专题08 直线与抛物线综合·面积·中点弦·定点·定值·最值六大典型问题（高效培优专项训练）数学人教A版高二选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦直线与抛物线综合，以六大典型题型为框架，通过30道典例系统覆盖位置关系、面积、中点弦等核心考法，注重逻辑推理与数学运算。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |位置关系|5|韦达定理应用|基础关系推导，为后续问题奠基| |面积问题|5|坐标运算与面积公式|基于位置关系求坐标，体现几何直观| |中点弦|5|点差法或韦达定理|中点条件转化，深化方程思想| |参数最值|5|函数构建与不等式|综合参数范围分析，培养运算能力| |定点定值|5|参数消元与恒成立|动态问题静态化，发展推理意识| |向量问题|5|向量坐标转化|向量运算与解析几何融合，提升应用意识|

专题08 直线与抛物线综合·面积·中点弦·定点·定值·最值六大典型问题 题型一 直线与抛物线的位置关系（韦达） 题型二 抛物线中三角形面积（四边形） 题型三 抛物线的中点弦问题 题型四 抛物线中的参数及最值 题型五 抛物线中的定点、定值、定直线 题型六 抛物线中的向量问题 题型一 直线与抛物线的位置关系（韦达） 1．已知抛物线：，为坐标原点，过点作斜率的直线交抛物线于两点，其中在第一象限，直线交抛物线于另一点，其中，直线与直线交于点． (1)求抛物线的方程； (2)记与的面积分别为，． （ⅰ）当，，，四点共圆时，求直线的方程； （ⅱ）求的取值范围． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）由，求出点的坐标，代入抛物线方程求解即可； （2）（ⅰ）联立直线与抛物线方程，由韦达定理可得，，由，，，四点共圆可得，从而得，代入的表达式，得，求解即可； （ⅱ）先求出点的横坐标，由三角形的面积可得，求出的范围即可得答案. 【详解】（1）因为点，则， 又， 则， 所以， 代入抛物线：， 得到，解得， 所以抛物线的方程为． （2）（ⅰ）因为直线方程为， 设，， 联立， 消得到， 则，， 当，，，四点共圆时， 则有，， 故，则， 所以， 又， 同理可得， 由两点间的距离公式可得，， 所以， 即， 整理得到， 又，所以， 故直线的方程为． （ⅱ）由，，得到直线：， 由，，得， 直线：， 联立方程， 解得， 由，， 得， 所以， 又 ， 当时，由，得， 又直线的斜率， 则， 所以， 故的取值范围为. 2．已知抛物线，斜率为的直线交于两点，且线段中点纵坐标为4． (1)求抛物线的方程； (2)若直线不过点，且直线交于另一点，记直线的斜率为， （i）求证：； （ii）求证：直线过定点． 【答案】(1) (2)（i）法一：由（1），且， 则 所以. 法二：设直线方程为， 抛物线的方程可表示为， 由， 得 ， ， ， 直线的斜率为， ， . （ii）法一：如图，作出符合题意的图形， 由已知得， 设直线的方程为， 联立，可得， ， ， ， 整理得， 即， 当时，直线与直线重合，舍去 ，直线的方程， 直线过定点. 法二：由已知得， ， ， （舍）或， 直线的方程是， 直线过定点. 【分析】（1）联立方程组并利用韦达定理得到，再结合题意求解参数，得到抛物线方程即可. （2）（i）法一直接利用斜率公式结合韦达定理得到定值，法二利用齐次化结合直线系方程求解定值，（ii）法一结合已证定值，求出直线方程，进而求解定点，法二结合齐次化得到的定值求出直线方程，最后求出定点即可. 【详解】（1）设直线的方程为， 代入得， 设点，则， 而线段中点纵坐标为4，则，解得， 故的方程为. （2）（i）略 （ii）略 3．已知圆心在x轴上移动的圆经过点，且与x轴，y轴分别交于，两个动点．记动点的轨迹为曲线E． (1)求点的轨迹方程； (2)设直线l与曲线E相交于两点，与圆相切于点T，若T为的中点，求T的纵坐标取值范围； (3)过点作圆（圆在曲线E内部）的两条切线分别交曲线E于两点（异于点），探究直线PQ是否过定点． 【答案】(1) (2) (3)直线恒过点． 【分析】（1）依题意可知圆的圆心在x轴上，即圆关于x轴对称，三角形ABC是直角三角形，再根据直角三角形射影定理可知，即可得解； （2）设，，，利用点差法求出，再根据化简求出，再根据T在抛物线内部即可得解； （3）设过点D且斜率存在的直线方程为，直线DP，DQ的斜率分别设为，，根据直线与动圆相切可得，再化简，利用韦达定理求出，设PQ方程为，与抛物线方程联立，利用韦达定理求出两根之和与积，再化简求出m，n的关系，即可得出结论. 【详解】（1）依题意可知圆的圆心在x轴上，即圆关于x轴对称，是直角三角形，且B点必在y轴右侧，即， 在中，由射影定理得，即， 所以点的轨迹方程为； （2）设，，， 则有， 由直线与圆相切可知，即， ，故， 由T在抛物线内部可知，故， 即T的纵坐标取值范围为； （3）设过点D且斜率存在的直线方程为，即， 由该直线与动圆相切可得，整理得， 由题意知直线DP，DQ的斜率存在，分别设为，，则，是方程的两个不等实根， 则有，由于PQ的斜率不为0， 设，，设PQ方程为，与抛物线联立， 得，则由韦达定理可知，，， ， 整理得，即，， 即PQ方程为，此时直线恒过点． 4．已知抛物线的焦点为． (1)求抛物线的方程； (2)设直线与抛物线相交于两点， （ⅰ）若，求实数的值； （ⅱ）为坐标原点，求重心的轨迹方程． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）根据抛物线焦点为，由抛物线的性质可直接求出，再求得抛物线C的方程； （2）（ⅰ）联立抛物线与直线方程，使用韦达定理得到，再根据，再求实数的值；（ii）根据三角形重心的坐标公式设点，再由韦达定理表示为的表达式，通过转化求得重心的轨迹方程. 【详解】（1）由抛物线的焦点为可得 ， 所以抛物线C的方程为. （2）（ⅰ）联立抛物线与直线的方程可得 ，整理得，故； ，，解得，． （ⅱ）由（i）得，， 设重心坐标为，则即 所以即. 5．已知抛物线：（）的焦点到其准线的距离为2. (1)求抛物线的标准方程； (2)过点的直线与抛物线交于，两点，点在第一象限. ①直线与抛物线的另一个交点为，当时，求直线的方程； ②是否存在定点，使得直线与斜率互为相反数，如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)①；②存在， 【分析】（1）由题意可得，即可求解； （2）①设直线的方程为，然后与抛物线联立可得，同理设出直线的方程为可得，即得，再结合，即可求解；②假设存在这样的，设，且，化简整理可得对任意恒成立，即可求解. 【详解】（1）由题意点到其准线的距离为，则， 所以抛物线的标准方程为. （2）①设直线的方程为，，，，    联立，得， 所以， 设直线的方程为， 联立，得，所以， 所以可得，所以， 所以，化简得，解得， 又因为点在第一象限，所以，则，代入到中， 所以，解得， 所以直线的方程为.   ②假设存在这样的，设，， 所以， 即， 化简得， 即， 即对任意恒成立， 所以，解得， 所以假设成立，即存在. 题型二 抛物线中三角形面积（四边形） 6．在平面直角坐标系中，双曲线：（），右焦点坐标为，点是上任意一点． (1)求的方程； (2)过点作的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于，两点，求证：平行四边形的面积为定值； (3)过点作：的两条切线，切点为C，D，求面积的最小值． 【答案】(1) (2)双曲线的渐近线方程为，记，. 设点，由在上得，即. 过点与平行的直线方程为，与交于点， 联立，解得. 同理得，过点与平行的直线与的交点. 平行四边形的面积，其中为点到直线的距离， ， ， ∴ ，为定值，得证. (3) 【分析】（1）根据双曲线焦点坐标，结合的关系求解，即可得到双曲线方程. （2）求出双曲线渐近线方程，设点坐标，写出两条平行线方程，求解交点坐标后计算平行四边形面积，结合点在双曲线上的约束化简得到定值. （3）利用导数写出抛物线切线方程，得到切点弦的方程，结合韦达定理求出弦长与点到直线的距离，写出面积表达式后结合双曲线方程转化为二次函数最值问题求解. 【详解】（1）由题意 ，且， ∴ ， ∴ 的方程为. （2）略 （3）设，，抛物线即，导数， ∴ 过点的切线方程为，结合化简得. ∵ 点在切线上， ∴ ，同理， 即，∴直线的方程为， ∴ 是方程的两个实根， ∴ 即，且，. ∴ . 点到直线的距离. ∴ 的面积. ∵ 点在上，∴ ，代入得. 令，该函数为开口向上的二次函数，对称轴为， ∴ ， ∴ . 【点睛】方法归纳： 1.定值问题需先引入变量构建表达式，再结合题目给定的约束关系消去变量得到固定结果； 2. 抛物线切点弦相关的面积问题，可通过切线方程归纳切点弦公式，结合韦达定理简化运算，最终转化为函数最值问题求解. 7．已知抛物线：的焦点为，点在上，． (1)求的方程； (2)设，直线过焦点，与交于，两点．直线，分别交于另两点，． ①求的面积的最小值； ②试判断直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 【答案】(1) (2)①2；②直线过定点． 【分析】（1）利用抛物线焦半径公式构造方程求出，进而求出抛物线方程； （2）①设为，联立抛物线方程，运用韦达定理得出纵坐标关系，利用三角形面积公式结合不等式求面积最小值； ②联立直线与抛物线方程，分别利用韦达定理，综合求出，设方程，联立抛物线方程，利用韦达定理求出，进而求出相关参数，求出方程，从而判断直线是否过定点． 【详解】（1）的焦点，准线方程为， 因为点在上，，所以，， 所以的方程为． （2）①，设为，代入，消去，得． 设，，则，． 所以 ，， 又，所以的面积为 ，当且仅当时，取等号， 所以的面积的最小值为2． ②设，，又， 直线的方程为，与方程联立，消去得 ， 又是直线与的交点，所以，， 同理，所以， 当 时，，直线与轴垂直，与轴的交点为， 当 时，，直线的斜率． 此时，可设直线的方程为 ，与联立，消去得 ， 所以 ， 又，所以 ，， 所以的方程化为，直线过． 综上，直线过定点． 8．如图所示，已知抛物线的顶点为O，点A的坐标为，倾斜角为的直线与线段相交（不经过点O或点A），且交抛物线于M、N两点，求的面积最大时直线的方程，并求的最大面积． 【答案】直线的方程为，的最大面积是． 【分析】设直线斜截式 ，由与线段相交得范围，联立抛物线由判别式保证两交点. 用韦达定理表示弦长和点到直线距离，建立面积平方函数，求导得极大值点，代回得直线方程与最大面积. 【详解】由于直线与线段相交且倾斜角为，又点A的坐标为， 设直线的方程为，可知． 由方程组消去得①． ∵直线与抛物线有两个不同交点M、N，∴方程①的判别式． ，由得． 设，，则，， 点A到直线的距离． ，即． 令， 对，当时，即或． 当时，，单调递增；当时，，单调递减． 可知时，最大，即最大为． 故直线的方程为，的最大面积是． 9．在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，过点且垂直于轴的直线与抛物线交于，两点（点在轴上方），的面积为2． (1)求抛物线的标准方程． (2)过点的直线与抛物线交于，两点，直线与线段交于点． ①证明：直线轴； ②求面积的最大值． 【答案】(1) (2)①证明：由（1）知，抛物线，，，． 由题意知直线的斜率存在，且，所以直线的方程为，． 由消去，整理得． 由，解得，且， 所以，，所以． 直线的方程为， 令，得，即， 所以直线轴． ② 【分析】（1）由题意可得，由，求解即可； （2）①直线的方程为： ，与抛物线方程联立，结合韦达定理可得，从而得，求出直线与的交点纵坐标为，通过化简可得，即可得证； ②不妨设，则，由三角形的面积公式可得，利用换元法及导数求解即可. 【详解】（1）由题意，得，直线的方程为． 解得所以，，则． 由题意，得，解得， 所以抛物线的标准方程为． （2）①略 ②解：由题意，得． 不妨设，则，所以．    令，则，． 令，，则． 解，得， 所以当时，，单调递增；当时，，单调递减． 所以在处取得极大值，也是最大值． 因为，所以面积的最大值为． 10．在平面直角坐标系中，已知定点和定直线：.动点到定点的距离等于它到定直线的距离，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)设为坐标原点，点，是曲线上异于原点的两个动点，且满足. （ⅰ）证明：直线恒过定点； （ⅱ）求面积的最小值. 【答案】(1) (2)（i）因为直线不垂直于轴，设其方程为：， 设，，联立直线与抛物线方程，，可得，， 因为，所以，得， 又因为，所以，即直线方程为，则过定点 . （ii）16 【分析】（1）根据抛物线的定义求解即可； （2）（i）设直线的方程为：，联立直线与抛物线的方程，得出韦达定理，再代入计算即可. （ii）由（i）知直线过定点结合，结合基本不等式求得最小值. 【详解】（1）由已知得曲线是以为焦点，直线：为准线的抛物线，， 所以曲线的方程为：. （2）（i）略 （ii）由（i）知直线过定点，所以 故， 因为，所以， 当且仅当时，等号成立，即面积的最小值为16. 题型三 抛物线的中点弦问题 11．已知抛物线，直线交抛物线于、两点， (1)若线段中点的纵坐标为，求直线的方程； (2)若抛物线上存在两点、关于直线轴对称，求的取值范围. (3)若存在定点，使以为直径的圆上的任意点，都满足（为原点），求定点的坐标和的值. 【答案】(1) (2) (3)定点， 【分析】（1）联立直线与曲线方程后，结合韦达定理表示出并计算即可得； （2）分，及进行讨论，设、，结合关于直线对称的点的性质可得，计算即可得； （3）设、，由题意可得，即可得该方程即为以为直径的圆的方程，结合点坐标与半径计算即可得解. 【详解】（1）设、，联立， 化简得，， 由韦达定理可得，， 由于，所以，故直线的方程为. （2）设，，若，则，易得此时不合题意； 若，由于，关于直线轴对称， 故， 故，所以中点的纵坐标为， 将其代入中可得，又，化简可得， 结合，故，化简可得， 由于关于的方程要有两个不相等的实数根，所以， 故，即； 综上所述，； （3）设、，由题意可得， 整理得，即， 又点在以为直径的圆上，则即为该圆方程， 由，，则， 则，， 即有，则， 化简得，故，则，，即，定点. 12．在平面直角坐标系中，已知曲线，直线与交于三个不同的点. (1)若，求的取值范围； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由曲线方程得或，将它们分别联立直线，结合交点个数、判别式列不等式求参数范围； （2）先考虑与直线联立，设，利用判别式、韦达定理及点在直线上求参数值，再考虑直线与直线重合，设，且点在直线上求参数值即可. 【详解】（1）由，得或， 联立，得（*）， 由，解得或， 因为有唯一解，得， 直线与曲线交于三个不同的点， 所以不是方程的解，即， 所以的取值范围是. （2）情形1：联立得. 设，则， 设的中点为，则， 又点在直线上，从而， 所以或，不满足，舍去. 情形2：设， 则直线的方程为， 直线即为直线，从而， 由为线段的中点，得， 点在直线上，得， 联立，解得（舍）或， . 综上，的值为. 13．已知为坐标原点，椭圆与抛物线在第一象限的交点为，其中椭圆的长轴长是短轴长的两倍. (1)求椭圆和抛物线的标准方程； (2)设直线交抛物线于两点，若的中点在椭圆上，求的坐标. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据给定条件，求出即可. （2）联立直线与抛物线的方程，求出点的坐标并代入椭圆的方程即可. 【详解】（1）由点在抛物线上，得，因此抛物线的方程为； 由椭圆的长轴长是短轴长的两倍，得，又点在椭圆上， 则，解得， 所以椭圆的方程为； （2）设点，由消去，得， 显然，，则线段的中点， 又点在椭圆上，则满足，整理得， 则，解得或，所以的坐标为或.    14．如图所示，已知抛物线：（），，，，是抛物线上的四个点，其中，在第一象限（在的左侧），，在第四象限，满足，线段与交于点.记线段与的中点分别为.当经过的焦点且垂直于轴时，.    (1)求的准线方程； (2)求证：； (3)若，求的面积. 【答案】(1)； (2)证明：设，由，得， 若，则，直线的斜率不存在， 由对称性，知均在轴上，则三点共线； 若，则，直线的斜率存在，直线的斜率， 直线的方程为：，整理得， 同理直线的方程为，直线的方程为， 直线的方程为，由，得， 设，由线段与的中点分别为，得， 因此直线轴，设直线与线段的交点分别为， 将代入直线的方程，得； 将代入直线的方程，得， ， 又，则点重合，即为线段与的交点， 所以. (3). 【分析】（1）根据给定条件，结合抛物线通径的意义求出即可. （2）设出点的坐标，求出直线的方程，进而求出分别与直线的交点横坐标即可得证. （3）由（2）的信息及已知求出点纵坐标差，再结合相似三角形性质求出三角形面积. 【详解】（1）当经过抛物线的焦点且垂直于轴时，， 此时线段是的通径，即，得到，抛物线方程为， 所以抛物线的准线方程为. （2）略 （3）由（2）知，直线轴，由，得， 又，同理， 又由（2）得， 则，即， ，即， 由，得， 即， 则， 整理得，即，于是， 如图，过作的平行线，交于点，    则四边形为平行四边形，则，， 由，得，则， 由为的中点，得为的中点，因此， 所以的面积为6. 15．在平面直角坐标系中，点到直线的距离的平方比点到点的距离的平方大记动点P的轨迹为. (1)求的方程. (2)已知为上不同的三点. （i）若线段的中点坐标为，求的面积; （ii）若直线和直线均与圆相切，证明：直线与圆相切. 【答案】(1)； (2)（i）； （ii）设， 所以直线的方程为， 圆的圆心为，半径， 因为与圆相切，故圆心到直线距离等于， 所以，即， 所以， 同理， 所以，是一元二次方程的两个根， 故，是方程， 方程的判别式 由韦达定理得，， 对直线，同理得圆心到的距离平方为， 又，故 ， 所以，即，故直线与圆相切. 【分析】（1）设动点，结合条件列出等式并化简，得到轨迹的方程； （2）（i）设，，因为​在轨迹上，所以代入的方程，利用点差法求出直线的斜率，进而得到直线方程；再联立直线方程与的方程，求出，结合关系求面积；（ii）设，由条件可得，​是方程的两根，再证明圆心到的距离等于圆的半径即可. 【详解】（1）设动点的坐标为， 由已知点到的距离的平方比到原点的距离平方大， 所以 化简可得， 所以的方程为， （2）（i）设， 因为都在上，故， 所以， 所以直线​的斜率， 因为​中点为，所以， 所以，直线的方程为，即， 联立直线与抛物线方程： ， 方程的判别式 由韦达定理得， 所以 所以的面积(是直线在轴截距)； （ii）略 题型四 抛物线中的参数及最值 16．已知抛物线：，直线与抛物线有且只有一个交点． (1)求抛物线的方程； (2)若直线与抛物线交于异于原点的两点，，若，过作的垂线，垂足为，求证：直线恒过定点，并求出的取值范围． 【答案】(1) (2)直线恒过定点  的取值范围为 【分析】（1）联立直线与抛物线方程，根据，求的值； （2）设出直线的方程，与抛物线方程联立，根据，结合根与系数的关系确定直线恒过定点；求出点的轨迹方程，利用几何意义确定的取值范围． 【详解】（1）联立直线与抛物线方程： ，消去得， 因为直线与抛物线仅有一个交点，所以，即， 因为，所以， 所以抛物线的标准方程为. （2）设直线，，，. 联立，得， 根据根与系数的关系得，. 由 ，得，即， 其中，故， 所以得，，因为，所以， 因此直线，恒过定点. 因为点在直线上，所以， 又，，故，即. 将及代入， 得，整理得，，即， 又直线不过原点，所以点的轨迹方程为.其轨迹为圆心，半径为2的圆，去除点. 令，得， 由，解得， 因此的取值范围为. 17．在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为为抛物线上两个不同的动点．当中点横坐标为2时，． (1)求抛物线的方程； (2)若直线过点，在轴上是否存在点，使得恒在以线段为直径的圆内？若存在，求出点横坐标的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，横坐标 【分析】（1）根据题意，结合抛物线的定义，列出方程，求得，即可求解； （2）设直线的方程为，且，联立方程组求得， 法一：由，代入整理得到，转化为不等式对恒成立，列出不等式组，即可求解； 法二：设直线的方程为，且，求得以为直径的圆的方程，根据点在圆内，得到对恒成立，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）解：由抛物线的定义知：， 因为，可得，解得， 所以抛物线的方程为． （2）解：设直线的方程为，且 联立方程组，整理得， 判别式恒成立，且， 法一：由，可得， 将代入，可得 ， 再将代入得， 整理得， 由恒在以线段为直径的圆内等价于对恒成立， 则满足或，解得， 综上可得，存在这样的点，且，满足题意. 法二：设直线的方程为，且， 可得，所以圆心为， 由， 圆的方程为， 因为点在圆内，可得， 整理得， 因为恒在以线段为直径的圆内等价于对恒成立， 则满足或，解得， 综上可得，存在这样的点，且，满足题意. 18．已知抛物线：的焦点为，点为上一点，且，过点的直线与及圆依次交于A，D，B，C四点，如图所示. (1)求E的方程； (2)求的值； (3)过A，D两点分别作的切线，，记，求与的面积之和的最小值. 【答案】(1) (2)9 (3)18 【分析】（1）根据抛物线定义直接求解即可； （2）求出抛物线的焦点坐标，设直线：，设点，，将直线方程与抛物线的方程联立，并列出韦达定理，利用抛物线的定义并结合韦达定理证明即可； （3）求出切线与的方程，并将两切线方程联立得出交点的坐标，并计算出点到直线的距离，可计算出与的面积和，换元，利用导数法求出最小值. 【详解】（1）因为在上，且， 由抛物线的定义，得，解得， 所以的方程为. （2）由（1）得，圆的方程为， 设直线：，，， 由消去并整理，得， 显然判别式，，， ，， 所以. （3）设切线的方程为， 代入的方程，得. 又，所以， 则，解得. 所以的方程为， 同理可求切线的方程为， 与的方程联立，解得，，所以. 故点到直线：的距离， 所以 . 令，则， 令，则，在上单调递增， 所以， 所以与的面积之和的最小值为18. 19．已知抛物线的焦点为，过点作直线交于，两点，为坐标原点． (1)求抛物线的方程； (2)若为直角三角形，求直线的斜率； (3)点关于轴的对称点为，直线交轴于点，直线交轴于点，探究是否为定值？ 【答案】(1)； (2)或； (3)是定值1,理由如下： 由（2）可知， 且，， 又因为， 所以直线的方程为， 令，得 ， 即， 所以， 所以是定值1.    【分析】（1）由题意可得，求出的值即可得答案； （2）设的方程为，与抛物线方程联立，分、及分别求解； （3）由题意可求得，，利用点斜式求出直线的方程，进而可得点的坐标，代入化简即可得答案. 【详解】（1）由题意可得，解得， 所以抛物线的方程为； （2）由题意可知直线的斜率存在且不为0，设为， 所以的方程为， 由，得， 其中， 解得， 设, 由韦达定理可得：， 所以， 又因为为直角三角形， 当时，则有, 即， 即， 所以， 解得， 所以， 又因为在抛物线上， 所以， 整理得, 即， 解得； 同理当时，解得； 当时，所以,即， 所以， 解得，满足， 所以； 综上，或； （3）略； 20．已知抛物线上有一点位于第一象限，的纵坐标为． (1)若点到抛物线的准线的距离为，求的值； (2)若，点在轴上，线段的中点在上，求点的坐标和坐标原点到直线的距离； (3)若对于上第一象限的任一不与重合的点，设直线与直线交于点，作于，都有恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)，距离为 (3) 【分析】（1）由抛物线的定义可求得点的横坐标，再将该点的横坐标代入抛物线方程，即可得出的值； （2）求出点的坐标，设点，可得出线段的中点坐标，结合题意求出的值，可得出直线的方程，再利用点到直线的距离公式求解即可； （3）设，求出直线的方程，可得出点的坐标，进而可得出点，结合以及两点间的距离公式得出对恒成立，然后分、、三种情况即可. 【详解】（1）设点的横坐标为，抛物线的准线方程为，由题意可得，解得， 故，因为，所以. （2）设点的横坐标为，则，因为，则，故，即点， 设点，线段的中点为， 所以，即， ，则直线的方程为，即， 故原点到直线的距离． （3）设，因为点，所以直线的方程为， 其中，所以点、， 则， 即对恒成立， 当时，，成立； 当时，即时，恒成立，此时， 当时，因矛盾，故舍； 综上所述，的取值范围为． 题型五 抛物线中的定点、定值、定直线 21．在平面直角坐标系中，已知抛物线，过点的直线与抛物线交于两点，抛物线在两点处的切线交于点． (1)求线段长度的最小值； (2)若直线与抛物线交于两点，分别为线段的中点．求证：直线经过定点． 【答案】(1) (2)因为直线与抛物线交于,两点，故时为坚直线. 记的斜率为， 则，由韦达定理和中点公式， 线段的中点分别为， 又，即；若，则，不可能，故. 点,都在抛物线上，故直线的斜率为， 其方程为， 令，恒有，所以直线恒过定点. 【分析】（1）采用设线法并联立抛物线方程得到韦达定理式，从而得到点坐标，再利用两点距离公式转化为二次函数求最值，即可得到长度的最小值； （2）求出的坐标，化简直线的方程，代入检验即可得出直线恒过定点. 【详解】（1）易知直线的斜率存在，故可设. 设,的横坐标分别为，联立抛物线得， ， 所以. ，求导得， 则抛物线上横坐标为的点处切线斜率为，切点纵坐标为， 则切线方程为，即， 则其在点处的切线方程分别为， 联立解得，则， ，当时等号成立， 故的最小值为. （2）略 22．已知抛物线的焦点为F，准线为l． (1)写出以坐标轴为对称轴、F为焦点、离心率为的椭圆的标准方程； (2)设l与x轴的交点为E，点P在第一象限，且在上，若，求直线的方程； (3)经过点F且斜率为的直线与相交于两点，O为坐标原点，直线分别与l相交于点．试探究：以线段为直径的圆C是否过定点，若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)是，和 【分析】（1）先求抛物线的焦点坐标，再根据题意求椭圆的，即可得解； （2）解法一：设点，根据题意可得点P的轨迹方程为，从而求出点P的坐标，可得直线方程；解法二：根据抛物线的定义进行转化分析可得，进而可得直线EP的倾斜角与斜率，利用点斜式求直线方程； （3）设直线的方程及两点的坐标，进而可求两点的坐标，结合韦达定理求圆C的圆心及半径，根据圆C方程分析判断定点． 【详解】（1）由题意得，的焦点为， 设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b， 因为离心率为，所以，得，． 所以椭圆的标准方程为． （2）解法一：的准线方程为，． 设点，因为， 所以，得， 因为，所以，所以， 因为P在第一象限，所以点P的坐标为． 则直线的斜率为，直线的方程为． 解法二：的准线方程为，． 过点P作的准线的垂线，垂足为M，， 因为，所以， 因为P在第一象限，所以直线的倾斜角为． 则直线的斜率为，直线的方程为． （3）设点． 由已知直线的方程为， 将代入抛物线方程得， 所以． 因为直线的方程为，直线的方程为， 令，得的纵坐标分别为． 得到圆C方程为． 因为，所以整理得， 令，得或， 所以圆C过定点和． 23．已知抛物线的焦点为，直线与交于两点，与x轴交于点Q，与直线交于点P． (1)求的标准方程； (2)当时，求的面积； (3)是否存在实数，使等式成立，若存在，求的值并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，理由如下： 设，因为点在直线上， 所以，解得，， 点是直线与轴的交点，令，得，所以，    则， ， ，     要验证，即验证：， 化简得：．     联立，消去可得，               因为，且，                   所以， 所以和同号，即． 因为 ，                          则，即． 【分析】（1）由题意得，可得，即可求解； （2）当时，设，直线的方程为，联立直线与抛物线方程，求出，， 结合弦长公式求得，再求出点到直线的距离，进而求解面积； （3）先表示出，再结合题设求解即可. 【详解】（1）由题意，，则， 所以的方程为． （2）设， 当时，直线的方程为，即． 联立，消去可得，                根据韦达定理，，，                   则，     点到直线的距离，   所以的面积． （3）略 24．已知抛物线：，是坐标原点，是焦点，，是抛物线上异于原点的两个不同点． (1)若点到焦点的距离等于9，求点的坐标； (2)若，求证：直线过定点，并求出该定点坐标； (3)若过点且不与轴垂直的直线与抛物线交于，两点，点在轴上方，设点为轴上异于点的点，且满足，延长交抛物线于点．记直线和的倾斜角分别为，，求的最小值． 【答案】(1) (2)证明：设 ，满足 ，由 得：，又， 所以，整理得，解得， 设直线 ，联立 得 ， 由韦达定理 ，结合 得 ， 故直线方程为，恒过定点 . (3) 【分析】（1）利用抛物线的定义求出点的横坐标，将横坐标代入抛物线方程，即可得到点A的坐标； （2）设出直线的斜截式方程，与抛物线联立得到韦达定理关系，代入求出直线方程中的定值参数，即可证明直线过的定点并求出定点坐标； （3）设出过焦点的直线的方程，联立抛物线得到的坐标关系，结合确定点坐标，再联立与抛物线得到点坐标，利用倾斜角与斜率的关系得到关于直线斜率的表达式，最后用基本不等式求出最小值. 【详解】（1）抛物线 中，，得 ，焦点 ，准线 ， 设 ，由抛物线定义：点 到焦点 的距离等于到准线的距离，即，解得， 代入抛物线方程得 ，解得， 故点 的坐标为或 . （2）略 （3）设过的直线，，， 联立得 ，由韦达定理：，所以， 设，由，，平方得， 代入，整理得（），所以即， 所以，所以直线， 联立，得，整理得， 所以，解得的纵坐标 ， 因为， 所以，因为， 所以 当且仅当 时取等号，故 的最小值为 . 25．已知点，是平面上一动点，点到点的距离比它到轴的距离大1，设动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的轨迹方程； (2)已知点，，为不过点的直线与曲线的交点，直线的斜率记为，直线的斜率记为，若，求证：直线过定点，并求出定点坐标． 【答案】(1)或； (2)证明：由不过点的动直线与曲线恒有两个交点，，则动直线与只抛物线相交， 可设点，直线的方程为：， 联立，得， 所以，即． 因为，所以， 代入得：，整理得：， 即或． 当时，直线的方程：过定点，舍去； 当时，直线的方程：过定点． 所以直线过定点． 【分析】（1）由题意转化为抛物线的定义，即可得到曲线方程； （2）利用方程组思想，结合韦达定理，即可得到直线过定点的证明. 【详解】（1）设，由点到点的距离比它到轴的距离大可得， ，平方得：， 当时，上式化简可得：， 当时，上式化简可得：， 即曲线的轨迹方程是或； （2）略 题型六 抛物线中的向量问题 26．已知抛物线的焦点到准线的距离为2． (1)求抛物线的方程； (2)若过点的动直线与抛物线相交于两点， （i）在线段上取点，满足，证明：点总在某定直线上； （ii）是否存在与点不同的定点，使得恒成立?若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) （i）设，、、， 联立，消去可得， ，即， ，， 由，则，故， 由点在线段上，则与异号， 故， 即有， 整理得， 即有，解得， 则， 有， 故总在定直线上； （ii）存在，且点坐标为 【分析】（1）由抛物线定义即可得； （2）（i）设出直线的方程与各点坐标，联立抛物线方程，可得与交点纵坐标有关韦达定理，由，可得，计算可用表示出、，即可得点轨迹，即可得证；（ii）设，则有，结合韦达定理计算可得存在定值、，使得该等式恒成立，即可得点坐标. 【详解】（1）由抛物线定义可得，则； （2）（i）略 （ii）存在，且点坐标为，理由如下： 设，则， 由，则，即有， 即， ， 设，，，， 即有 ， ， 则可化为， 整理得， 由，故， 又， , 故， 即， 要使得恒成立，则，则有，即， 则，解得或（舍），则， 即，，即； 即存在，使得恒成立. 27．已知直线与抛物线交于两点，不同于的直线与交于两点，设直线与的交点为． (1)证明：点在直线上； (2)若的中点为． （ⅰ）求直线的斜率； （ⅱ）求四边形面积的最小值． 【答案】(1) 与的交点为， 由得 点在直线上； (2)（ⅰ）0；（ⅱ） 【分析】（1）根据两直线方程求得其交点坐标为，即可得出结论； （2）（ⅰ）设，利用分别求得的坐标为，再结合韦达定理即可求得斜率为0； （ⅱ）利用中位线性质以及三角形相似可得四边形的面积为，求出其面积表达式再由二次函数性质即可得出结果. 【详解】（1）略 （2）（ⅰ）不妨设，由（1）知点的坐标为，如下图所示： 又，即为的中点，点的坐标为， 又点在曲线上，， 整理得， 同理可得， 是关于的方程的两根， ， 又， 点的坐标为，即， 直线的斜率； （ⅱ）设四边形的面积为， 为的中点，为的中点，， 又由（ⅰ）知：直线平行于轴或与轴重合， ， 又，， ， 可得四边形面积的最小值为． 28．已知是抛物线的焦点，是上的一点，且． (1)求的方程； (2)若过点的直线与交于两点，且，求的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据焦半径公式求，即可求抛物线方程； （2）首先设直线，与抛物线方程联立，结合条件和韦达定理，即可求解直线方程. 【详解】（1）由条件可知，，得， 所以抛物线方程为； （2）设直线，，，， 联立，得， ，，① 由，可得，② 由①②可知，，或，， 所以或，得或， 即直线的方程为，即或，即. 29．已知是抛物线的焦点，是抛物线上位于第一象限内的任意一点，过，（为坐标原点）三点的圆的圆心为，点到抛物线的准线的距离为． (1)求抛物线的方程； (2)当过点的动直线与抛物线相交于不同点时，在线段上取点，满足，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由于点在中垂线上，所以，从而，求出后可得抛物线方程； （2）设，，则可用坐标表示，结合点在抛物线上可得的轨迹，从而可求的最小值． 【详解】（1）过三点的圆的圆心为,则圆心在的中垂线上， 则，又点到抛物线的准线的距离为，所以，则， 所以抛物线的方程为. （2）设，记. 则， ， 整理得， 又，代入得，故， 所以总在定直线上，又, 而过且与该直线垂直的直线为， 由可得两条直线的交点为， 而，故交点在抛物线内部， 故的最小值为到直线的距离， 即的最小值为. 30．已知抛物线的焦点为F，点是C上一点，且，记O为坐标原点，过点F的直线与C相交于A，B两点． (1)求抛物线C的方程与准线l的方程； (2)求的最小值； (3)已知P，M分别是抛物线C与准线l上的动点，若C在点P处的切线交y轴于点Q，且，试判断点N是否在定直线上，若在，请求出定直线的方程；若不在，请说明理由． 【答案】(1)；； (2)； (3)N在定直线上，直线方程为：. 【分析】（1）由结合抛物线定义可得准线方程，据此可得抛物线方程； （2）设过点F的直线方程为，将直线方程与抛物线方程联立，结合韦达定理可得，然后由抛物线定义结合基本不等式可得最小值； （3）设，由导数知识可得点P处的切线方程，据此可得点Q坐标，设，由可得，据此完成判断及得到定直线方程. 【详解】（1）由是C上一点，且，结合抛物线定义， 可得准线方程为：，则焦点为，则； （2）由题可得点F的直线的斜率存在， 设过点F的直线方程为：，将直线方程与抛物线方程联立， 可得，判别式为. 设，由韦达定理，可得，则. 又由抛物线定义可得， 当且仅当，即时取等号； （3）设，， 则在处的切线方程为：. 令，得，设，则. 又注意到，， 则.因， 则，从而，即N在定直线上， 直线方程为：. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 直线与抛物线综合·面积·中点弦·定点·定值·最值六大典型问题 题型一 直线与抛物线的位置关系（韦达） 题型二 抛物线中三角形面积（四边形） 题型三 抛物线的中点弦问题 题型四 抛物线中的参数及最值 题型五 抛物线中的定点、定值、定直线 题型六 抛物线中的向量问题 题型一 直线与抛物线的位置关系（韦达） 1．已知抛物线：，为坐标原点，过点作斜率的直线交抛物线于两点，其中在第一象限，直线交抛物线于另一点，其中，直线与直线交于点． (1)求抛物线的方程； (2)记与的面积分别为，． （ⅰ）当，，，四点共圆时，求直线的方程； （ⅱ）求的取值范围． 2．已知抛物线，斜率为的直线交于两点，且线段中点纵坐标为4． (1)求抛物线的方程； (2)若直线不过点，且直线交于另一点，记直线的斜率为， （i）求证：； （ii）求证：直线过定点． 3．已知圆心在x轴上移动的圆经过点，且与x轴，y轴分别交于，两个动点．记动点的轨迹为曲线E． (1)求点的轨迹方程； (2)设直线l与曲线E相交于两点，与圆相切于点T，若T为的中点，求T的纵坐标取值范围； (3)过点作圆（圆在曲线E内部）的两条切线分别交曲线E于两点（异于点），探究直线PQ是否过定点． 4．已知抛物线的焦点为． (1)求抛物线的方程； (2)设直线与抛物线相交于两点， （ⅰ）若，求实数的值； （ⅱ）为坐标原点，求重心的轨迹方程． 5．已知抛物线：（）的焦点到其准线的距离为2. (1)求抛物线的标准方程； (2)过点的直线与抛物线交于，两点，点在第一象限. ①直线与抛物线的另一个交点为，当时，求直线的方程； ②是否存在定点，使得直线与斜率互为相反数，如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由. 题型二 抛物线中三角形面积（四边形） 6．在平面直角坐标系中，双曲线：（），右焦点坐标为，点是上任意一点． (1)求的方程； (2)过点作的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于，两点，求证：平行四边形的面积为定值； (3)过点作：的两条切线，切点为C，D，求面积的最小值． 7．已知抛物线：的焦点为，点在上，． (1)求的方程； (2)设，直线过焦点，与交于，两点．直线，分别交于另两点，． ①求的面积的最小值； ②试判断直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 8．如图所示，已知抛物线的顶点为O，点A的坐标为，倾斜角为的直线与线段相交（不经过点O或点A），且交抛物线于M、N两点，求的面积最大时直线的方程，并求的最大面积． 9．在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，过点且垂直于轴的直线与抛物线交于，两点（点在轴上方），的面积为2． (1)求抛物线的标准方程． (2)过点的直线与抛物线交于，两点，直线与线段交于点． ①证明：直线轴； ②求面积的最大值． 10．在平面直角坐标系中，已知定点和定直线：.动点到定点的距离等于它到定直线的距离，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)设为坐标原点，点，是曲线上异于原点的两个动点，且满足. （ⅰ）证明：直线恒过定点； （ⅱ）求面积的最小值. 题型三 抛物线的中点弦问题 11．已知抛物线，直线交抛物线于、两点， (1)若线段中点的纵坐标为，求直线的方程； (2)若抛物线上存在两点、关于直线轴对称，求的取值范围. (3)若存在定点，使以为直径的圆上的任意点，都满足（为原点），求定点的坐标和的值. 12．在平面直角坐标系中，已知曲线，直线与交于三个不同的点. (1)若，求的取值范围； (2)若，求的值. 13．已知为坐标原点，椭圆与抛物线在第一象限的交点为，其中椭圆的长轴长是短轴长的两倍. (1)求椭圆和抛物线的标准方程； (2)设直线交抛物线于两点，若的中点在椭圆上，求的坐标. 14．如图所示，已知抛物线：（），，，，是抛物线上的四个点，其中，在第一象限（在的左侧），，在第四象限，满足，线段与交于点.记线段与的中点分别为.当经过的焦点且垂直于轴时，.    (1)求的准线方程； (2)求证：； (3)若，求的面积. 15．在平面直角坐标系中，点到直线的距离的平方比点到点的距离的平方大记动点P的轨迹为. (1)求的方程. (2)已知为上不同的三点. （i）若线段的中点坐标为，求的面积; （ii）若直线和直线均与圆相切，证明：直线与圆相切. 题型四 抛物线中的参数及最值 16．已知抛物线：，直线与抛物线有且只有一个交点． (1)求抛物线的方程； (2)若直线与抛物线交于异于原点的两点，，若，过作的垂线，垂足为，求证：直线恒过定点，并求出的取值范围． 17．在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为为抛物线上两个不同的动点．当中点横坐标为2时，． (1)求抛物线的方程； (2)若直线过点，在轴上是否存在点，使得恒在以线段为直径的圆内？若存在，求出点横坐标的取值范围；若不存在，请说明理由． 18．已知抛物线：的焦点为，点为上一点，且，过点的直线与及圆依次交于A，D，B，C四点，如图所示. (1)求E的方程； (2)求的值； (3)过A，D两点分别作的切线，，记，求与的面积之和的最小值. 19．已知抛物线的焦点为，过点作直线交于，两点，为坐标原点． (1)求抛物线的方程； (2)若为直角三角形，求直线的斜率； (3)点关于轴的对称点为，直线交轴于点，直线交轴于点，探究是否为定值？ 20．已知抛物线上有一点位于第一象限，的纵坐标为． (1)若点到抛物线的准线的距离为，求的值； (2)若，点在轴上，线段的中点在上，求点的坐标和坐标原点到直线的距离； (3)若对于上第一象限的任一不与重合的点，设直线与直线交于点，作于，都有恒成立，求的取值范围． 题型五 抛物线中的定点、定值、定直线 21．在平面直角坐标系中，已知抛物线，过点的直线与抛物线交于两点，抛物线在两点处的切线交于点． (1)求线段长度的最小值； (2)若直线与抛物线交于两点，分别为线段的中点．求证：直线经过定点． 22．已知抛物线的焦点为F，准线为l． (1)写出以坐标轴为对称轴、F为焦点、离心率为的椭圆的标准方程； (2)设l与x轴的交点为E，点P在第一象限，且在上，若，求直线的方程； (3)经过点F且斜率为的直线与相交于两点，O为坐标原点，直线分别与l相交于点．试探究：以线段为直径的圆C是否过定点，若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由． 23．已知抛物线的焦点为，直线与交于两点，与x轴交于点Q，与直线交于点P． (1)求的标准方程； (2)当时，求的面积； (3)是否存在实数，使等式成立，若存在，求的值并说明理由． 24．已知抛物线：，是坐标原点，是焦点，，是抛物线上异于原点的两个不同点． (1)若点到焦点的距离等于9，求点的坐标； (2)若，求证：直线过定点，并求出该定点坐标； (3)若过点且不与轴垂直的直线与抛物线交于，两点，点在轴上方，设点为轴上异于点的点，且满足，延长交抛物线于点．记直线和的倾斜角分别为，，求的最小值． 25．已知点，是平面上一动点，点到点的距离比它到轴的距离大1，设动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的轨迹方程； (2)已知点，，为不过点的直线与曲线的交点，直线的斜率记为，直线的斜率记为，若，求证：直线过定点，并求出定点坐标． 题型六 抛物线中的向量问题 26．已知抛物线的焦点到准线的距离为2． (1)求抛物线的方程； (2)若过点的动直线与抛物线相交于两点， （i）在线段上取点，满足，证明：点总在某定直线上； （ii）是否存在与点不同的定点，使得恒成立?若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 27．已知直线与抛物线交于两点，不同于的直线与交于两点，设直线与的交点为． (1)证明：点在直线上； (2)若的中点为． （ⅰ）求直线的斜率； （ⅱ）求四边形面积的最小值． 28．已知是抛物线的焦点，是上的一点，且． (1)求的方程； (2)若过点的直线与交于两点，且，求的方程． 29．已知是抛物线的焦点，是抛物线上位于第一象限内的任意一点，过，（为坐标原点）三点的圆的圆心为，点到抛物线的准线的距离为． (1)求抛物线的方程； (2)当过点的动直线与抛物线相交于不同点时，在线段上取点，满足，求的最小值． 30．已知抛物线的焦点为F，点是C上一点，且，记O为坐标原点，过点F的直线与C相交于A，B两点． (1)求抛物线C的方程与准线l的方程； (2)求的最小值； (3)已知P，M分别是抛物线C与准线l上的动点，若C在点P处的切线交y轴于点Q，且，试判断点N是否在定直线上，若在，请求出定直线的方程；若不在，请说明理由． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题08直线与抛物线综合·面积中点弦·定点·定值·最值六大典型问题 题型归纳 题型一直线与抛物线的位置关系（韦达） 题型二抛物线中三角形面积（四边形） 题型三抛物线的中点弦问题 题型四抛物线中的参数及最值 题型五抛物线中的定点、定值、定直线 题型六抛物线中的向量问题 题型专练 题型一直线与抛物线的位置关系（韦达） 1.(1)x2=3y 2)(i)y=-x+2:(i)(0,4-25) 2.(1)y2=4x (2)(1)法一：由(1) 4+=8.1-x-21=5-2 y=-4n'且k月-4'k2-4 ,1+1=2y+n-2,2y+n-2 则k6片-4为-4 =44-8(y+2)+(n-2)y+y2)-8(n-2) (y-4)y2-4) _4yy+-100y+y)-8(n-2）-16m-64=4 y2-4(y+y2)+16 -4n-16 1+1=4」 所以太+店 法二：设直线方程为m(x-2)+n(y-4)=1, 抛物线的方程y2=4x可表示为(y-4)+8(y-4)-4(x-2)+8=0, 1/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 m(x-2)+n(y-4)=1 由10-4}+80y-4-4(x-2)+8=0 +8+ 4a++2-o ∴.(8n2+8n+1）k2+(8m-4n+16mn)k+8m2-4m=0, 60妹- 8m2-4m 1 直线，的斜率为2n=-2m, k+k,-4n-8m-16mn_32m2-16m 8n2+8n+132m2-16m+1 .1+1_k+k=32m2-16m=4 k k2 kk2 8m2-4m ()法一：如图，作出符合题意的图形， A P KB 1+1=4」 由已知得无k 设直线BC的方程为x=my+t,B(x,2),C(:,为)， x=my+t 联立y2=4x，可得y2-4my-4=0' y2+y3=4m,2y3=-4t. k=当4k=-4 七3-2” x2-2, .1,1my3+(t-2),my2+(t-2) kk⅓-45-4 -2m2+-4m-20+-8-2=4. y2y3-4(y2+y3)+16 2/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 整理得4m2-2t-14m+mt+12=0, 即(m-2)(t+4m-6)=0, 当m=2时，直线AB与直线BC重合，舍去 ∴t+4m=6,.直线BC的方程x=my+6-4m, ∴直线BC过定点(6,4) 11=4 法二：由已知得飞k2 一十 .11_k+k2_4n-8m-16mn_n-2m-4mm=4, k k2 kk2 8m2-4m Γ2m2-m ∴.8m2+4mn-2m-n=0,.(2m+n)(4m-1)=0, 1 n=-2m（舍)或m=4, :直线BC的方程是4x-6)+ny-4)=0, ∴直线BC过定点(6,4). 3.(1)y2=4x(x>0) 2(-26,26） (3)直线恒过点(0，-4) 4.(1)y2=8x ②)(i)2:(ii)y2-8x-32 4 "jx- 9t> 3 5.(1)y2=4x (2)2x-y-4=0:②存在，（-2,0) 题型二抛物线中三角形面积（四边形） x2 6.)3-y=1 (2)双曲线C的渐近线方程为x±V3y=0,记：x+V5y=0,42:x-V3y=0 设点PK,W由p在C上得昏-店-1，即5-3=3 3/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B P y= 3比 y=- V3 过点P与平行的直线方程为x+V5y=,+5,与交于点A, x+3y=xo+3yo 联立 x-v3y=0 2 23 胜p千有的纹，的安到 平行四边形PAOB的面积SOAd,其中d为点B到直线2的距离， on-5n 2 2W5 1x-3, V1+3 2 :S=+5.5-51后-3.35 V3 2 2325=2,为定值，得证 e)35105 36 7.(1)y2=4x (2)D2:②直线DE过定点(4,0) 8.直线I的方程为y=x-L,△AMN的最大面积是82， 9.(1)y2=4x (2①证明：由(1)知，抛物线C:y2=4x,F(1,0),M(1,2),N(L,-2)」 由题意知直线1的斜率k存在，且k≠0，所以直线1的方程为y=k(x+),k≠0. y=k(x+1) 由>4消去，整理得k+2k-2列x+=0 由△=42-2-44=161-k2)>0,解得-1<k<1,且k≠0， 4/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4-2k2 所以x+x2= 2·x七2=1·所以龙= 直线0B的方程为=上x=5+), x2 X2 k1+1 令，得k(6+),即e= 1 2=k(x1+1)=y, y x=1 X2 所以直线AQ1y轴. ®3g 9 10.(1)y2=4x (2)(i)因为直线AB不垂直于y轴，设其方程为：x=my+n(m∈R,n≠0)， x=my+n 设A(,)B(s,)联立直线B与抛物线方程， AB y2=4x →y广-4my=4n=0,可得y+为=4m y2=-4n, 因为O41oB>所以5+y440,得=0y 又因为n≠0，所以n=4,即直线AB方程为x=my+4,则过定点(4,0). (i)16 题型三抛物线的中点弦问题 11.(1)x=y+3 (2)(-0,-1)(1,+o） 3)定点P(-1,0),m=0 2--3 a+方 x+Y 13.)r=16y20+5 (2)(-2,2)或(2,2) 5/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4四g=9 (2证明：设Ax,y,B(x,,C(x,,Dx4,y),由AB=CD,得AB/1CD, 若=2，则=x4,直线AB,CD的斜率不存在， 由对称性，知M,N,H均在x轴上，则M,N,H三点共线： 若则5怎，直线服.C0的斜率存在，直线6的斜率知=片光 x-x2-y吃+y21 百按加的苏率为方头，装理得0+为加-消= 同理直线CD的方程为(y+y4)y-y4=x,直线AC的方程为O+)y-为=x, 直线BD的方程为+y)y-2y4=x,由AB/CD,得为+为=y+4, 设M(xwyw),N(w,yw),由线段AB与CD的中点分别为M,N,得yw=w, 因此直线MN1/x轴，设直线MN与线段AC,BD的交点分别为P,Oe), 将y=””代入直线4C的方程，得，=6+g)4-y=广》少， 2 2 2 将y=生兰代入直线0的方程，得。=0+)当”-以=公+0生)业， 2 2 2 ,-。=广+0+)-⅓-片-0+y)+丛 2 =片+y-y=0+y=y-0出+h-)-+⅓-22=出4出=0， 2 2 2 又yp=Q=yM=yw,则点P,Q重合，即P,Q为线段AC与BD的交点H, 所以M丽1H. (3)6. 5.国=2+ (m设4+i=12,3 所以直线44的方程为G+)加-y+任5)-0， 6/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 因为AA,与圆C相切，故圆心到直线距离等于1， 10-9+1 所以心44 -xx 1=1,即 2+xx2=1， V(x+x)+1 V(x+x)}2+1 所以(2+xx=(x+x)了+1， 同理(2+xx}=(x+x)}+1, 所以x,是一元二次方程(xt+2)2=(化+)+1的两个根， 故x,x3是方程(x-)+2x1+(3-)=0, 方程(-1产+2x1+(3-)=0的判别式△=4x-4(-103-)=4x-12x+12>0 韦达完理得巧+巧，55了- 1-x2, 对直线44：同理得圆心到44的距离平方为=任5+2 (x2+x)2+1 又5+2=3+2-1 1-x -1,故6+2=+1)2 (x2-1)2 (2+x3)2+1= 2x1 +1=G2+102 1-x2 (x2-1)2’ 所以d2=1,即d=1=r,故直线AA与圆C相切： 0 题型四抛物线中的参数及最值 16.(1)y2=4x 2)直线1恒过定点(4,0)：+%的取值范围为[2-2V2,2+2√2 17.(1)y2=4x 7/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)存在，横坐标0≤1<2+22 18.(1)y2=12x (2)9 (3)18 19.(1)y2=2x: (2)k=1或k=2; (3)是定值1，理由如下： 2(4k+1) 16 由(2)可知x+x2= k2 ,XX2= k2, 且cx,- 又因为c=当+上=+)-8 x2-X1x2-X 所以直线RC的方程为-水-8-. X2-X -y&+x 令y=0:得xk代+)-8 =-(,-4x,-x)+x,[k+x)-8] k(x+x2)-8 =265-4s+) k(x+x2)-8 16-4×1 2k 2(4k+1) =-h k2 x2(4+-8 2 、 k' 00, 所以OD1 IOM 所以OD是定值1. 8/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A 20.(1)2V2 413 2)B(-2,0)距离为15 3)(0,2] 题型五抛物线中的定点、定值、定直线 24.月 (2)因为直线P№与抛物线交于C,D两点，故k≠1(k=1时P为坚直线x=). 记P0的斜率为h=-2 k-11 则PO:y=h(c-)+1=x+1-h,由韦达定理和中点公式， 线段AB,CD的中点分别为M(k,2-k+1),N(,2-h+1), 又(k-l1h-)=-1,即h-k-h=-2;若k=h,则k-1)2=-1,不可能，故M≠N. 点M,N都在抛物线y=x-x+1上，故直线MW的斜率为k+h-1, 其方程为y=(k+h-)x+1-h=(k+h-1)x+3-k-h, 令x=1,恒有y=2,所以直线MN恒过定点R,2). (2)y=x+1 3)是，（-3,0)和1,0) 23.(1)y2=4x (2)6V5 (3)存在，元=2理由如下： 9/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设P(-4,),因为点P在直线x=my+4上， 所以4：解特%=是P》 点Q是直线与x轴的交点，令y=0,得x=4,所以Q(4,0), 则P=i+以-小=+m-(+m+, Pw=i%-i+ P阳=+小-imb-(8】im, 要验证1 1入，即验证：+m以+ 8 8 PMIPNI POI m 1+m2y2+ 1+m 8 m m 元_元m 化简得： +8图8 m x=my+4 联立y2=4x，消去x可得y2-4y-16=0 △=16m2+4×16>0 因为y=-16,且片+为=4m, 所以++%++片0=6+小g=16+>0, m m2 "m2 1 1 1.1 +8和+8同号，即以+ 所以y 8 8 8 2+ m m 当* m+ m 8 8 2+ 16 4m2+16 1 1 +y+ +y3+ m m 4m+16 m m 因为.8 y+ ,8 8 +m八+m +m2/16+4） 161+ 16m2+64 m m2 m2 4(m2+4) m 4m m 16(m2+4）164’ m2 10/13 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 Amm 则 8 8 乃+ 84,即 m 1=2 24.(1)8,±4v2) 2)证明：设A(6,,B(x,2),满足=4x,=4x,由OA0B=-4得：xx+2=-4,又 5= 16 所以2+=4，g理得3+9=0：解得=-8 16 设直线AB:x=my+n,联立y2=4x得y2-4my-4n=0, 由韦达定理y=-4n,结合y=-8得n=2, 故直线AB方程为x=my+2,恒过定点(2,0). (3)2W2 25.(1)x2=4y或x=0(y<0): (2)证明：由不过点M的动直线I与曲线C恒有两个交点A,B,则动直线与只抛物线x2=4y相交， 可设点A(:,),B(:,2),直线AB的方程为：y=G+b, y=kx+b 联立2=4y，得x-4-4b=0 11/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x+x32=4ky+2=k(+x2)+2b=4k2+2b 所以飞=-4b,即兴=kx+h(G+x)+62=· 因为k=当-2-11 -2-22,所以24y2-2(0+为)+2=x:-2(x+x)+4, 代入得：2b-24k2+2b)+2=4b-8k+4,整理得：62=(2k-2, 即b=2k-1或b=-2k+1. 当b=-2k+1时，直线AB的方程：y=cx-2k+1过定点M(2,1),舍去： 当b=2k-1时，直线4B的方程：y=:+2k-1=k(x+2)-1过定点(-2，-). 所以直线过定点(-2，)」 题型六抛物线中的向量问题 26.(1)y2=4x (2) (i)设18：x=m(y-3)+1,A(x,)、B(x,2)、Q(x,%), y2=4x 联立x=m(y-3)+1,消去x可得y-4my+12m-4=0 △=16m2-412m-4)=16(m2-3m+1)>0,即m2-3m+1>0, +y2=4m,y2=12m-4, PAO4 由 PB QB 到-兴二药--小-” 3-2y2-% 由点Q在线段AB上，则y-%与片-%异号， 故(3-片)02-)=(6-乃2)%-y), 即有3y2-3%-2+y=-3y+3y+y2-yy2, 整理得2y少-(%+3(+)+6y=0, 6m-4 即有212m-4)-,+3)x4m+6,=0,解得%=2m-3 3+5 2m-3, 则6=m63列1= 3+1=7m-37+15 2m-322(2m-3）: 52 有3%-2x=9+、15 12113 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故0总在定直线2x-3y+2=0上： 2324 (i)存在，且点M坐标为13'13 27.(1) 1与2的交点为T, (x-my+(m-1)t+2m=0,x=t, 由x-w+m-)r+2n=0,得{ y=t+2, :点T(,1+2)在直线x-y+2=0上 v2 2)(i)0:(i)2 28.(1)y2=8x (2)8x+7y-8=0或8x-7y-8=0 29.(1)x2=2y a四 30.(1)x2=12y:y=-3: (2)27: (3N在定直线上，直线方程为：y=3. 13113