3.3.2 抛物线的简单几何性质（7个题型归纳）讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦高中数学抛物线的简单几何性质，系统梳理标准方程中焦点到准线距离的几何意义，以及顶点、对称轴、焦点、离心率、准线方程等核心要素，构建从定义性质到距离最值、开口比较、对称性应用等题型的学习支架，衔接基础与综合应用。 该资料以题型分类为特色，每个题型配套公式结论、方法技巧及例题，如利用抛物线定义转化距离问题、结合二次函数求最值，培养学生用数学眼光观察几何关系、用数学思维推理求解，课中辅助教师高效授课，课后助力学生强化练习、查漏补缺，提升知识应用能力。

2026年新高二数学上学期暑假常考题型归纳 【3.3.2 抛物线的简单几何性质】 总览 题型梳理 【教材知识梳理】 1．抛物线的标准方程与几何性质 标准方程 的几何意义：焦点到准线的___距离_____ 图形 顶点 ________ 对称轴 ____ ____ ___ _____ 焦点 ________ ________ ________ ________ 离心率 ____1____ 准线方程 ___ _____ ___ _____ ___ _____ __ ______ 范围 ，_________ ，________ 开口方向 向__ 右_____ 向____左____ 向___上_____ 向___下_____ 焦半径（其中） ________ ________ 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：抛物线上的点到定点的距离及最值】 【练方法】 公式结论 设定点｜抛物线上动点 距离平方 将抛物线标准方程进行变量代换｜化为单变量二次函数 二次函数最值：时取得最值｜取最小值｜取最大值 方法技巧 1.优先用抛物线方程消元｜把距离式改写为单个自变量的一元二次函数 2.结合抛物线自身定义域｜验证极值点自变量是否在取值区间内 3.极值点不在定义域时｜最值取定义域区间端点对应函数值 4.距离最值等价于距离平方最值｜计算过程可直接求解距离平方简化运算 （25-26高二下·上海松江·期中）已知A，B为圆M：的某直径的两端点，动点Q在抛物线上，则的最小值为（     ）经典例题1例题 A． B． C．9 D． 【答案】B 【分析】利用向量的加减运算得出，再令得出，将问题转化为抛物线上动点和圆上动点距离的最小值即可求解. 【详解】因为为圆的直径，所以， 则， 令，则点为直线与圆的交点，且位于线段上， 则. 设，且，则， 则当时，， 因为，等号成立时三点共线， 所以，则的最小值为. （25-26高二下·上海·期中）已知点是抛物线的焦点，动点在抛物线上.小试牛刀1 (1)写出抛物线的焦点坐标和准线方程； (2)设点 ，求的最小值： 【答案】(1); (2) 【分析】（1）利用抛物线定义求解. （2）利用两点间距离公式，讨论参数求解. 【详解】（1）由可知，，则，所以焦点，准线为. （2）设点，则有， 则. 因为， 所以当，即时，， ； 当，即时，， . 综上所述，. （25-26高二上·浙江杭州·期中）已知P是抛物线上的一个动点，Q是圆上的一个动点．则线段长度的最小值为（   ）小试牛刀2 A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】设，可得，利用两点之间的距离公式可得，结合二次函数的单调性即可判断出结论． 【详解】如图，作出符合题意的图形，设， 则，， 当且仅当时取等号，此时， ，. （25-26高三上·江苏·阶段检测）已知抛物线，点P为抛物线上一点，，则的最小值为______.小试牛刀3 【答案】 【分析】利用两点间距离公式，再结合点在抛物线上来消元，即可利用二次函数求出最小值. 【详解】 设，则由题意得：， 因为点P为抛物线上一点，所以， 代入可得：， 所以当时，的最小值为， 故答案为： 【题型2：抛物线上的点到定点与到焦点距离和的最值】 【练方法】 公式结论 （为动点到准线的距离） 依据两点之间线段最短｜最小值等于定点到对应准线的垂线段长度 方法技巧 1.利用抛物线定义｜把到焦点距离等价替换为到准线距离 2.定点向准线作垂线｜垂线与抛物线交点即为取到最小值的动点 3.求解最大值时结合三角形三边关系分析边界取值 4.画图区分定点在抛物线内部/外部｜两种场景求解逻辑不同 （25-26高二下·重庆沙坪坝·阶段检测）已知为抛物线：的焦点，点，若为抛物线上的动点，则的最小值为（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线标准方程以及定义，结合两点之间线段最短，即可求得结果. 【详解】因为抛物线方程为，所以焦点，准线为， 设点到准线的垂线段为，垂足为， 根据抛物线定义得，所以， 根据两点之间线段最短得到，三点共线时等号成立， 且此时，所以，即的最小值为. （25-26高三下·江苏无锡·阶段检测）已知，M为抛物线上一动点，N是圆上一点，则的最小值是（   ）小试牛刀1 A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】将转化为，再根据抛物线的定义考虑三点共线时的情况，由此求解出的最小值. 【详解】的焦点为，准线为， 即为， 所以圆心为即为焦点，半径，显然在抛物线内部， 过点作垂直准线，交准线于点，    所以，当且仅当三点共线时取等号， 又当且仅当三点共线时取最小值， 此时最小值为， 所以的最小值为5. （2026·陕西咸阳·模拟预测）已知点，点在抛物线上运动，点在圆上运动，则的最小值为（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过作于，为抛物线的准线，利用抛物线的定义及圆的性质，得到，即可求解. 【详解】易知抛物线的焦点为，准线为，圆的圆心为，与抛物线焦点重合，半径为， 过作于，则， 又易知，当三点在一条直线上时，最小， 又，所以. （25-26高三下·河南周口·阶段检测）已知点，是抛物线的焦点，是抛物线上的一个动点，则的最小值是_____ ．小试牛刀3 【答案】8 【分析】结合抛物线的定义将抛物线上动点到焦点的距离转换成到准线的距离，进而可求解. 【详解】对于抛物线，得，即，准线方程为， 根据抛物线的定义：抛物线上动点到焦点的距离等于到准线的距离， 即 ， 因此 ， 又，点在抛物线内部， 的最小值为点到准线的距离， 计算得， 故的最小值是8. 【题型3：抛物线上的点到定点与定直线的距离最值】 【练方法】 公式结论 动点到定点距离 动点到定直线距离 目标式｜代换抛物线解析式化为一元函数求最值 方法技巧 1.若定直线为抛物线准线｜直接套用抛物线定义转换线段简化式子 2.非准线普通定直线｜统一消元构造单变量函数｜借助导数或二次函数性质求最值 3.几何法优先判断最短路径｜定点向定直线作垂线找交点匹配抛物线上动点 4.求解后核验动点坐标满足抛物线方程约束条件 （25-26高二下·吉林长春·期中）已知抛物线的焦点为，点是抛物线上一点，当取最小值时，点到直线的距离为______________经典例题1例题 【答案】 【分析】利用抛物线的定义和数形结合，求点的坐标，再代入点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】如图，和分别垂直于准线，， 所以， 所以当点是与抛物线的交点时，最小， 当时，代入抛物线方程，得，即此时， 点到直线的距离为. （2026·河南开封·模拟预测）已知抛物线的准线为l，P为抛物线C上任意一点，则点P到准线l的距离和点P到直线的距离之和的最小值为______．小试牛刀1 【答案】 【分析】利用抛物线定义将点到准线的距离转化为到焦点的距离，所求最小值即为焦点到给定直线的距离，通过点到直线距离公式计算即可。 【详解】 对于抛物线可得，因此焦点，准线的方程为。 过点作垂直于，垂足为，作垂直于直线，垂足为，如下图所示：    易知点到准线的距离等于点到焦点的距离，即为， 点到准线的距离和点到直线的距离之和为， 当三点共线时，距离之和最小， 即为点到直线的距离 ， 故所求最小值为. （2026·辽宁盘锦·一模）已知为抛物线上一个动点，为圆上一个动点，那么点到点的距离与点到直线的距离之和的最小值是______.小试牛刀2 【答案】 【分析】过点作直线的垂线，垂足为点，设直线交直线于点，由抛物线的定义可得出，所以，其中为圆的半径，当且仅当、为线段与圆、抛物线的交点时，等号成立. 【详解】过点作直线的垂线，垂足为点，设直线交直线于点， 抛物线的焦点为，准线方程为， 由抛物线的定义可得， 圆的圆心为，半径为， 所以点到点的距离与点到直线的距离之和为 . 当且仅当、为线段与圆、抛物线的交点时，上述不等式中的两个等号同时成立， 所以点到点的距离与点到直线的距离之和的最小值是. （25-26高三上·河南商丘·期末）点是抛物线上的一点，记点到轴的距离为，点到直线的距离为，则的最小值为（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线定义和三角形三边关系可知，结合点到直线距离公式可求得结果. 【详解】设抛物线的焦点为，则， 作，，垂足分别为， 由抛物线定义知：， （当且仅当在线段上时取等号）， ，的最小值为. 故选：A. 【题型4：比较抛物线的开口大小】 【练方法】 公式结论 标准方程中代表焦点到准线的距离｜数值越大｜抛物线开口越开阔 同对称轴方向抛物线｜直接对比的数值大小判定开口宽窄 方法技巧 1.先将抛物线方程整理为标准形式 2.仅对比绝对值大小｜与开口朝向正负符号无关联 3.非标准平移抛物线｜开口大小只由决定｜平移变换不会改变开口宽窄 4.多条抛物线对比时｜排序数值即可完成开口大小排序 （2026·湖北·二模）在同一坐标系下，下面4条抛物线中开口最大的为（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由抛物线的性质，得抛物线中，越大，抛物线开口越大， 所以抛物线中，开口最大的为. 在同一坐标系中画出下列抛物线：再比较这些图形，说明抛物线开口的大小与方程中x的系数之间的关系.小试牛刀1 （1） （2）； （3）. 【答案】图形见详解，由图可知：的系数越大，抛物线的开口越大. 【分析】由抛物线方程结合图形可知，的系数越大，抛物线的开口越大. 【详解】    由图可知：的系数越大，抛物线的开口越大. 下列抛物线中，开口最小的是                         小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次项的系数判断即可. 【详解】对于对于抛物线的标准方程中， 开口最小：说明一次项的系数的绝对值最小， 观察四个选项发现：A选项一次项的系数的绝对值最小， 本题选择A选项. 在同一坐标系中画出下列抛物线，观察它们开口的大小，并说明抛物线开口大小与方程中x的系数的关系：小试牛刀3 （1）；    （2）；     （3）；    （4）． 【答案】图象如图，x的系数的绝对值越大,抛物线的开口越大. 【分析】作出抛物线图象，得x的系数的绝对值越大,抛物线的开口越大. 【详解】解:抛物线如图,x的系数的绝对值越大,抛物线的开口越大. 【题型5：立体几何截面与抛物线的关系】 【练方法】 公式结论 用平行于圆锥母线的平面截取圆锥面｜所得截面曲线为抛物线 圆锥半顶角｜截面与轴线夹角｜满足时截面为抛物线 方法技巧 1.牢记圆锥截面判定规则｜为椭圆｜为抛物线｜为双曲线 2.立体图形中寻找平面与母线平行的几何关系｜证明截面曲线类型 3.结合空间线面平行性质｜书写截面为抛物线的推导依据 4.截面抛物线的可依靠圆锥母线长度、截面倾角进行几何换算求解 （25-26高三下·福建龙岩·阶段检测）古希腊的几何学家用一个不过顶点的平面去截一个圆锥，将所截得的不同的截口曲线统称为圆锥曲线．如图所示的圆锥中，AB为底面圆的直径，为PB的中点，某同学用平行于母线PA且过点的平面去截圆锥，所得截口曲线为抛物线．若该圆锥的高，底面半径，则该抛物线的焦点到准线的距离为______．经典例题1例题 【答案】 【分析】先利用中位线计算，结合对称性判断抛物线以为对称轴，焦点在上，再以顶点为原点建立坐标系，设抛物线标准方程，根据点在抛物线上求得参数p即得结果. 【详解】因为为底面圆的直径，，，，所以，则， 所以，则都是等腰直角三角形. 因为M是PB的中点，O是AB的中点，则，， 截圆锥平面平行于母线PA且过母线PB中点M，故O在截面上， 根据对称性可知抛物线的对称轴为，焦点在上， 建立以M为原点，为x轴，过M点的垂线为y轴， 设抛物线与底面交点为E，则， 设抛物线为，则，解得， 即该抛物线焦点到准线的距离为p，即为. 故答案为： （24-25高二上·重庆·阶段检测）古希腊的几何学家用一个不过顶点的平面去截一个圆锥，将所截得的不同的截口曲线统称为圆锥曲线.在如图所示的圆锥中，为底面圆的直径，为的中点，某同学用平行于母线且过点的平面去截圆锥，所得截口曲线为抛物线.若该圆锥的高为，，则该抛物线的焦点到准线的距离为（   ）小试牛刀1 A．2 B． C． D．4 【答案】C 【分析】先利用中位线计算，结合对称性判断抛物线以为对称轴，焦点在上，再以顶点为原点建立坐标系，设抛物线标准方程，根据点在抛物线上求得参数p即得结果. 【详解】因为为底面圆的直径，，，则都是等腰直角三角形. 可求出.M是PB的中点，O是AB的中点，则，， 截圆锥平面平行于母线PA且过母线PB中点M，故O在截面上， 根据对称性可知抛物线的对称轴为，焦点在上， 建立以M为原点，为x轴，过M点的垂线为y轴， 设抛物线与底面交点为E，则， 设抛物线为，则，解得， 即该抛物线焦点到准线的距离为p，即为. 故选：C. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯采用平面切割圆锥的方法来研究曲线，如图①，用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是椭圆、抛物线和双曲线.图②，在底面半径和高均为的圆锥中，、是底面圆的两条互相垂直的直径，是母线的中点，是线段的中点，已知过与的平面与圆锥侧面的交线是以E为顶点的圆锥曲线的一部分，则该曲线为____________，是该曲线上的两点且，若经过点，则__________.小试牛刀2 【答案】 抛物线 【分析】根据圆锥曲线的定义直接判断即可，再根据抛物线通径的性质直接得出答案即可. 【详解】由已知底面半径和高均为，得， 又为中点，，且， 所以平面， 根据圆锥曲线的定义可知截面与圆锥母线平行时，曲线为抛物线， 又为中点，故，， 又底面，故， 由，， 故平面，， 又，故为抛物线的通径， . 根据高中的解析几何知识，我们知道平面与圆锥面相交时，根据相交的角度不同，可以是三角形、圆、椭圆、抛物线、双曲线．如图，AB是圆锥底面圆O的直径，圆锥的母线，，E是其母线PB的中点．若平面过点E，且PB⊥平面，则平面与圆锥侧面的交线是以E为顶点的抛物线的一部分，此时抛物线的焦点F到底面圆心O的距离为______；截面把圆锥分割成两部分，在两部分内部，分别在截面的上方作一个半径最大的球M，在截面下方作一个半径最大的球N，则球M与球N的半径的比值为______．小试牛刀3 【答案】 /0.5 【分析】（1）以E为原点，EO为x轴建立坐标系，利用坐标法求出抛物线方程，即可求出抛物线的焦点F到底面圆心O的距离； （2）作出直截面，分析位置关系，利用几何知识分别求出球M与球N的半径，即可求解. 【详解】如图示： 因为圆锥的母线，，所以，所以PB⊥PA. 连结OE.因为PB⊥平面，所以PB⊥OE.所以. 在中，O为AB的中点，所以OE为中位线，所以. 设平面交底面圆于CD,则. 以E为原点，EO为x轴建立坐标系如图示，则 . 可设抛物线，把带入抛物线方程可得：， 所以抛物线为：，焦点, 所以,即抛物线的焦点F到底面圆心O的距离为. 作出直截面如图所示，则球M的半径即为圆M的半径，球N的半径即为圆N的半径. 因为球M为截面的上方的最大的球，所以圆M与PA相切，切点为Q,则.又，所以. 同理：.所以Q、M、R三点共线，为直径. 由四边形PQRE为矩形，可得：,所以球M的半径. 在等腰三角形OBE中，,. 圆N为三角形OBE的内切圆.设圆N的半径为，由等面积法可得： ，即，解得：. 所以球M与球N的半径的比值为. 故答案为：；. 【点睛】外接球问题解题关键是找球心和半径，求半径的方法有： ①公式法；②多面体几何性质法；③补形法；④寻求轴截面圆半径法；⑤确定球心位置法． 【题型6：抛物线对称性及其应用】 【练方法】 公式结论 关于轴对称｜满足 关于轴对称｜满足 抛物线上两点与对称点（x轴对称）、（y轴对称） 方法技巧 1.求解抛物线上对称点坐标｜直接依托对称轴变换对应坐标符号 2.弦端点关于坐标轴对称时｜可简化弦长、中点坐标计算 3.利用对称性补齐图像已知条件｜快速补齐缺失点坐标 4.最值、轨迹问题借助对称转换点位｜简化列式计算步骤 （26-27高三·全国·一轮复习）已知抛物线：与圆：（）交于，两点，且，则_______.经典例题1例题 【答案】 【分析】利用抛物线与圆的对称性，得出即可求解. 【详解】设，（）， 由，得，所以. 因为在圆上，所以，得， （2026·福建龙岩·三模）已知圆与抛物线交于两点．若，则的值为（   ）小试牛刀1 A．6 B．12 C． D． 【答案】A 【分析】根据圆以及抛物线的对称性得到，再求交点横坐标，进而得到. 【详解】圆和抛物线都关于轴对称，因此交点也关于轴对称. 设，由得，即. 则，解得或， 因为抛物线中，舍去，得交点横坐标. 将代入抛物线方程，得. （2026·河南驻马店·三模）已知曲线，点，，第一象限内的点及第三象限内的点都在上，且直线与直线关于轴对称，若，则（     ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意知，当时，曲线，即， 其焦点为； 当时，曲线，即， 其焦点为. 易知点关于轴的对称点在抛物线位于第四象限的部分，且在直线上， 所以. 设， 由抛物线的定义知，，所以，，所以， 所以直线的斜率为， 直线的方程为， 由，得， 所以，所以， 所以.    （2026·广东·一模）正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线的图象上，则这个正三角形的边长为（   ）小试牛刀3 A． B．3 C． D．6 【答案】D 【分析】先设正三角形的边长为，根据题意得到其中一个顶点坐标，代入抛物线方程，即可得出结果. 【详解】设正三角形的边长为，由抛物线的对称性及题意可得，其另外两个顶点的坐标为， 又另外两个顶点在抛物线上， 所以，得， 所以这个正三角形的边长为6. 【题型7：由抛物线的对称性求参数】 【练方法】 公式结论 曲线整体关于轴对称方程只含偶次项｜不含一次项 曲线整体关于轴对称方程只含偶次项｜不含一次项 恒等式两侧同类项系数对应相等｜求解方程内含参数 方法技巧 1.根据对称轴写出坐标对称变换式｜代入抛物线方程令式子恒成立 2.等式恒成立条件为各次项系数全部等于0｜列出方程组解出参数 3.含参抛物线对称轴偏移问题｜结合顶点式匹配对称轴表达式求解参数 4.参数计算完成后代回原式核验对称性质成立 （23-24高三上·江西上饶·阶段检测）如图，某种地砖ABCD的图案由一个正方形和4条抛物线构成，体现了数学的对称美．，，，，，已知正方形ABCD的面积为64，连接，的焦点，，线段分别交，于点G，H，则的值为（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方形的面积可得点的坐标，进而可得抛物线方程，根据直线与抛物线方程联立可得交点，进而根据焦半径公式以及对称性即可求解. 【详解】由正方形ABCD的面积为64，得正方形ABCD的边长为8， 根据对称性可得，，，， 将代入，得，所以抛物线的方程为． 故， 故，，设，直线的方程为， 联立，得，解得或（舍）， 故，． 由对称性可知，． 故选:B． 已知抛物线C：，则过抛物线C的焦点，弦长为整数且不超过2022的直线的条数是（     ）小试牛刀1 A．4037 B．4044 C．2019 D．2022 【答案】A 【分析】根据已知条件，结合抛物线的性质，先求出过焦点的最短弦长，再结合抛物线的对称性，即可求解． 【详解】∵抛物线C：，即 ， 由抛物线的性质可得，过抛物线焦点中，长度最短的为垂直于y轴的那条弦， 则过抛物线C的焦点，长度最短的弦的长为， 由抛物线的对称性可得，弦长在5到2022之间的有共有条， 故弦长为整数且不超过2022的直线的条数是 ． 故选：A． 已知圆与抛物线交于，两点，与抛物线的准线交于，两点，若四边形是矩形，则等于（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题，结合抛物线与圆的对称性得弦为抛物线的通径，进而有，解方程即可得答案. 【详解】解：因为四边形是矩形， 所以由抛物线与圆的对称性知：弦为抛物线的通径， 因为圆的半径为，抛物线的通径为， 所以有：，解得 故选：D （多选）已知点F为抛物线的焦点，点K为点F关于原点的对称点，点M在抛物线C上，则下列说法正确的是（    ）小试牛刀3 A．使得为等腰三角形的点M有且仅有4个 B．使得为直角三角形的点M有且仅有4个 C．使得的点M有且仅有4个 D．使得的点M有且仅有4个 【答案】ABD 【分析】为等腰三角形，考虑两边相等，结合图形，可得有4个点；为直角三角形，考虑直角顶点，结合图形，可得有4个点；考虑直线，与抛物线的方程联立，解方程可得交点个数；由对称性可得有2个；考虑直线，代入抛物线的方程，解方程可得交点个数，由对称性可得点有4个． 【详解】如图，    由为等腰三角形，若，则有两个点；若，则不存在，若，则有两个点，则使得为等腰三角形的点有且仅有4个,故A正确； 由中为直角的点有两个；为直角的点不存在；为直角的点有两个，则使得为直角三角形的点有且仅有4个，故B正确； 若的在第一象限，可得直线，代入抛物线的方程可得，解得，由对称性可得在第四象限只有一个，则满足的有且只有2个，故C错误； 使得的点在第一象限，可得直线， 代入抛物线的方程，可得，， 可得点有2个；若在第四象限，由对称性可得也有2个，则使得的点有且只有4个，故D正确． 故选：ABD 课后过关检测 一、单选题 1．（24-25高二下·浙江·期中）已知是抛物线：上的一个动点，是圆：上的一个动点，，则长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题先利用抛物线定义，将转化为点到准线的距离；再根据圆的性质，的最小值为（为圆心），故；当在抛物线上时，的最小值为到准线的距离，因此的最小值为． 【详解】 抛物线：的焦点是，准线方程为， 根据抛物线的定义，得（为到准线的距离）， 圆：的圆心为，半径， 因为在圆上，所以（当且仅当三点共线且在与之间时取等号）， 所以． 因为（ 与重合时取等号）， 所以． 2．（25-26高二上·河南周口·阶段检测）已知抛物线的焦点为，点是抛物线上一点，当取最小值时，点到直线的距离为（    ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】B 【分析】点在抛物线的内部，要求的最小值，利用抛物线的定义，过点直接作准线的垂线，求出与抛物线的交点，再利用点到直线距离求解. 【详解】抛物线的焦点为，准线， 点在抛物线的内部，因为点是抛物线上一点， 所以等于点到准线的距离，过点向准线作垂线，交抛物线于点，即当点移动到时，取最小值，即， 则点到直线的距离， 故选：B． 3．（25-26高二上·安徽阜阳·阶段检测）已知，若点P是抛物线上任意一点，点Q是圆上任意一点，则的最小值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】利用抛物线的性质，结合直线与圆的位置关系，求出的最小值． 【详解】抛物线的焦点为，准线为， 圆的圆心为，半径， 过点P作PB垂直准线l，垂足为点B，    由抛物线的定义可知， 则 ， 当且仅当B，P，A三点共线时，等号成立， 综上所述，的最小值为5，故C正确． 故选：C． 4．（25-26高三上·辽宁抚顺·阶段检测）已知点以及抛物线上一动点，则的最小值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】求出抛物线的焦点的坐标，根据抛物线的定义求出，则，利用两点间距离公式求出，从而得到的最小值． 【详解】抛物线的焦点的坐标为， 因为，所以，则， 因为，所以的最小值为1． 故选：D. 5．（25-26高二上·辽宁·阶段检测）已知抛物线，圆，为抛物线上一点，为圆上一点，则的最小值为（   ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】设，则，再根据两点间的距离公式结合二次函数的性质即可得解. 【详解】设，由题意得，， 则 ． 当且点为线段与圆的交点时等号成立， 所以的最小值为 故选：A． 6．（2025·江苏·模拟预测）已知抛物线的焦点为是C上一点，对于x轴上一点，都有，则t的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由焦点坐标得到抛物线方程，利用恒成立求解的取值范围. 【详解】因为抛物线的焦点为，所以，解得，所以抛物线. 设，则对，， 整理得， 所以因为，所以，所以， 又，所以的取值范围为， 故选：B. 7．（25-26高二下·湖南·期末）已知抛物线，点 ，点P在C上，的最小值是，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出 ，利用，可得，由此可求解范围． 【详解】设点的坐标为， 因为的最小值是，所以， 所以，整理得，， 因为，所以， 所以，又， 所以． 8．（25-26高二下·广西崇左·期末）设圆：，（）与曲线交于，，，四点，若四边形为正方形，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆与曲线的对称性，及四个交点的坐标特征求出的值，进而根据为圆的直径即可求解． 【详解】由圆：，与曲线都关于轴，轴对称，且它们的交点为，，，， 又四边形为正方形，则不妨设，，，，其中， 所以，解得， 又为圆的直径，所以．    9．抛物线与椭圆交于A，B两点，若的面积为(其中O为坐标原点)，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】由抛物线与椭圆交点的对称性，设，结合已知有，，即可求，进而求p值. 【详解】由抛物线与椭圆的对称性知：关于y轴对称，可设， ∵的面积为， ∴，而， ∴由上整理得：，解得，则. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：根据抛物线、椭圆的对称性设交点坐标，结合三角形的面积及点在椭圆上列方程求参数值. 10．已知抛物线，以为圆心，半径为5的圆与抛物线交于两点，若，则（    ） A．4 B．8 C．10 D．16 【答案】B 【分析】由圆和抛物线的对称性及|AB|的长，可以得到点A,B的纵坐标，代入抛物线方程得到其横坐标关于p的函数表达式，再代入圆的方程求得p的值. 【详解】以为圆心，半径为5的圆的方程为, 由抛物线，得到抛物线关于x轴对称， 又∵上面的圆的圆心在x轴上，∴圆的图形也关于x轴对称， ∴它们的交点A,B关于x轴对称， 因为|AB|=8，∴A,B点的纵坐标的绝对值都是4， ∵它们在抛物线上，于是A点的横坐标的值, 不妨设A在x轴上方，则A点的坐标为, 又∵A在圆上，∴,解得, 故选：B. 【点睛】本题考查抛物线的方程和几何性质，涉及圆的方程和性质，关键是利用抛物线和圆的对称性，结合弦长求得A,B的纵坐标，进而得到其横坐标，代入圆的方程求得p的值. 二、填空题 11．（25-26高二上·重庆北碚·期末）已知点为抛物线上的动点，点，过作轴的垂线，垂足为点，则的最小值为_________. 【答案】 【分析】结合抛物线的定义可得，再根据三角形的性质求解即可. 【详解】由抛物线，则焦点为，准线为， 则， 当且仅当在线段上时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 12．（2025高二·湖南·专题练习）已知点满足，，则的最小值为__________ 【答案】 【分析】根据条件，利用抛物线的定义知点的轨迹为抛物线，进而可得其方程为，设，再利用两点间的距离公式，即可求解. 【详解】因为表示点到点的距离；表示点到直线的距离， 又，所以点到点的距离等于点到直线的距离， 由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，抛物线方程为， 设，则， 当且仅当时，等号成立， 故答案为：。 13．（25-26高二上·辽宁·阶段检测）点在抛物线上，点到点的距离的取值范围是_____________． 【答案】 【分析】设点，得到以点到点的距离为，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】设点的坐标为，其中，则， 所以点到点的距离为， 当时，取得最小值，最小值为，所以点到点距离的取值范围是. 故答案为：. 14．（2026高三·全国·专题练习）已知抛物线的焦点坐标为，准线方程为，则其顶点坐标为_______． 【答案】 【分析】由垂直关系求得抛物线对称轴所在直线方程，再求得对称轴与准线的交点，进而可求解. 【详解】准线的斜率为， 因此过焦点且垂直于准线的对称轴斜率为​， 可得方程是，整理得， 联立，解得，即垂足为， 顶点即为焦点和垂足的中点， 由中点坐标公式得： ，​， 因此顶点坐标为. 15．（25-26高三·全国·一轮复习）已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为________. 【答案】 【分析】设等边三角形边长为a，根据抛物线的对称性以及等边三角形的对称性，表示出顶点A的坐标，代入抛物线方程，即可求得答案. 【详解】由题意可知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上， 则另外两个顶点关于x轴对称，如图所示： 设等边三角形边长为a，，则A点横坐标为， 则，代入得，解得（舍去）， 故等边三角形的边长为. 故答案为：. 16．以抛物线：的顶点为圆心的圆交于两点，交的准线于两点.已知，，则等于__________． 【答案】. 【分析】画出图形，利用勾股定理以及圆的半径列出方程求解即得p的值. 【详解】如图：，， ，，， ， ， ，解得：， 故答案为． 【点睛】本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线与圆的方程的应用，考查数形结合思想，属于中 档题． 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年新高二数学上学期暑假常考题型归纳 【3.3.2 抛物线的简单几何性质】 总览 题型梳理 【教材知识梳理】 1．抛物线的标准方程与几何性质 标准方程 的几何意义：焦点到准线的___距离_____ 图形 顶点 ________ 对称轴 ____ ____ ___ _____ 焦点 ________ ________ ________ ________ 离心率 ____1____ 准线方程 ___ _____ ___ _____ ___ _____ __ ______ 范围 ，_________ ，________ 开口方向 向__ 右_____ 向____左____ 向___上_____ 向___下_____ 焦半径（其中） ________ ________ 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：抛物线上的点到定点的距离及最值】 【练方法】 公式结论 设定点｜抛物线上动点 距离平方 将抛物线标准方程进行变量代换｜化为单变量二次函数 二次函数最值：时取得最值｜取最小值｜取最大值 方法技巧 1.优先用抛物线方程消元｜把距离式改写为单个自变量的一元二次函数 2.结合抛物线自身定义域｜验证极值点自变量是否在取值区间内 3.极值点不在定义域时｜最值取定义域区间端点对应函数值 4.距离最值等价于距离平方最值｜计算过程可直接求解距离平方简化运算 （25-26高二下·上海松江·期中）已知A，B为圆M：的某直径的两端点，动点Q在抛物线上，则的最小值为（     ）经典例题1例题 A． B． C．9 D． （25-26高二下·上海·期中）已知点是抛物线的焦点，动点在抛物线上.小试牛刀1 (1)写出抛物线的焦点坐标和准线方程； (2)设点 ，求的最小值： （25-26高二上·浙江杭州·期中）已知P是抛物线上的一个动点，Q是圆上的一个动点．则线段长度的最小值为（   ）小试牛刀2 A．2 B． C． D． （25-26高三上·江苏·阶段检测）已知抛物线，点P为抛物线上一点，，则的最小值为______.小试牛刀3 【题型2：抛物线上的点到定点与到焦点距离和的最值】 【练方法】 公式结论 （为动点到准线的距离） 依据两点之间线段最短｜最小值等于定点到对应准线的垂线段长度 方法技巧 1.利用抛物线定义｜把到焦点距离等价替换为到准线距离 2.定点向准线作垂线｜垂线与抛物线交点即为取到最小值的动点 3.求解最大值时结合三角形三边关系分析边界取值 4.画图区分定点在抛物线内部/外部｜两种场景求解逻辑不同 （25-26高二下·重庆沙坪坝·阶段检测）已知为抛物线：的焦点，点，若为抛物线上的动点，则的最小值为（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高三下·江苏无锡·阶段检测）已知，M为抛物线上一动点，N是圆上一点，则的最小值是（   ）小试牛刀1 A．5 B．4 C．3 D．2 （2026·陕西咸阳·模拟预测）已知点，点在抛物线上运动，点在圆上运动，则的最小值为（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高三下·河南周口·阶段检测）已知点，是抛物线的焦点，是抛物线上的一个动点，则的最小值是_____ ．小试牛刀3 【题型3：抛物线上的点到定点与定直线的距离最值】 【练方法】 公式结论 动点到定点距离 动点到定直线距离 目标式｜代换抛物线解析式化为一元函数求最值 方法技巧 1.若定直线为抛物线准线｜直接套用抛物线定义转换线段简化式子 2.非准线普通定直线｜统一消元构造单变量函数｜借助导数或二次函数性质求最值 3.几何法优先判断最短路径｜定点向定直线作垂线找交点匹配抛物线上动点 4.求解后核验动点坐标满足抛物线方程约束条件 （25-26高二下·吉林长春·期中）已知抛物线的焦点为，点是抛物线上一点，当取最小值时，点到直线的距离为______________经典例题1例题 （2026·河南开封·模拟预测）已知抛物线的准线为l，P为抛物线C上任意一点，则点P到准线l的距离和点P到直线的距离之和的最小值为______．小试牛刀1 （2026·辽宁盘锦·一模）已知为抛物线上一个动点，为圆上一个动点，那么点到点的距离与点到直线的距离之和的最小值是______.小试牛刀2 （25-26高三上·河南商丘·期末）点是抛物线上的一点，记点到轴的距离为，点到直线的距离为，则的最小值为（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型4：比较抛物线的开口大小】 【练方法】 公式结论 标准方程中代表焦点到准线的距离｜数值越大｜抛物线开口越开阔 同对称轴方向抛物线｜直接对比的数值大小判定开口宽窄 方法技巧 1.先将抛物线方程整理为标准形式 2.仅对比绝对值大小｜与开口朝向正负符号无关联 3.非标准平移抛物线｜开口大小只由决定｜平移变换不会改变开口宽窄 4.多条抛物线对比时｜排序数值即可完成开口大小排序 （2026·湖北·二模）在同一坐标系下，下面4条抛物线中开口最大的为（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 在同一坐标系中画出下列抛物线：再比较这些图形，说明抛物线开口的大小与方程中x的系数之间的关系.小试牛刀1 （1） （2）； （3）. 下列抛物线中，开口最小的是                         小试牛刀2 A． B． C． D． 在同一坐标系中画出下列抛物线，观察它们开口的大小，并说明抛物线开口大小与方程中x的系数的关系：小试牛刀3 （1）；    （2）；     （3）；    （4）． 【题型5：立体几何截面与抛物线的关系】 【练方法】 公式结论 用平行于圆锥母线的平面截取圆锥面｜所得截面曲线为抛物线 圆锥半顶角｜截面与轴线夹角｜满足时截面为抛物线 方法技巧 1.牢记圆锥截面判定规则｜为椭圆｜为抛物线｜为双曲线 2.立体图形中寻找平面与母线平行的几何关系｜证明截面曲线类型 3.结合空间线面平行性质｜书写截面为抛物线的推导依据 4.截面抛物线的可依靠圆锥母线长度、截面倾角进行几何换算求解 （25-26高三下·福建龙岩·阶段检测）古希腊的几何学家用一个不过顶点的平面去截一个圆锥，将所截得的不同的截口曲线统称为圆锥曲线．如图所示的圆锥中，AB为底面圆的直径，为PB的中点，某同学用平行于母线PA且过点的平面去截圆锥，所得截口曲线为抛物线．若该圆锥的高，底面半径，则该抛物线的焦点到准线的距离为______．经典例题1例题 （24-25高二上·重庆·阶段检测）古希腊的几何学家用一个不过顶点的平面去截一个圆锥，将所截得的不同的截口曲线统称为圆锥曲线.在如图所示的圆锥中，为底面圆的直径，为的中点，某同学用平行于母线且过点的平面去截圆锥，所得截口曲线为抛物线.若该圆锥的高为，，则该抛物线的焦点到准线的距离为（   ）小试牛刀1 A．2 B． C． D．4 古希腊数学家阿波罗尼奥斯采用平面切割圆锥的方法来研究曲线，如图①，用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是椭圆、抛物线和双曲线.图②，在底面半径和高均为的圆锥中，、是底面圆的两条互相垂直的直径，是母线的中点，是线段的中点，已知过与的平面与圆锥侧面的交线是以E为顶点的圆锥曲线的一部分，则该曲线为____________，是该曲线上的两点且，若经过点，则__________.小试牛刀2 根据高中的解析几何知识，我们知道平面与圆锥面相交时，根据相交的角度不同，可以是三角形、圆、椭圆、抛物线、双曲线．如图，AB是圆锥底面圆O的直径，圆锥的母线，，E是其母线PB的中点．若平面过点E，且PB⊥平面，则平面与圆锥侧面的交线是以E为顶点的抛物线的一部分，此时抛物线的焦点F到底面圆心O的距离为______；截面把圆锥分割成两部分，在两部分内部，分别在截面的上方作一个半径最大的球M，在截面下方作一个半径最大的球N，则球M与球N的半径的比值为______．小试牛刀3 【题型6：抛物线对称性及其应用】 【练方法】 公式结论 关于轴对称｜满足 关于轴对称｜满足 抛物线上两点与对称点（x轴对称）、（y轴对称） 方法技巧 1.求解抛物线上对称点坐标｜直接依托对称轴变换对应坐标符号 2.弦端点关于坐标轴对称时｜可简化弦长、中点坐标计算 3.利用对称性补齐图像已知条件｜快速补齐缺失点坐标 4.最值、轨迹问题借助对称转换点位｜简化列式计算步骤 （26-27高三·全国·一轮复习）已知抛物线：与圆：（）交于，两点，且，则_______.经典例题1例题 （2026·福建龙岩·三模）已知圆与抛物线交于两点．若，则的值为（   ）小试牛刀1 A．6 B．12 C． D． （2026·河南驻马店·三模）已知曲线，点，，第一象限内的点及第三象限内的点都在上，且直线与直线关于轴对称，若，则（     ）小试牛刀2 A． B． C． D． （2026·广东·一模）正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线的图象上，则这个正三角形的边长为（   ）小试牛刀3 A． B．3 C． D．6 【题型7：由抛物线的对称性求参数】 【练方法】 公式结论 曲线整体关于轴对称方程只含偶次项｜不含一次项 曲线整体关于轴对称方程只含偶次项｜不含一次项 恒等式两侧同类项系数对应相等｜求解方程内含参数 方法技巧 1.根据对称轴写出坐标对称变换式｜代入抛物线方程令式子恒成立 2.等式恒成立条件为各次项系数全部等于0｜列出方程组解出参数 3.含参抛物线对称轴偏移问题｜结合顶点式匹配对称轴表达式求解参数 4.参数计算完成后代回原式核验对称性质成立 （23-24高三上·江西上饶·阶段检测）如图，某种地砖ABCD的图案由一个正方形和4条抛物线构成，体现了数学的对称美．，，，，，已知正方形ABCD的面积为64，连接，的焦点，，线段分别交，于点G，H，则的值为（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 已知抛物线C：，则过抛物线C的焦点，弦长为整数且不超过2022的直线的条数是（     ）小试牛刀1 A．4037 B．4044 C．2019 D．2022 已知圆与抛物线交于，两点，与抛物线的准线交于，两点，若四边形是矩形，则等于（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （多选）已知点F为抛物线的焦点，点K为点F关于原点的对称点，点M在抛物线C上，则下列说法正确的是（    ）小试牛刀3 A．使得为等腰三角形的点M有且仅有4个 B．使得为直角三角形的点M有且仅有4个 C．使得的点M有且仅有4个 D．使得的点M有且仅有4个 课后过关检测 一、单选题 1．（24-25高二下·浙江·期中）已知是抛物线：上的一个动点，是圆：上的一个动点，，则长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·河南周口·阶段检测）已知抛物线的焦点为，点是抛物线上一点，当取最小值时，点到直线的距离为（    ） A．1 B．2 C．3 D． 3．（25-26高二上·安徽阜阳·阶段检测）已知，若点P是抛物线上任意一点，点Q是圆上任意一点，则的最小值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（25-26高三上·辽宁抚顺·阶段检测）已知点以及抛物线上一动点，则的最小值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 5．（25-26高二上·辽宁·阶段检测）已知抛物线，圆，为抛物线上一点，为圆上一点，则的最小值为（   ） A． B． C．3 D．4 6．（2025·江苏·模拟预测）已知抛物线的焦点为是C上一点，对于x轴上一点，都有，则t的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·湖南·期末）已知抛物线，点 ，点P在C上，的最小值是，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 8．（25-26高二下·广西崇左·期末）设圆：，（）与曲线交于，，，四点，若四边形为正方形，则（   ） A． B． C． D． 9．抛物线与椭圆交于A，B两点，若的面积为(其中O为坐标原点)，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 10．已知抛物线，以为圆心，半径为5的圆与抛物线交于两点，若，则（    ） A．4 B．8 C．10 D．16 二、填空题 11．（25-26高二上·重庆北碚·期末）已知点为抛物线上的动点，点，过作轴的垂线，垂足为点，则的最小值为_________. 12．（2025高二·湖南·专题练习）已知点满足，，则的最小值为__________ 13．（25-26高二上·辽宁·阶段检测）点在抛物线上，点到点的距离的取值范围是_____________． 14．（2026高三·全国·专题练习）已知抛物线的焦点坐标为，准线方程为，则其顶点坐标为_______． 15．（25-26高三·全国·一轮复习）已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为________. 16．以抛物线：的顶点为圆心的圆交于两点，交的准线于两点.已知，，则等于__________． 1 学科网（北京）股份有限公司 $