3.2双曲线及其性质讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦双曲线及其性质核心知识点，系统梳理定义（含绝对值、常数范围等注意事项）、标准方程、几何性质（焦点、对称性、顶点、离心率、渐近线等），通过从定义到性质再到应用（焦点三角形、轨迹、实际问题）的脉络，构建基础到综合的学习支架。 该资料亮点在于考点分类系统（8大考点），例题与变式结合，基础与提升题组分层。通过定义辨析培养抽象能力（数学眼光），焦点三角形计算提升推理运算能力（数学思维），敌炮阵地定位等实际问题强化建模与应用意识（数学语言）。课中辅助教师系统教学，课后助力学生分层练习查漏补缺。

3.2 双曲线及其性质 知识点一：双曲线的定义 平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于）的点的轨迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）．用集合表示为． 注意：（1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支． （2）当时，点的轨迹是以和为端点的两条射线；当时，点的轨迹是线段的垂直平分线． （3）时，点的轨迹不存在． 在应用定义和标准方程解题时注意以下两点： ①条件“”是否成立；②要先定型（焦点在哪个轴上），再定量（确定，的值），注意的应用． 知识点二：双曲线的方程、图形及性质 双曲线的方程、图形及性质 标准方程 图形 A2 焦点坐标 ， ， 对称性 关于，轴成轴对称，关于原点成中心对称 顶点坐标 ， ， 范围 实轴、虚轴 实轴长为，虚轴长为 离心率 渐近线方程 令， 焦点到渐近线的距离为 令， 焦点到渐近线的距离为 点和双曲线 的位置关系 共焦点的双曲线方程 共渐近线的双曲线方程 切线方程 为切点 为切点 切线方程 对于双曲线上一点所在的切线方程，只需将双曲线方程中换为，换成便得． 切点弦所在直线方程 为双曲线外一点 为双曲线外一点 点为双曲线与两渐近线之间的点 弦长公式 ， 通径 通径（过焦点且垂直于的弦）是同支中的最短弦，其长为 焦点三角形 等轴双曲线 等轴双曲线满足如下充要条件：双曲线为等轴双曲线离心率两渐近线互相垂直渐近线方程为方程可设为． 考点一 双曲线标准方程的认识　　 例1 “k<2”是“方程表示双曲线”的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】∵方程为双曲线，∴， ∴或，∴“”是“方程为双曲线”的充分不必要条件，故选：A. 变式1.已知方程－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点的距离为4，则n的取值范围是(　　) A．(－1,3) B．(－1，) C．(0,3) D．(0，) 【解析】A. 变式2：在方程mx2－my2＝n中，若mn<0，则方程所表示的曲线是(　　) A．焦点在x轴上的椭圆 B．焦点在x轴上的双曲线 C．焦点在y轴上的双曲线 D．焦点在y轴上的椭圆 【解析】C 考点二 求双曲线的标准方程　 例2．以椭圆＋＝1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程为(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1或－＝1 D．以上都不对 【解析】当顶点为(±4,0)时，a＝4，c＝8，b＝4，双曲线方程为－＝1；当顶点为(0，±3)时，a＝3，c＝6，b＝3，双曲线方程为－＝1.故选C. 变式1：根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1)与双曲线－＝1有公共焦点，且过点(3，2)；(2)双曲线过两点P，Q. 【解析】(1)设双曲线的标准方程为－＝1(－4<k<16)．将点(3，2)代入，解得k＝4或k＝－14(舍去)，∴双曲线的标准方程为－＝1. (2)设所求双曲线方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)．∵点，在双曲线上， ∴解得∴双曲线的标准方程为－＝1. 变式2：过点(2，－2)且与－y2＝1有相同渐近线的双曲线的标准方程为________． 【解析】法一：当焦点在x轴上时，由于＝.故可设方程为－＝1，代入点(2，－2)得b2＝－2(舍去)； 当焦点在y轴上时，可知＝，故可设方程为－＝1，代入点(2，－2)得a2＝2.所以所求双曲线方程为－＝1.法二：因为所求双曲线与已知双曲线－y2＝1有相同的渐近线，故可设双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0)，代入点(2，－2)得λ＝－2，所以所求双曲线的方程为－y2＝－2，即－＝1. 考点三 双曲线的定义及应用 例3．设动点P到A(－5,0)的距离与它到B(5,0)距离的差等于6，则P点的轨迹方程是(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1(x≤－3) D.