专题02 双曲线的方程及其几何性质八大题型（专项训练）数学湘教版2019选择性必修第一册

专题02 双曲线的方程及其几何性质八大题型 目录 A题型建模・专项突破 题型一、双曲线概念中变量的基本关系 1 题型二、双曲线的标准方程求解 4 题型三、双曲线的第二与第三定义 10 题型四、双曲线的渐近线与几何性质 16 题型五、双曲线中的长度和差最值问题 20 题型六、双曲线中焦点三角形的相关问题 24 题型七、双曲线的离心率问题 28 题型八、双曲线中的参数及范围问题 33 B综合攻坚・能力跃升 题型一、双曲线概念中变量的基本关系 1．已知点在以、分别为左、右焦点的双曲线上，若，则（   ） A．6 B．10 C．2 D．6或10 【答案】D 【分析】根据双曲线方程求出、，再根据双曲线的定义求出，即可得解. 【详解】因为双曲线的方程为，所以，. 已知，由双曲线的定义可得，即， 所以或. 由于双曲线上的点到焦点距离的最小值为，故或. 故选：D 2．已知焦点在轴上的双曲线的离心率，则（    ） A．1 B． C． D．1或 【答案】C 【分析】将双曲线的方程化为标准式，可得出，由离心率得出关于的等式，求解即可. 【详解】因为双曲线的焦点在轴上， 所以其标准方程为 所以， 所以解得． 又因为双曲线的离心率，所以． 又，所以， 即， 即，解得或（舍去）． 故选：C． 3．已知双曲线上一点到它的左焦点的距离是，则点到它的右焦点的距离是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】D 【分析】先根据双曲线方程求出基本参数，再利用双曲线定义得到点到两焦点距离的关系，结合双曲线的几何性质判断点所在分支，从而确定点到右焦点的距离. 【详解】设点到双曲线的右焦点距离是，由可知，， 即，，所以， 则由双曲线定义，解得或. 当时，，不符合，舍去. 当时，，符合.所以点到它的右焦点的距离是. 故选：D 4（多选）．若方程表示双曲线，则该双曲线（    ） A．满足或 B．焦距为 C．渐近线斜率可以是 D．不可能是等轴双曲线 【答案】ACD 【分析】先根据双曲线的标准方程求出的取值范围，再根据双曲线的性质逐一分析选项. 【详解】选项A，对于方程表示双曲线，则， 所以的取值范围是或，故A选项正确； B选项，当时，双曲线方程为， 则，焦距，不是定值； 当时，双曲线方程为， 则，焦距，也不是定值；B选项错误； C选项， 当时，双曲线方程为，其渐近线方程为； 令，化简得：，解得，满足，所以渐近线斜率可以是，C选项正确； D选项，若该双曲线是等轴双曲线， 当时，，此方程无解； 当时，，此方程无解； 所以该双曲线不可能是等轴双曲线，D选项正确. 故选：ACD. 5（多选）．已知双曲线C：，则下列说法正确的是（    ） A．双曲线C的实轴长为2 B．若双曲线C的两条渐近线相互垂直，则 C．若是双曲线C的一个焦点，则 D．若，则双曲线C上的点到焦点距离最小值为2 【答案】BC 【分析】由双曲线方程、几何性质和参数关系判断A、C、D；写出渐近线方程，结合垂直关系求参数m判断B. 【详解】由双曲线C：且，则实轴长为，A错； 由渐近线为，若相互垂直，则，B对； 由为焦点，则，则，C对； 若，则双曲线C：，故双曲线C上的点到焦点距离最小值为，D错. 故选：BC 6．双曲线的左右焦点分别为，，已知点在双曲线上，满足，，则 . 【答案】2 【分析】先由题设和双曲线定义求出，接着由勾股定理求出，再由即可求解. 【详解】由题可得， 又，所以， 所以. 故答案为：2    题型二、双曲线的标准方程求解 1．方程的化简结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，将条件中的等式转化为，即动点的轨迹为双曲线，然后得到双曲线的，求出，即可写出双曲线方程. 【详解】设，，点， 则，， ∴， 由双曲线的定义可知，动点的轨迹为双曲线，焦点为，， ∴，，，则， ∴动点的轨迹为双曲线方程为：. 故选：B. 2．已知双曲线的焦点在轴上，两条渐近线互相垂直，实轴长为4，双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据渐近线垂直可得，再根据实轴长为4即可求解. 【详解】设双曲线的方程为， 根据题意可知，即， 又因为实轴长为4，则， 所以双曲线的方程为. 故选：B 3．双曲线（，）的左、右焦点分别为、.是双曲线右支上一点，且直线的斜率为，是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出图形，设，，，根据同角三角函数关系求得，，由正弦定理可得，，，由得，，，从而根据双曲线的定义求解即可. 【详解】如图： 由题可知，点必落在第四象限，， 设，，，由，则得， 因为，所以，求得，即，， 由正弦定理可得：， 则由得，，由，得， 则，，，， 由双曲线的定义可得：，，， 所以双曲线的方程为. 故选：C 4．已知双曲线（，）的离心率为，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点.设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据梯形中位线的性质，结合点到直线的距离公式可得，即可根据离心率求解. 【详解】由题意可得图象如图，是双曲线的一条渐近线， 即，，，，， 则四边形是梯形，F是的中点， ，，所以， 双曲线的离心率为， 可得，可得：，解得， 则双曲线的方程为． 故选：C． 5．若椭圆：的焦点和与焦点共线的顶点分别是双曲线E的顶点和焦点，则双曲线E的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件得出双曲线E的顶点和焦点坐标即可. 【详解】已知椭圆的焦点坐标为，上下顶点坐标为， 则双曲线E的顶点为，焦点为， 则双曲线E的标准方程为 故选：D 6．过点，且与双曲线有共同离心率的双曲线的标准方程为 ． 【答案】 【分析】根据题意求出即可. 【详解】过点，可知所求双曲线的焦点在轴上，且， 因为所求双曲线与双曲线的离心率相等； 所以，解得，所以， 所以双曲线方程为． 故答案为：. 7．如果双曲线关于原点对称，它的焦点在坐标轴上，实轴为8，焦距为10，那么双曲线的标准方程是 ． 【答案】或 【分析】根据题意，分双曲线的焦点在轴，与焦点在轴，结合条件，即可得到结果. 【详解】当双曲线的焦点在轴上时，设其标准方程为， 由题意可得，解得，则 则双曲线方程为； 当双曲线的焦点在轴上时，设其标准方程为， 由题意可得，解得，则 则双曲线方程为； 故答案为：或 8．已知双曲线C：一个焦点为，且F到双曲线C的渐近线的距离为1，则双曲线C的方程为 ． 【答案】 【分析】由题意知，双曲线的焦点在x轴上，且，设双曲线C：，求出其渐近线方程为，又由点F到渐近线的距离为1，解可得b的值，进而计算可得a的值，将a、b的值代入双曲线方程即可得答案． 【详解】解：根据题意，双曲线C的中心为原点，点是双曲线C的一个焦点， 即双曲线的焦点在x轴上，且， 双曲线C：，其渐近线方程为，即， 又点F到渐近线的距离为1，则有， 解可得，则， 所以双曲线的方程为：；故答案为． 9．已知两圆，，动圆C与圆外切，且与圆内切，则动圆圆心C的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】利用两圆相切分别可得，结合双曲线的定义，可得点的轨迹是以点为焦点的双曲线的右支，从而可得的轨迹方程. 【详解】因为圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径， 设动圆的半径为， 又因为动圆C与圆外切，且与圆内切， 则，可得， 可知点的轨迹是以点为焦点的双曲线的右支， 则，， 所以动圆圆心的轨迹方程为. 10．求适合下列条件的曲线方程： (1)经过直线与的交点，圆心为的圆的标准方程； (2)焦点在轴上，短轴长等于，离心率等于的椭圆标准方程； (3)焦点在轴上，焦距为，且经过点的双曲线标准方程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）联立两直线可求出交点坐标，结合圆心坐标可得该圆半径，即可得其标准方程； （2）借助待定系数法，设出该椭圆方程，结合椭圆性质计算即可得； （3）借助待定系数法，设出该双曲线方程，结合双曲线性质计算即可得. 【详解】（1），解得，则该圆经过点， 则半径， 则该圆的标准方程为； （2）由该椭圆焦点在轴上，设其标准方程为，焦距为， 则有，解得， 即该椭圆标准方程为； （3）由该双曲线焦点在轴上，设其标准方程为， 则焦距为，即， 又该双曲线经过点，则，则， 则， 故该双曲线标准方程. 题型三、双曲线的第二与第三定义 1．古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，只可惜对这一定义欧几里得没有给出证明.希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇编》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明.他指出：到定点的距离与到定直线的距离（定点不在直线上）的比是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线.当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线.现有方程表示的曲线是双曲线，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两点间距离和点到直线的距离公式，变形等式，结合双曲线的定义，即可求解. 【详解】由方程，， 得，则， 即，可得动点到定点和定直线的距离的比值为常数. 由双曲线的定义，可得，解得. 故选：B 2．在平面直角坐标系中，动点与两个定点和连线的斜率之积等于，记点的轨迹为曲线，直线：与交于，两点，则下列结论中正确的是（    ） A．的方程为 B．的离心率为 C．的渐近线与圆相切 D．满足的直线有条 【答案】C 【分析】设点，根据已知可求得曲线的方程即可得A；由曲线的方程即可得其离心率，即可得B；借助渐近线方程与点到直线距离公式计算可得C；联立曲线与直线方程计算可得表示，解出即可得D. 【详解】对A：设点，由已知得，整理得， 所以点的轨迹为曲线的方程为，故A错误； 对B：离心率，故B错误； 对C：圆的圆心到曲线的渐近线的距离为： ，又圆的半径为，故C正确； 对D：直线与曲线的方程联立， 整理得，设，， ，且，即， 有， 所以， 要满足，则需，即或（无解）， 解得，当，此时、分别为、， 而曲线为，所以没有满足条件的直线，故D错误. 故选：C. 3．动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是，则动点M的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用直接法求解. 【详解】解：由题意可得， 化简得． 故选：B 4．过曲线上一点作圆的两条切线，切点分别为，若，则曲线的方程为 ． 【答案】（且） 【分析】设P及切线方程，由直线与圆相切得出关于斜率k的方程，由判别式得出，再由斜率关系计算即可. 【详解】设，则过点的切线方程为，即， 所以，得， 则是此方程的两根，，，即， 故，得，而要满足题意需P在圆外，则， 即曲线的方程为（且）． 故答案为：(且) 5．在平面直角坐标系中，动点P与两个定点和的连线的斜率之积等于，则点P的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】设点，根据题意结合斜率公式分析求解. 【详解】设点， 由已知得，整理得， 所以点P的轨迹方程为． 故答案为：. 6．请阅读下列材料，并解决问题： 圆锥曲线的第二定义 二次曲线，即圆锥曲线，是由一平面截二次锥面得到的曲线，包括椭圆，抛物线，双曲线等.2000多年前，古希腊数学家最先开始研究二次曲线，并获得了大量的成果.古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥的方法来研究二次曲线.阿波罗尼斯曾把椭圆叫“亏曲线”把双曲线叫做“超曲线”，把抛物线叫做“齐曲线”，事实上，二次曲线由很多统一的定义、统一的二级结论等等.比如：平面内的动点到一个定点的距离和到定直线的距离的比是常数，则动点的轨迹就是圆锥曲线（这个圆锥曲线的第二定义）.其中定点称为其焦点，定直线称为其准线（其中椭圆与双曲线的准线方程为，抛物线准线方程为），正常数称为其离心率.当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线. (1)已知平面内的动点到一个定点的距离和到定直线的距离的比是常数，则动点的轨迹方程为 （直接写出结果，无需过程）. (2)在（1）所求的曲线中是否存在一点，使得该点到直线的距离最小？最小距离是多少？ 【答案】(1) (2)存在，最小距离为. 【分析】（1）根据给定条件，列出方程化简即得. （2）利用三角换元法结合点到直线距离公式和辅助角公式即可. 【详解】（1）依题意，，化简并整理得， 所以点的轨迹方程为. （2）假设存在这样的点到直线的距离最小， 设，其中，则点到直线的距离，其中， 则当时，. 所以存在这样的点，使得该点到直线的距离最小，距离最小为. 7．已知点，，动点与点，连线的斜率之积为. (1)求点的轨迹方程； (2)设直线，与直线分别交于，两点，求证：以为直径的圆过两定点. 【答案】(1) (2)以为直径的圆过两定点和，证明见解析 【分析】（1）设点，再根据题意列式化简求解即可； （2）先根据对称性判断以为直径的圆过的两定点在轴上，再设，表达出的坐标，再设定点为，根据，结合满足的方程代入化简即可. 【详解】（1）设点，由题意，即， 化简可得，故点的轨迹方程为 （2）由对称性可得，当取关于轴对称的两个位置时，所成的以为直径的两个圆也关于轴对称，故若以为直径的圆过两定点，则定点必在轴上，设为. 设，，则由可得，即，故，同理，故. 则，故，即. 又，故，则，解得或. 即以为直径的圆过两定点和 【点睛】方法点睛： （1）轨迹方程的一般求法：设动点坐标，根据题意列式化简即可； （2）当题中仅有一个动点时，可考虑设点坐标，根据点坐标将题意转化为表达式，最后代入动点满足的方程化简； （3）动圆过定点问题一般定点在轴上，先根据对称性判断定点所在轴，再设定点，根据直径所对的角为直角，结合垂直向量的数量积为0计算. 题型四、双曲线的渐近线与几何性质 1．双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的渐近线方程公式直接求解即可. 【详解】因为双曲线方程为， 则， 所以渐近线方程为， 故选： 2．已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与的左支交于A，B两点，且，则的渐近线为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意设，则，根据双曲线定义可得，，在中分别利用勾股定理可求得，结合双曲线中的数量关系求得，从而得到双曲线的渐近线方程. 【详解】如图．设，则，，， 在中，由勾股定理：，即， 在中，由勾股定理：，即， 即，解得，∴， 则，所以渐近线方程：. 故选：C.    3（多选）．已知双曲线的一个焦点为，且C过点，动点在x轴的正半轴上运动，则（   ） A．双曲线C的渐近线方程为 B．双曲线C的渐近线方程为 C．当取得最大值时， D．当取得最大值时，的周长为27 【答案】BCD 【分析】根据焦点坐标和双曲线所过的点求参数，得，结合双曲线的定义及其性质、两点距离公式求线段长依次判断各项的正误. 【详解】因为是C的焦点，所以，且， 因为在C上，所以， 由，解得或（舍）， 双曲线C的方程为，故C的渐近线方程为，A错误，B正确．    设双曲线C的下焦点为，则， 由题意及对称性知， 当且仅当P，T，三点共线时，取得最大值， 此时，所以，解得，C正确． 此时，的周长为，D正确. 故选：BCD 4．已知双曲线的渐近线方程为，则 ． 【答案】 【分析】把方程化为双曲线的标准方程，依据双曲线的渐近线方程的求法，可得答案. 【详解】因为为双曲线，所以 ， 所以方程可化为：， 这是双曲线的标准方程，其中 ，， 依据双曲线的渐近线方程为 ， 可得：. 故答案为： 5．已知O为坐标原点，双曲线C：的上焦点为F，下顶点为A，过F作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若，则C的渐近线方程为 . 【答案】 【分析】应用点到直线的距离得，结合的关系得，在中应用余弦定理得，进而有，即得渐近线斜率，根据双曲线参数关系求渐近线方程. 【详解】由题意，，双曲线的渐近线为，如图，    设点在上，则，故， 所以，则， 故， 所以，故， 所以C的渐近线方程为 故答案为： 6．若双曲线的两条渐近线的夹角为，则该双曲线的离心率为 . 【答案】2或 【分析】根据双曲线的渐近线方程和倾斜角进行求解即可. 【详解】因为双曲线的两条渐近线夹角为， 则渐近线的倾斜角为或， 所以渐近线的斜率为或. 因为该双曲线方程为，所以渐近线方程为. 所以或. 所以双曲线的离心率为或2. 题型五、双曲线中的长度和差最值问题 1．已知双曲线的虚半轴长为，为双曲线的左焦点，点为双曲线的右支上的动点，点的坐标为，则的最小值为（   ） A．8 B．9 C． D．10 【答案】B 【分析】求出双曲线方程，利用双曲线的性质将转化即可求解. 【详解】由双曲线的虚半轴长为，有，可得， 可得双曲线的方程为，可得，实轴长为4，    设双曲线的右焦点为，又由双曲线的性质有，故的最小值为9. 故选：B. 2．设点为双曲线右支上的动点，为该双曲线的右焦点，已知点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线的定义将转化成，数形结合求得最值得解. 【详解】如图，设双曲线的左焦点为， 由双曲线的定义得， 所以的最小值为. 故选：B. 3．已知F是双曲线C：的右焦点，P是C的左支上一点，，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】根据双曲线的定义得，利用平面几何的知识，两点间线段最短，即可求出最值. 【详解】由双曲线方程可知，，，故右焦点，左焦点， 当点在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知，所以， 从而，又为定值， 所以，此时点在线段与双曲线的交点处（三点共线距离最短）， 故选：B. 4．双曲线的右焦点为，点A的坐标为，点为双曲线左支上的动点，且周长的最小值为，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据题意，利用双曲线的定义把的周长用的周长来表示，可求的最小值，从而求a即可. 【详解】 如下图所示：    设该双曲线的左焦点为点，由双曲线的定义可得， ，又，当且仅当A，P，F三点共线时等号成立. 所以，的周长为， 当且仅当A，P，F三点共线时，的周长取得最小值，即，解得． 故选：D． 5．已知，是圆上的点，点在双曲线的右支上，则的最小值为（    ） A．9 B． C．8 D．7 【答案】C 【分析】根据题意作出示意图，利用双曲线的定义以及圆外的点到圆上点的最近距离计算方法，求解出的最小值. 【详解】如图所示：设圆心为，双曲线右焦点为，且，， 所以，当且仅当，，三点共线时取得等号． 故选：C. 【点睛】本题考查根据双曲线的定义求解线段和的最小值，难度一般.（1）求解和椭圆、双曲线有关的长度和的最值问题，都可以通过相应的圆锥曲线的定义去分析问题；（2）圆外一定点到圆上点的距离的最值，可通过连接圆外的点与圆心来分析求解. 6．已知，双曲线的左､右焦点分别为，点是双曲线右支上一点，则的最小值为（    ） A．5 B．7 C．9 D．11 【答案】C 【分析】根据双曲线的方程，求得焦点坐标，由双曲线的性质，整理，利用三角形三边关系，可得答案. 【详解】由双曲线，则，即，且， 由题意，作图如下： ，当且仅当共线时，等号成立. 故选：C. 题型六、双曲线中焦点三角形的相关问题 1．双曲线的右支上一点在第一象限，分别为双曲线的左、右焦点，若内切圆与轴相切，为双曲线的左顶点，则直线AI的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先利用双曲线的定义和切线长定理推出的横坐标为，再由圆的性质求得内心的坐标为，再利用点斜式求解方程即可. 【详解】如图所示，可设、，设内切圆与轴的切点是点， 、与内切圆的切点分别为、， 由双曲线的定义可得， 由圆的切线长定理知，，， 故，即， 设内切圆的圆心横坐标为，则点的横坐标为， 故，解得. 由双曲线得，，， 因为内切圆与轴相切，所以内切圆的半径为3， 而轴，得到，即，而， 则，可得方程为， 整理得，故D正确. 故选：D 2（多选）．已知点分别为双曲线的左、右焦点，点为上一动点，则下列说法正确的是（   ） A．双曲线与双曲线有相同的渐近线 B．若，则的周长为 C．若，则的面积为2 D．若直线与双曲线的两支各有一个交点，则直线的斜率 【答案】ABC 【分析】直接求出两曲线的渐近线方程即可判断A，求出，再根据双曲线的定义求出，，即可判断B，设，利用勾股定理求出，再由面积公式计算即可判断C，根据渐近线的斜率判断D. 【详解】对于A：双曲线，则，，故渐近线方程为，即， 双曲线，，，故渐近线方程为，即，A正确； 对于B：由题意得，，，由双曲线的定义得，， ，，，故的周长为，B正确； 对于C：对称性不妨设在右支上，设，则，， 因为，所以，解得或（舍去）， 所以的面积为，故C正确； 对于D：若直线与双曲线的两支各有一个交点，则直线的斜率必须介于两条渐近线的斜率之间，即，D错误， 故选：ABC． 3．已知双曲线的上、下焦点分别为，，两条渐近线的夹角的正切值为，且点在双曲线上，则的面积为 . 【答案】 【分析】借助渐近线定义结合二倍角公式计算可得，结合点坐标计算可得双曲线方程，再利用三角形面积公式计算即可得. 【详解】由题意可知双曲线的渐近线方程为， 设其中一条渐近线的倾斜角为， 因为两条渐近线的夹角的正切值为，则， 即，解得或， 由，故，故， 则，即， 则，即， 代入，得，解得，故，， 故.    故答案为：. 54．已知动点与定点的距离和它到定直线的距离之比为，且的轨迹为曲线. (1)求的方程. (2)已知第一象限内的动点在上，点. （i）若点，求的最小值； （ii）若，求的面积. 【答案】(1)（或）. (2)（i）；（ii）3 【分析】（1）根据距离公式得到方程，整理即可得解； （2）（i）由（1）可得，再根据双曲线的定义计算可得；（ii）利用勾股定理求出，再由面积公式计算可得. 【详解】（1）因为动点与定点的距离和它到定直线的距离之比为， 所以， 将上式两边平方，化简得， 所以的方程为（或）. （2）（i）由（1）可知分别是的左､右焦点，又，， 因为第一象限内的点在上，所以，则， 又，所以， 所以， 当且仅当在与双曲线在第一象限的交点时取等号， 所以的最小值为. （ii）由题意得， 将①左右两边平方，得，结合②得， 所以的面积为.    题型七、双曲线的离心率问题 1．已知双曲线 的实轴长为6，则该双曲线的离心率（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据实轴可得，即可由离心率公式求解. 【详解】由可得，故，焦点在轴上， 故实轴为，， 因此双曲线为， 故离心率为， 故选：C 2．对勾函数，的图象是以直线，为渐近线的双曲线.现将函数的图象绕原点顺时针旋转得到焦点位于轴上的双曲线，则它的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先确定的两条渐近线，也为旋转前双曲线的渐近线，再设两条渐近线夹角（锐角）角平分线方程，根据斜率与倾斜角关系、差角正切公式求双曲线渐近线斜率，进而求双曲线离心率. 【详解】趋向于0时，趋向于0，趋向于正无穷时，趋向于0， 则的两条渐近线分别为，， 所以该函数对应的双曲线焦点在，夹角（锐角）的角平分线上， 设且，若，分别是，的倾斜角， 故，，故为双曲线旋转后其中一条渐近线的倾斜角， 由，即， 整理得，可得（负值舍去）， 所以绕原点顺时针旋转得到焦点位于轴上的双曲线一条渐近线斜率为， 故. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：求出的渐近线，利用正切差角公式求其旋转后渐近线斜率是关键. 3（多选）．已知为双曲线的左焦点，为右支上一点，若，则双曲线的离心率可能为（   ） A． B． C． D．2 【答案】CD 【分析】由双曲线的定义和已知可得，然后再由，结合的关系化为二次齐次式，化简可得答案. 【详解】设双曲线右焦点为， 由已知和得， 所以，所以， 即，则， 化简为，不等式两边同乘以， 化为，求解得. 故选：CD. 4．已知双曲线（，）的离心率为，则双曲线的离心率为 . 【答案】 【分析】根据离心率的定义，得到，再代入双曲线的离心率公式，即可求解. 【详解】由双曲线的离心率为，有，可得，可得双曲线的离心率为 故答案为： 5．已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，线段的中垂线经过.记椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意可得，结合椭圆和双曲线的定义得到，的关系式，根据的取值范围，结合对勾函数性质即可得到结果. 【详解】设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，它们的公共焦距为， 不妨设焦点在轴上，点在第一象限， 由点在线段的垂直平分线上，则， 由椭圆、双曲线的定义得：，， 则，整理得， 则，故，则， 故，其中， 令， 由对勾函数性质可知，在上单调递增， 故， 即的取值范围是. 故答案为：. 6．已知分别是双曲线的左、右焦点，关于原点对称的两点均在上，，且是锐角三角形，则的离心率的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先根据已知条件求出的三条边，再利用是锐角三角形，结合余弦定理求出双曲线离心率的取值范围． 【详解】   关于原点对称，双曲线焦点关于原点对称， 四边形是平行四边形，则， ，， 设点在左支，根据双曲线定义得：， 联立可得， 的三条边：，， 是锐角三角形， 的三个内角均为锐角，即 ：，则； ： ，不等式恒成立； ：，则， 双曲线的离心率的取值范围为：． 故答案为： 7．双曲线的左、右焦点分别为、，以为焦点的抛物线与双曲线在第一象限的交点为，若，则双曲线的离心率大小为 【答案】3 【分析】根据双曲线的概念和抛物线的概念，以及题干所给条件，列出方程组，求出参数的关系，进而根据离心率的定义，求出结果. 【详解】    根据题意可设，双曲线的半焦距为，，则， 过作轴的垂线，过作的垂线，垂足为， 显然直线为抛物线的准线，则， 由双曲线的定义及已知条件可知，即， 由勾股定理可知， 又，所以，即，整理得， 所以，所以， 所以双曲线的离心率为. 故答案为：3. 题型八、双曲线中的参数及范围问题 1．若，则“”是“方程表示双曲线”的（　　） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据方程表示双曲线得到，即可求出的取值范围，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若方程表示双曲线，则，解得或； 所以由能推出方程表示双曲线，故充分性成立； 由方程表示双曲线推不出，故必要性不成立； 所以“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件. 故选：C 2．已知双曲线：，则（   ） A．的取值范围是 B．的焦点可在轴上也可在轴上 C．的焦距为6 D．的离心率的取值范围是 【答案】C 【分析】要解决这道关于双曲线的题目，我们需要根据双曲线的标准方程形式以及相关性质，对每个选项逐一进行分析. 【详解】对于A，因为表示双曲线，所以, 解得，故A错误. 对于B,由A选项，得，所以， 所以的焦点只能在轴上，故B错误. 对于C,设的半焦距为，则，解得， 即焦距为，故C正确. 对于D,离心率,因为，所以， 那么,所以的取值范围是，故D错误. 故选：C 3．已知为双曲线上一动点，过原点的直线交双曲线于，两点，其中，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知可得，再根据向量数量积公式化简，结合点在双曲线上，可得最值. 【详解】设，且，即， 又直线过原点，且双曲线关于坐标原点对称， 可得与关于坐标原点对称， 则， 所以，， 即， 又， 即的最小值为， 故选：B. 4．若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据化简可得该方程表示双曲线的右支，再结合双曲线的性质判断. 【详解】由，左右两边同时平方得， 即， 该方程可表示双曲线的右支，如图所示，    故的最小值为， 故选：A. 5．已知实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意分，，和四种情况讨论，然后画出图象，结合图象求解即可. 【详解】解：根据题意，对于方程， 当时，原方程为，为椭圆在第一象限的部分； 当时，原方程为，为双曲线在第四象限的部分； 当时，原方程为，为双曲线在第二象限的部分； 当时，原方程无解，曲线在第三象限没有图象， 记，变形可得，则的几何意义是直线纵截距的2倍， 由图知，，当直线与四分之一椭圆相切时，取最大值， ，而，当且仅当时等号成立， 则有，变形可得， 则有，当且仅当时等号成立， 即的取值范围为． 故选：B．    【点睛】关键点点睛：此题考查曲线与方程，考查椭圆和双曲线，解题的关键是对方程化简，作出图象，结合图象求解，考查分类讨论思想和数形结合的思想，属于较难题. 6（多选）．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线，点在曲线上，则下列结论正确的是（    ） A．曲线关于原点对称 B．直线与曲线有2个公共点 C．点的纵坐标的取值范围是 D．的最大值为 【答案】AD 【分析】根据对称性、直线与曲线的交点、判别式等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】依题意，曲线， 点都满足方程， 所以曲线关于原点对称，A选项正确 由消去并化简得， 解得或，所以直线与曲线有3个公共点，B选项错误. 由整理得， 令，则有非负根， 而其对称轴， 所以，， 解得，所以C选项错误. 令，则，代入， 化简得，设. 由于的开口向上，对称轴为， 所以在上单调递增， 由解得（负根舍去）， 所以的最大值为，所以的最大值为，D选项正确. 故选：AD 7．已知双曲线过点且与双曲线有共同的渐近线，，分别是的左、右焦点． (1)求的标准方程； (2)设点是上第一象限内的点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由共渐近线方程设法将点代入直接求解； （2）向量坐标化，由点在双曲线上化简整理为二次函数求得范围. 【详解】（1）由题意可设的方程为， 将代入可得，，解得， 的标准方程为． （2）设，则， 点在第一象限，，且，， ， 的取值范围是． 8．已知双曲线，为上的任意点． (1)求证：点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一个常数； (2)设、分别为双曲线的两个焦点，若为钝角，求点的横坐标的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用点到直线的距离公式，结合双曲线的方程，即可证明； （2）设双曲线上一点，若双曲线上一点使得为钝角，则且不在线段上， 由此列不等式解得点横坐标的取值范围． 【详解】（1）证明：设，则 双曲线的两条渐近线的方程为，即 点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积； （2）解：因为双曲线，所以、 设，则，，， 为钝角， 且不在线段上， 由 ， 即， 又， ，解得， 所以． 一、选择题 1．双曲线的左、右焦点分别为，，点是以为直径的圆与双曲线的一个交点，若，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设点在轴右侧，由双曲线定义可得，，由是直角三角形，建立等式求解即可. 【详解】如图，设点在轴右侧，则，    因为， 所以， 因为点在以为直径的圆上， 所以是直角三角形，， 即，化简得， 所以离心率. 故选：D 2．已知双曲线的离心率为，点在上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用离心率得出的等量关系，结合点在双曲线上，消元化简计算即可. 【详解】由题意可知，所以， 又在双曲线上，即，则， 所以① 易知，即， 结合二次函数的性质可知①式的取值范围为. 故选：A 3．已知，分别是双曲线的左、右焦点，点在上，且，的面积为18，则（    ） A．9 B．18 C． D． 【答案】C 【分析】由题意得到，求解即可. 【详解】如图： 设的焦距为，由题意得， 又， 可得，得. 故选：C 4．若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】曲线表示双曲线的右支，联立，结合题意与右支交于两个不等的正根，结合判别式和两个正根求解即可． 【详解】曲线，则， 所以曲线表示双曲线的右支， 联立， 得， 因为直线与曲线有两个不同的交点， 所以，即，， 解得且， 又因为直线l：与双曲线右支相交， 则存在两个不等且不小于2的根，设两个交点为， 所以， 所以，解得或， 综上：或， 故选：B. 5（多选）．已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为，点是双曲线上一点，点是双曲线右支上一点，平分交轴于点．则下列结论正确的是（　　） A．双曲线的方程为 B．若，则的面积为 C．点的坐标为 D．若，则 【答案】ABD 【分析】A：根据条件列出的方程组，解之可得双曲线的方程；B：根据双曲线的定义结合勾股定理可求的面积；C：先表示出，再根据角平分线定理可求得的坐标；D：根据选项C中的表示直接求得结果. 【详解】由题意得，联立，解得， 所以双曲线的方程为，故A正确； 在中，联立， 解得， 所以的面积为，故B正确； 由角平分线定理有，设，则，且， 所以， 同理可得，代入角平分线定理：，解得， 所以点的坐标为，故C错误； 若，则，故D正确． 故选：ABD． 6（多选）．已知点P是双曲线 左支上一点，分别为双曲线的左右焦点，的面积为20，则下列说法正确的是（    ） A．点P的横坐标为 B．的周长为 C．大于 D．的内切圆半径为 【答案】BD 【分析】对于A，利用的面积，先求出点P的纵坐标，代入双曲线方程计算即得其横坐标；对于B，利用双曲线的焦半径长的公式求出两焦半径，即得的周长，对于C，利用余弦定理求出，结合余弦函数的图象单调性即可判断；对于D，利用等面积运算即可求得. 【详解】如图，由可得，双曲线的离心率为. 对于A，因，则的面积为， 解得，代入，因，则，故A错误； 对于B，因，， 又的周长为.故B正确； 对于C，由余弦定理可得，， 因，则，故C错误； 对于D，设的内切圆半径为， 则，解得，故D正确. 故选：BD. 二、填空题 7．已知点、分别为双曲线的左、右焦点，过点的直线与双曲线的左支和右支分别交于，两点，设、分别为、的内切圆半径，则内切圆圆心的横坐标为 ；、的内切圆半径比值 . 【答案】 【分析】①根据内心的性质得到，然后结合双曲线的性质得到的坐标；②根据内心的性质得到，然后利用相似的性质求半径比. 【详解】 设内切圆与边分别相切于， 所以，，， ， 又，所以，则，即， 所以内切圆圆心的横坐标为-2； ②同理可证，的内切圆圆心的横坐标为， 设、分别为、的内切圆半径， 设点、分别为、的内心， 根据双曲线的定义可知内切圆与轴相切于点， 所以轴，同理，轴； 又点、分别为、的内心，所以直线平分， 注意到，在中，，， 在中，，，所以. 【点睛】关键点睛：本题的解题关键在于根据内心的性质得到，然后结合双曲线的性质解题即可. 8．过点的直线与圆相切于点，与曲线交于点R.若的中点为，则 . 【答案】 【分析】设为上的任意一点，将点绕原点逆时针旋转到，根据旋转关系，可得点的轨迹为等轴双曲线，从而得到曲线也是等轴双曲线，由双曲线的性质结合几何关系即可求解. 【详解】设为上的点，将点绕原点逆时针旋转到， 则，由于，则， 化简可得：，则点的轨迹为等轴双曲线，其焦点为，，且； 所以曲线也是等轴双曲线，其焦点为，，故点到焦点距离之差为常数.即，如图所示. 因为点分别是和的中点，故， 而，由于， 所以. 故答案为： 三、解答题 9．已知双曲线的左､右焦点分别是，，双曲线上一点满足，且点到的一条渐近线的距离为2. (1)求双曲线的方程； (2)若，是上关于原点对称的两点，且点不与，重合，设直线，的斜率存在且分别为，，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据双曲线定义，及双曲线焦点到渐近线的距离，可得双曲线方程； （2）利用直接法设点与点，的坐标，结合斜率公式及点在双曲线上，化简可得解. 【详解】（1）设双曲线的半焦距为， 由双曲线的定义可知，即， 又点到渐近线的距离为，故， 双曲线的方程为； （2）    设，，， 易知，， . 又，， ，， ， 由（1）可知， . 10．已知双曲线的右焦点为，点在上，且轴． (1)求的方程； (2)若过点的直线与双曲线交于两点，的面积为，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用双曲线的标准方程和几何性质结合已知条件求出相应的，进而求出双曲线方程； （2）根据直线和双曲线的位置关系，利用韦达定理结合已知条件构造方程求出直线斜率，进而得出直线方程． 【详解】（1）点在双曲线上， ， 又为双曲线的右焦点，轴，则， ， ， 双曲线的方程为：． （2）根据题意可知直线的斜率存在，又直线过点， 直线的方程为， 原点到直线的距离， 联立， 得，直线与双曲线有两个交点， 且， ，且， 设，由韦达定理得，， 的面积为， ，即，，解得或（舍去）， ， 直线的方程为或． 1 / 49 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 双曲线的方程及其几何性质八大题型 目录 A题型建模・专项突破 题型一、双曲线概念中变量的基本关系 1 题型二、双曲线的标准方程求解 4 题型三、双曲线的第二与第三定义 10 题型四、双曲线的渐近线与几何性质 16 题型五、双曲线中的长度和差最值问题 20 题型六、双曲线中焦点三角形的相关问题 24 题型七、双曲线的离心率问题 28 题型八、双曲线中的参数及范围问题 33 B综合攻坚・能力跃升 题型一、双曲线概念中变量的基本关系 1．已知点在以、分别为左、右焦点的双曲线上，若，则（   ） A．6 B．10 C．2 D．6或10 2．已知焦点在轴上的双曲线的离心率，则（    ） A．1 B． C． D．1或 3．已知双曲线上一点到它的左焦点的距离是，则点到它的右焦点的距离是（    ） A． B．或 C． D． 4（多选）．若方程表示双曲线，则该双曲线（    ） A．满足或 B．焦距为 C．渐近线斜率可以是 D．不可能是等轴双曲线 5（多选）．已知双曲线C：，则下列说法正确的是（    ） A．双曲线C的实轴长为2 B．若双曲线C的两条渐近线相互垂直，则 C．若是双曲线C的一个焦点，则 D．若，则双曲线C上的点到焦点距离最小值为2 6．双曲线的左右焦点分别为，，已知点在双曲线上，满足，，则 . 题型二、双曲线的标准方程求解 1．方程的化简结果为（    ） A． B． C． D． 2．已知双曲线的焦点在轴上，两条渐近线互相垂直，实轴长为4，双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 3．双曲线（，）的左、右焦点分别为、.是双曲线右支上一点，且直线的斜率为，是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 4．已知双曲线（，）的离心率为，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点.设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 5．若椭圆：的焦点和与焦点共线的顶点分别是双曲线E的顶点和焦点，则双曲线E的标准方程为（    ） A． B． C． D． 6．过点，且与双曲线有共同离心率的双曲线的标准方程为 ． 7．如果双曲线关于原点对称，它的焦点在坐标轴上，实轴为8，焦距为10，那么双曲线的标准方程是 ． 8．已知双曲线C：一个焦点为，且F到双曲线C的渐近线的距离为1，则双曲线C的方程为 ． 9．已知两圆，，动圆C与圆外切，且与圆内切，则动圆圆心C的轨迹方程为 ． 10．求适合下列条件的曲线方程： (1)经过直线与的交点，圆心为的圆的标准方程； (2)焦点在轴上，短轴长等于，离心率等于的椭圆标准方程； (3)焦点在轴上，焦距为，且经过点的双曲线标准方程. 题型三、双曲线的第二与第三定义 1．古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，只可惜对这一定义欧几里得没有给出证明.希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇编》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明.他指出：到定点的距离与到定直线的距离（定点不在直线上）的比是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线.当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线.现有方程表示的曲线是双曲线，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，动点与两个定点和连线的斜率之积等于，记点的轨迹为曲线，直线：与交于，两点，则下列结论中正确的是（    ） A．的方程为 B．的离心率为 C．的渐近线与圆相切 D．满足的直线有条 3．动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是，则动点M的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 4．过曲线上一点作圆的两条切线，切点分别为，若，则曲线的方程为 ． 5．在平面直角坐标系中，动点P与两个定点和的连线的斜率之积等于，则点P的轨迹方程为 ． 6．请阅读下列材料，并解决问题： 圆锥曲线的第二定义 二次曲线，即圆锥曲线，是由一平面截二次锥面得到的曲线，包括椭圆，抛物线，双曲线等.2000多年前，古希腊数学家最先开始研究二次曲线，并获得了大量的成果.古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥的方法来研究二次曲线.阿波罗尼斯曾把椭圆叫“亏曲线”把双曲线叫做“超曲线”，把抛物线叫做“齐曲线”，事实上，二次曲线由很多统一的定义、统一的二级结论等等.比如：平面内的动点到一个定点的距离和到定直线的距离的比是常数，则动点的轨迹就是圆锥曲线（这个圆锥曲线的第二定义）.其中定点称为其焦点，定直线称为其准线（其中椭圆与双曲线的准线方程为，抛物线准线方程为），正常数称为其离心率.当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线. (1)已知平面内的动点到一个定点的距离和到定直线的距离的比是常数，则动点的轨迹方程为 （直接写出结果，无需过程）. (2)在（1）所求的曲线中是否存在一点，使得该点到直线的距离最小？最小距离是多少？ 7．已知点，，动点与点，连线的斜率之积为. (1)求点的轨迹方程； (2)设直线，与直线分别交于，两点，求证：以为直径的圆过两定点. 题型四、双曲线的渐近线与几何性质 1．双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 2．已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与的左支交于A，B两点，且，则的渐近线为（    ） A． B． C． D． 3（多选）．已知双曲线的一个焦点为，且C过点，动点在x轴的正半轴上运动，则（   ） A．双曲线C的渐近线方程为 B．双曲线C的渐近线方程为 C．当取得最大值时， D．当取得最大值时，的周长为27 4．已知双曲线的渐近线方程为，则 ． 5．已知O为坐标原点，双曲线C：的上焦点为F，下顶点为A，过F作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若，则C的渐近线方程为 . 6．若双曲线的两条渐近线的夹角为，则该双曲线的离心率为 . 题型五、双曲线中的长度和差最值问题 1．已知双曲线的虚半轴长为，为双曲线的左焦点，点为双曲线的右支上的动点，点的坐标为，则的最小值为（   ） A．8 B．9 C． D．10 2．设点为双曲线右支上的动点，为该双曲线的右焦点，已知点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．已知F是双曲线C：的右焦点，P是C的左支上一点，，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 4．双曲线的右焦点为，点A的坐标为，点为双曲线左支上的动点，且周长的最小值为，则为（    ） A． B． C． D． 5．已知，是圆上的点，点在双曲线的右支上，则的最小值为（    ） A．9 B． C．8 D．7 6．已知，双曲线的左､右焦点分别为，点是双曲线右支上一点，则的最小值为（    ） A．5 B．7 C．9 D．11 题型六、双曲线中焦点三角形的相关问题 1．双曲线的右支上一点在第一象限，分别为双曲线的左、右焦点，若内切圆与轴相切，为双曲线的左顶点，则直线AI的方程为（   ） A． B． C． D． 2（多选）．已知点分别为双曲线的左、右焦点，点为上一动点，则下列说法正确的是（   ） A．双曲线与双曲线有相同的渐近线 B．若，则的周长为 C．若，则的面积为2 D．若直线与双曲线的两支各有一个交点，则直线的斜率 3．已知双曲线的上、下焦点分别为，，两条渐近线的夹角的正切值为，且点在双曲线上，则的面积为 . 54．已知动点与定点的距离和它到定直线的距离之比为，且的轨迹为曲线. (1)求的方程. (2)已知第一象限内的动点在上，点. （i）若点，求的最小值； （ii）若，求的面积. 题型七、双曲线的离心率问题 1．已知双曲线 的实轴长为6，则该双曲线的离心率（    ） A． B． C． D． 2．对勾函数，的图象是以直线，为渐近线的双曲线.现将函数的图象绕原点顺时针旋转得到焦点位于轴上的双曲线，则它的离心率是（    ） A． B． C． D． 3（多选）．已知为双曲线的左焦点，为右支上一点，若，则双曲线的离心率可能为（   ） A． B． C． D．2 4．已知双曲线（，）的离心率为，则双曲线的离心率为 . 5．已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，线段的中垂线经过.记椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的取值范围是 . 6．已知分别是双曲线的左、右焦点，关于原点对称的两点均在上，，且是锐角三角形，则的离心率的取值范围为 ． 7．双曲线的左、右焦点分别为、，以为焦点的抛物线与双曲线在第一象限的交点为，若，则双曲线的离心率大小为 题型八、双曲线中的参数及范围问题 1．若，则“”是“方程表示双曲线”的（　　） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知双曲线：，则（   ） A．的取值范围是 B．的焦点可在轴上也可在轴上 C．的焦距为6 D．的离心率的取值范围是 3．已知为双曲线上一动点，过原点的直线交双曲线于，两点，其中，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．已知实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6（多选）．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线，点在曲线上，则下列结论正确的是（    ） A．曲线关于原点对称 B．直线与曲线有2个公共点 C．点的纵坐标的取值范围是 D．的最大值为 7．已知双曲线过点且与双曲线有共同的渐近线，，分别是的左、右焦点． (1)求的标准方程； (2)设点是上第一象限内的点，求的取值范围． 8．已知双曲线，为上的任意点． (1)求证：点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一个常数； (2)设、分别为双曲线的两个焦点，若为钝角，求点的横坐标的取值范围． 一、选择题 1．双曲线的左、右焦点分别为，，点是以为直径的圆与双曲线的一个交点，若，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 2．已知双曲线的离心率为，点在上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知，分别是双曲线的左、右焦点，点在上，且，的面积为18，则（    ） A．9 B．18 C． D． 4．若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5（多选）．已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为，点是双曲线上一点，点是双曲线右支上一点，平分交轴于点．则下列结论正确的是（　　） A．双曲线的方程为 B．若，则的面积为 C．点的坐标为 D．若，则 6（多选）．已知点P是双曲线 左支上一点，分别为双曲线的左右焦点，的面积为20，则下列说法正确的是（    ） A．点P的横坐标为 B．的周长为 C．大于 D．的内切圆半径为 二、填空题 7．已知点、分别为双曲线的左、右焦点，过点的直线与双曲线的左支和右支分别交于，两点，设、分别为、的内切圆半径，则内切圆圆心的横坐标为 ；、的内切圆半径比值 . 8．过点的直线与圆相切于点，与曲线交于点R.若的中点为，则 . 三、解答题 9．已知双曲线的左､右焦点分别是，，双曲线上一点满足，且点到的一条渐近线的距离为2. (1)求双曲线的方程； (2)若，是上关于原点对称的两点，且点不与，重合，设直线，的斜率存在且分别为，，求的值. 10．已知双曲线的右焦点为，点在上，且轴． (1)求的方程； (2)若过点的直线与双曲线交于两点，的面积为，求直线的方程． 1 / 49 学科网（北京）股份有限公司 $