3.2.2 双曲线的简单几何性质（二）（9个题型归纳）（原卷版）人教A版2026年新高二数学暑假预习讲义

2026年新高二数学上学期暑假常考题型归纳 【3.2.2 双曲线的简单几何性质（二）】 总览 题型梳理 【教材知识梳理】 1．双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 图形 性质 范围 或， 或， 对称性 对称轴：__坐标轴______；对称中心： __原点______ 顶点 顶点坐标：________，________ 顶点坐标：________，________ 焦点 ， ， 渐近线 离心率 ________，其中 实虚轴 线段叫做双曲线的实轴，它的长________； 线段叫做双曲线的虚轴，它的长________； 叫做双曲线的实半轴长，叫做双曲线的虚半轴长 的关系 ________ 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：根据双曲线中x,y的范围求最值或范围】 【练方法】 公式结论 1.焦点在x轴 2.焦点在y轴 3.双曲线上任意一点满足 4.双曲线参数方程 方法技巧 1.代数式最值依托定义域搭配二次函数单调性求解 2.距离类最值常出现在双曲线顶点位置 3.可用参数方程三角换元转换为三角函数值域求解 （25-26高二上·福建厦门·期末）已知双曲线的离心率为，左、右焦点为，，为双曲线上的一个动点，则的最小值为（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据条件求出双曲线方程和焦点坐标，然后表示出，结合的范围求出最小值即可. 【详解】双曲线的离心率为. ，解得， 又，. 设点， 则且. . 的最小值为. 故选： （2025·辽宁·一模）设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的取值范围是（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用坐标计算，再利用进行消元，解关于的不等式. 【详解】点在上，则，且或， 因，则，， 则， 解得，故或. 故选：B （24-25高二上·重庆·期中）已知为双曲线上一动点，过原点的直线交双曲线于，两点，其中，则的最小值为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知可得，再根据向量数量积公式化简，结合点在双曲线上，可得最值. 【详解】设，且，即， 又直线过原点，且双曲线关于坐标原点对称， 可得与关于坐标原点对称， 则， 所以，， 即， 又， 即的最小值为， 故选：B. 已知双曲线过点且与双曲线有共同的渐近线，，分别是的左、右焦点．小试牛刀3 (1)求的标准方程； (2)设点是上第一象限内的点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由共渐近线方程设法将点代入直接求解； （2）向量坐标化，由点在双曲线上化简整理为二次函数求得范围. 【详解】（1）由题意可设的方程为， 将代入可得，，解得， 的标准方程为． （2）设，则， 点在第一象限，，且，， ， 的取值范围是． 【题型2：双曲线的对称性】 【练方法】 公式结论 1.轴对称：关于x轴对称 关于y轴对称 关于直线对称 2.中心对称：对称中心为坐标原点 3.若在双曲线上则均落在双曲线上 4.过原点的双曲线弦以原点为中点 方法技巧 1.点与弦的计算可借助对称坐标简化运算量 2.中心弦中点直接取值原点无需列式计算 3.对称类问题直接替换坐标符号构建方程即可 （2026·河南周口·三模）已知点，，，中有3个点在双曲线上，则双曲线的渐近线方程为（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线对称性可知点，，在双曲线上，代入点可得，即可得渐近线方程. 【详解】根据双曲线对称性可知点，，在双曲线上， 则，解得， 且双曲线的焦点在x轴上，所以双曲线的渐近线方程为. （2026·山东威海·二模）已知双曲线的一个焦点为，过原点的直线交于两点，若，则的离心率为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】根据双曲线的对称性得四边形为平行四边形，然后结合双曲线的定义，利用勾股定理得，即可求解离心率. 【详解】由双曲线的对称性，不妨为右焦点，在第一象限， 设双曲线的左焦点为，由双曲线的对称性可知，， 所以四边形为平行四边形，所以，又因为， 所以，所以， 在中， ，即， 所以，所以双曲线的离心率为.    （2026·山西吕梁·二模）已知椭圆与双曲线共焦点，椭圆与双曲线右支交于两点，若直线过右焦点，则双曲线的离心率为（   ）小试牛刀2 A． B． C．2 D．3 【答案】C 【详解】由双曲线和椭圆的对称性可得垂直于轴，故为椭圆和双曲线的通径. 设，由椭圆可得， 在椭圆方程中令，则， 在双曲线方程中令，则， 由题意且，故即， 故或（舍），故. （25-26高二上·四川成都·期末）已知椭圆与双曲线的焦点相同，若该椭圆与该双曲线的四个公共点恰好是一个正方形的四个顶点，则______．小试牛刀3 【答案】1 【分析】根据焦点相同可得，再由椭圆以及双曲线对称性代入交点坐标，联立方程即可得结果. 【详解】由题知其焦点均在轴上，又因为焦点相同，即， 因为四个公共点恰好是一个正方形的四个顶点，利用椭圆以及双曲线对称性可知四个交点均在直线上， 不妨设第一象限的公共点为，则有且， 消去得，即， 解得， 故答案为：1 【题型3：求双曲线的实轴虚轴】 【练方法】 公式结论 1.方程 实轴长 实顶点 虚轴长 虚顶点 2.方程 实轴长 实顶点 虚轴长 虚顶点 3.恒成立关系 正项分母开方数值为实半轴 负项分母开方数值为虚半轴 方法技巧 1.优先定位方程正分式对应 负分式对应 2.实轴长与虚轴长均为半轴数值的二倍 不可直接使用与当作轴长结果 3.非标准式先整理为标准形式再区分与 （25-26高二下·陕西商洛·期末）已知双曲线：的右焦点为，是的一条渐近线上的点．若的最小值为2，且的实轴长为6，则的离心率为________．经典例题1例题 【答案】/ 【详解】双曲线的一条渐近线方程为，即，而， 则， 因为的实轴长为6，所以，即，则， 所以的离心率为. （2026·北京昌平·二模）双曲线的实轴长为_________ .小试牛刀1 【答案】 【详解】将双曲线方程化为标准形式得. ∴ 该双曲线焦点在轴上，. ∴ ，双曲线的实轴长为. （2026·福建泉州·模拟预测）已知双曲线的两渐近线的夹角为，且实轴长小于虚轴长，则的虚轴长与焦距之比等于（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设双曲线的标准方程为（）， 则它的渐近线方程为， 已知实轴长小于虚轴长，即，所以 因为渐近线的夹角为，所以渐近线的倾斜角为和， 所以，即， 由，代入， 得 ，即， 虚轴长为，焦距为， 所以虚轴长与焦距之比为. 故选项C正确. （2026·重庆万州·三模）若双曲线的焦距是虚轴长的倍，则__________小试牛刀3 【答案】 【详解】由双曲线方程化为标准方程得：，其中， 则实轴长，虚轴长，焦距， 由焦距是虚轴长的倍，则， 平方得：， 即，因为，所以. 【题型4：等轴双曲线】 【练方法】 公式结论 1.核心条件 2.通用方程 3.渐近线方程 两条渐近线互相垂直 4.固定离心率 方法技巧 1.渐近线垂直或均可判定为等轴双曲线 2.统一设代入已知条件求解参数 3.运算过程中直接用替换化简全部式子 （25-26高二上·广东潮州·期末）已知等轴双曲线的对称轴为坐标轴，右焦点为，则双曲线的方程为______．经典例题1例题 【答案】 【分析】设所求双曲线的方程为，根据该双曲线的焦点坐标求出的值，即可得出所求双曲线的标准方程. 【详解】由于所求等轴双曲线的焦点在轴上， 可设所求双曲线的方程为， 则，解得， 因此，所求等轴双曲线的方程为. 故答案为：. （2026·河北唐山·一模）等轴双曲线C的左、右焦点分别为，，以为直径的圆O与双曲线C交于M，N，P，Q四点.设四边形的面积为，圆O的面积为，O为坐标原点，则（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意结合等轴双曲线可得双曲线C：，圆O：，联立方程求，进而可得，，即可得结果. 【详解】因为双曲线C为等轴双曲线，则，， 则双曲线C：，圆O：， 联立方程，解得， 则四边形的面积为，圆O的面积为， 所以. （25-26高三上·安徽·期末）已知等轴双曲线与椭圆有相同的焦点，则该双曲线的焦点到渐近线的距离为（   ）小试牛刀2 A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】先算出椭圆的焦点，再根据等轴双曲线的特点求出虚半轴长，而焦点到渐近线的距离就是这个虚半轴长. 【详解】椭圆：，，由，则，焦点坐标为； 双曲线，， 又，， 双曲线焦点为，渐近线为，取焦点，渐近线为计算距离， 双曲线的焦点到渐近线的距离． 故选：D （25-26高二上·广东东莞·期末）已知等轴双曲线过点，则双曲线的标准方程为_____.小试牛刀3 【答案】 【分析】设等轴双曲线的方程，代入求出参数即可. 【详解】设等轴双曲线的方程为， 将点代入方程中得， 则双曲线的标准方程为. 故答案为： 【题型5：双曲线的离心率大小与双曲线开口的关系】 【练方法】 公式结论 1.离心率基础公式 2.离心率推导式 3.双曲线离心率固定区间 4.越大越大渐近线斜率绝对值越大双曲线开口越开阔 5.趋近于1趋近于0双曲线开口越狭窄 方法技巧 1.开口大小对比可直接对比离心率数值大小 2.由开口宽窄条件反向构建$(${a,b}不等式求解取值范围 3.依靠完成离心率与渐近线斜率互化 （多选）已知曲线，则下列说法正确的是（    ）经典例题1例题 A．若，则是椭圆 B．若，则是双曲线 C．当是椭圆时，若越大，则越接近于圆 D．当是双曲线时，若越小，则的开口越大 【答案】BD 【分析】结合椭圆和双曲线的定义及其性质，根据曲线方程的形式对每一个选项进行逐一判断即可. 【详解】若曲线是椭圆，则满足，此时解得且，或且，故选项A错误． 若曲线是双曲线，则满足时，此时解得，故选项B正确． 当曲线是椭圆时，记该椭圆的离心率为，若，即4，则，当越大，即越大时，越小，椭圆越圆； 若，即，则，当越大，即越大时，越大，椭圆越扁，故选项C错误． 当曲线是双曲线时，记该双曲线的离心率为，则，即，， 当越小，即越小时，越大，所以双曲线的开口越大，故选项D正确． 故选：BD． （多选）下列说法正确的是（    ）小试牛刀1 A．椭圆的离心率越大，椭圆越接近于圆 B．椭圆离心率越大，椭圆越扁平 C．双曲线离心率越大，开口越宽阔 D．双曲线离心率越大，开口越狭窄 【答案】BC 【分析】根据椭圆以及双曲线的离心率公式，即可结合性质求解. 【详解】对于AB，椭圆的离心率，故离心率越大，越小，因此椭圆越扁平，故A不正确，B正确； 对于CD，双曲线的离心率，故离心率越大，可得越大，因此双曲线开口越大，C正确，D错误； 故选：BC． 如图，椭圆①，②与双曲线③，④的离心率分别为，，，，其大小关系为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆与双曲线的离心率的性质即可解决． 【详解】由题意得到椭圆①，②的b值相同，a值①比②小，则，可以知道，； 根据双曲线的开口越大离心率越大，则． 所以， 故选：A． 双曲线和的离心率分别为和，若满足，则下列说法正确是（    ）小试牛刀3 A．的渐近线斜率的绝对值较大，的开口较开阔 B．的渐近线斜率的绝对值较大，的开口较狭窄 C．的渐近线斜率的绝对值较大，的开口较开阔 D．的渐近线斜率的绝对值较大，的开口较狭窄 【答案】A 【分析】根据离心率公式及渐近线方程，得到两曲线渐近线斜率的关系，即可判断. 【详解】因为，， 又双曲线的渐近线方程为，双曲线的渐近线方程为， 因为，所以，即，即， 所以的渐近线斜率的绝对值较大，又离心率越大，双曲线开口越开阔. 故选：A. 【题型6：根据方程求双曲线的离心率】 【练方法】 公式结论 1.基础关系式 2.变形计算公式 方法技巧 1.由标准方程提取与 依次计算后求取比值 2.已知比例关系可直接代入变形公式求值 无需计算真实长度数值 3.非标准方程先化为标准式 保证分母一正一负再区分 （25-26高二下·河南平顶山·期末）双曲线的离心率为_____.经典例题1例题 【答案】 【分析】先将方程化为标准形式，确定，求出离心率. 【详解】由，得， 所以双曲线的焦点在y轴上，且，，从而，， 所以双曲线的离心率为. （25-26高二下·贵州遵义·阶段检测）已知双曲线 的一条渐近线的斜率为，则双曲线的离心率为（ ）小试牛刀1 A．2 B． C． D．3 【答案】B 【分析】首先利用双曲线渐近线的方程得到，然后利用离心率公式求解离心率即可. 【详解】根据双曲线渐近线的方程满足，所以. 所以双曲线的离心率为 （25-26高二下·河南新乡·期末）已知双曲线的两个焦点分别为，点在上，则的离心率为（   ）小试牛刀2 A． B．3 C．2 D． 【答案】D 【分析】根据两点之间距离公式分别求得，由双曲线定义得出，由离心率公式即可求解． 【详解】由题意，设， 则，，， 所以，则离心率． （25-26高二下·湖南郴州·期末）若双曲线的一个焦点到两条渐近线的距离之和为，则该双曲线的离心率为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】渐近线为，焦点为，其中， 则焦点到渐近线的距离为，则， 故该双曲线的离心率为. 【题型7：根据几何图形的性质求双曲线离心率】 【练方法】 公式结论 1.基础恒等式 2.依托几何等量关系列出a,b,c齐次等式 等式两侧同除以转化为只含的一元方程 方法技巧 1.几何边长统一用表示 消去构造齐次方程 2.求解方程后结合舍去无效根 3.焦点三角形渐近线夹角类题型搭配余弦定理勾股定理建立等量关系 （25-26高二下·江西·期末）已知双曲线：的渐近线与圆：相切，则的离心率为（   ）经典例题1例题 A．2 B． C． D． 【答案】D 【详解】双曲线的渐近线方程为，即， 由渐近线与相切，得，所以， 所以的离心率. （25-26高二下·安徽宣城·期末）已知，分别是双曲线C：（，）的左、右焦点，点是双曲线上在第一象限内的一点，若，且，则的离心率为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正弦定理得，再由双曲线的定义得，最后由余弦定理即可求解. 【详解】由正弦定理得：，结合， 所以， 又由，所以， 由余弦定理得：， 所以，所以， 所以. （25-26高二下·广东深圳·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与的右支交于，两点，若，，则的离心率为（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得，设，结合双曲线的定义，在中，由勾股定理可得，在中，由勾股定理可得，进而可解. 【详解】设，则，， 由双曲线定义可知，，， 因为，所以是直角三角形，即， 所以是直角三角形， 所以，即， 化简可得，所以， 在中有， 即，化简可得， 所以的离心率为. （2026高三·全国·专题练习）已知点分别是双曲线的两个焦点，P为该双曲线上一点，若为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为____________．小试牛刀3 【答案】 【分析】结合双曲线定义可得或，然后由离心率公式求解即可. 【详解】由双曲线定义可知，所以或， 当时，则有，所以， 又因为，即，所以， 所以；同理可得当时，. 【题型8：求离心率的取值范围】 【练方法】 公式结论 1.天然约束条件 2.由题干不等关系构建齐次不等式 换算为的一元不等式求解解集 最终解集与取交集 方法技巧 1.依托点坐标范围线段最值夹角范围直线位置关系罗列不等式 2.齐次式统一除以改写为相关不等式计算区间 3.最终取值范围必须剔除区间内的部分 （2026高三·全国·专题练习）已知双曲线的半焦距为c，若，则它的离心率的取值的范围是_______．经典例题1例题 【答案】 【分析】根据题目条件和得到方程，求出离心率取值范围 【详解】，且，故， 两边同除以得，解得， 因为，所以离心率取值范围是. （25-26高二下·辽宁朝阳·期末）若双曲线：的两条渐近线均与圆：相交，则的离心率的取值范围为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据双曲线方程求出渐近线方程，再利用圆心到渐近线距离小于半径列出不等式求出的范围，最后根据离心率公式求出离心率的范围. 【详解】双曲线：中，，则， 所以渐近线方程为，即， 又因为圆：的圆心为，半径， 由题意得，化简可得：，整理得：， 求解可得：，又因为，所以， 又因为，，则，即， 所以，即的离心率． （25-26高三下·广东东莞·阶段检测）已知圆与双曲线，若在双曲线上存在一点，使得过点能作圆的两条切线，切点为，且，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据切线求得，根据双曲线的性质可得的不等式，从而得出的不等式，结合离心率公式求解即可． 【详解】如图： ，又，所以， 而是圆切线，则， 在中，，因此有， 从而， 而，所以， 在双曲线上，因此，所以， ∴，从而，所以， ∴双曲线的离心率. （25-26高三下·河南周口·阶段检测）若直线与双曲线的交点为，，且大于的虚轴长，则的离心率的取值范围是（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】联立直线与双曲线方程求出，根据题意列出关于的不等式，再转化为离心率即可. 【详解】将直线代入得， 所以， 因为大于的虚轴长，所以，即， 同时除以得， 解得，所以离心率， 所以的离心率的取值范围是. 【题型9：由离心率求参数范围】 【练方法】 公式结论 1.离心率表达式 2.将方程内含参表达式代入 得到关于参数的解析式 结合已知范围解不等式得到参数区间 方法技巧 1.区分标准方程中带参数的与表达式 2.代入离心率公式书写参数解析式 结合给定范围列不等式计算 3.额外补充双曲线分母一正一负的硬性约束 联立双重条件求解最终参数范围 在双曲线中，离心率，则两条渐近线夹角的取值范围是______．经典例题1例题 【答案】 【分析】由离心率范围得两条渐近线倾斜角范围，即可求得答案. 【详解】因为，所以，解得 设双曲线渐近线的倾斜角为，则，解得； 设双曲线渐近线的倾斜角为，则，解得； 当最小时，，此时最大，为，此时两条渐近线的夹角最大为， 当最大时，，此时最小，为，此时两条渐近线的夹角最小为， 所以两条渐近线的夹角. 故答案为： 设，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，若，则的取值范围是__________.小试牛刀1 【答案】 【分析】先判断椭圆与双曲线共焦点，再由结合求解可得. 【详解】记椭圆，双曲线的半焦距分别为， 由题意知椭圆的，双曲线的，则椭圆与双曲线共焦点， 设，则， ，设，则，解得，即， 又，且，故的取值范围是. 故答案为： （2023·安徽滁州·模拟预测）设，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，若，则的取值范围是_________．小试牛刀2 【答案】 【分析】首先由椭圆标准方程和双曲线标准方程的定义，得出椭圆与双曲线共焦点，再分别表示出离心率，根据及即可求得的范围． 【详解】解：由题意知椭圆的，双曲线的， 则椭圆与双曲线共焦点，设，则，， ，， ， ， 设，则， 解得，即， 又，且， ， 故的取值范围是． 故答案为： 过点M（4，0）的直线l与双曲线两渐近线分别交于不同两点A，B，O为原点，若该双曲线的离心率为2，则的取值范围为___________.小试牛刀3 【答案】 【分析】先由双曲线的离心率为2，求出.设直线l的方程为,与渐近线方程联立求得A,B的坐标，表示出，利用函数值域，即可得到的取值范围. 【详解】因为双曲线的离心率为2，所以，所以，即，所以 设直线l的方程为,其中,即. 分别将代与得A,B的坐标分别为. 所以. 因为，所以的取值范围为 故答案为： 课后过关检测 一、单选题 1．（25-26高二下·云南德宏·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，则其离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由渐近线方程可得等量关系，据此可得答案. 【详解】因双曲线的一条渐近线方程为，则. 2．（25-26高二上·贵州毕节·期末）已知等轴双曲线的中心在原点，它的一个焦点为，则双曲线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意设双曲线方程为，根据焦点坐标求出，即可得解. 【详解】依题意设双曲线方程为， 则，解得， 所以双曲线方程为，即. 故选：B 3．（25-26高三上·湖北·开学考试）设点是双曲线上的动点，定点，则的最小值为（    ） A． B．3 C．12 D． 【答案】A 【分析】由数量积的定义可得，结合点在双曲线上可得，且，由此可求结论. 【详解】因为，，， 所以，， 所以， 因为点是双曲线上的动点， 所以或，， 所以，当且仅当时等号成立， 所以当点的坐标为或时，取最小值，最小值为， 故选：A. 4．（2026·甘肃白银·三模）已知双曲线的离心率为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】双曲线，即，， 由该双曲线的离心率为，得，所以. 5．（25-26高二下·陕西安康·期末）已知双曲线：的离心率为，则的焦距为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知双曲线：，则或. 当焦点在轴上时：此时，实半轴平方，虚半轴平方， 半焦距平方，离心率， 已知，则，与冲突，故不成立； 当焦点在轴上时：此时，此时方程可化为， 实半轴平方，虚半轴平方， 半焦距平方， 离心率， 满足，故半焦距，则焦距为，B正确. 6．（25-26高二下·安徽宿州·期末）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据条件得到圆的方程以及渐近线方程，联立求出点的坐标，根据勾股定理和，建立关于的方程，进而求出离心率． 【详解】如图所示，以为直径的圆的方程为（其中）， 设圆和渐近线的交点除原点外，另一交点在第一象限， 联立，解得 . 由直径所对圆周角为直角，可知，故是直角三角形. 由，可得， 即， 整理得， 所以，解得.    7．（2026高三·全国·专题练习）双曲线的实轴长、虚轴长与焦距的和为8，则半焦距的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据基本不等式，结合三者关系，求解即可. 【详解】设双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，半焦距为， 则，即，又 且,由基本不等式得 ,当且仅当 时等号成立，又，所以, 化简得,解得或（舍去） 因为在双曲线中，（可构成三角形），即, 解得,综上所述，. 8．（2025·天津武清·模拟预测）双曲线的右焦点为，设A、B为双曲线上关于原点对称的两点，AF的中点为M，BF的中点为N，若原点O在以线段MN为直径的圆上，直线AB的斜率为，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】设，运用中点坐标公式表示点，由，以及斜率公式解方程组可得，将点A的坐标代入双曲线的方程，结合的关系，求得，即可得离心率. 【详解】由题意，，设， 则，， 因为原点O在以线段为直径的圆上，可得， 所以，即①， 又直线的斜率，可得②， 联立①②可得，即， 又点在双曲线上，可得， 又，解得，所以. 故选：B. 9．已知双曲线E：的左、右焦点分别为，，右顶点为A，过点的直线与y轴交于点M，与E的右支交于点N（异于点A），若，E的渐近线斜率为k，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，，，即可表示出点的坐标，再根据，从而得到，再利用两点间的斜率公式得到点N横坐标，再根据N在双曲线右支即可得到a，b间的关系，再根据双曲线的渐近线斜率为，进而即可求得的取值范围． 【详解】设，，， 由，则直线的方程为， 令，得，所以． 因为，所以，即． 又，所以． 因为点N在E的右支上，所以，即， 又，所以，即． 因为E的渐近线斜率， 所以，即，解得， 所以的取值范围是． 故选：D． 10．（2026·山东·模拟预测）已知双曲线的右焦点为，中心为，是右支上的动点，若点满足，则的最小值为（     ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】根据向量垂直的性质得到点的轨迹，再结合双曲线和圆的性质求出的最小值. 【详解】 双曲线，右焦点， 因为，所以， 则点在以为直径的圆上，设点， 以为直径的圆的圆心为，半径， 所以的最小值为， ， 因为，代入可得， 因为是右支上的动点，所以，， ， 又，所以， 所以的最小值为. 二、多选题 11．（24-25高二下·陕西·期末）已知双曲线：，则（     ） A．双曲线的实轴长为 B．双曲线的虚轴长为 C．双曲线的离心率为 D．双曲线的渐近线的斜率为 【答案】ABD 【详解】由双曲线，得， 即， 所以双曲线的实轴长为，虚轴长为，离心率， 渐近线的斜率为，故A正确，B正确，C错误，D正确． 12．（25-26高二下·江苏盐城·期末）已知双曲线：的一个焦点为，则双曲线的（    ） A．焦距为6 B．实轴长为 C．离心率为 D．渐近线方程为 【答案】ACD 【分析】先根据双曲线的焦点坐标结合双曲线基本关系求出参数的值，再逐一验证各选项对应性质是否正确． 【详解】由双曲线的方程，可得， 已知一个焦点为，故， 根据双曲线性质，代入得，即， 对于A，双曲线焦距为，A正确； 对于B，双曲线实轴长为，B错误； 对于C，离心率，C正确； 对于D，渐近线方程为，整理得，D正确． 三、填空题 13．（23-24高二下·上海·期中）在双曲线中，的取值范围是______． 【答案】 【分析】化简双曲线方程，求出值，即可得到答案. 【详解】由双曲线，可得：，所以，则，故的取值范围是， 故答案为： 14．（25-26高二下·河南·阶段检测）已知双曲线：的右焦点为，坐标原点为，以线段为直径的圆与的一条渐近线交于异于点的另一点 ．若，则的离心率为_________． 【答案】 【分析】设点为第一象限的点，求得 ，再利用公式可计算出双曲线的离心率. 【详解】设点为第一象限的点，则以 为直径的圆交双曲线的渐近线 于点， 则，且 ， ， 因此，双曲线的离心率为. 15．（2025·青海海东·二模）已知，分别是双曲线：的左、右焦点，如图所示，点，分别在双曲线的左、右支上，且，若，则双曲线的离心率为______. 【答案】/ 【分析】延长与双曲线交于另一点，利用对称性、双曲线的定义及余弦定理建立方程求出离心率. 【详解】延长与双曲线交于另一点，连接， 由，得，由对称性知四边形为平行四边形， 设，则，， ，在中，， 即，解得， 设双曲线的焦距为，在中，，解得， 所以双曲线的离心率. 故答案为： 16．（24-25高二下·上海·期中）已知直线与双曲线的左，右两支分别交于，两点，是双曲线的左焦点，且，则双曲线的离心率是________． 【答案】/ 【分析】利用双曲线的对称性和题设条件，推出正三角形，求得点的坐标，代入双曲线方程，化成关于的齐次方程，解方程即得. 【详解】    如图，因直线与双曲线的图象均关于原点对称，故， 且直线的斜率为，故倾斜角为，即，则是正三角形， 则可得点的坐标为，代入，整理得： ， 因，代入整理得：， 即，解得，因，故. 故答案为：. 17．（25-26高二上·上海·期末）已知曲线上存在四个点，使四边形是正方形，则实数的取值范围是________． 【答案】 【分析】设，根据对称性可求出，将点坐标代入方程可得，根据的范围即可求出的范围. 【详解】设， 由题意及对称性可得， 则， 即，即， 由曲线的方程可得， 关于的方程需在上有解， 易知，即时，有解， 因为，所以，解得，即或， 所以实数的取值范围是. 故答案为：.    18．（25-26高二上·安徽淮南·阶段检测）已知双曲线的左，右焦点分别为，若上存在点满足，则的离心率的最小值为___________. 【答案】 【分析】设，根据平面向量的坐标运算以及数量积的坐标运算，结合在双曲线上，可得，利用列不等式求解即可. 【详解】设，则 所以，又因为， 所以① 又② ②代入①得，， 整理得，因为， 所以， 化简可得， 即的离心率的最小值为， 故答案为：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年新高二数学上学期暑假常考题型归纳 【3.2.2 双曲线的简单几何性质（二）】 总览 题型梳理 【教材知识梳理】 1．双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 图形 性质 范围 或， 或， 对称性 对称轴：__坐标轴______；对称中心： __原点______ 顶点 顶点坐标：________，________ 顶点坐标：________，________ 焦点 ， ， 渐近线 离心率 ________，其中 实虚轴 线段叫做双曲线的实轴，它的长________； 线段叫做双曲线的虚轴，它的长________； 叫做双曲线的实半轴长，叫做双曲线的虚半轴长 的关系 ________ 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：根据双曲线中x,y的范围求最值或范围】 【练方法】 公式结论 1.焦点在x轴 2.焦点在y轴 3.双曲线上任意一点满足 4.双曲线参数方程 方法技巧 1.代数式最值依托定义域搭配二次函数单调性求解 2.距离类最值常出现在双曲线顶点位置 3.可用参数方程三角换元转换为三角函数值域求解 （25-26高二上·福建厦门·期末）已知双曲线的离心率为，左、右焦点为，，为双曲线上的一个动点，则的最小值为（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． （2025·辽宁·一模）设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的取值范围是（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （24-25高二上·重庆·期中）已知为双曲线上一动点，过原点的直线交双曲线于，两点，其中，则的最小值为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 已知双曲线过点且与双曲线有共同的渐近线，，分别是的左、右焦点．小试牛刀3 (1)求的标准方程； (2)设点是上第一象限内的点，求的取值范围． 【题型2：双曲线的对称性】 【练方法】 公式结论 1.轴对称：关于x轴对称 关于y轴对称 关于直线对称 2.中心对称：对称中心为坐标原点 3.若在双曲线上则均落在双曲线上 4.过原点的双曲线弦以原点为中点 方法技巧 1.点与弦的计算可借助对称坐标简化运算量 2.中心弦中点直接取值原点无需列式计算 3.对称类问题直接替换坐标符号构建方程即可 （2026·河南周口·三模）已知点，，，中有3个点在双曲线上，则双曲线的渐近线方程为（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． （2026·山东威海·二模）已知双曲线的一个焦点为，过原点的直线交于两点，若，则的离心率为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D．3 （2026·山西吕梁·二模）已知椭圆与双曲线共焦点，椭圆与双曲线右支交于两点，若直线过右焦点，则双曲线的离心率为（   ）小试牛刀2 A． B． C．2 D．3 （25-26高二上·四川成都·期末）已知椭圆与双曲线的焦点相同，若该椭圆与该双曲线的四个公共点恰好是一个正方形的四个顶点，则______．小试牛刀3 【题型3：求双曲线的实轴虚轴】 【练方法】 公式结论 1.方程 实轴长 实顶点 虚轴长 虚顶点 2.方程 实轴长 实顶点 虚轴长 虚顶点 3.恒成立关系 正项分母开方数值为实半轴 负项分母开方数值为虚半轴 方法技巧 1.优先定位方程正分式对应 负分式对应 2.实轴长与虚轴长均为半轴数值的二倍 不可直接使用与当作轴长结果 3.非标准式先整理为标准形式再区分与 （25-26高二下·陕西商洛·期末）已知双曲线：的右焦点为，是的一条渐近线上的点．若的最小值为2，且的实轴长为6，则的离心率为________．经典例题1例题 （2026·北京昌平·二模）双曲线的实轴长为_________ .小试牛刀1 （2026·福建泉州·模拟预测）已知双曲线的两渐近线的夹角为，且实轴长小于虚轴长，则的虚轴长与焦距之比等于（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （2026·重庆万州·三模）若双曲线的焦距是虚轴长的倍，则__________小试牛刀3 【题型4：等轴双曲线】 【练方法】 公式结论 1.核心条件 2.通用方程 3.渐近线方程 两条渐近线互相垂直 4.固定离心率 方法技巧 1.渐近线垂直或均可判定为等轴双曲线 2.统一设代入已知条件求解参数 3.运算过程中直接用替换化简全部式子 （25-26高二上·广东潮州·期末）已知等轴双曲线的对称轴为坐标轴，右焦点为，则双曲线的方程为______．经典例题1例题 （2026·河北唐山·一模）等轴双曲线C的左、右焦点分别为，，以为直径的圆O与双曲线C交于M，N，P，Q四点.设四边形的面积为，圆O的面积为，O为坐标原点，则（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高三上·安徽·期末）已知等轴双曲线与椭圆有相同的焦点，则该双曲线的焦点到渐近线的距离为（   ）小试牛刀2 A． B．1 C． D． （25-26高二上·广东东莞·期末）已知等轴双曲线过点，则双曲线的标准方程为_____.小试牛刀3 【题型5：双曲线的离心率大小与双曲线开口的关系】 【练方法】 公式结论 1.离心率基础公式 2.离心率推导式 3.双曲线离心率固定区间 4.越大越大渐近线斜率绝对值越大双曲线开口越开阔 5.趋近于1趋近于0双曲线开口越狭窄 方法技巧 1.开口大小对比可直接对比离心率数值大小 2.由开口宽窄条件反向构建$(${a,b}不等式求解取值范围 3.依靠完成离心率与渐近线斜率互化 （多选）已知曲线，则下列说法正确的是（    ）经典例题1例题 A．若，则是椭圆 B．若，则是双曲线 C．当是椭圆时，若越大，则越接近于圆 D．当是双曲线时，若越小，则的开口越大 （多选）下列说法正确的是（    ）小试牛刀1 A．椭圆的离心率越大，椭圆越接近于圆 B．椭圆离心率越大，椭圆越扁平 C．双曲线离心率越大，开口越宽阔 D．双曲线离心率越大，开口越狭窄 如图，椭圆①，②与双曲线③，④的离心率分别为，，，，其大小关系为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 双曲线和的离心率分别为和，若满足，则下列说法正确是（    ）小试牛刀3 A．的渐近线斜率的绝对值较大，的开口较开阔 B．的渐近线斜率的绝对值较大，的开口较狭窄 C．的渐近线斜率的绝对值较大，的开口较开阔 D．的渐近线斜率的绝对值较大，的开口较狭窄 【题型6：根据方程求双曲线的离心率】 【练方法】 公式结论 1.基础关系式 2.变形计算公式 方法技巧 1.由标准方程提取与 依次计算后求取比值 2.已知比例关系可直接代入变形公式求值 无需计算真实长度数值 3.非标准方程先化为标准式 保证分母一正一负再区分 （25-26高二下·河南平顶山·期末）双曲线的离心率为_____.经典例题1例题 （25-26高二下·贵州遵义·阶段检测）已知双曲线 的一条渐近线的斜率为，则双曲线的离心率为（ ）小试牛刀1 A．2 B． C． D．3 （25-26高二下·河南新乡·期末）已知双曲线的两个焦点分别为，点在上，则的离心率为（   ）小试牛刀2 A． B．3 C．2 D． （25-26高二下·湖南郴州·期末）若双曲线的一个焦点到两条渐近线的距离之和为，则该双曲线的离心率为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型7：根据几何图形的性质求双曲线离心率】 【练方法】 公式结论 1.基础恒等式 2.依托几何等量关系列出a,b,c齐次等式 等式两侧同除以转化为只含的一元方程 方法技巧 1.几何边长统一用表示 消去构造齐次方程 2.求解方程后结合舍去无效根 3.焦点三角形渐近线夹角类题型搭配余弦定理勾股定理建立等量关系 （25-26高二下·江西·期末）已知双曲线：的渐近线与圆：相切，则的离心率为（   ）经典例题1例题 A．2 B． C． D． （25-26高二下·安徽宣城·期末）已知，分别是双曲线C：（，）的左、右焦点，点是双曲线上在第一象限内的一点，若，且，则的离心率为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高二下·广东深圳·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与的右支交于，两点，若，，则的离心率为（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． （2026高三·全国·专题练习）已知点分别是双曲线的两个焦点，P为该双曲线上一点，若为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为____________．小试牛刀3 【题型8：求离心率的取值范围】 【练方法】 公式结论 1.天然约束条件 2.由题干不等关系构建齐次不等式 换算为的一元不等式求解解集 最终解集与取交集 方法技巧 1.依托点坐标范围线段最值夹角范围直线位置关系罗列不等式 2.齐次式统一除以改写为相关不等式计算区间 3.最终取值范围必须剔除区间内的部分 （2026高三·全国·专题练习）已知双曲线的半焦距为c，若，则它的离心率的取值的范围是_______．经典例题1例题 （25-26高二下·辽宁朝阳·期末）若双曲线：的两条渐近线均与圆：相交，则的离心率的取值范围为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高三下·广东东莞·阶段检测）已知圆与双曲线，若在双曲线上存在一点，使得过点能作圆的两条切线，切点为，且，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高三下·河南周口·阶段检测）若直线与双曲线的交点为，，且大于的虚轴长，则的离心率的取值范围是（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型9：由离心率求参数范围】 【练方法】 公式结论 1.离心率表达式 2.将方程内含参表达式代入 得到关于参数的解析式 结合已知范围解不等式得到参数区间 方法技巧 1.区分标准方程中带参数的与表达式 2.代入离心率公式书写参数解析式 结合给定范围列不等式计算 3.额外补充双曲线分母一正一负的硬性约束 联立双重条件求解最终参数范围 在双曲线中，离心率，则两条渐近线夹角的取值范围是______．经典例题1例题 设，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，若，则的取值范围是__________.小试牛刀1 （2023·安徽滁州·模拟预测）设，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，若，则的取值范围是_________．小试牛刀2 过点M（4，0）的直线l与双曲线两渐近线分别交于不同两点A，B，O为原点，若该双曲线的离心率为2，则的取值范围为___________.小试牛刀3 课后过关检测 一、单选题 1．（25-26高二下·云南德宏·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，则其离心率为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·贵州毕节·期末）已知等轴双曲线的中心在原点，它的一个焦点为，则双曲线的方程是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·湖北·开学考试）设点是双曲线上的动点，定点，则的最小值为（    ） A． B．3 C．12 D． 4．（2026·甘肃白银·三模）已知双曲线的离心率为，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·陕西安康·期末）已知双曲线：的离心率为，则的焦距为（     ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·安徽宿州·期末）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 7．（2026高三·全国·专题练习）双曲线的实轴长、虚轴长与焦距的和为8，则半焦距的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（2025·天津武清·模拟预测）双曲线的右焦点为，设A、B为双曲线上关于原点对称的两点，AF的中点为M，BF的中点为N，若原点O在以线段MN为直径的圆上，直线AB的斜率为，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 9．已知双曲线E：的左、右焦点分别为，，右顶点为A，过点的直线与y轴交于点M，与E的右支交于点N（异于点A），若，E的渐近线斜率为k，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 10．（2026·山东·模拟预测）已知双曲线的右焦点为，中心为，是右支上的动点，若点满足，则的最小值为（     ） A． B．1 C． D．2 二、多选题 11．（24-25高二下·陕西·期末）已知双曲线：，则（     ） A．双曲线的实轴长为 B．双曲线的虚轴长为 C．双曲线的离心率为 D．双曲线的渐近线的斜率为 12．（25-26高二下·江苏盐城·期末）已知双曲线：的一个焦点为，则双曲线的（    ） A．焦距为6 B．实轴长为 C．离心率为 D．渐近线方程为 三、填空题 13．（23-24高二下·上海·期中）在双曲线中，的取值范围是______． 14．（25-26高二下·河南·阶段检测）已知双曲线：的右焦点为，坐标原点为，以线段为直径的圆与的一条渐近线交于异于点的另一点 ．若，则的离心率为_________． 15．（2025·青海海东·二模）已知，分别是双曲线：的左、右焦点，如图所示，点，分别在双曲线的左、右支上，且，若，则双曲线的离心率为______. 16．（24-25高二下·上海·期中）已知直线与双曲线的左，右两支分别交于，两点，是双曲线的左焦点，且，则双曲线的离心率是________． 17．（25-26高二上·上海·期末）已知曲线上存在四个点，使四边形是正方形，则实数的取值范围是________． 18．（25-26高二上·安徽淮南·阶段检测）已知双曲线的左，右焦点分别为，若上存在点满足，则的离心率的最小值为___________. 1 学科网（北京）股份有限公司 $