专题3.2.2 双曲线的简单几何性质（高效培优讲义）数学人教A版高二选择性必修第一册

本讲义聚焦双曲线的简单几何性质这一核心知识点，系统梳理从范围、对称性、顶点等基础性质，到渐近线、离心率的深入理解，再到a,b,c关系及直线与双曲线位置关系、弦长公式的应用，构建从基础到综合的学习支架。 该资料以核心素养为导向，通过类比椭圆性质培养逻辑推理能力，结合即学即练和8类题型设计提升数学运算与直观想象素养。课中辅助教师梳理知识脉络，课后助力学生通过分层练习查漏补缺，深化对双曲线几何性质的理解与应用。

专题3.2.2 双曲线的简单几何性质 教学目标 1.掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等核心几何性质，熟记参数 、、 关系，能根据标准方程求解双曲线基本要素。 2.类比椭圆几何性质的研究方法，学会由方程探究曲线特征，熟练数形结合的解题思路，提升代数运算与图形分析能力。 3.通过对比椭圆与双曲线的性质异同，培养类比推理、直观想象素养，能利用几何性质解决基础求值与判断问题。 教学重难点 重点 1.双曲线的对称性、顶点、范围等基础几何性质； 2.渐近线方程与离心率的求解及几何意义； 3.利用双曲线标准方程分析、应用几何性质解题。 难点 1.理解双曲线渐近线的特殊几何意义，掌握渐近线相关解题技巧； 2.区分椭圆与双曲线abc的关系式，避免公式混淆； 3.利用离心率、渐近线条件求解双曲线参数及范围问题。 知识点01 双曲线的简单几何性质 双曲线（a>0，b>0）的简单几何性质 范围 ，即或 双曲线上所有的点都在两条平行直线和的两侧，是无限延伸的．因此双曲线上点的横坐标满足或． 对称性 对于双曲线标准方程（，），把换成，或把换成，或把、同时换成、，方程都不变，所以双曲线（a>0，b>0）是以轴、轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心． 顶点 ①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点． ②双曲线（，）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为，，顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点． ③两个顶点间的线段叫作双曲线的实轴；设，为y轴上的两个点，则线段叫做双曲线的虚轴．实轴和虚轴的长度分别为，．叫做双曲线的实半轴长，叫做双曲线的虚半轴长． ①双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆． ②双曲线的焦点总在实轴上． ③实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线． 离心率 ①双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用e表示，记作． ②因为，所以双曲线的离心率． 由，可得，所以决定双曲线的开口大小，越大，e也越大，双曲线开口就越开阔．所以离心率可以用来表示双曲线开口的大小程度． ③等轴双曲线，所以离心率． 渐近线 经过点、作y轴的平行线，经过点、作x轴的平行线，四条直线围成一个矩形（如图），矩形的两条对角线所在直线的方程是． 我们把直线叫做双曲线的渐近线；双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交． 【即学即练】 1．中心在原点，实轴在轴上，一个焦点在直线上的等轴双曲线方程是________． 【答案】 【详解】直线中，令，得， 所以等轴双曲线的一个焦点坐标为，所以． 因为双曲线为等轴双曲线，即，所以， 即，故等轴双曲线方程为． 2．已知双曲线过点，渐近线方程为，圆C经过双曲线的一个顶点和一个焦点且圆心在双曲线上，则圆心到该双曲线的中心的距离是（   ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】首先求双曲线方程，再根据条件求圆心，即可求解距离. 【详解】设双曲线方程为，代入点， 得，，所以双曲线方程为， 根据对称性不妨设圆经过双曲线的焦点，若过左顶点，则圆心所在的直线方程为与双曲线没有交点，所以应过右顶点， 所以圆心所在的直线方程为，代入，得， 所以圆心到双曲线中心的距离为. 3．已知双曲线的焦距为6，则此双曲线的离心率为_________． 【答案】 【详解】由题意，，即，则，即， 所以双曲线的离心率为. 知识点02 双曲线的渐近线 （1）已知双曲线方程求渐近线方程： 若双曲线方程为，则其渐近线方程为 已知双曲线方程，将双曲线方程中的“常数”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程． （2）已知渐近线方程求双曲线方程： 若双曲线渐近线方程为，则可设双曲线方程为，根据已知条件，求出即可． （3）与双曲线有公共渐近线的双曲线 与双曲线有公共渐近线的双曲线方程可设为（，焦点在轴上，，焦点在y轴上） （4）等轴双曲线的渐近线 等轴双曲线的两条渐近线互相垂直，为，因此等轴双曲线可设为． 【即学即练】 1．已知抛物线与双曲线在第四象限的交点为，点到抛物线的准线的距离，则当取得最小值时，抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为________． 【答案】/ 【分析】先将抛物线方程和双曲线方程联立求得点横坐标,进一步得到点到抛物线的准线的距离,再结合题干条件将表示成关于的表达式后根据的取值范围求出的最小值以及取最小值时的,即可得到抛物线焦点和双曲线的渐近线方程,再利用点到直线距离公式求解即可. 【详解】联立两曲线方程，得可得，即， 解得或(舍去)，故． 因为抛物线的准线方程为，所以点到抛物线的准线的距离， 即，可得，故． 又，所以当时，，此时取得最小值2． 此时抛物线的焦点为，双曲线的渐近线方程为，即， 所以抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为． 2．若直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，直线过，根据双曲线渐近线的斜率可得到取值范围. 【详解】双曲线的标准形式为，渐近线为， 当直线与双曲线的渐近线平行时，即，此时直线与双曲线的左支或右支只有一个交点，如图所示， 要使直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则直线必须在两渐近线之间， 此时的取值范围为，故D正确. 3．已知双曲线的一条渐近线方程为，则其离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由渐近线方程可得等量关系，据此可得答案. 【详解】因双曲线的一条渐近线方程为，则. 知识点03 双曲线中，，的几何意义及有关线段的几何特征 双曲线标准方程中，、、三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身的形状大小所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：，，且． 双曲线，如图： （1）实轴长，虚轴长，焦距， （2）离心率：； （3）顶点到焦点的距离：，； （4）中结合定义与余弦定理，将有关线段、、和角结合起来． （5）与焦点三角形有关的计算问题时，常考虑到用双曲线的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式相结合的方法进行计算与解题，将有关线段、、，有关角结合起来，建立、之间的关系． 【即学即练】 1．（多选）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点（位于第一象限）在上，在点处的切线恰好为的角平分线，则（   ） A．的渐近线方程为 B．当时， C．当与轴交于点时， D．当的斜率为2时，点到轴的距离为 【答案】BC 【分析】A由渐近线定义得出；B利用双曲线的定义得出；C利用角平分线定理得出；D联立直线与双曲线方程，得出点坐标. 【详解】， 因为，所以其渐近线方程为，故A错误； 因为，， 所以，故B正确； 由得，则由角平分线定理得， 因为，所以， 在中利用余弦定理得， 则，故C正确； 设，与联立得， 则，得， 因为点位于第一象限，所以， 此时，则点到轴的距离为，故D错误. 2．（多选）已知双曲线的左、右焦点分别是，，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，且与双曲线左支交于点，若，则（    ） A． B． C．的离心率为 D． 【答案】ACD 【分析】从已知双曲线方程得到，利用焦点到渐近线的距离公式求出，结合条件得出，判断A正确.通过作垂线构造相似三角形，证明与不重合，从而否定，判断B错误.在直角三角形中利用双曲线定义和勾股定理建立关于的方程，解得，进而求出离心率，判断C正确.最后利用三角形面积关系求得，判断D正确. 【详解】由题意知，由双曲线方程得，即. 又，故，焦点到渐近线的距离. 由条件，故选项A正确； 易知，，，过作垂直于，垂足为. 如图，过作于. 由，且，得. 又， 则，与不重合。 故，故选项B错误； 在中，，，， 则，即， 解得，则，所以，故C选项正确； ，故D选项正确． 3．已知平面内的动点到点的距离与到直线的距离之比为，记动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)（i）已知点，若在上存在一点，使的值最小，求这个最小值； （ii）已知双曲线，点是曲线上的动点、过作双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为、，是线段的中点．求出动点的轨迹方程及面积的最大值． 【答案】(1) (2)（i），的最小值为. （ii）， 【分析】（1）因为已知动点到定点的距离与到定直线的距离之比，结合两点间距离公式、点到直线距离公式列出等式，化简得到轨迹的方程。 （2）（i）因为轨迹是椭圆，先根据椭圆的第二定义，将转化为点到相应准线的距离，再将进行变形，利用几何意义找到最小值的取得条件，进而确定点的位置； （ii）把直线和渐近线联立，利用中点坐标公式得到点的轨迹，最后应用面积公式及点到直线距离公式结合二倍角公式计算最大值. 【详解】（1）由题意知，P到直线的距离， ，整理得. ∴轨迹的方程为. （2）（i）过点作，垂足为. 由题意知，得； . 为定点，为直线上的动点，当，即，，三点共线时取得最小值，即；的最小值. 此时点的纵坐标为1，则，解得. 点在第一象限，. 因此，，的最小值为； （ii） 设点，满足方程为， 过作的垂线，垂足为， 联立，计算得； 过作的垂线，垂足为， 联立，计算得； 因为是的中点，所以，所以， 所以动点的轨迹方程为. 先计算， 设斜率为正的渐近线倾斜角为， . 得； ，且，所以， 所以当时取的最大值. 知识点04 直线与双曲线的位置关系判断 将双曲线方程与直线方程联立消去 得到关于的一元二次方程， 1、当，即时，直线 与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个交点； 2、当，即时，设该一元二次方程的判别式为， 若，直线与双曲线相交，有两个公共点； 若，直线与双曲线相切，有一个公共点； 若，直线与双曲线相离，没有公共点； 【即学即练】 1．已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为． (1)求双曲线的标准方程； (2)若斜率为的直线与圆相切，与双曲线交于两点，且（其中为坐标原点），求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意建立关于的关系式，联立求解即可； （2）根据直线与圆位置关系得出相应的关系式，再联立直线与双曲线方程，利用韦达定理，向量数量积的坐标表示，分式不等式的解法分析求解即可. 【详解】（1）由题意知双曲线的半焦距为：，① 又双曲线的渐近线方程为得：，② 由，③ 联立①②③解得：， 故双曲线的标准方程为：. （2）设直线的方程为：， 因为直线与圆相切，则有：， 又直线与双曲线交于两点， 联立直线与双曲线的方程得：， 消去整理得：， 由 ， 解得， 设，则， 由 ， 将代入上式得：， 化简得：，解得：， 即或， 所以的取值范围为：. 2．已知双曲线与直线交于不同的两点A，B，若线段的中点在圆上，则________. 【答案】2 【分析】利用中点弦的性质代入原方程即可得解. 【详解】设，线段的中点，由 ,得，判别式，解得， 由韦达定理，所以，. 因为中点在圆上，故，解得. 3．已知双曲线的左、右焦点分别为，，焦距为，直线与双曲线的右支交于点，若的内切圆半径为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知内切圆的半径，可利用焦点三角形面积公式建立等式，得到关于的表达式，根据余弦定理建立的齐次式，进而计算离心率． 【详解】如图，作出符合题意的图形， 由直线，整理可得，恒过点；故直线过点； 由点到直线的距离公式可知到的距离为； 则（为内切圆半径）， 因为点在右支上，所以， 则； 又因为；所以， 解得，故； 故，解得； 因为点在右支上，斜率为负，故，故， 代入直线方程可得，解得； 因为在双曲线上，所以代入可得， 由整理可得， 由；则； 则原式化简可得， 两边同乘可得， 约分可得 即，整理得； 即，化简得， 化简得，解得或或； 由题意得，则符合题意，故A正确. 知识点05 弦长公式 若直线与双曲线（，）交于，两点， 则或（）． 【即学即练】 1．两条渐近线为，的双曲线，则被直线截得弦长为，双曲线方程为__________． 【答案】 【分析】根据渐近线方程设出双曲线方程，与直线方程联立，结合弦长公式及韦达定理求解即可. 【详解】已知两条渐近线为，，即. 可设双曲线的方程为. 联立，整理得. ，则. 设方程的两根为，，则，， 代入弦长公式得， 即，，解得. 故双曲线方程为，即. 2．两条渐近线为，且截直线所得弦长为的双曲线方程为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由渐近线方程为可设双曲线方程为，联立直线方程可得，结合韦达定理和弦长公式，即可得解． 【详解】由双曲线渐近线为，即， 可设双曲线方程为（）， 直线即，代入双曲线方程得， 整理得二次方程， 设直线与双曲线交点为、，由韦达定理得，， 直线斜率，弦长公式为， 代入已知弦长，得，两边平方得， 化简得，即，解得满足， 代回设的方程得，两边同除以，即得双曲线方程为. 3．过点的直线交双曲线于，两点，若弦的长为，则满足条件的直线有（     ） A．2条 B．4条 C．3条 D．6条 【答案】B 【分析】先考虑斜率不存在的情况弦长的值；再考虑斜率存在时，联立方程，根据斜率的取值情况判断有几种情况． 【详解】斜率不存在时：，与双曲线交于一点，不满足题意； 斜率必然存在，设直线方程，，； 联立方程：可得：； 则，即， 且恒成立； 即，； 则； 两边平方可得：，即； 解得或；则的取值为四个， 故满足题意的直线有４条． 题型01 双曲线的简单几何性质 双曲线简单几何性质，牢记c2=a2+b2，和椭圆公式做好区分。掌握范围、对称性、顶点，重点攻克渐近线与离心率。渐近线可快速由标准方程令等式右侧为零直接求得。离心率e=c/a​，双曲线e>1，e 越大双曲线开口越开阔。已知渐近线可设共渐近线双曲线系方程简化计算。解题分清焦点位置，不要混淆 a、b。处理离心率范围，转化为 a、c 齐次不等式求解。做题对比椭圆性质，防止概念混淆，注意自变量取值范围。 【典例1】已知双曲线：的离心率为，则的焦距为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知双曲线：，则或. 当焦点在轴上时：此时，实半轴平方，虚半轴平方， 半焦距平方，离心率， 已知，则，与冲突，故不成立； 当焦点在轴上时：此时，此时方程可化为， 实半轴平方，虚半轴平方， 半焦距平方， 离心率， 满足，故半焦距，则焦距为，B正确. 【变式1】已知双曲线的一条渐近线斜率为2，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线渐近线斜率得到的值，再结合双曲线中的关系计算离心率. 【详解】对于焦点在轴上的双曲线，其渐近线方程为. 由题意可知一条渐近线斜率为，因此，即. 根据双曲线参数的基本关系，将代入得： ， 即. 由离心率定义，代入得 【变式2】（多选）在平面直角坐标系中，已知双曲线左、右焦点为，，离心率，下列说法中正确的有（    ） A．的渐近线为 B．的焦距是虚轴长的倍 C．若的焦点到其渐近线的距离为，则 D．若的焦距为8，则其渐近线上存在点，使得 【答案】ACD 【详解】对于A，因为，所以的渐近线为，正确； 对于B，因为，错误； 对于C，不妨设的右焦点到其渐近线的距离为，即，所以，正确； 对于D，设，且在直线上，所以， 又，即， 化简移项，再平方化简可得，故存在. 题型02 双曲线的渐近线 求解双曲线渐近线，可直接把标准方程右边的 1 换成零，因式分解就能得到渐近线。已知渐近线求双曲线，可利用共渐近线的双曲线系设方程，减少计算量。解题要分清焦点位置，焦点在 x 轴与 y 轴对应的渐近线形式不一样。注意渐近线不是双曲线的一部分，双曲线永远不会和渐近线相交。经常结合离心率考查，建立离心率和 a、b 之间的关系式。做题要和椭圆区分，椭圆没有渐近线，审题看清条件，避免参数 a、b 出现混淆。 【典例1】已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】双曲线的渐近线方程为， 依题意，，所以. 【变式1】（多选）已知是双曲线上一点，且在轴上方，，分别是双曲线的左、右焦点，，直线的斜率为，的面积为，则下列结论中正确的是（    ） A．双曲线的离心率 B．双曲线的方程为 C． D．双曲线的渐近线方程为 【答案】BD 【分析】先由焦距得的值，结合三角形面积求得点的纵坐标，再由直线的斜率求得点的横坐标，利用双曲线定义及的关系求得的值，再逐一验证各选项即可. 【详解】∵ 分别是双曲线的左、右焦点，， ∴ ，即. 设点，， ∵的面积为， ∴ ，即，解得. ∵ 直线的斜率为， ∴ ，代入，得，解得，即.    ∵ 在双曲线上，由双曲线定义得， 计算得，， ∴，即. 又， 对于A选项，双曲线离心率，故A错误. 对于B选项，双曲线C的方程为，故B正确. 对于C选项，，故C错误. 对于D选项，双曲线渐近线方程为，故D正确. 【变式2】（多选）已知点（，）在双曲线上，点，，则（    ） A．双曲线C的两条渐近线相互垂直 B．面积的取值范围为 C．可能为直角 D．双曲线C在P处的切线与x轴交于点Q，则P，Q的横坐标的乘积为1 【答案】ABD 【分析】写出双曲线的渐近线方程即可验证A项， 写出面积， 由，令，则 即可验证B项， 先化简得到，令，化简得到，可得，故，即可验证C项；写出双曲线C在P处的切线为，得到，即可验证D项. 【详解】对于A项，双曲线的两条双曲线为，相互垂直，故A正确； 对于B项，，所以直线的方程，即， ， 则点到直线的距离为， 所以， 由， 得到， ，则，令 则，因为在单调递减， 所以，故B正确； 对于C项，，则， 即 则，所以， 令，即， 即，利用平方差公式化简得到， 因为，所以,, 所以，故， 所以不可能为直角，故C错误； 对于D项，双曲线C在P处的切线为， 令，得到， 所以，故D正确. 题型03 求双曲线离心率的值 求双曲线离心率，核心公式为 e 等于 c 比 a，双曲线离心率大于一。解题关键是依据题目条件，构造 a 和 c 的齐次等式。可以借助双曲线定义、焦点三角形、渐近线、几何垂直关系建立方程。将等式两边同时除以 a 的平方，转化为关于离心率的方程进行求解。求出结果后，务必舍去小于等于一的解。注意区分双曲线与椭圆的参数关系，双曲线满足 c 平方等于 a 平方加 b 平方。审题看清焦点位置，焦点在 x 轴或者 y 轴，不改变离心率的计算结果。 【典例1】（多选）下列关于双曲线的共轭双曲线的说法正确的有（   ） A．标准方程是 B．焦点坐标是和 C．渐近线是 D．离心率 【答案】ACD 【详解】由共轭双曲线的定义可知的共轭双曲线为， 其焦点在轴上，坐标为和，渐近线为，离心率，故A，C，D正确，B不正确． 【变式1】已知双曲线的左、右顶点分别为，，右焦点为，且，则的离心率为__________． 【答案】/ 【分析】设，由可得到的关系，从而求出的离心率. 【详解】设，由可得 , 所以，，即，. 【变式2】已知双曲线：的一条渐近线方程为，则的离心率为_____________. 【答案】 【详解】双曲线的焦点在轴上，半轴长，则渐近线方程为， 因为双曲线的渐近线方程为， 所以，则，即半焦距， 因此的离心率为. 题型04 求双曲线离心率的范围 求双曲线离心率取值范围，离心率 e 大于一，核心是构造 a 与 c 的齐次不等式。可以利用焦点三角形边角关系、直线和双曲线相交的判别式、点的位置约束建立不等条件。将不等式转化齐次形式，两边除以 a 的平方，变为关于 e 的不等式求解。结果必须结合双曲线 e 大于一的固有范围，筛除不符合的解。注意区分双曲线 c 平方等于 a 平方加 b 平方，不要和椭圆公式混淆。解题还要判断等号是否能够成立，结合图形验证临界情况，防止出现增解。 【典例1】直线与双曲线：（，）交于，两点，存在以为的中点，则的离心率的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由点差法求得，结合已知可得，求解即可. 【详解】设， 因为，两点在双曲线上，所以， 两式相减得， 又为的中点，所以， 所以，所以， 又双曲线的渐近线方程为，为的中点，所以， 所以，两边平方得，所以， 所以，所以，所以，又，所以， 所以的离心率的取值范围是. 【变式1】已知分别为双曲线 的左、右焦点，为双曲线右支上的任意一点，当取最小值时，则双曲线的离心率的取值范围为_______． 【答案】 【详解】由题意可得，，， 所以，当且仅当， 即时取等号，所以， 因为，， 所以，所以． 【变式2】（多选）如图，圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，是的中点，过与底面平行的平面绕点逆时针转动，截圆锥依次得到圆，椭圆，部分椭圆，抛物线，双曲线.则（    ） A．截面中圆的面积为 B．截面是完整椭圆的离心率最大是 C．截面是抛物线的焦准距 D．垂直于底面的双曲线截面的离心率为 【答案】ACD 【分析】根据给定条件，求出截面中圆的面积判断A；确定离心率最大的完整椭圆位置并求出离心率判断B；建立直角坐标系分别求出抛物线和双曲线的方程，进而求解判断CD. 【详解】依题意，圆锥的底面圆半径，圆锥的高，， 对于A，由为母线的中点，得截面圆的半径为，则圆的面积为，A正确； 对于B，圆锥曲线的离心率公式为， 其中是母线与圆锥轴的夹角，是截面与圆锥底面的夹角， 当截面从平行于底面对应圆，开始转动，要得到完整椭圆，截面不能超出圆锥的侧面范围， 当截面刚好经过圆锥底面圆周上一点时最大可取到， 此时离心率，B错误； 对于C，如图，设抛物线与底面圆的一个交点为，以为原点，为x轴， 在平面中建立平面直角坐标系，则，，点， 设抛物线方程为，则，解得， 则抛物线的焦点到准线的距离为，C正确； 对于D，如图，在与平面垂直且过点的平面内，建立平面直角坐标系， 坐标原点与点到底面的距离相等，且在轴上， 则点坐标为，双曲线与底面圆的一个交点为，其坐标为， 设双曲线方程为，则，，解得， ，所以双曲线的离心率为，D正确. 题型05 直线与双曲线的位置关系 直线与双曲线位置关系，联立直线与双曲线方程消元得到一元方程。要注意二次项系数是否为零，系数为零时直线和渐近线平行，仅有一个交点，但不是相切。通过判别式判断相交、相切、相离，判别式大于零有两个交点，等于零为相切，小于零无交点。相交问题常结合韦达定理计算弦长中点。解题需要单独讨论斜率不存在的情况，注意双曲线两支的限制。一个交点不等同于相切，这是高频易错点，做题要区分平行渐近线与相切两种情形。 【典例1】（多选）双曲线的左，右焦点分别为，是上一点，且轴，直线平分，是坐标原点．下列结论正确的有（   ） A．若，则的离心率为 B．若，垂足为，则 C．与有唯一公共点 D．与轴的交点在直线上 【答案】ACD 【分析】不妨设点在第一象限，与轴的交点为，根据角平分线性质可得，即可判断D；可得直线的方程为，与双曲线方程联立求解即可判断C；对于A：根据题意可得，即可得离心率；对于B：设，分析可知为的中点，，即可得结果. 【详解】不妨设点在第一象限，与轴的交点为， 因为轴，则，， 因为，即， 则，解得， 可得，即，故D正确； 因为，直线的方程为，即， 联立方程，消去y可得，解得， 所以直线与双曲线有唯一公共点，故C正确； 对于选项A：若，即，可得， 所以双曲线的离心率为，故A正确； 对于选项B：设，则，且为的中点， 因为， 且为的中点，所以，故B错误. 【变式1】已知双曲线：的右焦点为，一条渐近线为：. (1)求的方程； (2)设的左顶点为，点在上，且. ①求的外接圆的标准方程； ②设直线与交于另一点，求的大小. 【答案】(1) (2)①② 【分析】（1）由题意列出关于的方程组，解方程组求出即可得出答案； （2）①由求得点坐标，并结合圆的有关性质求得的外接圆的圆心坐标、半径，即可得出答案； ②设直线的斜率分别为，先求及直线的方程，将直线的方程与双曲线的方程联立求出点的坐标，通过计算得到即可求出的大小. 【详解】（1）由已知，得，解得， 故的方程为. （2）①由已知，. 由知，点在线段的中垂线上. 又点在：上，联立,解得，所以.     易知的外接圆圆心也在线段的中垂线上. 设，连接并延长交的外接圆于，连接. 在中，，且. 由射影定理有. 即. 解得，故.     所以的外接圆的标准方程为.     ②设直线的斜率分别为，则，故其方程为.     联立，得，解得（舍去）.     故，所以. 故.     因为，所以.    【变式2】已知双曲线的离心率为，且经过点． (1)求的方程； (2)过点作直线与交于，两点，与直线交于点，若，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件，建立方程组，直接求出，即可求解； （2）根据条件，设，，联立直线与双曲线方程，消，利用根与系数之间的关系得，结合题设条件得，即可求解. 【详解】（1）依题意，，解得， 所以的方程为. （2）由题知直线的斜率存在，设，， 由，消得到， ，且，（*） ， 由，得到， 则，， 因为，则，得到， 所以，解得或， 当时，直线与双曲线无交点，所以，满足（*）， 故直线的方程为.    题型06 弦长问题 双曲线弦长问题，一般联立直线与双曲线方程，消元得到一元二次方程，判别式大于零才有两个交点。利用韦达定理得到两根之和与两根之积，代入弦长公式完成计算。注意二次项系数等于零时，直线平行于渐近线，只会出现单个交点，不存在弦长。斜率不存在时，直接代入方程求出交点纵坐标再算距离。要注意交点可能分布在同一支或者左右两支。计算仔细，避免代数运算失误，大题书写联立、判别式、韦达定理完整步骤，警惕只有一个交点的易错情形。 【典例1】已知双曲线（，）的实轴长为4，离心率. (1)求双曲线的方程； (2)过点的直线与双曲线相交于，两点，是否存在直线使得点是弦的中点？若存在，求的面积.若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) 存在， 【分析】（1）根据实轴长以及离心率公式求出，进而得双曲线方程. （2）先根据中点坐标公式及双曲线方程求得直线的方程，联立方程，根据韦达定理以及弦长公式求出，再求出到直线的距离，进而求出的面积. 【详解】（1）依题意：，则. 又因为，所以. 所以. 所以双曲线的方程为. （2）存在.如图，设. 因为为直线与双曲线的交点， 所以， 由得：. 即. 因为点是弦的中点，所以. 所以. 此时直线的方程为，即. 联立方程得，消去得：. 则， 所以存在直线，使得点是弦的中点. 则由韦达定理：. 所以. 点到直线的距离， 所以. 【变式1】已知点A，B在曲线上，以点A，B为切点的关于曲线C的切线交于点P（P在第一象限），作，垂足为H，O为坐标原点.若且，则直线OP的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，根据切线分析可知直线，与曲线C方程联立可得韦达定理，设线段的中点为，可知三点共线，可得，，结合长度关系运算求解即可. 【详解】设，，，，， 因为直线OP的斜率为，即， 又因为点在曲线外，则， 由题意可知：曲线在点A处的切线斜率不为0，可设切线方程为， 联立方程，消去x可得， 则，且，解得， 则切线方程为， 因为点在曲线上，则， 所以曲线在点A处的切线方程为，即， 同理可得：曲线在点B处的切线方程为， 又因为两条切线均过点，则，可得直线， 则点到直线的距离为， 因为，，， 则，， 联立方程，消去x可得， 则，， 则， 即，整理可得， 即，整理可得， 设线段的中点为，则， 且，可得，即， 因为直线的斜率为，可知三点共线， 且，即，即， 可知，则， 即，整理可得， 则，即，解得， 即，所以直线OP的斜率为. 【变式2】已知圆：，斜率不为0的直线过点且与圆交于，两点，过点与直线平行的直线交直线于点，记点的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)设直线与圆：相切，与曲线交于，两点，记为坐标原点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据几何关系得到，结合双曲线的定义可知点的轨迹为以，为焦点的双曲线（右支），进而求方程即可； （2）设出直线方程，根据直线与圆相切求出直线方程，与双曲线联立，结合韦达定理及弦长公式求出，求出原点到直线的距离，代入三角形面积公式求解即可. 【详解】（1）已知圆：，圆心，半径.    所以，故. 因为，所以， 又，所以，所以. 则，又， 根据双曲线的定义可知，点的轨迹为以，为焦点的双曲线（右支）， 即，，所以，， 故的方程为. （2）设直线：， 由直线与圆相切可得，解得，即.    不妨取，则直线：， 代入双曲线方程整理得，，， 设，，则，. 所以， 原点到直线的距离为， 所以. 题型07 中点弦问题 双曲线中点弦问题，可使用联立韦达定理或者点差法求解。点差法运算简便，设出弦两端点坐标代入双曲线方程，两式作差得到中点与斜率的关系式。使用点差法求出直线后，必须回代检验判别式，双曲线极易出现不存在的虚假中点弦。要留意直线与渐近线平行的特殊情况，此时不会产生中点弦。分清交点落在同一支还是两支，注意二次项系数不为零。大题不能直接套用点差结论，需要简单推导，同时结合判别式验证，避免得到无解的虚假直线。 【典例1】过点的直线与双曲线相交于，两点，且为的中点，则直线的方程为______． 【答案】 【分析】利用“点差法”求出直线的斜率，再由点斜式方程求解即可． 【详解】设，，则，， 两式相减得, 因为为的中点，所以，, 所以，即所求直线的斜率为1， 所以直线的方程为，即． 【变式1】（多选）已知双曲线：，则（    ） A．双曲线的实轴长为3 B．双曲线的焦点到渐近线的距离为1 C．若直线与的右支有两个公共点，则 D．存在过点的直线与相交于，，且点为的中点 【答案】BC 【分析】由实轴的定义计算可判断A选项；利用点到直线的距离公式可判断B选项；联立方程组后解不等式可判断C选项；设出直线方程，联立后利用韦达定理可判断D选项． 【详解】对于A，由题意可知，，，， 则实轴长，故A错误； 对于B，渐近线方程为，即，焦点为， 则焦点到渐近线距离为，故B正确； 对于C，联立得， 由于直线与的右支有两个公共点，设两交点的横坐标分别为， 则，， ，， 解得，故C正确； 对于D，若存在过点的直线与相交于，且为的中点， 则该直线的斜率必然存在，设直线方程为， 设的横坐标分别为，则， 联立，得， 故，此方程无解， 故不存在过点的直线与相交于，且点为的中点，故D错误． 【变式2】已知双曲线的一条渐近线方程是，焦距为4． (1)求双曲线的方程； (2)过双曲线右焦点的直线与双曲线右支交于两点，若线段的中点为，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题知，，进而结合求解即可得答案； （2）由题设直线的方程为，，，， 进而与双曲线方程联立，结合题意得且，进而根据韦达定理进行求解. 【详解】（1）因为双曲线的一条渐近线方程是， 所以，即 因为焦距为4，所以，即 因为， 所以， 所以双曲线的方程为. （2）由题知双曲线的右焦点为， 故设直线的方程为， 则联立方程得， 设，， 所以， 因为直线与双曲线的右支交于A，B两点， 所以，即且， 所以，解得：且， 若线段的中点为，得， 得,解得或， 而且，得， 得所求直线的方程为：，即为. 题型08 定点定值最值问题 一般设出直线方程，联立双曲线，利用韦达定理整体代换。注意直线平行渐近线的特殊情况，避免二次项系数为零造成失误。定值问题化简表达式消去参数得到常数；定点问题整理式子，令参数系数等于零求解坐标。最值问题转化为函数，结合自变量范围求取结果。小题可用特殊位置猜想答案，大题需要完整推导。务必检验判别式，保证交点真实存在，警惕虚假解。运算过程仔细化简，区分交点在同一支还是两支，防止出现漏解 【典例1】设动圆M的半径为r，它与圆外切，且与圆内切． (1)求圆心M的轨迹方程E (2)设点，直线与曲线E相交于A，B两点． ①若的中点为，求直线l的方程； ②若以为直径的圆恒过点P，试判断直线l是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②过定点，定点坐标为 【分析】（1）由已知可得，，由双曲线的定义可求得圆心M的轨迹方程E； （2）①设，联立直线与双曲线方程，消去，利用根与系数的关系可得，求解即可；②结合①，求得，利用，可得的关系，进而分类讨论可求得直线l所过定点. 【详解】（1）因为动圆M与圆外切，所以， 因为动圆M与圆内切，所以， 所以，根据双曲线的定义，点M的轨迹为双曲线的右支， 且，所以，所以， 所以圆心M的轨迹方程E为. （2）①由（1）知，E的方程为，设， 由，消去得，， ，且， ，由为的中点，得，解得，满足， 所以直线l的方程为，即. ② 由①，．， 则 ，由以为直径的圆恒过点P，得， 于是，解得或， 当时，直线过，不符合题意； 当时，直线过定点， 所以直线l过定点，该定点坐标为. 【变式1】已知双曲线的离心率为，过上的动点作曲线的两渐近线的垂线，垂足分别为和，的面积为． (1)求曲线的方程． (2)如图，曲线的左顶点为，点位于原点与右顶点之间，过点的直线与曲线交于，两点，直线过且垂直于轴，直线，分别与交于，两点，若，，，四点共圆，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题设有，得双曲线方程为.设，应用点线距离公式，，，，四点共圆、三角形面积公式列方程求参数，即可得双曲线方程. （2）由共圆得，设，，，，，且，联立双曲线，应用韦达定理列方程求参数即可. 【详解】（1）由，又得：，所以渐近线方程为， 则双曲线方程为，即， 设，则到渐近线的距离分别为， 又两渐近线的夹角为，由题意知，，，四点共圆，则或， 的面积 ， 所以，∴曲线的方程为：． （2）如图，，，四点共圆， ， 设，，，，， 易得，令得： 当的斜率为时，不符合题意： 当的斜率不为时，设， 联立双曲线得， 则，且，即，且， 所以，， 由，即， ， ，符合， 综上，． 【变式2】已知双曲线的一条渐近线的方程为，的右焦点到直线的距离为1，． (1)求的方程； (2)已知上的动点，关于轴对称，直线与交于另外一点，证明：直线恒过定点； (3)设与的渐近线不平行的两条直线，均与相切，且交点为，当，的斜率之积为时，判断是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)证明：由题知直线的斜率存在且不为零，设其方程为，     与联立，消去并整理得，                        则，且，即，且．                   设，，则， 则，，，                         直线的方程为，                                 令，得，                        所以直线过定点．                                                   (3)存在，定点（椭圆的左焦点） 【分析】（1）根据距离公式和渐近线中关系，求出，得到的方程. （2）设直线截距式方程与双曲线联立，结合判别式确定参数取值范围，利用韦达定理得到交点纵坐标关系；由对称点写出直线方程，令化简横坐标，借助韦达结论消参求得定点横坐标，完成定点证明. （3）设过动点且不与双曲线渐近线平行的切线方程，与双曲线方程联立，利用直线与双曲线相切时判别式建立等式，整理得到以切线斜率为变量的一元二次方程，结合韦达定理与两切线斜率乘积的定值条件化简，推导出动点的轨迹椭圆，再根据椭圆的定义，结合椭圆的两个焦点，确定使为定值的定点. 【详解】（1）设，由到渐近线的距离为1，得．解得， 又由及，解得，， 所以的方程为． （2）略. （3）设过点，与只有一个公共点，且与的渐近线不平行的直线方程为， 与联立，消去整理，得. 则，由，得， 整理得， 设的斜率分别为，则是上面关于的方程的两个实根， 所以，整理得， 所以动点在椭圆上，且点为其右焦点， 所以存在定点（椭圆的左焦点），使得，为定值． 1．已知双曲线的标准方程为（其中，.若过两点、的直线的倾斜角为，则该双曲线的离心率为___________． 【答案】2 【分析】根据直线的斜率公式、双曲线的离心率的定义计算即可. 【详解】由题意，得，即， 所以双曲线的离心率为. 2．已知直线：，点在双曲线：上．若点到直线的距离不存在最小值，则双曲线的离心率是______，实数的值为______． 【答案】 / 【分析】双曲线上的点到直线距离无最小值时，直线与双曲线的一条渐近线平行，由此确定的值，再计算离心率． 【详解】方程 表示双曲线，故 ，可化为 ， 其渐近线为，直线 即 ， 若点到直线的距离不存在最小值，则直线与双曲线不相交且平行于渐近线， 故，解得 ， 此时双曲线为 ，即 ，离心率 ． 3．已知双曲线的渐近线方程为，则（     ） A． B．3 C．6 D．9 【答案】B 【分析】根据渐近线方程结合已知双曲线方程列式计算求解. 【详解】因为双曲线为，则渐近线为， 又因为渐近线为，且，所以. 4．已知双曲线虚轴的两个端点分别为，，左、右焦点分别为，，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在双曲线中，虚轴端点和焦点构成等腰三角形，利用等腰三角形底角的正切与顶角余弦的关系（二倍角公式），代入已知的顶角余弦值，解出与的比例即可求得离心率． 【详解】 设，则， 由， 整理得，所以，整理得，所以． 5．已知双曲线：（，）的右焦点到一条渐近线的距离为1，且点在双曲线上． (1)求双曲线的方程； (2)斜率为的直线与双曲线的右支交于、两点（异于点）．求证：直线、的斜率之和为定值． 【答案】(1) (2)如图，设点、，设直线的方程为， 因为点不在直线上，则，可得， 联立，消去可得， 则，解得或， 由题意可得，所以且， 所以 ， 即直线、的斜率之和为. 【分析】（1）利用点到直线的距离公式求出的值，将点的坐标代入双曲线的方程，求出的值，即可得出双曲线的方程； （2）设点、，设直线的方程为，将该直线方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，结合斜率公式可求得直线、的斜率之和. 【详解】（1）双曲线的右焦点为，渐近线方程为，即， 所以焦点到一条渐近线的距离为， 因为点在双曲线上，所以，解得， 故双曲线的标准方程为. （2）略. 6．设双曲线：（，）经过点和点，则C的渐近线方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把点和代入双曲线方程求出，再求出渐近线方程即可. 【详解】把点和，代入双曲线方程可得 ， 所以双曲线方程为， 故该双曲线渐近线方程为. 7．已知双曲线：（，），圆为以实轴为直径的圆，试验发现将圆竖直上移个单位或水平右移个单位后均与双曲线的渐近线相切，则该双曲线的离心率为________. 【答案】/ 【分析】先求出圆，竖直上移个单位或水平右移个单位后的圆的方程，然后结合双曲线的渐近线得到，进而求得离心率. 【详解】依题意，圆的方程为，将其竖直上移个单位或水平右移个单位后， 分别得到圆. 因圆均与双曲线的渐近线相切，不妨取渐近线. 则，即，解得. 所以双曲线的离心率. 8．已知双曲线的两渐近线的夹角为，且实轴长小于虚轴长，则的虚轴长与焦距之比等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设双曲线的标准方程为（）， 则它的渐近线方程为， 已知实轴长小于虚轴长，即，所以 因为渐近线的夹角为，所以渐近线的倾斜角为和， 所以，即， 由，代入， 得 ，即， 虚轴长为，焦距为， 所以虚轴长与焦距之比为. 故选项C正确. 9．已知点，，双曲线的方程经过点，且的一条渐近线与直线平行，为上异于顶点的任意一点，为的左顶点． (1)求的方程； (2)求直线与的斜率之积； (3)设为上异于顶点和点的任意一点，且直线的斜率是直线的斜率的3倍，证明：直线恒过定点． 【答案】(1) (2) (3)证明：（方法一）由（2）知，，因为，所以． 设直线的方程为，代入， 得， 则且，即且． 设（且），则，． 因为， 再将，代入得：得， 即， 所以， 因为直线不过点，所以，所以， ，化简整理得，解得， 所以直线的方程为，故直线恒过定点． （方法二）设直线的方程为，代入， 得， 则且，即且． 设（且），则，． 因为，所以，即， 整理得， 由，所以，得， 所以， ，整理得， 因为等式恒成立，所以，解得． 所以直线的方程为，故直线恒过定点． 【分析】（1）根据双曲线的性质可得双曲线的基本量，进而可得双曲的方程； （2）设，根据点在双曲线上及斜率的定义可得； （3）方法一：先设直线的方程为，由（2）的分析得，进而可得，再由斜率的坐标运算公式及根与系数关系代入化简得，从而可得直线过定点；方法二：先设直线的方程为，再由条件及根与系数关系可得恒成立，得，从而可得及直线过定点. 【详解】（1）由经过点，得． 由，又因为双曲线一条渐近线与直线平行， 所以，则，故的方程为． （2）设，则，即， 因为，， 所以， 故直线与的斜率之积为． （3）略 10．已知双曲线：（，）的焦距为，其中的一条渐近线与直线垂直． (1)求的方程； (2)记的右顶点为，横坐标为4的点在上，射线上的点满足，求点的坐标； (3)直线：与交于，两点，为坐标原点．是否存在常数，使恒为定值？若存在，求出常数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)不存在常数，使恒为定值.理由如下： 如图： 将直线代入，整理得：. 由可得， 设，，则，， 则. 则 . 要使为定值，不随的改变而改变，须使， 该方程在实数范围内无解，故不存在常数，使为定值. 【详解】（1）直线的斜率为，双曲线的一条渐近线与直线垂直， 所以这条渐近线的斜率为. 依题意，可得解得. 所以双曲线的标准方程为：. （2）由题意，对于，当时，，即或. ① 当时，，则， 设，，由， 即，解得，所以，则 ② 当时，同法可得. 所以点坐标为或. （3）略 1．双曲线：（）的左焦点为，点在抛物线：（）的准线上，过点作双曲线的渐近线的垂线，垂足为M，延长交抛物线于点N，，则双曲线的离心率为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由焦点在准线上得，求出垂足坐标，利用中点条件得坐标，代入抛物线方程化简得，解得. 【详解】设双曲线左焦点，抛物线准线，由在准线上得， 即，过作渐近线的垂线，垂足，垂线方程为， 与渐近线联立，解得，所以， 由知为中点， 故，代入抛物线得， 化简得，设，则方程化为， 解得，由于双曲线离心率，故，所以. 因为，因此. 2．已知抛物线的焦点是双曲线的一个顶点，为与的交点，，则的离心率为________． 【答案】/ 【分析】先根据双曲线的定义得到的值，根据抛物线的性质得到的坐标，从而代入双曲线中得到的值，进而根据离心率的定义即可得到双曲线的离心率． 【详解】由题意得，的一个顶点坐标为，故， 由于为与的交点，，故，解得， 将代入中得， 将，代入中得， 又，故，所以的离心率为． 3．已知双曲线C：的左右焦点分别为，，直线与双曲线的右支交于点且，的中点记为，且，则双曲线的离心率为_____． 【答案】/ 【分析】先根据题意求出，然后利用双曲线的定义得到，利用直角三角形和面积公式列出关于的两个方程，求解出，进而求出离心率. 【详解】双曲线的左右焦点分别为，， 直线与双曲线的右支交于点且，的中点为，且 ， 的中点记为，的中点记为， 则，， ，则，，即，整理得①. 又，即，整理得②. 联立，解得或（舍）. 则双曲线的离心率为. 4．（多选）在平面直角坐标系中，对于给定的曲线和定点，设为上任意一点，是曲线在点处的切线，是过点且与垂直的直线．作线段的垂直平分线，若与相交，记交点为，当在上运动时，称点的轨迹为曲线关于点的“中垂法截线”，下列选项正确的有（    ） A．若为直线，为直线外一点，则中垂法截线是一条抛物线 B．若为圆，为圆内一点，则中垂法截线是一个椭圆 C．若为圆，为圆外一点，则中垂法截线是双曲线 D．若为抛物线，为的焦点，则中垂法截线不是一个圆 【答案】ACD 【分析】利用根据抛物线，椭圆，双曲线，圆的定义判断. 【详解】因为点在线段的中垂线上，所以， A选项，就是， ， 由可知轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线，故A正确； B选项，由，得， 若与不重合，则点的轨迹为椭圆；若与重合，则点轨迹是圆，故B错误； C选项，由得 ，则轨迹是以、为焦点的双曲线，故C正确； D选项，由抛物线的对称性可知，会存在无数多组关于抛物线的对称轴对称的点， 显然不可能是圆，故D正确. 5．如图，这是单叶双曲面的立体结构图，且为中心对称图形，其轴截面为双曲线的一部分.若该几何体的高为4，上底面圆的直径为6，垂直于旋转轴的截面圆的面积的最小值为，则在下列双曲线的方程中，与该轴截面双曲线的离心率相同的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设轴截面双曲线所在的方程为. 因为垂直于旋转轴的截面圆的面积的最小值为,所以, 又由该几何体的高为,上底面圆的直径为,得到双曲线上一点的坐标为, 代入,可得,所以,所以. 选项A,双曲线离心率为. 选项B,双曲线离心率为. 选项C,双曲线离心率为. 选项D,双曲线离心率为. 所以只有C选项与该轴截面双曲线的离心率相同. 6．如图，已知双曲线的焦距为，过点且不垂直轴的直线：交双曲线于M，N两点． (1)求双曲线的标准方程； (2)若，求实数的值； (3)设，若点满足，求点的轨迹方程． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据题设求出，进而求解即可； （2）联立直线与双曲线方程，结合韦达定理及列方程求解即可； （3）设，由可得，由可得，进而得到，结合求出，进而代值求得，进而求解即可. 【详解】（1）双曲线的焦距为，则， ，解得， 双曲线的标准方程为． （2）设，   联立，得，且， 则， ， ， 整理得 ，解得或． （3）设， 即， ， ， ∵， ， 点的轨迹方程为． 7．已知双曲线的渐近线方程为和，右焦点为． (1)求的标准方程； (2)过的直线交的右支于，两点，过作的平行线交于点，过作的平行线交于点，证明：． 【答案】(1) (2)设，，直线的方程为， 过且与平行的直线可写为， 联立，解得， 过且与平行的直线可写为， 联立，解得， 当时，，，此时 ， 则直线和均垂直于轴且不重合，所以， 当时，联立得， 易知，且，， ，所以， 又，，，四点不共线，所以. 【详解】（1）由渐近线方程知，，由焦点坐标可知，， 联立，解得，故的方程为. （2）略. 8．（多选）已知双曲线C：(，)的一条渐近线经过点，左、右焦点分别为，，且，点为的右支上任意一点，则下列结论中正确的是（    ） A．的离心率为 B． C．过点且与双曲线只有一个公共点的直线有2条 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】对于A，根据题意求出即可判断；对于B，结合双曲线的定义即可判断；对于C，分为直线斜率存在和不存在两种情况分别讨论，结合方程解的情况即可判断；对于D，结合双曲线的定义可得，即可判断. 【详解】因为渐近线经过点，， 所以，，结合,解得，，， 所以的离心率为，故A正确； 根据双曲线的定义可知，故B错误； 当过点的直线斜率不存在时，直线为，此时与双曲线只有一个交点， 当过点的直线斜率存在时，设直线方程为， 联立，消去得， 当时，解得.若，方程无解；若，方程有且只有一解，此时直线方程为； 当时，若方程有且仅有一解， 则，方程无解， 综上所述，过点且与双曲线只有一个公共点的直线有2条，故C正确； 由双曲线的定义得， 当且仅当三点共线时，等号成立， 所以的最小值为，故D正确. 9．已知双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，若过点作轴的垂线交双曲线于点，则. (1)求的标准方程； (2)已知直线与双曲线交于两点，若以为直径的圆过点，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）根据弦长求出即可； （2）根据题意联立得，设，则，再由 进行求解． 【详解】（1）由题可知，则，即， 解得，， 所以双曲线； （2）由直线与双曲线联立方程组消可得： ，又直线与双曲线交于两点， 所以 ，即， 设，则，    因为以为直径的圆过点，所以， 即 ， 化简得： ， 解得或，都满足， 所以直线的方程为或. 10．已知动点到点的距离等于其到直线距离的2倍，记点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)设直线与曲线分别交于点和点，且． （i）求证：是定值； （ii）原点到直线的距离是否为定值？如果是请求出定值，如果不是请说明理由． 【答案】(1) (2) （i）方法1： 证明：若直线的斜率不存在，可设其方程为， 若设，则，代入曲线的方程中，得，则此时， 若直线的斜率存在，可设直线的方程为， 联立方程，得，整理得， 则，且， 所以， 所以， 因为，则有，所以，所以， ， ， 所以 ， 即为定值． 综上可知，始终为定值 方法2： 当中有一条斜率不存在，另一条斜率为0时，中有一条直线与曲线不相交，所以不符合题意． 设，则， 联立方程解得，则． 用替换上式中的即得． 因此， 即为定值． 综上可知，始终为定值． （ii）定值为，理由如下： 原点到直线的距离为定值，证明如下： 设原点到直线的距离为 由三角形面积公式可知： 化简可得，从而， 由（i）知，则，即： 综上可知，原点到直线的距离为定值； 【详解】（1）设动点，则， 点到直线的距离，由题意知，即， 化简，得，即曲线的方程为． （2）（i）略 （ii）略 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.2.2 双曲线的简单几何性质 教学目标 1.掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等核心几何性质，熟记参数 、、 关系，能根据标准方程求解双曲线基本要素。 2.类比椭圆几何性质的研究方法，学会由方程探究曲线特征，熟练数形结合的解题思路，提升代数运算与图形分析能力。 3.通过对比椭圆与双曲线的性质异同，培养类比推理、直观想象素养，能利用几何性质解决基础求值与判断问题。 教学重难点 重点 1.双曲线的对称性、顶点、范围等基础几何性质； 2.渐近线方程与离心率的求解及几何意义； 3.利用双曲线标准方程分析、应用几何性质解题。 难点 1.理解双曲线渐近线的特殊几何意义，掌握渐近线相关解题技巧； 2.区分椭圆与双曲线abc的关系式，避免公式混淆； 3.利用离心率、渐近线条件求解双曲线参数及范围问题。 知识点01 双曲线的简单几何性质 双曲线（a>0，b>0）的简单几何性质 范围 ，即或 双曲线上所有的点都在两条平行直线和的两侧，是无限延伸的．因此双曲线上点的横坐标满足________________． 对称性 对于双曲线标准方程（，），把换成，或把换成，或把、同时换成、，方程都不变，所以双曲线（a>0，b>0）是以轴、轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心． 顶点 ①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的________． ②双曲线（，）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为，，顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点． ③两个顶点间的线段叫作双曲线的实轴；设，为y轴上的两个点，则线段叫做双曲线的虚轴．实轴和虚轴的长度分别为________________．叫做双曲线的实半轴长，叫做双曲线的虚半轴长． ①双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆． ②双曲线的焦点总在实轴上． ③实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线． 离心率 ①双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用e表示，记作． ②因为，所以双曲线的离心率． 由，可得，所以决定双曲线的________，越大，e也越大，双曲线开口就越开阔．所以离心率可以用来表示双曲线开口的大小程度． ③等轴双曲线，所以离心率． 渐近线 经过点、作y轴的平行线，经过点、作x轴的平行线，四条直线围成一个矩形（如图），矩形的两条对角线所在直线的方程是． 我们把直线叫做双曲线的渐近线；双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交． 【即学即练】 1．中心在原点，实轴在轴上，一个焦点在直线上的等轴双曲线方程是________． 2．已知双曲线过点，渐近线方程为，圆C经过双曲线的一个顶点和一个焦点且圆心在双曲线上，则圆心到该双曲线的中心的距离是（   ） A． B． C．4 D． 3．已知双曲线的焦距为6，则此双曲线的离心率为_________． 知识点02 双曲线的渐近线 （1）已知双曲线方程求渐近线方程： 若双曲线方程为，则其渐近线方程为________________ 已知双曲线方程，将双曲线方程中的“常数”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程． （2）已知渐近线方程求双曲线方程： 若双曲线渐近线方程为，则可设双曲线方程为________________，根据已知条件，求出即可． （3）与双曲线有公共渐近线的双曲线 与双曲线有公共渐近线的双曲线方程可设为________________（，焦点在轴上，，焦点在y轴上） （4）等轴双曲线的渐近线 等轴双曲线的两条渐近线互相垂直，为，因此等轴双曲线可设为． 【即学即练】 1．已知抛物线与双曲线在第四象限的交点为，点到抛物线的准线的距离，则当取得最小值时，抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为________． 2．若直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．已知双曲线的一条渐近线方程为，则其离心率为（    ） A． B． C． D． 知识点03 双曲线中，，的几何意义及有关线段的几何特征 双曲线标准方程中，、、三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身的形状大小所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：，，且． 双曲线，如图： （1）实轴长，虚轴长，焦距， （2）离心率：； （3）顶点到焦点的距离：________________，________________； （4）中结合定义与余弦定理，将有关线段、、和角结合起来． （5）与焦点三角形有关的计算问题时，常考虑到用双曲线的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式________________相结合的方法进行计算与解题，将有关线段、、，有关角结合起来，建立、之间的关系． 【即学即练】 1．（多选）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点（位于第一象限）在上，在点处的切线恰好为的角平分线，则（   ） A．的渐近线方程为 B．当时， C．当与轴交于点时， D．当的斜率为2时，点到轴的距离为 2．（多选）已知双曲线的左、右焦点分别是，，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，且与双曲线左支交于点，若，则（    ） A． B． C．的离心率为 D． 3．已知平面内的动点到点的距离与到直线的距离之比为，记动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)（i）已知点，若在上存在一点，使的值最小，求这个最小值； （ii）已知双曲线，点是曲线上的动点、过作双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为、，是线段的中点．求出动点的轨迹方程及面积的最大值． 知识点04 直线与双曲线的位置关系判断 将双曲线方程与直线方程联立消去 得到关于的一元二次方程， 1、当，即时，直线 与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个交点； 2、当，即时，设该一元二次方程的判别式为， 若，直线与双曲线相交，有两个公共点； 若，直线与双曲线________，有一个公共点； 若，直线与双曲线相离，没有公共点； 【即学即练】 1．已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为． (1)求双曲线的标准方程； (2)若斜率为的直线与圆相切，与双曲线交于两点，且（其中为坐标原点），求的取值范围． 2．已知双曲线与直线交于不同的两点A，B，若线段的中点在圆上，则________. 3．已知双曲线的左、右焦点分别为，，焦距为，直线与双曲线的右支交于点，若的内切圆半径为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 知识点05 弦长公式 若直线与双曲线（，）交于，两点， 则________________或（）． 【即学即练】 1．两条渐近线为，的双曲线，则被直线截得弦长为，双曲线方程为__________． 2．两条渐近线为，且截直线所得弦长为的双曲线方程为（） A． B． C． D． 3．过点的直线交双曲线于，两点，若弦的长为，则满足条件的直线有（     ） A．2条 B．4条 C．3条 D．6条 题型01 双曲线的简单几何性质 双曲线简单几何性质，牢记c2=a2+b2，和椭圆公式做好区分。掌握范围、对称性、顶点，重点攻克渐近线与离心率。渐近线可快速由标准方程令等式右侧为零直接求得。离心率e=c/a​，双曲线e>1，e 越大双曲线开口越开阔。已知渐近线可设共渐近线双曲线系方程简化计算。解题分清焦点位置，不要混淆 a、b。处理离心率范围，转化为 a、c 齐次不等式求解。做题对比椭圆性质，防止概念混淆，注意自变量取值范围。 【典例1】已知双曲线：的离心率为，则的焦距为（     ） A． B． C． D． 【变式1】已知双曲线的一条渐近线斜率为2，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（多选）在平面直角坐标系中，已知双曲线左、右焦点为，，离心率，下列说法中正确的有（    ） A．的渐近线为 B．的焦距是虚轴长的倍 C．若的焦点到其渐近线的距离为，则 D．若的焦距为8，则其渐近线上存在点，使得 题型02 双曲线的渐近线 求解双曲线渐近线，可直接把标准方程右边的 1 换成零，因式分解就能得到渐近线。已知渐近线求双曲线，可利用共渐近线的双曲线系设方程，减少计算量。解题要分清焦点位置，焦点在 x 轴与 y 轴对应的渐近线形式不一样。注意渐近线不是双曲线的一部分，双曲线永远不会和渐近线相交。经常结合离心率考查，建立离心率和 a、b 之间的关系式。做题要和椭圆区分，椭圆没有渐近线，审题看清条件，避免参数 a、b 出现混淆。 【典例1】已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（多选）已知是双曲线上一点，且在轴上方，，分别是双曲线的左、右焦点，，直线的斜率为，的面积为，则下列结论中正确的是（    ） A．双曲线的离心率 B．双曲线的方程为 C． D．双曲线的渐近线方程为 【变式2】（多选）已知点（，）在双曲线上，点，，则（    ） A．双曲线C的两条渐近线相互垂直 B．面积的取值范围为 C．可能为直角 D．双曲线C在P处的切线与x轴交于点Q，则P，Q的横坐标的乘积为1 题型03 求双曲线离心率的值 求双曲线离心率，核心公式为 e 等于 c 比 a，双曲线离心率大于一。解题关键是依据题目条件，构造 a 和 c 的齐次等式。可以借助双曲线定义、焦点三角形、渐近线、几何垂直关系建立方程。将等式两边同时除以 a 的平方，转化为关于离心率的方程进行求解。求出结果后，务必舍去小于等于一的解。注意区分双曲线与椭圆的参数关系，双曲线满足 c 平方等于 a 平方加 b 平方。审题看清焦点位置，焦点在 x 轴或者 y 轴，不改变离心率的计算结果。 【典例1】（多选）下列关于双曲线的共轭双曲线的说法正确的有（   ） A．标准方程是 B．焦点坐标是和 C．渐近线是 D．离心率 【变式1】已知双曲线的左、右顶点分别为，，右焦点为，且，则的离心率为__________． 【变式2】已知双曲线：的一条渐近线方程为，则的离心率为_____________. 题型04 求双曲线离心率的范围 求双曲线离心率取值范围，离心率 e 大于一，核心是构造 a 与 c 的齐次不等式。可以利用焦点三角形边角关系、直线和双曲线相交的判别式、点的位置约束建立不等条件。将不等式转化齐次形式，两边除以 a 的平方，变为关于 e 的不等式求解。结果必须结合双曲线 e 大于一的固有范围，筛除不符合的解。注意区分双曲线 c 平方等于 a 平方加 b 平方，不要和椭圆公式混淆。解题还要判断等号是否能够成立，结合图形验证临界情况，防止出现增解。 【典例1】直线与双曲线：（，）交于，两点，存在以为的中点，则的离心率的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式1】已知分别为双曲线 的左、右焦点，为双曲线右支上的任意一点，当取最小值时，则双曲线的离心率的取值范围为_______． 【变式2】（多选）如图，圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，是的中点，过与底面平行的平面绕点逆时针转动，截圆锥依次得到圆，椭圆，部分椭圆，抛物线，双曲线.则（    ） A．截面中圆的面积为 B．截面是完整椭圆的离心率最大是 C．截面是抛物线的焦准距 D．垂直于底面的双曲线截面的离心率为 题型05 直线与双曲线的位置关系 直线与双曲线位置关系，联立直线与双曲线方程消元得到一元方程。要注意二次项系数是否为零，系数为零时直线和渐近线平行，仅有一个交点，但不是相切。通过判别式判断相交、相切、相离，判别式大于零有两个交点，等于零为相切，小于零无交点。相交问题常结合韦达定理计算弦长中点。解题需要单独讨论斜率不存在的情况，注意双曲线两支的限制。一个交点不等同于相切，这是高频易错点，做题要区分平行渐近线与相切两种情形。 【典例1】（多选）双曲线的左，右焦点分别为，是上一点，且轴，直线平分，是坐标原点．下列结论正确的有（   ） A．若，则的离心率为 B．若，垂足为，则 C．与有唯一公共点 D．与轴的交点在直线上 【变式1】已知双曲线：的右焦点为，一条渐近线为：. (1)求的方程； (2)设的左顶点为，点在上，且. ①求的外接圆的标准方程； ②设直线与交于另一点，求的大小. 【变式2】已知双曲线的离心率为，且经过点． (1)求的方程； (2)过点作直线与交于，两点，与直线交于点，若，求直线的方程． 题型06 弦长问题 双曲线弦长问题，一般联立直线与双曲线方程，消元得到一元二次方程，判别式大于零才有两个交点。利用韦达定理得到两根之和与两根之积，代入弦长公式完成计算。注意二次项系数等于零时，直线平行于渐近线，只会出现单个交点，不存在弦长。斜率不存在时，直接代入方程求出交点纵坐标再算距离。要注意交点可能分布在同一支或者左右两支。计算仔细，避免代数运算失误，大题书写联立、判别式、韦达定理完整步骤，警惕只有一个交点的易错情形。 【典例1】已知双曲线（，）的实轴长为4，离心率. (1)求双曲线的方程； (2)过点的直线与双曲线相交于，两点，是否存在直线使得点是弦的中点？若存在，求的面积.若不存在，请说明理由. 【变式1】已知点A，B在曲线上，以点A，B为切点的关于曲线C的切线交于点P（P在第一象限），作，垂足为H，O为坐标原点.若且，则直线OP的斜率为（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知圆：，斜率不为0的直线过点且与圆交于，两点，过点与直线平行的直线交直线于点，记点的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)设直线与圆：相切，与曲线交于，两点，记为坐标原点，求的面积. 题型07 中点弦问题 双曲线中点弦问题，可使用联立韦达定理或者点差法求解。点差法运算简便，设出弦两端点坐标代入双曲线方程，两式作差得到中点与斜率的关系式。使用点差法求出直线后，必须回代检验判别式，双曲线极易出现不存在的虚假中点弦。要留意直线与渐近线平行的特殊情况，此时不会产生中点弦。分清交点落在同一支还是两支，注意二次项系数不为零。大题不能直接套用点差结论，需要简单推导，同时结合判别式验证，避免得到无解的虚假直线。 【典例1】过点的直线与双曲线相交于，两点，且为的中点，则直线的方程为______． 【变式1】（多选）已知双曲线：，则（    ） A．双曲线的实轴长为3 B．双曲线的焦点到渐近线的距离为1 C．若直线与的右支有两个公共点，则 D．存在过点的直线与相交于，，且点为的中点 【变式2】已知双曲线的一条渐近线方程是，焦距为4． (1)求双曲线的方程； (2)过双曲线右焦点的直线与双曲线右支交于两点，若线段的中点为，求直线的方程． 题型08 定点定值最值问题 一般设出直线方程，联立双曲线，利用韦达定理整体代换。注意直线平行渐近线的特殊情况，避免二次项系数为零造成失误。定值问题化简表达式消去参数得到常数；定点问题整理式子，令参数系数等于零求解坐标。最值问题转化为函数，结合自变量范围求取结果。小题可用特殊位置猜想答案，大题需要完整推导。务必检验判别式，保证交点真实存在，警惕虚假解。运算过程仔细化简，区分交点在同一支还是两支，防止出现漏解 【典例1】设动圆M的半径为r，它与圆外切，且与圆内切． (1)求圆心M的轨迹方程E (2)设点，直线与曲线E相交于A，B两点． ①若的中点为，求直线l的方程； ②若以为直径的圆恒过点P，试判断直线l是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由． 【变式1】已知双曲线的离心率为，过上的动点作曲线的两渐近线的垂线，垂足分别为和，的面积为． (1)求曲线的方程． (2)如图，曲线的左顶点为，点位于原点与右顶点之间，过点的直线与曲线交于，两点，直线过且垂直于轴，直线，分别与交于，两点，若，，，四点共圆，求点的坐标． 【变式2】已知双曲线的一条渐近线的方程为，的右焦点到直线的距离为1，． (1)求的方程； (2)已知上的动点，关于轴对称，直线与交于另外一点，证明：直线恒过定点； (3)设与的渐近线不平行的两条直线，均与相切，且交点为，当，的斜率之积为时，判断是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 1．已知双曲线的标准方程为（其中，.若过两点、的直线的倾斜角为，则该双曲线的离心率为___________． 2．已知直线：，点在双曲线：上．若点到直线的距离不存在最小值，则双曲线的离心率是______，实数的值为______． 3．已知双曲线的渐近线方程为，则（     ） A． B．3 C．6 D．9 4．已知双曲线虚轴的两个端点分别为，，左、右焦点分别为，，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．已知双曲线：（，）的右焦点到一条渐近线的距离为1，且点在双曲线上． (1)求双曲线的方程； (2)斜率为的直线与双曲线的右支交于、两点（异于点）．求证：直线、的斜率之和为定值． 6．设双曲线：（，）经过点和点，则C的渐近线方程为（     ） A． B． C． D． 7．已知双曲线：（，），圆为以实轴为直径的圆，试验发现将圆竖直上移个单位或水平右移个单位后均与双曲线的渐近线相切，则该双曲线的离心率为________. 8．已知双曲线的两渐近线的夹角为，且实轴长小于虚轴长，则的虚轴长与焦距之比等于（    ） A． B． C． D． 9．已知点，，双曲线的方程经过点，且的一条渐近线与直线平行，为上异于顶点的任意一点，为的左顶点． (1)求的方程； (2)求直线与的斜率之积； (3)设为上异于顶点和点的任意一点，且直线的斜率是直线的斜率的3倍，证明：直线恒过定点． 10．已知双曲线：（，）的焦距为，其中的一条渐近线与直线垂直． (1)求的方程； (2)记的右顶点为，横坐标为4的点在上，射线上的点满足，求点的坐标； (3)直线：与交于，两点，为坐标原点．是否存在常数，使恒为定值？若存在，求出常数；若不存在，请说明理由． 1．双曲线：（）的左焦点为，点在抛物线：（）的准线上，过点作双曲线的渐近线的垂线，垂足为M，延长交抛物线于点N，，则双曲线的离心率为（     ） A． B． C． D． 2．已知抛物线的焦点是双曲线的一个顶点，为与的交点，，则的离心率为________． 3．已知双曲线C：的左右焦点分别为，，直线与双曲线的右支交于点且，的中点记为，且，则双曲线的离心率为_____． 4．（多选）在平面直角坐标系中，对于给定的曲线和定点，设为上任意一点，是曲线在点处的切线，是过点且与垂直的直线．作线段的垂直平分线，若与相交，记交点为，当在上运动时，称点的轨迹为曲线关于点的“中垂法截线”，下列选项正确的有（    ） A．若为直线，为直线外一点，则中垂法截线是一条抛物线 B．若为圆，为圆内一点，则中垂法截线是一个椭圆 C．若为圆，为圆外一点，则中垂法截线是双曲线 D．若为抛物线，为的焦点，则中垂法截线不是一个圆 5．如图，这是单叶双曲面的立体结构图，且为中心对称图形，其轴截面为双曲线的一部分.若该几何体的高为4，上底面圆的直径为6，垂直于旋转轴的截面圆的面积的最小值为，则在下列双曲线的方程中，与该轴截面双曲线的离心率相同的方程是（    ） A． B． C． D． 6．如图，已知双曲线的焦距为，过点且不垂直轴的直线：交双曲线于M，N两点． (1)求双曲线的标准方程； (2)若，求实数的值； (3)设，若点满足，求点的轨迹方程． 7．已知双曲线的渐近线方程为和，右焦点为． (1)求的标准方程； (2)过的直线交的右支于，两点，过作的平行线交于点，过作的平行线交于点，证明：． 8．（多选）已知双曲线C：(，)的一条渐近线经过点，左、右焦点分别为，，且，点为的右支上任意一点，则下列结论中正确的是（    ） A．的离心率为 B． C．过点且与双曲线只有一个公共点的直线有2条 D．的最小值为 9．已知双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，若过点作轴的垂线交双曲线于点，则. (1)求的标准方程； (2)已知直线与双曲线交于两点，若以为直径的圆过点，求直线的方程． 10．已知动点到点的距离等于其到直线距离的2倍，记点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)设直线与曲线分别交于点和点，且． （i）求证：是定值； （ii）原点到直线的距离是否为定值？如果是请求出定值，如果不是请说明理由． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $