3.3.2 抛物线的简单几何性质（7大题型）（训练）-2025-2026学年高二数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019选择性必修第一册）

3．3．2 抛物线的简单几何性质 目录 01 基础题型归纳 2 题型一：抛物线的几何性质 2 题型二：直线与抛物线的位置关系 2 题型三：中点弦问题 3 题型四：焦半径问题 3 题型五：弦长、面积问题 4 题型六：定点定值问题 5 题型七：最值问题 5 02 重难点拓展 7 题型一：抛物线的几何性质 1．（多选题）（2025·湖南长沙·二模）已知抛物线与抛物线关于轴对称，则下列说法正确的是（    ） A．抛物线的焦点坐标是 B．抛物线关于轴对称 C．抛物线的准线方程为 D．抛物线的焦点到准线的距离为4 2．（多选题）（2025·高二·江苏连云港·月考）下列四个方程所表示的曲线中既关于x轴对称，又关于y轴对称的是（  ） A． B． C． D． 3．（多选题）（多选）对于抛物线上，下列描述正确的是（    ） A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为 C．焦点到准线的距离为4 D．准线方程为 题型二：直线与抛物线的位置关系 4．（2025·高三·广东·月考）已知抛物线的焦点为，以和的准线上的两点为顶点可以构成边长为的等边三角形． (1)求的方程； (2)讨论过点的直线与的交点个数． 5．过点作直线与抛物线只有一个公共点，这样的直线有几条？ 6．已知直线与抛物线有且仅有一个公共点，求实数的值． 题型三：中点弦问题 7．（2025·高二·湖南衡阳·期中）已知动点到点的距离比它到直线的距离小2，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)直线与曲线交于两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. 8．（2025·高二·河北沧州·期末）已知P为抛物线C：（）上一点，且点P到抛物线的焦点F的距离为12，到y轴的距离为10． (1)求p的值； (2)过点F作直线l交C于A，B两点，求AB中点M的轨迹方程． 9．（2025·高二·湖北十堰·期末）在平面直角坐标系中，已知点，横坐标非负的动点到轴的距离为，且，记点的运动轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)若是上两点，且线段的中点为，求． 题型四：焦半径问题 10．（2025·高二·云南昭通·期末）抛物线 （）的准线方程为，过C的焦点作斜率为的直线与 交于，两点，则（    ） A． B． C． D． 11．（2025·高二·广西河池·月考）已知抛物线的焦点为F，不过F点的直线l与抛物线C相交于A，B两点，且与y轴相交于点P，若，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 12．（2025·高二·黑龙江牡丹江·期中）设抛物线的焦点为，过点作直线交抛物线于A，B两点，已知，则（   ） A． B． C． D．3 题型五：弦长、面积问题 13．（2025·高二·黑龙江大庆·期中）已知为坐标原点，为抛物线：的焦点，是上异于的一点，且点到的距离比到轴的距离大1. (1)求抛物线的方程； (2)若经过点的直线与抛物线相交于，两点，且，求的方程. 14．（2025·高二·安徽·期中）已知点在抛物线上，直线与抛物线交于A，B两点. (1)求的方程； (2)设直线与的斜率分别为，，. ①证明：直线的斜率为定值； ②若的面积为6，求所在直线方程. 15．（2025·高二·上海宝山·期中）已知抛物线 经过点 . (1)求 的值和抛物线 的准线方程； (2)已知直线 与抛物线交于 两点，求 . 题型六：定点定值问题 16．（2025·高二·河南漯河·期末）已知F为抛物线的焦点，为C上的一点，且，斜率为的直线l与C交于A，B两点，设直线，的斜率分别为，． (1)求抛物线C的方程； (2)求证为定值． 17．（2025·高二·安徽蚌埠·期末）已知抛物线焦点为，点在上，且. (1)求抛物线的焦准距； (2)若在抛物线上，直线经过点，直线平行于轴，证明：直线经过焦点. 18．如图，抛物线方程为，过原点作互相垂直的两条直线，，分别交抛物线于，两点，求证：直线必过定点，并求出定点坐标. 题型七：最值问题 19．离心率为的双曲线上的动点到两焦点的距离之和的最小值为，抛物线的焦点与双曲线的上顶点重合． (1)求抛物线的方程； (2)过直线为负常数）上任意一点向抛物线引两条切线，切点分别为，坐标原点恒在以为直径的圆内，求实数的取值范围． 20．（2025·高二·上海宝山·月考）如图，、是焦点为的抛物线上的两个不同的点，且线段的中点的横坐标为3，直线与轴交于点，求点的横坐标的取值范围. 21．（2025·高二·四川成都·期中）已知为抛物线上一点，点到直线的距离为. （1）求的最小值，并求此时点的坐标； （2）若点到抛物线的准线的距离为，求的最小值. 1．（2025·高二·河北邯郸·期中）已知焦点为的抛物线上有一点到直线的距离为6，为坐标原点，则（    ） A． B．2 C． D． 2．（2025·高二·吉林长春·期中）抛物线的焦点为F，C的准线与轴交于点，过且倾斜角为的直线与交于M，N两点（在轴上方），则（   ） A． B． C．2 D．3 3．（2025·高二·河北邢台·期中）已知过点且斜率为的直线与抛物线交于，两点，且为线段的中点，则（    ） A．2 B． C．4 D． 4．（2025·高三·云南曲靖·月考）设抛物线的焦点为，准线为，直线经过焦点，且与相交于两点，分别过作的垂线，垂足分别为，设的中点为，则（   ） A．2 B．3 C． D． 5．（2025·高三·福建漳州·开学考试）已知抛物线的焦点为，点A在抛物线上，O是坐标原点，若的面积为，则长度为（   ） A．2 B．3 C． D．4 6．（2025·高二·全国·单元测试）已知直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，则线段的中点到准线的距离为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 7．已知抛物线，为轴正半轴上一点，为坐标原点，线段的垂直平分线交抛物线于两点，若四边形为菱形，且，则菱形的周长为（    ） A．5 B． C．8 D． 8．（2025·高二·广西南宁·期中）已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，与x轴平行的直线与l和C分别交于A，B两点，且，则 ． 9．（2025·高二·山东青岛·期中）已知，，直线，相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的商是2，则点的轨迹方程是 . 10．（2025·高二·浙江·期中）设抛物线被直线截得的弦的长为，则 ． 11．（2025·高二·上海·期中）已知抛物线是过其焦点的一条弦，若，则直线的斜率为 12．已知点是抛物线上一点，则点到直线的最短距离是 13．（2025·高二·辽宁·期中）过抛物线焦点的直线交于两点，线段中点到轴距离为1，则 ． 14．已知平面直角坐标系中不同的三点，，，圆心在轴上的圆经过三点，设点的坐标为，则点的轨迹方程为 ． 15．已知为抛物线上的两点，若是边长为的等边三角形，为坐标原点，则抛物线方程为 ． 16．（2025·高二·广西河池·月考）已知抛物线的焦点F到准线的距离为4，过F的直线l与C交于A，B两点. (1)求抛物线的标准方程； (2)若直线l的倾斜角为，求. 17．（2025·高二·上海·期中）求过定点且与抛物线只有一个公共点的直线的方程． 18．（2025·高三·江苏南通·开学考试）已知为坐标原点，过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点（点在第一象限）． (1)若，，求的值； (2)设点为抛物线准线与轴交点，求． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 3．3．2 抛物线的简单几何性质 目录 01 基础题型归纳 2 题型一：抛物线的几何性质 2 题型二：直线与抛物线的位置关系 3 题型三：中点弦问题 4 题型四：焦半径问题 6 题型五：弦长、面积问题 8 题型六：定点定值问题 10 题型七：最值问题 13 02 重难点拓展 15 题型一：抛物线的几何性质 1．（多选题）（2025·湖南长沙·二模）已知抛物线与抛物线关于轴对称，则下列说法正确的是（    ） A．抛物线的焦点坐标是 B．抛物线关于轴对称 C．抛物线的准线方程为 D．抛物线的焦点到准线的距离为4 【答案】AC 【解析】因为抛物线与抛物线关于轴对称， 所以抛物线的方程为， 则抛物线的焦点坐标是，准线方程为，故A、C正确； 抛物线关于轴对称，故B错误； 抛物线的焦点到准线的距离为，故D错误. 故选：AC 2．（多选题）（2025·高二·江苏连云港·月考）下列四个方程所表示的曲线中既关于x轴对称，又关于y轴对称的是（  ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】关于轴的对称点为，关于轴的对称点为， 同时满足方程、、，ACD选项正确. ，是开口向上的抛物线，关于轴对称，不关于轴对称，B选项错误. 故选：ACD 3．（多选题）（多选）对于抛物线上，下列描述正确的是（    ） A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为 C．焦点到准线的距离为4 D．准线方程为 【答案】AC 【解析】由抛物线，即，可知抛物线的开口向上，焦点坐标为，焦点到准线的距离为4，准线方程为． 故选：AC 题型二：直线与抛物线的位置关系 4．（2025·高三·广东·月考）已知抛物线的焦点为，以和的准线上的两点为顶点可以构成边长为的等边三角形． (1)求的方程； (2)讨论过点的直线与的交点个数． 【解析】（1）由题意得焦点，准线方程为， 以焦点和的准线上的两点为顶点可以构成边长为的等边三角形， 而这个等边三角形的高为， 即焦点到准线的距离，解得（负值舍去）， 所以的方程为． （2）若直线的斜率存在，设的方程为． 由方程组可得． （Ⅰ）当时，解得，此时方程只有一个实数解，与只有一个公共点； （Ⅱ）当时，方程的根的判别式为， （ⅰ）由，解得或，此时方程有两个相等的实数解，与只有一个公共点； （ⅱ）由，解得或，此时方程有两个不等的实数解，与有两个公共点； （ⅲ）由，解得，或，此时方程没有实数解，与没有公共点； 若直线的斜率不存在，则直线的方程为，易知与没有公共点． 综上，当的方程为或的斜率或时，与的交点个数为0；当的斜率或1或时，与的交点个数为1；当的斜率时，与的交点个数为2． 5．过点作直线与抛物线只有一个公共点，这样的直线有几条？ 【解析】当直线的斜率不存在时，直线方程为， 此时与抛物线只有一个公共点，符合题意． 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 由，得， 当时，符合题意； 当时，由，可得， 即当时，符合题意．综上，满足条件的直线有条． 6．已知直线与抛物线有且仅有一个公共点，求实数的值． 【解析】由，整理得， 当时，，解得， 当时，直线为轴，与抛物线只有一个交点，满足题意， 综上，实数的值为或0. 题型三：中点弦问题 7．（2025·高二·湖南衡阳·期中）已知动点到点的距离比它到直线的距离小2，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)直线与曲线交于两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. 【解析】（1）设，因为到点的距离比它到直线的距离小2， 则有，根据距离公式得，化简得， 即动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 所以曲线的方程为. （2）设，则 两式相减得， 整理可得. 因为线段的中点坐标为，易知在抛物线内部，且， 所以直线的斜率， 故直线的方程为，即. 8．（2025·高二·河北沧州·期末）已知P为抛物线C：（）上一点，且点P到抛物线的焦点F的距离为12，到y轴的距离为10． (1)求p的值； (2)过点F作直线l交C于A，B两点，求AB中点M的轨迹方程． 【解析】（1）由抛物线的定义得， 故． （2）由（1）得，，则抛物线C的方程为，焦点， 设，，， ∴，， 当M，F不重合时，相减整理得，， ∴，即， 当M，F重合时，满足上式． ∴点M的轨迹方程为． 9．（2025·高二·湖北十堰·期末）在平面直角坐标系中，已知点，横坐标非负的动点到轴的距离为，且，记点的运动轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)若是上两点，且线段的中点为，求． 【解析】（1）设，则． 由，可得， 整理得的方程为． （2）设， 因为线段的中点为，所以， 则，则． 所以， 则直线的方程为，显然直线经过点． 由（1）可知，是以为焦点的抛物线，所以． 题型四：焦半径问题 10．（2025·高二·云南昭通·期末）抛物线 （）的准线方程为，过C的焦点作斜率为的直线与 交于，两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】抛物线 的准线方程为，焦点的坐标为， 由已知，所以， 故抛物线的方程为，焦点的坐标为， 因为直线的斜率为，过点，所以直线的方程为， 联立，可得， 方程的判别式， 设，则， 又， 故选：D. 11．（2025·高二·广西河池·月考）已知抛物线的焦点为F，不过F点的直线l与抛物线C相交于A，B两点，且与y轴相交于点P，若，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【解析】如图， 不妨设，则， 则（*），过点A、B分别作y轴的垂线AM、BN，垂足分别为M、N， 因为，所以，易得， 所以，即， 将（*）代入，可得，解得. 故选：C. 12．（2025·高二·黑龙江牡丹江·期中）设抛物线的焦点为，过点作直线交抛物线于A，B两点，已知，则（   ） A． B． C． D．3 【答案】B 【解析】由题可得， 设直线的方程为，， ，可得， 所以， 因为，所以， 所以， 所以，所以， 所以，所以， ， . 故选：B. 题型五：弦长、面积问题 13．（2025·高二·黑龙江大庆·期中）已知为坐标原点，为抛物线：的焦点，是上异于的一点，且点到的距离比到轴的距离大1. (1)求抛物线的方程； (2)若经过点的直线与抛物线相交于，两点，且，求的方程. 【解析】（1）设点，由题可知，由抛物线定义知， 所以，所以，则抛物线的方程为. （2）易知的斜率一定存在，设的方程为，设. 由消去得， 则，且， ， 由，化简整理得，解得（舍去）或， 所以，即的方程为. 14．（2025·高二·安徽·期中）已知点在抛物线上，直线与抛物线交于A，B两点. (1)求的方程； (2)设直线与的斜率分别为，，. ①证明：直线的斜率为定值； ②若的面积为6，求所在直线方程. 【解析】（1）因为点在抛物线上，所以， 所以抛物线的方程为； （2）①设，，，， 所以， 同理可得 因为，所以， 因为， 所以直线的斜率为定值； ②因为直线的斜率为定值，故设所在直线方程为， 联立方程消掉得， 设，，所以，， ， 点的直线的距离， 所以， 得，故，， 所以直线的方程为，或，或. 15．（2025·高二·上海宝山·期中）已知抛物线 经过点 . (1)求 的值和抛物线 的准线方程； (2)已知直线 与抛物线交于 两点，求 . 【解析】（1）代入 ， 得解得， 所以准线方程是； （2）由， 可得， 设方程的两根为， 则，， 所以. 题型六：定点定值问题 16．（2025·高二·河南漯河·期末）已知F为抛物线的焦点，为C上的一点，且，斜率为的直线l与C交于A，B两点，设直线，的斜率分别为，． (1)求抛物线C的方程； (2)求证为定值． 【解析】（1）依题意，，得，所以抛物线C的方程为． （2）设，联立，得． 由，得． 设，，则． 由（1）知，，． 所以为定值． 17．（2025·高二·安徽蚌埠·期末）已知抛物线焦点为，点在上，且. (1)求抛物线的焦准距； (2)若在抛物线上，直线经过点，直线平行于轴，证明：直线经过焦点. 【解析】（1）由， 得，即抛物线的焦准距为2. （2） 如图，由（1）知，直线方程为， 由解得，即得， 因轴，故在中令，解得，即得， 所以直线方程为， 焦点在直线上，即直线经过点. 18．如图，抛物线方程为，过原点作互相垂直的两条直线，，分别交抛物线于，两点，求证：直线必过定点，并求出定点坐标. 【解析】证明：法一： 当直线的斜率存在时， 设直线的方程为，由已知可得. 设，， 由得， ， 从而.由已知， 即， 即，满足. 所以直线的方程为， 则直线恒过定点. 当直线的斜率不存在时，设，，， 将代入抛物线方程中， 解得（舍去），所以，， 直线的方程为，也过点. 综上，直线必过定点. 法二： 由已知可以确定，斜率存在且不为0， 设直线方程为， 由得. 同理，由于，以替换得. 令，解得. 当直线斜率不存在时，直线的方程为. 当直线的斜率存在时，直线的方程为，即， 所以直线恒过定点. 综上，直线必过定点. 题型七：最值问题 19．离心率为的双曲线上的动点到两焦点的距离之和的最小值为，抛物线的焦点与双曲线的上顶点重合． (1)求抛物线的方程； (2)过直线为负常数）上任意一点向抛物线引两条切线，切点分别为，坐标原点恒在以为直径的圆内，求实数的取值范围． 【解析】（1）由已知：双曲线焦距为，离心率为，则长轴长为2， 故双曲线的上顶点为，即为抛物线焦点. ∴抛物线的方程为； （2）设，，，故直线的方程为，即， 所以，同理可得：， ∴，是方程的两个不同的根，则， ，由恒在以为直径的圆内， ，即． 20．（2025·高二·上海宝山·月考）如图，、是焦点为的抛物线上的两个不同的点，且线段的中点的横坐标为3，直线与轴交于点，求点的横坐标的取值范围. 【解析】当直线存在斜率时，设为，所以有，,， 可得，∴，直线为， 时，，∵在抛物线内，，∴， 当斜率不存在时，， 综上. 21．（2025·高二·四川成都·期中）已知为抛物线上一点，点到直线的距离为. （1）求的最小值，并求此时点的坐标； （2）若点到抛物线的准线的距离为，求的最小值. 【解析】（1）设，则， 当时，，此时， ∴当时，. （2）设抛物线的焦点为，则，且， ∴，它的最小值为点到直线的距离. ∴. 1．（2025·高二·河北邯郸·期中）已知焦点为的抛物线上有一点到直线的距离为6，为坐标原点，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【解析】由已知得，焦点，则. 故选：C. 2．（2025·高二·吉林长春·期中）抛物线的焦点为F，C的准线与轴交于点，过且倾斜角为的直线与交于M，N两点（在轴上方），则（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【解析】由抛物线得焦点为， 由题意，得直线MF的方程为，与抛物线方程联立， 消去得， 解得， 所以， ， 所以， 故选：D 3．（2025·高二·河北邢台·期中）已知过点且斜率为的直线与抛物线交于，两点，且为线段的中点，则（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【解析】设，，则， 由：作差得， 得. 故选：A 4．（2025·高三·云南曲靖·月考）设抛物线的焦点为，准线为，直线经过焦点，且与相交于两点，分别过作的垂线，垂足分别为，设的中点为，则（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【解析】直线过焦点，则，故抛物线的方程为，准线， 设， 联立方程 消去得， 故， 由题设知的纵坐标与中点纵坐标相等，且在准线上，而， 故，所以， 故选：C． 5．（2025·高三·福建漳州·开学考试）已知抛物线的焦点为，点A在抛物线上，O是坐标原点，若的面积为，则长度为（   ） A．2 B．3 C． D．4 【答案】D 【解析】由，得，即，故抛物线的方程为. 设，则的面积为，得， 将代入，得， 由焦半径公式. 故选：D. 6．（2025·高二·全国·单元测试）已知直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，则线段的中点到准线的距离为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【解析】直线与轴的交点为， 又经过的焦点，故焦点，可得， 即抛物线：，准线为． 由， 可得，则， 所以，线段中点的横坐标为3， 则线段的中点到准线的距离为． 故选：B 7．已知抛物线，为轴正半轴上一点，为坐标原点，线段的垂直平分线交抛物线于两点，若四边形为菱形，且，则菱形的周长为（    ） A．5 B． C．8 D． 【答案】D 【解析】设与轴的交点为，易知轴． 设点，．如图，由于四边形为菱形，，所以，所以．不妨设，则，解得． 在中，，所以菱形的周长为． 故选：D 8．（2025·高二·广西南宁·期中）已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，与x轴平行的直线与l和C分别交于A，B两点，且，则 ． 【答案】4 【解析】由抛物线定义可知，因为，所以为等边三角形， 故，，所以， 其中准线l与x轴交点为P，则，故，所以． 故答案为：4. 9．（2025·高二·山东青岛·期中）已知，，直线，相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的商是2，则点的轨迹方程是 . 【答案】 【解析】设点，则，整理得，显然. 所以点的轨迹方程为. 故答案为： 10．（2025·高二·浙江·期中）设抛物线被直线截得的弦的长为，则 ． 【答案】/ 【解析】设，， 由，得， 则， 由弦长公式得， 即，解得或（舍）， 故答案为：. 11．（2025·高二·上海·期中）已知抛物线是过其焦点的一条弦，若，则直线的斜率为 【答案】 【解析】设直线的倾斜角为，， 所以，所以，， 所以， 所以直线的斜率为. 故答案为： 12．已知点是抛物线上一点，则点到直线的最短距离是 【答案】 【解析】设，则到直线的距离为： ， 所以当时，距离取得最小值为. 故答案为： 13．（2025·高二·辽宁·期中）过抛物线焦点的直线交于两点，线段中点到轴距离为1，则 ． 【答案】3 【解析】抛物线的准线方程为. 设焦点为F，过A，B，M分别作准线的垂线，垂足为A′，B′，M′， 则有， ∵M到y轴距离为1，∴， 所以． 故答案为：3 14．已知平面直角坐标系中不同的三点，，，圆心在轴上的圆经过三点，设点的坐标为，则点的轨迹方程为 ． 【答案】 【解析】由题意得圆心在轴上的圆经过点，，三点， 可得线段为圆的直径，而点在圆上，则，得到， 又，，则，而不重合，得到， 故点的轨迹方程为． 故答案为： 15．已知为抛物线上的两点，若是边长为的等边三角形，为坐标原点，则抛物线方程为 ． 【答案】 【解析】抛物线和其上的等边三角形都关于轴对称，则两点关于轴对称， 轴是等边三角形边的垂直平分线，不妨取在第一象限， 如图，由，，得， 将代入抛物线方程中得， 所以，抛物线方程为． 故答案为：. 16．（2025·高二·广西河池·月考）已知抛物线的焦点F到准线的距离为4，过F的直线l与C交于A，B两点. (1)求抛物线的标准方程； (2)若直线l的倾斜角为，求. 【解析】（1）由抛物线的性质知，，故抛物线； （2）由直线l的倾斜角为，则斜率为，直线方程为， 设， 联立，整理得，         则，，故 17．（2025·高二·上海·期中）求过定点且与抛物线只有一个公共点的直线的方程． 【解析】当直线斜率不存在时，又过定点，此时直线方程为， 将代入抛物线方程，得，即，只有一个公共点，符合题意； 当直线斜率存在时，设斜率为k，又过定点，则直线方程为， 将其代入抛物线方得，展开并整理， 当时，方程即为，解得，代入直线方程得，只有一个公共点，此时直线方程为，符合题意； 当时，此时方程是一元二次方程，因为只有一个公共点，所以判别式， 即，解得， 将代入直线方程，得，即， 综上，满足条件的直线方程为、和． 18．（2025·高三·江苏南通·开学考试）已知为坐标原点，过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点（点在第一象限）． (1)若，，求的值； (2)设点为抛物线准线与轴交点，求． 【解析】（1）因为点在第一象限，，则， 焦点，准线，， 所以设点，直线， 联立，得，解得，， 由，得. （2）因为点在第一象限，则，焦点，点， 设点，直线， 联立，得， 所以，， 则 ， 综上，的值为0. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $