重难点专题06 与抛物线的焦点有关的性质题型（专项训练）数学苏教版2019高二选择性必修第一册

重难点专题06 与抛物线焦点有关的性质题型 重难点一与抛物线有关的最值问题 核心方法：利用抛物线定义（抛物线上点到焦点距离 = 到准线距离）转化线段，结合三角形不等式、基本不等式或几何图形性质（如共线时取最值）求解。 1.设抛物线的顶点为坐标原点，焦点的坐标为若该抛物线上两点，的横坐标之和为，则弦的长的最大值为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题主要考查抛物线的弦长的计算及抛物线的定义的应用． 设出、的坐标，根据抛物线的定义，结合三角形的边长关系即可得到结论． 【解答】 解：抛物线的顶点坐标为原点，焦点的坐标为， 则抛物线方程为，且，故， 设，， 则，， ， 当且仅当经过点时取等号． 故选A． 2.已知点，是抛物线上上不同的两点，为抛物线的焦点，且满足，弦的中点到直线的距离记为，若不等式恒成立，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查抛物线的几何性质，余弦定理和基本不等式的运用，考查转化思想，属中档题． 求得抛物线的焦点和准线方程，设，，由，运用余弦定理可得，运用抛物线的定义和中位线定理可得，运用基本不等式计算即可得到所求最小值． 【解答】 解：抛物线的焦点，准线为， 设，，由， 可得， 由抛物线的定义可得到准线的距离为，到准线的距离为， 由梯形的中位线定理可得， 由， 可得． ，当且仅当时，等号成立． 故选：． 3.抛物线的焦点为，点、在抛物线上，且，弦的中点在其准线上的射影为，则的最大值为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题主要考查对抛物线定义的应用和余弦定理的应用．训练了基本不等式的用法，考查了学生综合分析问题和解决问题的能力． 设，，由抛物线定义得再由余弦定理得，结合基本不等式求得的范围，即可得的最大值． 【解答】 解：如图， 设，，由抛物线定义，得． 在中，由余弦定理，得， ，，由基本不等式得：， ， ． 即， ． ． 的最大值为． 故选D． 4.已知抛物线的焦点和点为抛物线上一点，则的最小值是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，根据抛物线的定义进行转化是解题的关键，属于基础题． 根据抛物线的标准方程，求出焦点坐标和准线方程，利用抛物线的定义可，故到准线的距离为所求． 【解答】 解：抛物线的焦点，准线方程为． 设到准线的距离为，即垂直于准线，为垂足， 则，当且仅当、、共线时取等号， 故选B． 5.已知是抛物线上一点，为其焦点，为圆的圆心，是圆上任意一点，的最小值为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查了抛物线的定义以及圆有关的最值问题，是中档题． 求出抛物线的准线方程，问题求的最小值，结合抛物线的定义，就转化为的最小值，结合圆有关的最值问题即可求解． 【解答】 解：设抛物线的准线方程为：， 为圆的圆心， 所以的坐标为，过作的垂线，垂足为， 根据抛物线的定义可知， 所以问题求的最小值， 就转化为求的最小值， 由平面几何的知识可知，当，，，在一条直线上时， 此时，有最小值， 最小值为， 所以，的最小值为：． 故选：． 6.已知为抛物线的焦点，为抛物线上的动点，点则最大值的为 (    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题主要考查抛物线中的最值问题，属于拔高题． 【解答】 解：点的坐标为，则， 因为是抛物线的焦点，由抛物线的性质， 点到点的距离等于点到直线的距离， 即， 所以 ，当时， 取到最小值， 而取到最大值． 7.已知点在抛物线上，点，为该抛物线的焦点，则周长的最小值为 A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查与抛物线定义有关的最值问题，属于中档题． 求抛物线上一点到抛物线内一点的距离与到焦点的距离的和，利用抛物线的定义转化为抛物线上的点到已知点的距离与到准线距离的和，当垂足、抛物线内的点、抛物线上的点三点共线时，距离和最小，即为抛物线内的点到准线的距离，据此即可得出答案． 【解答】 解：抛物线的焦点，准线：，在抛物线上，当时，， 故点在抛物线内部，． 是抛物线上的动点，作交于，由抛物线的定义可知． 要求取得最小值，即求取得最小， 当，，三点共线时最小，为，则． 周长的最小值为：． 故选B． 8.已知抛物线的焦点为，点，在抛物线上，且满足，设弦的中点到轴的距离为，则的最小值为            ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查与抛物线定义有关的最值问题，利用余弦定理解三角形，抛物线的定义，由基本不等式求最值，属于中档题． 设，，又因为，则根据余弦定理可得，从而由基本不等式可得，再结合抛物线的几何性质及梯形中位线的性质可得，从而可得，从而得解． 【解答】 解：抛物线方程为，准线方程为， 设，，， 则根据余弦定理可得， ， 当且仅当时，等号成立， ， 如图，分别过，，作抛物线的准线的垂线， 垂足点分别为，，，为的中点， 则根据抛物线的性质可得： ，， ，将其代入中可得：， 的最小值为， 故答案为：． 9.设抛物线：的焦点为，为抛物线上一点，，则的最小值为          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查抛物线的定义，属于中档题． 过点做准线的垂线，垂足为，则根据抛物线的定义可知进而把问题转化为求取最小值，所以当，，在同一直线上时最小，答案可得． 【解答】 解：抛物线：的准线， 由在抛物线内部，为抛物线上任意一点，过点做准线的垂线，垂足为， 根据抛物线定义可知， 当，，在同一直线上时最小 ，即最小，最小值为， 故答案为：． 10.已知是抛物线的焦点，为抛物线上的动点，且点的坐标为，则的最小值是          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查与抛物线定义有关的最值问题，属于中档题． 设点的坐标为，求得，，则，求最小值． 【解答】 解：设，由，得，， ， 设，， ， 当时，最大值为， 的最小值为， 故答案为． 11.已知抛物线的焦点为，点为上可相互重合的点，且，则的取值范围是          ，的最小值是          ． 【答案】   【解析】【分析】 本题考查了与抛物线定义有关的最值问题，基本不等式，向量线性运算的坐标表示，属于中档题． 利用焦半径公式表示，进而利用抛物线上点的范围求解第一空，利用焦半径公式结合基本不等式求解第二空即可． 【解答】 解：第一空，如图，设，，，，   故，，， 而，故， 可得，，即有 由基本不等式可得，当且仅当时， 所以， 所以，所以； 第二空，，故， 而，故， 即， 又，当且仅当时等号成立， 故， 即，， 故得的最小值为． 故答案为：；． 重难点二弦长问题 核心方法：1. 联立直线与抛物线方程，用韦达定理得；2. 焦点弦用公式；3.普通弦用弦长公式 1.已知一抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且它的焦点是椭圆的右顶点，经过点且倾斜角为的直线交抛物线于，两点，则弦的长度为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查抛物线中的弦长问题，属于中档题． 首先由题意得到抛物线方程为，联立直线方程与抛物线，利用焦点弦长公式得到所求． 【解答】 解：因为椭圆的右顶点为，即抛物线的焦点为， 所以抛物线方程为， 设，， 直线的方程为，与抛物线方程联立得， 所以， 所以弦长 故选D． 2.过抛物线的焦点作倾斜角为的直线交抛物线于、两点，则弦的长为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题以抛物线为载体，考查了圆锥曲线的弦长问题，本题运用了直线方程与抛物线方程联立求解的方法，属于中档题． 由题意得到直线的方程：， 方法一：将直线方程代入到抛物线方程中，利用一元二次方程根与系数的关系和弦长公式即可求解． 方法二：将直线方程代入到抛物线方程中，利用抛物线性质求解． 【解答】 解：根据抛物线，即，焦点坐标， 直线的斜率为， 由直线的点斜式方程得直线的方程：， 方法一：将直线方程代入到抛物线方程中得，，， 设，， 则，， 则弦长． 方法二：将直线方程代入到抛物线方程中得 ，，， 设，， 则，． 直线过焦点， ． 故本题选A． 3.已知是抛物线的一条焦点弦，，则中点的横坐标是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查抛物线的焦点弦以及抛物线定义的应用，属于基础题． 根据题意，结合抛物线定义进行求解即可． 【解答】 解：设，的横坐标为，则， 因为是抛物线的一条焦点弦，根据抛物线定义可得 ， 所以， 故， 故选B． 4.过抛物线的焦点作互相垂直的弦，，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查抛物线的几何性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查运算求解能力，属于中档题． 由抛物线方程求得焦点坐标，分别设出、所在直线方程，与抛物线方程联立，利用根与系数的关系与抛物线性质求得、，然后利用基本不等式求最值． 【解答】 解：抛物线的焦点， 易知直线的斜率存在且不为， 设直线的方程为：，则直线的方程为， 设，，，， 联立，得， ， 同理可得， ， 当且仅当，即时取等号， 的最小值为． 故选B． 5.已知点是抛物线的焦点，，是经过点的弦且，直线的斜率为，且，，两点在轴 上方，则下列结论中一定成立的是(    ) A. B. 若，则 C. D. 四边形面积的最小值为 【答案】AC  【解析】【分析】 本题考查直线与抛物线的位置关系和抛物线的弦长问题，是中档题 【解答】 解：因为直线的斜率为，，所以设，，由抛物线的定义可得焦点为 ，则直线的方程为由可得，则，，所以，同理可得， 则有，故A正确若，则，则，解得，故B错误．，与无关，同理， 故，故C正确因为，所以四边形的面积，当且仅当，即时，等号成立，故D错误故选AC． 6.已知为抛物线的焦点，直线与交于，两点，弦中点的横坐标为，，则(    ) A. 的斜率为 B. 在轴上的截距为 C. 弦中点的纵坐标为 D. 【答案】ACD  【解析】【分析】 本题考查直线与抛物线的位置关系，考查弦长公式，属于中档题． 易得的斜率存在，设，，，与抛物线联立，结合韦达定理及弦长公式计算判断各选项． 【解答】 解：易得的斜率存在，设，，， 由得，则 由，得． 由， 得， 所以，弦中点的纵坐标为， ． 7.设抛物线的焦点为，准线为，弦过点且中点为，过点，分别作的垂线交于点，，若，则          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查抛物线的定义，抛物线中的弦长问题，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题． 作于，作于，令准线与轴交点为，交准线于，设，利用抛物线的定义以及结合平面几何知识，求得和的长，由此求得． 【解答】 解：如图，作于，作于， 令准线与轴交点为，交准线于． 设，则，， ，， 则，， ，，， ， ， ， 则． 故答案为：． 重难点三与抛物线有关的定值定点定直线问题 核心方法：1. 设直线方程（过焦点设为，避免斜率不存在讨论）；2. 联立方程得韦达定理关系；3. 代入向量、斜率、距离等条件，化简消参，验证定值或推导定点/定直线。 1.已知是抛物线上的两动点，是抛物线的焦点，下列说法正确的是(    ) A. 直线过焦点时，以为直径的圆与的准线相切 B. 直线过焦点时，的最小值为 C. 若坐标原点为，且，则直线过定点 D. 若直线过焦点中点为，过向抛物线的准线作垂线，垂足为，则直线与抛物线相切 【答案】ABD  【解析】【分析】 本题考查直线与圆的位置关系的判断及求参，抛物线中的定点、定值、定直线问题，属于较难题． 对于选项可用梯形中位线知识解题；对于选项可直接利用常见二级结论抛物线焦点弦长公式解题；对于选项先设直线，然后直曲联立再用韦达定理即可． 【解答】 解：设线段的中点为，过点分别作抛物线准线的垂线并交于点，如下图所示： 根据抛物线的 定义， 在梯形中，为它的中位线，由平面几何知识可知： 所以圆心到准线的距离， 所以，所以 A正确． 过焦点时，设直线的的斜率为，显然，则 直线方程为，与联立得， 当斜率不存在时，故 B正确． 设直线，，． 联立得，即， 除以得，则，即． 代入，所以过定点． 即直线过定点，故 C错误． 设，过点的直线， 与联立，，即． 因为直线与抛物线相切，所以，得． 由得． 因为抛物线过焦点，所以，从而， 即与抛物线相切D正确． 2.已知斜率为的直线交抛物线于、两点，下列说法正确的是(    ) A. 为定值 B. 线段的中点在一条定直线上 C. 为定值为坐标原点，、分别为直线、的斜率 D. 为定值为抛物线的焦点 【答案】BC  【解析】【分析】 本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，考查圆锥曲线的定值问题，属于中档题． 设直线的方程为，将直线的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理可判断选项；求出线段中点的纵坐标，可判断选项；利用斜率公式结合韦达定理可判断选项；利用抛物线的焦半径公式可判断选项． 【解答】 解：设直线为，联立方程 消去得，根据韦达定理得 则，， 故的值受影响，故A错误 设中点坐标为，则，故中点必在直线上，故B正确 ，故C正确； ，不为定值，故D错误． 故选：． 3.已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且；直线过点且与抛物线交于，两点与不重合，记直线、的斜率为，． Ⅰ求抛物线的方程； Ⅱ试问是否为定值？并说明理由． 【答案】解：Ⅰ根据抛物线的性质， 由， ：； Ⅱ设，， 则：  ， 又过点  ， ，又， ． 所以为定值．  【解析】本题考查了抛物线的性质，圆锥曲线中的定点与定值问题，涉及直线的斜率计算． Ⅰ由，得：； Ⅱ设，，则：  ，利用两点式得直线，再代入点，可得，在代入斜率公式化简可得． 4已知抛物线：的焦点为，点在上，且为坐标原点． 求抛物线的标准方程； 过点的直线与抛物线交于点，两点，若为定值，求实数的值． 【答案】解：已知点  在  上，且  ，  ， 则点  在线段  的中垂线上，即  ， 把点  代入抛物线  的方程  ，则  ，  ， 解得  ，所以抛物线  的标准方程为  ． 设过  的直线为  ，  ，  联立  ，得  ， 则  ，即  ， 且  ，  所以  因为  为定值， 所以  ，  ，解得  或  舍去 当  ，  时  ， 所以当  为定值时，  ．   【解析】本题考查抛物线的方程与性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题． 由  先表示出点坐标，代入抛物线  的方程求  ，得出抛物线  的标准方程； 设过  的直线为  ，与抛物线  的方程联立，得出根与系数关系及判别式大于零，代入  为定值，求出实数  的值． 5.已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线交抛物线于，两点，直线分别交抛物线于点 求的值； 记直线的斜率为，证明：为定值． 【答案】解：由已知，直线的方程为，其中， 由得， ，； 设， 则， 由知，，则， ， 设直线的方程为， 由得， ，， 同理，， ． 即为定值．  【解析】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，直线的斜率公式，圆锥曲线中的定值问题，属于中档题． 直线的方程为，其中，与抛物线方程联立，结合韦达定理可得，； 设，根据斜率公式及抛物线方程，由可知，设直线的方程为，与抛物线方程联立可得，由韦达定理，同理，代入化简可得为定值． 6.已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，，且． 求抛物线的标准方程； 过点作直线，分别交抛物线于，两点，若直线，的倾斜角互补，判断直线的斜率是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由． 【答案】解：由题得，则，， 因为，所以， 因为点在抛物线上，所以，即 联立得，解得或舍去， 所以抛物线的标准方程为 由题知直线，的斜率均存在，且不为零，且两直线的斜率互为相反数， 设，，直线：， 由得， 则， 又点在抛物线上，所以，同理得． 则，， ， 所以， 故直线的斜率为定值．  【解析】本题考查抛物线标准方程的求解及定义的应用，同时考查直线与抛物线的位置关系及圆锥曲线中定值问题． 由抛物线的定义得，由两点间的距离公式得，然后由得，的一个方程，再由在抛物线上，得，的另一方程，解方程组求出的值即可求解 设的方程，，联立与抛物线的方程得，求出的模坐标，同理求出的模坐标，然后利用斜率公式求解即可． 7.已知点为抛物线的焦点，点，过点作直线与抛物线顺次交于两点，过点作斜率为的直线与抛物线的另一个交点为点． 求抛物线的标准方程； 求证：直线过定点． 【答案】解：焦点，，， 抛物线的标准方程为 显然直线斜率存在，设的方程为， 由，化简得：，，， 设，，则，， 直线的方程为， 由化简得：，， 设则 由得， 若直线没有斜率，则，又，，， 的方程为． 若直线有斜率，为， 直线的方程为，即， 将代入得，， 故直线有斜率时过点．  【解析】本题考查抛物线的标准方程、抛物线中的定点、定值、定直线问题、直线与抛物线位置关系及其应用，属于中档题． 由求得参数得抛物线方程 设的方程为，设，，直线方程代入抛物线方程整理后，应用韦达定理得，，得，直线方程代入抛物线方程，应用韦达定理并结合前者得，然后按直线斜率是否存在分类求得直线方程，利用得定点坐标． 8已知抛物线的焦点为，为原点，第一象限内的点在上，，且的面积为． 求的方程； 若，是上与不重合的两动点，且，求证：直线过定点． 【答案】解：由题可得，由，可得的横坐标为， 因为点在第一象限内，则， 所以，解得：， 所以抛物线方程为； 由可得：，， 显然直线的斜率不为，设直线的方程为：，，， 所以， 联立方程，可得：， 所以，即，，， 因为， 所以 ， 化简得：， 则， 所以， 解得：，或， 当时，即， 且， 所以， 所以直线过定点为， 当时，即， 且， 所以， 所以直线过定点为，与点重合，不满足题意，舍去； 综上：直线过定点为．   【解析】本题考查椭圆方程的应用，属于中档题． 根据，可得，由面积公式即可求出，从而得到抛物线方程； 设直线的方程为：，，，联立方程结合韦达定理可得，， 由，利用向量关系化简可得：，从而得到，的关系，即可证明． 求解直线过定点问题常用方法如下： “特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； “一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； 求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式或横截式来证明． 9.已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于，两点，且． 求抛物线的方程； 设过点且互相垂直的两条直线与抛物线分别交于点，，证明：直线过定点． 【答案】解：拋物线的焦点， 则直线的方程为：， 由消去并整理得， ，显然， 设， 则， 因此，解得， 所以抛物线的方程为：； 证明：显然直线不垂直于轴， 设直线的方程为， 点， 由，消去得 ， 当时，， 由，得 ， 显然，因此，满足， 则直线：，过定点， 所以直线过定点．   【解析】本题考查抛物线的标准方程，抛物线中的定点问题，属于中档题． 写出直线的方程，与抛物线方程联立，利用抛物线焦点弦公式即可求得，从而可得该抛物线的方程； 设直线的方程为，与抛物线方程联立，根据韦达定理及平面向量数量积公式可求得的值，从而可得结果． 10已知抛物线上一点到其焦点的距离为，，为抛物线上异于原点的两点延长，分别交抛物线于点，，直线，相交于点． 若，求四边形面积的最小值 证明：点在定直线上． 【答案】 解：由抛物线定义可知，，解得，即抛物线方程为       由题意，设，，直线的方程， 由消去得，恒成立． 由韦达定理可知：，， 故． 因为，所以直线的方程为，于是， 则， 当且仅当即时等号成立，故四边形面积的最小值为．  设，，，因为，，，都在上，所以 因为，，三点共线，所以有即整理得： 同理，因为，，三点共线，可得 则解得： 由可知，，  代入上式可得：得 故点在定直线上．  【解析】本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于难题． 重难点四直线与抛物线的位置关系 核心方法：1. 联立方程得一元二次方程，用判别式判断交点个数；2. 结合韦达定理、抛物线定义、向量数量积等分析斜率、距离、垂直关系；3.中垂线、切线问题可利用导数或点差法。 1.已知抛物线，过焦点的直线交抛物线于，两点，的中垂线交轴于点，若，则抛物线的方程为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查直线与抛物线的位置关系，属于拔高题． 设的方程，与抛物线联立，得中垂线的方程，进而得的坐标，结合已知求解即可． 【解答】 解： 由已知设的方程为，，， 联立，得， 所以，， 所以， 的中点， 所以的中垂线方程为， 令，得， 又，所以， 解得， 所以抛物线的方程为． 故选D． 2.已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，直线过其焦点且与交于两点，若直线的斜率为，则(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查直线与抛物线位置关系及其应用，属于中档题． 作图利用斜率求角的正切值，结合抛物线的几何性质，来解直角三角形求一条焦半径，再利用抛物线的两焦半径的倒数和为定值，从而去求另一条焦半径，最后求得弦长． 【解答】 解：如图作垂直于准线，垂足为，   设， 由直线的斜率为得：， 则， 根据勾股定理得：， 即， 化简得：， 解得， 再设过焦点的直线为与抛物线联立消元得：， 设交点， 则， 而， 当时，解得，此时， 当时，解得，此时． 故选：． 3.已知抛物线，过焦点的直线与抛物线交于两点点在第一象限，，则(    ) A. B. C. 最小值为 D. 当直线的倾斜角为时，与面积之比为 【答案】BCD  【解析】【分析】 本题考查直线与抛物线的位置关系及其应用，抛物线中的面积问题，属于中档题． 由抛物线的几何性质，即可判断；联立直线方程与抛物线方程，由焦半径和焦点弦长公式，结合韦达定理，即可判断；联立直线方程与抛物线方程，求点的坐标，即可判断． 【解答】 解：由题意可知，，所以，故A错误； 当直线的斜率存在时，设直线，， 联立，得， 则，， ， 当直线的斜率不存在时，，此时，故B正确； 直线的斜率存在时，， 当直线的斜率不存在时，，所以最小值为，故C正确； 当直线的倾斜角为时，设直线， 联立，得，得或， 由题意可知，，， 所以，故D正确． 故选：． 4.已知点，为坐标原点，，为曲线上的两点，为其焦点下列说法正确的是(    ) A. 点的坐标为 B. 若为线段的中点，则直线的斜率为 C. 若直线过点，则的最小值为 D. 若直线过点，且是与的等比中项，则 【答案】BD  【解析】【分析】 本题考查抛物线的性质及几何意义，直线与抛物线的位置关系，圆锥曲线中的中点弦问题，属中档题． 对于，由抛物线性质即可判定；对于，设，则有，作差可得，再由中点关系即可解答，要注意的是得出直线的方程后必须进行根的检验，只有在直线和曲线有两个不同交点时结论才成立；对于，设直线为，，由直线和抛物线联立可得，由条件结合抛物线定义，，求解即可判定；对于，由结合韦达定理计算即可判定． 【解答】 解：对于，曲线即为，所以焦点的坐标为，故A错误； 对于，设，则有，作差可得，即，因为为线段的中点，所以，所以，此时直线为，即，代入可得，此方程有两个不同实根，故成立，故B正确； 对于，设直线为，，由，可得，则，且，，所以，又由抛物线定义可得，，因为是与的等比中项，所以，即，所以，所以，故D正确； 对于，由上述可知：，故C错误． 故选：． 5.已知抛物线的焦点在直线上，直线与抛物线交于点为坐标原点，则下列说法中正确的是(    ) A. B. 准线方程为 C. 以线段为直径的圆与的准线相切 D. 直线的斜率之积为定值 【答案】ACD  【解析】【分析】 本题考查抛物线的焦点、准线，直线与抛物线位置关系及其应用，抛物线的定义，属于中档题． 由直线过定点，得到，可判定 A正确；根据抛物线的几何性质，判定B错误；过点作准线的垂线，根据抛物线的定义得到，可判定 C正确；联立方程组，结合韦达定理，得到，求得，可判定 D正确． 【解答】 解：对于中，由直线，可化为，可得直线过定点， 因为抛物线的焦点在直线上，可得，则，所以 A正确； 对于中，由抛物线的准线方程为，所以 B错误； 对于中，过点作准线的垂线，垂足分别为，的中点为点， 过点作准线的垂线，垂足为，可得，所以 C正确； 对于中，设，联立方程组 整理得，可得，则， 所以D正确． 故选：  6.已知抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，以为圆心的圆经过原点，且与抛物线的准线相切，切点为，线段交抛物线于点，则          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查抛物线性质的应用及直线与抛物线的综合应用，属于中档题． 由抛物线的方程可得焦点坐标与准线方程，由题意，整理可得的值，求出的正切值，进而可得其余弦值，求出的余弦值，进而求出的值，再求的值． 【解答】 解：由抛物线的方程可得焦点，准线方程为：， 由题意可得， 则，解得，， 所以抛物线的方程为：， ，， 作垂直准线交于，则， ， 所以， 所以可得，即， 即． 故答案为． 7.斜率为的直线过抛物线：的焦点，且与抛物线相交于，两点，点在轴的上方，过点作抛物线的准线的垂线，垂足为，为坐标原点，则          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查直线与抛物线位置关系及其应用、抛物线的焦点、准线，属于中档题． 写出抛物线的焦点和准线，写出直线的方程与抛物线方程联立，求出点和点、点坐标，即可求出结果． 【解答】 解：抛物线：的焦点，准线为， 直线的方程为， 联立，得， 解得或， 因为点在轴的上方， 所以， 所以． 故答案为：． 8.过抛物线焦点且斜率为的直线与交于两点，若为的内角平分线，则面积最大值为          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查抛物线中的面积问题，直线与抛物线位置关系及其应用，属于中档题． 求出直线的方程，与抛物线方程联立求出点的坐标，由角平分线性质得，由此求出点的坐标满足的关系，进而求出点到直线距离的最大值即可得解． 【解答】 解：由抛物线方程知，，则直线， 联立，可得或 不妨令， 则，且， 由为的内角平分线， 则， 设，则， 整理得， 显然在圆心为，半径为的圆上，且直线过圆心， 故点到直线距离的最大值， 所以面积最大值为． 故答案为：． 9.已知抛物线，过的直线交抛物线于，两点，是坐标原点，． 求抛物线的方程 若点是抛物线的焦点，求的最小值． 【答案】解：由题意知，直线的斜率不为零，设直线的方程为：， 联立抛物线的方程得：， 恒成立， 设，，所以，． 又， 即，所以，即， 所以抛物线的方程为． 由知：，，， 所以 ， 当且仅当时取等号，所以的最小值为．   【解析】本题考查直线与抛物线的综合应用，考查向量的数量积，属于一般题． 设直线的方程为：，联立抛物线方程，利用韦达定理，结合求出，即可得抛物线方程 由求出，即可求的最小值． 10.已知直线与抛物线相交于、上两点，且与圆相切。 求直线在轴上截距的取值范围 设是抛物线的焦点，，求直线的方程。 【答案】解：设直线的方程为，的圆心为，半径为， 由直线与圆相切， 得 ，化简得， 直线的方程代入，消去，得， 由直线与抛物线相交于，两点，得，即， 将代入上式，得． 解得，或， 注意到，即，或，从而有，或； 设，，， 由得，， 所以 ， 将，代入上式， 由，得， 所以，即． 解得，或舍去． 故． 所以直线的方程为，或．  【解析】设直线的方程为，由直线与圆相切，可得 ，将直线的方程代入，消去，由直线与抛物线相交于，两点，得，即可求直线在轴上截距的取值范围； 由，结合韦达定理和已知条件，解方程，即可求直线的方程． 本题考查抛物线的标准方程，考查直线与抛物线的位置关系，直线与圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，正确运用韦达定理是关键． 11.设抛物线的焦点为，直线与抛物线交于不同的两点、，线段中点的横坐标为，且． 求抛物线的标准方程 若直线斜率存在经过焦点，求直线的方程． 【答案】解：抛物线：的焦点为， 设点，， 则线段中点的横坐标为， ， 又， ， 抛物线的方程为； 直线经过焦点， 故可设方程为，， 与抛物线方程联立，得 消去，得， ， 解得， 直线的方程为．  【解析】本题主要考查直线与抛物线位置关系及其应用，属于中档题． 根据中点坐标公式得到，再由焦半径公式得到，进而求得； 联立直线和抛物线，由韦达定理得到，进而求解． 12.设抛物线的焦点为，动直线交抛物线于，两点，当直线过焦点且的中点的横坐标为时． 求抛物线的方程； 已知点，当焦点为为的垂心时，求直线的方程． 【答案】解：设，，则中点的横坐标 ，可得，由抛物线定义有，解得， 可得抛物线方程为． 因为为的垂心，可得，又，，则  所以，设直线方程为，， 由，整理得，整理得， 故，可得，且，， 垂心性质知，有， 所以，即， 整理得， 由可得，整理有， 所以，解得，，经检验符合题意， 则直线方程为或．   【解析】本题考查抛物线的标准方程，考查直线与抛物线的关系及其应用，属于较难题． 由中点坐标公式、抛物线定义有，即可求参数，写出抛物线方程； 设，由垂心的性质有、，易得、，进而设直线方程为，联立抛物线得，向量数量积坐标表示有，应用韦达定理求参数，即可得直线方程． 13.如图，经过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，经过点和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点． 判断以为直径的圆与准线的位置关系，并说明理由； 求证：直线平行于抛物线的对称轴． 【答案】解：设线段中点为，到准线的距离为． 到准线的距离为． 则， 则以为直径的圆的半径为，圆心为， 为的中点，则到准线的距离为， 故以为直径的圆与准线相切． 证明：抛物线的标准方程为：，则焦点， 设， 直线的方程为：， 准线方程为，可得， 设直线的方程为：， 联立化为， ， ， ， 直线平行于抛物线的对称轴．  【解析】本题考查了抛物线的标准方程、直线与抛物线相交问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 设线段中点为，结合抛物线定义可知，到准线距离为，则以为直径的圆与准线相切； 抛物线的标准方程为：，设，，直线的方程为：，可得，设直线的方程为：，与抛物线的方程联立化为，利用根与系数的关系可得，则， 重难点五轨迹问题 核心方法：1. 设轨迹上点坐标，关联抛物线上点；2. 利用中点、向量、焦点弦性质等建的关系；3. 代入抛物线方程消参，化简得轨迹方程（注意定义域限制）。 1.抛物线经过焦点的弦的中点的轨迹方程是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题主要考查了抛物线的简单性质，属于中档题． 先根据抛物线方程求得焦点坐标，进而设出过焦点弦的直线方程，与抛物线方程联立消去，根据韦达定理表示出，进而求得焦点弦的中点的坐标的表达式，消去参数，则焦点弦的中点轨迹方程可得，注意检验斜率不存在的情况． 【解答】解：由题知抛物线焦点为， 设焦点弦所在直线的斜率存在时，设其方程为， 代入抛物线方程，消去得， 设弦与抛物线两交点的横坐标分别为， 由韦达定理：， 所以中点横坐标：， 代入直线方程得中点纵坐标：． 消参数，得中点所在方程为， 当焦点弦所在直线的斜率不存在时，焦点的弦的中点为，也满足上述方程， 故选B． 2.斜率为的直线过抛物线焦点，交抛物线于，两点，点为中点，作，垂足为，则下列结论中正确的是    ． A. 为定值 B. 为定值 C. 点的轨迹方程为 D. 点的轨迹是圆的一部分 【答案】ABD  【解析】【分析】 本题考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理，以及轨迹方程的求法，注意运用代入法和平面几何的性质，考查运算能力，属于中档题． 求得抛物线的焦点，设直线：，联立抛物线的方程，设，，运用韦达定理和中点坐标公式，以及向量数量积的坐标表示，即可判断，，，再由直角三角形的性质，即可得到的轨迹，即可判断． 【解答】 解：斜率为的直线过抛物线焦点， 设直线：， 联立抛物线的方程， 可得， 设，， 则，， 可得， 即，故A正确； ，故B正确； 由，， 消去，可得，可得的轨迹为抛物线的一部分，故C不正确； 在直角三角形中，斜边，则的轨迹为以为直径的圆的一部分，故D正确． 故选：． 3.已知圆的方程为，若抛物线过点，，且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点的轨迹方程是          ． 【答案】  【解析】【分析】 根据题意可知：焦点到和的距离之和等于和分别到准线的距离和而距离之和为和的中点到准线的距离的二倍，所以焦点的轨迹方程是以和为焦点的椭圆，由此能求出该抛物线的焦点的轨迹方程． 【解答】 解：设抛物线的焦点为，原点为，过，，分别作准线的垂线，垂足分别为，，，则，由抛物线的定义得，所以，数形结合可知，点的轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆去掉长轴两端点所以抛物线的焦点的轨迹方程为． 4.已知点是抛物线的焦点，点是抛物线上的点，若平面上存在一点，满足，则点的轨迹方程是          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查了与抛物线有关的轨迹问题，向量的坐标运算． 根据抛物线方程求出抛物线的焦点为，设的坐标为，由建立关于的方程组，再消去参数即可得到点的轨迹方程． 【解答】 解：设的坐标为， 抛物线中，，可得 ， ， 又 ， 可得，消去参数可得， 即点的轨迹方程为． 故答案为． 5.已知为抛物线的焦点，点、在该抛物线上且位于轴的两侧，其中为坐标原点． 求证：直线恒过定点 直线在绕着定点转动的过程中，求弦中点的轨迹方程． 【答案】解：证明：设直线的方程为：，点，， 由，可得，， 由于点，在抛物线上，可得，， 由可得或， 由于，在轴的两侧， 所以． 由，可得， 根据韦达定理有，可得， 所以直线的方程为， 所以直线过定点 设，由，相减可得， 当时，， 又直线恒过点， ，且， ， 当时，满足上式， 故所求的轨迹方程为．   【解析】本题考查直线与抛物线的位置关系及其应用，抛物线中的定点问题，与抛物线有关的轨迹问题，是中档题． 可先设直线方程和点的坐标，联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程，再利用韦达定理结合，可得直线过定点 Ⅱ设出，的坐标，代入抛物线方程，利用点差法把的斜率用中点的坐标表示，代入直线方程可得弦中点的轨迹方程． 6.已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，且过点． Ⅰ求抛物线的标准方程和焦点坐标； Ⅱ设点是抛物线上一动点，点是的中点，求点的轨迹方程． 【答案】解：Ⅰ由抛物线焦点在轴上，且过点， 设抛物线方程． 将点，代入抛物线方程，，解得：， 抛物线的标准方程，焦点坐标； Ⅱ设，，，点是的中点， 则，， ， 是抛物线上一动点，，代入得， 点的轨迹方程为．  【解析】本题主要考查抛物线标准方程及简单几何性质，考查中点坐标公式，考查待定系数法，属于基础题． Ⅰ设抛物线方程，将点，代入即可求得抛物线方程及焦点坐标； Ⅱ点是的中点，由中点坐标公式，求得，代入抛物线方程，求得点的轨迹方程． 重难点六抛物线中的面积问题 核心方法：1. 弦长用弦长公式或焦点弦公式求解；2. 点到直线距离用点到直线距离公式；3. 面积公式结合基本不等式求最值。 1.设为抛物线：的焦点，过点且倾斜角为的直线交抛物线于，两点，为坐标原点，则的面积为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查了抛物线中的面积问题 【解答】 解：因为抛物线：，所以焦点，所以过点且倾斜角为的直线的方程为， 设，，联立得， 所以，， 所以． 2.过抛物线：的焦点作两条互相垂直的弦，，则四边形面积的最小值为          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查直线与抛物线的综合问题，考查抛物线的定义以及多边形面积的计算，基本不等式，考查计算能力，属于中档题． 设直线的方程为，将直线的方程代入抛物线的方程，利用韦达定理和抛物线的定义得出，同理得出，由面积公式结合基本不等式可得出四边形面积的最小值． 【解答】 解：显然焦点的坐标为， 所以，可设直线的方程为， 将直线的方程代入抛物线的方程并整理得， 所以，， 所以，， 同理可得， 则四边形的面积为 ， 当且仅当时，等号成立， 因此，四边形的面积的最小值为， 故答案为：． 3.过抛物线的焦点作倾斜角为的弦，则的面积为          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了抛物线的简单性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题． 设，，则直线为，将代入，得，由此能求出的面积． 【解答】 解：设，， 则 直线的倾斜角为， ， ，，焦点， 直线方程为，代入中， 得，即， ，， ， ． 故答案为：． 4.过抛物线：的焦点作互相垂直的弦，，则四边形面积的最小值为          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查直线与抛物线的综合问题，考查抛物线的定义以及多边形面积的计算，考查计算能力，属于中等题． 设直线的方程为，，，将直线的方程代入抛物线的方程，列出韦达定理，利用抛物线的定义得出，同理得出，由面积公式结合基本不等式可得出四边形面积的最小值． 【解答】 解：如图所示， 抛物线：，焦点，设直线的方程为，，， 将直线的方程代入抛物线的方程得， 所以， 则， 同理可得， 则四边形的面积为当且仅当时，等号成立， 因此四边形的面积的最小值为． 故答案为． 5.已知抛物线的焦点为，准线为，直线交抛物线于，两点，过点作准线的垂线，垂足为，若等边的面积为，则的面积为          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查抛物线中的面积问题，考查直线与抛物线的位置关系及其应用，属于中档题． 由题意得，根据，得，根据焦半径公式得，联立抛物线与直线的方程得，，又，求解即可得出答案． 【解答】 解：作出图形，如图所示： 为等边三角形，且面积为， ，解得， ，， ， 由焦半径公式得，解得， 抛物线，直线的方程为， 联立方程，整理得，解得，， 又， ，， ． 故答案为：． 6.一三角形以抛物线的焦点弦为一边，另一个顶点在原点，若焦点弦所在直线的斜率为，求此三角形的面积． 【答案】 解：将分成两个小三角形求解．  依题意，焦点弦所在直线方程为设、两点的坐标分别为， 消得     【解析】本题考查抛物线中三角形面积的求解，为基础题， 7.已知为过抛物线的焦点的弦，为的中点，为抛物线的准线，垂直于于，点． 求抛物线的方程 求的面积为坐标原点 【答案】解：依题意准线的方程为，即，则， 抛物线的方程为 设的方程为 由得 依题意则， 到的距离，从而得  【解析】本题主要考查抛物线的焦点、准线，抛物线的标准方程，抛物线中的弦长公式，求解抛物线中的面积问题，属于中档题。 依题意准线的方程为，可得，解得，即可得出抛物线的方程． 设的方程为，，，与抛物线方程联立，利用根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形面积计算公式即可得出结论． 8.抛物线截直线所得弦长为． 求的值； 以此弦为底边，以轴上点为顶点的三角形面积为，求点坐标． 【答案】解：联立方程可得， 由有  ，解得， 设，则，， ， 解得符合题意， ； 由可得直线方程为， 设，则点到直线：距离， 依题意，即，解得或， 或．  【解析】本题主要考查了直线与抛物线相交求解弦长，属于中档题． 联立方程可得，由有  得，由弦长公式可得弦长，可求； 设，先求点到：距离，再根据，可求得坐标． 9.如图，已知圆：与抛物线交于，为圆的直径，抛物线的弦，且直线与圆相切． 求直线的方程； 求的面积． 【答案】解：圆：与抛物线交于点，                        抛物线方程为：， ，为圆的直径，               直线的斜率， ， 设直线的方程为：   直线与圆相切， ， 舍或， 直线的方程为： 设， ，  ， ，  ，， ， 点到直线的距离为点到直线的距离， 的面积．   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 10已知抛物线与直线交于两点． 求弦的长度 若点在抛物线上，且的面积为，求点的坐标． 【答案】解：设，， 由消掉， 可得， ， 由韦达定理可得，， ， 弦的长度为． 设点， 设点到的距离为， ， ， 即， ， 解得或， 点为或．   【解析】本题主要考查了抛物线的弦长和抛物线中三角形面积问题，解题关键是掌握抛物线的基础知识和在求圆锥曲线与直线交点问题时，通常用直线和圆锥曲线联立方程组，通过韦达定理建立起直线的斜率与交点坐标的关系式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题． 联立抛物线与直线方程，根据弦长公式，即可求得答案 设点，求得到的距离，结合已知，即可求得答案． 11已知抛物线的焦点到准线的距离为． 求抛物线的方程； 已知点，是上的两点，是抛物线上一动点，原点到直线，的距离均为，求面积的最小值． 【答案】解：因为焦点到准线的距离为，所以， 所以抛物线 的 方程为； 由题知直线的方程为， 化简得， 因为原点到直线的距离为，所以， 所以， 因为，所以化简得， 同理，有， 所以是关于的方程的两个实数根， 则， 所以， 因为，所以， 因为点到准线的距离， 所以 ， 令， 则， 因为 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以， 故的最小值为．   【解析】本题考查直线与抛物线位置关系及其应用，抛物线中的面积问题，属于难题． 依题意，焦点到准线的距离为，则，进而得到抛物线的方程； 分别表示出的直线方程，利用原点到直线，的距离均为，得到是关于的方程的两个实数根，得到，点到准线的距离，根据，借助基本不等式求出最小值． 重难点七与向量结合的抛物线问题 核心方法：1. 用向量坐标表示；2. 联立直线与抛物线得韦达定理关系；3. 代入向量条件（垂直、共线等），化简求解参数或验证结论。 1.过抛物线：的焦点作弦交抛物线于，两点，为坐标原点，则(    ) A. 抛物线的准线方程为 B. C. D. 【答案】ACD  【解析】【详解】物线：的焦点到准线的距离为， 焦点为，准线方程为，选项正确； 设直线方程为， 联立，可得，又，， ，，选项正确； ，， ，选项正确； ，， ， 选项错误． 故选：． 2.在平面直角坐标系中，过拋物线的焦点作直线交抛物线于两点，则(    ) A. 的最小值为 B. 以线段为直径的圆与轴相切 C. D. 【答案】BC  【解析】解：由题意可知，抛物线的焦点，准线为，直线的斜率不为零， 设直线为，， 由，消去得， 因为， 所以， 所以， 所以， 对于，因为，当且仅当时取等号， 所以的最小值为，所以A错误； 对于，因为线段的中点为，， 则到轴的距离为，而以线段为直径的圆的半径为， 所以圆心到轴的距离等于圆的半径，所以以线段为直径的圆与轴相切，所以B正确； 对于，因为 ，所以C正确； 对于，因为 ，所以D错误， 故选：． 3.已知抛物线的焦点到准线的距离为，过焦点作直线与抛物线交于，两点，与轴交于点过点作抛物线的切线与准线交于点，连接若，则(    ) A. B. C. 为钝角 D. 【答案】ABD  【解析】【分析】 本题考查抛物线抛物线的标准方程，向量与抛物线的综合问题，抛物线中的面积问题，属于较难题． 根据抛物线抛物线的标准方程，向量与抛物线的综合问题，抛物线中的面积问题，逐一判断即可． 【解答】 解：由抛物线的焦点到准线的距离为， 可知，， 如图，因为，所以有，过，作轴的垂线分别交于，， 根据三角形相似可得即． 由于与轴有交点，可知直线的斜率不为，又直线过， 故设直线为， 联立方程，解得， 则，得，， 所以，，直线． 对于选项A，由题意可知，过点的切线方程斜率一定存在， 设过点的切线方程为，联立抛物线方程得：， 则，解得， 则过点的切线方程为， 与准线相交于，易得，选项A正确 对于选项B，由，可得，， ，选项B正确 对于选项C，因为，， ，所以为直角，选项C错误 对于选项D，可得两三角形同底，则面积之比即为高之比， 点到的距离， 点到的距离， 所以，选项D正确． 故选ABD． 4.已知抛物线的焦点为，为抛物线上第一象限内一点，直线与轴交于点，且，则直线的斜率为          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查直线与抛物线位置关系，属于中档题． 由题意可设、、的坐标，运用可解出，利用抛物线解析式可得，由斜率公式解出即可． 【解答】 解：由题意可设，，， ，，， ， ， ， 为抛物线上第一象限内一点， ， 直线的斜率为， 直线的斜率为：． 故答案为：． 5.如图，抛物线和圆，直线经过的焦点，依次交于四点，则的值为          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查抛物线的性质及几何意义、直线与抛物线的位置关系和平面向量的数量积，属于一般题． 联立直线方程与抛物线，得出，，根据向量数量积的定义即可求出． 【解答】 解：抛物线：的焦点为， 直线经过的焦点， 当直线的斜率存在时， 设直线的方程为， 联立 得， 易得， 即， 设，， 则，同理， ． 当直线的斜率不存在时，，， ． 故答案为． 6.已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点．若，则直线的斜率为          ； 【答案】  【解析】【分析】 本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查计算能力，是中档题． 设出直线方程，与抛物线方程联立，列式求解． 【解答】 解：抛物线的焦点为， 由题意可知直线的斜率存在且不为， 设直线的方程为，， 联立，得． 则， 设， 则，． ， 由，得． ， 解得：，满足题意， 故答案为：． 7.在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于不同的两点． 如果直线的方程为，求弦的长； 如果直线过抛物线的焦点，求的值． 【答案】解：设， 联立得：． 由韦达定理：． 易知直线经过抛物线的焦点， 由准线得：． 设直线：由于有两个交点，直线的斜率必不为， 联立得：， 由韦达定理：，． 所以 ， 所以．  【解析】本题考查了直线与抛物线相交弦长问题、一元二次方程的根与系数的关系、向量数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 由题意：抛物线焦点为，：，代入抛物线，消去得，利用抛物线定义即可求出 由题意：抛物线焦点为，设：，代入抛物线，消去得，设，，则，把根与系数的关系代入即可得出． 8.已知抛物线：的焦点为，点为坐标原点，过点的直线与交于，两点． 若弦的中点的纵坐标为，求直线的方程； 若直线与轴的交点为，且，，试探究：是否为定值．若为定值，求出该定值，若不为定值，试说明理由． 【答案】解：由已知得直线的斜率存在且不为， 所以可设，，， 联立，消去，得， ， 所以，， 由的中点的纵坐标为，得， 解得：， 所以直线的方程为，即； 易知， 由，得， 所以，同理． 所以 ， 所以为定值．  【解析】本题考查平面向量的坐标运算、直线与抛物线的位置关系、圆锥曲线中的定点与定值问题，属于中档题． 设出直线的方程，联立和的方程，利用韦达定理，结合弦的中点的纵坐标为，可求直线的方程 根据，，用、表示出，再用表示，化简说明其为定值即可． 9.已知抛物线：  的焦点为，过焦点的直线与抛物线于，两点，且点 求的值 求的最大值 【答案】解：因为抛物线的方程为：，所以其焦点坐标为 因为，所以，解得． 设直线：，且， 则，有． 所以，． 因为，所以，， 所以 ． 所以当时，有最大值，其最大值为．  【解析】本题考查的是直线与抛物线的有关问题，抛物线的标准方程中的系数与焦点坐标的关系，向量的数量积的坐标运算，属于中档题． 根据抛物线：  的焦点为，结合已知条件求得的值． 首先设出直线的方程，然后与抛物线的方程联立，由韦达定理结合向量的数量积的坐标公式整理，用配方法求得结果． 10已知抛物线过点，且焦点为，直线与抛物线相交于，两点． 求抛物线的方程，并求其准线方程； 若，证明直线必过一定点，并求出该定点． 【答案】解：由，解得， 所以抛物线的方程为， 其准线方程为． 设直线的方程为代入，得， 设，，， 则， 所以 ， ，直线必过一定点．  【解析】本题考查直线与抛物线，涉及到了抛物线的方程和性质，向量的数量积等知识，属于综合题． 点的坐标代入抛物线方程，可得，即可求抛物线的方程，并求其准线方程 设直线的方程为，代入，得，利用韦达定理结合，求出，即可证明直线必过一定点，且定点为． 11.已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于，两点，且． 求抛物线的方程； 抛物线的准线与轴交于点，过点的直线交抛物线于，两点，当时，求直线的方程． 【答案】解：由题意得，，设直线的方程为，，， 由，得， ，． ， ， ，抛物线的方程为． ，显然直线斜率不为零，设直线的方程为，，， 联立，得，，解得：或， ，，，， ，， 即，，解得， 直线的方程为，即．  【解析】本题考查抛物线方程，直线和抛物线位置关系，属于中档题． 设直线的方程为，联立直线和抛物线方程，消元，利用韦达定理和弦长公式求出，即可求出，然后代入求出抛物线方程； 设直线的方程为，联立直线和抛物线方程，消元，利用韦达定理表达出，化简该式，代入即可求出，进而求出直线方程． 49 / 65 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题06 与抛物线焦点有关的性质题型 重难点一与抛物线有关的最值问题 核心方法：利用抛物线定义（抛物线上点到焦点距离 = 到准线距离）转化线段，结合三角形不等式、基本不等式或几何图形性质（如共线时取最值）求解。 1.设抛物线的顶点为坐标原点，焦点的坐标为若该抛物线上两点，的横坐标之和为，则弦的长的最大值为(    ) A. B. C. D. 2.已知点，是抛物线上上不同的两点，为抛物线的焦点，且满足，弦的中点到直线的距离记为，若不等式恒成立，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 3.抛物线的焦点为，点、在抛物线上，且，弦的中点在其准线上的射影为，则的最大值为(    ) A. B. C. D. 4.已知抛物线的焦点和点为抛物线上一点，则的最小值是(    ) A. B. C. D. 5.已知是抛物线上一点，为其焦点，为圆的圆心，是圆上任意一点，的最小值为(    ) A. B. C. D. 6.已知为抛物线的焦点，为抛物线上的动点，点则最大值的为 (    ) A. B. C. D. 7.已知点在抛物线上，点，为该抛物线的焦点，则周长的最小值为 A. B. C. D. 8.已知抛物线的焦点为，点，在抛物线上，且满足，设弦的中点到轴的距离为，则的最小值为            ． 9.设抛物线：的焦点为，为抛物线上一点，，则的最小值为          ． 11.已知抛物线的焦点为，点为上可相互重合的点，且，则的取值范围是          ，的最小值是          ． 重难点二弦长问题 核心方法：1. 联立直线与抛物线方程，用韦达定理得；2. 焦点弦用公式；3.普通弦用弦长公式 1.已知一抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且它的焦点是椭圆的右顶点，经过点且倾斜角为的直线交抛物线于，两点，则弦的长度为(    ) A. B. C. D. 2.过抛物线的焦点作倾斜角为的直线交抛物线于、两点，则弦的长为(    ) A. B. C. D. 3.已知是抛物线的一条焦点弦，，则中点的横坐标是(    ) A. B. C. D. 4.过抛物线的焦点作互相垂直的弦，，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 5.已知点是抛物线的焦点，，是经过点的弦且，直线的斜率为，且，，两点在轴 上方，则下列结论中一定成立的是(    ) A. B. 若，则 C. D. 四边形面积的最小值为 6.已知为抛物线的焦点，直线与交于，两点，弦中点的横坐标为，，则(    ) A. 的斜率为 B. 在轴上的截距为 C. 弦中点的纵坐标为 D. 7.设抛物线的焦点为，准线为，弦过点且中点为，过点，分别作的垂线交于点，，若，则          ． 重难点三与抛物线有关的定值定点定直线问题 核心方法：1. 设直线方程（过焦点设为，避免斜率不存在讨论）；2. 联立方程得韦达定理关系；3. 代入向量、斜率、距离等条件，化简消参，验证定值或推导定点/定直线。 1.已知是抛物线上的两动点，是抛物线的焦点，下列说法正确的是(    ) A. 直线过焦点时，以为直径的圆与的准线相切 B. 直线过焦点时，的最小值为 C. 若坐标原点为，且，则直线过定点 D. 若直线过焦点中点为，过向抛物线的准线作垂线，垂足为，则直线与抛物线相切 2.已知斜率为的直线交抛物线于、两点，下列说法正确的是(    ) A. 为定值 B. 线段的中点在一条定直线上 C. 为定值为坐标原点，、分别为直线、的斜率 D. 为定值为抛物线的焦点 3.已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且；直线过点且与抛物线交于，两点与不重合，记直线、的斜率为，． Ⅰ求抛物线的方程； Ⅱ试问是否为定值？并说明理由． 4已知抛物线：的焦点为，点在上，且为坐标原点． 求抛物线的标准方程； 过点的直线与抛物线交于点，两点，若为定值，求实数的值． 5.已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线交抛物线于，两点，直线分别交抛物线于点 求的值； 记直线的斜率为，证明：为定值． 6.已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，，且． 求抛物线的标准方程； 过点作直线，分别交抛物线于，两点，若直线，的倾斜角互补，判断直线的斜率是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由． 7.已知点为抛物线的焦点，点，过点作直线与抛物线顺次交于两点，过点作斜率为的直线与抛物线的另一个交点为点． 求抛物线的标准方程； 求证：直线过定点． 8已知抛物线的焦点为，为原点，第一象限内的点在上，，且的面积为． 求的方程； 若，是上与不重合的两动点，且，求证：直线过定点． 9.已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于，两点，且． 求抛物线的方程； 设过点且互相垂直的两条直线与抛物线分别交于点，，证明：直线过定点． 10已知抛物线上一点到其焦点的距离为，，为抛物线上异于原点的两点延长，分别交抛物线于点，，直线，相交于点． 若，求四边形面积的最小值 证明：点在定直线上． 重难点四直线与抛物线的位置关系 核心方法：1. 联立方程得一元二次方程，用判别式判断交点个数；2. 结合韦达定理、抛物线定义、向量数量积等分析斜率、距离、垂直关系；3.中垂线、切线问题可利用导数或点差法。 1.已知抛物线，过焦点的直线交抛物线于，两点，的中垂线交轴于点，若，则抛物线的方程为(    ) A. B. C. D. 2.已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，直线过其焦点且与交于两点，若直线的斜率为，则(    ) A. B. C. D. 3.已知抛物线，过焦点的直线与抛物线交于两点点在第一象限，，则(    ) A. B. C. 最小值为 D. 当直线的倾斜角为时，与面积之比为 4.已知点，为坐标原点，，为曲线上的两点，为其焦点下列说法正确的是(    ) A. 点的坐标为 B. 若为线段的中点，则直线的斜率为 C. 若直线过点，则的最小值为 D. 若直线过点，且是与的等比中项，则 5.已知抛物线的焦点在直线上，直线与抛物线交于点为坐标原点，则下列说法中正确的是(    ) A. B. 准线方程为 C. 以线段为直径的圆与的准线相切 D. 直线的斜率之积为定值 6.已知抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，以为圆心的圆经过原点，且与抛物线的准线相切，切点为，线段交抛物线于点，则          ． 7.斜率为的直线过抛物线：的焦点，且与抛物线相交于，两点，点在轴的上方，过点作抛物线的准线的垂线，垂足为，为坐标原点，则          ． 8.过抛物线焦点且斜率为的直线与交于两点，若为的内角平分线，则面积最大值为          ． 9.已知抛物线，过的直线交抛物线于，两点，是坐标原点，． 求抛物线的方程 若点是抛物线的焦点，求的最小值． 10.已知直线与抛物线相交于、上两点，且与圆相切。 求直线在轴上截距的取值范围 设是抛物线的焦点，，求直线的方程。 11.设抛物线的焦点为，直线与抛物线交于不同的两点、，线段中点的横坐标为，且． 求抛物线的标准方程 若直线斜率存在经过焦点，求直线的方程． 12.设抛物线的焦点为，动直线交抛物线于，两点，当直线过焦点且的中点的横坐标为时． 求抛物线的方程； 已知点，当焦点为为的垂心时，求直线的方程． 13.如图，经过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，经过点和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点． 判断以为直径的圆与准线的位置关系，并说明理由； 求证：直线平行于抛物线的对称轴． 重难点五轨迹问题 核心方法：1. 设轨迹上点坐标，关联抛物线上点；2. 利用中点、向量、焦点弦性质等建的关系；3. 代入抛物线方程消参，化简得轨迹方程（注意定义域限制）。 1.抛物线经过焦点的弦的中点的轨迹方程是(    ) A. B. C. D. 2.斜率为的直线过抛物线焦点，交抛物线于，两点，点为中点，作，垂足为，则下列结论中正确的是    ． A. 为定值 B. 为定值 C. 点的轨迹方程为 D. 点的轨迹是圆的一部分 3.已知圆的方程为，若抛物线过点，，且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点的轨迹方程是          ． 4.已知点是抛物线的焦点，点是抛物线上的点，若平面上存在一点，满足，则点的轨迹方程是          ． 5.已知为抛物线的焦点，点、在该抛物线上且位于轴的两侧，其中为坐标原点． 求证：直线恒过定点 直线在绕着定点转动的过程中，求弦中点的轨迹方程． 6.已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，且过点． Ⅰ求抛物线的标准方程和焦点坐标； Ⅱ设点是抛物线上一动点，点是的中点，求点的轨迹方程． 重难点六抛物线中的面积问题 核心方法：1. 弦长用弦长公式或焦点弦公式求解；2. 点到直线距离用点到直线距离公式；3. 面积公式结合基本不等式求最值。 1.设为抛物线：的焦点，过点且倾斜角为的直线交抛物线于，两点，为坐标原点，则的面积为(    ) A. B. C. D. 2.过抛物线：的焦点作两条互相垂直的弦，，则四边形面积的最小值为          ． 3.过抛物线的焦点作倾斜角为的弦，则的面积为          ． 4.过抛物线：的焦点作互相垂直的弦，，则四边形面积的最小值为          ． 5.已知抛物线的焦点为，准线为，直线交抛物线于，两点，过点作准线的垂线，垂足为，若等边的面积为，则的面积为          ． 6.一三角形以抛物线的焦点弦为一边，另一个顶点在原点，若焦点弦所在直线的斜率为，求此三角形的面积． 7.已知为过抛物线的焦点的弦，为的中点，为抛物线的准线，垂直于于，点． 求抛物线的方程 求的面积为坐标原点 8.抛物线截直线所得弦长为． 求的值； 以此弦为底边，以轴上点为顶点的三角形面积为，求点坐标． 9.如图，已知圆：与抛物线交于，为圆的直径，抛物线的弦，且直线与圆相切． 求直线的方程； 求的面积． 10已知抛物线与直线交于两点． 求弦的长度 若点在抛物线上，且的面积为，求点的坐标． 11已知抛物线的焦点到准线的距离为． 求抛物线的方程； 已知点，是上的两点，是抛物线上一动点，原点到直线，的距离均为，求面积的最小值． 重难点七与向量结合的抛物线问题 核心方法：1. 用向量坐标表示；2. 联立直线与抛物线得韦达定理关系；3. 代入向量条件（垂直、共线等），化简求解参数或验证结论。 1.过抛物线：的焦点作弦交抛物线于，两点，为坐标原点，则(    ) A. 抛物线的准线方程为 B. C. D. 2.在平面直角坐标系中，过拋物线的焦点作直线交抛物线于两点，则(    ) A. 的最小值为 B. 以线段为直径的圆与轴相切 C. D. 3.已知抛物线的焦点到准线的距离为，过焦点作直线与抛物线交于，两点，与轴交于点过点作抛物线的切线与准线交于点，连接若，则(    ) A. B. C. 为钝角 D. 4.已知抛物线的焦点为，为抛物线上第一象限内一点，直线与轴交于点，且，则直线的斜率为          ． 5.如图，抛物线和圆，直线经过的焦点，依次交于四点，则的值为          ． 6.已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点．若，则直线的斜率为          ； 7.在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于不同的两点． 如果直线的方程为，求弦的长； 如果直线过抛物线的焦点，求的值． 8.已知抛物线：的焦点为，点为坐标原点，过点的直线与交于，两点． 若弦的中点的纵坐标为，求直线的方程； 若直线与轴的交点为，且，，试探究：是否为定值．若为定值，求出该定值，若不为定值，试说明理由． 9.已知抛物线：  的焦点为，过焦点的直线与抛物线于，两点，且点 求的值 求的最大值 10已知抛物线过点，且焦点为，直线与抛物线相交于，两点． 求抛物线的方程，并求其准线方程； 若，证明直线必过一定点，并求出该定点． 11.已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于，两点，且． 求抛物线的方程； 抛物线的准线与轴交于点，过点的直线交抛物线于，两点，当时，求直线的方程． 49 / 65 学科网（北京）股份有限公司 $