－＝1(x≥3) 【解析】由题意知，轨迹应为以A(－5,0)，B(5,0)为焦点的双曲线的右支．由c＝5，a＝3，知b2＝16，∴P点的轨迹方程为－＝1(x≥3)．故选D 变式1.已知A(－4,0)，B是圆(x－1)2＋(y－4)2＝1上的点，点P在双曲线－＝1的右支上，则|PA|＋|PB|的最小值为(　　) A．9 B．2＋6 C．10 D．12 【解析】设点C(1,4)，点B在圆上，则|PB|≥|PC|－r＝|PC|－1，由点P在双曲线右支上，点A为双曲线左焦点，设A′为双曲线右焦点，所以由双曲线定义知|PA|＝|PA′|＋2a＝|PA′|＋6， 所以|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|＋6≥|PA′|＋|PC|＋6－1≥|A′C|＋5＝5＋5＝10.故选C 变式2.已知定点A(3,1)，F是双曲线－＝1的右焦点，P是双曲线右支上的动点，则|PA|＋|PF|的最小值为(　　) A. B． 5＋4 C．5－4 D.＋4 【解析】设F1是双曲线的左焦点，根据双曲线的定义及P是双曲线右支上的动点可得|PF1|－|PF|＝2a，所以|PF|＝|PF1|－2a，所以|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PF1|－2a＝|PA|＋|PF1|－4，结合图形可得|PA|＋|PF1|≥|AF1|＝＝5，当且仅当P，A，F1三点共线时取得等号，即图形中点P在P′处取得最小值，所以|PA|＋|PF1|－4≥5－4，所以|PA|＋|PF|的最小值为5－4.故选C 考点四 双曲线中焦点三角形的周长与面积问题 例4．如图，若F1，F2是双曲线－＝1的两个焦点． (1)若双曲线上一点P到它的一个焦点的距离等于16，求点P到另一个焦点的距离； (2)若P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32，试求△F1PF2的面积． 【解析】双曲线的标准方程为－＝1，故a＝3，b＝4，c＝＝5. (1)由双曲线的定义得＝2a＝6，又双曲线上一点P到它的一个焦点的距离等于16，假设点P到另一个焦点的距离等于x，则|16－x|＝6，解得x＝10或x＝22.故点P到另一个焦点的距离为10或22. (2)将＝2a＝6，两边平方得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36， ∴|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝100.在△F1PF2中，由余弦定理得cos ∠F1PF2＝＝＝0，∴∠F1PF2＝90°，∴S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|＝×32＝16. 变式1．双曲线的左､右焦点分别是､，过的弦AB与其右支交于A､B两点，，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C【解析】由题可得，则的周长为.故选：C． 变式2．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|＝(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 【解析】由双曲线的方程可知a＝1，c＝.设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则∴∴mn＝4，即|PF1|·|PF2|＝4.故选B 考点五 双曲线的简单几何性质 例5.若一双曲线与椭圆4x2＋y2＝64有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程为________． 【解析】椭圆4x2＋y2＝64可变形为＋＝1，a2＝64，c2＝64－16＝48，∴焦点为(0,4)，(0，－4)，离心率e＝，则双曲线的焦点在y轴上，c′＝4，e′＝＝，从而a′＝6，b′2＝12，故所求双曲线的方程为－＝1. 变式1．中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的离心率为，则它的渐近线方程为_______. 【解析】由题意可知，则，解得则它的渐近线方程为 变式2．若双曲线的渐近线与圆相切，则_________． 【解析】双曲线的渐近线为，即，不妨取，圆，即，所以圆心为，半径，依题意圆心到渐近线的距离， 解得或（舍去）．故答案为：． 考点六 双曲线中的离心率问题 例6．已知，分别为双曲线的左、右焦点，过原点的直线与交于，两点（点在第一象限），延长交于点，若，，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】A【解析】结合双曲线的对称性可知，，，所以为等边三角形，则，则.由双曲线的定义，得，所以，，则.故选：A 变式1．已知双曲线的左、右焦点分别为，过斜率为的直线与的右支交于点，若线段恰被轴平分，则的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】C【解析】如图，设交y轴与A，A为的中点，因为O为的中点，故为的中位线，则，而，则, 因为直线的斜率为，故中，，故设，则，结合双曲线定义以及P在双曲线右支上，即有，则，故选：C 变式2．已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，过的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点，若，的周长为8a，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C【解析】设，则.因.则.因的周长为8a，，则.则.由余弦定理：.则在中，由余弦定理， .故选：C 考点七 双曲线有关的轨迹问题 例7．已知动圆过定点，且与圆相外切，求动圆圆心的轨迹方程. 【解析】整理可得：圆，圆的圆心，半径； 圆与圆相外切，，动圆圆心的轨迹是以为焦点的双曲线的左半支，，，，，动圆圆心的轨迹方程为：. 变式1．已知点P(x，y)的坐标满足－＝±，则动点P的轨迹是(　　) A．椭圆 B．双曲线 C．两条射线 D．双曲线的一支 【解析】设A(1,0)，B(－1,0)，则由已知得||PA－|PB||＝，即动点P到两个定点A，B的距离之差的绝对值等于常数，又|AB|＝2，且<2，所以根据双曲线的定义知，动点P的轨迹是双曲线．故选B 变式2．动圆与圆x2＋y2＝1和x2＋y2－8x＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹是(　　) A．双曲线的一支 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 【解析】设动圆的圆心为M，半径为r，圆x2＋y2＝1与x2＋y2－8x＋12＝0的圆心分别为O1和O2，半径分别为1和2，由两圆外切的充要条件，得|MO1|＝r＋1，|MO2|＝r＋2.∴|MO2|－|MO1|＝1， 又|O1O2|＝4，∴动点M的轨迹是双曲线的一支(靠近O1)．故选A 考点八 双曲线的实际应用问题 例8．A，B，C是我方三个炮兵阵地，A在B正东6千米，C在B北偏西30°，相距4千米，P为敌炮阵地，某时刻A处发现敌炮阵地的某种信号，由于B，C两地比A距P地远．因此4 s后，B，C才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s，A若炮击P地，求炮击的方向角． 【解析】如图，以直线BA为x轴，线段BA的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则B(－3,0)，A(3,0)，C(－5,2)．因为|PB|＝|PC|，所以点P在线段BC的垂直平分线上．设敌炮阵地的坐标为(x，y)，BC的中点为D.因为kBC＝－，D(－4，)，所以直线PD的方程为y－＝(x＋4)．① 又|PB|－|PA|＝4，所以P在以A，B为焦点的双曲线的右支上，且方程为－＝1(x≥2)．② 联立①②，得x＝8，y＝5，所以P的坐标为(8,5)．因此kPA＝＝.故炮击的方向角为北偏东30°. 变式1：从某个角度观察篮球(如图1)，可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮形状为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线的一部分，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，且AB＝BC＝CD＝2，设AD所在直线为x轴，则双曲线的标准方程为________． 答案　x2－＝1解析　设所求双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，如图，因为AB＝BC＝CD＝2，易知a＝1，又坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，所以在双曲线上，得到－＝1，整理得b2＝，故所求双曲线的标准方程为x2－＝1. 变式2：某工程需要开挖一个横截面为半圆的柱形隧道，挖出的土只能沿道路AP，BP运到P处(如图)，|AP|＝100 m，|BP|＝150 m，∠APB＝60°，试说明怎样运土才能最省工． 【解析】如图，以AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，设M是分界线上的点，则|MA|＋|AP|＝|MB|＋|BP|，即|MA|－|MB|＝|BP|－|AP|＝150－100＝50(m)，这说明分界线是以A，B为焦点的双曲线的右支，且a＝25.在△APB中，|AB|2＝|AP|2＋|BP|2－2|AP|·|BP|·cos 60°＝17 500，从而c2＝2＝4 375，b2＝3 750，故所求分界线的方程为－＝1(x≥25)．即在运土时，将此分界线左侧的土沿道路AP运到P处，右侧的土沿道路BP运到P处最省工． 题组A 基础过关练 1、已知F1(－8,3)，F2(2,3)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝10，则P点的轨迹是(　　) A．双曲线 B．双曲线的一支 C．直线 D．一条射线 【解析】F1，F2是定点，且|F1F2|＝10，所以满足条件|PF1|－|PF2|＝10的点P的轨迹应为一条射线．故选D 2、已知方程－＝1对应的图形是双曲线，那么k的取值范围是(　　) A．k>5　　　　　　 B．k>5或－2<k<2 C．k>2或k<－2 D．－2<k<2 【解析】∵方程对应的图形是双曲线，∴(k－5)(|k|－2)>0.即 或 解得k>5或－2<k<2.故选B 3、若双曲线与椭圆＋＝1有相同的焦点，它的一条渐近线方程为y＝－x，则双曲线的方程为(　　) A．y2－x2＝96 B．y2－x2＝160 C．y2－x2＝80 D．y2－x2＝24 【解析】设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，因为双曲线与椭圆有相同的焦点，且焦点为(0，±4)，所以λ<0，且－2λ＝(4)2，得λ＝－24.故选D. 4、若双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 【解析】∵双曲线一个顶点的坐标为(0,2)，∴a＝2，∴双曲线的标准方程为－＝1.根据题意，得2a＋2b＝×2c，即a＋b＝c.又∵a2＋b2＝c2，且a＝2，∴解得b＝2，∴双曲线的标准方程为－＝1，故选B 5、如果椭圆＋＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，那么双曲线－＝1的离心率为(　　) A. B. C. D．2 【解析】由已知椭圆的离心率为，得＝，∴a2＝4b2.∴e2＝＝＝.∴双曲线的离心率e＝.故选A 6、动圆与圆x2＋y2＝1和x2＋y2－8x＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹是(　　) A．双曲线的一支 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 【解析】设动圆的圆心为M，半径为r，圆x2＋y2＝1与x2＋y2－8x＋12＝0的圆心分别为O1和O2，半径分别为1和2，由两圆外切的充要条件，得|MO1|＝r＋1，|MO2|＝r＋2.∴|MO2|－|MO1|＝1， 又|O1O2|＝4，∴动点M的轨迹是双曲线的一支(靠近O1)．故选A 7、已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.若双曲线上存在点A使得∠F1AF2＝90°，且|AF1|＝2|AF2|＝4，则双曲线的方程为(　　) A．x2－＝1 B.－y2＝1 C.－＝1 D.－＝1 【解析】由题意，根据双曲线的定义及|AF1|＝2|AF2|＝4，可得|AF1|－|AF2|＝2＝2a，解得a＝1， 因为∠F1AF2＝90°，所以|F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2＝20，即(2c)2＝20，即c2＝5， 又b2＋a2＝c2，则b2＝c2－a2＝4，所以双曲线的方程为x2－＝1.故选A 8、【多选】已知方程＋＝1表示的曲线为C.给出以下四个判断正确的是(　　) A．当1<t<4时，曲线C表示椭圆 B．当t>4或t<1时， 曲线C表示双曲线 C．若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1<t< D．若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则t>4 【解析】A错误，当t＝时，曲线C表示圆；B正确，若C为双曲线，则(4－t)(t－1)<0，∴t<1或t>4；C正确，若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则4－t>t－1>0，∴1<t<；D正确，若曲线C为焦点在y轴上的双曲线，则∴t>4.故选BCD 9、若双曲线的渐近线与圆相切，则______． 【解析】双曲线的渐近线：，圆的圆心与半径，双曲线的渐近线与圆相切，，解得或（舍去）． 10、求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)虚轴长为12，离心率为；(2)焦点在x轴上，离心率为，且过点(－5,3)； (3)顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±x. 【解析】(1)－＝1或－＝1.(2)－＝1. (3)设以y＝±x为渐近线的双曲线方程为－＝λ(λ≠0)，当λ>0时，a2＝4λ，∴2a＝2＝6⇒λ＝. 当λ<0时，a2＝－9λ，∴2a＝2＝6⇒λ＝－1.∴双曲线的标准方程为－＝1或－＝1. 题组B 能力提升练 11、【多选】已知点P在双曲线C：－＝1上，F1，F2是双曲线C的左、右焦点，若△PF1F2的面积为20，则下列说法正确的有(　　) A．点P到x轴的距离为 B．|PF1|＋|PF2|＝ C．△PF1F2为钝角三角形 D．∠F1PF2＝ 【解析】因为双曲线C：－＝1，所以c＝＝5.又因为＝·2c|yP|＝·10·|yP|＝20，所以|yP|＝4，所以选项A错误；将|yP|＝4代入C：－＝1得－＝1，即|xP|＝.由对称性，不妨取P的坐标为，可知|PF2|＝＝.由双曲线定义可知|PF1|＝|PF2|＋2a＝＋8＝，所以|PF1|＋|PF2|＝＋＝，所以选项B正确；由对称性，对于点P，在△PF1F2中，|PF1|＝>2c＝10>|PF2|＝.且cos∠PF2F1＝＝－<0，则∠PF2F1为钝角，所以△PF1F2为钝角三角形，选项C正确；由余弦定理得cos∠F1PF2＝＝≠，∠F1PF2≠，所以选项D错误．故选BC 12、设F1，F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点．若P在双曲线上，且·＝0，则|＋|的值为________． 【解析】由题意，知双曲线两个焦点的坐标分别为F1(－，0)，F2(，0)． 设点P(x，y)，则＝(－－x，－y)，＝(－x，－y)．∵·＝0， ∴x2＋y2－10＝0，即x2＋y2＝10.∴|＋|＝＝＝2. 13、如图，B地在A地的正东方向4 km处，C地在B地的北偏东30°方向2 km处，河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点D到A的距离比到B的距离远2 km，则曲线PQ的轨迹方程是________；现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向B，C两地转运货物，那么这两条公路MB，MC的路程之和最短是______km. 【解析】如图所示，以AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系． 则|DA|－|DB|＝2，根据双曲线定义知，轨迹为双曲线的右支． 故2c＝4，c＝2,2a＝2，a＝1，b2＝c2－a2＝4－1＝3，故轨迹方程为x2－＝1(x>0)． 根据题意知C(3，)，|MB|＋|MC|＝|MA|＋|MC|－2≥|AC|－2＝2－2.当A，M，C共线时等号成立． 14、已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，设左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝2c，在C的右支上存在一点P，使得以F1F2，F2P为邻边的平行四边形为菱形，且直线PF1与圆(x－c)2＋y2＝c2相切，则该双曲线C的离心率为(　　) A. B. C. D．2 【解析】由题意得|PF2|＝|F1F2|＝2c，设直线PF1与圆(x－c)2＋y2＝c2相切于点T，则PF1⊥TF2，|TF2|＝c，在Rt△F1TF2中，∠TF2F1＝60°⇒|PF1|＝2c，则由双曲线的定义可得|PF2|＝|PF1|－2a＝2c－2a，所以2c＝2c－2a，解得e＝＝.故选B 15、双曲线C的中心在原点，右焦点为F，渐近线方程为y＝±x. (1)求双曲线C的方程； (2)设直线l：y＝kx＋1与双曲线C交于A，B两点，问：当k为何值时，以AB为直径的圆过原点？ 【解析】(1)设双曲线的方程是－＝1(a＞0，b＞0)，则c＝，＝.又∵c2＝a2＋b2，∴b2＝1，a2＝. ∴双曲线的方程是3x2－y2＝1. (2)由得(3－k2)x2－2kx－2＝0.由Δ＞0，且3－k2≠0，得－＜k＜，且k≠±. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)．∵以AB为直径的圆过原点，∴OA⊥OB. ∴x1x2＋y1y2＝0.又∵x1＋x2＝，x1x2＝，∴y1y2＝(kx1＋1)(kx2＋1)＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝1， ∴＋1＝0，解得k＝±1.故当k＝±1时，以AB为直径的圆过原点． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2 双曲线及其性质 知识点一：双曲线的定义 平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于）的点的轨迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）．用集合表示为． 注意：（1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的 ． （2）当时，点的轨迹是 ；当时，点的轨迹是 ． （3）时，点的轨迹不存在． 知识点二：双曲线的方程、图形及性质 双曲线的方程、图形及性质 标准方程 图形 A2 焦点坐标 对称性 顶点坐标 范围 实轴、虚轴 离心率 渐近线方程 点和双曲线 的位置关系 共焦点的双曲线方程 共渐近线的双曲线方程 切线方程 切线方程 切点弦所在直线方程 点为双曲线与两渐近线之间的点 弦长公式 通径 焦点三角形 等轴双曲线 考点一 双曲线标准方程的认识　　 例1 “k<2”是“方程表示双曲线”的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 变式1.已知方程－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点的距离为4，则n的取值范围是(　　) A．(－1,3) B．(－1，) C．(0,3) D．(0，) 变式2：在方程mx2－my2＝n中，若mn<0，则方程所表示的曲线是(　　) A．焦点在x轴上的椭圆 B．焦点在x轴上的双曲线 C．焦点在y轴上的双曲线 D．焦点在y轴上的椭圆 考点二 求双曲线的标准方程　 例2．以椭圆＋＝1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程为(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1或－＝1 D．以上都不对 变式1：根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1)与双曲线－＝1有公共焦点，且过点(3，2)；(2)双曲线过两点P，Q. 变式2：过点(2，－2)且与－y2＝1有相同渐近线的双曲线的标准方程为________． 考点三 双曲线的定义及应用 例3．设动点P到A(－5,0)的距离与它到B(5,0)距离的差等于6，则P点的轨迹方程是(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1(x≤－3) D.－＝1(x≥3) 变式1.已知A(－4,0)，B是圆(x－1)2＋(y－4)2＝1上的点，点P在双曲线－＝1的右支上，则|PA|＋|PB|的最小值为(　　) A．9 B．2＋6 C．10 D．12 变式2.已知定点A(3,1)，F是双曲线－＝1的右焦点，P是双曲线右支上的动点，则|PA|＋|PF|的最小值为(　　) A. B．5＋4 C．5－4 D.＋4 考点四 双曲线中焦点三角形的周长与面积问题 例4．如图，若F1，F2是双曲线－＝1的两个焦点． (1)若双曲线上一点P到它的一个焦点的距离等于16，求点P到另一个焦点的距离； (2)若P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32，试求△F1PF2的面积． 变式1．双曲线的左､右焦点分别是､，过的弦AB与其右支交于A､B两点，，则的周长为（    ） A． B． C． D． 变式2．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|＝(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 考点五 双曲线的简单几何性质 例5.若一双曲线与椭圆4x2＋y2＝64有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程为________． 变式1．中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的离心率为，则它的渐近线方程为_______. 变式2．若双曲线的渐近线与圆相切，则_________． 考点六 双曲线中的离心率问题 例6．已知，分别为双曲线的左、右焦点，过原点的直线与交于，两点（点在第一象限），延长交于点，若，，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D．1 变式1．已知双曲线的左、右焦点分别为，过斜率为的直线与的右支交于点，若线段恰被轴平分，则的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 变式2．已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，过的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点，若，的周长为8a，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 考点七 双曲线有关的轨迹问题 例7．已知动圆过定点，且与圆相外切，求动圆圆心的轨迹方程. 变式1．已知点P(x，y)的坐标满足－＝±，则动点P的轨迹是(　　) A．椭圆 B．双曲线 C．两条射线 D．双曲线的一支 变式2．动圆与圆x2＋y2＝1和x2＋y2－8x＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹是(　　) A．双曲线的一支 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 考点八 双曲线的实际应用问题 例8．A，B，C是我方三个炮兵阵地，A在B正东6千米，C在B北偏西30°，相距4千米，P为敌炮阵地，某时刻A处发现敌炮阵地的某种信号，由于B，C两地比A距P地远．因此4 s后，B，C才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s，A若炮击P地，求炮击的方向角． 变式1：从某个角度观察篮球(如图1)，可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮形状为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线的一部分，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，且AB＝BC＝CD＝2，设AD所在直线为x轴，则双曲线的标准方程为________． 变式2：某工程需要开挖一个横截面为半圆的柱形隧道，挖出的土只能沿道路AP，BP运到P处(如图)，|AP|＝100 m，|BP|＝150 m，∠APB＝60°，试说明怎样运土才能最省工． 题组A 基础过关练 1、已知F1(－8,3)，F2(2,3)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝10，则P点的轨迹是(　　) A．双曲线 B．双曲线的一支 C．直线 D．一条射线 2、已知方程－＝1对应的图形是双曲线，那么k的取值范围是(　　) A．k>5　　　　　　 B．k>5或－2<k<2 C．k>2或k<－2 D．－2<k<2 3、若双曲线与椭圆＋＝1有相同的焦点，它的一条渐近线方程为y＝－x，则双曲线的方程为(　　) A．y2－x2＝96 B．y2－x2＝160 C．y2－x2＝80 D．y2－x2＝24 4、若双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 5、如果椭圆＋＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，那么双曲线－＝1的离心率为(　　) A. B. C. D．2 6、动圆与圆x2＋y2＝1和x2＋y2－8x＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹是(　　) A．双曲线的一支 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 7、已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.若双曲线上存在点A使得∠F1AF2＝90°，且|AF1|＝2|AF2|＝4，则双曲线的方程为(　　) A．x2－＝1 B.－y2＝1 C.－＝1 D.－＝1 8、【多选】已知方程＋＝1表示的曲线为C.给出以下四个判断正确的是(　　) A．当1<t<4时，曲线C表示椭圆 B．当t>4或t<1时， 曲线C表示双曲线 C．若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1<t< D．若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则t>4 9、若双曲线的渐近线与圆相切，则______． 10、求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)虚轴长为12，离心率为；(2)焦点在x轴上，离心率为，且过点(－5,3)； (3)顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±x. 题组B 能力提升练 11、【多选】已知点P在双曲线C：－＝1上，F1，F2是双曲线C的左、右焦点，若△PF1F2的面积为20，则下列说法正确的有(　　) A．点P到x轴的距离为 B．|PF1|＋|PF2|＝ C．△PF1F2为钝角三角形 D．∠F1PF2＝ 12、设F1，F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点．若P在双曲线上，且·＝0，则|＋|的值为________． 13、如图，B地在A地的正东方向4 km处，C地在B地的北偏东30°方向2 km处，河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点D到A的距离比到B的距离远2 km，则曲线PQ的轨迹方程是________；现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向B，C两地转运货物，那么这两条公路MB，MC的路程之和最短是______km. 14、已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，设左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝2c，在C的右支上存在一点P，使得以F1F2，F2P为邻边的平行四边形为菱形，且直线PF1与圆(x－c)2＋y2＝c2相切，则该双曲线C的离心率为(　　) A. B. C. D．2 15、双曲线C的中心在原点，右焦点为F，渐近线方程为y＝±x. (1)求双曲线C的方程； (2)设直线l：y＝kx＋1与双曲线C交于A，B两点，问：当k为何值时，以AB为直径的圆过原点？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $