专题3.2.1 双曲线及其标准方程（高效培优讲义）数学人教A版高二选择性必修第一册

本讲义聚焦高中数学双曲线及其标准方程核心知识点，系统梳理双曲线定义（含常数与两焦点距离关系）、两种标准方程及参数a,b,c关系，通过类比椭圆构建知识支架，从定义推导方程延伸至焦点三角形计算、轨迹问题等，形成完整知识链（含思维导图辅助理解）。 该资料以类比推理为主线，结合即学即练与题型分类，培养逻辑推理与数形结合素养。如对比椭圆与双曲线定义差异强化数学思维，焦点三角形面积公式推导提升代数变形能力，课中辅助教师突破重难点，课后助力学生巩固应用查漏补缺。

专题3.2.1 双曲线及其标准方程 教学目标 1.理解双曲线的定义，掌握双曲线的几何条件，理清参数a,b,c的关系，掌握双曲线两种形式的标准方程，能根据条件求双曲线的标准方程。 2.经历双曲线标准方程的推导过程，进一步体会坐标法，提升代数运算、化简变形的能力，感受类比椭圆研究曲线的思想方法。 3.通过对比椭圆与双曲线的异同，培养类比推理、逻辑推理素养，强化数形结合的数学思想。 4.了解双曲线在实际生活中的应用，感受圆锥曲线的内在联系，提升探究解析几何问题的学习兴趣。 教学重难点 重点 1.理解双曲线定义，掌握a,b,c的关系，熟记双曲线两种标准方程，能根据条件求双曲线方程。 2.掌握双曲线焦点三角形的基本结论，会利用双曲线定义∣PF1∣−∣PF2∣=±2a处理边长、周长相关计算。 3.会借助余弦定理、三角形边角关系求解焦点三角形的面积，能处理焦点三角形中简单的长度、最值问题。 难点 1.双曲线定义中常数小于两定点距离的条件理解，区分与椭圆定义的差异，注意绝对值的含义。 2.焦点三角形中利用定义结合余弦定理进行代数变形，区分双曲线与椭圆焦点三角形面积公式的不同。 3.处理焦点三角形的最值问题，结合三角形三边约束条件，分析变量取值范围，避免出现增解。 知识点01 双曲线的定义 在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线．这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距． 注意：1、双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解； 2、若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； 3、若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）； 4、若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在； 5、若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线． 【即学即练】 1．求解下列问题： (1)已知，分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线外一点，点在双曲线的右支上，求的最小值； (2)已知双曲线的方程为，点的坐标为，是圆上的点，点为其圆心，点在双曲线的右支上，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用双曲线定义把求的最小值转化为求的最小值，再利用两点间线段最短求解； （2）利用双曲线定义，结合圆的性质及两点间线段最短求解最小值． 【详解】（1）由题意知， 所以要求的最小值，只需求的最小值， 如图1所示，连接交双曲线的右支于点， 当点位于点处时，最小，最小值为． 故的最小值为． （2）设点的坐标为，则点，是双曲线的焦点， 如图2所示，连接，， 由双曲线的定义，得． 所以． 因为点是圆上的点，圆的圆心为，半径为1， 所以，从而， 当且仅当点，在线段上时，等号成立， 故的最小值为． 2．已知双曲线的两个焦点为，，是双曲线上的一点，且，，则双曲线的方程是________． 【答案】 【分析】方法一：结合勾股定理，双曲线的定义得，进而求得，再结合即可求得答案； 方法二：根据焦点三角形等面积法求得，再结合即可求得答案. 【详解】方法一：由双曲线的定义得， 因为，焦距， 所以，即，又， 所以，即， 所以，， 故双曲线的方程为． 方法二： 因为，所以． 又，，即， 所以． 又，所以， 故双曲线的方程为． 3．根据以下条件，分别求出双曲线的方程： (1)两顶点间的距离是6，两焦点的连线被两顶点和中心四等分； (2)过点，离心率； (3)与双曲线有共同的渐近线，且过点． 【答案】(1)或． (2) (3) 【详解】（1）由两顶点间的距离是6得，即． 由两焦点的连线被两顶点和中心四等分可得，即， 于是有． 由于焦点所在的坐标轴不确定，故所求双曲线的标准方程为或． （2）依题意，双曲线的实轴可能在轴上，也可能在轴上，分别讨论如下： 若双曲线的实轴在轴上，设双曲线的方程为．由，得． 因为，所以① 由点在双曲线上，得② 由①②得，．此时双曲线的方程为．若双曲线的实轴在轴上，设双曲线的方程为． 同理有，，，解得（舍去）． 故双曲线的实轴只能在轴上，所求双曲线的方程为． （3）设所求双曲线的方程为．将点代入得． 所以双曲线的方程为，即． 知识点02 双曲线的标准方程 如何建立双曲线的方程？根据求曲线方程的一般步骤，可分：（1）建系设点；（2）点的集合；（3）代数方程；（4）化简方程等步骤． 第一步：建系设点 取过焦点、的直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴 第二步：建立直角坐标系． 设为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是（），那么F1、F2的坐标分别是、．又设点M与、的距离的差的绝对值等于常数． 第三步：点的集合 由定义可知，双曲线就是集合： ． 第四步：代数方程 ∵，∴ 第五步：化简方程 将这个方程移项，两边平方得： 化简得：两边再平方，整理得：（以上推导完全可以仿照椭圆方程的推导．） 由双曲线定义，即c＞a，所以． 设，代入上式得：即，其中 【即学即练】 1．双曲线与双曲线的（    ） A．顶点相同 B．焦点相同 C．虚轴长相等 D．离心率相等 【答案】B 【分析】根据双曲线的标准方程及简单的几何性质判断即可. 【详解】因为为双曲线，所以，解得. 此时，双曲线方程可改写为. 对于，分别记，，，焦点在轴上，焦点为. 对于，分别记，，，焦点在轴上，焦点为. 对于A，第一个双曲线顶点为，第二个双曲线顶点为，只有当时，顶点相同，A错误. 对于B，两者焦点均为，B正确. 对于C，第一个双曲线虚轴长为，第二个双曲线虚轴长为2，只有当时，虚轴长相等，C错误. 对于D，第一个双曲线离心率为，第二个双曲线离心率为，只有当时，离心率相等，D错误. 2．（多选）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点为的右支上任意一点，点，则（   ） A． B．双曲线的渐近线方程为 C．过点且与双曲线只有一个公共点的直线有3条 D．的最小值为 【答案】BD 【分析】首先结合焦距求出半焦距，利用双曲线中求解参数，即可得到渐近线方程，判断A、B的正误；再结合直线与双曲线仅有一个公共点的两类情况（与双曲线相切、与渐近线平行），结合点的位置判断C的正误；最后利用双曲线的定义转化所求距离和，结合两点之间线段最短求最值，判断D的正误. 【详解】由可知半焦距，则 ，故A错误； 双曲线的渐近线方程为，故B正确； 对于C，易知不在双曲线及其渐近线上， 当过的直线与双曲线相切时，有两条直线与双曲线只有一个公共点； 当过的直线与渐近线平行时，也有两条直线与双曲线只有一个公共点， 所以过点且与双曲线只有一个公共点的直线有4条，故C错误； 对于D， ， 因为在双曲线渐近线的上方， 则， 当且仅当在线段上时，取得等号，故D正确． 3．已知双曲线的渐近线方程为，则双曲线的焦点到渐近线的距离为（   ） A． B．3 C．6 D．9 【答案】B 【详解】由双曲线，可得， 又渐近线方程为，所以， 所以双曲线的焦点到渐近线的距离为. 知识点03 求双曲线的标准方程 方法1：待定系数法：由题目条件确定焦点的位置，从而确定方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数、、的值．其主要步骤是“先定型，再定量”； 方法2：定义法：由题目条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程． 【即学即练】 1．根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)焦点分别为，，且经过点； (2)经过点和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意设双曲线的标准方程为，根据题意建立方程计算求解即可； （2）双曲线的方程为，根据题意建立方程计算求解即可. 【详解】（1）因为双曲线的焦点在轴上，所以设双曲线的标准方程为． 由题意知，所以．①； 因为点在双曲线上，所以．② 由①②解得，，所以所求双曲线的标准方程为． （2）设双曲线的方程为， 则，解得， 所以所求双曲线的标准方程为． 2．两条渐近线为，且截直线所得弦长为的双曲线方程为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由渐近线方程为可设双曲线方程为，联立直线方程可得，结合韦达定理和弦长公式，即可得解． 【详解】由双曲线渐近线为，即， 可设双曲线方程为（）， 直线即，代入双曲线方程得， 整理得二次方程， 设直线与双曲线交点为、，由韦达定理得，， 直线斜率，弦长公式为， 代入已知弦长，得，两边平方得， 化简得，即，解得满足， 代回设的方程得，两边同除以，即得双曲线方程为. 3．已知，若，则点C的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由及双曲线的定义可知点C的轨迹是双曲线的左支， 设其标准方程为， 所以，解得， 所以点C的轨迹方程为． 知识点04 求双曲线中的焦点三角形面积的方法 （1）①根据双曲线的定义求出；②利用余弦定理表示出、、之间满足的关系式；③通过配方，利用整体的思想求出的值；④利用公式求得面积。 （2）利用公式求得面积； （3）若双曲线中焦点三角形的顶角，则面积. 【即学即练】 1．（多选）已知双曲线：（）的左右两个焦点分别是，，焦距为8，则（   ） A． B．双曲线的离心率为2 C．双曲线的渐近线方程为 D．若是双曲线上一点，且，则的周长为22或14 【答案】BC 【分析】先根据题意，求出的值，再由选项内容逐一判断A，B，C项；对于D，需要按照点在双曲线的左支还是右支进行分类，结合双曲线上的点到焦点距离的范围进行判断取舍即可. 【详解】对于A，因双曲线的焦距为，即得，由：（）可得， 则，故A错误； 对于B，由上分析，，故B正确； 对于C，由上分析可得，，则该双曲线的渐近线方程为，即，故C正确； 对于D，若点在双曲线的左支上，由可得， 此时，的周长为； 若点在双曲线的右支上，因，这与已知不符，故D错误. 故选：BC. 2．设，分别是双曲线的左、右焦点.若点在双曲线上，且，则（    ） A． B． C．5 D．10 【答案】D 【分析】利用向量的运算，结合双曲线的定义即可求解. 【详解】 因为，所以， 则. 故选：D 3．设双曲线，，是其两个焦点，点P在双曲线右支上.若， (1)求双曲线的渐近线方程. (2)求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出，进而求解即可； （2）由余弦定理结合双曲线的定义求得，然后由三角形面积公式得结论． 【详解】（1）由双曲线，则，故， 即，则双曲线的渐近线方程为. （2）由（1）知，，则， 由双曲线定义得， 两边平方得①， 由余弦定理得， 即②， ②①得：， 所以． 题型01 双曲线的定义 双曲线的定义：平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数（小于∣F1F2∣且大于 0）的点的轨迹。牢记∣∣PF1∣−∣PF2∣∣=2a，0<2a<2c。若2a=2c轨迹为两条射线；2a>2c无轨迹。解题常结合定义处理焦点三角形边长，搭配余弦定理求边长、面积。注意区分椭圆与双曲线定义，双曲线是距离差的绝对值，椭圆是距离和。做题留意绝对值，分清点在左支还是右支，避免符号出错。 【典例1】已知，，动点满足，则点的轨迹是（     ） A．双曲线的一支 B．双曲线 C．椭圆 D．射线 【答案】A 【分析】根据圆锥曲线的定义判断即可. 【详解】由题意可知， 因为， 所以点的轨迹是双曲线的一支. 【变式1】已知，，动点满足，当为3和5时，点的轨迹分别是（   ） A．双曲线和一条直线 B．双曲线和两条射线 C．双曲线的一支和一条直线 D．双曲线的一支和一条射线 【答案】D 【详解】依题意得． 当时，，此时，符合双曲线定义， 因此点的轨迹是双曲线靠近的右支，故点的轨迹为双曲线的一支； 当时，，此时， 说明点满足和、共线，且在的右侧（含点），沿轴正方向延伸， 故点的轨迹为一条射线． 综上，点的轨迹分别是双曲线的一支和一条射线． 【变式2】已知双曲线的两个焦点分别为，，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（   ） A．4 B．3 C．2 D． 【答案】C 【分析】根据双曲线的焦点以及定义求解即可. 【详解】双曲线的两个焦点为、，焦点在轴上，因此. 设焦点，，已知点在双曲线上， 则，， 因此，得. 所以离心率为. 故选：C. 题型02 双曲线的标准方程 双曲线标准方程分焦点在 x 轴、y 轴两种形式，满足c2=a2+b2，注意和椭圆a2=b2+c2区分。判断焦点位置看分母正负，分母大的对应焦点所在坐标轴。求方程时，先确定焦点位置，再设对应方程，利用条件求出a,b。解题要注意a>0,b>0,c>0。已知条件不能确定焦点位置时，需要分类讨论。结合双曲线定义，配合a,b,c关系求解，避免混淆椭圆与双曲线的参数关系。 【典例1】已知双曲线的焦距为，则______. 【答案】4 【分析】由题知，，再根据的关系求解即可. 【详解】解：根据题意，，， 所以，解得. 故答案为：4 【变式1】已知双曲线（，）的一条渐近线与直线平行，且双曲线的焦距为，则双曲线的方程为______． 【答案】 【详解】双曲线的一条渐近线与直线平行，，得. 又双曲线的焦距为，，得. 又，可得. 故双曲线的方程为. 【变式2】已知双曲线的一条渐近线斜率为2，且焦距为，则该双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知双曲线的一条渐近线斜率为2， 则，即. 因为双曲线焦距为，所以. 又，所以， 解得，. 故双曲线方程为. 题型03 双曲线方程的充要条件 双曲线方程的充要条件：形如x2/m​+y2/n​=1表示双曲线的充要条件是mn<0，即两个分母异号。若m>0,n<0，焦点在x轴；若m<0,n>0，焦点在y轴。注意区分椭圆的充要条件m>0,n>0,m≠n。解题时先判断分母符号，确定焦点位置，再利用c2=∣m∣+∣n∣计算参数。遇到含参数方程，要分类讨论，排除m=0或n=0的退化情况，防止误判为双曲线。 【典例1】双曲线与双曲线的（    ） A．顶点相同 B．焦点相同 C．虚轴长相等 D．离心率相等 【答案】B 【分析】由题意确定的范围，进而逐项判断即可. 【详解】由表示双曲线， 得，得，所以焦点在轴上， 又， 所以顶点坐标，焦点坐标，虚轴长，离心率， 双曲线的顶点坐标，焦点坐标，虚轴长，离心率， 因此两个双曲线具有相同的焦点，其他选项均不能确定满足. 【变式1】设为实数，若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】方程表示焦点在轴上的双曲线，，解得. 【变式2】（多选）关于方程，下列说法正确的有（    ） A．若，它表示焦点在轴上的双曲线 B．若，它表示焦点在轴上的双曲线 C．方程有可能表示等轴双曲线 D．若方程表示双曲线，则或 【答案】ABD 【分析】根据题意，结合双曲线的标准方程及双曲线的性质，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，若，可得方程，表示焦点在轴上的双曲线，所以A正确； 对于B，若，可得方程，表示焦点在轴上的双曲线，所以B正确； 对于C，若方程表示焦点在轴上的等轴双曲线，则，无解； 若方程表示焦点在轴上的等轴双曲线，则，无解， 综上可得，不存在实数使得方程表示等轴双曲线，所以C错误； 对于D，若方程表示双曲线，则满足， 解得或，所以D正确. 题型04 双曲线中焦点三角形的周长与面积及其他问题 （1）①根据双曲线的定义求出；②利用余弦定理表示出、、之间满足的关系式；③通过配方，利用整体的思想求出的值；④利用公式求得面积。 （2）利用公式求得面积；（3）若双曲线中焦点三角形的顶角，则面积. 【典例1】设为双曲线：的右支上一点，的左、右焦点分别为，，且，若为坐标原点，为线段的中点，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据双曲线的定义和三角形中位线定理进行求解即可. 【详解】本题考查双曲线的定义与几何性质，考查直观想象与数学运算的核心素养. 依题意得. 因为， 所以，故. 故选：C    【变式1】已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点引圆的切线，切点为，延长，交双曲线右支于点．若为线段的中点，为坐标原点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用图形，结合双曲线的定义，找到对应线段之间的联系，简化计算即可求解． 【详解】如图，连接，，因为为的中点，为的中点， 所以， 所以． 因为， 所以， 所以，即． 故选：A．    【变式2】已知双曲线的左､右焦点分别为，，点是上一点，且，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，用表示，结合双曲线定义列式求解. 【详解】设双曲线的焦距为， 由，则，又， 所以点在双曲线的右支上，且，， ，解得. 故选：D. 题型05 双曲线上两点距离的最值问题 双曲线上两点距离最值，双曲线两支上点的最大距离为实轴长2a。求双曲线上动点到定点距离，可设点坐标，转化为二次函数，结合双曲线x的取值范围∣x∣≥a求最值。也可使用参数方程，借助三角函数求解。注意双曲线没有封闭图形，动点范围受∣x∣≥a限制，不可直接套用椭圆的结论。遇到过焦点的距离，利用焦半径公式简化计算。解题优先几何分析，代数求解时务必关注自变量范围，判断最值能否取到。 【典例1】已知曲线：，则曲线上的点到距离的最小值为__________． 【答案】 【分析】根据题意得，再结合距离公式，二次函数最值求解即可. 【详解】由题意知，， 令，则，令 由于函数在均为单调递增函数， 所以函数在上单调递增， 因为，所以的根为，即， 所以曲线的方程为， 所以曲线上的点到距离满足： ， 当且仅当时等号成立， 所以，即曲线上的点到距离的最小值为 【变式1】（多选）已知双曲线的左、右焦点分别为、，点在双曲线上，下列结论正确的是（   ） A． B．过点的最短的弦长为2 C．存在点，满足 D．点到两渐近线的距离的乘积为 【答案】ABD 【详解】对于A，双曲线方程可化为，焦点在轴上，已知焦点，则， 由，，且，则，故选项A正确； 对于B，双曲线方程为，即，，， 通径长为，实轴长为，故最短弦长为，选项B正确； 对于C，若 ， 由，此时点在双曲线右支， 由双曲线定义，，代入得⇒， 解得，，此时，不满足三角形两边之和大于第三边， 故不存在这样的点，故选项C错误； 对于D，渐近线方程，即和，点在双曲线上：. 到两渐近线的距离：，乘积：， 由双曲线方程，所以，故选项D正确. 【变式2】（多选）已知双曲线的左、右焦点分别为为右支上一点（异于右顶点），为圆上一点，则（   ） A．的渐近线方程为 B．的内切圆与轴切于定点 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】根据渐近线斜率判断A，联立方程，利用内切圆性质判断B，根据圆的切线的性质判断C，利用动点到圆心的距离的最值判断D. 【详解】因为双曲线的渐近线为，由题，所以的渐近线方程为，故A正确； 设分别与的内切圆切于点， 则， 又，所以，所以的内切圆与轴切于定点，故B正确； 易知，，则，当与相切时，取得最大值，最大值为，故C错误； 设，则， 当时，取得最小值，则的最小值为，故D正确． 题型06 双曲线上两线段的和差最值问题 双曲线线段和差最值，核心运用双曲线定义∣∣PF1∣−∣PF2∣∣=2a进行转化。求线段之差最值，利用三角形两边之差小于第三边，三点共线时取得极值。求线段之和最值，要区分定点位置，定点在双曲线外部，直接连线可得最小值；定点在内部，借助焦点做等量代换。注意双曲线∣x∣≥a的范围约束，检验动点是否在双曲线上。代数法可设参数方程求解。小题结合图像判断，大题要写明共线条件，留意等号能否成立，避免取不到最值的错误。 【典例1】已知双曲线的右焦点为F，P为双曲线右支上一动点，，则的最小值为（     ） A． B． C．5 D．10 【答案】B 【分析】设双曲线的左焦点为，根据双曲线的定义，将转化为，即可求其最小值. 【详解】设双曲线的左焦点为，则，所以，. 则由题意可得，，即. 所以， 当且仅当三点共线时，等号成立. 即的最小值为. 【变式1】已知点是双曲线的右支上一点，，分别是圆和上的点，则的最大值为（     ） A．12 B．15 C．16 D．18 【答案】B 【分析】根据双曲线的性质得到焦点的坐标和双曲线上的点到两个焦点的距离之差，结合三角形边的性质从而求解. 【详解】 在双曲线中，，，， 所以双曲线的焦点，，， 因为，， 所以. 【变式2】已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为，点为右支上一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，利用双曲线的定义及三角形的性质，即可求解. 【详解】由双曲线，得，，即， 则， 当且仅当三点共线时，即时取等号，所以的最大值为. 题型07 求轨迹方程 双曲线求轨迹方程，常用定义法与直接法。若动点满足距离差的绝对值为常数且小于两定点间距，直接利用双曲线定义写出轨迹，注意剔除不满足条件的点。直接法设动点坐标，根据几何条件列等式，化简得到方程。注意区分轨迹与轨迹方程，轨迹要说明图形，轨迹方程只需写出等式。遇到含参数问题，要分类讨论，检验是否存在退化情况。结合∣∣PF1∣−∣PF2∣∣=2a，留意0<2a<2c的限制条件，排除增根，注意剔除不符合题意的点。 【典例1】如图所示，在以点为圆心，为直径的半圆中，，是半圆弧上一点，，曲线是满足为定值的动点的轨迹，且曲线过点．建立适当的平面直角坐标系，则曲线的方程为________． 【答案】 【详解】方法一：以为坐标原点，，所在直线分别为轴、轴，建立平面直角坐标系， 如图所示，则，，，， 依题意得， 所以曲线是以，为焦点的双曲线， 则，， 所以，， 故曲线的方程为． 方法二：同解法一建立平面直角坐标系，则依题意可得， 所以曲线是以，为焦点的双曲线， 设双曲线的方程为，则有解得， 故曲线的方程为． 【变式1】（多选）在平面直角坐标系中，，，P是异于，两点的动点，若直线，斜率的乘积为定值，则下列说法正确的是（    ） A．当时，点在某双曲线上 B．当时，面积的最大值为4 C．存在，存在点使得为锐角 D．任意，对任意点都有的斜率小于 【答案】ACD 【分析】设点，根据题意得，时根据求出的P的轨迹方程可判断A；时，得点在椭圆，当时，取最大，最大，通过计算可判断B、C；当时，则P的轨迹方程为，从而，进而得到的范围即可判断D. 【详解】设，由题意得，即. 对于A，时，P的轨迹方程为，点在双曲线上，故A正确； 对于B，时，P的轨迹方程为， 所以点在椭圆，则，仅当时等号成立，所以， ，的最大值为，故B不正确； 对于C，若，令，则P的轨迹方程为， 取，则， ，,即为锐角，故C正确； 对于D，若，则P的轨迹方程为， 由，得，，即，故D正确. 【变式2】已知是一个动点，过点分别作直线，的垂线，垂足分别为，.若的面积为，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】设动点坐标，利用点到直线距离公式表示垂线段长度，结合两直线夹角与三角形面积公式建立方程，化简后得到轨迹方程. 【详解】不妨设， 设动点，直线与的一般式为、， 由点到直线的距离公式，得，. 直线与的夹角为，由， 得与两直线夹角互补，故. 由， 即， 化简得，即. 当时，整理为； 当时，整理为. 因此动点的轨迹方程为或. 1．已知、，动点满足，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线的定义，即可求解方程. 【详解】因为， 所以点是以点为焦点的双曲线的右支，所以，，， 所以点的轨迹方程是，. 故选：C 2．设为定点，动点满足，则动点的轨迹方程为____________. 【答案】 【分析】由已知条件知，点的运动轨迹是以为焦点的双曲线，从而可求得轨迹的方程. 【详解】， 动点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支， 且，.， 双曲线的方程为. 故答案为：. 3．双曲线：的左、右焦点分别为，，是上一点，若，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【分析】根据双曲线的定义即可求出. 【详解】由题意双曲线：的，， 又是上一点，，在双曲线的右支上， 根据双曲线的定义，得，，解得. 故选：D. 4．双曲线上任意一点到两个焦点的距离之差的绝对值为_____． 【答案】2 【分析】根据双曲线的定义求解即可. 【详解】由双曲线的定义可知，双曲线上任意一点到两个焦点的距离之差的绝对值等于. 所以. 故答案为：2. 5．双曲线上一点到其一个焦点的距离等于8，求点P到其另一个焦点的距离（    ） A．32 B．16 C．8 D．4 【答案】B 【分析】先利用双曲线方程求，设 ，运用双曲线的定义，求得，得到结果. 【详解】由双曲线，得到 ， ， ； 由双曲线的定义，即， 所以或（舍去）. 故选：B. 6．已知双曲线的焦点分别为、，，双曲线上存在一点满足，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由双曲线的定义求出，由可得，然后由离心率的计算公式计算即可. 【详解】因为双曲线的焦点分别为、，，所以，故， 又因为双曲线上存在一点满足， 即，所以，故， 所以双曲线的离心率为. 故选：B 7．已知双曲线，分别为其左、右焦点，为双曲线上一点，且，则（    ） A．2 B．14 C．2或14 D．4或14 【答案】C 【分析】根据双曲线的定义，再结合焦半径的取值范围，即可求解. 【详解】因为双曲线，所以，， 故焦点坐标为. ①如图① ，若点在左支上，则，， 由双曲线的定义可知， 因为，所以，，所以符合题意.                 ②如图②，若点在右支上， 则，， 由双曲线的定义，，因为，所以. 因为，所以符合题意，综上，或14. 故选：C 8．已知双曲线的实轴长为2，离心率为. (1)求双曲线的方程； (2)为双曲线上一点，且，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据实轴求出a值，根据离心率求出c值，根据a，b，c的关系，求出，即可得答案. （2）根据双曲线的定义，结合余弦定理，可得的值，代入完全平方公式，化简变形，即可得答案. 【详解】（1）由题意实轴，解得，则离心率， 所以， 所以双曲线的方程为. （2）由双曲线的定义得，且， 由余弦定理，所以，解得， 所以， 所以. 9．已知动点与定点的距离和它到定直线的距离之比为，且的轨迹为曲线. (1)求的方程. (2)已知第一象限内的动点在上，点. （i）若点，求的最小值； （ii）若，求的面积. 【答案】(1)（或）. (2)（i）；（ii）3 【分析】（1）根据距离公式得到方程，整理即可得解； （2）（i）由（1）可得，再根据双曲线的定义计算可得；（ii）利用勾股定理求出，再由面积公式计算可得. 【详解】（1）因为动点与定点的距离和它到定直线的距离之比为， 所以， 将上式两边平方，化简得， 所以的方程为（或）. （2）（i）由（1）可知分别是的左､右焦点，又，， 因为第一象限内的点在上，所以，则， 又，所以， 所以， 当且仅当在与双曲线在第一象限的交点时取等号， 所以的最小值为. （ii）由题意得， 将①左右两边平方，得，结合②得， 所以的面积为.    10．过双曲线的右焦点倾斜角为的直线交双曲线于两点，为坐标原点 (1)求； (2)求的面积 (3)求证： 【答案】(1) (2) (3) 证明：由（2）知直线l双曲线的右支相交于A，B两点， 由双曲线的定义得，． 所以， 整理得． 【分析】（1）联立直线和双曲线方程利用弦长公式计算可得； （2）利用点到直线距离公式以及三角形面积公式计算即可； （3）由双曲线定义证明即可得出结论. 【详解】（1）易知右焦点为，直线l的方程为．如图所示： 设，， 由得， 所以，， 可得. （2）原点到直线l：的距离, 所以． （3）略 1．已知F为双曲线的右焦点，A为左顶点，P为C上的点，且P位于第一象限，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出直线的方程并与双曲线方程联立，解得点坐标，利用向量可证明，可得. 【详解】易知， 由可得直线的斜率为，其直线方程为， 如下图所示： 联立直线与双曲线方程可得， 整理可得， 解得或(舍)， 所以点的横坐标为，又点位于第一象限，所以； 则， 所以，即， 所以， 因此在中，，即. 2．已知，，动点满足，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可得动点所在轨迹为焦点在y轴上双曲线的下支，据此可得答案. 【详解】由题可得动点所在轨迹为焦点在y轴上双曲线的下支，其中实轴长为， 焦距长为，则虚轴长为：，则轨迹方程为： 3．已知为双曲线：的右焦点，为坐标原点，点是右支上的一点，且.若点关于点的对称点也在双曲线上，则双曲线的渐近线的斜率为______. 【答案】或/或 【分析】利用对称性构造直角三角形，结合双曲线的定义和勾股定理列方程，即可求解出，进而得到渐近线的斜率. 【详解】设点关于点的对称点为，双曲线的左焦点为，易得， 因为，所以，如图，令， 则，又， 在中，，即， 化简得（*）； 在中，，即， 化简得，将其代入（*），化简得，即， 所以双曲线的渐近线的斜率为. 4．已知双曲线的左、右焦点分别为，离心率为，过的直线与C的右支交于A，B两点．若，则的值为（   ） A． B．3 C． D．2 【答案】B 【分析】根据双曲线的定义，在直角三角形中利用勾股定理计算即可求解. 【详解】因为双曲线的离心率为，不妨设，则， 设，，则，， 在中，由勾股定理可得，解得， 则， 同理，在中，由勾股定理可得，解得， 所以. 5．已知，，点满足，为坐标原点，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以点轨迹是以、为焦点的双曲线的右支， 由题意得：且，即得，， 所以双曲线为，其中， 设直线的方程为，联立，消去得， 因，则，即得，则，解得：. 6．若点是双曲线在第一象限图像上的动点，、分别为双曲线的左、右焦点： (1)若且的面积为，求的大小 (2)在（1）的条件下，求线段的长 (3)若求当为等腰三角形时点的坐标. 【答案】(1) (2) (3)或. 【分析】（1）根据三角形面积求点的坐标，再代入向量公式求夹角； （2）根据（1）的过程求解； （3）根据条件，得到或，代入坐标公式，即可求解. 【详解】（1）当时，双曲线方程， 则，， 设，， ，得， 代入，得 则，，， 所以，， ， 所以. （2）. （3），，则，， 若为等腰三角形，则或 设，， 若，则，且，得或（舍）， 当时，，（负值舍去），则 若，则，且，得（舍）或， 当时，，（负值舍去），则 所以点的坐标分别为或. 7．（多选）已知双曲线的左､右焦点为，点为右支上一动点，则下列说法正确的是（    ） A．双曲线与双曲线有相同的渐近线 B．若，则的周长为 C．若，则的面积为2 D．若为圆上一点，则的最大值为7 【答案】ABD 【分析】直接求解渐近线方程判断A；结合双曲线的定义求解即可判断B；设，则，结合勾股定理得，再求解面积判断C；根据题意得为双曲线的左焦点，再结合双曲线的定义求解即可． 【详解】对于A：双曲线，渐近线方程为； 双曲线的渐近线方程为，故A正确； 对于B：由题意得，， 由双曲线的定义得，， 故的周长为，故B正确； 对于C：在右支上，设，则， 因为，所以，解得（负值舍去）， 所以的面积为，故C错误； 对于D：圆的圆心的坐标为，半径为1， 易知为双曲线的左焦点；故， 则， 当为线段的延长线与圆的交点时等号成立， 所以的最大值为7，故D正确． 8．（多选）已知双曲线E：的左、右焦点分别为F1，F2，其离心率为，P为双曲线上一点，则（    ） A． B． C．E的渐近线方程为 D．E与有交点 【答案】AC 【分析】对于A，由求解；对于B，由双曲线定义可判断选项正误；对于C，直接求渐近线方程即可；对于D，与渐近线比较即可判断． 【详解】解：对于A，因为离心率，则，故A正确； 对于B，根据双曲线的定义知道，故B错误； 对于C，根据渐近线方程，故C正确； 对于D，因为渐近线斜率，而直线的斜率为2，因为2>1，所以无交点，故D错误． 9．已知双曲线C：（），焦距为，点，分别为双曲线的左右焦点． (1)求双曲线C的标准方程与渐近线方程； (2)过点作斜率为k的直线l，与双曲线C交于M，N两点，是否存在实数k使得？若存在，请求出k的值；若不存在说明理由； (3)点Q为双曲线右支上的动点，求的最小值． 【答案】(1)双曲线C的标准方程为，渐近线方程为 (2)不存在，理由如下： 由题意可得直线的方程为，设、， 联立，消去可得， 则，且， 若，则，即有， 即，则该方程无解，故不存在这样的； (3) 【分析】（1）借助焦距与渐近线方程定义计算即可得； （2）表示出直线的方程，联立曲线方程可得与交点横坐标有关韦达定理，结合计算可得不存在； （3）结合双曲线定义与双曲线最短焦半径计算即可得. 【详解】（1）由双曲线的焦距为，则， 即双曲线C：，则渐近线方程为； （2）略 （3）由双曲线定义可得，则， 由，故. 10．已知双曲线E：（，）的左、右焦点分别为，，的一条渐近线方程为，过点且与轴垂直的直线与交于，两点，的周长为16． (1)求的方程； (2)过点的直线与交于，两点，若，求直线的斜率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由渐近线方程和三角形周长，结合双曲线方程的定义得到方程组，求出，得到双曲线方程； （2）直线的斜率不存在或斜率为0时，不合要求，设出直线方程，联立双曲线方程，得到两根之和，两根之积，根据得到方程，求出，得到直线斜率 【详解】（1）一条渐近线方程为，故， 中，令得， 故，所以， 由双曲线定义可得，同理， 故，结合，可得， 所以的方程为； （2）由（1）知，，当直线的斜率不存在或斜率为0时，不成立， 故直线的斜率存在，且不为0，设方程为，， 联立与得， ，且，故， 设，则， ，故， 所以，所以， 由得，将其代入得 ，解得满足要求， 故，，直线的斜率为. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.2.1 双曲线及其标准方程 教学目标 1.理解双曲线的定义，掌握双曲线的几何条件，理清参数a,b,c的关系，掌握双曲线两种形式的标准方程，能根据条件求双曲线的标准方程。 2.经历双曲线标准方程的推导过程，进一步体会坐标法，提升代数运算、化简变形的能力，感受类比椭圆研究曲线的思想方法。 3.通过对比椭圆与双曲线的异同，培养类比推理、逻辑推理素养，强化数形结合的数学思想。 4.了解双曲线在实际生活中的应用，感受圆锥曲线的内在联系，提升探究解析几何问题的学习兴趣。 教学重难点 重点 1.理解双曲线定义，掌握a,b,c的关系，熟记双曲线两种标准方程，能根据条件求双曲线方程。 2.掌握双曲线焦点三角形的基本结论，会利用双曲线定义∣PF1∣−∣PF2∣=±2a处理边长、周长相关计算。 3.会借助余弦定理、三角形边角关系求解焦点三角形的面积，能处理焦点三角形中简单的长度、最值问题。 难点 1.双曲线定义中常数小于两定点距离的条件理解，区分与椭圆定义的差异，注意绝对值的含义。 2.焦点三角形中利用定义结合余弦定理进行代数变形，区分双曲线与椭圆焦点三角形面积公式的不同。 3.处理焦点三角形的最值问题，结合三角形三边约束条件，分析变量取值范围，避免出现增解。 知识点01 双曲线的定义 在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线．这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的_________． 注意：1、双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解； 2、若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； 3、若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）； 4、若常数满足约束条件：，则动点轨迹_________； 5、若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线． 【即学即练】 1．求解下列问题： (1)已知，分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线外一点，点在双曲线的右支上，求的最小值； (2)已知双曲线的方程为，点的坐标为，是圆上的点，点为其圆心，点在双曲线的右支上，求的最小值． 2．已知双曲线的两个焦点为，，是双曲线上的一点，且，，则双曲线的方程是________． 3．根据以下条件，分别求出双曲线的方程： (1)两顶点间的距离是6，两焦点的连线被两顶点和中心四等分； (2)过点，离心率； (3)与双曲线有共同的渐近线，且过点． 知识点02 双曲线的标准方程 如何建立双曲线的方程？根据求曲线方程的一般步骤，可分：（1）建系设点；（2）点的集合；（3）代数方程；（4）化简方程等步骤． 第一步：建系设点 取过焦点、的直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴 第二步：建立直角坐标系． 设为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是（），那么F1、F2的坐标分别是、．又设点M与、的距离的差的绝对值等于常数． 第三步：点的集合 由定义可知，双曲线就是集合： ___________________________． 第四步：代数方程 ∵，∴ 第五步：化简方程 将这个方程移项，两边平方得： 化简得：两边再平方，整理得：（以上推导完全可以仿照椭圆方程的推导．） 由双曲线定义，即c＞a，所以． 设，代入上式得：即，其中 【即学即练】 1．双曲线与双曲线的（    ） A．顶点相同 B．焦点相同 C．虚轴长相等 D．离心率相等 2．（多选）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点为的右支上任意一点，点，则（   ） A． B．双曲线的渐近线方程为 C．过点且与双曲线只有一个公共点的直线有3条 D．的最小值为 3．已知双曲线的渐近线方程为，则双曲线的焦点到渐近线的距离为（   ） A． B．3 C．6 D．9 知识点03 求双曲线的标准方程 方法1：待定系数法：由题目条件确定焦点的位置，从而确定方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数、、的值．其主要步骤是__________________； 方法2：定义法：由题目条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程． 【即学即练】 1．根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)焦点分别为，，且经过点； (2)经过点和． 2．两条渐近线为，且截直线所得弦长为的双曲线方程为（） A． B． C． D． 3．已知，若，则点C的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 知识点04 求双曲线中的焦点三角形面积的方法 （1）①根据双曲线的定义求出；②利用余弦定理表示出、、之间满足的关系式；③通过配方，利用整体的思想求出的值；④利用公式__________________求得面积。 （2）利用公式求得面积； （3）若双曲线中焦点三角形的顶角，则面积_________. 【即学即练】 1．（多选）已知双曲线：（）的左右两个焦点分别是，，焦距为8，则（   ） A． B．双曲线的离心率为2 C．双曲线的渐近线方程为 D．若是双曲线上一点，且，则的周长为22或14 2．设，分别是双曲线的左、右焦点.若点在双曲线上，且，则（    ） A． B． C．5 D．10 3．设双曲线，，是其两个焦点，点P在双曲线右支上.若， (1)求双曲线的渐近线方程. (2)求的面积. 题型01 双曲线的定义 双曲线的定义：平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数（小于∣F1F2∣且大于 0）的点的轨迹。牢记∣∣PF1∣−∣PF2∣∣=2a，0<2a<2c。若2a=2c轨迹为两条射线；2a>2c无轨迹。解题常结合定义处理焦点三角形边长，搭配余弦定理求边长、面积。注意区分椭圆与双曲线定义，双曲线是距离差的绝对值，椭圆是距离和。做题留意绝对值，分清点在左支还是右支，避免符号出错。 【典例1】已知，，动点满足，则点的轨迹是（     ） A．双曲线的一支 B．双曲线 C．椭圆 D．射线 【变式1】已知，，动点满足，当为3和5时，点的轨迹分别是（   ） A．双曲线和一条直线 B．双曲线和两条射线 C．双曲线的一支和一条直线 D．双曲线的一支和一条射线 【变式2】已知双曲线的两个焦点分别为，，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（   ） A．4 B．3 C．2 D． 题型02 双曲线的标准方程 双曲线标准方程分焦点在 x 轴、y 轴两种形式，满足c2=a2+b2，注意和椭圆a2=b2+c2区分。判断焦点位置看分母正负，分母大的对应焦点所在坐标轴。求方程时，先确定焦点位置，再设对应方程，利用条件求出a,b。解题要注意a>0,b>0,c>0。已知条件不能确定焦点位置时，需要分类讨论。结合双曲线定义，配合a,b,c关系求解，避免混淆椭圆与双曲线的参数关系。 【典例1】已知双曲线的焦距为，则______. 【变式1】已知双曲线（，）的一条渐近线与直线平行，且双曲线的焦距为，则双曲线的方程为______． 【变式2】已知双曲线的一条渐近线斜率为2，且焦距为，则该双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 题型03 双曲线方程的充要条件 双曲线方程的充要条件：形如x2/m​+y2/n​=1表示双曲线的充要条件是mn<0，即两个分母异号。若m>0,n<0，焦点在x轴；若m<0,n>0，焦点在y轴。注意区分椭圆的充要条件m>0,n>0,m≠n。解题时先判断分母符号，确定焦点位置，再利用c2=∣m∣+∣n∣计算参数。遇到含参数方程，要分类讨论，排除m=0或n=0的退化情况，防止误判为双曲线。 【典例1】双曲线与双曲线的（    ） A．顶点相同 B．焦点相同 C．虚轴长相等 D．离心率相等 【变式1】设为实数，若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（多选）关于方程，下列说法正确的有（    ） A．若，它表示焦点在轴上的双曲线 B．若，它表示焦点在轴上的双曲线 C．方程有可能表示等轴双曲线 D．若方程表示双曲线，则或 题型04 双曲线中焦点三角形的周长与面积及其他问题 （1）①根据双曲线的定义求出；②利用余弦定理表示出、、之间满足的关系式；③通过配方，利用整体的思想求出的值；④利用公式求得面积。 （2）利用公式求得面积；（3）若双曲线中焦点三角形的顶角，则面积. 【典例1】设为双曲线：的右支上一点，的左、右焦点分别为，，且，若为坐标原点，为线段的中点，则（   ） A． B． C． D．1 【变式1】已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点引圆的切线，切点为，延长，交双曲线右支于点．若为线段的中点，为坐标原点，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知双曲线的左､右焦点分别为，，点是上一点，且，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 题型05 双曲线上两点距离的最值问题 双曲线上两点距离最值，双曲线两支上点的最大距离为实轴长2a。求双曲线上动点到定点距离，可设点坐标，转化为二次函数，结合双曲线x的取值范围∣x∣≥a求最值。也可使用参数方程，借助三角函数求解。注意双曲线没有封闭图形，动点范围受∣x∣≥a限制，不可直接套用椭圆的结论。遇到过焦点的距离，利用焦半径公式简化计算。解题优先几何分析，代数求解时务必关注自变量范围，判断最值能否取到。 【典例1】已知曲线：，则曲线上的点到距离的最小值为__________． 【变式1】（多选）已知双曲线的左、右焦点分别为、，点在双曲线上，下列结论正确的是（   ） A． B．过点的最短的弦长为2 C．存在点，满足 D．点到两渐近线的距离的乘积为 【变式2】（多选）已知双曲线的左、右焦点分别为为右支上一点（异于右顶点），为圆上一点，则（   ） A．的渐近线方程为 B．的内切圆与轴切于定点 C．的最大值为 D．的最小值为 题型06 双曲线上两线段的和差最值问题 双曲线线段和差最值，核心运用双曲线定义∣∣PF1∣−∣PF2∣∣=2a进行转化。求线段之差最值，利用三角形两边之差小于第三边，三点共线时取得极值。求线段之和最值，要区分定点位置，定点在双曲线外部，直接连线可得最小值；定点在内部，借助焦点做等量代换。注意双曲线∣x∣≥a的范围约束，检验动点是否在双曲线上。代数法可设参数方程求解。小题结合图像判断，大题要写明共线条件，留意等号能否成立，避免取不到最值的错误。 【典例1】已知双曲线的右焦点为F，P为双曲线右支上一动点，，则的最小值为（     ） A． B． C．5 D．10 【变式1】已知点是双曲线的右支上一点，，分别是圆和上的点，则的最大值为（     ） A．12 B．15 C．16 D．18 【变式2】已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为，点为右支上一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 题型07 求轨迹方程 双曲线求轨迹方程，常用定义法与直接法。若动点满足距离差的绝对值为常数且小于两定点间距，直接利用双曲线定义写出轨迹，注意剔除不满足条件的点。直接法设动点坐标，根据几何条件列等式，化简得到方程。注意区分轨迹与轨迹方程，轨迹要说明图形，轨迹方程只需写出等式。遇到含参数问题，要分类讨论，检验是否存在退化情况。结合∣∣PF1∣−∣PF2∣∣=2a，留意0<2a<2c的限制条件，排除增根，注意剔除不符合题意的点。 【典例1】如图所示，在以点为圆心，为直径的半圆中，，是半圆弧上一点，，曲线是满足为定值的动点的轨迹，且曲线过点．建立适当的平面直角坐标系，则曲线的方程为________． 【变式1】（多选）在平面直角坐标系中，，，P是异于，两点的动点，若直线，斜率的乘积为定值，则下列说法正确的是（    ） A．当时，点在某双曲线上 B．当时，面积的最大值为4 C．存在，存在点使得为锐角 D．任意，对任意点都有的斜率小于 【变式2】已知是一个动点，过点分别作直线，的垂线，垂足分别为，.若的面积为，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C．或 D．或 1．已知、，动点满足，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 2．设为定点，动点满足，则动点的轨迹方程为____________. 3．双曲线：的左、右焦点分别为，，是上一点，若，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 4．双曲线上任意一点到两个焦点的距离之差的绝对值为_____． 5．双曲线上一点到其一个焦点的距离等于8，求点P到其另一个焦点的距离（    ） A．32 B．16 C．8 D．4 6．已知双曲线的焦点分别为、，，双曲线上存在一点满足，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 7．已知双曲线，分别为其左、右焦点，为双曲线上一点，且，则（    ） A．2 B．14 C．2或14 D．4或14 8．已知双曲线的实轴长为2，离心率为. (1)求双曲线的方程； (2)为双曲线上一点，且，求. 9．已知动点与定点的距离和它到定直线的距离之比为，且的轨迹为曲线. (1)求的方程. (2)已知第一象限内的动点在上，点. （i）若点，求的最小值； （ii）若，求的面积. 10．过双曲线的右焦点倾斜角为的直线交双曲线于两点，为坐标原点 (1)求； (2)求的面积 (3)求证： 1．已知F为双曲线的右焦点，A为左顶点，P为C上的点，且P位于第一象限，若，则（   ） A． B． C． D． 2．已知，，动点满足，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 3．已知为双曲线：的右焦点，为坐标原点，点是右支上的一点，且.若点关于点的对称点也在双曲线上，则双曲线的渐近线的斜率为______. 4．已知双曲线的左、右焦点分别为，离心率为，过的直线与C的右支交于A，B两点．若，则的值为（   ） A． B．3 C． D．2 5．已知，，点满足，为坐标原点，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．若点是双曲线在第一象限图像上的动点，、分别为双曲线的左、右焦点： (1)若且的面积为，求的大小 (2)在（1）的条件下，求线段的长 (3)若求当为等腰三角形时点的坐标. 7．（多选）已知双曲线的左､右焦点为，点为右支上一动点，则下列说法正确的是（    ） A．双曲线与双曲线有相同的渐近线 B．若，则的周长为 C．若，则的面积为2 D．若为圆上一点，则的最大值为7 8．（多选）已知双曲线E：的左、右焦点分别为F1，F2，其离心率为，P为双曲线上一点，则（    ） A． B． C．E的渐近线方程为 D．E与有交点 9．已知双曲线C：（），焦距为，点，分别为双曲线的左右焦点． (1)求双曲线C的标准方程与渐近线方程； (2)过点作斜率为k的直线l，与双曲线C交于M，N两点，是否存在实数k使得？若存在，请求出k的值；若不存在说明理由； (3)点Q为双曲线右支上的动点，求的最小值． 10．已知双曲线E：（，）的左、右焦点分别为，，的一条渐近线方程为，过点且与轴垂直的直线与交于，两点，的周长为16． (1)求的方程； (2)过点的直线与交于，两点，若，求直线的斜率． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $