专题04 等轴双曲线·渐近线·离心率六大典型问题（高效培优专项训练）数学人教A版高二选择性必修第一册

专题04 等轴双曲线·渐近线·离心率六大典型问题 题型一 等轴双曲线 题型二 求共渐近线的双曲线方程 题型三 根据a b c齐次式求渐近线方程 题型四 求双曲线离心率的值 题型五 求双曲线离心率的范围 题型六 求共离心率的双曲线方程 题型一 等轴双曲线 1．已知抛物线焦点为F，设P是焦点为的等轴双曲线下支上一点，过P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点，则的最小值为（    ）． A．5 B．2 C．3 D．6 2．已知焦点在轴的等轴双曲线的焦距为4． (1)求的标准方程； (2)设在的左支上任意一点处的切线为，右焦点关于的对称点为，证明：直线过定点，并求出该定点坐标： (3)设（2）中求得的定点为，求面积的最大值． 3．（多选）已知圆锥曲线的两个焦点为为上不与共线的点，则下列说法正确的有（    ） A．若是椭圆，则实数的取值范围是 B．若是双曲线，则两点在轴上 C．若，则周长为8 D．若，则的实轴和虚轴长度相等 4．已知等轴双曲线的对称轴为坐标轴，右焦点为，则双曲线的方程为______． 5．（多选）设双曲线的左､右焦点分别为.过的直线与的两条渐近线都相交，交点分别为为的中点，为坐标原点.则（    ） A．是直角三角形 B．是等腰直角三角形 C． D．点到直线的距离为 6．等轴双曲线经过点． (1)求双曲线的方程； (2)已知圆心在 轴的圆经过原点，且与双曲线相交于四点（按照顺时针方向），求证：直线与圆相切． 7．若等轴双曲线的焦点到渐近线的距离为，且上一点到它的一个焦点的距离为，则到另一个焦点的距离为（    ） A． B． C．或 D． 8．（多选）已知双曲线，则下列说法正确的是（   ） A． B．若C为等轴双曲线，则 C．若为C的一条渐近线，则 D．若C的焦点到渐近线的距离为2，则 9．已知等轴双曲线的中心在原点，它的一个焦点为，则双曲线的方程是（    ） A． B． C． D． 10．已知双曲线为等轴双曲线，虚轴长为4． (1)求的标准方程； (2)斜率为的直线过点，且直线与的两支分别交于点，． （i）求的取值范围； （ii）若是点关于轴的对称点，证明：直线过定点． 题型二 求共渐近线的双曲线方程 11．已知焦点在x轴上的双曲线M与双曲线N:有共同的渐近线，且点在双曲线M上，则双曲线M的方程为____________. 12．已知双曲线与有相同的渐近线，则数对可以为_____. 13．与双曲线有相同渐近线，且经过点的双曲线的方程是_________. 14．求符合条件的方程 (1)求焦点为，且与双曲线有相同渐近线的双曲线标准方程. (2)求经过点和点的椭圆的标准方程 (3)求经过点的抛物线的标准方程 15．（多选）已知双曲线与双曲线：有共同的渐近线，双曲线的两个焦点分别为，，点为上的一点，且，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 16．若双曲线与双曲线有相同的渐近线，且双曲线的右焦点在直线上，则双曲线的标准方程为______． 17．已知双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线，则双曲线的标准方程为___________． 18．回答下面两个问题 (1)求焦点为，，且过点的双曲线的标准方程； (2)求与双曲线有相同的渐近线，且过点的双曲线的标准方程. 19．与双曲线有共同渐近线，且经过点的双曲线的虚轴长为___________． 20．已知焦点在 轴上的双曲线 与双曲线 有共同的渐近线，且点 在双曲线 上，则双曲线 的方程为（   ） A． B． C． D． 题型三 根据a b c齐次式求渐近线方程 21．已知双曲线的离心率小于2，其左、右焦点分别为，，点是双曲线右支上一点，若，且焦点三角形的最大内角与最小内角之和为，则双曲线的渐近线方程为（     ） A． B． C． D． 22．（多选）已知双曲线：的左焦点为，右顶点为，其右支上有一点位于第一象限，，，，则（     ） A．点的坐标可表示为 B． C．的渐近线方程为 D．点到的右焦点的距离与之差为 23．双曲线和有相同的渐近线，离心率分别为和，若，则（    ） A． B． C． D． 24．设为原点，，为双曲线C：（，）的两个焦点，点在上且满足，，则该双曲线的渐近线方程为（     ） A． B． C． D． 25．已知双曲线：（，）的离心率为，则（    ） A． B．1 C．2 D． 26．已知双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1和F2，右顶点为A，过点A作斜率为的直线l，点M在直线l上，若∠MF1F2＝120°，△MF1F2为等腰三角形，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 27．若双曲线虚轴的一端点与两顶点构成直角三角形，则C的渐近线方程为（） A． B． C． D． 28．已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，过的直线交的右支于，两点，若，且，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 29．已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，点P在C的右支上，且，若的中点在C的第一、三象限内的渐近线上，则C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 30．已知双曲线的左顶点为，过的直线与的右支交于点，若线段的中点在圆上，且，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 题型四 求双曲线离心率的值 31．已知双曲线的一条渐近线的斜率为，则双曲线的离心率为（ ） A．2 B． C． D．3 32．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 33．已知椭圆和双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为，，设两曲线在第一象限的交点为M，、的离心率分别为、，当时，不可能等于（    ） A． B． C． D． 34．已知点分别是双曲线的两个焦点，P为该双曲线上一点，若为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为____________． 35．已知双曲线的两条渐近线分别为，记上的动点到，的距离分别为，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 36．双曲线的一条渐近线倾斜角为，则双曲线的离心率为（     ） A． B． C． D． 37．已知直线l是双曲线的一条渐近线，过C的右焦点且垂直于x轴的直线与C交于A，B两点，设点A，B到直线l的距离分别为，，且，则C的离心率为________． 38．我们知道，对勾函数的图象实际上是双曲线，它是由标准双曲线经过变换得到，它满足双曲线的基本性质．则函数的图象对应的双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 39．双曲线：的左、右焦点分别为，，为坐标原点，点是上一点．若，则的离心率为_____________． 40．已知双曲线的一条渐近线方程为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 题型五 求双曲线离心率的范围 41．已知双曲线的左、右焦点分别为，，在的右支上存在异于顶点的一点，使交轴于点，若为的角平分线，则的离心率的取值范围为____． 42．已知双曲线C：，在双曲线C左支上任取两个不同的点，，都有，则双曲线C的离心率e的最大值为（    ） A． B．3 C． D．2 43．已知双曲线的左、右焦点为，，为双曲线上一点，的内心为，直线，的斜率分别为，，且，则该双曲线的渐近线夹角的正切值为________． 44．已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，过点的直线与的右支交于，两点，内切圆的面积是内切圆的面积的4倍，则的离心率的取值范围是__________． 45．已知圆与双曲线，若在双曲线上存在一点，使得过点能作圆的两条切线，切点为，且，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 46．已知椭圆：（）与双曲线：的离心率之积为1，若点在上，则的长轴长的取值范围是______． 47．如图，、是椭圆与双曲线的公共焦点，点、是椭圆与双曲线的两个交点，其中在第一象限，在第三象限．若，则与的离心率之积的最小值为___________． 48．（多选）已知，分别是双曲线的左、右焦点，过右焦点的直线交的右支于两点，的内切圆圆心为，且该圆与轴相切于点，则下列说法正确的是（   ） A．点到轴的距离为 B．若，则的渐近线方程为 C．若，且轴恰好和的内切圆相切，则的离心率为 D．若的周长为，则的离心率的取值范围是 49．已知为双曲线上一动点，若存在点到轴、轴的距离之比为，则双曲线的离心率范围为（    ） A． B． C． D． 50．已知椭圆与双曲线有相同的左、右焦点，若点是与在第一象限内的交点，且，设与的离心率分别为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型六 求共离心率的双曲线方程 51．已知双曲线过点，且与双曲线有相同的离心率，则双曲线的标准方程为______． 52．已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 53．如果一双曲线的实轴及虚轴分别为另一双曲线的虚轴及实轴，则这两双曲线互为“共轭双曲线”.已知双曲线的共轭双曲线的离心率为. (1)求的方程； (2)若直线与的右支交于两点，且以线段为直径的圆与轴相切，求的值. 54．与双曲线有相同离心率和相同渐近线的双曲线方程是（    ） A． B． C． D． 55．（1）求过点，与双曲线离心率相等的双曲线的标准方程. （2）已知双曲线，求过点且被点平分的弦所在直线的方程. 56．在平面直角坐标系中，双曲线的离心率为，点是上任意一点．抛物线的焦点到准线的距离是1． (1)求的方程； (2)过点作的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于两点，求证：平行四边形的面积为定值； (3)是的两条切线，是切点，求面积的最小值． 57．已知双曲线的实轴长为2，离心率为.过右焦点的直线与双曲线的左、右两支分别交于点 (1)求双曲线的标准方程; (2)设直线（为坐标原点）的倾斜角分别为，且，求直线的方程; (3)点是线段的中点，过点且与直线垂直的直线交直线于点，求三角形面积的最小值. 58．已知双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，点，且的面积为． (1)求双曲线的标准方程； (2)直线交轴于点，与双曲线的左、右两支分别交于点E，F（不同于点A），记直线AE，AF分别与直线交于点M，N，证明：是的中点． 59．（多选）(多选)已知双曲线的离心率为2.若抛物线C2：x2=2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则（    ） A．双曲线C1的渐近线为 B．双曲线C1的渐近线为 C．抛物线C2的方程为x2=8y D．抛物线C2的方程为x2=16y 60．已知双曲线的离心率为，其一条渐近线被圆截得的线段长为，则实数的值为 A．3 B．1 C． D．2 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题04等轴双曲线·渐近线·离心率六大典型问题 题型归纳 题型一等轴双曲线 题型二求共渐近线的双曲线方程 题型三根据abc齐次式求渐近线方程 题型四求双曲线离心率的值 题型五求双曲线离心率的范围 题型六求共离心率的双曲线方程 题型专练 题型一等轴双曲线 1.D xy2-1 2.22 (2)定点(-2,0)，证明过程如下： 设点P(%,≤-V2),则双曲线C在点P处的切线方程为ox-y=2, 已知双面线右焦点F20)设点Q(,》则线段F0的中点M(色，） 2,2在切线上，且FQ11: 所以有如店=即产务%=货》 (x-2) 又因为中点在切线上，所以气2-%兰=2一无2 为。—=2，化简得 M 2 2 2 2 x(x1+2)+y(x-2)=4x①. 因为P(,)在双曲线C上，所以后-片=2→片=x-2,代入①式化简得2x(x6-)=4(。-1), 1/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2 yo -2 因为所以x=2·则=+1 2y%, 所以点g2,2%: 七≠1 x+1 +1 x+1'x+1 2y0 则直线 斜率知当+1 9(。-=为 2 6+16 2-号-6+2’ PO 根据点点斜式方程可得直线P№的方程为 -%年2-(-%+2到=x-户6+2=%+2. 则直线过定点(-2,0). (3)4V2 【详解】4)设等销双曲线C的标准方程为扩-。@>0，因为双曲线焦距为4，所队=4：则 c=2, 在双曲线中有c2=a2+b2,又因为等轴双曲线中a=b,所以代入得a2=2, x2 y2 所以双曲线C标准方程为2一2 =1. (2)略 (3)由题，1MF=2-2=4,设点Q(oo》,则5owr=MFal=2a, 可知，。，则3w+因为≤-2→K+l归 令t=+1≤1-2)，因为=6-2，所以片=(--2=-21-l,代入得 5wa442 则当}-1→1=-1时，面积最大值为(S.0心)=4万 2/22 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3 BCD x2 y 4 -=1 66 【详解】由于所求等轴双曲线的焦点F(2W5,0)在x轴上， 可股所来双线的方布为后兰-1o>0。 则Va2+a=V2a=2W5,解得a=6, x2=1. 因此，所求等轴双曲线的方程为6一6 x2 y2 故答案为：66 =1. 5,ABD 6.1)22 (2)证明：由于双曲线和圆均关于y轴对称，不妨设A(,),C(,y),则B(,y),D(-,),如图： y外 设圆心在y轴上的圆的方程为2+(y-k)}=2(k≠0，因圆经过原点，代入(0,0)满足方程)， 化简得x2+y2-2y=0. 将双曲线方程2=y2+2代入圆的方程，消去x2,得（+2)+y2-2=0, 整理得2y2-2+2=0,则y2-+1=0,故y=1. 3/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 直线AC的方程为(x-y-片)=(2-片)x-x),即(%2-)x-(:-x)y+y-%=0, 2yxy2 所以原点到直线C的距瑞为 x5+x-2x5y丛 AC 0,-y+k,-x+巧++5-25-2·（国） 因为双曲线方程为-y=2,所以=+2，号=吃+2， 所以x+++片-2xx-2y=(+2)+(+2)+(+)-2xx-2=2(+)+2-2x, x+x-2xxyy2=(+2）y+(+2)-2xx=2(+)+2-2xx2, 分别代入()式中，得d=1,所以直线AC与圆x2+y2=1相切，得证. x2 y 【详解】(1)等轴双曲线满足a=6:因此双曲线r的方程可写为。存=1(>0)， 因为双前线经过5小所以上。 a2a2 31 2 即。。1，化简得后1，解得。=2 因此。双自线的方程为号号1。 7.B 8.ABD 9.B 0仙学-苦1.aD-1间要更行 【详解】(1)根据题意可得2b=4,且a=b,解出a=b=2, x2 y2 故c标准方程为：4-4 =1； (2)设直线：y=k(x-1),A(G,y),B(x), y=k(x-1) 由苦艺1深去可 (1-k2)x2+2k2x-k2-4=01 .-2k2 2-k2-4 则+1-，x西=1-F,△=4k+4-k2k2+4=44-3k): 4/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4(4-3k2)>0 ()因为直线与双曲线交于两支，所以且 △>0xx2<0 ,即-4<0 1-k2 解得：-1<k<1: m设4AD:y-y=+上(x-x), X1-x2 当k≠0时，令y=0, x=任-)(-2+5=出+=2-(G+_2--4+2k y+y2 y+y (6+)-2-22-20-k=4, 即直线AD过定点(4,0)： 当k=0时，直线AD也过定点(4，O) 综上所述，直线AD过定点(4，O) 题型二求共渐近线的双曲线方程 3x2_y=1 11.82 2-=1,元>0， 【详解】依题意，设双曲线M的方程为4元3元 将点P代入符日员1解得=子 41 3x2y2 所以双曲线M的方程为82=1. 12.(2,V2)(答案不唯一) x2 y2 【详解】可知双曲线：示=1的海近线为=± x, 2 可知双曲线号希-1的渐近线为y=± y2 x2 n 当渐近线相同时，可得安2或从-一V5 或 2 -斤，即m=士22： 所以数对(m,n)可以为2,2). 5/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x2 y2 【详解】设双曲线方程为164=元， 18年元，得= 将点(32,2)代入得164 8 敌双曲线方程为，-2少中 故答案为：之2少=1 a哈1，后*51：r 3x或x2-9 . x 【详解】(1)由双曲线焦点为(0,6，与双曲线2少=1有相同渐近线，设该双曲线方程为 2、x2 2 =(2>0), y2 x2 即元2元=L,因此2+2元=62，解得1=12： y2 x2 所以所求双曲线方程为1224 1 (2)设经过点A(V5,-2)和点B(-25,1)的椭圆方程为mx2+y2=1,m>0,n>0,m≠n, 3m+4n=1 则12m+n=解得m=n= 5m=5 x2,y2 所以所求椭圆的标准方程为5+行 =1 (3)当抛物线焦点在x轴上时，设所求方程为y2=mx(m≠0)，则(-5)2=m:(-3), 解得m=、 3,方程为少2=-2 25 3t: 当抛物线焦点在y轴上时，设所求方程为x2=(n≠0)，则(-3)2=n(-5), 9 9 解得n= ,方程为×=， 所以所求抛物线的标准方程为2=-25x。 3x或r2-9 15.AC 2y=1 16.6436 6/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x2 y2 x2 y2 【详解】出题忘可设双曲线c的方程为6号=入（久>0)，即品员1. 所以c2=161+92=25,则c=5反，所以右焦点坐标为5万，0)， 因为双曲线C的右焦点在直线y=x-10上，所以0=5V万-10，解得元=4. y=1. 所以双曲线C的方程为6436 x2 y2 故答案为：6436 1. y2 x2 17.832 1 【详解】设与双自线心号少=1省相同的清近线的双曲线方程为子-少-元。 将P2代入若-y=2行2=号e1-9=8 x2 y2 x2 故所求双曲线方程为4-少=-8，即令321. y2 x2 故答案为：832 =1 y2 x2 18.8-y=12)618 1 【详解】(1)由题意知，双曲线的焦点在x轴上，且半焦距C=3, x2 y 故设所求双曲线的标准方程为京存=1(a>0,6>0), 1A=V-3-4)+1P=52,AE=V3-4}'+1P=2, 所以2a=A-4F=52-=4W2,所以a=22, 所以b2=c2-a2=9-8=1, 故所求双曲线的标准方程为8y=1 ￡买=20)。 (2)设所求双曲线的方程为9-3 将点6N2.2w同代入述方程，霜BE.包- 9 7/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x2 y2 所以元=-2所以93-2， y2 x2 故所求双曲线的方程为6181. 19.4 x2 y2 之=20. 【详解】设与双曲线48=1有共同渐近线的双曲线方程为48 “双线营号=2经过点4到=子9- y2 x2 “所求双曲线的方程为84山， y2 x2 设双曲线g41的虚半轴长为6，则6=2： 所以虚轴长2b=4, 故答案为：4 20.D 题型三根据abc齐次式求渐近线方程 21.B 22.ACD 23.C 24.B 25.C 27.D 28.D 29.C 30.B 题型四求双曲线离心率的值 31.B 32.B 33.B 34.V2+1 8/22 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】由双曲线定义可知‖PF1-PF作2a>0,所以∠PFE,=90°或∠PF,E=90°， 当∠PE,F=90°时，则有P5,HFEF2c,所以PREVIFRP+PFP=2V2c, a=(2+10a, 又因为1PR1-PRF2a,即2N2c-2c=2a所以c=2- 所以e=8=2+1:同理可得当∠PF5=90时，e=2+1 a 35.B 36.D 37.√2 【详解】由双曲线的对称性可知不妨设直线的表达式为y= 2x,即bx-ay=0 a 点A,B到直线I的距离分别为4,4，由题意可知A,B关于C的右焦点F(c,O)对称， bc-a×0 d+d,=2dpy=2a'从而dy= b2+a2 =a,得b=d 从而C的离心率为e=￡.匠+_D0-2 a a a 38.D 39.V5+1 2 【详解】PF=P0+OF,PE=Po+OE, PFP=(PO+OF)POP+OFP+2PO.OF, PFP=(PO+OF)2PO+OF P2+2PO.OF. 则PFP+|PFP=21PoP+|O丽P+1OEP+2PO.(OE+OE), 其中OF+0E=0,所以2P0(OF+0F)=0,且o5H0Fl, 9/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以PEP+PEP=2OP+OE), 由题意得2PE=2c→PE=c,√21OP2c→OP√2c, 1PEP+c2=2W2c)+c2）,整理得1P℉P=5c2,即1PF卡5c, 因为IPFHPEI,所以PEI-PE2a,即V5c-c=2a,即c(5-1)=2a, 则e=S2。 2W5+)25+)_2W5+)-5+1 a5-1(W5-10(N5+1)5-14 2 40.A 题型五求双曲线离心率的范围 41.(2,3) 【详解】设双曲线的焦距为2c,且c>0,则F(-C,0),F(c,0), 设点P(xo,%)且x>a>0,y%≠0， 直线PE的方程为yx十。+0，令=O:得C x0+c’x,>a: 所以O<yM<%,则M在线段PF上， PMPF 由M,是∠PFE的角平分线，在APF,E中M丽F, 10122 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 PM 1x0-0=0 由M,P,B三点共线，则ME0-(-Cc, 因为Fr1=c,则2-2P附=24. c 2c 而点P(x, 到右点的距离为PG-c+呢--e+[手--层后-2+G=风0， 所以ex0-a=2x→x(e-2)=a→， e-2>a，所以e-2 >1→e<3, 由x>0,则e-2>0,即e>2, 综上，离心率e的取值范围为(2,3). 42.A 43.4v5 【详解】设双曲线焦点F(-c,O),F(c,0),内切圆与PF,PF,FF,分别相切于点A,B,C, 不妨设P在双曲线右支，根据双曲线定义PFH PE=2a,由三角形内切圆切线长性质可得： PF-PFl=(PA+AEl)-(PBl+BF)=|EC-|EC=2a,又因为FC+FC=2c, 解得FC=c+a,FC=c-a,故aPFE的内心I的横坐标为a,即I(a,y)y,≠0)， E斜率(= 5+1=0 本。瓜剑率6=产。，代入张+6=0，约去乃≠0得：。e+。。 通分化简分子得5a-0+a+0=6a-4e=0,即e= 2a, 山e=G+,代入e=0得： 9a2=a+b62=b=5=b_R5 a74a2, 双曲线渐近线斜率为人=5， 2 由两直线夹角正切公式： m0=点1=151=45 1+k,k41- 5 4 11/22 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 44.(1,3) 【详解】设双曲线C的焦距为2c,则F(-c,0),F(c,0). 分别记△AEE,和△BF5的内切圆为oO,⊙0，’其半径分别为，2：则π =4,所子=2 设⊙0与A,AE,FF切于点M,N,G, 4F-4F=AM+FMI-AN-INF=FG-FG=2a 又FG+EG=2c,所以lFG=c-a,FG=c+a. 即G点坐标为(a,0) 同理，⊙0与FE切于点G,即O,O,G三点共线，且OO1FE. 所以m20RG-0e-52=2.mc0,5G=0C.5 GF c-a c-a' GF,c-a tanL0,EC=2】 所以tanZO,FG 又∠0FA=∠0EG,∠O,EB=∠0，E,G, 所以∠0F02=∠0，FG+∠0，F,G=90°. 所以ean∠0FG-m∠0，rG=1,所以2m'∠O,RG=,m∠0rG= 2 2+ 所以an∠BFG=tan2∠O,E,G= =25 1- 2 2 即直线AB的斜率为2√2】 所2a3,即c8,同】 <9,所以<3， a 12122 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以C的离心率的取值范围是(1,3). 45.C 46. a 【详解】记c=Va-b,则C的离心率为9= a 2m2+1 V4m>5, 1 D的离心率为e2=1+ m2 3+ 由g%=1,则0<6< 3 又传)在c上，用衣衣1 11 即a2+b=4a2b2,即2a2-c2=4a2(a2-c2） 所以4a-2a￡-2￡=1+ 1 a2-c21-e2 1-e2’ 因为1-1，则21， 1 所以2<4解钓5<2a< 2 故C的长轴长的取值范围为 2 x2,y2 x2 y2 【详解】设椭圆C的方程为。+方=1a>b>0),双曲线c,的方程为亦京=m>0,n>0), 因为椭圆C与双曲线C2的公共焦点，所以a2-b2=m2+n2=c2, 13122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 如图所示，连接A,FB,根据椭圆的对称性，可得四边形ABE为平行四边形， 因为∠AEB=3π ，可得∠54=子设=sh=1, 在△AEE中，由余弦定理得|FE=AE+|AE-2AFAE引cos∠EAE, 由椭圆的定义，可得s+t=2a, 可得4c2=g2+2-2s1c0s元=52+2-V2t=(6+}-2+V2)st=4a2-(2+2)m. 4 462 所以（2+2t=42-4c2=462,所以t=2+V2 又由双曲线的定义，可得1-s=2m, 可得4c2=s2+2-2stc0s元=S2+2-V2t=亿-}2+(2-V2)t=4m2+(2-2)s, 4 4n2 所以(2-2)r=4c2-4m2=4n2,所以t= 2-√2？ 4b24n2 b2 n2 所以2+V22-V2,可得2+V22-V2,即a2-c2=(6+22c2-m) 可得g+0+2m-4+2Wc,所似号+8+22m-4+25, c2 因为42+3+22)m22c c2 E.+2②m-26+2网=2x22"-52+20,当且仅 c2 2 c2 当a=(N2+1)m时，等号成立， 所以v22+2≤4+25，即0≤2，所以C≥5 am-21 2 所以C与C,的离心率之积的最小值为2 B 48.AD 49.C 14122 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 50.C 题型六求共离心率的双曲线方程 51.05 x2 y2 =1 xy 【详解】设与双曲线26 1失离心来发线方把为后-若=>0变5名心>0。 国%双线C这点B8-小所以2-号。方号台 （舍去)， 所以双改c的方为后长-总后苦1 x2 y2 故答案为：1051 52.C 53.回r-=l@242N5 【详解】(1)由题可得C:x- 原=10m>0y, 因为C的离心率为5，所以Vm2+1=V5,得m2=2, 所以c的方程为2-上- 2 (2)因为1过C的右顶点（山，0），不妨设A(1,0),B(:,片)， 由C的方程可得其渐近线方程为y=±V2x,且A,B均在C的右支上， 可得k>√2或k<-V2,即k2>2, [y=k(x-1) 联立方程x-上1，消去y得 2 (2-k2)x2+2k2x-2-k2=01 15122 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2k2 则x+1= 二2号可得A=+k-小4+足 k2+2 k2-21 以线段 A 22半径为182+ B为直径的圆的圆心横坐标为5+1.2 2k2-2 k22V1+k2 由题意知-2-2，整理得k-42-4=0 解得2=2+22或k2=2-2V2(舍去)， 所以k的值为2+2V2 54.C x" 55.(1)4-y=l(2)3x+4y-5=0 【详解】(1)~双曲线过点(2,0)，：所求双曲线的焦点在x轴上， y2 x2 又所求双曲线离心率与双曲线6416 1离心率相同， :可设其方程为： 之=2>0). 6416 将(2,0)代入双曲线方程得：1=16，则所求双曲线标准方程为：4 y2=1. (2)方法一：由题意知：所求直线的斜率存在， 可设其方程为：y+1=k(x-3),即y=x-3k-1, y=k-3k-1 由年y产1得(0-49r+(6联+0x-36-2-8=0 8k(3k+1) 设M(,y)N(x,乃2)x+名= 1-4k2 又4g-)为中点，兰=然想-3，解得：=3 2 1-4k2 4 当k=-3， :所求直线N的方程为：yx+,即3x+40 方法二：设M(,),N(,), 16122 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 生-= 均在双曲线上， .M,N 4 两式作差得： s+-=0y+)0y-), 4 直线N的斜案k=业=与+5 x1-x24y+y2 又(6-)为N中点：+6=6：男+=-2，= 4, 经检验：该直线MN存在， :所求直线y的方程为：+1=x-),即3x+4y-5-0 x 56,(1)C的方程为3-y=l,c,的方程为2=2y 证明：设P(,)不妨设O4为渐近线y一3xOB为渐近线yY x,直线 ,的方程为 y-yo=- 3(x-), -x 联立方程 所以。 y-%=- 3 同理可得B 由于直线O1的斜率k= 3,因此∠A0=30:所以∠A0B=2∠A0r=60, 所以平行四边形P4OB的面积为S=1O4,sin4乙OB= 5-3% 6 因为点p在双曲线C上，所以等-6=山，即后-3城=3 所以平行四边形PAOB的面积为2： 16√6 3)9 17/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)设双曲线的半焦距为c,则c2=a2+1, 252 又因为宽心率为25，所以三-25.代入得2等=+1，解得。=5 3 a 3 x2 所以双曲线C的方程为3少=1， 因为抛物线C2焦点到准线的距离为1，所以p=1, 所以抛物线C的方程为x2=2y. (2)略 (3)设P(x%,C(,),D(x,2), 1 因为函数y=2t的导数为y=x,所以直线pC的方程为y-片=x(k-), 由于P(x)在直线PC上，则%-乃=(-)=-24，%+乃=x, 同理+=x,所以C(x,乃)，D(,)均满足方程+y=xx, 所以直线CD的方程为xx=y+%, xox=y+yo 联立方程2=2y，得2-2x,x+2,=0:所以x+=2x,x=2' 则CDl=V1+k-x=+V4-8%, x6-2 又因为到直线。n的距离d= CD V1+x爱 所以PCD面积T-lc0d=-2y小4c--K-2%j月， 因为5-2%=好-2%+3=骨 9 ,16V6 所以aPCD面积最小值为g 18122 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 57.@c:f-苦=1er--威-引c-e35 [2a=2 【详解】(1)由已知=5，所以， a=1c=5’b2=c2-a2、 所以双曲线标准方程是- 41 (②双线-号-1的新近线为y=2r·焦点为F华标为5,0：设宜线AB方程为y=-5: （-2<k<2),设A(x,h且x2), 消去得 y=k(x-/5) y(4-k2)x2+2V5k2x-(5k2+4)=0 2V5k2 5k2+4 +x一4，=-4 直线0AOB（O为坐标尿点)的倾斜角分别为2，B:即ana=是，amB= X1’ X, 2 ,a+B=π+arctan 5,.tan(a+B)=2 2 59 X+2 又tan(a+B) tana+tanE=五=y+x业 -mam分应2g-化-5)+红s-5 xx2 xx2-k2(x-V5)(x2-V5) K2xx2-5(x+x】 1-2)x3+5k2x+x)-52, k10k2+810k2 k2-4k2-4 2 -44一5：5化简 0-k3).5k2+410k4 21k2-20k+4=0 2 2 解得k=3或k= 7 19122 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 直线，的方程为y=号引-5)或y引-5)： 3)设MK,则%=55=54 224”。=k(x。-5=45, 直线ON方程为y=受。 PFL:则直线pp的方程为y=-。 - √5x y=- xo+kyo 由 ,解得 y=业x y= 5，即 5x,5) xo+kyo xo+koxo+ko 25k2 5k2+4 由(2)知+6=-4,6=-4， 4B=+2=+k2.)2-4x2 =V1+k2 20k44(5k2+4)8(k2+1) Vk2-4)2 k2-4 4-k2’ 20k2 1+K2 k2-4 1+k2V5,F1 5k2,4V5R24V51+k2 xo+kyo k2-4k2-45Vk2 所5a-hP9-16 (1+k2)3 Vk2(4-k2)2’ 设4=k2+1,则4∈1,5)： (0+k2)3n3 3 1 y4-u-X5--1r+35-251,3的25， u'u u 1 y=-25r+35-11t+1,令f)=-2503+35f-1l1+1, 则0=-75+7w-1=--W05-1:自0=0e兮网=号 m=常-的w, 20122 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以(SpB)nn= 16√5135 5×V25 =35 x2 y2 (2)证明：联立 24=1 可 x=my+1 可得2m-r+4-2=0设E,）F6） 则2m-120'A-2m-8≥0则+为=2=2m·直线4松的方程为 47m 2 y=-26x-2+2. 七-2 令=1”得w当+2 x-2 线的方想为安-22， 令-1”得2二当+2 x3-2 因为w+w-2当+2+2-当+2=2m+(2m+100+2)小上4+4 七-2 七32-2 (my-1)(my2-1) -2m 2 +(2m+1) 4m） -4 、2m2-1 、2m2-1 -+4 2 4m m 2m2-1 厂m 2m2-/+1 -4(4m2-1) =2m1+4=4+4=0, 4m2-1 2m2-1 所以yM+yw=0, 所以BM HBNI, 即B是MN的中点. 21122 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B e=c=5 a =1 【详解】(1)由题知Ss=2 2cx2=2√6 a2+b2=c2 a=√2 解得b=2 c=√6 x2 y2 所以双曲线c的标准方程为241. (2)略。 59.AD 60.D 22122 专题04 等轴双曲线·渐近线·离心率六大典型问题 题型一 等轴双曲线 题型二 求共渐近线的双曲线方程 题型三 根据a b c齐次式求渐近线方程 题型四 求双曲线离心率的值 题型五 求双曲线离心率的范围 题型六 求共离心率的双曲线方程 题型一 等轴双曲线 1．已知抛物线焦点为F，设P是焦点为的等轴双曲线下支上一点，过P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点，则的最小值为（    ）． A．5 B．2 C．3 D．6 【答案】D 【分析】由题可得双曲线的方程为，设，，则切点弦方程为，联立抛物线与抛物线的切点弦方程，由韦达定理可得，继而可得，由可得，结合抛物线的定理可得，利用二次函数的单调性求解最小值即可. 【详解】等轴双曲线中，所以， 所以双曲线的方程为，即， 设，， 则切点弦的方程为，即， ，可得， 所以， 又，， 所以， 又因为点在双曲线上， 所以，即， 所以， ， 二次函数的对称轴为，当时单调递减， 所以在上单调递减， 所以当时，取得最小值为6. 2．已知焦点在轴的等轴双曲线的焦距为4． (1)求的标准方程； (2)设在的左支上任意一点处的切线为，右焦点关于的对称点为，证明：直线过定点，并求出该定点坐标： (3)设（2）中求得的定点为，求面积的最大值． 【答案】(1) (2)定点，证明过程如下： 设点，则双曲线C在点P处的切线方程为， 已知双曲线右焦点，设点，则线段的中点在切线上，且， 所以有，即， 又因为中点在切线上，所以，化简得， 因为在双曲线C上，所以，代入式化简得， 因为，所以，则，所以点； 则直线斜率， 根据点点斜式方程可得直线的方程为, 则直线过定点. (3) 【分析】（1）根据双曲线性质代入计算即可； （2）由垂直+中点在切线求Q坐标，整理PQ方程，令不含参部分为0，得到; （3）MF定长为4，面积转化为，代入Q坐标换元，二次函数顶点取最大值. 【详解】（1）设等轴双曲线C的标准方程为，因为双曲线焦距为4，所以，则， 在双曲线中有，又因为等 轴双曲线中，所以代入得， 所以双曲线C标准方程为. （2）略 （3）由题，，设点，则， 由（2）可知，，则，因为， 令，因为，所以，代入得 ， 则当时，面积最大值为    3．（多选）已知圆锥曲线的两个焦点为为上不与共线的点，则下列说法正确的有（    ） A．若是椭圆，则实数的取值范围是 B．若是双曲线，则两点在轴上 C．若，则周长为8 D．若，则的实轴和虚轴长度相等 【答案】BCD 【分析】根据椭圆的定义可判断AC；根据双曲线的定义和性质可判断BD. 【详解】对于A，若是椭圆，则，所以实数的取值范围是， 故A错误； 对于B，若是双曲线，则，则两点在轴上，故B正确； 对于C，若，则曲线是两点在轴上的椭圆， 且，所以，， 则周长为，故C正确； 对于D，若，则曲线是两点在轴上的双曲线， 且，即，，则的实轴和虚轴长度相等，故D正确. 4．已知等轴双曲线的对称轴为坐标轴，右焦点为，则双曲线的方程为______． 【答案】 【分析】设所求双曲线的方程为，根据该双曲线的焦点坐标求出的值，即可得出所求双曲线的标准方程. 【详解】由于所求等轴双曲线的焦点在轴上， 可设所求双曲线的方程为， 则，解得， 因此，所求等轴双曲线的方程为. 故答案为：. 5．（多选）设双曲线的左､右焦点分别为.过的直线与的两条渐近线都相交，交点分别为为的中点，为坐标原点.则（    ） A．是直角三角形 B．是等腰直角三角形 C． D．点到直线的距离为 【答案】ABD 【分析】由双曲线先得渐近线倾角与为直角，判定选项A正确，再利用中位线性质推出角度相等，证得为等腰直角三角形，判定选项B正确，接着结合线段长度列式计算并与已知值比对，得出选项C错误，最后在中用正弦定理求出角的正切值得到直线斜率，写出直线方程后用点到直线距离公式算出距离，验证选项D正确. 【详解】如图： 由于，则渐近线方程，A正确; 如图，连接，由题可知为的中位线，则且， 所以，于是为等腰直角三角形，B正确； 由，则 ， 则，，则C错误； 在中，由正弦定理:， 则，于是. 因为为中点，所以直线的斜率为，过. 所以直线的方程为 ， 点到直线的距离为，D正确. 6．等轴双曲线经过点． (1)求双曲线的方程； (2)已知圆心在 轴的圆经过原点，且与双曲线相交于四点（按照顺时针方向），求证：直线与圆相切． 【答案】(1) (2)证明：由于双曲线和圆均关于 轴对称，不妨设，则，如图： 设圆心在 轴上的圆的方程为（，因圆经过原点，代入满足方程）， 化简得， 将双曲线方程代入圆的方程，消去，得， 整理得，则，故． 直线的方程为，即， 所以原点到直线的距离为． 因为双曲线方程为，所以， 所以， ， 分别代入式中，得，所以直线与圆相切，得证． 【分析】（1）首先理解等轴双曲线的定义，将点的坐标代入即可求解；（2）根据对称性，设出四点的坐标，由圆心在 轴的圆经过原点可设出圆的方程，联立双曲线方程消元后根据韦达定理可得到纵坐标之间的关系，根据原点到直线的距离即可得证. 【详解】（1）等轴双曲线满足，因此双曲线的方程可写为， 因为双曲线经过点，所以， 即，化简得解得， 因此，双曲线的方程为． （2）略 7．若等轴双曲线的焦点到渐近线的距离为，且上一点到它的一个焦点的距离为，则到另一个焦点的距离为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】应用点到直线距离计算，再结合双曲线定义及焦半径最小值计算求解. 【详解】设左焦点，又因为双曲线为等轴双曲线，所以，所以渐近线方程为， 因为焦点到渐近线为，所以，又因为，所以， 又因为，所以在双曲线的左支， 又因为，所以或， 又，故舍去， 所以. 故选：B. 8．（多选）已知双曲线，则下列说法正确的是（   ） A． B．若C为等轴双曲线，则 C．若为C的一条渐近线，则 D．若C的焦点到渐近线的距离为2，则 【答案】ABD 【分析】根据双曲线的标准方程判断A；根据判断B；根据双曲线的渐近线方程判断C；根据焦点到渐近线的距离为判断D. 【详解】A选项，由题意可知，，则，故A正确； B选项，若C为等轴双曲线，则，则，得，故B正确； C选项，双曲线的渐近线方程为，则，得，故C错误； D选项，双曲线的焦点到渐近线的距离为，得，故D正确. 故选：ABD 9．已知等轴双曲线的中心在原点，它的一个焦点为，则双曲线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意设双曲线方程为，根据焦点坐标求出，即可得解. 【详解】依题意设双曲线方程为， 则，解得， 所以双曲线方程为，即. 故选：B 10．已知双曲线为等轴双曲线，虚轴长为4． (1)求的标准方程； (2)斜率为的直线过点，且直线与的两支分别交于点，． （i）求的取值范围； （ii）若是点关于轴的对称点，证明：直线过定点． 【答案】(1)． (2)（ii）证明见解析 【分析】根据题意可得且，解出，即可得到的标准方程； 设直线，，，联立直线方程与双曲线方程，由且，即可求出的取值范围； （ii）设，令，将的值代入即可求出，从而可知直线过定点，从而得证． 【详解】（1）根据题意可得且，解出， 故标准方程为：； （2）设直线，，， 由，消去可得，， 则，，， （i）因为直线与双曲线交于两支，所以且，即， 解得：； （ii）设， 当时，令， ， 即直线过定点； 当时，直线也过定点． 综上所述，直线过定点． 题型二 求共渐近线的双曲线方程 11．已知焦点在x轴上的双曲线M与双曲线N:有共同的渐近线，且点在双曲线M上，则双曲线M的方程为____________. 【答案】 【详解】依题意，设双曲线M的方程为， 将点代入得,解得， 所以双曲线M的方程为. 12．已知双曲线与有相同的渐近线，则数对可以为_____. 【答案】（答案不唯一） 【详解】可知双曲线的渐近线为， 可知双曲线的渐近线为， 当渐近线相同时，可得或，即， 所以数对可以为. 13．与双曲线有相同渐近线，且经过点的双曲线的方程是_________. 【答案】 【分析】设双曲线方程为，将点坐标代入求值即可. 【详解】设双曲线方程为， 将点代入得，得， 故双曲线方程为. 故答案为： 14．求符合条件的方程 (1)求焦点为，且与双曲线有相同渐近线的双曲线标准方程. (2)求经过点和点的椭圆的标准方程 (3)求经过点的抛物线的标准方程 【答案】(1)； (2)； (3)或. 【分析】（1）设双曲线方程为，再利用焦点坐标求出即可. （2）设椭圆方程为，利用给定点求出即可. （3）按抛物线焦点在轴、轴分别设出方程，再利用待定系数法求解即得. 【详解】（1）由双曲线焦点为，与双曲线有相同渐近线，设该双曲线方程为， 即，因此，解得， 所以所求双曲线方程为. （2）设经过点和点的椭圆方程为， 则，解得， 所以所求椭圆的标准方程为. （3）当抛物线焦点在轴上时，设所求方程为，则， 解得，方程为； 当抛物线焦点在轴上时，设所求方程为，则， 解得，方程为， 所以所求抛物线的标准方程为或. 15．（多选）已知双曲线与双曲线：有共同的渐近线，双曲线的两个焦点分别为，，点为上的一点，且，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由双曲线的定义求出，再根据双曲线共渐近线设出双曲线的方程，分焦点在轴上与在轴上两种情况进行分类讨论即可. 【详解】由题可知，解得. 当焦点在轴上时，可设双曲线的方程为， 则，此时双曲线方程为； 当焦点在轴上时，可设双曲线的方程为， 则，此时双曲线方程为. 故选：AC. 16．若双曲线与双曲线有相同的渐近线，且双曲线的右焦点在直线上，则双曲线的标准方程为______． 【答案】 【分析】根据有相同渐近线设出双曲线方程，结合已知条件求出交点坐标，即可求出双曲线方程. 【详解】由题意可设双曲线的方程为（），即， 所以，则，所以右焦点坐标为. 因为双曲线的右焦点在直线上，所以，解得. 所以双曲线的方程为. 故答案为：. 17．已知双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线，则双曲线的标准方程为___________． 【答案】 【分析】设所求双曲线方程为，将代入可得，从而求出双曲线方程. 【详解】设与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程为， 将代入得， 故所求双曲线方程为，即. 故答案为： 18．回答下面两个问题 (1)求焦点为，，且过点的双曲线的标准方程； (2)求与双曲线有相同的渐近线，且过点的双曲线的标准方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先求和，再根据双曲线的定义，即可求解； （2）首先设双曲线方程为，再代入点，即可求解. 【详解】（1）由题意知，双曲线的焦点在轴上，且半焦距， 故设所求双曲线的标准方程为，         ，，         所以，所以，         所以， 故所求双曲线的标准方程为. （2）设所求双曲线的方程为，         将点代入上述方程，得，         所以，所以，             故所求双曲线的方程为. 19．与双曲线有共同渐近线，且经过点的双曲线的虚轴长为___________． 【答案】4 【分析】设所求双曲线的方程为，将点的坐标代入该双曲线的方程，求出的值，可得出所求双曲线的标准方程，结合虚轴长的定义求结论. 【详解】设与双曲线有共同渐近线的双曲线方程为． ∵双曲线经过点，∴， ∴所求双曲线的方程为， 设双曲线的虚半轴长为，则， 所以虚轴长． 故答案为： 20．已知焦点在 轴上的双曲线 与双曲线 有共同的渐近线，且点 在双曲线 上，则双曲线 的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据共渐近线方程可设双曲线的方程为，代入点坐标，解出即可. 【详解】设双曲线的方程为， 将点代入得，得， 所以双曲线的方程为. 故选：D. 题型三 根据a b c齐次式求渐近线方程 21．已知双曲线的离心率小于2，其左、右焦点分别为，，点是双曲线右支上一点，若，且焦点三角形的最大内角与最小内角之和为，则双曲线的渐近线方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线定义求的长度，根据题意结合离心率的条件可得，利用余弦定理结合求出的值，进而得到渐近线方程. 【详解】因为点是双曲线右支上一点，， 则，即， 可知三边长为，，， 又因为双曲线离心率，得，即， 可知焦点三角形的最大内角与最小内角之和为， 则， 由余弦定理可得， 即，整理可得， 即，可得，即， 双曲线的渐近线方程为. 22．（多选）已知双曲线：的左焦点为，右顶点为，其右支上有一点位于第一象限，，，，则（     ） A．点的坐标可表示为 B． C．的渐近线方程为 D．点到的右焦点的距离与之差为 【答案】ACD 【分析】根据求出的关系，根据题意求出直线的方程，利用，求出的坐标.将的坐标代入双曲线方程求解选项B.根据的关系以及双曲线方程求出，进而得到双曲线的渐近线方程.根据双曲线的定义求解选项D. 【详解】双曲线中，右顶点，左焦点. 因为，所以. 结合双曲线关系，得. 选项A.由，顶点在，在第一象限， 可得直线斜率，直线方程为. 设，结合， 所以. 因在右支，则，得，即，，故，正确. 选项B.将代入双曲线方程， 化简得，错误. 选项C.将代入，得， 解得（，舍去负根），则，. 渐近线方程为，正确. 选项D.设右焦点为，由双曲线定义，，则，正确. 23．双曲线和有相同的渐近线，离心率分别为和，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】若双曲线和的焦点在同一坐标轴上，则离心率相等，不合题意， 不妨设双曲线，，，，，， 则对于，其半焦距为，实半轴为，则； 对于，其半焦距为，实半轴为，则， 所以，又，所以，所以，所以. 24．设为原点，，为双曲线C：（，）的两个焦点，点在上且满足，，则该双曲线的渐近线方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律及双曲线定义列式求解. 【详解】令双曲线C：的半焦距为，由点在上且满足，， 得，则， 即，消元解得， 由双曲线定义得，则， 即，整理得，即，解得， 所以该双曲线的渐近线方程为，即. 25．已知双曲线：（，）的离心率为，则（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】C 【分析】利用离心率的定义可求出. 【详解】由的离心率为，可得，解得. 26．已知双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1和F2，右顶点为A，过点A作斜率为的直线l，点M在直线l上，若∠MF1F2＝120°，△MF1F2为等腰三角形，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先写出直线的方程，然后根据平面几何知识求出点，最后把点的坐标代入直线的方程，进而求得的关系即可求解. 【详解】双曲线左焦点，右焦点，右顶点，， 直线的方程为， 因为为等腰三角形， 为钝角， 因此等腰三角形中只能是， 直线的倾斜角为，斜率为， 设，，， 即，在直线上，代入直线方程， 整理得 . . 所以双曲线的渐近线方程为. 27．若双曲线虚轴的一端点与两顶点构成直角三角形，则C的渐近线方程为（） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】双曲线的顶点为，虚轴的一个端点为 由题意，这三点构成直角三角形，且直角顶点只能是. 则，即，整理得，即 双曲线的渐近线方程为，代入，得渐近线方程为. 28．已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，过的直线交的右支于，两点，若，且，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据双曲线定义求出的长度，结合已知的，先在中利用余弦定理求出的长，然后在中利用余弦定理建立与的等量关系，最后借助双曲线中的关系求出的值，即可得到渐近线方程. 【详解】∵ 点在双曲线的右支上，根据双曲线的定义，可得. 又∵ ，∴ 代入得. 设，∵ 点也在双曲线的右支上，同理可得. ∵ 直线过且与双曲线右支交于两点，故在线段上， ∴ ，即，为等腰三角形. 在中，由余弦定理得： ， 将，，代入上式： ， 整理得， ∵ ，，∴ 解得，即，. 在中，再次应用余弦定理： ， 其中，代入已知值： ， 计算得， 化简得. 又∵ 双曲线满足，代入得， 整理得，即. ∵ 双曲线的渐近线方程为，代入得：， 整理为标准直线方程形式得，故选D. 29．已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，点P在C的右支上，且，若的中点在C的第一、三象限内的渐近线上，则C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设的中点为M，设，结合双曲线定义与正弦定理计算可得，再利用余弦定理可列出与、、有关齐次等式，即可得其渐近线方程. 【详解】设的中点为M，又O是的中点，则，则， 设，则， 在中，由正弦定理得， 则，得， 在中，由余弦定理得， 则，即， 结合，整理得， 所以C的渐近线方程为. 30．已知双曲线的左顶点为，过的直线与的右支交于点，若线段的中点在圆上，且，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设线段的中点为，双曲线的右顶点为，连接，则可得，然后在中利用余弦定理求得，则，从而可表示出，代入双曲线方程化简可求出渐近线方程. 【详解】设线段的中点为，双曲线的右顶点为，左右焦点为，连接， 因为线段的中点在圆上，所以， 所以≌，所以， 因为，所以， 在中，由余弦定理得， 因为，所以， 所以，过作轴于，则， 所以， 所以，得，即， 所以双曲线的渐近线方程为； 故选：B 题型四 求双曲线离心率的值 31．已知双曲线的一条渐近线的斜率为，则双曲线的离心率为（ ） A．2 B． C． D．3 【答案】B 【分析】首先利用双曲线渐近线的方程得到，然后利用离心率公式求解离心率即可. 【详解】根据双曲线渐近线的方程满足，所以. 所以双曲线的离心率为 32．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据条件得到圆的方程以及渐近线方程，联立求出点的坐标，根据勾股定理和，建立关于的方程，进而求出离心率． 【详解】如图所示，以为直径的圆的方程为（其中）， 不妨设圆和渐近线的交点在第一象限， 联立，解得. 由直径所对圆周角为直角，可知，故是直角三角形. 由，可得， 即， 整理得， 所以，解得.    33．已知椭圆和双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为，，设两曲线在第一象限的交点为M，、的离心率分别为、，当时，不可能等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆和双曲线的定义，明确、的关系，再结合的取值范围和“对勾函数”的单调性求的取值范围. 【详解】由题意，， 根据椭圆的定义，； 根据双曲线的定义，. 所以， 所以，且. 所以. 设，， 则. 因为函数在上单调递增，所以. 所以. 所以不可能等于. 34．已知点分别是双曲线的两个焦点，P为该双曲线上一点，若为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为____________． 【答案】 【分析】结合双曲线定义可得或，然后由离心率公式求解即可. 【详解】由双曲线定义可知，所以或， 当时，则有，所以， 又因为，即，所以， 所以；同理可得当时，. 35．已知双曲线的两条渐近线分别为，记上的动点到，的距离分别为，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】设，求出两条渐近线方程，根据点到直线的距离公式求出点P到，的距离之积，再根据点P到，的距离之积为，化简整理即可求出答案. 【详解】两条渐近线方程为：，设， 则点P到，的距离之积为，即， 所以． 36．双曲线的一条渐近线倾斜角为，则双曲线的离心率为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用双曲线的渐近线为，可得，则，再利用离心率即可求解. 【详解】双曲线的渐近线为. 因为一条渐近线倾斜角为，所以，即. 所以双曲线的离心率. 37．已知直线l是双曲线的一条渐近线，过C的右焦点且垂直于x轴的直线与C交于A，B两点，设点A，B到直线l的距离分别为，，且，则C的离心率为________． 【答案】 【分析】利用双曲线的对称性转化成焦点到渐近线的距离求解即可. 【详解】由双曲线的对称性可知不妨设直线l的表达式为，即， 点A，B到直线l的距离分别为，，由题意可知A，B关于C的右焦点对称， ，从而，得 从而C的离心率为. 38．我们知道，对勾函数的图象实际上是双曲线，它是由标准双曲线经过变换得到，它满足双曲线的基本性质．则函数的图象对应的双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析可知函数有两条渐近线，，设渐近线的夹角为，可得，，进而可求离心率. 【详解】由题意可知：函数有两条渐近线，， 设渐近线的夹角为，，直线的倾斜角为， 则，，可得， 则，整理可得，解得或（舍去）， 即，所以所求双曲线的离心率为. 39．双曲线：的左、右焦点分别为，，为坐标原点，点是上一点．若，则的离心率为_____________． 【答案】 【分析】由三角形中线长定理求出点到两焦点的距离与半焦距的关系，进而代入双曲线定义得出与的比例，即可求得离心率. 【详解】，， ， ， 则， 其中，所以，且， 所以， 由题意得，， ，整理得，即， 因为，所以，即，即， 则.    40．已知双曲线的一条渐近线方程为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】双曲线的渐近线方程为， 而双曲线的一条渐近线方程为，则， 所以双曲线的离心率为. 题型五 求双曲线离心率的范围 41．已知双曲线的左、右焦点分别为，，在的右支上存在异于顶点的一点，使交轴于点，若为的角平分线，则的离心率的取值范围为____． 【答案】 【分析】设点且，，从而有直线为，根据三角形角平分线的性质有，且，，得即可求范围. 【详解】设双曲线的焦距为，且，则，， 设点且，， 直线的方程为，令，得，， 所以，则在线段上， 由是的角平分线，在中， 由三点共线，则， 因为，则， 而点到右焦点的距离为， 所以，所以， 由，则，即， 综上，离心率的取值范围为. 42．已知双曲线C：，在双曲线C左支上任取两个不同的点，，都有，则双曲线C的离心率e的最大值为（    ） A． B．3 C． D．2 【答案】A 【分析】由向量的数量积确定，进而得到渐近线的倾斜角不大于，即可求解. 【详解】任取双曲线C左支上两个不同的点都有， . 即， 即对左支上任取两个不同的点， 所以渐近线的倾斜角不大于，即 所以双曲线C的离心率. 即双曲线的离心率的最大值为. 43．已知双曲线的左、右焦点为，，为双曲线上一点，的内心为，直线，的斜率分别为，，且，则该双曲线的渐近线夹角的正切值为________． 【答案】 【分析】首先利用三角形内心的性质，得到内心到轴的距离等于内切圆半径，然后利用双曲线的定义结合切线长定理可得的横坐标为定值，写出焦点、的坐标，根据斜率公式表示出和，结合建立方程，推导的关系，得出双曲线渐近线斜率为，最后利用两直线夹角的正切公式计算渐近线夹角的正切值. 【详解】设双曲线焦点，内切圆与分别相切于点， 不妨设在双曲线右支，根据双曲线定义， 由三角形内切圆切线长性质可得： ，又因为， 解得，故的内心的横坐标为，即， 斜率，斜率，代入，约去得： ， 通分化简分子得，即， 由，代入得： ， 双曲线渐近线斜率为， 由两直线夹角正切公式： . 44．已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，过点的直线与的右支交于，两点，内切圆的面积是内切圆的面积的4倍，则的离心率的取值范围是__________． 【答案】 【分析】分别记和的内切圆为，其半径分别为，则；由双曲线的定义及切线的性质，可得和的内切圆圆心的连线与垂直，且，从而求得，由二倍角的正切公式可求得，即直线的斜率，与渐近线斜率比较，并结合，求得关系式，进而得到离心率的取值范围. 【详解】设双曲线的焦距为，则. 分别记和的内切圆为，其半径分别为，则，所以. 设与切于点， 则 又，所以. 即点坐标为， 同理，与切于点，即三点共线，且. 所以， 所以. 又 所以， 所以，所以，. 所以， 即直线的斜率为. 所以，即，即，所以， 所以的离心率的取值范围是. 45．已知圆与双曲线，若在双曲线上存在一点，使得过点能作圆的两条切线，切点为，且，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据切线求得，根据双曲线的性质可得的不等式，从而得出的不等式，结合离心率公式求解即可． 【详解】如图： ，又，所以， 而是圆切线，则， 在中，，因此有， 从而， 而，所以， 在双曲线上，因此，所以， ∴，从而，所以， ∴双曲线的离心率. 46．已知椭圆：（）与双曲线：的离心率之积为1，若点在上，则的长轴长的取值范围是______． 【答案】 【分析】先根据椭圆和双曲线的离心率的定义，及题意得到椭圆离心率的范围，再将点代入椭圆的方程上，结合及椭圆的离心率即可求解． 【详解】记，则C的离心率为， D的离心率为， 由，则， 又点在C上，得， 即，即， 所以， 因为，则， 所以，解得， 故C的长轴长的取值范围为． 47．如图，、是椭圆与双曲线的公共焦点，点、是椭圆与双曲线的两个交点，其中在第一象限，在第三象限．若，则与的离心率之积的最小值为___________． 【答案】/ 【分析】连接，由椭圆的对称性，得到为平行四边形，且，设，在中，利用余弦定理，分别求得和，列出关系式，化简得到，结合基本不等式和离心率的定义，即可求解. 【详解】设椭圆的方程为，双曲线的方程为， 因为椭圆与双曲线的公共焦点，所以， 如图所示，连接，根据椭圆的对称性，可得四边形为平行四边形， 因为，可得，设， 在中，由余弦定理得， 由椭圆的定义，可得， 可得， 所以，所以， 又由双曲线的定义，可得， 可得， 所以，所以， 所以，可得，即， 可得，所以， 因为，当且仅当时，等号成立， 所以，即，所以， 所以与的离心率之积的最小值为. 48．（多选）已知，分别是双曲线的左、右焦点，过右焦点的直线交的右支于两点，的内切圆圆心为，且该圆与轴相切于点，则下列说法正确的是（   ） A．点到轴的距离为 B．若，则的渐近线方程为 C．若，且轴恰好和的内切圆相切，则的离心率为 D．若的周长为，则的离心率的取值范围是 【答案】AD 【分析】对A根据圆的切线长相等及双曲线的定义可得；对B由A选项解析及条件得，再由双曲线的性质可得，进而可得渐近线方程；对C由垂直解得，，再由等面积法得内切圆半径，再结合A选项结果可得离心率；对D根据双曲线的定义可得焦点三角形的周长，进而可得，再由焦点弦的性质可得离心率的范围. 【详解】对于A项，设点的横坐标为，的焦距为，作，， 垂足分别为点，连接，则， 所以，， ， 又，所以，即， 所以，即，所以点到轴的距离为，故A项正确． 对于B项，由A项知，．又， 所以，所以，所以，所以， 则，所以C的渐近线方程为，故B项错误． 对于C项，因为，，所以， 解得，， 所以内切圆半径， 由A项知，即，则， 即，解得或（舍），所以C的离心率为，故C项错误． 对D项，由双曲线的定义可得，， 两式相加可得， 则的周长为，即， 又因为，所以，解得，所以，故D项正确． 49．已知为双曲线上一动点，若存在点到轴、轴的距离之比为，则双曲线的离心率范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题可先根据点到轴，轴的距离之比为得到点横纵坐标的关系，再结合双曲线方程，通过分析得到离心率的取值范围. 【详解】设点，因为点到轴，轴的距离之比为，所以，即. 因为点为双曲线上一动点，将代入双曲线方程可得：，即， 通分可得：，即，因为，所以，即； ，所以，离心率， 因为，故，则，所以，因此，双曲线的离心率范围为. 50．已知椭圆与双曲线有相同的左、右焦点，若点是与在第一象限内的交点，且，设与的离心率分别为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆和双曲线定义，可得，进而可得，化简可得，所以，令，换元后可得，根据函数单调性，即可求得其最值. 【详解】设椭圆与双曲线的焦距为，即， 由椭圆与双曲线的定义可得可得，， 因为，所以，则，即，故， 又，，则， 所以， 令，则， 设函数， 则， 因为，所以， 所以函数在上为增函数，所以， 则，故的取值范围是. 题型六 求共离心率的双曲线方程 51．已知双曲线过点，且与双曲线有相同的离心率，则双曲线的标准方程为______． 【答案】 【分析】与双曲线共离心率的双曲线方程可设为或，代入点的坐标求解. 【详解】设与双曲线共离心率的双曲线方程为或， 因为双曲线过点，所以，（舍去）， 所以双曲线的方程为，即． 故答案为：． 52．已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由离心率，求出，可得渐近线方程. 【详解】由题知，，解得， 又双曲线的焦点在轴上，所以该双曲线的渐近线方程为. 故选：C. 53．如果一双曲线的实轴及虚轴分别为另一双曲线的虚轴及实轴，则这两双曲线互为“共轭双曲线”.已知双曲线的共轭双曲线的离心率为. (1)求的方程； (2)若直线与的右支交于两点，且以线段为直径的圆与轴相切，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意结合双曲线离心率分析求解即可； （2）根据题意结合渐近线可知：或，联立方程，根据圆的性质结合韦达定理和弦长公式列式求解. 【详解】（1）由题可得， 因为的离心率为，所以，得， 所以的方程为. （2）因为过的右顶点，不妨设， 由的方程可得其渐近线方程为，且均在的右支上， 可得或，即， 联立方程，消去y得， 则，可得， 以线段为直径的圆的圆心横坐标为，半径为， 由题意知，整理得， 解得或（舍去）， 所以的值为. 54．与双曲线有相同离心率和相同渐近线的双曲线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别求出双曲线的离心率和渐近线方程，然后逐项求解即可判断. 【详解】双曲线中，，，，渐近线， 对于A：，，，，渐近线，故A错误； 对于B ：，，，，渐近线，故B错误； 对于C ：，，，，渐近线，故C正确； 对于D：，，，，渐近线，故D错误.   故选：C. 55．（1）求过点，与双曲线离心率相等的双曲线的标准方程. （2）已知双曲线，求过点且被点平分的弦所在直线的方程. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）根据双曲线所过点和两双曲线离心率相同可设所求方程为，代入点即可整理求得结果； （2）方法一：设所求直线为，与双曲线方程联立可得，结合中点坐标可构造方程求得的值，由此可得直线方程； 方法二：利用点差法可求得直线斜率，由此可得直线方程. 【详解】（1）双曲线过点，所求双曲线的焦点在轴上， 又所求双曲线离心率与双曲线离心率相同， 可设其方程为：， 将代入双曲线方程得：，则所求双曲线标准方程为：. （2）方法一：由题意知：所求直线的斜率存在， 可设其方程为：，即， 由得：， 设，，， 又为中点，，解得：， 当时，满足，符合题意； 所求直线的方程为：，即； 方法二：设，， 均在双曲线上，， 两式作差得：， 直线的斜率， 又为中点，，，， 经检验：该直线存在， 所求直线的方程为：，即. 56．在平面直角坐标系中，双曲线的离心率为，点是上任意一点．抛物线的焦点到准线的距离是1． (1)求的方程； (2)过点作的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于两点，求证：平行四边形的面积为定值； (3)是的两条切线，是切点，求面积的最小值． 【答案】(1)的方程为；的方程为 (2)证明：设，不妨设为渐近线为渐近线，直线的方程为， 联立方程，解得，所以， 同理可得，所以， 由于直线的斜率，因此，所以， 所以平行四边形的面积为， 因为点在双曲线上，所以，即， 所以平行四边形的面积为; (3) 【分析】（1）由离心率结合，可求出，即可求出双曲线的方程，再由抛物线焦点到准线的距离为1，求出，即可抛物线的方程； （2），求得坐标，进而得到再结合面积公式求解即可； （3）设，，，通过导数求得切线方程，结合韦达定理求得弦长，点到线的距离公式求得高，代入面积公式，进而可求解； 【详解】（1）设双曲线的半焦距为，则， 又因为离心率为，所以，代入得，解得， 所以双曲线的方程为． 因为抛物线焦点到准线的距离为1，所以， 所以抛物线的方程为． （2）略 （3）设， 因为函数的导数为，所以直线的方程为， 由于在直线上，则， 同理，所以均满足方程， 所以直线的方程为， 联立方程，得，所以， 则， 又因为到直线的距离， 所以面积， 又因为， 所以，当为时取最小值， 所以面积最小值为． 57．已知双曲线的实轴长为2，离心率为.过右焦点的直线与双曲线的左、右两支分别交于点 (1)求双曲线的标准方程; (2)设直线（为坐标原点）的倾斜角分别为，且，求直线的方程; (3)点是线段的中点，过点且与直线垂直的直线交直线于点，求三角形面积的最小值. 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）由离心率和实轴长列方程组求得，计算出后即得双曲线标准方程； （2）设直线方程为，，设，直线方程代入双曲线方程消元后应用韦达定理得，代入（其中，）可求得得直线方程； （3）设，则，，由写出直线方程与直线方程联立求得点坐标，计算和，然后由计算面积，利用换元法化简表达式，最后再利用导数求得最值． 【详解】（1）由已知，所以，，则， 所以双曲线标准方程是； （2）双曲线的渐近线为，焦点为坐标为，设直线方程为，，设， ，消去得， ∴，， 直线（为坐标原点）的倾斜角分别为，即，， ∵，∴， 又 ， ∴，化简得， 解得或， ∴直线的方程为或； （3）设，则，， 直线方程为， ，则直线的方程为， 由，解得，即， 由（2）知，， ， ， 所以， 设，则， ， 令，， ，令， 则，由且得， 时，，递增，时，，递减， 所以，， 所以． 58．已知双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，点，且的面积为． (1)求双曲线的标准方程； (2)直线交轴于点，与双曲线的左、右两支分别交于点E，F（不同于点A），记直线AE，AF分别与直线交于点M，N，证明：是的中点． 【答案】(1) (2)证明:联立， 可得． 设，， 则，， 则，． 直线的方程为， 令，得， 直线的方程为， 令，得． 因为 ， 所以， 所以， 即是的中点． 【分析】（1）由题意可得关于的方程组，求解方程组可得双曲线的标准方程； （2）联立方程得到一元二次方程，判别式，利用韦达定理，表达出直线方程，,求出，从而判断为中点. 【详解】（1）由题知 解得 所以双曲线的标准方程为． （2）略. 59．（多选）(多选)已知双曲线的离心率为2.若抛物线C2：x2=2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则（    ） A．双曲线C1的渐近线为 B．双曲线C1的渐近线为 C．抛物线C2的方程为x2=8y D．抛物线C2的方程为x2=16y 【答案】AD 【分析】根据双曲线的离心率，求，判断AB选项，根据焦点到渐近线的距离公式求，判断CD选项. 【详解】解析：因为的离心率为2，所以，即，所以，. 的焦点坐标为，的渐近线方程为，即，由题意得，所以. 故C2的方程为. 故选：AD 60．已知双曲线的离心率为，其一条渐近线被圆截得的线段长为，则实数的值为 A．3 B．1 C． D．2 【答案】D 【详解】分析：由离心率公式，可得a=b，求得渐近线方程，以及圆的圆心和半径，求得圆心到直线的距离，由弦长公式，解方程可得所求值． 详解：由题可得：c=，即有a=b，渐近线方程为y=±x，圆（x-m）2+y2=4（m＞0）的圆心为（m，0），半径为2，可得圆心到直线的距离为d=，则直线被圆截得的弦长为，解得m=2（-2舍去），故选D． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $