专题03 双曲线点到焦点距离最值·焦点三角形·参数·轨迹六大典型问题（高效培优专项训练）数学人教A版高二选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦双曲线六大核心问题，以题型为载体系统覆盖定义应用、焦点三角形、参数范围等高频考点，注重通过问题情境培养抽象能力与推理意识，构建从概念到综合应用的逻辑链条。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |定义应用|20题|结合焦点距离、线段和差考查最值求解|以双曲线定义为核心，通过几何直观构建距离转化模型| |焦点三角形|10题|涉及周长、面积、角度等几何量计算|链接双曲线定义与三角形性质，培养推理能力| |参数范围|10题|根据方程特征求参数取值|强化方程与曲线的对应关系，发展数学抽象| |方程与位置|10题|判断焦点位置、求标准方程|立足方程形式分析几何特征，建立代数与几何联系| |轨迹问题|10题|根据条件推导轨迹方程|综合应用定义与几何性质，培养模型意识|

专题03 双曲线点到焦点距离最值·焦点三角形·参数·轨迹六大典型问题 题型一 利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值 题型二 利用定义求双曲线线段和差最值 题型三 双曲线焦点三角形问题 题型四 根据方程表示双曲线求参数范围 题型五 双曲线的方程与双曲线位置特征 题型六 双曲线有关轨迹问题 题型一 利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值 1．已知双曲线的右焦点为F，动点M在双曲线右支上，点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 2．已知双曲线的左、右焦点分别为、，动点P为双曲线右支上任意一点，点，若周长的最小值为12，则（    ） A． B．3 C． D． 3．（多选）分别为椭圆和双曲线上的点，，则（   ） A． B． C． D． 4．双曲线的两个焦点分别是、，焦距为8，是双曲线上的一点，且，则（   ） A．1 B．3 C．7 D．9 5．已知双曲线与椭圆的焦点重合，其离心率是椭圆离心率的8倍，设，分别为双曲线C的左，右焦点，P为右支上任意一点，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D．3 6．已知椭圆与双曲线有公共的焦点，椭圆与双曲线的一个交点为，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 7．已知双曲线C：的左右焦点分别为，P为双曲线上一点且，则＝（   ） A．2 B．10 C．2或10 D．4或8 8．设点是曲线上一动点，定点，则的最小值为__________. 9．已知、分别是双曲线的左、右焦点，动点在双曲线的左支上，点为圆上一动点，则的最小值为_______． 10．已知双曲线的上、下焦点分别为，点在双曲线上，若，则（    ） A．4 B．16 C．5或13 D．4或14 题型二 利用定义求双曲线线段和差最值 11．已知双曲线的左焦点为为双曲线右支上任意一点，点的坐标为（3,1），则的最大值为___________． 12．已知，点A在椭圆上，点B在双曲线上，则周长的最小值是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 13．已知双曲线的右焦点为为上一点，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 14．已知双曲线：的左焦点为F，P为C的右支上一动点，定点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 15．点是双曲线的左焦点，动点A在双曲线右支上，直线与直线的交点为 B ，则的最小值为______. 16．已知是双曲线的上焦点，点是双曲线下支上的动点，点，则的最小值为（   ） A．11 B．9 C． D．5 17．双曲线的虚轴长为4，离心率，是它的左、右焦点，若过的直线与双曲线的左支交于两点，且是与的等差中项，则______． 18．过双曲线的右支上一点，分别向圆和圆作切线，切点分别为、，则的最小值为（   ） A．10 B．11 C．12 D．15 19．双曲线的左焦点为F，点，若P为C右支上的一个动点，则的最小值为_________． 20．已知双曲线的左焦点为，点在的右支上，且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．10 D．14 题型三 双曲线焦点三角形问题 21．已知双曲线C:=1的左、右焦点分别为，，P为C的右支上一点，且，则的面积为______. 22．已知为双曲线的左、右焦点，点在双曲线右支上，且，则的周长为（    ） A． B． C． D． 23．已知点是双曲线上非顶点的动点， 为双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，点M满足 且，则（      ） A．4 B．2 C． D．1 24．已知双曲线：的左、右焦点分别为为坐标原点，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，若，且点到直线的距离为，则内切圆的半径为（    ）. A． B． C． D． 25．（多选）已知分别是双曲线的左、右焦点，是左支上一点，且在轴上方，过作角平分线的垂线，垂足为 是坐标原点，则下列说法正确的是（   ） A．若，则直线的斜率为 B．若，则 C．若 ，则 D．若 ，则 26．已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，过点的直线与在第一、四象限的交点分别为，，若，则直线的斜率为_____________． 27．双曲线的左、右焦点分别为．是双曲线右支上一点，且直线的斜率为2，是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 28．已知双曲线的左、右焦点分别为，，是右支上一点，，则_____． 29．已知双曲线的左､右焦点分别为，过的直线与双曲线的左支交于，两点，若，则的周长为__________. 30．已知双曲线的左､右两个焦点分别是，焦距为8，若是双曲线上一点，且，则的周长为（    ） A．14 B．14或17 C．22 D．14或22 题型四 根据方程表示双曲线求参数范围 31．“曲线C：（）为双曲线”是“”的（     ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 32．已知双曲线C：，则（   ） A． B．C的焦点在x轴上 C． D．C的焦点在y轴上 33．已知方程表示双曲线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 34．设为实数，若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 35．（多选）关于方程，下列说法正确的有（    ） A．若，它表示焦点在轴上的双曲线 B．若，它表示焦点在轴上的双曲线 C．方程有可能表示等轴双曲线 D．若方程表示双曲线，则或 36．（多选）已知方程：，则下列结论不正确的是（   ） A．若方程表示椭圆，则 B．若，则方程表示焦点在轴上的双曲线 C．存在，使方程表示直线 D．不存在，使方程表示圆 37．已知方程表示双曲线，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 38．在平面直角坐标系中，“”是“方程表示双曲线”的（   ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 39．（多选）已知方程所表示的曲线为，则下列说法中正确的有（   ） A．曲线可以是圆 B．当时，曲线可以是焦点在轴上的椭圆 C．当时，曲线可以是焦点在轴上的双曲线 D．当曲线是椭圆或双曲线时，其焦距均为5 40．（多选）已知曲线，则下列说法正确的有（   ） A．曲线可能是圆 B．曲线可能是等轴双曲线 C．若曲线是焦点在轴上的椭圆，则 D．若曲线是焦点在轴上的双曲线，则 题型五 双曲线的方程与双曲线位置特征 41．（多选）若方程所表示的曲线为，下列说法正确的是（    ） A．苦为椭圆，则 B．若为双曲线，则或 C．曲线可能是圆 D．若为焦点在轴上的椭圆，则 42．下列双曲线中，焦点在轴上的是（    ） A． B． C． D． 43．（多选）已知曲线的方程为，则（    ） A．当时，曲线表示一个圆 B．当时，曲线表示椭圆 C．当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线 D．当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线 44．已知双曲线C：的焦点为，则C的方程为（  ） A． B． C． D． 45．已知A，B是椭圆的左右顶点，是双曲线在第一象限上的一点，直线分别交椭圆于另外的点．若直线MN过椭圆右焦点F，且，则椭圆的离心率为______． 46．已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上一点P与F1，F2的距离差的绝对值等于6，则双曲线的标准方程为（　　） A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1 47．下列选项中的曲线与共焦点的双曲线是（　　） A． B．1 C．1 D．1 48．已知命题：实数满足不等式；命题：实数满足方程表示双曲线. (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 49．若双曲线的焦点在轴上，若该双曲线的焦距为4，则a等于（ ） A．1 B． C．4 D．10 50．设命题：方程表示焦点在轴上的椭圆；命题：方程表示焦点在轴上的双曲线，若为真，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 题型六 双曲线有关轨迹问题 51．在平面内动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是.则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 52．在平面直角坐标系中，已知定点、，平面内两个动点、满足，，且点在的平分线上，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 53．在平面直角坐标系中，，动点和分别位于正半轴和负半轴上，若，则和的交点的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 54．已知圆，点在圆A上运动，设线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为，则点的轨迹方程为（   ） A．B． C． D． 55．设点，为动点，已知直线与直线的斜率之积为定值，点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 56．已知点是平面内的一个动点，与直线垂直，垂足位于第一象限，与直线垂直，垂足位于第二象限．若四边形（其中为原点）的面积为2，则动点的轨迹方程是________________． 57．设点A，B的坐标分别为，，直线，相交于点M，且它们的斜率之积是，则动点M的轨迹方程为________． 58．已知两定点，动点满足条件，动点满足，，求动点的轨迹方程． 59．已知等腰三角形的顶点为，底边的一个端点为，则另一个端点P的轨迹方程为______；又，线段的垂直平分线与直线交于点Q，则动点Q的轨迹方程为_____. 60．若圆上恰有三个点到直线的距离为1，则动点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 双曲线点到焦点距离最值·焦点三角形·参数·轨迹六大典型问题 题型一 利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值 题型二 利用定义求双曲线线段和差最值 题型三 双曲线焦点三角形问题 题型四 根据方程表示双曲线求参数范围 题型五 双曲线的方程与双曲线位置特征 题型六 双曲线有关轨迹问题 题型一 利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值 1．已知双曲线的右焦点为F，动点M在双曲线右支上，点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用双曲线定义得，再利用三角形两边差小于第三边，当三点共线时取等号即可求解. 【详解】由双曲线得，，所以. 则右焦点，设左焦点为. 点M在双曲线右支上，所以，即. 所以. 因为，当且仅当三点共线时，且在延长线与双曲线右支交点时取等号. 又， 所以的最大值为. 2．已知双曲线的左、右焦点分别为、，动点P为双曲线右支上任意一点，点，若周长的最小值为12，则（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线的性质得到三角形周长取到最小值时的动点的情况，再结合勾股定理和双曲线中之间的关系，从而得到的值. 【详解】 的周长为， 当且仅当三点共线时取等号， 因为，所以 ， 在中，，即，解得， 所以. 3．（多选）分别为椭圆和双曲线上的点，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用椭圆的定义将椭圆上动点到同侧焦点的距离转化为到异侧焦点的距离，结合三角形两边之差小于第三边的性质构造不等关系；同时利用双曲线定义区分左右支，将双曲线上动点到焦点的距离进行转化，并运用三角形两边之和大于第三边的性质推导出最值. 【详解】由椭圆可得：，，左右焦点为、， 由椭圆的定义：对椭圆上任意点，，得， 因此：， 由三角形不等式：， 又，则， 故，故A错误，B正确； 由双曲线可得：，，焦点同样为、， 由双曲线的定义：若在右支：，得， 因此：， 由三角形不等式：，得， 若在左支：，得， 因此， 综上，总有，故C正确，D错误. 4．双曲线的两个焦点分别是、，焦距为8，是双曲线上的一点，且，则（   ） A．1 B．3 C．7 D．9 【答案】D 【分析】根据焦距及双曲线的关系，结合双曲线定义，即可求得答案. 【详解】由题意知，，所以. 在双曲线中，有，所以，又，所以. 由双曲线定义知，，即，所以或. 又，即，所以. 综上，. 5．已知双曲线与椭圆的焦点重合，其离心率是椭圆离心率的8倍，设，分别为双曲线C的左，右焦点，P为右支上任意一点，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D．3 【答案】A 【分析】先由椭圆方程求出其焦点坐标及离心率，再根据双曲线的性质，以及与椭圆的关系求出，根据双曲线的定义可得，将其代入，结合对勾函数单调性即可求解.. 【详解】因为椭圆的焦点为，离心率为， 所以双曲线的焦半距为2， 由题意可知双曲线离心率为， 所以可知双曲线，解得. 因为为双曲线右支上任意一点， 所以，即， 又因为， 所以， 令， 得，由对勾函数单调性可知其中单调递增， 当时，取到最小值，即， 所以的最小值为． 6．已知椭圆与双曲线有公共的焦点，椭圆与双曲线的一个交点为，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据题意，利用椭圆和双曲线的几何性质，求得，得到，再由椭圆和双曲线的定义，联立方程组求得，结合勾股定理，得到为直角三角形，利用三角形的面积公式，即可求解. 【详解】由题意知，椭圆和双曲线的焦点都在轴上， 则椭圆，可得，则 双曲线，可得，则， 因为椭圆和双曲线有公共的焦点，可得，解得， 所以椭圆且双曲线，则，可得， 不妨设，椭圆与双曲线的一个交点为位于第一象限， 由椭圆的定义，可得， 又由双曲线的定义，可得， 联立方程组，解得， 则满足，可得，所以为直角三角形， 所以的面积为. 7．已知双曲线C：的左右焦点分别为，P为双曲线上一点且，则＝（   ） A．2 B．10 C．2或10 D．4或8 【答案】C 【分析】根据双曲线的定义求解即可. 【详解】由双曲线C：， 可知，即， 所以由双曲线定义可知， 解得或， 故选：C 8．设点是曲线上一动点，定点，则的最小值为__________. 【答案】 【分析】通过双曲线的定义得，再利用数形结合即可求解． 【详解】设双曲线的右焦点为， ，如图所示： 由双曲线的定义得，所以， 所以，当且仅当P为线段与双曲线的右支时取等号． 故的最小值为. 故答案为： 9．已知、分别是双曲线的左、右焦点，动点在双曲线的左支上，点为圆上一动点，则的最小值为_______． 【答案】6 【分析】根据双曲线的定义，结合点共线即可求解. 【详解】双曲线，则，，，，，圆的圆心为，半径，在双曲线的左支上，，， 所以，根据几何性质可知，,故的最小值是2，当且仅当四点共线，且位于之间时，取到等号， 所以的最小值是． 故答案为：6．    10．已知双曲线的上、下焦点分别为，点在双曲线上，若，则（    ） A．4 B．16 C．5或13 D．4或14 【答案】C 【分析】根据双曲线定义，结合已知条件，即可容易求得结果. 【详解】由题意有，由双曲线的定义可知， 且，所以，所以或5. 故选：C． 题型二 利用定义求双曲线线段和差最值 11．已知双曲线的左焦点为为双曲线右支上任意一点，点的坐标为（3,1），则的最大值为___________． 【答案】 【详解】由题意可知双曲线的实半轴长，设右焦点为， 所以， ， 当且仅当、、三点共线且在点和点之间时取等号. 的最大值为 12．已知，点A在椭圆上，点B在双曲线上，则周长的最小值是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】利用椭圆、双曲线的定义求周长的最小值. 【详解】取，则，为椭圆和双曲线的公共焦点. 根据椭圆和双曲线的定义，可得， 即. 又，当三点共线时取等号. 所以，即周长的最小值为4. 13．已知双曲线的右焦点为为上一点，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据焦点坐标可求，结合双曲线的定义可得答案. 【详解】因为右焦点为，所以，即； 设双曲线的左焦点为，则；由双曲线的定义得， 所以，当三点共线时，有最小值， 最小值为，所以的最小值为. 14．已知双曲线：的左焦点为F，P为C的右支上一动点，定点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设双曲线右焦点为，利用双曲线的定义，将的最大值问题转化为的最小值问题，从而借助平面中三角形两边之差小于第三边的几何性质求解即可． 【详解】设双曲线的右焦点为，则，， 而（渐近线斜率）， 故直线与双曲线的右支交于两个不同的点， 而，仅当共线且A在之间时等号成立， 所以， 当共线且A在之间时等号成立． 所以的最大值为， 故选：C 15．点是双曲线的左焦点，动点A在双曲线右支上，直线与直线的交点为 B ，则的最小值为______. 【答案】9 【分析】由题意求出直线的交点B为圆心在，半径为1的圆，由双曲线的定义可得，所以，当A，，B三点共线时，最小，过与圆心M的直线与圆的交点B且在和圆心M之间时最小. 【详解】由双曲线的方程可得，焦点，右焦点， 可得，所以， 当A，，B三点共线时，最小， 联立直线的方程，可得， 消参数t可得，可得交点B的轨迹为圆心在，半径为1的圆（除去点）， 所以， 当过与圆心M的直线与圆的交点B且在和圆心M之间时最小. 所以的最小值为9. 故答案为：9    16．已知是双曲线的上焦点，点是双曲线下支上的动点，点，则的最小值为（   ） A．11 B．9 C． D．5 【答案】B 【分析】求出下焦点的坐标，由双曲线的定义可得，由图知，当三点共线（在线段上）时，的值最小，计算即得． 【详解】由，得，，， 所以上焦点，则下焦点为，又， 由双曲线的定义得， 由图知，当三点共线（在线段上）时，取得最小值9．    故选：B． 17．双曲线的虚轴长为4，离心率，是它的左、右焦点，若过的直线与双曲线的左支交于两点，且是与的等差中项，则______． 【答案】 【分析】先求出双曲线的方程，由是与的等差中项，可得+，结合双曲线的定义可得，从而得，即可得答案. 【详解】解：设双曲线的虚半轴长为，实半轴长为，半焦距为 由题意可得，解得， 所以双曲线的方程为， 所以，， 因为过的直线与双曲线的左支交于两点， 且是与的等差中项， 所以+，    由双曲线的定义可得：，， 所以+， 所以， 所以， 故答案为： 18．过双曲线的右支上一点，分别向圆和圆作切线，切点分别为、，则的最小值为（   ） A．10 B．11 C．12 D．15 【答案】B 【分析】根据双曲线定义可得，结合圆的切线性质可得，结合图形，即得答案. 【详解】如图所示，双曲线方程的两焦点坐标为，， 连接，，，，则， 因为，， 所以 ， 当且仅当为双曲线右顶点时等号成立， 故选：B. 19．双曲线的左焦点为F，点，若P为C右支上的一个动点，则的最小值为_________． 【答案】9 【分析】利用双曲线的定义将进行转化，再结合三角形三边关系求的最小值； 【详解】设双曲线的右焦点为. 对于双曲线，可得，则. 因为点在双曲线的右支上，所以，即. 则. 根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，可得，当且仅当，，三点共线时取等号. 已知，，根据两点间距离公式，可得. 所以，即的最小值为. 故答案为： 20．已知双曲线的左焦点为，点在的右支上，且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．10 D．14 【答案】C 【分析】根据双曲线的定义，将与进行转化，再结合三角形三边关系求出的最小值． 【详解】对于双曲线，根据双曲线的标准方程（），可得，．则． 设双曲线的右焦点为，由双曲线的定义可知，点在双曲线的右支上，则，即； 同理，点在双曲线的右支上，则，即． 所以． 根据三角形三边关系，，当且仅当，，三点共线时，等号成立． 又，则，即． 所以的最小值为10． 故选：C． 题型三 双曲线焦点三角形问题 21．已知双曲线C:=1的左、右焦点分别为，，P为C的右支上一点，且，则的面积为______. 【答案】48 【分析】根据所给条件结合双曲线的定义求出.方法一：过点作的垂线交于，求出的高，即可求出三角形的面积；方法二：在中运用余弦定理求得，求得，进而求出三角形的面积；方法三：根据海伦公式求三角形的面积. 【详解】由可得，，， ， ， 方法一：过点作的垂线交于，则， ， 所以的面积为. 方法二：在中，. 因为，所以， 所以. 方法三:根据海伦公式，，其中是三角形的三边长，得 . 22．已知为双曲线的左、右焦点，点在双曲线右支上，且，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用双曲线定义设出两焦半径，再在焦点三角形中由余弦定理列方程求边长，最后相加得周长. 【详解】因为双曲线，则，所以. 因为点在双曲线右支上，所以. 令，则，又因为，， 所以由余弦定理得，即， 即，因为，解得，即，所以， 则的周长为. 23．已知点是双曲线上非顶点的动点， 为双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，点M满足 且，则（      ） A．4 B．2 C． D．1 【答案】B 【分析】设点在双曲线右支上，延长交的延长线于点，由 及得到平分且，从而，进而根据双曲线的定义结合中位线可求. 【详解】不妨设点在双曲线右支上， ，分别表示与同方向的 单位向量， 由 可知点在的平分线上， 又由，可知， 延长交的延长线于点，则， 根据双曲线的定义，得， 易得点O，M分别为，的中点， . 24．已知双曲线：的左、右焦点分别为为坐标原点，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，若，且点到直线的距离为，则内切圆的半径为（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线的定义和等积法可求内切圆的半径. 【详解】如图所示，过点作，垂足为，过点作 ，垂足为. 依题意可得，且, 因为为线段的中点，故， 设，则，故，故， 由双曲线定义可得， 故的周长为， 故，故. 25．（多选）已知分别是双曲线的左、右焦点，是左支上一点，且在轴上方，过作角平分线的垂线，垂足为 是坐标原点，则下列说法正确的是（   ） A．若，则直线的斜率为 B．若，则 C．若 ，则 D．若 ，则 【答案】ABC 【分析】根据垂直关系以及角平分线可得，即可求解斜率，判断A，根据数量积的几何意义即可根据长度求解B，根据三角形全等，以及三角形的中位线即可求解DC. 【详解】由题意得，不妨设在第二象限， 当时，则，则， 故，， 故，由于是的角平分线，所以， 进而可得，故斜率为，故A正确， 由于，所以，故B正确， 延长交于点，连接， 由于是的角平分线，，所以， 故是的中点，， 由双曲线定义可得， 又是的中点，，故C正确，D错误. 26．已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，过点的直线与在第一、四象限的交点分别为，，若，则直线的斜率为_____________． 【答案】 【分析】由双曲线定义及勾股定理，可得，从而求得，求得直线的斜率. 【详解】由知，，则. 由双曲线的定义知，. 所以，所以. 所以. 因为直线的倾斜角与互补，所以其斜率为. 27．双曲线的左、右焦点分别为．是双曲线右支上一点，且直线的斜率为2，是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，，，结合题设得、，再由正弦边角关系得，最后根据双曲线的定义、参数关系求曲线方程. 【详解】如图， 点必落在第四象限，， 设，，， 由，则， 因为，所以，则， 所以，则， 由正弦定理可得， 由，得，， 由，得， 所以，，，， 由双曲线的定义可得，，， 所以双曲线的方程为. 28．已知双曲线的左、右焦点分别为，，是右支上一点，，则_____． 【答案】5 【分析】根据双曲线的定义及勾股定理即可求解． 【详解】由题知，， 在中，， 由得，， 所以． 29．已知双曲线的左､右焦点分别为，过的直线与双曲线的左支交于，两点，若，则的周长为__________. 【答案】34 【详解】由题知，由双曲线的定义，知， 故的周长为. 30．已知双曲线的左､右两个焦点分别是，焦距为8，若是双曲线上一点，且，则的周长为（    ） A．14 B．14或17 C．22 D．14或22 【答案】C 【详解】因为双曲线的焦距为8，所以，即. 由，可得，则. 若点在双曲线的左支上，由，可得， 此时的周长为； 若点在双曲线的右支上，，与不符. 综上，的周长为22. 题型四 根据方程表示双曲线求参数范围 31．“曲线C：（）为双曲线”是“”的（     ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】曲线C：（）为双曲线，则，解得或， m可能取的值，无法推出一定成立，故充分性不成立； 若成立，则，，方程表示焦点在x轴上的双曲线， 可推出“曲线C为双曲线”成立，故必要性成立， 综上，“曲线C：（）为双曲线”是“”的必要不充分条件. 32．已知双曲线C：，则（   ） A． B．C的焦点在x轴上 C． D．C的焦点在y轴上 【答案】D 【分析】根据双曲线方程的代数特征求得的取值范围，进而判断出正确答案. 【详解】由方程表示双曲线，可得二次项分母异号， 即， 解得. 因此，，，将方程化为双曲线标准形式， 可得双曲线的焦点在轴上. 对于选项A：与矛盾，故A错误. 对于选项B：双曲线焦点在轴上，故B错误. 对于选项C：的完整取值范围为，仅为其子集，故C错误. 对于选项D：由上述推导，双曲线的焦点在轴上，故D正确. 33．已知方程表示双曲线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【详解】由题意得：，解得或. 34．设为实数，若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】方程表示焦点在轴上的双曲线，，解得. 35．（多选）关于方程，下列说法正确的有（    ） A．若，它表示焦点在轴上的双曲线 B．若，它表示焦点在轴上的双曲线 C．方程有可能表示等轴双曲线 D．若方程表示双曲线，则或 【答案】ABD 【分析】根据题意，结合双曲线的标准方程及双曲线的性质，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，若，可得方程，表示焦点在轴上的双曲线，所以A正确； 对于B，若，可得方程，表示焦点在轴上的双曲线，所以B正确； 对于C，若方程表示焦点在轴上的等轴双曲线，则，无解； 若方程表示焦点在轴上的等轴双曲线，则，无解， 综上可得，不存在实数使得方程表示等轴双曲线，所以C错误； 对于D，若方程表示双曲线，则满足， 解得或，所以D正确. 36．（多选）已知方程：，则下列结论不正确的是（   ） A．若方程表示椭圆，则 B．若，则方程表示焦点在轴上的双曲线 C．存在，使方程表示直线 D．不存在，使方程表示圆 【答案】ABD 【分析】对实数的取值进行分类讨论，并化简方程，分析方程所表示的图形，即可得出合适的选项. 【详解】当时，曲线的方程为，即， 当时，曲线的方程为，即，故存在，使方程表示直线，C对； 当且时，曲线的方程可化为， 若方程表示椭圆，则，解得且，A错； 若方程表示焦点在轴上的双曲线，则，解得， 当时，，，方程表示焦点在轴上的双曲线，B错； 当时，曲线的方程为，方程表示圆，D错. 37．已知方程表示双曲线，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为方程表示双曲线，所以， 解得或. 38．在平面直角坐标系中，“”是“方程表示双曲线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】若表示双曲线，则表明与的系数同号，即，解得，由充分必要条件的概念可得是的充分不必要条件. 【详解】若表示双曲线，则有，解得， 易得是的充分不必要条件， 因此“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件. 故选：A. 39．（多选）已知方程所表示的曲线为，则下列说法中正确的有（   ） A．曲线可以是圆 B．当时，曲线可以是焦点在轴上的椭圆 C．当时，曲线可以是焦点在轴上的双曲线 D．当曲线是椭圆或双曲线时，其焦距均为5 【答案】BC 【分析】根据的值，结合圆与圆锥曲线的方程的特征即可判断各选项． 【详解】对于A，当方程表示圆时，，无解，故A错误； 对于B，当时，，则表示焦点在轴上的椭圆，故B正确； 对于C，当时，，则表示焦点在轴上的双曲线，故C正确； 对于D，当，即，此时方程表示焦点在轴上的双曲线， 故，所以，焦距为6； 当时，，方程表示焦点在轴上的椭圆， 故，所以，焦距为6．故D错误． 故选：BC． 40．（多选）已知曲线，则下列说法正确的有（   ） A．曲线可能是圆 B．曲线可能是等轴双曲线 C．若曲线是焦点在轴上的椭圆，则 D．若曲线是焦点在轴上的双曲线，则 【答案】ACD 【分析】利用椭圆、双曲线方程的特征，逐项列式求解判断即可. 【详解】对于A，曲线表示圆，则，解得，故A正确； 对于B，曲线表示等轴双曲线，则，方程无解，故B错误； 对于C，曲线表示焦点在轴上的椭圆，则， 解得，故C正确； 对于D，曲线表示焦点在轴上的双曲线，则，且，解得，故D正确. 故选：ACD. 题型五 双曲线的方程与双曲线位置特征 41．（多选）若方程所表示的曲线为，下列说法正确的是（    ） A．苦为椭圆，则 B．若为双曲线，则或 C．曲线可能是圆 D．若为焦点在轴上的椭圆，则 【答案】BC 【分析】利用二元二次方程与选项中曲线方程的结构特征，得到对应的不等式，解之即可得解. 【详解】因为方程，即所表示的曲线为， 对于A，若为椭圆，则，且，故A错误； 对于B，若为双曲线，则，或，故B正确； 对于C，当，即时，曲线为圆，故C正确； 对于D，若为焦点在轴上的椭圆，则，，故D错误. 故选：BC. 42．下列双曲线中，焦点在轴上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线的标准方程形式可知结果. 【详解】根据双曲线的标准方程可知，双曲线的焦点在轴上. 故选：C 43．（多选）已知曲线的方程为，则（    ） A．当时，曲线表示一个圆 B．当时，曲线表示椭圆 C．当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线 D．当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线 【答案】ACD 【分析】根据双曲线、椭圆及圆的方程判断即可. 【详解】当时，曲线是，故A正确； 当时，曲线表示一个圆，故B错误； 当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线，故C正确； 当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线，故D正确. 故选：ACD. 44．已知双曲线C：的焦点为，则C的方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的标准方程计算即可. 【详解】因为双曲线C的焦点为在纵轴上，所以， 且双曲线C方程满足， 故，则C的方程为． 故选：D． 45．已知A，B是椭圆的左右顶点，是双曲线在第一象限上的一点，直线分别交椭圆于另外的点．若直线MN过椭圆右焦点F，且，则椭圆的离心率为______． 【答案】/0.5 【分析】由题， ，设，由题可得，进而可得，后由可得答案. 【详解】由题， ，设. 则，又点P在双曲线上，则. ，又点M在椭圆上，则. 注意到，则. 即直线MB与直线NB关于x轴对称，又椭圆为轴对称图形，则M，N两点关于x轴对称，故. 设椭圆右焦点坐标为，其中，因直线MN过椭圆右焦点F，则，将其代入椭圆方程可得. 则，又，则. 则. 故答案为：. 46．已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上一点P与F1，F2的距离差的绝对值等于6，则双曲线的标准方程为（　　） A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1 【答案】C 【分析】根据双曲线的定义，可得，，由焦点位置可求双曲线的标准方程. 【详解】由题意，，，则，， 由两焦点在轴上，所以双曲线的标准方程为. 故选：C． 47．下列选项中的曲线与共焦点的双曲线是（　　） A． B．1 C．1 D．1 【答案】D 【分析】根据给定条件，求出双曲线的焦点位置及半焦距，再逐项判断作答. 【详解】双曲线的焦点在x轴上，半焦距， 对于A，方程，即，是焦点在x轴上的双曲线，而半焦距为，A不是； 对于B，C，方程、都是焦点在y轴上的双曲线，BC不是； 对于D，方程是焦点在x轴上的双曲线，半焦距为，D是. 故选：D 48．已知命题：实数满足不等式；命题：实数满足方程表示双曲线. (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法，分解因式后，直接求解； （2）分别求解两个命题为真命题时的取值范围，再转化为子集关系，即可求解. 【详解】（1）由，得， 而，所以 所以实数的取值范围为. （2）命题为真时，实数的取值范围为； 命题为真时，，即实数的取值范围为， 而是的充分不必要条件，即， 所以（等号不同时成立），解得， 所以实数的取值范围. 49．若双曲线的焦点在轴上，若该双曲线的焦距为4，则a等于（ ） A．1 B． C．4 D．10 【答案】C 【分析】根据题意将双曲线转化成标准方程，然后写出对应的等式即可求解 【详解】因为双曲线即的焦点在轴上，且双曲线的焦距为4， 所以，解得 故选：C 50．设命题：方程表示焦点在轴上的椭圆；命题：方程表示焦点在轴上的双曲线，若为真，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆定义求出命题为真时的范围，根据双曲线定义求出命题为真时的范围，再根据命题和命题均为真求解即可. 【详解】方程表示焦点在轴上的椭圆，则， 解得， 即命题为真时，； 方程表示焦点在轴上的双曲线，则， 解得， 即命题为真时，； 若为真，则命题和命题均为真， ， 故选：A. 题型六 双曲线有关轨迹问题 51．在平面内动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是.则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两点的距离公式与点到直线的距离公式列出方程化简求解即可. 【详解】设动点的坐标为， 则点到定点的距离为， 点到定直线的距离为, 由题意得， 化简得：，即. 52．在平面直角坐标系中，已知定点、，平面内两个动点、满足，，且点在的平分线上，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对点的位置进行分类讨论，当点在轴右侧时，延长交于点，分析可知，且为的中点，再利用双曲线的定义可得结果. 【详解】易知点不在轴上，由知动点在单位圆上， 设点在轴右侧，如图，延长交于点． 因为点在的平分线上，且， 所以为等腰三角形，则，且为的中点，所以， 因此． 同理，当点在轴左侧时，． 故点在以、为焦点的双曲线上， 则该双曲线实轴长为，焦距，虚轴长为， 所以双曲线方程为． 53．在平面直角坐标系中，，动点和分别位于正半轴和负半轴上，若，则和的交点的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过设出交点的坐标，利用、、、的坐标关系以及已知条件来建立等式，从而求出的轨迹方程. 【详解】设，，. 因为，所以. 已知，， 根据直线的截距式方程（为轴上的截距，为轴上的截距）， 可得直线的方程：. 已知，，则直线的方程为. 因为是和的交点，所以的坐标满足和的方程. 对于直线的方程，可得. 对于直线的方程，可得. 所以，或， 又因为，所以，即. 故选：D. 54．已知圆，点在圆A上运动，设线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据垂直平分线的性质，可得，结合双曲线的定义，可得a，c的值，根据a，b，c的关系，即可求得答案. 【详解】因为圆心，，所以， 因为线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为， 所以， 所以， 所以Q点轨迹为双曲线，且， 所以，则点的轨迹方程为.    故选：B 55．设点，为动点，已知直线与直线的斜率之积为定值，点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，根据题意结合斜率公式运算求解即可. 【详解】设， 则，整理可得， 所以点的轨迹方程是. 故选：B. 56．已知点是平面内的一个动点，与直线垂直，垂足位于第一象限，与直线垂直，垂足位于第二象限．若四边形（其中为原点）的面积为2，则动点的轨迹方程是________________． 【答案】 【分析】设点，利用点到直线距离公式以及四边形的形状和面积即可求得动点的轨迹方程. 【详解】设点， 易知与互相垂直，又与直线垂直，与直线垂直， 所以四边形为矩形，如下图所示：    依题意可知点在轴上方，即，且； 因此， 所以四边形的面积为， 即可得; 所以动点的轨迹方程为. 故答案为： 57．设点A，B的坐标分别为，，直线，相交于点M，且它们的斜率之积是，则动点M的轨迹方程为________． 【答案】 【分析】设点，根据斜率之积是列出关系式即可. 【详解】设点，则直线，的斜率分别为， 因它们的斜率之积是，则，化简得， 则动点M的轨迹方程为. 故答案为： 58．已知两定点，动点满足条件，动点满足，，求动点的轨迹方程． 【答案】 【分析】由，求得点的轨迹方程为，由已知向量关系可知，且点在的角平分线上，可证，得，再由，得，进而得，求得的轨迹方程. 【详解】如图，延长，与交于点，连接． 因为动点满足，所以点的轨迹是以为焦点的双曲线，且，， 所以，，双曲线方程为， 因为，所以， 又因为，所以点在的角平分线上， 在与中，， 所以，所以， 当点在双曲线右支上时，，， 因为，所以， 又因为为中位线，所以， 当点在双曲线左支上时，同理， 所以点的轨迹方程为． 59．已知等腰三角形的顶点为，底边的一个端点为，则另一个端点P的轨迹方程为______；又，线段的垂直平分线与直线交于点Q，则动点Q的轨迹方程为_____. 【答案】 （且） （且） 【分析】根据等腰三角形的定义及两点间距离公式可得所以，由圆的定义可知点P的轨迹是以M为圆心，10为半径的圆（且），即可求解答题空1；根据线段垂直平分线定义可知.分点Q在线段的延长线上和点Q在线段的延长线上两类讨论，数形结合分析可得，结合双曲线的定义即可求解动点Q的轨迹方程，即可求解答题空2. 【详解】因为等腰三角形的顶点为，底边的一个端点为，另一个端点为P， 所以， 故点P的轨迹是以M为圆心，10为半径的圆（且）， 故点P的轨迹方程为（且）. 因为线段的垂直平分线与直线交于点Q，所以. 又，，所以点A在圆外，线段的垂直平分线与直线的交点Q在线段的延长线或反向延长线上. 当点Q在线段的延长线上时，如下图所示. 此时，； 当点Q在线段的延长线上时，如下图所示. 此时，， 综上，，即动点Q到两个定点M与A的距离之差的绝对值为10. 又，所以点Q的轨迹是以点和为焦点的双曲线，其中，， 所以，，，所以双曲线方程为. 当点P为时，线段的垂直平分线的方程为，直线的方程为，直线与直线的交点为， 故动点Q的轨迹方程为（且）. 故答案为：（且）；（且）. 60．若圆上恰有三个点到直线的距离为1，则动点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由圆上恰有三个点到直线的距离为，得到圆心到直线的距离恰好为，求得，设，得到，代入方程，即可得到点的轨迹方程. 【详解】由圆，可得标准方程为， 所以圆心，半径为， 若圆上恰有三个点到直线的距离为， 则满足圆心到直线的距离恰好为，即，即， 设，则， 代入，可得， 整理得，即点的轨迹方程为. 故选：A. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 双曲线点到焦点距离最值·焦点三角形·参数·轨迹六大典型问题 题型一 利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值 题型二 利用定义求双曲线线段和差最值 题型三 双曲线焦点三角形问题 题型四 根据方程表示双曲线求参数范围 题型五 双曲线的方程与双曲线位置特征 题型六 双曲线有关轨迹问题 题型一 利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值 1．D 2．C 3．BC 4．D 5．A 6．B 7．C 8． 【详解】设双曲线的右焦点为， ，如图所示： 由双曲线的定义得，所以， 所以，当且仅当P为线段与双曲线的右支时取等号． 故的最小值为. 故答案为： 9．6 【详解】双曲线，则，，，，，圆的圆心为，半径，在双曲线的左支上，，， 所以，根据几何性质可知，,故的最小值是2，当且仅当四点共线，且位于之间时，取到等号， 所以的最小值是． 故答案为：6．    10．C 题型二 利用定义求双曲线线段和差最值 11． 【详解】由题意可知双曲线的实半轴长，设右焦点为， 所以， ， 当且仅当、、三点共线且在点和点之间时取等号. 的最大值为 12．B 13．B 14．C 15．9 【详解】由双曲线的方程可得，焦点，右焦点， 可得，所以， 当A，，B三点共线时，最小， 联立直线的方程，可得， 消参数t可得，可得交点B的轨迹为圆心在，半径为1的圆（除去点）， 所以， 当过与圆心M的直线与圆的交点B且在和圆心M之间时最小. 所以的最小值为9. 故答案为：9    16．B 17． 【详解】解：设双曲线的虚半轴长为，实半轴长为，半焦距为 由题意可得，解得， 所以双曲线的方程为， 所以，， 因为过的直线与双曲线的左支交于两点， 且是与的等差中项， 所以+，    由双曲线的定义可得：，， 所以+， 所以， 所以， 故答案为： 18．B 19．9 【详解】设双曲线的右焦点为. 对于双曲线，可得，则. 因为点在双曲线的右支上，所以，即. 则. 根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，可得，当且仅当，，三点共线时取等号. 已知，，根据两点间距离公式，可得. 所以，即的最小值为. 故答案为： 20．C 题型三 双曲线焦点三角形问题 21．48 【详解】由可得，，， ， ， 方法一：过点作的垂线交于，则， ， 所以的面积为. 方法二：在中，. 因为，所以， 所以. 方法三:根据海伦公式，，其中是三角形的三边长，得 . 22．C 23．B 24．B 25．ABC 26． 【详解】由知，，则. 由双曲线的定义知，. 所以，所以. 所以. 因为直线的倾斜角与互补，所以其斜率为. 27．C 28．5 【详解】由题知，， 在中，， 由得，， 所以． 29．34 【详解】由题知，由双曲线的定义，知， 故的周长为. 30．C 题型四 根据方程表示双曲线求参数范围 31．C 32．D 33．D 34．A 35．ABD 36．ABD 37．D 39．BC 40．ACD 题型五 双曲线的方程与双曲线位置特征 41．BC 42．C 43．ACD 44．D 45．/0.5 【详解】由题， ，设. 则，又点P在双曲线上，则. ，又点M在椭圆上，则. 注意到，则. 即直线MB与直线NB关于x轴对称，又椭圆为轴对称图形，则M，N两点关于x轴对称，故. 设椭圆右焦点坐标为，其中，因直线MN过椭圆右焦点F，则，将其代入椭圆方程可得. 则，又，则. 则. 故答案为：. 46．C 47．D 48．(1)(2) 【详解】（1）由，得， 而，所以 所以实数的取值范围为. （2）命题为真时，实数的取值范围为； 命题为真时，，即实数的取值范围为， 而是的充分不必要条件，即， 所以（等号不同时成立），解得， 所以实数的取值范围. 49．C 50．A 题型六 双曲线有关轨迹问题 51．D 52．C 53．D 54．B 55．B 56． 【详解】设点， 易知与互相垂直，又与直线垂直，与直线垂直， 所以四边形为矩形，如下图所示：    依题意可知点在轴上方，即，且； 因此， 所以四边形的面积为， 即可得; 所以动点的轨迹方程为. 故答案为： 57． 【详解】设点，则直线，的斜率分别为， 因它们的斜率之积是，则，化简得， 则动点M的轨迹方程为. 故答案为： 58． 【详解】如图，延长，与交于点，连接． 因为动点满足，所以点的轨迹是以为焦点的双曲线，且，， 所以，，双曲线方程为， 因为，所以， 又因为，所以点在的角平分线上， 在与中，， 所以，所以， 当点在双曲线右支上时，，， 因为，所以， 又因为为中位线，所以， 当点在双曲线左支上时，同理， 所以点的轨迹方程为． 59． （且） （且） 【详解】因为等腰三角形的顶点为，底边的一个端点为，另一个端点为P， 所以， 故点P的轨迹是以M为圆心，10为半径的圆（且）， 故点P的轨迹方程为（且）. 因为线段的垂直平分线与直线交于点Q，所以. 又，，所以点A在圆外，线段的垂直平分线与直线的交点Q在线段的延长线或反向延长线上. 当点Q在线段的延长线上时，如下图所示. 此时，； 当点Q在线段的延长线上时，如下图所示. 此时，， 综上，，即动点Q到两个定点M与A的距离之差的绝对值为10. 又，所以点Q的轨迹是以点和为焦点的双曲线，其中，， 所以，，，所以双曲线方程为. 当点P为时，线段的垂直平分线的方程为，直线的方程为，直线与直线的交点为， 故动点Q的轨迹方程为（且）. 故答案为：（且）；（且）. 60．A 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $