专题05 抛物线轨迹·点点距离及最值·和差最值·对称性六大典型问题（高效培优专项训练）数学人教A版高二选择性必修第一册

**基本信息** 以抛物线定义为核心，系统整合轨迹、距离最值、焦半径、对称性六大典型问题，形成“概念-性质-应用”递进的解题方法体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |利用定义求动点轨迹|10题|定义法转化距离关系|从抛物线定义抽象轨迹方程，培养数学抽象能力| |点到定点距离及最值|10题|坐标法结合二次函数求最值|通过代数运算解决几何最值，发展数学思维| |点到定点和焦点距离和差最值|10题|定义转化与几何对称法|利用抛物线定义简化距离运算，提升逻辑推理| |焦半径公式|10题|焦半径公式直接应用与综合证明|强化符号表达与公式迁移，训练数学语言| |对称性的应用|10题|对称性质在相交、切线问题中的应用|结合图形对称分析几何关系，培养几何直观| |根据对称性求参数|10题|对称条件建立方程求参数|通过对称关系构建数学模型，发展模型意识|

专题05 抛物线轨迹·点点距离及最值·和差最值·对称性六大典型问题 题型一 利用定义求动点轨迹 题型二 抛物线上的点到定点的距离及最值 题型三 抛物线上的点到定点和焦点距离的和差最值 题型四 抛物线的焦半径公式 题型五 抛物线对称性的应用 题型六 根据抛物线的对称性求相关的参数 题型一 利用定义求动点轨迹 1．已知动点到定点和定直线的距离之和为，则点的轨迹方程为（　　） A． B． C．若，则；若，则 D．若，则；若，则 【答案】D 【详解】设，由题意可得， 即， 当时，则有，化简得； 当时，则有，化简得； 综上，当时，点的轨迹方程为； 当时，点的轨迹方程为. 2．（多选）已知动点到点的距离与点到直线的距离相等，记动点的轨迹为曲线，直线交曲线于两点，过线段的中点作直线的垂线，垂足为，若，则（    ） A．曲线为抛物线 B．的最大值为1 C．的最大值为1 D．的最小值为 【答案】AC 【分析】对于A，根据抛物线的定义即可判断；对于B，根据题干分析的取值范围即可判断；对于C，根据中位线可得，再根据余弦定理，在中，用的表达式表示，最后结合基本不等式放缩求得和的不等关系即可求出的最大值；对于D，根据C选项的分析，可知能将转化为的关系式，再令，进一步将转化为t的关系式，最后结合对勾函数的性质求解该表达式的范围即可判断的最小值． 【详解】对于A，由已知条件知点P到点F的距离与到直线的距离相等， 由抛物线的定义可知点P的轨迹为以F为焦点，直线为准线的抛物线， 设抛物线的方程为，则，得， 所以点P的轨迹方程为，即曲线C为抛物线，故A正确； 对于B选项，当直线l不断变化时，均可分别至无穷大， 则易知可取任意正实数，故B错误； 对于C选项，过分别作直线的垂线，垂足为，如图所示， 则， 所以， 在中，由余弦定理得， 当时，等号成立，所以，即的最大值为，故C正确； 对于D选项，由C选项可知 ，令， 则， 根据对勾函数的性质，， 所以，则无最小值，故D错误． 3．已知动圆过定点，且与直线相切． (1)求动圆圆心的轨迹C的方程； (2)过点作倾斜角为，（）的两条直线交轨迹C于M，N两点，若，求证：直线MN恒过定点． 【答案】(1) (2)证明：由题意可知，直线的倾斜角均不为和， 故直线的斜率均存在且不为0， 因为，所以，即， 即， 若直线的斜率为，则与抛物线只有一个交点，不符合题意； 故设，， 联立，得， 则， 则 ， 得， 则直线恒过点. 【分析】（1）由抛物线的定义可得方程； （2）设，由得出，利用韦达定理化简即可. 【详解】（1）由题意可知，动圆圆心到点和到的距离相等， 故动圆圆心的轨迹C是以为焦点，为准线的抛物线， 故动圆圆心的轨迹C的方程为； （2）略 4．设曲线上任意一点到直线的距离比它到点的距离大1，且是该曲线上一动点，点，则的最小值为___________. 【答案】8 【分析】根据抛物线的定义求得曲线的轨迹方程为，再结合抛物线的定义求解最值即可. 【详解】因为曲线C上任意一点到直线的距离比它到点的距离大1， 所以曲线C上任意一点到直线的距离等于它到点的距离， 所以，根据抛物线定义可知曲线的轨迹为抛物线，焦点为，准线方程为， 所以曲线的轨迹方程为， 过作于，则，所以， 当且仅当三点共线，且时，取得最小值， 所以的最小值是8. 故答案为：8. 5．平面内一动点到定点和定直线的距离相等，记动点的轨迹为. (1)求轨迹的方程； (2)已知点.过点的直线交于不同两点（均与点不重合），直线分别交直线于点.证明：. 【答案】(1)； (2)证明如下： 直线不垂直于轴，设直线的方程为，，（且）， 由，得，则，， 直线的斜率，其方程为， 令，得，同理得，设直线的斜率分别为， 因此 ， 所以.    【分析】（1）根据给定条件，利用抛物线的定义求出轨迹方程. （2）设出直线的方程并与抛物线方程联立，再求出直线方程得点坐标，进而得点的坐标，然后利用斜率坐标公式及韦达定理计算得证. 【详解】（1）由动点到定点和定直线的距离相等， 得动点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线， 所以轨迹的方程为. （2）略 6．已知动点到点的距离比它到直线的距离小1． (1)求动点的轨迹方程； (2)过点的直线与点的轨迹相交于两点，且的面积为4，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据抛物线的定义即可得到动点的轨迹方程； （2）设直线的方程为，，联立得到，进而得到及点到直线的距离，再根据建立方程求解即可． 【详解】（1）已知动点到点的距离比它到直线的距离小1， 则动点到点的距离等于它到直线的距离， 即动点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线， 所以动点的轨迹方程为； （2）设直线的方程为，， 由得，， ， ， 点到直线的距离， 所以， 解得， 当时，直线的方程为，即， 当时，直线的方程为，即， 因此，直线的方程为或．    7．（多选）已知为坐标原点，动点到点的距离比它到直线的距离小2，记动点的轨迹为曲线，过点的直线交于，两点（点在第一象限），且，则（   ） A．的方程为 B．直线的方程为 C． D．的面积为 【答案】ABD 【分析】先根据动点的条件求出曲线的方程，再结合抛物线的性质求出直线的方程、弦长以及三角形的面积. 【详解】因为动点到点的距离比它到直线的距离小2， 所以动点到点的距离与它到直线的距离相等， 根据抛物线的定义可知，曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线. 所以，那么曲线的方程为，A正确； 设，因为， 由抛物线的焦半径公式，可得，对应的. 所以，所以直线的斜率为. 所以直线的方程为，即，B正确； 联立直线的方程与抛物线方程得，，化简得. 解得，所以弦长，C错误； 因为直线的方程为，所以原点到直线的距离为. 所以的面积为，D正确. 故选：ABD. 8．（多选）已知为坐标原点，动点到点的距离比它到直线的距离小2，记动点的轨迹为曲线，过点的直线交于两点（点在第一象限），且，则（    ） A．的方程为 B．直线的方程为 C． D．的面积为 【答案】ABD 【分析】由抛物线的定义可判断A项，由，及两点式方程可判断B项，由弦长公式可判断C项，由三角形的面积可判断D项. 【详解】由动点到点的距离比它到直线的距离小2，可得动点到点的距离等于它到直线的距离， 故动点的轨迹是焦点为的抛物线，故的方程为，故A正确； 设，点在第一象限，则， 由，得，得，代入，解得，则， 而，故直线的方程为： ，得，故B正确； 由，消去，得，， 则，故C错误； 点到直线：的距离为：， 则的面积为，故D正确. 故选：ABD    9．以为焦点，直线为准线的抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线的定义得，再整理即可得答案. 【详解】设为抛物线上任意一点，根据抛物线的定义可得， 即，化简得． 所以，以为焦点，直线为准线的抛物线的方程为 故选：C 10．设点为动点，记的斜率分别为，且，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，由题意列出点的坐标满足的方程，化简可得其轨迹方程. 【详解】设，因为，所以， 化简得，即点的轨迹方程为. 故选：C 题型二 抛物线上的点到定点的距离及最值 11．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，则的横坐标为（     ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】利用抛物线的定义，结合已知列方程求的横坐标. 【详解】由抛物线方程，可知，即， 该抛物线的焦点为，准线方程为， 根据抛物线的定义：抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离， 已知点到焦点的距离，那么点到准线的距离也等于， 设点的横坐标为，则它到准线的距离为，即，解得， 所以，点的横坐标为. 12．已知抛物线上的一点到其焦点F的距离为3，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】由抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离列方程求解. 【详解】由抛物线可得，即，因此其准线方程为， 已知点到焦点的距离为3，则点到准线的距离也为3， 即 ，解得. 13．已知抛物线上一点P到x轴的距离为，则点P到C的焦点的距离为_________． 【答案】3 【详解】由题设，不妨设，所以， 又，则，故准线方程为， 所以点P到C的焦点的距离为． 14．已知直线：和直线：，抛物线上一动点P到直线和的距离之和的最小值是（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义以及点到直线的距离公式求得正确答案. 【详解】抛物线的焦点，准线， 到的距离，等于到的距离. 所以P到直线和的距离之和的最小值等于到直线的距离， 所以最小值为. 15．（多选）已知点，直线，动点P（点P的横坐标不小于）到点F的距离比到直线l的距离大2，点P的轨迹为C，则（    ） A．点在C上 B．C关于x轴对称 C．过作C的两条弦AM，AN，若，则直线MN过定点 D．若点E在C上，点G在圆上，则的最小值为 【答案】ABC 【分析】根据给定条件求出轨迹的方程，验证判断A；利用轴对称的特征判断B；求出点的坐标，进而求出直线的方程判断C；求出点到圆心距离判断D. 【详解】设点，由点P到点F的距离比到直线l的距离大2， 则得，整理得轨迹的方程为， 对于A，当时，，因此点在C上，A正确； 对于B，显然点满足方程，而点与关于轴对称， 因此轨迹C关于x轴对称，B正确； 对于C，设直线方程为，由，得, 则直线的方程为， 由，得或，则得点， 同理可得点， 当直线不垂直于轴时，直线的方程为，整理得， 当直线时，由，解得,则直线，故直线恒过定点，C正确； 对于D，圆的圆心，半径，设，则， 于是，当且仅当时取等号， 因此的最小值为，D错误.    16．已知A，B为圆M：的某直径的两端点，动点Q在抛物线上，则的最小值为（     ） A． B． C．9 D． 【答案】B 【分析】利用向量的加减运算得出，再令得出，将问题转化为抛物线上动点和圆上动点距离的最小值即可求解. 【详解】因为为圆的直径，所以， 则， 令，则点为直线与圆的交点，且位于线段上， 则. 设，且，则， 则当时，， 因为，等号成立时三点共线， 所以，则的最小值为. 17．已知、、是三个平面向量，且为给定的单位向量．若，，则的最小值为______． 【答案】 【分析】将向量最值问题转化为动点在抛物线和圆上的轨迹问题后，结合“阿波罗尼斯圆”的性质构造新定点配平系数，最终化归为求抛物线上动点到该定点的最短距离. 【详解】不妨设，因为， 则有，整理得， 即向量的终点的轨迹是以原点为顶点，焦点为的抛物线， 设，由得，整理得， 即向量的终点的轨迹是以为圆心，半径的圆， ，其中表示到的距离， 由阿波罗尼斯圆的定义有：平面内到两个定点的距离之比为常数， 且定点与圆心三点必共线，所以必在轴上， 设使，点满足，即， ， ， 则有，解得， 则， 易得三点共线时取最小值，问题转化为抛物线上的动点到定点的最短距离， ， 当时取最小值 ，即， 即， 即的最小值为.    18．已知抛物线的焦点为，若点在该抛物线上，则（    ） A．2 B． C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据已知条件求出点A、F的坐标，代入两点间的距离公式即可得解. 【详解】点在抛物线上，，则， 又抛物线：的焦点，故． 19．已知点为抛物线上一点，过点作圆的两条切线，则切线长的最小值为（    ） A． B． C．7 D．9 【答案】B 【分析】求出圆心和半径，设出切点，利用距离公式求出的表达式，利用勾股定理得出切线的表达式，借助二次函数即可求出切线长的最小值. 【详解】由题意， 在圆中，， 圆心，半径， 在抛物线中，点为抛物线上一点， ∴，连接， 设切点为，，分别与点连接，则切线, 由几何知识，，， ∵， ∴由勾股定理得，， 在中，对称轴，函数开口向上, ∴函数在上单调递增， ∴切线在处取最小值， .    20．（多选）已知点在抛物线：上，为其焦点，则（    ） A．抛物线的准线方程为 B．的坐标为 C．若，则 D． 【答案】ACD 【分析】根据抛物线方程确定抛物线的顶点坐标与准线方程，然后再由抛物线的焦半径公式判断C，由抛物线的性质判断D. 【详解】抛物线的焦点坐标为，准线方程是，A正确，B错误， 由点在抛物线上，可得， 若，则，，故， 抛物线上的点到焦点的距离，又， 因此，当且仅当时取等号 题型三 抛物线上的点到定点和焦点距离的和差最值 21．已知点，点在抛物线上运动，点在圆上运动，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过作于，为抛物线的准线，利用抛物线的定义及圆的性质，得到，即可求解. 【详解】易知抛物线的焦点为，准线为，圆的圆心为，与抛物线焦点重合，半径为， 过作于，则， 又易知，当三点在一条直线上时，最小， 又，所以. 22．已知抛物线上任意一点，定点，若点是圆上的动点，则的最小值为（    ） A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】C 【分析】根据抛物线的定义及圆的性质可得． 【详解】解：由题可知抛物线焦点，准线方程为， 圆心为，半径为， 则． 23．（多选）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，为坐标原点，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则周长的最小值为11 C．若A，F，B三点共线，且，则 D．若直线AB过，且，则 【答案】BD 【分析】A选项，根据焦点坐标得到抛物线方程，求出，得到答案；B选项，根据焦半径进行转化，得到的最小值，进而得到周长的最小值；C选项，设出直线方程，联立抛物线方程，根据三角形面积公式得到直线斜率，并得到；D选项，设出直线方程，联立抛物线方程，结合韦达定理得到的坐标，并得到各边长，由余弦定理，同角三角函数关系和二倍角公式得到答案. 【详解】A选项，抛物线的焦点为，即， 解得，故 ，故点纵坐标为3，中，令得， 不妨设，则，， 故，A错误； B选项，若，则， 过点作⊥准线于点，则，则， 故当三点共线时，取得最小值， 过点作⊥准线于点，故的最小值为， 则周长的最小值为，B正确； C选项，若A，F，B三点共线，显然直线的斜率存在， 设直线方程为，联立得， ，， 故， ， 点到直线的距离为， 故，故， 解得，故，， 则，C错误； D选项，若直线AB过，显然斜率存在，设为， 联立与得， 则，解得，， 因为，故，解得或， 当时，，显然此时重合，不过点，不满足要求， 当时，，此时，满足要求，则，， 所以，所以， ，， 故， 所以， 又，， ， 故，， 则，D正确 24．已知点，是抛物线的焦点，是抛物线上的一个动点，则的最小值是_____ ． 【答案】8 【分析】结合抛物线的定义将抛物线上动点到焦点的距离转换成到准线的距离，进而可求解. 【详解】对于抛物线，得，即，准线方程为， 根据抛物线的定义：抛物线上动点到焦点的距离等于到准线的距离， 即 ， 因此 ， 又，点在抛物线内部， 的最小值为点到准线的距离， 计算得， 故的最小值是8. 25．已知是抛物线上任意一点，点在轴上的射影为点，点的坐标为，则的最小值是（   ） A．13 B．12 C．11 D．10 【答案】B 【分析】先利用抛物线定义，将 “点到坐标轴的距离” 转化为 “点到焦点的距离”，消去动点到坐标轴的距离；再将原目标式转化为 “动点到两个定点的距离和（差）” 的形式，最后利用 “两点之间线段最短”，通过三点共线求出转化后式子的最值，并还原为原问题的答案即可. 【详解】因为抛物线方程的标准形式为， 所以焦点，准线方程为：，延长交准线于，连接，如图： 根据抛物线的定义得， 当且仅当，，三点共线时， ， 的最小值为. 26．已知为抛物线上的任意一点，为抛物线的焦点，点的坐标为，则当取得最小值时，点的坐标为__________． 【答案】 【详解】 如图，抛物线的准线方程为，过点作，垂足为， 由抛物线定义可知，所以， 当时，取得最小值，所以，则， 此时点的坐标为． 27．已知是抛物线：上的一个动点，是圆：上的一个动点，，则长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题先利用抛物线定义，将转化为点到准线的距离；再根据圆的性质，的最小值为（为圆心），故；当在抛物线上时，的最小值为到准线的距离，因此的最小值为． 【详解】 抛物线：的焦点是，准线方程为， 根据抛物线的定义，得（为到准线的距离）， 圆：的圆心为，半径， 因为在圆上，所以（当且仅当三点共线且在与之间时取等号）， 所以． 因为（ 与重合时取等号）， 所以． 28．（多选）已知是抛物线的焦点，是上一点，是圆的一条直径，则（    ） A． B．的面积最大值为 C．的最小值为 D． 【答案】ABD 【分析】选项，利用抛物线的定义，结合圆上点的最小距离，对线段进行转化，利用放缩解决问题； 选项，利用直径的性质，结合点到直线距离的最大值，即垂直时距离最大，解决问题； 选项，利用向量数量积的定义，结合向量三角形法则将两线段转化，进而利用余弦定理以及基本不等式，对夹角余弦的最小值进行判断； 选项，将数量积的问题转化为求线段最小值的问题，利用导数求最值，从而解决问题. 【详解】选项，设点，抛物线焦点为，准线为，圆心为，半径，直径. 由抛物线定义可知，则，由图可知点在圆的外面， 所以点到圆的最短距离为. 因为，所以， 又，因此，选项正确； 选项，由，三角形面积要最大，则边上的高最大即可，很显然当时， 即时，的面积最大为，选项正确； 选项，由图可知，， 则， 又因为，所以， 在中，由余弦定理可得， 所以，则，由基本不等式可知（当且仅当时取等号）， 所以，因此，选项错误； 选项，由，， 则， 由，则， 又点在抛物线上，所以，则， 代入得， 令，求导得，令， 则，即，化简为， 解得，不难发现为唯一的极小值点，即最小值点， 此时，则点为，所以的最小值为， 因此，选项正确. 29．已知抛物线的焦点为，点在上，是上的动点，为直线上一定点，到的距离为，若取得最小值时点与重合，则（   ） A． B． C．12 D．24 【答案】B 【分析】由抛物线的定义将的最小值转化为，由此可知取得最小值时三点共线，由两点式写出直线，再将点代入直线，则可求出答案. 【详解】将点代入，解得， 所以抛物线，焦点，准线， 由抛物线的定义可知：， 所以，当且仅当三点共线时，等号成立. 又取得最小值时点与重合， 所以三点共线， 直线 将点代入：， 解得. 30．（多选）已知为抛物线上一点，为的焦点，直线的方程为，则下列说法正确的有（    ） A．点到的最小距离为 B．若，则 C．点到的距离与到直线的距离之和的最小值为3 D．设直线与的另一个交点为，则 【答案】AC 【分析】分析出当直线与直线平行且与抛物线相切时，切点到直线的距离最小，求出最小距离即可判断A；根据抛物线的定义，将转化并求出其最小值，即可判断；根据抛物线的定义，将到的距离与到直线的距离之和的最小值转化为焦点到的距离加1，求出其最小值，即可判断C；设直线为，联立直线与抛物线组成的方程组，利用韦达定理求出的值，即可判断D. 【详解】对于选项A，当直线与直线平行且与抛物线相切时， 切点到直线的距离最小. 设切点为，对两边关于求导可得，所以， 所以在点处的切线斜率为，解得，所以切点， 所以点到的最小距离为，故A正确； 对于选项B，抛物线焦点，准线，过点作准线的垂线，垂足为， 由抛物线的定义可知，则， 当且仅当点共线时等号成立，即，故B错误； 对于选项C，过点作直线的垂线，垂足为. 因为点到直线的距离等于点到直线的距离加1，即， 所以点到的距离与到直线的距离之和， 所以的最小值为焦点到的距离加1. 因为焦点到的距离为，所以最小值为，故C正确； 选项D：设直线为,. 由，消去得，则. 则. 所以，故D错误． 题型四 抛物线的焦半径公式 31．已知抛物线：的焦点为，过上一点作其准线的垂线，垂足为，若，，则_____． 【答案】 【分析】根据题意，写出坐标，分别根据和列出两个等式，联立两个等式直接求出． 【详解】 设，则，， 由，得①， 由，得， 即②， 联立①②，解得，． 32．（多选）已知抛物线的焦点为，点为的准线上一点，过焦点且斜率大于的直线与交于、两点（在第一象限），为原点，直线、分别交于、两点，则（    ） A．面积的最小值为 B．若，则直线的斜率为 C．若过点的抛物线的切线与交于点，则 D．若的面积为，则 【答案】BCD 【分析】根据题意先求，进而得抛物线方程，设直线的方程为，设点、，将该直线方程与抛物线的方程联立，结合韦达定理、三角形的面积公式以及基本不等式可判断A选项；利用抛物线的焦半径公式求出点的坐标，再利用直线的斜率公式可判断B选项；求出切线方程，进而可求出点的坐标，再利用平面向量数量积的坐标运算可判断C选项；利用三角形的面积公式、韦达定理、平面内两点间的距离公式可判断D选项. 【详解】由题意得，所以抛物线，所以， 根据题意，不妨设直线的方程为，设点、， 对于A选项，联立可得，， 由韦达定理可得，，则，且， ， 当且仅当时，即当时，等号成立，此时， ，，此时点、，则点、关于轴对称，即轴， 与直线的斜率大于矛盾，故等号不成立，即，故A错误； 对于B选项，由抛物线的定义可得，可得， 由且，可得，即点， 此时直线的斜率为，故B正确； 对于C选项，由，所以，又点位于第一象限， 所以，，所以，所以， 所以过点的切线方程为：，即，令，，所以， 所以， 所以，所以，故C正确； 对于D选项，由A选项可知 ， 又到直线的距离为， 所以，解得， 所以直线的直线方程为，令得，所以， 同理得，所以 ，故D正确. 33．已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上且在第一象限，若，则直线的倾斜角为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为抛物线的焦点为，所以，故抛物线方程为， 设，因为，所以，可得， 代入抛物线方程可得，解得， 因为点在第一象限，所以， 所以直线的斜率为，则直线的倾斜角为. 34．已知是抛物线上的动点，点满足，若，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义，结合三点共线即可求解. 【详解】设抛物线的焦点为，设 由抛物线定义知，， 因，则, 由图知，， 解得，即当过点时，的最小值为. 35．设抛物线：的焦点为，过的直线与交于，两点．若，则直线的斜率的绝对值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】设出直线方程，与抛物线方程联立，结合韦达定理及焦半径公式求解即可. 【详解】抛物线的焦点， 设过的直线的方程为，设，. 联立，整理得， ， 则，. 抛物线的弦长，解得，即. 36．已知抛物线的焦点为，过的直线与在第一象限交于点，若，则的斜率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抛物线标准方程确定焦点的坐标，进而利用焦半径公式求的横坐标，代入抛物线方程求纵坐标，再利用两点间斜率公式计算直线的斜率. 【详解】由抛物线，可得，即，则焦点，准线方程为. 设，已知，则：，解得， 代入抛物线方程得：， 由在第一象限，可得，即. 因为直线过和， 所以斜率：. 37．设椭圆C：（）的左、右焦点分别为，，且为抛物线（）的焦点．设抛物线与在第二象限的交点为，若，则椭圆的离心率为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】画出图象，利用抛物线性质以及椭圆的性质结合已知条件建立等式得出的关系，根据椭圆离心率公式求解即可. 【详解】椭圆，，， 抛物线的焦点为 ， 因为为抛物线（）的焦点，所以， 解得，则抛物线的方程为， 抛物线的准线方程为， 因为，又， 则， 因为为抛物线上的点，所以点到准线的距离， 即， 解得， 代入得到， 又在抛物线上，则，代入， 得到， 又在椭圆上，且， 两边平方得到， 把和代入， 得到， 展开化简得到，即， 解得，故选项A正确. 38．（多选）已知的顶点均在抛物线 上，且的重心为抛物线的焦点.若，则（ ） A． B．的周长小于72 C．的三个顶点到轴的距离之和为72 D．上一动点到直线的距离的最小值为 【答案】ABD 【分析】先根据抛物线的定义、重心坐标公式结合题设列方程求解判断AC；根据基本不等式可求解判断B；设与直线平行且与抛物线相切的直线方程为，联立直线与抛物线方程，结合求出，再根据平行线间的距离求解判断D. 【详解】对于抛物线：，其焦点，准线方程为， 设，，. 由抛物线的定义知，，. 已知，则， 即. 因为的重心为，根据三角形重心坐标公式，可得. 则，即.因为，解得， 所以抛物线方程为. 选项A：由上述计算可知，A选项正确. 选项B：根据基本不等式与， ，B选项正确. 选项C：的三个顶点到轴的距离之和为，C选项错误. 选项D：设与直线平行且与抛物线相切的直线方程为， 联立，消去得， 由，解得， 因此，两平行线间的距离，D选项正确. 39．（多选）已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，则下列说法正确的是（   ） A．若，则点的坐标为 B．当的倾斜角为时， C． D．以为直径的圆与直线相切 【答案】ACD 【分析】利用焦半径公式即可验证A；由点斜式写出直线方程，与抛物线联立解得，即可验证B；设直线的方程为，联立方程组由韦达定理即可验证C；设的中点为，过，，分别作准线的垂线于点，，，则，即可验证 D. 【详解】A，因为焦半径， 所以，代入，解得， 由，所以，故A正确； B，当的倾斜角为时，斜率为，则的方程为 ， 联立方程，得到，则或， 因为点在上方，所以，所以，故B错误； C，抛物线的标准方程为，若直线与轴重合， 此时，直线与抛物线只有一个公共点，不合乎题意， 所以直线不与轴重合，设直线的方程为， 联立可得，则， 由韦达定理可得，则，故C正确； D，设的中点为，过，，分别作准线的垂线于点，，， 所以，圆心到准线的距离等于半径，故D正确； 40．已知抛物线的焦点为，准线交轴于点，过的直线与抛物线交于A，B两点，且B在线段AD上，点P为点A在准线上的射影．若共线，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先列方程求出A，B两点坐标，再由两点距离公式求解. 【详解】抛物线 的焦点为 ，所以，所以， 则抛物线方程为 ，准线 ，准线与 轴交点 ， 设 ，，由抛物线定义： （ 为 到准线的垂足，故 ） 、、 共线，故三点斜率相等： 又 共线，故 ，即 由 ，，解得： 对应 ，， 即 ，， , ， 因此. 题型五 抛物线对称性的应用 41．一动点P到定点的距离与到定直线的距离之和为5.若点P的轨迹上恰有三对不同的点关于定点对称，则m的取值范围为_______. 【答案】 【分析】由距离条件分类讨论得轨迹为两段抛物线，关于点的对称点对分三类：同在第一段、同在第二段、分属两段，分别求对应的范围，合并满足总数为3的情形. 【详解】设动点，由题意得. 当 时，化为，平方得，即，其中，； 当 时，化为，平方得，即，其中，. 因此的轨迹为两段抛物线. 若点与关于对称，则必在轨迹上. 分三类情况讨论对称点对： ①两点都在第一段： 代入得，得，. 要存在不同点对，需满足（为自对称，不算一对不同点）且. 即当时，恰好存在一对都在第一段的对称点，否则没有对称点. ②两点都在第二段：代入得，得，.   要存在不同点对，需满足（为自对称，不算一对不同点）且， 即当时，恰好存在一对都在第二段的对称点，否则没有对称点. ③​两点分别在两段：在第一段，在第二段， 由对称性质得，则， 则同时满足轨迹范围要求且，， 最终得范围. 当时，，仅和共1对对称点； 当时，，共2对对称点. 仅当异段有2对对称点，同段第一段有1对对称点时，能满足轨迹上恰有三对不同对称点的要求， 因此需同时满足、且，并排除的情况，故. 42．已知抛物线：与圆：（）交于，两点，且，则_______. 【答案】 【分析】利用抛物线与圆的对称性，得出即可求解. 【详解】设，（）， 由，得，所以. 因为在圆上，所以，得， 43．已知四条抛物线，，，相邻两条都相切，则它们围成的封闭图形面积为______． 【答案】 【分析】解法一：由对称性以及阿基米德三角形求解即可； 解法二：由对称性画出图象，再由积分法求解即可； 【详解】解法一：对称性+阿基米德三角形 根据对称性知，与相切，易得，切点为，阿基米德三角形的面积为， 故切线与抛物线围成的图形面积为，则其总面积为 解法二：（微积分）根据对称性知，与相切，易得，切点为，如图，    设，两个阴影面积之和为 ，故总面积为 44．已知曲线，点，，第一象限内的点及第三象限内的点都在上，且直线与直线关于轴对称，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意知，当时，曲线，即， 其焦点为； 当时，曲线，即， 其焦点为. 易知点关于轴的对称点在抛物线位于第四象限的部分，且在直线上， 所以. 设， 由抛物线的定义知，，所以，，所以， 所以直线的斜率为， 直线的方程为， 由，得， 所以，所以， 所以.    45．已知圆与抛物线交于两点．若，则的值为（   ） A．6 B．12 C． D． 【答案】A 【分析】根据圆以及抛物线的对称性得到，再求交点横坐标，进而得到. 【详解】圆和抛物线都关于轴对称，因此交点也关于轴对称. 设，由得，即. 则，解得或， 因为抛物线中，舍去，得交点横坐标. 将代入抛物线方程，得. 46．有公共焦点的抛物线与椭圆相交于两点，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得出的位置关系，利用已知条件求出相应的点，代入方程中建立关于的方程，解齐次方程，再由椭圆的离心率范围求解即可. 【详解】因为为抛物线与椭圆的公共焦点，且抛物线与椭圆相交于两点， 由抛物线和椭圆对称性以及可知，轴， 设点在第一象限，如图所示： 令，此时有， 又抛物线的焦点为，所以， 所以抛物线方程为， 因为点在抛物线上，所以，所以， 即点，又点在椭圆上， 所以， 又，所以，所以 即，又，所以， 令 ，则，解得（舍去）或， 即， 又，所以. 47．已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】抛物线的焦点，设， 由，得，解得，因此轴， 由对称性得，所以. 48．正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线的图象上，则这个正三角形的边长为（   ） A． B．3 C． D．6 【答案】D 【分析】先设正三角形的边长为，根据题意得到其中一个顶点坐标，代入抛物线方程，即可得出结果. 【详解】设正三角形的边长为，由抛物线的对称性及题意可得，其另外两个顶点的坐标为， 又另外两个顶点在抛物线上， 所以，得， 所以这个正三角形的边长为6. 49．平面直角坐标系中，抛物线：上的点到的最小距离为. (1)求抛物线的方程； (2)过点不垂直于坐标轴的直线与交于，两点，记点关于轴的对称点为. （i）证明：直线过定点； （ii）记的外接圆圆心为，求直线斜率的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析（ii） 【分析】（1）首先设抛物线上任意一点为，利用两点间距离公式表示该点到的距离平方，转化为关于的二次函数，根据二次函数的单调性求最小值，进而求出. （2）（i）设直线的方程为，与抛物线联立，利用韦达定理得到和，再写出直线的方程，分析定点. （ii）先求的外接圆圆心的坐标，再表示出直线的斜率，结合的取值和的范围求斜率范围. 【详解】（1）设抛物线上任意一点为. 由得. 则点到点的距离的平方为 . 令，. 其对称轴方程为.① 当，即时，在处取得最小值，即， 由题意知的最小值为，则， 即.解得或. 因为，所以.② 当，即时，在区间上单调递增； 在处取得最小值，此情况无解. 综上所述，，故抛物线的方程为. （2） （ⅰ）由（1）知的方程为，点的坐标为. 设直线的方程为. 联立直线与抛物线方程，即. 设，，则，. 由题意知点的坐标为，直线的方程为. 因为，，所以， 代入得直线的斜率为， 整理得，即， 将代入得， 所以直线恒过定点. （ⅱ）设的外接圆圆心为， 则到，，三点的距离相等，即， 由得， 也即. 因为，代入得 ， ， 也即. 因为点在抛物线上，且在轴上，故， 所以，解得. 同理，由可得. 由，化简得. 因为直线与抛物线交于两点，且构成三角形，故， 所以，即. 因为，所以. 由得，也即， 将代入得， 则点的轨迹方程为（其中）. 设直线的斜率为，则，所以. 将轨迹方程代入，得. 令， ， 令.因为， 当时，，即在上单调递增，又， 故当时，，函数在上单调递增，则， 又，即，解得或. 综上所述，直线斜率的取值范围是. 50．（多选）已知抛物线与圆交于两点，圆与轴的负半轴交于点为坐标原点，则（    ） A． B．存在，使得 C．若为等边三角形，则 D．直线与抛物线相切 【答案】ACD 【分析】根据抛物线与圆的对称性，结合曲线方程联立求解相关点的坐标，再结合三角形的性质、线段长度关系以及直线与抛物线的位置关系来逐一分析选项. 【详解】对于选项A，抛物线的顶点为，圆的圆心为. 圆与轴的负半轴交于点，所以， 所以，所以，故A正确. 对于选项C，由，可得. 因为，所以，则，即. 不妨设，， 已知圆与轴的负半轴交于点，令，则，解得，因为在轴负半轴，所以， 若为等边三角形，则， 点到的距离为. 根据等边三角形的性质，点到的距离为， 即，解得（舍去）或，故C选项正确. 对于选项B，若，则， ， 则，两边平方得， 即，解得，这与矛盾， 所以不存在，使得，故B错误. 对于选项D，已知，， 则直线的斜率. 由，得，求导得， 可得在点处的切线斜率， 直线的斜率与抛物线在点处的切线斜率相等， 所以直线与抛物线相切，故D选项正确. 故选：ACD. 题型六 根据抛物线的对称性求相关的参数 51．设圆：，（）与曲线交于，，，四点，若四边形为正方形，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆与曲线的对称性，及四个交点的坐标特征求出的值，进而根据为圆的直径即可求解． 【详解】由圆：，与曲线都关于轴，轴对称，且它们的交点为，，，， 又四边形为正方形，则不妨设，，，，其中， 所以，解得， 又为圆的直径，所以．    52．已知圆与抛物线交于两点，为的焦点，若，则的值为__________. 【答案】或 【分析】由题设有且，关于轴对称，若，结合，有，则，即可求参数值. 【详解】由题设的焦点为，且为已知圆的圆心， 又的半径，其与抛物线有两个交点，则， 由交点为，它们关于轴对称，若，又， 则，所以， 当，可得（负值舍）；当，可得（负值舍）； 综上，或. 故答案为：或 53．若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，设为抛物线与椭圆的两个交点，且抛物线在点的切线过椭圆的左焦点，则椭圆的离心率为______． 【答案】/ 【分析】设，利用求导得出抛物线在点的切线方程为，再由题意推得，由抛物线的对称性得，将抛物线方程代入椭圆方程，再由代入整理成关于离心率的方程求解即得. 【详解】    如图，设，当时，由得，所以， 所以抛物线在点的切线方程为， 即，则有； 同理当时，抛物线在点的切线方程仍为． 因抛物线在点的切线过椭圆的左焦点，令，则，即， 考虑图形对称性，直线过椭圆的右焦点(也即抛物线的焦点)，故， 所以抛物线的方程为，代入椭圆的方程得， 该方程的解为，故，因，故得， 即，整理得，解得， 因，解得离心率． 故答案为：. 【点睛】方法点睛： 设，利用导数的几何意义求出抛物线在点的切线方程，再由切线过椭圆的左焦点，推得，得到抛物线方程和点坐标，代入椭圆方程，得关于离心率的方程求解即得. 54．抛物线具有一条重要的光学性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴.已知从抛物线的焦点发出的入射光线过点，则经过抛物线上一点反射后的反射光线所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求解抛物线的焦点坐标，再求解从抛物线的焦点发出的入射光线过点的直线方程，然后求解直线与抛物线的交点，得到反射光线所在直线方程即可. 【详解】抛物线的焦点，从抛物线的焦点发出的入射光线上， 且过点的直线方程：， 联立，可得，解得或， 结合已知条件可知反射光线所在直线方程为：. 故选：D. 55．抛物线有一个重要的性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴，此时反射面为抛物线在该点处的切线.过抛物线上的一点（异于原点）作的切线，过作的平行线交（为的焦点）于点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】方法1：由光学性质可知，即，结合由三角不等式可得答案；方法2：设，求出直线、的方程，联立方程可求得点坐标，再求可得答案. 【详解】方法1：如图，由光学性质可知：入射光线，反射光线轴，所以， 又，所以，因为轴，， 则有，所以，即， 由三角不等式可得， 即；    方法2：设，，易求得， 所以，，联立方程可求得， 所以， 即. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：在方法2中，解题的关键点是求出直线、的方程，联立方程可求得点坐标. 56．已知抛物线和圆的公共弦过抛物线的焦点，且弦长为． (1)求抛物线和圆的方程； (2)过点的直线与抛物线相交于两点，抛物线在点处的切线与轴的交点为，求面积的最小值． 【答案】(1)抛物线的方程为，圆的方程为 (2) 【分析】（1）利用抛物线与圆的对称性求得，从而求得抛物线的方程，进而得到点在圆上，代入即可得解； （2）联立直线与抛物线方程，利用弦长公式与点线距离公式求得与点到直线的距离，从而得到面积关于的表达式，再利用导数即可得解. 【详解】（1）由抛物线与圆的对称性可得，，则， 故抛物线的方程为，则，当时，， 所以在圆上，则，故， 故圆的方程为. （2）依题意，设直线的方程为：，设， 联立，消可得，，易得， 则， 所以 ， 设直线方程：，联立，得， 令，即，解得 所以直线方程为，即， 令，可得，则， 所以点到直线的距离， 故， 又， 所以， 令，易得为偶函数， 当时，， 所以， 令，可得， 当，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以当时，取得最小值， 故的最小值为. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 57．已知边长为的等边三角形的一个顶点位于原点O，另外两个顶点A，B在抛物线上，则__________． 【答案】2 【分析】利用两点间距离公式，结合抛物线对称性求得，再求出长即可求解. 【详解】设抛物线上的点，即有，，    由是正三角形，得，则，即， 整理得，而，，， 因此，由抛物线对称性得点关于轴对称，即垂直于轴，且，不妨令， 则，而，于是，即， 因此，所以. 故答案为：2 58．已知一条曲线在轴右侧，上的任意点到点的距离减去它到轴的距离的差都是1． (1)求曲线的方程； (2)若曲线上总存在不同两点关于直线对称，求实数的取值范围． 【答案】(1); (2). 【分析】（1）由题意可得上的任意点到点的距离等于它到直线的距离，根据抛物线的定义即可求解； （2）由题意可设直线方程为,由题可得与有两个不同交点,根据韦达定理及根的判别式可得的中点坐标及的取值范围，根据的中点坐标在直线上即可求解. 【详解】（1）因为上的任意点到点的距离减去它到轴的距离的差都是1， 所以上的任意点到点的距离等于它到直线的距离， 所以曲线是以为焦点的抛物线. 因为曲线在轴右侧， 所以曲线的方程是. （2）设关于直线对称，所以. 设直线方程为, 代入,得. 因为与有两个不同交点, 所以,解得. 当直线经过原点时，, 所以且. 所以, , 所以中点坐标为. 又中点坐标为在直线上, 所以,即, 因为且，所以且. 所以的取值范国是.    59．已知是抛物线上的两个点，O为坐标原点，若且的垂心恰是抛物线的焦点，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合抛物线的对称性，得到关于轴对称，设直线的方程为，由的垂心恰好是抛物线的焦点，得到，根据，列出方程，即可求解. 【详解】由点是抛物线上的两点，且， 根据抛物线的对称性，可得关于轴对称， 设直线的方程为，则， 因为的垂心恰好是抛物线的焦点， 所以，可得，即， 解得，即直线的方程为. 故选：C.    60．已知抛物线的焦点为F，点A，B在抛物线上．若，则当取得最大值时，___________． 【答案】或4 【分析】利用余弦定理可得，再利用基本不等式可求得的最大值，再结合抛物线的对称性即可求得的值． 【详解】在中，由余弦定理可得． ，． ，，当且仅当时，等号成立． 根据抛物线的对称性可知，或，或4． 故答案为：或4． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 抛物线轨迹·点点距离及最值·和差最值·对称性六大典型问题 题型一 利用定义求动点轨迹 题型二 抛物线上的点到定点的距离及最值 题型三 抛物线上的点到定点和焦点距离的和差最值 题型四 抛物线的焦半径公式 题型五 抛物线对称性的应用 题型六 根据抛物线的对称性求相关的参数 题型一 利用定义求动点轨迹 1．已知动点到定点和定直线的距离之和为，则点的轨迹方程为（　　） A． B． C．若，则；若，则 D．若，则；若，则 2．（多选）已知动点到点的距离与点到直线的距离相等，记动点的轨迹为曲线，直线交曲线于两点，过线段的中点作直线的垂线，垂足为，若，则（    ） A．曲线为抛物线 B．的最大值为1 C．的最大值为1 D．的最小值为 3．已知动圆过定点，且与直线相切． (1)求动圆圆心的轨迹C的方程； (2)过点作倾斜角为，（）的两条直线交轨迹C于M，N两点，若，求证：直线MN恒过定点． 4．设曲线上任意一点到直线的距离比它到点的距离大1，且是该曲线上一动点，点，则的最小值为___________. 5．平面内一动点到定点和定直线的距离相等，记动点的轨迹为. (1)求轨迹的方程； (2)已知点.过点的直线交于不同两点（均与点不重合），直线分别交直线于点.证明：. 6．已知动点到点的距离比它到直线的距离小1． (1)求动点的轨迹方程； (2)过点的直线与点的轨迹相交于两点，且的面积为4，求直线的方程． 7．（多选）已知为坐标原点，动点到点的距离比它到直线的距离小2，记动点的轨迹为曲线，过点的直线交于，两点（点在第一象限），且，则（   ） A．的方程为 B．直线的方程为 C． D．的面积为 8．（多选）已知为坐标原点，动点到点的距离比它到直线的距离小2，记动点的轨迹为曲线，过点的直线交于两点（点在第一象限），且，则（    ） A．的方程为 B．直线的方程为 C． D．的面积为 9．以为焦点，直线为准线的抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 10．设点为动点，记的斜率分别为，且，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 题型二 抛物线上的点到定点的距离及最值 11．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，则的横坐标为（     ） A．2 B．4 C．5 D．6 12．已知抛物线上的一点到其焦点F的距离为3，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 13．已知抛物线上一点P到x轴的距离为，则点P到C的焦点的距离为_________． 14．已知直线：和直线：，抛物线上一动点P到直线和的距离之和的最小值是（    ） A．2 B．3 C． D． 15．（多选）已知点，直线，动点P（点P的横坐标不小于）到点F的距离比到直线l的距离大2，点P的轨迹为C，则（    ） A．点在C上 B．C关于x轴对称 C．过作C的两条弦AM，AN，若，则直线MN过定点 D．若点E在C上，点G在圆上，则的最小值为 16．已知A，B为圆M：的某直径的两端点，动点Q在抛物线上，则的最小值为（     ） A． B． C．9 D． 17．已知、、是三个平面向量，且为给定的单位向量．若，，则的最小值为______． 18．已知抛物线的焦点为，若点在该抛物线上，则（    ） A．2 B． C．4 D．5 19．已知点为抛物线上一点，过点作圆的两条切线，则切线长的最小值为（    ） A． B． C．7 D．9 20．（多选）已知点在抛物线：上，为其焦点，则（    ） A．抛物线的准线方程为 B．的坐标为 C．若，则 D． 题型三 抛物线上的点到定点和焦点距离的和差最值 21．已知点，点在抛物线上运动，点在圆上运动，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 22．已知抛物线上任意一点，定点，若点是圆上的动点，则的最小值为（    ） A．12 B．10 C．8 D．6 23．（多选）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，为坐标原点，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则周长的最小值为11 C．若A，F，B三点共线，且，则 D．若直线AB过，且，则 24．已知点，是抛物线的焦点，是抛物线上的一个动点，则的最小值是_____ ． 25．已知是抛物线上任意一点，点在轴上的射影为点，点的坐标为，则的最小值是（   ） A．13 B．12 C．11 D．10 26．已知为抛物线上的任意一点，为抛物线的焦点，点的坐标为，则当取得最小值时，点的坐标为__________． 27．已知是抛物线：上的一个动点，是圆：上的一个动点，，则长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 28．（多选）已知是抛物线的焦点，是上一点，是圆的一条直径，则（    ） A． B．的面积最大值为 C．的最小值为 D． 29．已知抛物线的焦点为，点在上，是上的动点，为直线上一定点，到的距离为，若取得最小值时点与重合，则（   ） A． B． C．12 D．24 30．（多选）已知为抛物线上一点，为的焦点，直线的方程为，则下列说法正确的有（    ） A．点到的最小距离为 B．若，则 C．点到的距离与到直线的距离之和的最小值为3 D．设直线与的另一个交点为，则 题型四 抛物线的焦半径公式 31．已知抛物线：的焦点为，过上一点作其准线的垂线，垂足为，若，，则_____． 32．（多选）已知抛物线的焦点为，点为的准线上一点，过焦点且斜率大于的直线与交于、两点（在第一象限），为原点，直线、分别交于、两点，则（    ） A．面积的最小值为 B．若，则直线的斜率为 C．若过点的抛物线的切线与交于点，则 D．若的面积为，则 33．已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上且在第一象限，若，则直线的倾斜角为（     ） A． B． C． D． 34．已知是抛物线上的动点，点满足，若，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．4 35．设抛物线：的焦点为，过的直线与交于，两点．若，则直线的斜率的绝对值为（    ） A． B．1 C． D．2 36．已知抛物线的焦点为，过的直线与在第一象限交于点，若，则的斜率为（ ） A． B． C． D． 37．设椭圆C：（）的左、右焦点分别为，，且为抛物线（）的焦点．设抛物线与在第二象限的交点为，若，则椭圆的离心率为（     ） A． B． C． D． 38．（多选）已知的顶点均在抛物线 上，且的重心为抛物线的焦点.若，则（ ） A． B．的周长小于72 C．的三个顶点到轴的距离之和为72 D．上一动点到直线的距离的最小值为 39．（多选）已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，则下列说法正确的是（   ） A．若，则点的坐标为 B．当的倾斜角为时， C． D．以为直径的圆与直线相切 40．已知抛物线的焦点为，准线交轴于点，过的直线与抛物线交于A，B两点，且B在线段AD上，点P为点A在准线上的射影．若共线，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型五 抛物线对称性的应用 41．一动点P到定点的距离与到定直线的距离之和为5.若点P的轨迹上恰有三对不同的点关于定点对称，则m的取值范围为_______. 42．已知抛物线：与圆：（）交于，两点，且，则_______. 43．已知四条抛物线，，，相邻两条都相切，则它们围成的封闭图形面积为______． 44．已知曲线，点，，第一象限内的点及第三象限内的点都在上，且直线与直线关于轴对称，若，则（     ） A． B． C． D． 45．已知圆与抛物线交于两点．若，则的值为（   ） A．6 B．12 C． D． 46．有公共焦点的抛物线与椭圆相交于两点，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 47．已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，若，则（    ） A． B． C． D． 48．正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线的图象上，则这个正三角形的边长为（   ） A． B．3 C． D．6 49．平面直角坐标系中，抛物线：上的点到的最小距离为. (1)求抛物线的方程； (2)过点不垂直于坐标轴的直线与交于，两点，记点关于轴的对称点为. （i）证明：直线过定点； （ii）记的外接圆圆心为，求直线斜率的取值范围. 50．（多选）已知抛物线与圆交于两点，圆与轴的负半轴交于点为坐标原点，则（    ） A． B．存在，使得 C．若为等边三角形，则 D．直线与抛物线相切 题型六 根据抛物线的对称性求相关的参数 51．设圆：，（）与曲线交于，，，四点，若四边形为正方形，则（   ） A． B． C． D． 52．已知圆与抛物线交于两点，为的焦点，若，则的值为__________. 53．若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，设为抛物线与椭圆的两个交点，且抛物线在点的切线过椭圆的左焦点，则椭圆的离心率为______． 54．抛物线具有一条重要的光学性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴.已知从抛物线的焦点发出的入射光线过点，则经过抛物线上一点反射后的反射光线所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 55．抛物线有一个重要的性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴，此时反射面为抛物线在该点处的切线.过抛物线上的一点（异于原点）作的切线，过作的平行线交（为的焦点）于点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 56．已知抛物线和圆的公共弦过抛物线的焦点，且弦长为． (1)求抛物线和圆的方程； (2)过点的直线与抛物线相交于两点，抛物线在点处的切线与轴的交点为，求面积的最小值． 57．已知边长为的等边三角形的一个顶点位于原点O，另外两个顶点A，B在抛物线上，则__________． 58．已知一条曲线在轴右侧，上的任意点到点的距离减去它到轴的距离的差都是1． (1)求曲线的方程； (2)若曲线上总存在不同两点关于直线对称，求实数的取值范围． 59．已知是抛物线上的两个点，O为坐标原点，若且的垂心恰是抛物线的焦点，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 60．已知抛物线的焦点为F，点A，B在抛物线上．若，则当取得最大值时，___________． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 抛物线轨迹·点点距离及最值·和差最值·对称性六大典型问题 题型一 利用定义求动点轨迹 题型二 抛物线上的点到定点的距离及最值 题型三 抛物线上的点到定点和焦点距离的和差最值 题型四 抛物线的焦半径公式 题型五 抛物线对称性的应用 题型六 根据抛物线的对称性求相关的参数 题型一 直线与圆中的定点定值问题 1． 【详解】设，则， 过点作圆的切点弦方程为， 联立，得， 当时，即，无论如何变化， 恒等于0，所以直线过定点.    2． 【详解】圆的圆心为，设， 则以为直径的圆的方程为， 即， 又圆，代入上式可得，即 即，令，解得， 所以直线经过定点． 3．(1) (2) (3)证明:当斜率不存在时，于圆C相切，不合题意； 如图，直线的斜率必定存在，且不为0， 设其方程为，即， 由，解得，即． 因为为PQ的中点，所以直线CM与垂直，则直线CM的方程为， 由，解得，即． 因此， 所以为定值． 【详解】（1）设圆心，由圆心在直线上及点和点都在圆上， 得，即， 解得，即，圆的半径， 所以圆的方程为． （2）设圆心到直线的距离为， 则， 因为直线与圆交于两点，所以． 所以， 由于，则，因此， 所以的面积的取值范围为． （3）略. 4．(1) (2)和 (3)定值， 【详解】（1）过点斜率为的直线方程为， 圆心到该直线的距离为， 所以该直线被圆截得的弦长为. （2）圆的圆心为，半径为2， 若过点的直线垂直于轴，则方程为，显然与圆相切，符合题意； 若过点的直线不垂直于轴，设直线的斜率与， 则直线方程为，即， 因为直线与圆相切， 所以圆心到直线的距离，解得， 所以切线方程为； 综上所述，切线方程为和. （3）由题意知点，显然直线的斜率存在，设直线方程为， 联立，得， 设，则， 且， 所以 ， 所以是定值，定值为． 5．ACD 6．(1) (2)直线经过定点，该定点的坐标为 【详解】（1）设圆W的方程为， 则，解得 则圆W的方程为． （2）若直线的斜率不存在，则设直线的方程为， 则，整理得． 又，解得，所以直线的方程为，此时经过点，不符合题意． 若直线的斜率存在，则设直线的方程为， 联立方程组，整理得， 则． ， 则， 整理得， 解得或． 当时，直线的方程为， 此时直线经过点，不符合题意，故舍去． 所以， 故直线的方程为，即，经过定点． 综上所述，直线经过定点，且该定点的坐标为．        7． 【详解】圆化成标准形式为圆， 圆心，半径， 直线过定点，并在圆内， 最短时，点为弦的中点，即时， 所以. 故答案为：. 8．(1)； (2)设，．由题意得直线l的方程为， 由，得， ∴， ∴， ∴， . 即为定值0． 【详解】（1）解：设圆C的方程为， ∴，解得， ∴圆C的方程为，其标准方程为． （2）略 9．C 10．(1) (2)存在；P（2，0） 【详解】（1）（1）设M（a，b）． 则． 解得． 所以该圆的半径为3，． 所以圆M的方程为； （2）设OA所在直线方程为， 联立 得， 同理把k换做－，可得 所以AB所在直线方程为）． 当时，可得， 故直线AB过定点C（4，0）． 由于OC为定值，且△ODC为直角三角形，OC为斜边， 所以OC中点P满足为定值， 由于O（0，0），C（4，0），故由中点坐标公式可得P（2，0）， 故存在点P（2，0），使得|DP|为定值． 题型二 过圆上一点的切线方程 11．D 12．D 13．D 14．(1)5；(2). 【详解】（1）因为圆的方程为， 即为， 所以圆的半径为5； （2）显然切线不垂直于轴，设直线的方程为， 为圆心到直线的距离， 则有， 又因为线与圆相切， 所以， 即， 解得：， 所以切线的方程为， 即. 15．(1)(2). 【详解】（1）设圆心为，半径为，由， 得，得， 所以点坐标为，圆半径， 所以圆的标准方程为：. （2）由，知点在圆上， 由且，，知， 所以过的圆切线方程为：. 16．C 17．BD 18．BCD 19．（1） ；（2） ；切线方程为或． 【详解】（1）由题意，知点在圆外， 又圆心，半径， 所以，解得或． 故实数的取值范围是． （2）由题意知点在圆上， 所以，解得． 当时，点为，所以，， 此时切线方程为，即； 当时，点为，所以，． 此时切线方程为，即． 综上，所求切线方程为或． 20．B 题型三 过圆外一点的切线方程 21．A 22．(1)相交，弦长为(2)或 【详解】（1）圆：化为标准方程为， 圆心坐标为，半径为， 圆心到直线的距离为， 所以，所以直线与圆相交； 直线被圆所截得的弦长为； （2）当直线斜率不存在时，直线方程为， 圆心到直线的距离等于半径，所以直线与圆相切， 当直线斜率存在时，设直线方程为，即， 圆心到直线的距离为， 解得， 所以直线方程为， 综上，切线方程为或. 23．(1)(2)或 【详解】（1）设，则， 故， 化简整理得， 故曲线的标准方程为； （2）曲线是以为圆心，1为半径的圆， 当过点的直线斜率不存在时，直线方程为， 此时到的距离为1，故与圆相切，满足要求， 当过点的直线斜率存在时，设切线方程为，即， 圆心到的距离， 解得，故切线方程为，即， 综上，过点且与曲线相切的直线方程为或. 24．A 25．或 【详解】解：由题意知圆心的坐标为，半径， 当过点的直线的斜率不存在时，方程为． 由圆心到直线的距离知，此时，直线与圆相切． 当过点的直线的斜率存在时，设方程为， 即．由题意知， 解得，∴方程为． 故过点的圆的切线方程为或． 26．(1)(2)或. 【详解】（1）设圆的标准方程为， 因为圆经过和点，且圆心在直线上， 所以 ，解得： ， 所以圆的标准方程为. （2）当直线的斜率不存在时，，此时圆心到直线的距离为5，等于半径，故满足题意； 当直线的斜率存在时，设，即， 则点到直线的距离为圆的半径， 即，解得，此时. 综上，直线l的方程为或. 27．B 28．或 【详解】由已知，圆可化为：， 直线l过点， ①当直线l的斜率不存在时，此时直线方程为：， 所以圆心到直线的距离， 此时直线l与圆不相切，所以不成立； ②当直线l的斜率存在时，设直线方程为：， 要使直线与圆相切，需满足圆心到直线的距离等于圆的半径， 即，解得：或， 所以直线l的方程为：或. 故答案为：或. 29．(1)x2+y2﹣2x﹣3＝0；(2)y＝2或4x﹣3y+6＝0． 【详解】（1）根据题意，设圆心C的坐标为（1，t）， 则有1+（t﹣）2＝0+（t﹣2）2， 解可得t＝0， 即圆心的坐标为（1，0）， 圆的半径r＝＝2， 则圆的方程为（x﹣1）2+y2＝4，即x2+y2﹣2x﹣3＝0； （2）根据题意，圆的方程为（x﹣1）2+y2＝4， 过点P（0，2）作圆的切线，斜率必定存在，设切线的斜率为k， 则切线的方程为y＝kx+2，即kx﹣y+2＝0； 则有d＝＝2，解可得k＝0或； 故切线的方程为y＝2或4x﹣3y+6＝0． 30．或. 【详解】已知圆圆心坐标为，半径为，易知直线是圆的切线， 当切线斜率存在时，设切线方程为，即， 由，解得，切线方程为，即． 故答案为或． 题型四 已知圆的弦长求直线或参数 31．(1)(2) 【详解】（1）因为直线是圆的一条对称轴， 所以直线过圆的圆心（圆是轴对称图形，直径所在直线都是对称轴）， 将代入直线的方程，得，解得． （2）直线，即，则直线恒过定点． 因为，所以定点在圆内部，所以直线与圆恒相交． 若选①． 如图1，设直线与圆交于两点，连接，则． 过点作于点，则， 所以，即点到直线AB的距离． 由，得， 所以直线的方程为．    若选②． 设定点为点，则直线与垂直时，直线被圆截得的弦长最短（如图2）， 此时，故， 直线的方程为．    32．(1)(2) 【详解】（1） 如图，设圆与轴交于两点，则， 过点作于点，连接，则， ∴，即圆半径为， ∴圆标准方程为，化为一般方程为， ∴. （2） 如图，连接. 由题意得，，与全等， ∴， 当取最小值时，四边形的面积有最小值， 的最小值为点到直线的距离，即， ∴四边形的面积的最小值为. 33．(1)(2)或 【详解】（1）由圆C关于y轴对称知：圆心C在y轴上，故设圆心；   ∴设圆的标准方程为，   则解得： 故圆C的标准方程为； （2）∵  ∴圆心C到直线l的距离为；   当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，此时，圆心C到直线l的距离为，满足题意；     当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为， 即     则圆心C到直线l的距离， 解得     此时直线l的方程为，即；     综上所述：直线l的方程为或． 34．C 35．(1)(2)或 【详解】（1）圆C：化为标准方程为，则圆C的圆心为. 又弦AB最长时，直线l过点和，所以直线l的方程为， 即. （2）当直线斜率存在时，设直线的方程为，即， 弦长为时，由圆的半径为3，由垂径定理和勾股定理得， 圆心到直线距离为，即，解得， 此时直线l的方程为， 经检验k不存在时的直线也符合条件. 所以直线l的方程为或. 36．(1)(2)或 【详解】（1）因为圆的圆心为，且过点， 所以半径， 所以圆的标准方程为 （2）设圆心到直线的距离为，因为， 所以，解得， 所以，由圆心到直线距离公式可得， 解得或． 37．(1)(2)或. 【详解】（1），的中点为，故的垂直平分线为， 即，，解得，故圆心为， 半径，故圆方程为. （2）当直线斜率不存在时，此时，满足条件，直线方程为； 当直线斜率存在时，设直线方程为，即， ，故圆心到直线的距离为，解得， 故直线方程为，即. 综上所述：直线的方程为或. 38．(1)(2) 【详解】（1）当直线的斜率不存在时，直线方程是，经过圆的圆心，所以直线与圆不相切，所以不成立， 当直线的斜率存在时，设直线，因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离，解得：， 所以直线的方程是； （2）由（1）知当直线的斜率不存在时，直线经过圆的圆心，不满足条件， 所以设直线，由条件可知是等边三角形，圆心到直线的距离，即，解得：， 所以直线的方程是. 39．C 40．(1)(2)或 【详解】（1）解：由圆，可得圆心坐标为，半径为， 因为直线过点，且圆上任意一点关于直线的对称点也在圆上， 可得直线经过圆的圆心，所以直线斜率为， 所以直线的方程为，整理得. （2）解：由及圆的半径为，可得，圆心C到直线的距离为, 设直线的斜率为m，则直线的方程为， 圆心C到直线的距离，解得或， 所以直线的方程为或． 题型五 过圆内定点的弦长最值 41． 【详解】将直线，化为， 令，解得，所以直线过定点， 又圆的标准方程为，则圆心为， 由，则点在圆内， 故当时，圆心到直线的距离取得最大值，此时直线被圆截得的弦长最短， 则，解得． 故答案为：． 42．D 43．ACD 44．A 45． 【详解】解：将圆方程整理为，得圆心，半径， 将直线方程整理为，得直线恒过定点，且在圆内， 最长弦为过的圆的直径，即，最短弦为过，且与最长弦垂直的弦， ，， 直线方程为，即， 圆心到直线的距离为， ， 四边形的面积， 故答案为：. 46．ABD 47．A 48．BD 49．（1）过定点，定点为；（2）. 【详解】解：（1）由直线，得， 联立，解得， 则直线过定点； （2）由圆，得， 则圆的圆心坐标为， 要使圆截直线所得弦长最小，则， ，直线的斜率. 50． ； . 【详解】依题意设圆的方程为（）， 由可得，则， 所以圆的方程为. 显然，直线恒过圆内一定点，易得当直线与垂直时被圆截得的弦长最短. 因为的斜率为，所以，直线的斜率为. 故答案为：① ；② . 题型六 圆上点到定直线的最值问题 51．(1)最大值为，最小值为 (2)最大值为，最小值为． 【详解】（1）由题意，圆心为，半径， 则圆心到直线的距离为． 点到直线的距离的最大值为，最小值为． （2）方法一：设，则直线与圆有公共点， ，解得， 则，即的最大值为，最小值为． 方法二：设，则， 其中，则， 即的最大值为，最小值为． 52．B 53．ABD 54．ACD 55．AB 56．D 57．(1)；(2). 【详解】（1）由，，可得的垂直平分线为， 又点、点均在圆C上，圆C的圆心在直线上， 由，可得，即圆心， 又， 所以圆的方程为； （2）由（1）得，圆的圆心为，半径， 所以四边形的面积为， 所以当最小时，最小， 又到直线的距离为， 即的最小值为， 所以四边形面积的最小值为. 58．ACD 59．BCD 60．ABD 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $