3.3.1 抛物线及其标准方程讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本高中数学讲义聚焦抛物线及其标准方程核心知识点，从定义（平面内与定点和定直线距离相等的点的轨迹）出发，系统梳理标准方程的四种形式、参数p的几何意义（焦准距）及统一形式，延伸至焦半径公式，构建从概念到应用的学习支架。 资料通过题型分层设计（求焦点准线、焦半径应用、定义最值问题），结合例题与跟踪训练，培养学生用数学眼光观察几何关系，用数学思维进行逻辑推理。课中辅助教师授课，课后助力学生巩固练习，有效查漏补缺。

3.1.1 抛物线及其标准方程 知识点一、双曲线的简单几何性质 1.定义：平面内与一定点F和一条定直线l(不经过点F)距离相等的点的轨迹叫作抛物线.定点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线. 2.集合表示：设点M是抛物线的任意一点，抛物线的焦点为F，准线为l，点M到准线l的距离为d，则抛物线是点的集合P={M ||MF|=d,d>0}. 知识点二、抛物线的标准方程 1.抛物线标准方程的四种形式 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2＝2px(p>0) x＝ y2＝－2px(p>0) x＝ x2＝2py(p>0) y＝ x2＝－2py(p>0) y＝ 2.参数p的几何意义：p表示抛物线的焦点到准线的距离（即焦准距），焦点到顶点以及顶点到准线的距离均为：. 3.抛物线标准方程的统一形式 （1）焦点在x轴上的抛物线方程可以统一表示为y2＝mx(m≠0)，焦点坐标为，准线方程为x＝；当m>0时，焦点在x轴正半轴上，当m<0时，焦点在x轴负半轴上. （2）焦点在y轴上的抛物线方程可以统一表示为x2＝ny(n≠0)，焦点坐标为，准线方程为y＝；当n>0时，焦点在y轴正半轴上，当n<0时，焦点在y轴负半轴上. 知识点三、抛物线的焦半径公式 1.焦半径的概念：连接抛物线任意一点P（x0,y0）与其焦点F得到的线段叫做抛物线的一条焦半径. 2.焦半径公式 抛物线 焦半径公式 y2＝2px(p>0) |PF|=x0+ y2＝－2px(p>0) |PF|=－x0+ x2＝2py(p>0) |PF|=y0+ x2＝－2py(p>0) |PF|=－y0+ 题型一：求抛物线的焦点坐标和准线方程及求抛物线的标准方程 例1.求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： （1）； （2）； （3）. 例2.分别求符合下列条件的抛物线的标准方程. （1）经过点(－3，－1)； （2）焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点. 跟踪训练： 1.（1）抛物线x2＝－4y的焦点坐标为 ，准线方程为 . （2）抛物线的顶点在原点，准线方程为x=-2，则抛物线方程为 . 2.(1)若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点坐标为(1,0)，则p＝ ，准线方程为 . (2)求焦点在y轴上，焦点到准线的距离为5的抛物线的标准方程为 . 3.求适合下列条件的抛物线的标准方程： （1）过点； （2）焦点在直线上. 题型二：抛物线焦半径公式的应用 例1.已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴上，抛物线上一点到焦点的距离为5，求的值、抛物线方程及其准线方程. 跟踪训练： 1.已知是抛物线的焦点，点在抛物线上，若，则该抛物线的方程为（ ） A. B. C. D. 2.已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，则x0等于(　 　) A.1 B.2 C.4 D.8 3.已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F1，若点A(2，－4)在抛物线上，则点A到焦点的距离为 . 题型三：与抛物线定义有关的最值问题 例1.已知抛物线的焦点是，准线为，点是抛物线上的动点，点，求的最小值，并求出取最小值时点的坐标. 跟踪训练： 1.设点A的坐标为(1，)，点P在抛物线y2＝8x上移动，P到直线x＝－1的距离为d，则d＋|PA|的最小值为(　 　) A.1 B.2 C.3 D.4 2.已知抛物线方程为，直线的方程为，在抛物线上有一动点到轴的距离为，到直线的距离为，则的最小值为 . 3.（1）已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，求点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值. （2）若将（1）中的点(0,2)改为点A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值. （3）若将本例（1）中的点(0,2)换为直线l1：3x－4y＋＝0，求点P到直线3x－4y＋＝0的距离与P到该抛物线的准线的距离之和的最小值. 1.已知抛物线y＝2px2过点(1,4)，则抛物线的焦点坐标为(　　) A.(1,0) B.(0,1) C. D. 2.抛物线y＝x2的准线方程为(　　) A.y＝2 B.y＝1 C.x＝1 D.x＝ 3.一动圆过点(0,1)且与定直线l相切，圆心在抛物线x2＝4y上，则l的方程为(　　) A.x＝1 B.y＝－1 C.x＝ D.y＝ 4.准线为y＝的抛物线的标准方程是(　　) A.x2＝3y B.x＝3y2 C.y＝x2 D.x＝y2 5.若抛物线y＝ax2的焦点与椭圆＋y2＝1的上顶点重合，则a等于(　　) A.4 B.2 C. D. 6.若抛物线y2＝－2px(p＞0)上有一点M，其横坐标为－9，它到焦点的距离为10，则点M的坐标为 . 7.已知抛物线的焦点在坐标轴上，并且经过点，则该抛物线的标准方程为 . 8.已知位于轴右侧的动点到点的距离比它到轴的距离大，求点的轨迹方程. 1.已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线焦点坐标为(　　) A.(1,0) B.(0,1) C.(0，－1) D.(－1,0) 2.(多选)经过点P(4，－2)的抛物线的标准方程为(　　) A.y2＝x B. y2＝8x C.y2＝－8x D.x2＝－8y 3.若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 4.若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆的一个焦点，则p等于(　　) A.2 B.3 C.4 D.8 5.为抛物线的焦点，点在上，点，若，则（ ） A.2 B. C.3 D. 6.已知抛物线y2＝4x上一点P到焦点F的距离为5，则△PFO的面积为(　　) A.4 B.3 C.2 D.1 7.已知双曲线－y2＝1的右焦点恰好是抛物线y2＝8x的焦点，则m＝ . 8.已知抛物线C：4x＋ay2＝0恰好经过圆M：(x－1)2＋(y－2)2＝1的圆心，则抛物线C的焦点坐标为 ，准线方程为 . 9.设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若 ，则 ＝ . 10.已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是 . 11.已知抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(1，m)到其焦点的距离为5，双曲线x2－＝1的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM垂直，则实数a＝ . 12.对标准形式的抛物线，给出下列条件： ①焦点在y轴上； ②焦点在x轴上； ③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6； ④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2,1). 其中满足抛物线方程为y2＝10x的是 .(要求填写适合条件的序号) 13.已知是抛物线上的动点，是圆上的动点，点是点在轴上的射影，则的最小值是 . 14.已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程. 15.已知内接于抛物线，抛物线的焦点为，点到抛物线准线的距离为. （1）求的值. （2）若的重心恰是抛物线的焦点，求所在直线的方程. 16.设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线的焦点. （1）若点P到直线x＝－1的距离为d，A(－1,1)，求|PA|＋d的最小值； （2）若B(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1.1 抛物线及其标准方程 知识点一、双曲线的简单几何性质 1.定义：平面内与一定点F和一条定直线l(不经过点F)距离相等的点的轨迹叫作抛物线.定点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线. 2.集合表示：设点M是抛物线的任意一点，抛物线的焦点为F，准线为l，点M到准线l的距离为d，则抛物线是点的集合P={M ||MF|=d,d>0}. 知识点二、抛物线的标准方程 1.抛物线标准方程的四种形式 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2＝2px(p>0) x＝ y2＝－2px(p>0) x＝ x2＝2py(p>0) y＝ x2＝－2py(p>0) y＝ 2.参数p的几何意义：p表示抛物线的焦点到准线的距离（即焦准距），焦点到顶点以及顶点到准线的距离均为：. 3.抛物线标准方程的统一形式 （1）焦点在x轴上的抛物线方程可以统一表示为y2＝mx(m≠0)，焦点坐标为，准线方程为x＝；当m>0时，焦点在x轴正半轴上，当m<0时，焦点在x轴负半轴上. （2）焦点在y轴上的抛物线方程可以统一表示为x2＝ny(n≠0)，焦点坐标为，准线方程为y＝；当n>0时，焦点在y轴正半轴上，当n<0时，焦点在y轴负半轴上. 知识点三、抛物线的焦半径公式 1.焦半径的概念：连接抛物线任意一点P（x0,y0）与其焦点F得到的线段叫做抛物线的一条焦半径. 2.焦半径公式 抛物线 焦半径公式 y2＝2px(p>0) |PF|=x0+ y2＝－2px(p>0) |PF|=－x0+ x2＝2py(p>0) |PF|=y0+ x2＝－2py(p>0) |PF|=－y0+ 题型一：求抛物线的焦点坐标和准线方程及求抛物线的标准方程 例1.求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： （1）； （2）； （3）. 解：（1），焦点坐标是，准线方程是. （2）抛物线方程可化为，则，焦点坐标是，准线方程是. （3），焦点坐标是，准线方程是.（去掉条件，结果不变） 例2.分别求符合下列条件的抛物线的标准方程. （1）经过点(－3，－1)； （2）焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点. 解：(1)因为点(－3，－1)在第三象限， 所以设所求抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)或x2＝－2py(p>0). 若抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)，则由(－1)2＝－2p×(－3)，解得p＝； 若抛物线的标准方程为x2＝－2py(p>0)，则由(－3)2＝－2p×(－1)，解得p＝. 故所求抛物线的标准方程为y2＝x或x2＝－9y. (2)对于直线方程3x－4y－12＝0，令x＝0，得y＝－3；令y＝0，得x＝4， 所以抛物线的焦点为(0，－3)或(4,0).当焦点为(0，－3)时，＝3，所以p＝6， 此时抛物线的标准方程为x2＝－12y；当焦点为(4,0)时，＝4，所以p＝8， 此时抛物线的标准方程为y2＝16x.故所求抛物线的标准方程为x2＝－12y或y2＝16x. 跟踪训练： 1.（1）抛物线x2＝－4y的焦点坐标为 ，准线方程为 . （2）抛物线的顶点在原点，准线方程为x=-2，则抛物线方程为 . 解：（1）由，∴焦点坐标为（0,-1），准线方程为y=1. 故答案为：（0,-1），y=-1. （2）由可得p=4，且焦点在x轴上，所以方程为y2＝8x.故答案为：y2＝8x. 2.(1)若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点坐标为(1,0)，则p＝ ，准线方程为 . (2)求焦点在y轴上，焦点到准线的距离为5的抛物线的标准方程为 . 解：（1）因为抛物线的焦点坐标为(1,0)，所以＝1，p＝2，准线方程为x＝－＝－1. 故答案为：2，x＝－1. （2）设方程为x2＝2my(m≠0)，由焦点到准线的距离为5，知|m|＝5，m＝±5，所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x2＝10y和x2＝－10y. 故答案为：x2＝10y和x2＝－10y 3.求适合下列条件的抛物线的标准方程： （1）过点； （2）焦点在直线上. 解：(1)因为点在第二象限，所以过点的抛物线开口向左或向上. 若抛物线开口向左，焦点在轴上，设其方程为， 将点的坐标代入，可得，所以， 所以抛物线的标准方程为. 若抛物线开口向上，焦点在轴上，设其方程为， 将点的坐标代入，可得，所以， 所以抛物线的标准方程为. 综上所述，抛物线的标准方程为或. （2）①当焦点在轴上时，因为直线与轴的交点坐标为， 所以抛物线的焦点是，所以，所以，所以抛物线的标准方程是. ②当焦点在轴上时，因为直线与轴的交点坐标为， 所以抛物线的焦点是，所以，所以，所以抛物线的标准方程是. 综上所述，抛物线的标准方程是或. 题型二：抛物线焦半径公式的应用 例1.已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴上，抛物线上一点到焦点的距离为5，求的值、抛物线方程及其准线方程. 解：方法1：设所求的抛物线方程为()，则焦点，准线. 又，由抛物线的定义，知，所以. 所以所求抛物线的方程为，准线方程为.由，得. 方法2：设所求抛物线的方程为()，则焦点的坐标为. 因为在抛物线上，且，所以. 解得.所以，所求抛物线的方程为，准线方程为. 跟踪训练： 1.已知是抛物线的焦点，点在抛物线上，若，则该抛物线的方程为（ ） A. B. C. D. 解：因为，解得，所以该抛物线的方程为.故选：A. 2.已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，则x0等于(　 　) A.1 B.2 C.4 D.8 解：∵＋x0＝x0，∴x0＝1.故选：A. 3.已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F1，若点A(2，－4)在抛物线上，则点A到焦点的距离为 . 解：把点(2，－4)代入抛物线y2＝2px，得16＝4p，即p＝4，从而抛物线的焦点为(2,0).故点A到焦点的距离为4.故答案为：4. 题型三：与抛物线定义有关的最值问题 例1.已知抛物线的焦点是，准线为，点是抛物线上的动点，点，求的最小值，并求出取最小值时点的坐标. 解：如图，作于点，作于点， 则，当且仅当为与抛物线的交点时，等号成立. 所以.此时，代入抛物线方程得，所以点的坐标为. 跟踪训练： 1.设点A的坐标为(1，)，点P在抛物线y2＝8x上移动，P到直线x＝－1的距离为d，则d＋|PA|的最小值为(　 　) A.1 B.2 C.3 D.4 解：由题意知抛物线y2＝8x的焦点为F(2,0)，点P到准线x＝－2的距离为d＋1， 于是|PF|＝d＋1，所以d＋|PA|＝|PF|－1＋|PA|的最小值为|AF|－1＝4－1＝3.故选：C. 2.已知抛物线方程为，直线的方程为，在抛物线上有一动点到轴的距离为，到直线的距离为，则的最小值为 . 解：由，得，所以抛物线的焦点为，准线方程为. 设抛物线上的动点到准线的距离为，则，且，故. 如图，（其中为垂足）. 又，所以.故答案为：. 3.（1）已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，求点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值. （2）若将（1）中的点(0,2)改为点A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值. （3）若将本例（1）中的点(0,2)换为直线l1：3x－4y＋＝0，求点P到直线3x－4y＋＝0的距离与P到该抛物线的准线的距离之和的最小值. 解：（1）由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于它到焦点的距离.由图可知， 点P，点(0,2)和抛物线的焦点F三点共线时距离之和最小， 所以最小距离d＝. （2）将x＝3代入y2＝2x， 得y＝.所以点A在抛物线内部. 设点P为其上一点，点P到准线(设为l)x＝的距离为d， 则|PA|＋|PF|＝|PA|＋d.由图可知，当PA⊥l时，|PA|＋d最小，最小值是. 即|PA|＋|PF|的最小值是. （3）解　如图，作PQ垂直于准线l于点Q， |PA1|＋|PQ|＝|PA1|＋|PF|≥|A1F|min. |A1F|的最小值为点F到直线3x－4y＋＝0的距离d＝.即所求最小值为1. 1.已知抛物线y＝2px2过点(1,4)，则抛物线的焦点坐标为(　　) A.(1,0) B.(0,1) C. D. 解：由抛物线y＝2px2过点(1,4)，可得p＝2，∴抛物线的标准方程为x2＝y， 则焦点坐标为.故选C. 2.抛物线y＝x2的准线方程为(　　) A.y＝2 B.y＝1 C.x＝1 D.x＝ 解：抛物线的标准方程为x2＝－4y，则准线方程为y＝1.故选：B. 3.一动圆过点(0,1)且与定直线l相切，圆心在抛物线x2＝4y上，则l的方程为(　　) A.x＝1 B.y＝－1 C.x＝ D.y＝ 解：因为动圆过点(0,1)且与定直线l相切，所以动圆圆心到点(0,1)的距离与它到定直线l的距离相等，又因为动圆圆心在抛物线x2＝4y上，且(0,1)为抛物线的焦点，所以l为抛物线的准线，所以l：y＝－1.故选：B. 4.准线为y＝的抛物线的标准方程是(　　) A.x2＝3y B.x＝3y2 C.y＝x2 D.x＝y2 解：准线为y＝的抛物线的标准方程是x2＝3y.故选A. 5.若抛物线y＝ax2的焦点与椭圆＋y2＝1的上顶点重合，则a等于(　　) A.4 B.2 C. D. 解：椭圆＋y2＝1的上顶点是(0,1)，抛物线y＝ax2的焦点坐标为， 因为两点重合，所以＝1，所以a＝.故选：C. 6.若抛物线y2＝－2px(p＞0)上有一点M，其横坐标为－9，它到焦点的距离为10，则点M的坐标为 . 解：由抛物线方程y2＝－2px(p＞0)，得其焦点坐标为F，准线方程为x＝.设点M到准线的距离为d，则d＝|MF|＝10，即－(－9)＝10，得p＝2，故抛物线方程为y2＝－4x. 由点M(－9，y)在抛物线上，得y＝±6，故点M的坐标为(－9,6)或(－9，－6). 故答案为：(－9,6)或(－9，－6). 7.已知抛物线的焦点在坐标轴上，并且经过点，则该抛物线的标准方程为 . 解：当焦点在轴上时，设抛物线方程为(). 将点的坐标代入，得，解得，所以. 当焦点在轴上时，设抛物线方程为(). 将点的坐标代入，得，解得，所以. 综上，所求抛物线的标准方程为或.故答案为：或. 8.已知位于轴右侧的动点到点的距离比它到轴的距离大，求点的轨迹方程. 解：由抛物线的定义知动点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，其方程应为的形式.又，所以.因为点在轴右侧，所以不包括原点. 故点的轨迹方程为. 1.已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线焦点坐标为(　　) A.(1,0) B.(0,1) C.(0，－1) D.(－1,0) 解：抛物线y2＝2px(p>0)的准线方程为x＝，由题设知＝－1，即p＝2， 故焦点坐标为(1,0) .故选：A. 2.(多选)经过点P(4，－2)的抛物线的标准方程为(　　) A.y2＝x B. y2＝8x C.y2＝－8x D.x2＝－8y 解：当开口向右时，设抛物线方程为y2＝2p1x(p1>0)，则(－2)2＝8p1，所以p1＝，所以抛物线方程为y2＝x.当开口向下时，设抛物线方程为x2＝－2p2y(p2>0)，则42＝4p2，p2＝4，所以抛物线方程为x2＝－8y.故选：AD. 3.若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 解：因为抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，所以，解得或（舍去）.故选：D. 4.若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆的一个焦点，则p等于(　　) A.2 B.3 C.4 D.8 解：因为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆的一个焦点， 所以3p－p＝，解得p＝8.故选：D. 5.为抛物线的焦点，点在上，点，若，则（ ） A.2 B. C.3 D. 解：方法1：由题意可知抛物线的焦点为，准线方程为. 又，则.不妨设点在第一象限，则. 根据抛物线的定义可得，所以. 所以，所以. 方法2：由题意可知抛物线的焦点为，又，于是，故， 则点到准线的距离为，所以点的横坐标为.故轴，如图， 所以.故选：B. 6.已知抛物线y2＝4x上一点P到焦点F的距离为5，则△PFO的面积为(　　) A.4 B.3 C.2 D.1 解：由题意，知抛物线的焦点坐标为F(1,0)，准线方程为x＝－1.因为抛物线y2＝4x上的一点P到焦点的距离为5，由抛物线的定义可知，点P到准线x＝－1的距离是5，则点P到y轴的距离是4，所以P(4，±4)，所以△PFO的面积为×1×4＝2.故选：C. 7.已知双曲线－y2＝1的右焦点恰好是抛物线y2＝8x的焦点，则m＝ . 解：由题意得m＋1＝22，解得m＝3.故答案为：3. 8.已知抛物线C：4x＋ay2＝0恰好经过圆M：(x－1)2＋(y－2)2＝1的圆心，则抛物线C的焦点坐标为 ，准线方程为 . 解：圆M的圆心为(1,2)，代入4x＋ay2＝0得a＝－1，将抛物线C的方程化为标准方程得y2＝4x，故焦点坐标为(1,0)，准线方程为x＝－1.故答案为：(1,0)，x＝－1. 9.设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若 ，则 ＝ . 解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，又F(1,0). 由＝0知(x1－1)＋(x2－1)＋(x3－1)＝0，即x1＋x2＋x3＝3， ＝x1＋x2＋x3＋p＝6.故答案为：6. 10.已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是 . 解：如图所示， 动点P到l2：x＝－1的距离可转化为到点F的距离，由图可知，距离和的最小值，即F(1,0)到直线l1的距离d＝.故答案为：2. 11.已知抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(1，m)到其焦点的距离为5，双曲线x2－＝1的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM垂直，则实数a＝ . 解：根据抛物线的定义得1＋＝5，p＝8，则m＝±4，不妨取M(1,4)，又A(－1,0)，则直线AM的斜率为2，由已知得×2＝－1，故a＝.故答案为：. 12.对标准形式的抛物线，给出下列条件： ①焦点在y轴上； ②焦点在x轴上； ③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6； ④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2,1). 其中满足抛物线方程为y2＝10x的是 .(要求填写适合条件的序号) 解：抛物线y2＝10x的焦点在x轴上，②满足，①不满足；设M(1，y0)是y2＝10x上一点，则|MF|＝1＋＝1＋＝≠6，所以③不满足；由于抛物线y2＝10x的焦点为，过该焦点的直线方程为y＝k，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2,1)时，则k＝－2，此时存在，所以④满足.故答案为：②④. 13.已知是抛物线上的动点，是圆上的动点，点是点在轴上的射影，则的最小值是 . 解：如图， 设抛物线的焦点为，连接，，根据抛物线的定义，可知，而的最小值是，所以的最小值就是的最小值. 当，，三点共线，且点位于线段上时，最小，最小值，所以的最小值是.故答案为：3. 14.已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程. 解：方法一：如图所示， 设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，则焦点F，准线l：y＝，作MN⊥l，垂足为N， 则|MN|＝|MF|＝5，而|MN|＝3＋＝5， 即p＝4.所以抛物线方程为x2＝－8y，准线方程为y＝2.由m2＝－8×(－3)＝24，得m＝±2. 方法二：设所求抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则焦点为F. ∵M(m，－3)在抛物线上，且|MF|＝5，故，解得. ∴抛物线方程为x2＝－8y，m＝±2，准线方程为y＝2. 15.已知内接于抛物线，抛物线的焦点为，点到抛物线准线的距离为. （1）求的值. （2）若的重心恰是抛物线的焦点，求所在直线的方程. 解：（1）因为点 到抛物线准线的距离为 ，所以 ， 所以抛物线的标准方程为 . 把点 的坐标代入抛物线方程 ，得 . （2）由(1)得 ，，设 ，，且点 在 轴上方， 则，， 故 于是所以 ， 故 所在直线的方程为 ，即 . 16.设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线的焦点. （1）若点P到直线x＝－1的距离为d，A(－1,1)，求|PA|＋d的最小值； （2）若B(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值. 解：(1)依题意，抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1. 由抛物线的定义，知|PF|＝d， 于是问题转化为求|PA|＋|PF|的最小值. 如图，连接AF，交抛物线于点P，则最小值为. (2)把点B的横坐标代入y2＝4x中，得y＝， 因为>2，所以点B在抛物线内部.自点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1(如图). 由抛物线的定义，知|P1Q|＝|P1F|， 则|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝3＋1＝4. 即|PB|＋|PF|的最小值为4. 1 学科网（北京）股份有限公司 $