专题3.3.1 抛物线及其标准方程（高效培优讲义）数学人教A版高二选择性必修第一册

本讲义聚焦抛物线的定义及四种标准方程这一核心知识点，承接椭圆、双曲线，通过“一动三定”解析定义内涵，推导标准方程，对比不同开口方向的方程形式，构建完整的圆锥曲线知识体系。 资料以定义严谨性和推导过程为亮点，通过坐标法推导培养逻辑推理能力，题型分类结合即学即练，课中辅助教师分层教学，课后借助变式练习助力学生查漏补缺，提升直观想象与数学运算素养。

专题3.3.1 抛物线及其标准方程 教学目标 1.理解抛物线的定义，明确定点与定直线的几何含义，掌握四种形式的抛物线标准方程，能根据条件写出对应方程、识别焦点与准线。 2.经历抛物线标准方程的推导过程，掌握坐标法求曲线方程的思路，提升数形结合与代数运算能力。 3.通过对比椭圆、双曲线、抛物线的定义差异，培养直观想象与逻辑推理素养，建立完整的圆锥曲线知识体系。 教学重难点 重点 1.抛物线的精准定义及几何特征，理解抛物线上点的距离等量关系。 2.四种抛物线标准方程的形式、焦点坐标与准线方程的对应记忆。 3.根据已知条件快速求解抛物线的标准方程。 难点 1.区分四种标准方程，根据开口方向准确判断焦点与准线位置。 2.利用抛物线定义进行距离转化，简化求值问题。 3.已知非标准条件，灵活设方程求解，避免混淆不同开口的方程形式。 知识点01 抛物线的定义 定义：平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线． 注意：（1）上述定义可归纳为“一动三定”，一个动点，一定直线；一个定值 （2）定义中的隐含条件：焦点不在准线上，若在上，抛物线变为过且垂直与的一条直线． （3）抛物线定义建立了抛物线上的点、焦点、准线三者之间的距离关系，在解题时常与抛物线的定义联系起来，将抛物线上的动点到焦点的距离与动点到准线的距离互化，通过这种转化使问题简单化． 【即学即练】 1．已知抛物线：的焦点为，抛物线上一点到焦点的距离为3，则（为坐标原点）的面积为（     ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】利用抛物线的定义求出，代入抛物线方程得到纵坐标，再结合三角形面积公式求解即可 【详解】由题意知，，且，可得， 将代入抛物线方程得：， 所以. 2．已知为抛物线的焦点，点是抛物线上一点，，且直线的倾斜角为，则抛物线的方程为________． 【答案】 【分析】设点在准线上的射影点为，连接，分析可知为等边三角形，求得，结合，可得出的值，即可得出的值，由此可得出抛物线的方程. 【详解】设点在准线上的射影点为，连接，如下图所示： 由抛物线的定义可得， 因为，易知轴，则， 故为等边三角形，则，所以，且， 设准线与轴的交点为，易知，，故， 易知，故抛物线的标准方程为. 3．已知抛物线上的一点到其焦点的距离为3，则的值为______________． 【答案】2 【分析】根据抛物线的定义转化已知距离求解. 【详解】抛物线的准线方程为， 因为点到焦点的距离为，由抛物线定义可得点到直线的距离为， 即，解得. 知识点02 抛物线的标准方程 标准方程的推导 如图，以过F且垂直于的直线为x轴，垂足为K．以F，K的中点O为坐标原点建立直角坐标系． 设（），那么焦点F的坐标为，准线l的方程为． 设点是抛物线上任意一点，点M到l的距离为d．由抛物线的定义，抛物线就是集合 ， 将上式两边平方并化简，得．① 方程①叫抛物线的标准方程，它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，坐标是它的准线方程是． 抛物线标准方程的四种形式： 根据抛物线焦点所在半轴的不同可得抛物线方程的的四种形式，，，． 【即学即练】 1．如图所示，曲线是以原点为中心，、为焦点的椭圆的一部分，曲线是以为焦点的抛物线的一部分，是曲线和的交点且为钝角，若，，则曲线和的方程分别为________， ________． 【答案】 【分析】根据椭圆定义先求出椭圆方程，表示出焦点坐标. 法一：设，利用两点距离公式列方程组表示、，再根据为钝角求出，即可得到曲线和的方程. 法二：利用几何法，过作垂直于轴的直线，过点作于点，作轴于点，利用抛物线定义和勾股定理求出即可求出,进一步得到曲线和的方程. 【详解】设椭圆方程为，、， 则，即． 方法一：设，则，两式相减得． 由抛物线的定义可知，联立两式解得或， ，， 因为为钝角，则，所以，故，， 由，得．所以曲线的方程为，曲线的方程为； 方法二：如图所示，过作垂直于轴的直线，即抛物线的准线， 过点作于点，作轴于点． 由抛物线的定义得， 所以， 所以，则，所以，， 设点，由抛物线的定义可得，解得， 所以曲线的方程为，曲线的方程为． 2．过抛物线的焦点F且倾斜角为的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点，则的值等于（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】联立焦点直线与抛物线方程求出两交点的横坐标，再结合抛物线定义的焦半径公式，将线段长转化为横坐标的代数式直接计算比值. 【详解】由题意得焦点为，直线的斜率， 所以直线的方程为， 代入到抛物线方程得， 整理得，解得，， 由题意得，，， 所以. 3．已知椭圆的左、右焦点分别为，，且为抛物线的焦点．设抛物线与在第一象限的交点为，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用“椭圆右焦点与抛物线焦点重合”，建立的等量关系，结合椭圆定义与题干给出的，联立方程组求出、关于的表达式，根据抛物线定义，把转化为点到抛物线准线的水平距离，求出交点的横坐标，由准线垂直轴，构造直角三角形，使用勾股定理建立含的等式，化简等式得到的倍数关系，代入离心率公式算出最终结果. 【详解】由题意得椭圆的右焦点为，则， 因为抛物线焦点坐标为，且为抛物线的焦点， 所以，解得，而抛物线准线方程， 这条准线恰好经过椭圆左焦点， 因为，所以， 两式相加得，解得， 两式相减得，解得， 因为抛物线上点到焦点距离等于它到准线的距离，所以， 因为准线，所以到准线的水平距离， 因此，解得，则， 因为在抛物线上，所以，即， 因为垂直准线，所以为直角三角形， 所以，即， 即， 解得，椭圆离心率，则选项D正确. 题型01 抛物线的定义 抛物线定义是平面内到定点焦点和定直线准线距离相等的点的轨迹，定点不能落在定直线上，否则轨迹会变成直线。解题常利用定义完成距离转化，把到准线的距离转化为到焦点的距离，简化最值计算。看到抛物线上的点，优先考虑定义转化，不必一味联立计算。要分清开口方向，找准焦点和准线。注意区分抛物线与椭圆、双曲线，抛物线只有一个焦点一条准线。做题警惕定点在准线上的退化情形，此时不存在抛物线轨迹。 【典例1】已知椭圆的离心率为，两焦点分别为，抛物线以为顶点、为焦点，点为抛物线和椭圆的一个交点，若，则的值为（    ） A． B． C． D．以上均不对 【答案】C 【分析】利用抛物线和椭圆的定义，结合已知等量关系得到椭圆参数的齐次方程，即可求离心率. 【详解】设椭圆长半轴为，半焦距为，离心率，焦点，， 抛物线以为顶点、为焦点，顶点到焦点距离为，因此抛物线准线为， 根据抛物线定义：交点满足等于点到准线的距离，即， 椭圆第二定义：椭圆上点到左焦点的距离满足， 由，则，整理得，即， 因此. 【变式1】已知抛物线：的焦点为F，点P在C上，P在C准线上的投影为Q，若，则________. 【答案】2 【分析】根据抛物线的定义及两点间的距离公式求解即可. 【详解】由题意及抛物线定义可得，，则为等边三角形. 设，则.    因为，所以，则. 又，，则，即. 因为点P在C上，所以， 代入上式得，即，解得. 【变式2】已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，点是抛物线上一点，于，若为线段的垂直平分线，，则以点为圆心长为半径的圆在轴上截得的弦长为__________． 【答案】 【分析】利用抛物线定义、垂直平分弦的性质求出，结合圆的弦长公式求解． 【详解】 抛物线的焦点，准线， 准线与轴交点， 设抛物线上点，由得， 为线段的垂直平分线，则， 即，的横坐标，则， 则， 解得，此时，， 圆心到轴的距离， 由弦长公式得：． 题型02 抛物线的标准方程 抛物线标准方程共有四种形式，根据开口方向进行区分，核心参数 p 代表焦点到准线的距离，p 恒大于零。解题先判断抛物线开口朝向，再选用对应的标准方程。已知焦点或者准线，可直接求出 p 的值，写出方程。注意一次项对应对称轴，一次项变量决定对称轴。当开口方向无法确定时，要分类讨论。可以借助定义实现距离转化，简化部分题目运算。做题注意 p 大于零，不要出现符号错误，分清焦点坐标、准线方程，避免和椭圆双曲线的参数相互混淆。 【典例1】与抛物线共顶点，对称轴是坐标轴，且焦点在直线上的抛物线的标准方程为______． 【答案】或 【分析】先求抛物线的焦点坐标，再根据抛物线的焦点坐标求解其标准方程. 【详解】因为抛物线的顶点在原点，对称轴是坐标轴，所以直线与坐标轴的交点即抛物线的焦点，令，得；令，得，所以抛物线的焦点坐标为或． 当焦点为时，，所以，此时抛物线的标准方程为； 当焦点为时，，所以，此时抛物线的标准方程为． 综上所述，所求抛物线的标准方程为或． 【变式1】若不管为何值，直线恒过点，则过点的抛物线的标准方程为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】根据直线恒过点可求出点的坐标，再分抛物线的焦点在轴上和轴上两种情况分别求出抛物线的标准方程即可． 【详解】直线的方程可化为， 因为直线恒过定点，所以解得即， 又因为抛物线过点，所以当焦点在轴上时，方程为， 当焦点在轴上时，方程为． 【变式2】设为坐标原点，点在抛物线上，若点到的准线的距离为3，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用抛物线定义得出，进而得出抛物线方程得出点，再根据两点间距离公式计算. 【详解】由于，则， 于是，则，于是. 题型03 轨迹方程—抛物线 抛物线轨迹方程优先使用定义法，若动点满足到定点与定直线距离相等，且定点不在定直线上，可直接依据抛物线定义写出轨迹。不满足定义就选用直接法，设动点坐标，列出几何等量关系，化简整理得到方程。注意检验退化情况，定点落在定直线上时轨迹为直线，不是抛物线。求解后要剔除不符合题意的点。注意参数 p 大于零，看清开口方向。区分轨迹与轨迹方程，轨迹需要说明图形，轨迹方程只写等式，做题防止漏写限制条件。 【典例1】下列命题是假命题的有________．（填序号） ①到定点和定直线的距离相等的动点的轨迹为抛物线； ②到定点和定直线的距离相等的动点的轨迹为抛物线； ③到定点和定直线的距离相等的动点的轨迹为抛物线． 【答案】③ 【分析】根据抛物线的定义逐一判断即可. 【详解】由抛物线的定义易得①②是真命题； 因为定点在定直线上， 所以动点的轨迹为直线，故③是假命题． 【变式1】已知动圆过定点，且与直线相切． (1)求动圆圆心的轨迹C的方程； (2)过点作倾斜角为，（）的两条直线交轨迹C于M，N两点，若，求证：直线MN恒过定点． 【答案】(1) (2)证明：由题意可知，直线的倾斜角均不为和， 故直线的斜率均存在且不为0， 因为，所以，即， 即， 若直线的斜率为，则与抛物线只有一个交点，不符合题意； 故设，， 联立，得， 则， 则 ， 得， 则直线恒过点. 【分析】（1）由抛物线的定义可得方程； （2）设，由得出，利用韦达定理化简即可. 【详解】（1）由题意可知，动圆圆心到点和到的距离相等， 故动圆圆心的轨迹C是以为焦点，为准线的抛物线， 故动圆圆心的轨迹C的方程为； （2）略 【变式2】已知动点到直线的距离与到点距离相等，设动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)直线与曲线交于两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据抛物线的定义，得到动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，进而求得抛物线的标准方程； （2）根据题意，利用“点差法”求得所求直线的斜率，进而得到所求直线方程. 【详解】（1）由题意知，动点到直线的距离与到点距离相等， 根据抛物线的定义，可得动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 可得，解得，所以曲线的方程为. （2）设，可得， 两式相减得， 线段的中点坐标为，可得在抛物线内部， 所以，可得， 又由，可得， 所以直线的斜率， 故直线的方程为，即. 题型04 抛物线距离和与差的最值问题 抛物线距离和差最值，主要利用抛物线定义转化距离，将抛物线上点到准线的距离转化为到焦点的距离。求距离之和最小值，常结合两点之间线段最短，三点共线时取得最值。距离之差最值利用三角形三边关系，共线时取到极值。分清定点在抛物线内部还是外部，内部点多用焦点代换。注意开口方向，找准焦点与准线位置。代数解法可设点转化函数求解。小题依靠图像快速判断，大题要写明共线条件，检验等号能否成立． 【典例1】求解下列问题： (1)已知是抛物线上的动点，点在轴上的射影是点，点的坐标是，求的最小值； (2)已知点为抛物线的焦点，为直角坐标系原点．点是抛物线准线上一动点，点在抛物线上，且，求的最小值． 【答案】(1)9 (2) 【分析】（1）延长交准线于点，由抛物线定义知，再利用三角形不等式可得答案； （2）设点关于准线的对称点为点，利用对称性及三角不等式可得答案. 【详解】（1）抛物线的焦点为，准线方程为，延长交准线于点， 如图所示．根据抛物线的定义知，． 所以， 故的最小值为9． （2）因为，所以，准线方程为． 设，则，即， 代入中，得， 不妨取，即． 设点关于准线的对称点为点，可得， 故， 故的最小值为． 【变式1】已知为抛物线的焦点，直线与交于两点，则的最小值是___________． 【答案】 【分析】直线方程与抛物线方程联立，求得，利用抛物线定义可得，再根据基本不等式得结果. 【详解】由题知，的焦点，准线为， 如图，作准线，准线， 联立，得， ，解得， 设，则， 又， 当且仅当时等号成立. 【变式2】已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，若，则周长的最小值为___________． 【答案】 【分析】由题设得，作抛物线的准线于，结合抛物线的定义确定三角形周长的最小值. 【详解】由抛物线的焦点为，则，即， 作抛物线的准线于，则，且， 所以周长为， 结合图知，当且仅当共线，即时周长最小， 所以. 题型05 抛物线上的点到定点的距离及最值 求抛物线上动点到定点距离的最值，一般有两种思路。优先利用抛物线定义做距离转化，简化几何分析。代数法设抛物线上点的坐标，代入距离公式，化简得到二次函数，结合抛物线自变量取值范围求最值。需要看清抛物线开口方向，锁定变量的取值界限，不能直接套用二次函数全体实数的结论。定点位置不同，取得最值的点也不一样。小题可以借助图像快速判断，大题采用代数运算。求出结果后检验动点是否真实存在，判断最值能否取到． 【典例1】已知A，B为圆M：的某直径的两端点，动点Q在抛物线上，则的最小值为（     ） A． B． C．9 D． 【答案】B 【分析】利用向量的加减运算得出，再令得出，将问题转化为抛物线上动点和圆上动点距离的最小值即可求解. 【详解】因为为圆的直径，所以， 则， 令，则点为直线与圆的交点，且位于线段上， 则. 设，且，则， 则当时，， 因为，等号成立时三点共线， 所以，则的最小值为. 【变式1】已知P是抛物线上的一个动点，Q是圆上的一个动点．则线段长度的最小值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】设，可得，利用两点之间的距离公式可得，结合二次函数的单调性即可判断出结论． 【详解】如图，作出符合题意的图形，设， 则，， 当且仅当时取等号，此时， ，. 【变式2】（多选）已知抛物线的焦点为，为坐标原点，点在抛物线上，若，则（   ） A．的坐标为 B． C． D． 【答案】CD 【分析】选项A：根据抛物线方程得焦点坐标及其准线方程判断；选项BC：根据抛物线定义判断；选项D：根据两点间距离公式判断. 【详解】对于A：抛物线 的焦点为 ，准线方程为 ，故A错误； 对于BC：由抛物线定义可得 ， 所以 ，则，解得 ，故B错误，C正确； 对于D：，故D正确. 故选：CD. 1．在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，点在抛物线上，轴，垂足为.若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由抛物线方程知：，，则，， 轴，，又在抛物线上，， . 2．若抛物线的准线为直线，则__________. 【答案】8 【详解】的标准方程为，故准线方程为， 因此，则， 3．已知抛物线C：的焦点为，点在上，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】 抛物线C：的焦点为，准线方程为， 点在抛物线上，到准线的距离， 所以． 4．已知抛物线上的点与焦点的距离为7，则到轴的距离为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】设，根据抛物线的定义可知，结合抛物线方程运算求解即可. 【详解】由抛物线可知，准线为. 设，根据抛物线的定义可知，即， 由抛物线方程可得，即， 所以到轴的距离为. 5．已知抛物线的焦点为上的点到轴的距离为，则（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【详解】因的焦点为，则，解得， 由题意，点的横坐标，所以． 6．抛物线上横坐标为的点到其焦点的距离为，则抛物线焦点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义求出的值，即可得出该抛物线的焦点坐标. 【详解】由抛物线的定义可得，解得， 故该抛物线的焦点坐标为. 7．抛物线：（）的焦点为，为上一点，比到轴的距离大2，则________. 【答案】4 【详解】对于抛物线，准线方程为. 设点的横坐标为，则到轴的距离为，到准线的距离为， 因此，根据题意有， 代入得，解得. 8．已知抛物线的焦点为F，过点作C的准线的垂线，垂足为，则点到直线的距离为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得、准线方程为，再计算出直线的方程及点坐标，利用点到直线距离公式计算即可得. 【详解】由题意可得，则，即， 准线方程为，则 则点到直线的距离为. 9．设抛物线：的焦点为，直线：与抛物线相交于两点，点为线段的中点． (1)求的取值范围； (2)求证：点的纵坐标为定值． 【答案】(1). (2)证明：设，则, 则点Q的纵坐标为. ∴点Q的纵坐标为定值2. 【分析】(1)利用直线与抛物线联立得到一元二次方程，然后利用判别式大于0求参数范围即可； (2)使用韦达定理得到纵坐标两根之和与的关系，然后得到定值 【详解】（1）直线l：与抛物线：联立得， ∴， 解得. （2）略 10．已知为抛物线的焦点，点满足，其中为坐标原点，过的直线交于A，B两点． (1)求的准线方程； (2)证明：； 【答案】(1) (2) 证明：当直线的斜率不存在时，此时轴， 由（1）得，将代入到，解得， 则，， 此时，符合题意. 当直线的斜率存在且不为0时，设直线，如图： 联立，消元得， 设，则， 由抛物线定义有， 则，问题得证． 【分析】（1）根据列出关于的方程，即可求解； （2）充分考虑直线的斜率是否存在，易得斜率不存在时满足题意，当斜率存在时，设直线，与抛物线方程联立得出韦达定理，再根据抛物线焦半径公式即可证明； 【详解】（1）由题意得，因为点满足， 则，解得． 故，准线方程：． （2）当直线的斜率不存在时，此时轴， 由（1）得，将代入到，解得， 则，， 此时，符合题意. 当直线的斜率存在且不为0时，设直线，如图： 联立，消元得， 设，则， 由抛物线定义有， 则，问题得证． 1．已知点P在抛物线上，过点P作圆的切线，若切线长为，则点P到M的准线的距离为（    ） A．4 B．6 C．5 D．4 【答案】A 【分析】易知是抛物线的焦点，根据切线长求得 ，结合抛物线的定义可得点P到M的准线的距离. 【详解】抛物线的焦点为，即为圆心. 设切点为Q，则， 则. 由抛物线的定义知，点P到M的准线的距离为4. 2．已知抛物线的焦点为，准线为，与轴平行的直线与和分别交于点，，且，若的面积为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由题意可知，准线：，设，则，利用，可得到，再由的面积为，可解得的值. 【详解】由题意可得，准线：，设，    将代入中得，则， ,,, 因为， 所以，化简得，即， 因为， 所以. 3．（多选）已知点均在抛物线上，是的焦点，则（   ） A． B．直线轴 C．若，则 D．若，则 【答案】ABD 【分析】利用点求出，得到抛物线的方程，求出焦点坐标，得到直线轴，由点在抛物线上得到，利用抛物线的定义求出，由的范围得到的范围，从而得到的范围，继而求出，由得到，由得到，计算得到的范围，从而得到. 【详解】因为点在抛物线上， 所以， 解得，选项A正确. 则抛物线的标准方程为， 则焦点，，两点横坐标相等，纵坐标不同， 因此直线垂直于轴，平行于轴，选项B正确. 因为点在抛物线上，所以， 则， 因为，所以，则，即， 则， 因为，所以，选项C错误. 因为，所以， 因为，所以， 即，解得， 因为，所以， 则，即，选项D正确. 4．（多选）已知圆：，圆：，则下列说法正确的是（    ） A．圆的圆心坐标为 B．当时，抛物线的焦点在圆上 C．当时，圆和圆相交的公共弦所在直线方程为 D．当时，若动圆与圆外切，与圆内切，则圆心的轨迹为双曲线的一支 【答案】AC 【分析】对A，直接对照圆标准式得到圆心坐标判定；对 B，求出抛物线焦点，代入时圆方程验证不满足；对 C，时写出两圆一般方程，两式相减消去二次项得到公共弦直线；对D，根据内外切关系列出、表达式，相加得，符合椭圆定义而非双曲线. 【详解】对于A，由圆：可知圆的圆心坐标为，故A正确； 对于B，当时，圆：，又抛物线的焦点为， 由，可知抛物线的焦点不在圆上，故B错误； 对于C，当时，圆：，圆：， 作差可得：圆和圆的公共弦所在直线方程为，故C正确； 对于D，当时，如图， 设圆半径为，因为动圆与圆外切，与圆内切， 所以则又， 故的轨迹不是双曲线，故D错误． 5．已知圆：，直线：，圆与圆外切，且圆与直线相切，记圆心的轨迹为，若直线MN经过点，且与曲线交于M、N两点，则的最小值为________. 【答案】8 【分析】先设圆心的坐标与圆的半径，利用圆与圆外切、与直线相切的条件推导出圆心的轨迹为抛物线，再结合过原点的直线与抛物线相交的性质计算弦长的最小值. 【详解】设点到直线的距离为，设，点到直线的距离为， 据题意知．又因为 （点在直线下方，故， 所以）， 所以，根据拋物线的定义知，点的轨迹是抛物线， 记该抛物线为，其中点为的焦点，直线为的准线， 易得拋物线的焦准距. 则的最小值是通径． 6．在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，点在抛物线上，若直线的倾斜角为，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先确定抛物线焦点坐标，联立直线与抛物线方程求得点坐标，推导直线的一般式方程，再利用点到直线距离公式计算原点到的距离． 【详解】    抛物线的焦点的坐标为， 直线的倾斜角为，故斜率，直线的方程为， 联立方程，得， 解得（舍去），，，所以， 直线的斜率， 所以直线的方程，即， 所以原点到直线的距离． 7．已知抛物线：的焦点为，过点的直线与交于，两点，且线段的中点到 轴的距离为3，直线与 轴交于点．若，则的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】抛物线：的焦点为， 设，由题意可知到 轴的距离为3，即， 设，则， 由，得，得，则， 故的标准方程为. 8．（多选）已知抛物线，过抛物线的焦点的直线与抛物线交于，两点，则（  ） A．抛物线的准线方程为 B．若，则 C．的取值范围为 D．设为坐标原点，的中点到准线的距离为，则 【答案】BCD 【分析】利用抛物线的定义将焦半径转化为横坐标，再用韦达定理处理抛物线的焦半径问题，以及利用三角形三边关系解决不等关系. 【详解】对于A， 抛物线得，所以准线方程，故A错误； 对于B，，所以， 故B正确； 对于C，抛物线的焦点的坐标为 ，设直线方程为. 联立方程，消去得. 由韦达定理得，. . 因为，所以. 所以的取值范围为，故C正确； 对于D，设中点为，则. 点到准线的距离. 又因为， 在中， ， 所以，故D正确. 9．已知抛物线的焦点为，直线与交于点，且. (1)求抛物线的方程; (2)若，且抛物线上存在两点关于直线对称，求的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）将点坐标代入抛物线方程中，再结合焦半径公式可求； （2）设的坐标，利用对称性得出，，结合韦达定理求范围. 【详解】（1）由题意可设点，则，得， 因为，所以，得，解得或， 故抛物线的方程为或. （2）若 ，则抛物线的方程为，设，， 若，则，此时不合题意； 若，由于，两点关于直线对称， 故，可得， 则线段中点的纵坐标为，将其代入 中，可得， 又，可得， 则， 则为方程的两个不相等的实数根， 故，所以或， 即的取值范围为. 10．已知椭圆：的焦距为，且离心率为．过点的直线与椭圆交于，两点，已知点为抛物线的焦点，为直线上的一点，且． (1)求椭圆的方程及长轴长； (2)求点的横坐标． 【答案】(1)，4 (2)． 【分析】（1）根据离心率及焦距列方程求解即可； （2）先设直线，再与椭圆联立得出韦达定理，再应用向量共线列式计算求解. 【详解】（1）依题意，椭圆的半焦距 由椭圆的离心率为， 得 椭圆的方程为． 长轴长． （2）当直线的斜率不为0时， 设其方程为， 由，得 得到，且． 点为抛物线的焦点， 如图，设，由点是直线上一点， 则存在实数，使得 则，即， 由，得 则，故， 因为，所以，即得， 代入可得 ． 当直线的斜率为0时，不妨取，，符合题意． 故点的横坐标为． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.3.1 抛物线及其标准方程 教学目标 1.理解抛物线的定义，明确定点与定直线的几何含义，掌握四种形式的抛物线标准方程，能根据条件写出对应方程、识别焦点与准线。 2.经历抛物线标准方程的推导过程，掌握坐标法求曲线方程的思路，提升数形结合与代数运算能力。 3.通过对比椭圆、双曲线、抛物线的定义差异，培养直观想象与逻辑推理素养，建立完整的圆锥曲线知识体系。 教学重难点 重点 1.抛物线的精准定义及几何特征，理解抛物线上点的距离等量关系。 2.四种抛物线标准方程的形式、焦点坐标与准线方程的对应记忆。 3.根据已知条件快速求解抛物线的标准方程。 难点 1.区分四种标准方程，根据开口方向准确判断焦点与准线位置。 2.利用抛物线定义进行距离转化，简化求值问题。 3.已知非标准条件，灵活设方程求解，避免混淆不同开口的方程形式。 知识点01 抛物线的定义 定义：平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的_________． 注意：（1）上述定义可归纳为“一动三定”，一个动点，一定直线；一个定值 （2）定义中的隐含条件：焦点不在准线上，若在上，抛物线变为过且垂直与的一条直线． （3）抛物线定义建立了抛物线上的点、焦点、准线三者之间的距离关系，在解题时常与抛物线的定义联系起来，将抛物线上的动点到焦点的距离与动点到准线的距离互化，通过这种转化使问题简单化． 【即学即练】 1．已知抛物线：的焦点为，抛物线上一点到焦点的距离为3，则（为坐标原点）的面积为（     ） A．1 B． C．2 D．4 2．已知为抛物线的焦点，点是抛物线上一点，，且直线的倾斜角为，则抛物线的方程为________． 3．已知抛物线上的一点到其焦点的距离为3，则的值为______________． 知识点02 抛物线的标准方程 标准方程的推导 如图，以过F且垂直于的直线为x轴，垂足为K．以F，K的中点O为坐标原点建立直角坐标系． 设（），那么焦点F的坐标为，准线l的方程为_________． 设点是抛物线上任意一点，点M到l的距离为d．由抛物线的定义，抛物线就是集合 ， 将上式两边平方并化简，得．① 方程①叫抛物线的标准方程，它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，坐标是它的准线方程是_________． 抛物线标准方程的四种形式： 根据抛物线焦点所在半轴的不同可得抛物线方程的的四种形式，，，． 【即学即练】 1．如图所示，曲线是以原点为中心，、为焦点的椭圆的一部分，曲线是以为焦点的抛物线的一部分，是曲线和的交点且为钝角，若，，则曲线和的方程分别为________， ________． 2．过抛物线的焦点F且倾斜角为的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点，则的值等于（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 3．已知椭圆的左、右焦点分别为，，且为抛物线的焦点．设抛物线与在第一象限的交点为，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 题型01 抛物线的定义 抛物线定义是平面内到定点焦点和定直线准线距离相等的点的轨迹，定点不能落在定直线上，否则轨迹会变成直线。解题常利用定义完成距离转化，把到准线的距离转化为到焦点的距离，简化最值计算。看到抛物线上的点，优先考虑定义转化，不必一味联立计算。要分清开口方向，找准焦点和准线。注意区分抛物线与椭圆、双曲线，抛物线只有一个焦点一条准线。做题警惕定点在准线上的退化情形，此时不存在抛物线轨迹。 【典例1】已知椭圆的离心率为，两焦点分别为，抛物线以为顶点、为焦点，点为抛物线和椭圆的一个交点，若，则的值为（    ） A． B． C． D．以上均不对 抛物线以为顶点、为焦点，顶点到焦点距离为，因此抛物线准线为， 【变式1】已知抛物线：的焦点为F，点P在C上，P在C准线上的投影为Q，若，则________. 【变式2】已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，点是抛物线上一点，于，若为线段的垂直平分线，，则以点为圆心长为半径的圆在轴上截得的弦长为__________． 题型02 抛物线的标准方程 抛物线标准方程共有四种形式，根据开口方向进行区分，核心参数 p 代表焦点到准线的距离，p 恒大于零。解题先判断抛物线开口朝向，再选用对应的标准方程。已知焦点或者准线，可直接求出 p 的值，写出方程。注意一次项对应对称轴，一次项变量决定对称轴。当开口方向无法确定时，要分类讨论。可以借助定义实现距离转化，简化部分题目运算。做题注意 p 大于零，不要出现符号错误，分清焦点坐标、准线方程，避免和椭圆双曲线的参数相互混淆。 【典例1】与抛物线共顶点，对称轴是坐标轴，且焦点在直线上的抛物线的标准方程为______． 【变式1】若不管为何值，直线恒过点，则过点的抛物线的标准方程为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式2】设为坐标原点，点在抛物线上，若点到的准线的距离为3，则（    ） A． B． C． D． 题型03 轨迹方程—抛物线 抛物线轨迹方程优先使用定义法，若动点满足到定点与定直线距离相等，且定点不在定直线上，可直接依据抛物线定义写出轨迹。不满足定义就选用直接法，设动点坐标，列出几何等量关系，化简整理得到方程。注意检验退化情况，定点落在定直线上时轨迹为直线，不是抛物线。求解后要剔除不符合题意的点。注意参数 p 大于零，看清开口方向。区分轨迹与轨迹方程，轨迹需要说明图形，轨迹方程只写等式，做题防止漏写限制条件。 【典例1】下列命题是假命题的有________．（填序号） ①到定点和定直线的距离相等的动点的轨迹为抛物线； ②到定点和定直线的距离相等的动点的轨迹为抛物线； ③到定点和定直线的距离相等的动点的轨迹为抛物线． 【变式1】已知动圆过定点，且与直线相切． (1)求动圆圆心的轨迹C的方程； (2)过点作倾斜角为，（）的两条直线交轨迹C于M，N两点，若，求证：直线MN恒过定点． 【变式2】已知动点到直线的距离与到点距离相等，设动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)直线与曲线交于两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. 题型04 抛物线距离和与差的最值问题 抛物线距离和差最值，主要利用抛物线定义转化距离，将抛物线上点到准线的距离转化为到焦点的距离。求距离之和最小值，常结合两点之间线段最短，三点共线时取得最值。距离之差最值利用三角形三边关系，共线时取到极值。分清定点在抛物线内部还是外部，内部点多用焦点代换。注意开口方向，找准焦点与准线位置。代数解法可设点转化函数求解。小题依靠图像快速判断，大题要写明共线条件，检验等号能否成立． 【典例1】求解下列问题： (1)已知是抛物线上的动点，点在轴上的射影是点，点的坐标是，求的最小值； (2)已知点为抛物线的焦点，为直角坐标系原点．点是抛物线准线上一动点，点在抛物线上，且，求的最小值． 【变式1】已知为抛物线的焦点，直线与交于两点，则的最小值是___________． 【变式2】已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，若，则周长的最小值为___________． 题型05 抛物线上的点到定点的距离及最值 求抛物线上动点到定点距离的最值，一般有两种思路。优先利用抛物线定义做距离转化，简化几何分析。代数法设抛物线上点的坐标，代入距离公式，化简得到二次函数，结合抛物线自变量取值范围求最值。需要看清抛物线开口方向，锁定变量的取值界限，不能直接套用二次函数全体实数的结论。定点位置不同，取得最值的点也不一样。小题可以借助图像快速判断，大题采用代数运算。求出结果后检验动点是否真实存在，判断最值能否取到． 【典例1】已知A，B为圆M：的某直径的两端点，动点Q在抛物线上，则的最小值为（     ） A． B． C．9 D． 【变式1】已知P是抛物线上的一个动点，Q是圆上的一个动点．则线段长度的最小值为（   ） A．2 B． C． D． 【变式2】（多选）已知抛物线的焦点为，为坐标原点，点在抛物线上，若，则（   ） A．的坐标为 B． C． D． 1．在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，点在抛物线上，轴，垂足为.若，则（   ） A． B． C． D． 2．若抛物线的准线为直线，则__________. 3．已知抛物线C：的焦点为，点在上，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．已知抛物线上的点与焦点的距离为7，则到轴的距离为（    ） A． B． C．2 D．4 5．已知抛物线的焦点为上的点到轴的距离为，则（   ） A． B．1 C． D．2 6．抛物线上横坐标为的点到其焦点的距离为，则抛物线焦点的坐标为（    ） A． B． C． D． 7．抛物线：（）的焦点为，为上一点，比到轴的距离大2，则________. 8．已知抛物线的焦点为F，过点作C的准线的垂线，垂足为，则点到直线的距离为（    ） A． B．4 C． D． 9．设抛物线：的焦点为，直线：与抛物线相交于两点，点为线段的中点． (1)求的取值范围； (2)求证：点的纵坐标为定值． 10．已知为抛物线的焦点，点满足，其中为坐标原点，过的直线交于A，B两点． (1)求的准线方程； (2)证明：； 1．已知点P在抛物线上，过点P作圆的切线，若切线长为，则点P到M的准线的距离为（    ） A．4 B．6 C．5 D．4 2．已知抛物线的焦点为，准线为，与轴平行的直线与和分别交于点，，且，若的面积为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（多选）已知点均在抛物线上，是的焦点，则（   ） A． B．直线轴 C．若，则 D．若，则 4．（多选）已知圆：，圆：，则下列说法正确的是（    ） A．圆的圆心坐标为 B．当时，抛物线的焦点在圆上 C．当时，圆和圆相交的公共弦所在直线方程为 D．当时，若动圆与圆外切，与圆内切，则圆心的轨迹为双曲线的一支 5．已知圆：，直线：，圆与圆外切，且圆与直线相切，记圆心的轨迹为，若直线MN经过点，且与曲线交于M、N两点，则的最小值为________. 6．在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，点在抛物线上，若直线的倾斜角为，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 7．已知抛物线：的焦点为，过点的直线与交于，两点，且线段的中点到 轴的距离为3，直线与 轴交于点．若，则的标准方程为（   ） A． B． C． D． 8．（多选）已知抛物线，过抛物线的焦点的直线与抛物线交于，两点，则（  ） A．抛物线的准线方程为 B．若，则 C．的取值范围为 D．设为坐标原点，的中点到准线的距离为，则 9．已知抛物线的焦点为，直线与交于点，且. (1)求抛物线的方程; (2)若，且抛物线上存在两点关于直线对称，求的取值范围. 10．已知椭圆：的焦距为，且离心率为．过点的直线与椭圆交于，两点，已知点为抛物线的焦点，为直线上的一点，且． (1)求椭圆的方程及长轴长； (2)求点的横坐标． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $