3.2.1 双曲线及其标准方程-2026-2027学年高中数学人教A版选择性必修第一册同步精品讲义

3.2.1 双曲线及其标准方程 知识点一、双曲线的定义 1.定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹． 2.定义的集合表示：{M|||MF1|－|MF2||＝2a，0<2a<|F1F2|}． 3.焦点：两个定点F1，F2. 4.焦距：两焦点间的距离，表示为|F1F2|. 知识点二、双曲线的标准方程及其他形式 1.双曲线的标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 (a>0，b>0) (a>0，b>0) 焦点 (－c，0)，(c，0) (0，－c)，(0，c) 焦距 2c a，b，c的关系 c2＝a2＋b2 异同点 相同点：双曲线的形状不同 不同点：焦点位置不同，方程不同 2.双曲线方程的其他形式 （1）双曲线的一般方程：方程Ax2＋Bx2＝C表示双曲线的充要条件是ABC≠0，且A，B异号.此时成方程Ax2＋Bx2＝C为双曲线的一般方程. （2）共焦点的双曲线系方程 ①与双曲线(a>b>0)有公共焦点的双曲线的方程为：(a>0，b>0，). ②与双曲线(a>b>0)有公共焦点的双曲线的方程为：(a>0，b>0，). 知识点三、双曲线的焦点三角形 如图，是双曲线上任意一点，，为双曲线的两个焦点， 我们把点到焦点的距离称为焦半径；当点不在同一条直线上时，它们构成一个三角形，即为焦点三角形，即. 设，则有以下常用关系式： （1）； （2）； （3）； （4）. 题型一：求双曲线的标准方程 例1.求过点P ，Q且焦点在坐标轴上的双曲线的标准方程． 例2.与双曲线有相同的焦点，且经过点的双曲线的标准方程为 . 跟踪训练： 1.以椭圆长轴的端点为焦点，且经过点(3，)的双曲线的标准方程为 . 2.与椭圆共焦点且过点的双曲线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 3.根据下列条件，求双曲线的标准方程： （1），经过点，焦点在轴上； （2）经过点. 题型二：方程表示双曲线的条件 例1.已知方程＝1对应的图形是双曲线，那么k的取值范围是 . 跟踪训练： 1.若方程表示双曲线，则的取值范围是 . 2.方程所表示的曲线是（） A.焦点在轴上的椭圆 B.焦点在轴上的椭圆 C.焦点在轴上的双曲线 D.焦点在轴上的双曲线 3.“0≤k<3”是“方程＝1表示双曲线”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 题型三：双曲线的焦点三角形问题 例1.已知双曲线的左、右焦点分别是F1，F2.若双曲线上一点P使得∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积． 跟踪训练： 1.设F1，F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于(　　) A．4 B．8 C．24 D．48 2.已知分别是双曲线的左、右焦点，若是双曲线左支上的点，且，求的面积. 1.已知F1(－8,3)，F2(2,3)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝10，则P点的轨迹是(　 　) A．双曲线 B．双曲线的一支 C．直线 D．一条射线 2.方程表示双曲线，则m的取值范围是(　　) A．－2＜m＜2 B．m＞0 C．m≥0 D．|m|≥2 3.双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为(　　) A. B. C. D．(，0) 4.椭圆与双曲线有相同的焦点，则a的值为(　　) A．1或－2 B．1或 C．1 D. 5.(多选)已知F1(－3,0)，F2(3,0)，满足条件|PF1|－|PF2|＝2m－1的动点P的轨迹是双曲线的一支，则m可以是(　　) A．2 B．－1 C. 4 D．－3 6.已知双曲线的中心在原点，两个焦点F1，F2的坐标分别为(，0)和(－，0)，点P在双曲线上，且PF1⊥PF2，△PF1F2的面积为1，则双曲线的方程为 ． 7.若曲线C：mx2＋(2－m)y2＝1是焦点在x轴上的双曲线，则m的取值范围为 ． 8.以椭圆＋＝1的短轴的两个端点为焦点，且过点A(4，－5)的双曲线的标准方程为 ． 1.设动点P到A(－5,0)的距离与它到B(5,0)距离的差等于6，则P点的轨迹方程是(　　) A. B. C.(x≤－3) D.(x≥3) 2.若双曲线E：的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于(　　) A．3 B．5 C．9 D．11 3.已知双曲线，焦点在y轴上，若焦距为4，则a等于(　　) A.5 B. C. D.7 4.已知双曲线上一点P到左焦点F1的距离为10，则PF1的中点N到坐标原点O的距离为(　　) A.7 B.3 C.3或7 D.6或14 5.（多选）已知曲线，则下列结论正确的有( ) A.若，则是椭圆，其焦点在轴上 B.若，则是圆，其半径是 C.若，则是双曲线 D.若，则是一条直线 6.设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的面积为（ ） A. B. C. D. 7.已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|等于(　　) A.8 B.6 C.4 D.2 8.双曲线的一个焦点坐标为，则实数的值为 . 9.焦点在x轴上，经过点P(4，－2)和点Q(2，2)的双曲线的标准方程为 . 10.已知双曲线(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，若|PF1|－|PF2|＝b，且双曲线的焦距为2，则该双曲线的方程为 . 11.已知双曲线C：－y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线与双曲线C的右支相交于P，Q两点，且点P的横坐标为2，则|PQ|＝ ，△PF1Q的周长为 . 12.已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1,3)，则△APF的面积为 . 13.在中，已知，且三内角满足，建立适当的坐标系，求顶点的轨迹方程. 14.已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2. (1)若点M在双曲线上，且，求M点到x轴的距离； (2)若双曲线C与已知双曲线有相同焦点，且过点(3，2)，求双曲线C的方程． 15.已知双曲线的方程为，如图，点的坐标为，是圆上的点，点在双曲线的右支上，求的最小值. 16.由甲导弹驱逐舰、乙导弹驱逐舰、丙综合补给舰组成的护航编队奔赴某海域执行护航任务，对商船进行护航．某日，甲舰在乙舰正东方向6 km处，丙舰在乙舰北偏西30°方向，相距4 km处，某时刻甲舰发现商船的求救信号，由于乙、丙两舰比甲舰距商船远，因此4 s后乙、丙两舰才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s，若甲舰赶赴救援，行进的方向角应是多少？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2.1 双曲线及其标准方程 知识点一、双曲线的定义 1.定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹． 2.定义的集合表示：{M|||MF1|－|MF2||＝2a，0<2a<|F1F2|}． 3.焦点：两个定点F1，F2. 4.焦距：两焦点间的距离，表示为|F1F2|. 知识点二、双曲线的标准方程及其他形式 1.双曲线的标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 (a>0，b>0) (a>0，b>0) 焦点 (－c，0)，(c，0) (0，－c)，(0，c) 焦距 2c a，b，c的关系 c2＝a2＋b2 异同点 相同点：双曲线的形状不同 不同点：焦点位置不同，方程不同 2.双曲线方程的其他形式 （1）双曲线的一般方程：方程Ax2＋Bx2＝C表示双曲线的充要条件是ABC≠0，且A，B异号.此时成方程Ax2＋Bx2＝C为双曲线的一般方程. （2）共焦点的双曲线系方程 ①与双曲线(a>b>0)有公共焦点的双曲线的方程为：(a>0，b>0，). ②与双曲线(a>b>0)有公共焦点的双曲线的方程为：(a>0，b>0，). 知识点三、双曲线的焦点三角形 如图，是双曲线上任意一点，，为双曲线的两个焦点， 我们把点到焦点的距离称为焦半径；当点不在同一条直线上时，它们构成一个三角形，即为焦点三角形，即. 设，则有以下常用关系式： （1）； （2）； （3）； （4）. 题型一：求双曲线的标准方程 例1.求过点P ，Q且焦点在坐标轴上的双曲线的标准方程． 解：设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1，AB<0. 因为点P，Q在双曲线上，则，解得. 故双曲线的标准方程为. 例2.与双曲线有相同的焦点，且经过点的双曲线的标准方程为 . 解：设所求双曲线的方程为. 因为双曲线过点，所以， 解得或（舍去）， 故所求双曲线的标准方程为.故答案为：. 跟踪训练： 1.以椭圆长轴的端点为焦点，且经过点(3，)的双曲线的标准方程为 . 解：由题意得，双曲线的焦点在x轴上，且c＝2. 设双曲线的标准方程为(a>0，b>0)， 则有a2＋b2＝c2＝8，，解得a2＝3，b2＝5. 故所求双曲线的标准方程为.故答案为：. 2.与椭圆共焦点且过点的双曲线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 解：设所求双曲线的方程为. 因为双曲线过点，所以， 解得或（舍去），故所求双曲线的标准方程为.故选：A. 3.根据下列条件，求双曲线的标准方程： （1），经过点，焦点在轴上； （2）经过点. 解：（1）设双曲线的方程为， 则，解得，所以所求双曲线的标准方程为. （2）方法1：若焦点在轴上，设双曲线的方程为， 则，此方程组无解. 若焦点在轴上，设双曲线的方程为， 则，解得，所以所求双曲线的标准方程为. 方法2：设双曲线的方程为，则，解得， 所以所求双曲线的标准方程为. 题型二：方程表示双曲线的条件 例1.已知方程＝1对应的图形是双曲线，那么k的取值范围是 . 解：∵方程对应的图形是双曲线，∴(k－5)(|k|－2)>0.即或 解得k>5或－2<k<2.故答案为：(-2,2)∪(5，+∞). 跟踪训练： 1.若方程表示双曲线，则的取值范围是 . 解：若方程表示双曲线，则， 解得或.所以的取值范围是. 故答案为：. 2.方程所表示的曲线是（） A.焦点在轴上的椭圆 B.焦点在轴上的椭圆 C.焦点在轴上的双曲线 D.焦点在轴上的双曲线 解：因为，所以，，所以方程所表示的曲线是焦点在轴上的双曲线.故选：C. 3.“0≤k<3”是“方程＝1表示双曲线”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 解：∵0≤k<3，∴.∴方程＝1表示双曲线； 反之，∵方程＝1表示双曲线，∴(k＋1)(k－5)<0，解得－1<k<5. 故“0≤k<3”是“方程＝1表示双曲线”的充分不必要条件．故选A. 题型三：双曲线的焦点三角形问题 例1.已知双曲线的左、右焦点分别是F1，F2.若双曲线上一点P使得∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积． 解：由得，a＝3，b＝4，c＝5.由双曲线的定义和余弦定理得|PF1|－|PF2|＝±6， |F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°，所以102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|， 所以|PF1|·|PF2|＝64，所以＝|PF1|·|PF2|·sin ∠F1PF2＝×64×＝16. 跟踪训练： 1.设F1，F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于(　　) A．4 B．8 C．24 D．48 解：，解得|PF1|＝8，|PF2|＝6. 在△PF1F2中，|PF1|＝8，|PF2|＝6，|F1F2|＝10， ∴△PF1F2为直角三角形，∴＝|PF1||PF2|＝24.故选：C. 2.已知分别是双曲线的左、右焦点，若是双曲线左支上的点，且，求的面积. 解：由题意，得，所以. 因为是双曲线左支上的点，所以. 两边平方，得， 所以. 在中，由余弦定理，得， 所以，所以. 1.已知F1(－8,3)，F2(2,3)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝10，则P点的轨迹是(　 　) A．双曲线 B．双曲线的一支 C．直线 D．一条射线 解：F1，F2是定点，且|F1F2|＝10，所以满足条件|PF1|－|PF2|＝10的点P的轨迹应为一条射线．故选：D. 2.方程表示双曲线，则m的取值范围是(　　) A．－2＜m＜2 B．m＞0 C．m≥0 D．|m|≥2 解：∵已知方程表示双曲线，∴(2＋m)(2－m)＞0.∴－2＜m＜2.故选：A. 3.双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为(　　) A. B. C. D．(，0) 解：将双曲线方程化为标准方程为，∴a2＝1，b2＝，∴c2＝a2＋b2＝，∴c＝， 故右焦点坐标为.故选：A. 4.椭圆与双曲线有相同的焦点，则a的值为(　　) A．1或－2 B．1或 C．1 D. 解：由题意知，解得a＝1.故选：C. 5.(多选)已知F1(－3,0)，F2(3,0)，满足条件|PF1|－|PF2|＝2m－1的动点P的轨迹是双曲线的一支，则m可以是(　　) A．2 B．－1 C. 4 D．－3 解：设双曲线的方程为，则c＝3，∵2a<2c＝6，∴|2m－1|<6，且|2m－1|≠0， ∴<m<，且m≠，∴AB满足条件．故选：AB. 6.已知双曲线的中心在原点，两个焦点F1，F2的坐标分别为(，0)和(－，0)，点P在双曲线上，且PF1⊥PF2，△PF1F2的面积为1，则双曲线的方程为 ． 解：由题意可得⇒(|PF1|－|PF2|)2＝16，即2a＝4，解得a＝2， 又c＝，所以b＝1，故双曲线的方程为－y2＝1.故答案为：－y2＝1. 7.若曲线C：mx2＋(2－m)y2＝1是焦点在x轴上的双曲线，则m的取值范围为 ． 解：由曲线C：mx2＋(2－m)y2＝1是焦点在x轴上的双曲线，可得， 即有m>0，且m－2>0，解得m>2.故答案为：(2，＋∞). 8.以椭圆＋＝1的短轴的两个端点为焦点，且过点A(4，－5)的双曲线的标准方程为 ． 解：由题意， 知双曲线的两焦点为F1(0，－3)，F2(0,3)． 设双曲线方程为(a>0，b>0)，将点A(4，－5)代入双曲线方程，得. 又a2＋b2＝9，解得a2＝5，b2＝4，所以双曲线的标准方程为. 故答案为：. 1.设动点P到A(－5,0)的距离与它到B(5,0)距离的差等于6，则P点的轨迹方程是(　　) A. B. C.(x≤－3) D.(x≥3) 解：由题意知，轨迹应为以A(－5,0)，B(5,0)为焦点的双曲线的右支． 由c＝5，a＝3，知b2＝16，∴P点的轨迹方程为(x≥3)．故选：D. 2.若双曲线E：的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于(　　) A．3 B．5 C．9 D．11 解：由题意得||PF1|－|PF2||＝6，∴|PF2|＝|PF1|±6，∴|PF2|＝9或－3(舍去).故选：C. 3.已知双曲线，焦点在y轴上，若焦距为4，则a等于(　　) A.5 B. C. D.7 解：根据题意可知，双曲线的标准方程为. 由其焦距为4，得c＝2，则有c2＝2－a＋3－a＝4，解得a＝.故选：B. 4.已知双曲线上一点P到左焦点F1的距离为10，则PF1的中点N到坐标原点O的距离为(　　) A.7 B.3 C.3或7 D.6或14 解：连接ON，ON是△PF1F2的中位线，∴|ON|＝|PF2|， ∵||PF1|－|PF2||＝4，|PF1|＝10，∴|PF2|＝14或6，∴|ON|＝|PF2|＝7或3.故选：C. 5.（多选）已知曲线，则下列结论正确的有( ) A.若，则是椭圆，其焦点在轴上 B.若，则是圆，其半径是 C.若，则是双曲线 D.若，则是一条直线 解：若，则，方程可化为，是焦点在轴上的椭圆，A正确； 若，方程可化为，是以原点为圆心，半径为的圆，B不正确； 若，方程可化为，若，则表示焦点在轴上的双曲线；若，则表示焦点在轴上的双曲线，C正确； 若，方程可化为，表示两条与轴平行的直线，D不正确.故选：AC. 6.设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的面积为（ ） A. B. C. D. 解：由题意知，，如图. 因为，所以点在以为直径的圆上，故， 则.由双曲线的定义知， 所以，所以， 所以的面积为.故选：B. 7.已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|等于(　　) A.8 B.6 C.4 D.2 解：不妨设P是双曲线右支上一点，在双曲线x2－y2＝1中，a＝1，b＝1，c＝， 则|PF1|－|PF2|＝2a＝2，|F1F2|＝2， ∵|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2，∴8＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·， ∴8＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，∴8＝4＋|PF1|·|PF2|，∴|PF1|·|PF2|＝4.故选：C. 8.双曲线的一个焦点坐标为，则实数的值为 . 解：因为是双曲线的一个焦点，即焦点在轴上，所以. 由得，则，解得.故答案为：-1. 9.焦点在x轴上，经过点P(4，－2)和点Q(2，2)的双曲线的标准方程为 . 解：设双曲线方程为(a>0，b>0)(a>0，b>0)， 将点(4，－2)和(2，2)代入方程得，解得a2＝8，b2＝4， 所以双曲线的标准方程为.故答案为：. 10.已知双曲线(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，若|PF1|－|PF2|＝b，且双曲线的焦距为2，则该双曲线的方程为 . 解：由题意得，解得：a2＝1，b2＝4， 则该双曲线的方程为x2－＝1.故答案为：x2－＝1. 11.已知双曲线C：－y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线与双曲线C的右支相交于P，Q两点，且点P的横坐标为2，则|PQ|＝ ，△PF1Q的周长为 . 解：∵c＝＝2，∴F2(2,0)．又点P的横坐标为2，∴PQ⊥x轴． 由－y2＝1，得y＝±，故|PF2|＝.∴|PQ|＝.又P，Q在双曲线的右支上， ∴|PF1|－|PF2|＝2，|QF1|－|QF2|＝2.∴|PF1|＝|QF1|＝2a＋＝， ∴△PF1Q的周长为|PF1|＋|QF1|＋|PQ|＝.故答案为：，. 12.已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1,3)，则△APF的面积为 . 解：因为F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，所以F(2,0)． 因为PF⊥x轴，所以可设P的坐标为(2，yP)． 因为P是C上一点，所以4－＝1，解得yP＝±3，所以P(2，±3)，|PF|＝3. 又因为A(1,3)，所以点A到直线PF的距离为1， 所以S△APF＝×|PF|×1＝×3×1＝.故答案为：. 13.在中，已知，且三内角满足，建立适当的坐标系，求顶点的轨迹方程. 解：以边所在的直线为轴，的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示， 则. 由正弦定理，得 (为的外接圆半径). 因为，所以， 即，从而有. 由双曲线的定义知，点的轨迹为以为焦点的双曲线的右支（除去与轴的交点）. 因为，所以，即所求轨迹方程为. 14.已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2. (1)若点M在双曲线上，且，求M点到x轴的距离； (2)若双曲线C与已知双曲线有相同焦点，且过点(3，2)，求双曲线C的方程． 解：(1)如图所示，不妨设M在双曲线的右支上，M点到x轴的距离为h，， 则MF1⊥MF2，设|MF1|＝m，|MF2|＝n， 由双曲线定义，知m－n＝2a＝8①，又m2＋n2＝(2c)2＝80②， 由①②得m·n＝8，∴mn＝4＝|F1F2|·h，∴h＝. (2)设所求双曲线C的方程为(－4<λ<16)，由于双曲线C过点(3，2)， ∴，解得λ＝4或λ＝－14(舍去)， ∴所求双曲线C的方程为. 15.已知双曲线的方程为，如图，点的坐标为，是圆上的点，点在双曲线的右支上，求的最小值. 解：设点的坐标为，则点分别是双曲线的左、右焦点，如图所示，连接. 由双曲线的定义，得， 所以. 又点是圆上的点，，半径为1， 故，从而， 当且仅当点在线段上时取等号，故的最小值为. 16.由甲导弹驱逐舰、乙导弹驱逐舰、丙综合补给舰组成的护航编队奔赴某海域执行护航任务，对商船进行护航．某日，甲舰在乙舰正东方向6 km处，丙舰在乙舰北偏西30°方向，相距4 km处，某时刻甲舰发现商船的求救信号，由于乙、丙两舰比甲舰距商船远，因此4 s后乙、丙两舰才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s，若甲舰赶赴救援，行进的方向角应是多少？ 解：设A，B，C，P分别表示甲舰、乙舰、丙舰和商船．如图所示， 以直线AB为x 轴，线段AB的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系， 则A(3,0)，B(－3,0)，C(－5,2)． ∵|PB|＝|PC|，∴点P在线段BC的垂直平分线上， 又易知kBC＝，线段BC的中点D(－4，)， ∴直线PD的方程为y－＝(x＋4)①， 又|PB|－|PA|＝4＜6＝|AB|，∴点P在以A，B为焦点的双曲线的右支上，且a＝2，c＝3， ∴双曲线方程为(x≥2)②，由①②式可得，得P点坐标为(8,5)， ∴kPA＝＝，因此甲舰行进的方向角为北偏东30°. 1 学科网（北京）股份有限公司 $