3.2.2 双曲线的简单几何性质讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦高中数学双曲线的简单几何性质及直线与双曲线的位置关系，系统梳理双曲线的标准方程、范围、对称性等几何性质，深化渐近线、离心率等核心概念，进而延伸到直线与双曲线位置关系的判断、弦长及中点弦问题，构建从基础到应用的学习支架。 该资料通过题型分类（如根据方程研究性质、求标准方程等），结合例题与跟踪训练，引导学生用数学思维分析问题（如离心率与渐近线斜率关系推理），以数学语言表达解题过程（如弦长公式应用）。课中辅助教师分层教学，课后助力学生通过练习查漏补缺，提升运算能力与问题解决能力。

3.2.2 双曲线的简单几何性质 知识点一、双曲线的简单几何性质 1.双曲线简单几何性质 标准方程 (a>0，b>0) (a>0，b>0) 图形 性质 范围 x≥a或x≤－a y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点坐标 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 轴 实轴：线段，长：2a； 虚轴：线段，长：2b. 渐近线 离心率 e＝ a，b，c间的关系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0) 2.渐近线 （1）定义：一般地，双曲线的两支向外延伸时，与两条直线逐渐接近，我们把这两条直线叫做双曲线的渐近线，常写成的形式. （2）三个定值 ①双曲线的焦点到其渐近线的距离是常数； ②双曲线上任意一点到双曲线两条渐近线的距离之积为； ③过双曲线上任意一点作两条渐近线的平行线，这两条直线与渐近线构成平行四边形的面积为. 3.离心率 （1）定义：定义：双曲线的焦距与实轴长的比，叫做双曲线的离心率.因为，所以. （2）几何意义：几何意义：离心率是通过影响渐近线的斜率，来影响双曲线的“张口”大小的.因为，所以在的情况下，越大，渐近线的斜率就越大，双曲线的“张口”就越大；越小，渐近线的斜率就越小，双曲线的“张口”就越小. 4.通径：过焦点且垂直于焦点所在轴的直线被双曲线截得的线段称为双曲线的通径.通径的长度为：. 5.等轴双曲线与共轭双曲线 （1）等轴双曲线：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线.等轴双曲线有如下性质： ①方程形式为； ②渐近线方程为，它们互相垂直，并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角； ③实轴长和虚轴长相等，离心率. （2）共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，与原双曲线互为共轭双曲线.例如，双曲线和是一对共轭双曲线.共轭双曲线有如下性质： ①共轭双曲线有相同的焦距和渐近线； ②共轭双曲线的离心率的倒数的平方和为1. 知识点二、直线与双曲线的位置关系 1.直线与双曲线的位置关系的判断 （1）利用方程组解得个数判断 设直线l：y＝kx＋m(m≠0) ①， 双曲线C：(a>0，b>0) ②， 把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0. (1)当b2－a2k2＝0，即k＝±时，直线l与双曲线C的渐近线平行，直线与双曲线相交于一点． (2)当b2－a2k2≠0，即k≠±时，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)． Δ>0⇒直线与双曲线有两个公共点； Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点； Δ<0⇒直线与双曲线有0个公共点． （2）代数法判断与双曲线相交时的交点位置 交点位置 直线与双曲线的右支交于两个不同的点 直线与双曲线的左支交于两个不同的点 直线与双曲线的左、右支各有一个交点 满足条件 2.弦长公式 设直线直线y＝kx＋m交双曲线(a>0，b>0)于A（x1，y1），B（x2，y2）两点. . . ②当k=0时，可直接利用|AB|=|x1-x2|求弦长. ③当斜率不存在时，可直接利用|AB|=|y1-y2|求弦长. 3.中点弦 与椭圆的解题策略一样，既可以联立直线与双曲线的方程，利用一元二次方程根与系数的关系求解，也可以用点差法建立斜率和中点坐标的关系式求解. 设是双曲线上不同的两点，且，为线段的中点，则.当双曲线的标准方程为时，. 题型一：根据双曲线的方程研究几何性质 例1.求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程． 跟踪训练： 1.求双曲线9y2－16x2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程． 2.求双曲线nx2－my2＝mn(m>0，n>0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程． 题型二：求双曲线的标准方程 例1.求满足下列条件的双曲线的方程： （1）已知双曲线的焦点在x轴上，离心率为，且经过点M(－3,2)； （2）渐近线方程为y＝x，且经过点A(2，－3)． 跟踪训练： 1.过点且与双曲线有相同渐近线的双曲线的标准方程为 . 2.求适合下列条件的双曲线的标准方程： （1）焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为； （2）过点(2,0)，与双曲线离心率相等． 题型三：双曲线的离心率 例1.已知圆C：x2＋y2－10y＋21＝0与双曲线(a>0，b>0)的渐近线相切，则该双曲线的离心率是(　　) A. B. C. D. 例2.已知直线与双曲线.若与有两个不同的交点，求双曲线的离心率的取值范围. 跟踪训练： 1.已知为双曲线的左、右顶点，点在上，为等腰三角形，且顶角为，则的离心率为( ) A. B. C. D. 2.已知F1，F2是双曲线(a>0，b>0)的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，如果∠PF2Q＝90°，求双曲线的离心率． 3.已知双曲线()的焦距为，直线过点和，若点到直线的距离与点到直线的距离之和为，且，求双曲线的离心率的取值范围. 题型四：直线与双曲线的位置关系 例1.已知双曲线C：x2－y2＝1及直线l：y＝kx－1. （1）若直线l与双曲线C有两个不同的交点，求实数k的取值范围； （2）若直线l与双曲线C交于A，B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为，求实数k的值． 例2.已知双曲线焦距为4，焦点在x轴上，且过点P(2,3)． （1）求该双曲线的标准方程； （2）若直线m经过该双曲线的右焦点且斜率为1，求直线m被双曲线截得的弦长． 跟踪训练： 1.若直线与双曲线的右支交于不同的两点，则的取值范围是 . 2.已知直线与双曲线.则与相交所得的弦长为 . 3.斜率为2的直线l在双曲线上截得的弦长为，求直线l的方程． 1.(多选)已知双曲线方程为x2－8y2＝32，则(　　) A．实轴长为8 B．虚轴长为4 C．焦距为6 D．离心率为 2.已知双曲线方程为x2－＝1，过点P(1,0)的直线l与双曲线只有一个公共点，则l共有(　　) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 3.中心在原点，焦点在x轴上，且一个焦点在直线3x－4y＋12＝0上的等轴双曲线的方程是(　　) A．x2－y2＝4 B．y2－x2＝4 C．y2－x2＝8 D．x2－y2＝8 4.若直线y＝kx与双曲线4x2－y2＝16相交，则实数k的取值范围为(　　) A．(－2,2] B．(－2,2) C．[－2,2) D．[－2,2] 5.过双曲线x2－＝1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|等于(　　) A. B. C. D. 6.已知直线l：x－y＋m＝0与双曲线x2－＝1交于不同的两点A，B，若线段AB的中点在圆x2＋y2＝5上，则实数m的值是 ． 7.已知点(2,3)在双曲线C：(a>0，b>0)上，C的焦距为4，则它的离心率为 ． 8.求双曲线的实轴长、虚轴长、顶点坐标、焦点坐标、离心率、渐近线方程，并画出双曲线的草图. 1.已知双曲线(a>0)的右焦点为(3,0)，则双曲线的离心率等于(　　) A. B. C. D. 2.等轴双曲线x2－y2＝a2与直线y＝ax(a>0)没有公共点，则a的取值范围是(　　) A．a＝1 B．0<a<1 C．a>1 D．a≥1 3.已知双曲线的左焦点为，离心率为.若经过和两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为( ) A. B. C. D. 4.设为双曲线的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与圆交于两点.若，则的离心率为( ) A. B. C. D. 5.直线l：y＝kx与双曲线C：x2－y2＝2交于不同的两点，则斜率k的取值范围是(　　) A．(0,1) B．(－1,1) C．[－1,1] D．(－，) 6.设点F1，F2分别是双曲线C：(a>0)的左、右焦点，过点F1且与x轴垂直的直线l与双曲线C交于A，B两点．若△ABF2的面积为2，则该双曲线的渐近线方程为(　　) A．y＝x B．y＝x C．y＝x D．y＝x 7.双曲线(a>0，b>0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则a＝ . 8.若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的左支交于不同的两点，则k的取值范围为 . 9.如果双曲线右支上总存在到双曲线的中心与右焦点距离相等的两个相异点，则双曲线离心率的取值范围是 . 10.直线y＝x＋1与双曲线相交于A，B两点，则|AB|＝ . 11.已知双曲线(a>0，b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点，则双曲线的离心率e的取值范围是 . 12.已知是双曲线外一点，过引双曲线的两条切线，为切点，则直线的方程为 . 13.已知分别为双曲线的左、右焦点，过点作垂直于轴的直线，该直线与双曲线的一个交点为，且，求该双曲线的渐近线方程. 14.求适合下列条件的双曲线的标准方程． （1）两顶点间的距离是6，两焦点所连线段被两顶点和中心四等分； （2）渐近线方程为2x±3y＝0，且两顶点间的距离是6. 15.已知双曲线，求过点且被点平分的弦所在直线的方程. 16.已知双曲线 与椭圆有相同的焦点，且经过点 . （1）求双曲线的方程. （2）是否存在双曲线的一条弦以为中点？如果存在，求弦所在直线的方程；如果不存在，请说明理由. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2.2 双曲线的简单几何性质 知识点一、双曲线的简单几何性质 1.双曲线简单几何性质 标准方程 (a>0，b>0) (a>0，b>0) 图形 性质 范围 x≥a或x≤－a y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点坐标 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 轴 实轴：线段，长：2a； 虚轴：线段，长：2b. 渐近线 离心率 e＝ a，b，c间的关系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0) 2.渐近线 （1）定义：一般地，双曲线的两支向外延伸时，与两条直线逐渐接近，我们把这两条直线叫做双曲线的渐近线，常写成的形式. （2）三个定值 ①双曲线的焦点到其渐近线的距离是常数； ②双曲线上任意一点到双曲线两条渐近线的距离之积为； ③过双曲线上任意一点作两条渐近线的平行线，这两条直线与渐近线构成平行四边形的面积为. 3.离心率 （1）定义：定义：双曲线的焦距与实轴长的比，叫做双曲线的离心率.因为，所以. （2）几何意义：几何意义：离心率是通过影响渐近线的斜率，来影响双曲线的“张口”大小的.因为，所以在的情况下，越大，渐近线的斜率就越大，双曲线的“张口”就越大；越小，渐近线的斜率就越小，双曲线的“张口”就越小. 4.通径：过焦点且垂直于焦点所在轴的直线被双曲线截得的线段称为双曲线的通径.通径的长度为：. 5.等轴双曲线与共轭双曲线 （1）等轴双曲线：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线.等轴双曲线有如下性质： ①方程形式为； ②渐近线方程为，它们互相垂直，并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角； ③实轴长和虚轴长相等，离心率. （2）共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，与原双曲线互为共轭双曲线.例如，双曲线和是一对共轭双曲线.共轭双曲线有如下性质： ①共轭双曲线有相同的焦距和渐近线； ②共轭双曲线的离心率的倒数的平方和为1. 知识点二、直线与双曲线的位置关系 1.直线与双曲线的位置关系的判断 （1）利用方程组解得个数判断 设直线l：y＝kx＋m(m≠0) ①， 双曲线C：(a>0，b>0) ②， 把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0. (1)当b2－a2k2＝0，即k＝±时，直线l与双曲线C的渐近线平行，直线与双曲线相交于一点． (2)当b2－a2k2≠0，即k≠±时，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)． Δ>0⇒直线与双曲线有两个公共点； Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点； Δ<0⇒直线与双曲线有0个公共点． （2）代数法判断与双曲线相交时的交点位置 交点位置 直线与双曲线的右支交于两个不同的点 直线与双曲线的左支交于两个不同的点 直线与双曲线的左、右支各有一个交点 满足条件 2.弦长公式 设直线直线y＝kx＋m交双曲线(a>0，b>0)于A（x1，y1），B（x2，y2）两点. . . ②当k=0时，可直接利用|AB|=|x1-x2|求弦长. ③当斜率不存在时，可直接利用|AB|=|y1-y2|求弦长. 3.中点弦 与椭圆的解题策略一样，既可以联立直线与双曲线的方程，利用一元二次方程根与系数的关系求解，也可以用点差法建立斜率和中点坐标的关系式求解. 设是双曲线上不同的两点，且，为线段的中点，则.当双曲线的标准方程为时，. 题型一：根据双曲线的方程研究几何性质 例1.求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程． 解：将9y2－4x2＝－36化为标准方程为，所以a＝3，b＝2，c＝. 因此顶点坐标为A1(－3,0)，A2(3,0)，焦点坐标为F1(－，0)，F2(，0)，实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4，离心率e＝，渐近线方程为y＝x＝x. 跟踪训练： 1.求双曲线9y2－16x2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程． 解：把方程9y2－16x2＝144化为标准方程为. 由此可知，实半轴长a＝4，虚半轴长b＝3； c＝＝5，焦点坐标是(0，－5)，(0,5)； 离心率e＝；渐近线方程为y＝x. 2.求双曲线nx2－my2＝mn(m>0，n>0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程． 解：把方程nx2－my2＝mn(m>0，n>0)化为标准方程为(m>0，n>0)， 由此可知，实半轴长a＝，虚半轴长b＝，c＝， 焦点坐标为(，0)，(，0)，离心率e＝， 顶点坐标为(，0)，(，0)，所以渐近线方程为y＝，即y＝x. 题型二：求双曲线的标准方程 例1.求满足下列条件的双曲线的方程： （1）已知双曲线的焦点在x轴上，离心率为，且经过点M(－3,2)； （2）渐近线方程为y＝x，且经过点A(2，－3)． 解：（1）设所求双曲线方程为(a>0，b>0)． ∵e＝，∴e2＝，∴. 由题意得，解得：. ∴所求的双曲线方程为. （2）方法一：∵双曲线的渐近线方程为y＝x. 当焦点在x轴上时，设所求双曲线的标准方程为(a>0，b>0)， 则①.∵点A(2，－3)在双曲线上，∴②，①②联立，无解． 当焦点在y轴上时，设所求方程为(a>0，b>0)， 则③，∵点A(2，－3)在双曲线上，∴④， 联立③④，解得a2＝8，b2＝32.∴所求双曲线的标准方程为. 方法二：由双曲线的渐近线方程为y＝x，可设双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0)， ∵A(2，－3)在双曲线上，∴1－(－3)2＝λ，即λ＝－8. ∴所求双曲线的标准方程为. 跟踪训练： 1.过点且与双曲线有相同渐近线的双曲线的标准方程为 . 解：(方法1)当焦点在轴上时，可知，故可设方程为， 将点的坐标代入，得(舍去)；当焦点在轴上时，可知， 故可设方程为，将点的坐标代入，得. 所以所求双曲线的标准方程为. (方法2)因为所求双曲线与双曲线有相同的渐近线， 所以可设双曲线方程为，将点的坐标代入. 得，所以所求双曲线的方程为，即.故答案为：. 2.求适合下列条件的双曲线的标准方程： （1）焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为； （2）过点(2,0)，与双曲线离心率相等． 解：（1）设所求双曲线的标准方程为(a>0，b>0)， 由题意知2b＝8，e＝，从而b＝4，c＝a， 代入c2＝a2＋b2，得a2＝9，故双曲线的标准方程为. （2）当所求双曲线的焦点在x轴上时，可设其方程为＝λ(λ>0)， 将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝，故所求双曲线的标准方程为－y2＝1； 当所求双曲线的焦点在y轴上时，可设其方程为＝λ(λ>0)， 将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝<0(舍去)． 综上可知，所求双曲线的标准方程为－y2＝1. 题型三：双曲线的离心率 例1.已知圆C：x2＋y2－10y＋21＝0与双曲线(a>0，b>0)的渐近线相切，则该双曲线的离心率是(　　) A. B. C. D. 解：由双曲线(a>0，b>0)，可得其一条渐近线的方程为y＝x，即bx－ay＝0， 又由圆C：x2＋y2－10y＋21＝0，可得圆心为C(0,5)，半径r＝2， 则圆心到直线的距离为d＝，则＝2，可得e＝.故选：C. 例2.已知直线与双曲线.若与有两个不同的交点，求双曲线的离心率的取值范围. 解：将代入双曲线方程， 得，由，解得且. 因为，所以且， 即离心率的取值范围是. 跟踪训练： 1.已知为双曲线的左、右顶点，点在上，为等腰三角形，且顶角为，则的离心率为( ) A. B. C. D. 解：不妨设点在第一象限.设双曲线方程为， 则， 所以点的坐标为.因为点在双曲线上，所以， 所以，所以.故选D. 2.已知F1，F2是双曲线(a>0，b>0)的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，如果∠PF2Q＝90°，求双曲线的离心率． 解：设F1(c，0)，将x＝c代入双曲线的方程得，那么y＝. 由|PF2|＝|QF2|，∠PF2Q＝90°，知|PF1|＝|F1F2|，所以＝2c，所以b2＝2ac， 所以c2－2ac－a2＝0，所以－2×－1＝0，即e2－2e－1＝0， 所以e＝1＋或e＝1－(舍去)，所以双曲线的离心率为1＋. 3.已知双曲线()的焦距为，直线过点和，若点到直线的距离与点到直线的距离之和为，且，求双曲线的离心率的取值范围. 解：直线的方程为，即. 所以点到直线的距离为，点到直线的距离为， .由，得，即. 则，解得.又因为，所以的取值范围是. 题型四：直线与双曲线的位置关系 例1.已知双曲线C：x2－y2＝1及直线l：y＝kx－1. （1）若直线l与双曲线C有两个不同的交点，求实数k的取值范围； （2）若直线l与双曲线C交于A，B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为，求实数k的值． 解　(1)联立，消去y整理，得(1－k2)x2＋2kx－2＝0. 由题意，知，解得－<k<且k≠±1. 所以实数k的取值范围为(－，－1)∪(－1,1)∪(1，)． (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由(1)，得x1＋x2＝，x1x2＝. 又直线l恒过点D(0，－1)， 则①当x1x2<0时，S△OAB＝S△OAD＋S△OBD＝|x1|＋|x2|＝|x1－x2|＝. ②当x1x2>0时，S△OAB＝|S△OAD－S△OBD| ＝||x1|－|x2||＝|x1－x2|＝. 所以(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(2)2， 即＋＝8，解得k＝0或k＝. 由(1)，知上述k的值符合题意，所以k＝0或k＝. 例2.已知双曲线焦距为4，焦点在x轴上，且过点P(2,3)． （1）求该双曲线的标准方程； （2）若直线m经过该双曲线的右焦点且斜率为1，求直线m被双曲线截得的弦长． 解：(1)设双曲线方程为， 由已知可得左、右焦点F1，F2的坐标分别为(－2,0)，(2,0)， 则|PF1|－|PF2|＝2＝2a，所以a＝1，又c＝2，所以b＝， 所以双曲线方程为x2－＝1. (2)由题意可知直线m的方程为y＝x－2，联立双曲线及直线方程消去y得2x2＋4x－7＝0， 设两交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1＋x2＝－2，x1x2＝， 由弦长公式得|AB|＝＝6. 跟踪训练： 1.若直线与双曲线的右支交于不同的两点，则的取值范围是 . 解：由，得，即. 因为方程有两个不同的正根，所以，解得. 故答案为：. 2.已知直线与双曲线.则与相交所得的弦长为 . 解：双曲线的方程为.设两交点为， 由消去，得，则， 所以. 故答案为：. 3.斜率为2的直线l在双曲线上截得的弦长为，求直线l的方程． 解：设直线l的方程为y＝2x＋m，由，得10x2＋12mx＋3(m2＋2)＝0①. 设直线l与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点， 由根与系数的关系，得x1＋x2＝m，x1x2＝(m2＋2)． 于是|AB|2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝5(x1－x2)2＝5[(x1＋x2)2－4x1x2]＝. 因为|AB|＝，所以m2－6(m2＋2)＝6.则m2＝15，m＝. 由①式得Δ＝24m2－240，把m＝代入上式，得Δ>0， 所以m的值为，故所求l的方程为y＝2x. 1.(多选)已知双曲线方程为x2－8y2＝32，则(　　) A．实轴长为8 B．虚轴长为4 C．焦距为6 D．离心率为 解：双曲线方程x2－8y2＝32化为标准方程为，可得a＝4，b＝2，c＝6， 所以双曲线的实轴长为8 ，虚轴长为4，焦距为12，离心率为.故选：ABD. 2.已知双曲线方程为x2－＝1，过点P(1,0)的直线l与双曲线只有一个公共点，则l共有(　　) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 解：因为双曲线方程为x2－＝1，则P(1,0)是双曲线的右顶点，所以过P(1,0)并且和x轴垂直的直线是双曲线的一条切线，与双曲线只有一个公共点，另外两条就是过P(1,0)分别和两条渐近线平行的直线，所以符合要求的有3条．故选：C. 3.中心在原点，焦点在x轴上，且一个焦点在直线3x－4y＋12＝0上的等轴双曲线的方程是(　　) A．x2－y2＝4 B．y2－x2＝4 C．y2－x2＝8 D．x2－y2＝8 解：令y＝0，得x＝－4，∴等轴双曲线的一个焦点为(－4,0)，∴c＝4，a2＝b2＝c2＝×16＝8.故选：D. 4.若直线y＝kx与双曲线4x2－y2＝16相交，则实数k的取值范围为(　　) A．(－2,2] B．(－2,2) C．[－2,2) D．[－2,2] 解：易知k≠±2，将y＝kx代入4x2－y2＝16得关于x的一元二次方程(4－k2)x2－16＝0， 由Δ>0可得－2<k<2.故选：B. 5.过双曲线x2－＝1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|等于(　　) A. B. C. D. 解：由题意知，双曲线x2－＝1的渐近线方程为y＝x，将x＝c＝2代入得y＝，所以|AB|＝ .故选：A. 6.已知直线l：x－y＋m＝0与双曲线x2－＝1交于不同的两点A，B，若线段AB的中点在圆x2＋y2＝5上，则实数m的值是 ． 解：联立：，消去y得x2－2mx－m2－2＝0.则Δ＝4m2＋4m2＋8＝8m2＋8>0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2m，y1＋y2＝x1＋x2＋2m＝4m， 所以线段AB的中点坐标为(m，2m)．又点(m，2m)在x2＋y2＝5上， 所以m2＋(2m)2＝5，得m＝±1.故答案为：±1. 7.已知点(2,3)在双曲线C：(a>0，b>0)上，C的焦距为4，则它的离心率为 ． 解：由题意知，c2＝a2＋b2＝4，解得a＝1，所以e＝＝2.故答案为：2. 8.求双曲线的实轴长、虚轴长、顶点坐标、焦点坐标、离心率、渐近线方程，并画出双曲线的草图. 解：把方程化为标准方程为，所以双曲线的焦点在轴上，且,,，所以实轴长，虚轴长，顶点坐标为，焦点坐标为，离心率，渐近线方程为.双曲线的草图如图所示. 1.已知双曲线(a>0)的右焦点为(3,0)，则双曲线的离心率等于(　　) A. B. C. D. 解：由题意知a2＋5＝9，解得a＝2，e＝.故选：C. 2.等轴双曲线x2－y2＝a2与直线y＝ax(a>0)没有公共点，则a的取值范围是(　　) A．a＝1 B．0<a<1 C．a>1 D．a≥1 解：等轴双曲线x2－y2＝a2的渐近线方程为y＝±x，若直线y＝ax(a>0)与等轴双曲线x2－y2＝a2没有公共点，则a≥1.故选：D. 3.已知双曲线的左焦点为，离心率为.若经过和两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为( ) A. B. C. D. 解：由知双曲线为等轴双曲线，则其渐近线方程为. 由，得，所以. 由，得，所以. 所以双曲线的方程为.故选：B. 4.设为双曲线的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与圆交于两点.若，则的离心率为( ) A. B. C. D. 解：依题意，记，则以为直径的圆的方程为， 将圆与圆的方程相减得，即， 所以点的横坐标均为.因为是圆的一条弦，所以， 即，即， 所以，即， 所以，因此的离心率.故选A. 5.直线l：y＝kx与双曲线C：x2－y2＝2交于不同的两点，则斜率k的取值范围是(　　) A．(0,1) B．(－1,1) C．[－1,1] D．(－，) 解：由双曲线C：x2－y2＝2与直线l：y＝kx联立，得(1－k2)x2－2＝0.因为直线l：y＝kx与双曲线C：x2－y2＝2交于不同的两点，所以，解得－1<k<1，即斜率k的取值范围是(－1,1)．故选：B. 6.设点F1，F2分别是双曲线C：(a>0)的左、右焦点，过点F1且与x轴垂直的直线l与双曲线C交于A，B两点．若△ABF2的面积为2，则该双曲线的渐近线方程为(　　) A．y＝x B．y＝x C．y＝x D．y＝x 解：设F1(－c，0)，A(－c，y0)，则，∴＝－1＝＝＝， ∴＝，∴|AB|＝2|y0|＝.又S△ABF2＝2，∴·2c· |AB|＝·2c·＝＝2， ∴＝，∴＝.∴该双曲线的渐近线方程为y＝x.故选：B. 7.双曲线(a>0，b>0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则a＝ . 解：设B为双曲线的右焦点，如图所示． ∵四边形OABC为正方形且边长为2，∴c＝|OB|＝2.又∠AOB＝， ∴＝tan＝1，即a＝b.又∵a2＋b2＝c2＝8，∴a＝2.故答案为：2. 8.若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的左支交于不同的两点，则k的取值范围为 . 解：联立方程，得(1－k2)x2－4kx－10＝0①， 若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的左支交于不同的两点，则方程①有两个不等的负根． 所以， 解得1＜k＜.故答案为：. 9.如果双曲线右支上总存在到双曲线的中心与右焦点距离相等的两个相异点，则双曲线离心率的取值范围是 . 解：如图，因为|AO|＝|AF|，F(c，0)， 所以xA＝，因为A在右支上且不在顶点处，所以>a，所以e＝>2.故答案为：(2，＋∞). 10.直线y＝x＋1与双曲线相交于A，B两点，则|AB|＝ . 解：联立，得x2－4x－8＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则， ∴|AB|＝.故答案为：. 11.已知双曲线(a>0，b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点，则双曲线的离心率e的取值范围是 . 解：由题意，知≥，则≥3，所以e＝.故答案为：[2，＋∞). 12.已知是双曲线外一点，过引双曲线的两条切线，为切点，则直线的方程为 . 解：方法1：根据题意，设切点坐标为. 根据结论：若点在双曲线上， 则过点的双曲线的切线方程是. 可得切线的方程分别为. 又因为点在切线上，可得. 因此是方程的两根. 可知直线的方程为，即. 方法2：可直接利用结论：若点在双曲线外，过点作双曲线的两条切线，切点为点，则切点弦的直线方程是. 可得直线的方程为，即.故答案为：. 13.已知分别为双曲线的左、右焦点，过点作垂直于轴的直线，该直线与双曲线的一个交点为，且，求该双曲线的渐近线方程. 解：设，将点的坐标代入双曲线方程中，得，解得，所以.在中，，所以，即. 又，解得或（舍去），故，所以该双曲线的渐近线方程为. 14.求适合下列条件的双曲线的标准方程． （1）两顶点间的距离是6，两焦点所连线段被两顶点和中心四等分； （2）渐近线方程为2x±3y＝0，且两顶点间的距离是6. 解：（1）由两顶点间的距离是6，得2a＝6，即a＝3. 由两焦点所连线段被两顶点和中心四等分可得2c＝4a＝12，即c＝6， 于是有b2＝c2－a2＝62－32＝27. 由于焦点所在的坐标轴不确定，故所求双曲线的标准方程为或. （2）设双曲线方程为4x2－9y2＝λ(λ≠0)， 即 (λ≠0)，由题意得a＝3. 当λ>0时，＝9，λ＝36，双曲线方程为； 当λ<0时，＝9，λ＝－81，双曲线方程为. 故所求双曲线的标准方程为或. 15.已知双曲线，求过点且被点平分的弦所在直线的方程. 解：方法1：由题意知直线的斜率存在， 故可设直线方程为，即. 由消去，整理得. 设，则. 因为为弦的中点，所以，即，解得. 当时，满足，符合题意， 所以所求直线的方程为，即. 方法2：设，因为均在双曲线上，所以， 两式相减，得，所以. 因为点平分弦，所以. 所以. 所以所求直线的方程为，即. 16.已知双曲线 与椭圆有相同的焦点，且经过点 . （1）求双曲线的方程. （2）是否存在双曲线的一条弦以为中点？如果存在，求弦所在直线的方程；如果不存在，请说明理由. 解：因为椭圆的焦点坐标为，所以双曲线的焦点坐标为. 因为在双曲线上，所以. 又，所以.所以双曲线的方程为. （2）假设存在.设，所以 两式相减可得，所以， 又，所以，所以弦所在直线的方程为 ，即，由， 得，因为，故所求直线与双曲线有2个交点， 故存在，且弦所在直线的方程为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $