 故选：D. 6.抛物线y2＝4x的弦AB⊥x轴，若|AB|＝4，则焦点F到直线AB的距离为 . 解：由抛物线的方程可知F(1,0)，由|AB|＝4且AB⊥x轴得＝(2)2＝12， ∴xA＝＝3，∴所求距离为3－1＝2.故答案为：2. 7.若直线x－y＝2与抛物线y2＝4x交于A，B两点，则线段AB的中点坐标是 . 解：联立，得x2－8x＋4＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝8， y1＋y2＝x1＋x2－4＝4，故线段AB的中点坐标为(4,2).故答案为：(4,2). 8.已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M是FN的中点，则|FN|＝ . 解：如图，过点M作MM′⊥y轴，垂足为M′，|OF|＝2， ∵M为FN的中点，|MM′|＝1，∴M到准线距离d＝|MM′|＋＝3，∴|MF|＝3，∴|FN|＝6.故答案为：6. 1.若抛物线y2＝4x上一点P到x轴的距离为，则点P到抛物线的焦点F的距离为(　　) A.4 B.5 C.6 D.7 解：由题意，知抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1， ∵抛物线y2＝4x上一点P到x轴的距离为，则P(3，±)， ∴点P到抛物线的准线的距离为3＋1＝4，∴点P到抛物线的焦点F的距离为4.故选A. 2.抛物线y2＝4x与直线2x＋y－4＝0交于两点A与B，F是抛物线的焦点，则|FA|＋|FB|等于(　　) A．2 B．4 C．6 D．7 解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|FA|＋|FB|＝x1＋x2＋2. 由，得x2－5x＋4＝0，∴x1＋x2＝5，x1＋x2＋2＝7.故选：D. 3.过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线(　　) A.有且仅有一条 B.有且仅有两条 C.有无穷多条 D.不存在 解：当斜率不存在时，x1＋x2＝2不符合题意.当斜率存在时，由焦点坐标为(1,0)， 可设直线方程为y＝k(x－1)，k≠0，由，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0， ∴x1＋x2＝＝5，∴k2＝，即k＝±.因而这样的直线有且仅有两条.故选：B. 4.设抛物线C：x2＝4y焦点为F，直线y＝kx＋2与C交于A，B两点，且|AF|·|BF|＝25，则k的值为(　　) A.－1 B.－2 C.±1 D.±2 解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线y＝kx＋2代入x2＝4y， 消去x得y2－(4＋4k2)y＋4＝0，所以y1·y2＝4，y1＋y2＝4＋4k2， 抛物线C：x2＝4y的准线方程为y＝－1，因为|AF|＝y1＋1，|BF|＝y2＋1， 所以|AF|·|BF|＝y1·y2＋(y1＋y2)＋1＝4＋4＋4k2＋1＝25⇒k＝±2.故选：D. 5.(多选)已知抛物线C：y＝的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，且|AF|＝2y0，则x0等于(　　) A.2 B.－2 C.－4 D.4 解：∵抛物线C：y＝，∴x2＝8y，∴焦点F(0,2)，准线方程为y＝－2. ∵A(x0，y0)是C上一点，且|AF|＝2y0，由抛物线的定义，得y0＋2＝2y0， ∴y0＝2，∴x02＝16，∴x0＝±4.故选：CD. 6.已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|＝12，P为C的准线上的一点，则△ABP的面积为(　　) A.48 B.36 C.24 D.12 解：不妨设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，依题意，l⊥x轴，且焦点F， ∵当x＝时，|y|＝p，∴|AB|＝2p＝12，∴p＝6，又点P到直线AB的距离为＋＝p＝6， 故S△ABP＝|AB|·p＝×12×6＝36.故选：B. 7.过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上，且MN⊥l，则M到直线NF的距离为(　　) A. B.2 C.2 D.3 解：抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1. 由直线方程的点斜式可得直线MF的方程为y＝(x－1). 联立方程组，解得或. ∵点M在x轴的上方，∴M(3,). ∵MN⊥l，∴N(－1,).∴|NF|＝，|MF|＝|MN|＝3＋1＝4. ∴△MNF是边长为4的等边三角形.∴点M到直线NF的距离为. 8.过抛物线上一点的切线方程为         . 解：方法1：由题意，切线的斜率一定存在，设切线方程为. 由，得，即. 令，得.所以. 故切线方程为，即. 方法2：因为点为抛物线上的一点，所以所求切线方程为，即. 故答案为：. 9.已知点A到点F(1,0)的距离和到直线x＝－1的距离相等，点A的轨迹与过点P(－1,0)且斜率为k的直线没有交点，则k的取值范围是         . 解：设点(x，y)，依题意得点A在以y2＝4x. 过点P(－1,0)且斜率为k的直线方程为y＝k(x＋1)， 由， 得ky2－4y＋4k＝0，当k＝0时，显然不符合题意； 当k≠0时，依题意得Δ＝(－4)2－4k·4k<0，化简得k2－1＞0，解得k＞1或k＜－1， 因此k的取值范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞).故答案为：(－∞，－1)∪(1，＋∞). 10.已知A，B为抛物线y2＝2x上两点，且A与B的纵坐标之和为4，则直线AB的斜率为         . 解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴y1＋y2＝4，∵A，B在抛物线上， ∴，相减得y12－y22＝2(x1－x2)，即.故答案为：. 11.已知抛物线C：y2＝2x，直线l的斜率为k，过定点M(x0，0)，直线l交抛物线C于A，B两点，且A，B位于x轴两侧，＝3(O为坐标原点)，则x0＝          . 解：设直线l的方程为y＝k(x－x0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 与抛物线方程联立可得，消y并整理可得，k2x2－(2k2x0＋2)x＋k2x02＝0， 由根与系数的关系可得，x1x2＝x02，则y1y2＝＝－2x0， ∵＝3，∴x1x2＋y1y2＝3，即x02－2x0＝3，解得x0＝3.故答案为：3. 12.过抛物线y2＝4x的焦点F且倾斜角为的直线与抛物线交于A，B两点，则|FA|·|FB|的值为         . 解：过抛物线y2＝4x的焦点F且倾斜角为的直线方程为y＝x－1， 联立得x2－6x＋1＝0，Δ＝36－4＝32>0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1>0，x2>0，则x1＋x2＝6，x1x2＝1，F(1,0)， |FA|·|FB|＝ ＝x1x2＋(x1＋x2)＋1＝8.故答案为：8. 13.已知直线与抛物线交于两点，是线段的中点. （1）若直线的斜率为1，求点的横坐标； （2）若，求点纵坐标的最小值. 解：（1）设，则， 所以（点差法）.即. 又直线的斜率为1，所以，所以线段的中点的横坐标为2. （2）由，可知直线的斜率存在，设直线的方程为， 联立方程组，消去，得. ，且. 所以. 又，所以，整理得. 设点的坐标为，则，所以，当且仅当， 即时，取等号，所以点纵坐标的最小值为. 14.已知抛物线C：y＝2x2和直线l：y＝kx＋1，O为坐标原点. （1）求证：l与C必有两交点. （2）设l与C交于A，B两点，且直线OA和OB斜率之和为1，求k的值. 解：（1）证明　联立抛物线C：y＝2x2和直线l：y＝kx＋1，可得2x2－kx－1＝0， 所以Δ＝k2＋8>0，所以l与C必有两交点. （2）设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则①，因为y1＝kx1＋1，y2＝kx2＋1，代入①，得2k＋＝1②， 由(1)可得x1＋x2＝k，x1x2＝，代入②得k＝1. 15.已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点. （1）若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值； （2）若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离. 解：(1)因为直线l的倾斜角为60°，所以其斜率k＝tan 60°＝， 又F，所以直线l的方程为y＝. 联立，消去y得4x2－20x＋9＝0，解得x1＝，x2＝， 故|AB|＝. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由抛物线定义，知|AB|＝|AF|＋|BF| ＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3＝9， 所以x1＋x2＝6，于是线段AB的中点M的横坐标是3， 又准线方程是x＝，所以M到准线的距离等于3＋＝. 16.已知动圆E经过定点D(1,0)，且与直线x＝－1相切，设动圆圆心E的轨迹为曲线C. （1）求曲线C的方程； （2）设过点P(1,2)的直线l1，l2分别与曲线C交于A，B两点，直线l1，l2的斜率存在，且倾斜角互补，证明：直线AB的斜率为定值. 解：（1）由已知，动点E到定点D(1，0)的距离等于E到直线x＝－1的距离，由抛物线的定义知E点的轨迹是以D(1，0)为焦点，以x＝－1为准线的抛物线，故曲线C的方程为y2＝4x. （2）证明：由题意可知直线l1，l2的斜率存在，倾斜角互补，则斜率互为相反数，且不等于零.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l1的方程为y＝k(x－1)＋2，k≠0. 直线l2的方程为y＝－k(x－1)＋2，由，得k2x2－(2k2－4k＋4)x＋(k－2)2＝0， 已知此方程一个根为1，∴x1×1＝，即x1＝， 同理x2＝，∴x1＋x2＝，x1－x2＝， ∴y1－y2＝[k(x1－1)＋2]－[－k(x2－1)＋2]＝k(x1＋x2)－2k＝k·－2k＝， ∴kAB＝，所以，直线AB的斜率为定值－1. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.3.2 抛物线的简单几何性质 知识点一、抛物线的简单几何性质 标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 图形 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 对称轴 x轴 x轴 y轴 y轴 焦点坐标 F F F F 准线方程 x＝ x＝ y＝ y＝ 顶点坐标 O(0,0) 离心率 e＝1 知识点二、直线与抛物线的位置关系 1.直线与抛物线的三种位置关系 （1）直线的斜率存在时 直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程组解的个数，即二次方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0解的个数. ①当k≠0时， 若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点； 若Δ＝0，直线与抛物线有一个公共点； 若Δ<0，直线与抛物线没有公共点. ②当k＝0时，直线与抛物线的轴平行或重合，此时直线与抛物线有1个公共点. （2）直线的斜率不存在时，设直线l:x=m. 当m<0时，直线与抛物线相离，无交点； 当m=0时，直线与抛物线相切，有一个交点； 当m>0时，直线与抛物线相交，有两个交点； 2.弦长公式 设直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点. . . 3.通径 （1）定义：通过抛物线的焦点作垂直于对称轴的直线，交抛物线于A,B两点，线段AB称为抛物线的通径，如图所示. 对于抛物线，由，可得，即抛物线的通径长为2p. （2）通径是所有焦点弦中最短的弦. （3）通径具有反映抛物线开口大小的作用，抛物线的通径AB的长度为2p，这是常数2p的又一几何意义，所以越大，通径越长，即抛物线的开口越大；反之，越小，通径越短，即抛物线的开口越小. 4.焦点弦 (1)焦点弦的定义：过抛物线焦点的直线被抛物线所截得的线段称为抛物线的焦点弦. (2)焦点弦长公式：如图，设抛物线的焦点为，焦点弦的两端点分别是点，则 . 这是抛物线的焦点弦长公式. (3)焦点弦的几何性质：如图， 已知是抛物线的焦点弦，点是抛物线的焦点，设，直线的倾斜角为，过分别作准线的垂线，垂足分别为，为的中点，于点，为准线与轴的交点，则有以下结论： ①三点共线，且三点共线； ②； ③以为直径的圆与准线相切，以为直径的圆与相切，以或为直径的圆与轴相切； ④； ⑤； ⑥； ⑦； ⑧； ⑨； ⑩. 题型一：抛物线几何性质的应用 例1.等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2＝2px(p>0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△AOB的面积是(　　) A.8p2 B.4p2 C.2p2 D.p2 例2.已知长为的线段的端点在抛物线上移动，求的中点到轴的距离的最小值，并求出此时点的坐标. 跟踪训练： 1.边长为1的等边三角形AOB，O为坐标原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程是(　　) A.y2＝x B.y2＝x C.y2＝x D.y2＝x 2.已知双曲线(a>0，b>0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p>0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点，若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则抛物线的焦点坐标为(　　) A.(2,0) B.(1,0) C.(8,0) D.(4,0) 3.已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，|AB|＝2，求抛物线方程. 题型二：直线与抛物线的位置关系 例1.已知抛物线，直线过点且斜率为.当分别取何值时，与相交、相切、相离？ 例2.设为抛物线的焦点，过且倾斜角为的直线交于两点，为坐标原点，则的面积为（ ） A. B. C. D. 跟踪训练： 1.已知直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与C：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点. 2.已知抛物线方程为y2＝2px(p>0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且|AB|＝p，求AB所在的直线方程. 3.过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，且两点的纵坐标之积为，则抛物线的方程为 . 题型三：和抛物线有关的轨迹问题 例1.若动圆M与圆C：(x－2)2＋y2＝1外切，又与直线x＋1＝0相切，求动圆圆心的轨迹方程. 跟踪训练： 1.已知动圆M经过点A(3,0)，且与直线l：x＝－3相切，则动圆圆心M的轨迹方程为(　　) A.y2＝12x B.y2＝－12x C.x2＝12y D.x2＝12y 2.已知定点F(1,0)，动点P在y轴上运动，点M在x轴上，且，延长MP到点N，使得||＝||，则点N的轨迹方程是 . 3.设点P(x，y)(y≥0)为平面直角坐标系xOy内的一个动点(其中O为坐标原点)，点P到定点M的距离比点P到x轴的距离大. （1）求点P的轨迹方程； （2）若直线l：y＝kx＋1与点P的轨迹相交于A，B两点，且|AB|＝，求实数k的值. 题型四：与抛物线有关的定点、定值问题 例1.已知为抛物线上异于顶点的两个动点，且以为直径的圆过原点. 求证：直线过定点. 例2.如图，已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点P(2,0)的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，直线AF，BF分别与抛物线交于点M，N. （1）求y1y2的值； （2）连接MN，记直线MN的斜率为k1，直线AB的斜率为k2，证明：为定值. 跟踪训练： 1.已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），过焦点的直线l与抛物线C交于两点A，B，当直线l 的倾斜角为时，|AB|＝16. （1）求抛物线C的标准方程和准线方程； （2）记O为坐标原点，直线x＝﹣2分别与直线OA，OB交于点M，N，求证：以MN为直径的圆过定点，并求出定点坐标. 2.已知动点P在y轴的右侧，且点P到y轴的距离比它到点F(1,0)的距离小1. （1）求动点P的轨迹C的方程； （2）设斜率为－1且不过点M(1,2)的直线交C于A，B两点，直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，求证：k1＋k2＝0. 1.已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为(　　) A. B. C.－1 D. 2.(多选)以y轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为(　　) A.y2＝8x B.y2＝－8x C.x2＝8y D. x2＝－8y 3.过点P(0,1)与抛物线y2＝x有且只有一个交点的直线有(　　) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 4.动点P(x，y)到点F(3,0)的距离比它到直线x＋2＝0的距离大1，则动点的轨迹是(　　) A.椭圆 B.双曲线 C.双曲线的一支 D.抛物线 5.设A，B是抛物线x2＝4y上两点，O为原点，若|OA|＝|OB|，且△AOB的面积为16，则∠AOB等于(　　) A.30° B.45° C.60° D.90° 6.抛物线y2＝4x的弦AB⊥x轴，若|AB|＝4，则焦点F到直线AB的距离为 . 7.若直线x－y＝2与抛物线y2＝4x交于A，B两点，则线段AB的中点坐标是 . 8.已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M是FN的中点，则|FN|＝ . 1.若抛物线y2＝4x上一点P到x轴的距离为，则点P到抛物线的焦点F的距离为(　　) A.4 B.5 C.6 D.7 2.抛物线y2＝4x与直线2x＋y－4＝0交于两点A与B，F是抛物线的焦点，则|FA|＋|FB|等于(　　) A．2 B．4 C．6 D．7 3.过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线(　　) A.有且仅有一条 B.有且仅有两条 C.有无穷多条 D.不存在 4.设抛物线C：x2＝4y焦点为F，直线y＝kx＋2与C交于A，B两点，且|AF|·|BF|＝25，则k的值为(　　) A.－1 B.－2 C.±1 D.±2 5.(多选)已知抛物线C：y＝的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，且|AF|＝2y0，则x0等于(　　) A.2 B.－2 C.－4 D.4 6.已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|＝12，P为C的准线上的一点，则△ABP的面积为(　　) A.48 B.36 C.24 D.12 7.过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上，且MN⊥l，则M到直线NF的距离为(　　) A. B.2 C.2 D.3 8.过抛物线上一点的切线方程为         . 9.已知点A到点F(1,0)的距离和到直线x＝－1的距离相等，点A的轨迹与过点P(－1,0)且斜率为k的直线没有交点，则k的取值范围是         . 10.已知A，B为抛物线y2＝2x上两点，且A与B的纵坐标之和为4，则直线AB的斜率为         . 11.已知抛物线C：y2＝2x，直线l的斜率为k，过定点M(x0，0)，直线l交抛物线C于A，B两点，且A，B位于x轴两侧，＝3(O为坐标原点)，则x0＝          . 12.过抛物线y2＝4x的焦点F且倾斜角为的直线与抛物线交于A，B两点，则|FA|·|FB|的值为         . 13.已知直线与抛物线交于两点，是线段的中点. （1）若直线的斜率为1，求点的横坐标； （2）若，求点纵坐标的最小值. 14.已知抛物线C：y＝2x2和直线l：y＝kx＋1，O为坐标原点. （1）求证：l与C必有两交点. （2）设l与C交于A，B两点，且直线OA和OB斜率之和为1，求k的值. 15.已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点. （1）若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值； （2）若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离. 16.已知动圆E经过定点D(1,0)，且与直线x＝－1相切，设动圆圆心E的轨迹为曲线C. （1）求曲线C的方程； （2）设过点P(1,2)的直线l1，l2分别与曲线C交于A，B两点，直线l1，l2的斜率存在，且倾斜角互补，证明：直线AB的斜率为定值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $