重难点专题04 双曲线的焦点三角形面积（专项训练）数学苏教版2019高二选择性必修第一册

重难点专题04 双曲线的焦点三角形的面积 重难点一：已知顶角求面积 1.已知双曲线的左、右焦点分别为、，是双曲线上一点，若，则三角形的面积为          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查双曲线的定义，余弦定理的应用，属于中档题． 由题意可得：，设，，根据双曲线的定义可得：，再根据余弦定理可得：，求出，进而结合三角形的面积公式求出结果． 【解答】 解：由椭圆，可得：，， ， 不妨设在双曲线的右支上，设，， 根据双曲线的定义可得：， 在中，， 根据余弦定理可得：， 整理可得：， 把两边平方得， 所以得， ． 故答案为． 2.设双曲线：的左，右焦点分别为，，是双曲线上一点，若，则的最小内角的正弦值为______________． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查双曲线的定义的应用及双曲线的简单几何性质，同时考查余弦定理，为中档题． 不妨设在双曲线的右支上，利用已知和双曲线的定义，分别求出，，然后利用余弦定理求解即可． 【解答】 解：不妨设在双曲线的右支上， 所以由双曲线的定义有， 又， 所以， 则， 由大边对大角知， 的最小内角是， 由余弦定理得： ， 又， 所以， 则． 故答案为． 3.已知双曲线的左右焦点分别为过的直线与双曲线右支交于，两点，且则的面积为          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了双曲线的概念与标准方程、余弦定理、三角形面积公式，属于中档题． 利用双曲线的方程求得及焦点坐标，设，利用余弦定理及双曲线的概念求得，最后利用三角形的面积公式求得结果． 【解答】 解：由已知，所以，即， 设， 所以， 而，所以，， ． 故答案为：． 4.双曲线的左、右焦点分别为，，点在上，且，为坐标原点，则____________． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查双曲线的几何性质，涉及余弦定理和三角形面积公式，属于中档题． 根据余弦定理得到，结合三角形面积公式可得，则答案可得． 【解答】 解：因为，所以，． 由余弦定理， 得， 又，所以， 则的面积为． 设，因为的面积为， 所以，代入得，所以． 5.已知双曲线的左、右焦点分别为，，点是双曲线左支上一点，且，若，则等于          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查双曲线的简单性质，注意解题方法的积累，属于中档题． 先根据双曲线的定义和几何性质求出参数的关系即可求解． 【解答】 解：连接，取的中点，连接，则由， 则，即在中，， 则，即． 故答案为． 6.设，为双曲线的左，右焦点，点为双曲线上的一点若，则点到轴的距离为_________． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查了双曲线的定义、余弦定理和面积公式的应用，属于中档题，利用同一个三角形的面积相等求高． 如图，设，，由双曲线定义知，平方得：，在中利用余弦定理可得：，即可得到，再利用等面积法即可求得． 【解答】 解：由题意，双曲线中， 如图， 设，，由双曲线定义知， 两边平方得： 在中，由余弦定理可得：，即 两式相减得：，即， 利用等面积法可知：，即 解得， 故答案为． 7.已知，分别是双曲线的左、右焦点，是双曲线上在第一象限内的点，若且，延长交双曲线的右支于点，则的面积等于          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查双曲线的定义、性质和面积问题，考查推理能力和计算能力，属于一般题． 由题意知，结合双曲线定义得为等腰直角三角形，所以． 【解答】 解：由题意知，由双曲线定义知，， ，． 由题意知， ， 为等腰三角形，， ，为等腰直角三角形． ， ． 8.已知、分别为双曲线的左、右焦点，若点到该双曲线的渐近线的距离为，点在双曲线上，且，则三角形的面积为          ． 【答案】  【解析】【分析】 根据双曲线的性质结合余弦定理和三角形的面积公式计算即可． 本题考查了双曲线的性质以及余弦定理，考查了运算能力，属于中档题． 【解答】 解：因为点到该双曲线的渐近线的距离为， 所以， 设，，， 则， 由余弦定理可得， 即， 的面积为， 故答案为：． 9.已知与双曲线共焦点的双曲线过点， 求该双曲线的标准方程； 若点为双曲线右支上的一点，分别为双曲线的左右焦点，满足，求三角形的面积． 【答案】双曲线与双曲线有相同焦点， 设所求双曲线方程为：，， 双曲线过点， ，或舍 所求双曲线方程为． 因为，， 所以 ， 得， 所以．  【解析】本题考查双曲线的标准方程的求法，三角形面积的求法，余弦定理的运用，属于中档题． 由已知条件设双曲线：，把点代入，能求出双曲线的标准方程． 因为，，利用余弦定理能求出，从而能求出的面积． 10.已知双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上一点不在轴上． 若，求的面积 若该双曲线与椭圆有共同的焦点且过点，求内切圆圆心的横坐标． 【答案】解：设，， 由双曲线的定义可得， 在中，由余弦定理， 得 ， 可得， 则的面积． 如图所示，，， 设内切圆与轴的切点是点，，与内切圆的切点分别为，． 由双曲线的定义可得， 由圆的切线长定理知，， ，即． 设内切圆圆心的横坐标为，则点的横坐标为， 故，可得． 由该双曲线与椭圆有共同的焦点，且过点， 可得，， 解得，， 故内切圆圆心的横坐标为．   【解析】本题双曲线的定义，余弦定理的应用，三角形的面积公式，圆的切线长定理的应用，椭圆的性质，属于拔高题． 设，，由双曲线的定义可得，在中，由余弦定理，即可求出的面积； 设，，设内切圆与轴的切点是点，，与内切圆的切点分别为，由双曲线的定义可得，由圆的切线长定理知，，设内切圆圆心的横坐标为，可知结合已知条件可得，，求出，，可得内切圆圆心的横坐标． 重难点二：已知边长或边长关系求面积 3、 1.已知是双曲线的右焦点，是左支上一点，，当周长最小时，该三角形的面积为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查双曲线的定义以及直线与双曲线的位置关系，是中档题． 由双曲线的方程求出，，求出，设左焦点为，由双曲线的定义可得： 的周长为：，当、、共线时， 周长最小，联立直线与双曲线的方程求得点坐标，再由即可求解． 【解答】 解：由双曲线的方程可得，， 因为，所以， 设双曲线的左焦点为，由双曲线定义知，， 所以的周长为：， 要使的周长最小，则最小，即、、共线， 因为，，所以直线的方程为， 即代入整理得， 解得：或舍，所以点的纵坐标为， 所以， 故选：． 2.已知、分别是双曲线：的左、右焦点，且，若是该双曲线右支上一点，且满足，则面积的最大值是(    ) A.           B.                   C.                         D. 【答案】B  【解析】【分析】 设，，，由双曲线定义得，根据得，，根据余弦定理和三角形面积公式得到面积关于的函数，根据二次函数知识可求得结果． 根据余弦定理和三角形面积公式得到面积关于的函数是解题关键． 【解答】 解：设，，，由题意得，， 由双曲线定义得，， 所以，所以，所以，所以， 由余弦定理得， ， 当时，面积的最大值是， 故选：． 3.已知双曲线的左、右焦点分别为，为双曲线的右支上一点，且，则的面积为(    ) A.          B.                 C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 根据双曲线的标准方程求出，再根据双曲线的定义求出，利用余弦定理求出，利用三角形的面积公式即可求解． 本题考查了双曲线的定义、求焦点三角形面积，属于基础题． 【解答】 解：在双曲线中，， ． ， ． 在中，， ， 的面积为． 故选：． 4.已知双曲线过点且与椭圆有相同的焦点． 求双曲线的标准方程． 若点在双曲线上，是双曲线的左、右焦点，且求的面积． 【答案】解：椭圆方程可化为，焦点在轴上，且 故可设双曲线方程为， 则有解得   ，     故双曲线的标准方程为． 不妨设在双曲线的右支上，则有， 又， 解得 因此在中， 由余弦定理可得， ．， 所以面积为  【解析】本题考查椭圆，双曲线几何性质的用用，属于较难题． 设出双曲线方程，列出关于，的方程组，求解即可； 由双曲线的定义和余弦定理求解． 5.已知方程表示双曲线． 求实数的取值范围； 当时，若点在双曲线上，，为该双曲线的左、右焦点，，试求的面积． 【答案】解：因为方程表示双曲线， 所以，   解得   当时，双曲线方程是，，  因为点在双曲线上， 又， 所以点在双曲线的右支上， 则有，   故解得，， 因此在中，， 所以  所以的面积为．   【解析】本题主要考查双曲线的概念与性质，属于较难题． 利用双曲线的概念，即可得； 利用双曲线的概念与余弦定理，三角形的面积公式，即可得． 6.已知与双曲线共焦点的双曲线过点， 求该双曲线的标准方程； 若点为双曲线右支上的一点，分别为双曲线的左右焦点，满足，求三角形的面积． 【答案】双曲线与双曲线有相同焦点， 设所求双曲线方程为：，， 双曲线过点， ，或舍 所求双曲线方程为． 因为，， 所以 ， 得， 所以．  【解析】本题考查双曲线的标准方程的求法，三角形面积的求法，余弦定理的运用，属于中档题． 由已知条件设双曲线：，把点代入，能求出双曲线的标准方程． 因为，，利用余弦定理能求出，从而能求出的面积． 7.已知双曲线过点和点． 求双曲线的标准方程； 若点在双曲线上，为双曲线的左、右焦点，且，求的余弦值． 【答案】解：设双曲线的标准方程为， 因为点和点在双曲线上， 所以， 解得， 所以双曲线的标准方程为， 因为点在双曲线上，且， 所以点在双曲线的右支上， 则有， 故，， 又， 因此在中，   ， 所以的余弦值为．  【解析】本题考查双曲线的方程与性质及余弦定理的应用，属于中档题． 设双曲线的标准方程为，代入两点坐标，即可求出； 由已知条件及，求出、，代入的余弦公式，即可求得． 8.已知双曲线，，且双曲线过点． 求双曲线的方程； 已知，是双曲线的两个焦点，点在双曲线上，设，，若，求的面积． 【答案】解：双曲线的方程为， 双曲线过点， ，即 双曲线的方程为； 在双曲线中， ，， ， 在中，设， 由余弦定理得：， 即， 得， ， ， ．   【解析】本题考查双曲线方程的求法，考查双曲线焦点三角形的面积的求法，考查双曲线定义，余弦定理等知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题． 根据题意，代入点坐标即可得到双曲线的方程； 在中，设，由余弦定理得：，结合双曲线的定义，可得从而可得的面积． 9.如图，若，是双曲线的两个焦点． 若双曲线上一点到它的一个焦点的距离等于，求点到另一个焦点的距离； 若是双曲线左支上的点，且，求的面积． 【答案】解：由题意，得，，． 设到两个焦点的距离分别为，， 则，解得或； 因为故． 根据双曲线的方程可知，，，， 是双曲线左支上的点则，， 在中由余弦定理得， ， ， ， ，． ，，， 的面积为， ．  【解析】本题考查双曲线的定义以及余弦定理和三角形面积公式，考查了学生的分析以及计算能力，是较难题． 根据双曲线的定义得出结果； 根据平面向量的数量积和余弦定理求出和，根据三角形面积公式求出三角形的面积． 10.若，是双曲线的两个焦点，是双曲线上的点，且，试求的面积． 【答案】解：由双曲线定义知， 两边同时平方，得， 在中， 由余弦定理得 ， 所以， 故．   【解析】本题考查双曲线定义与余弦定理的综合运用，双曲线定义：与两个固定的点叫做焦点的距离差是常数的点的轨迹，这个固定的距离差是的两倍，属于中档题． 首先可通过双曲线定义得知的值，再通过的值计算出的值，然后利用余弦定理得知的大小，最后求出的面积． 11.双曲线的左、右两焦点分别为、，在双曲线上，且满足，求的面积． 【答案】解：根据双曲线的对称性，不妨设点在双曲线的右支上， 则， 又， 解得， ， 在中，根据余弦定理得， 即， 所以，． 所以，的面积为．  【解析】本题主要考查双曲线的定义和性质，属中档题． 根据双曲线的对称性，不妨设点在双曲线的右支上，利用双曲线的定义结合图形对称性解得， ，在 重难点三：直角焦点三角形求面积 1、 1.双曲线的左、右焦点分别为点在双曲线右支上，直线的斜率为若是直角三角形，且面积为，则双曲线的方程为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：如下图：由题可知，点必落在第四象限，，设， ，由，求得， 因为，所以，求得，即， ，由正弦定理可得：， 则由得， 由得， 则， 由双曲线第一定义可得：，， 所以双曲线的方程为． 故选： 2.已知是双曲线的两个焦点，为双曲线上的一点，若为直角三角形，则的面积等于          ． 【答案】或  【解析】【分析】 本题考查双曲线的定义，双曲线的焦点三角形问题，三角形的面积公式，属于中档题． 由双曲线的对称性，不妨设点在双曲线的右支上，然后分和两种情况求解即可 【解答】 解：由，得， 则， 所以， 由双曲线的对称性，不妨设点在双曲线的右支上， 若时， 当时，，得， 所以， 所以的面积为 当时， 则， 因为， 所以， 所以， 所以的面积为 综上所述，的面积为或． 故答案为：或． 3.已知双曲线：经过点，且其离心率为． 求双曲线的方程； 设双曲线的左，右焦点分别为，，的一条渐近线上有一点，满足恰好垂直于这条渐近线，求的面积． 【答案】解：依题意可得，解得 所以双曲线方程为． 由可知左，右焦点分别为，， 双曲线的渐近线为， 不妨取其中一条渐近线为， 则到直线的距离， 所以， 所以， 又，所以．   【解析】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线中的面积问题，考查点到直线的距离及双曲线的渐近线等，属于中档题． 根据所给条件得到关于、、的方程组，解得、，即可求出双曲线方程； 首先求出焦点坐标与渐近线方程，利用距离公式求出，由勾股定理求出，即可求出，从而得解． 4.已知双曲线． 若双曲线的一条渐近线方程为，求双曲线的标准方程； 设双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，若，且的面积为，求的值． 【答案】解：双曲线， 渐近线方程为， 又一条渐近线方程为， ， 的方程为； 由双曲线定义可得：， 又，的面积为， ，且， ， 故， ，即．  【解析】本题主要考查了双曲线的概念及标准方程，双曲线的性质及几何意义，考查学生的计算能力和推理能力，属于中档题． 由双曲线的渐近线方程可得，即可得到双曲线方程； 根据双曲线的定义和勾股定理，三角形的面积公式，可得所求值； 5.已知双曲线的方程为，其左、右焦点分别为，，且， 求双曲线的标准方程； 是双曲线上一点，是坐标原点，且，求的面积． 【答案】解：依题意知，得， ，又，则， 双曲线的标准方程为． 在中，是边上的中线且， 为直角三角形且， 是双曲线上一点，． 平方得， 其中， ． 的面积：．  【解析】本题考查双曲线的定义，几何性质，三角形面积公式，属于中档题． 由题意得且，求，进而求 由，得且，求，进而求的面积． 6. 已知双曲线的中心在原点，左，右焦点，在坐标轴上，离心率为，且过点 求双曲线的方程 若点在双曲线上，求证： 在的条件下，求的面积． 【答案】解：， 可设双曲线方程为， 过点， ，即， 双曲线方程为． 证明：，， ， 点在双曲线上， ，即， ． 中， 由知， 的边上的高， ．  【解析】本题考查双曲线的标准方程与性质，考查向量的数量积公式，考查三角形面积的计算，属于中档题． 设双曲线方程为，点代入求出参数的值，从而求出双曲线方程． 先求出的解析式，把点代入双曲线，可得出． 求出三角形的高，即的值，可得其面积． 7.已知双曲线的左、右焦点分别为，，若双曲线上存在一点使得，求的面积． 【答案】解：双曲线方程， 由双曲线的定义，得， 将此式两边平方，得， 又， ，，   【解析】本题考查焦点三角形面积的求法，解题时要认真审题，注意双曲线定义、勾股定理的灵活运用，属于基础题． 先利用双曲线的定义，得，将此式两边平方，再结合勾股定理能求出的值，由此能求出的面积． 8.已知点是椭圆上的一点，，分别是椭圆的左，右焦点． 若，求的长度； 若，求的面积． 【答案】解：由椭圆，得，，则，所以， 由， 设，代入椭圆，得， 解得，所以． 由题意，得，， 又，由余弦定理可得， 即，所以． 所以的面积．  【解析】本题考查了椭圆方程的应用，余弦定理以及三角形面积公式的应用，属于中档题． 根据题意可得，由，设，代入椭圆方程，求解，从而得到的长度 利用余弦定理求出，结合三角形面积公式即可求解． 9.已知双曲线实轴长为，焦点为，且经过点． 求的值； 若点在双曲线上，且求的面积． 【答案】解：因为双曲线  实轴长为  ， 所以  ，解得：                                                                          将点  代入  ，得  ， 解得：  舍负                                                                              双曲线  中，记半焦距为  ， 则  ， 所以  ，  ． 因为  ， 所以                                        由双曲线定义，  ， 所以  ，                                        所以  ， 所以  的面积为       【解析】本题主要考查双曲线的标准方程，双曲线定义，属于中档题． 根据实轴长为，得，将点 代入双曲线方程可得． 由 及双曲线定义得  ，可得进而得  的面积． 10.本小题分 已知双曲线的焦点坐标为，，实轴长为， 求双曲线的标准方程； 若双曲线上存在一点使得，求的面积． 【答案】解：设双曲线方程为， 由条件知，， ， 双曲线的方程为． 由双曲线的定义可知，． ， ，即， ， 的面积．   【解析】本题考查了双曲线的标准方程，三角形的面积，属于基础题． 由题意可得，，可得，即可求双曲线的标准方程， 根据双曲线的定义、勾股定理和三角形的面积公式即可求出． 重难点四：结合点到坐标轴距离求面积 1.已知某等轴双曲线的两个焦点分别为，，双曲线的焦点到一条渐近线的距离为，为双曲线上一点且满足，则的面积为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查双曲线的几何性质，双曲线中的面积问题，逻辑思维能力与运算能力，属中档题． 首先根据等轴双曲线及条件得到，由结合勾股定理可得，然后根据面积公式求解即可． 【解答】 解：由双曲线为等轴双曲线且焦点到渐近线的距离为， 可得焦点到原点的距离为，即，则， ，， ，即，， ， 即， ， 的面积． 2.如图，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线分别交于点，且，若为等边三角形，则的面积为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查双曲线的定义和简单几何性质等知识，根据条件求出，的关系是解决本题的关键，属于中档题． 根据双曲线的定义算出中，，，由是等边三角形得，利用余弦定理算出，结合在双曲线上和三角形的面积公式，即可得出答案． 【解答】  解：根据双曲线的定义，可得， 是等边三角形，即， ， 又， ， 中，，，， ， 即，解得， ，所以双曲线方程为， 又在双曲线上，则，解得， 所以的面积为． 故选C． 3.双曲线的左、右焦点分别为点在双曲线右支上，直线的斜率为若是直角三角形，且面积为，则双曲线的方程为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：如下图：由题可知，点必落在第四象限，，设， ，由，求得， 因为，所以，求得，即， ，由正弦定理可得：， 则由得， 由得， 则， 由双曲线第一定义可得：，， 所以双曲线的方程为． 故选： 4.设，是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的面积为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题主要考查双曲线的定义、圆的性质，属一般题． 根据双曲线的标准方程得到其焦点坐标，结合，可确定点在以为直径的圆上，得到，结合双曲线的定义可得的值，从而得到答案． 【解答】 解：由双曲线的标准方程可得，，所以焦点坐标为， 因为，所以点在以为直径的圆上，， ，所以， 所以，所以直角三角形面积为， 故选B． 5.已知，是双曲线的上、下焦点，点是其一条渐近线上一点，且以为直径的圆经过点，则的面积为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题主要考查双曲线的渐近线、向量的坐标运算等基础知识以及等价转化思想，考查考生的运算求解能力，属于中档题． 根据双曲线的性质可得，，一条渐近线方程为，设点，根据向量的运算以及以为直径的圆经过点，可求出的值，再求出面积即可． 【解答】 解：，是双曲线：的上、下焦点， ，，一条渐近线方程为， 设点， ，， 以为直径的圆经过点， ， ， 解得， 即点到轴的距离为， 的面积， 故选A． 6.已知、分别为双曲线的左、右焦点，若点到该双曲线的渐近线的距离为，点在双曲线上，且，则三角形的面积为          ． 【答案】  【解析】【分析】 根据双曲线的性质结合余弦定理和三角形的面积公式计算即可． 本题考查了双曲线的性质以及余弦定理，考查了运算能力，属于中档题． 【解答】 解：因为点到该双曲线的渐近线的距离为， 所以， 设，，， 则， 由余弦定理可得， 即， 的面积为， 故答案为：． 7.已知，分别为双曲线的左、右焦点，若点到该双曲线渐近线的距离为，点在双曲线上，且，则的面积为          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查了双曲线中的焦点三角形问题，双曲线的定义，以及余弦定理的应用，考查了运算能力，属于中档题． 结合题意可得，再利用焦点三角形性质求得进而根据，即可得到，，求得，可得答案． 【解答】 解：因为点到该双曲线渐近线的距离为，所以． 由 可得． 因为， 所以，， 所以， 故的面积为． 8.在平面直角坐标系中，椭圆与为双曲线有公共焦点，设是椭圆与双曲线的一个交点，则的面积是          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查椭圆的定义与性质，双曲线的定义与性质，涉及余弦定理，三角形面积公式，同角三角函数关系式，考查运算化简的能力，属于中档题． 根据对称性，不妨设在第一象限，由题意得，求得，，，根据椭圆与双曲线的定义得，再由余弦定理求得，利用同角三角函数关系式得，再由三角形面积公式可得． 【解答】 解：根据对称性，不妨设在第一象限， 由题设可知． 即，，， 根据椭圆与双曲线的定义得 在中，由余弦定理得 ． 所以，， ． 故答案为． 9.已知双曲线与椭圆有公共的焦点、，且与在第一象限的交点为，若的面积为，则的值为          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查椭圆与双曲线的定义，熟记椭圆与双曲线的焦点三角形的面积公式，属于基础题． 椭圆的焦点三角形的面积为， 双曲线的焦点三角形的面积为为焦点三角形的顶角． 【解答】 解：由椭圆焦点三角形的面积，有，可得三角形的顶角，由双曲线焦点三角形的面积为，可得，因为椭圆与双曲线有公共的焦点，所以有， 故答案为． 10.在平面直角坐标系中，双曲线：经过点，，分别为双曲线的左、右焦点，双曲线右支上一点到点与到点距离之和的最小值为． 求双曲线的方程； 若的面积为，求的余弦值． 【答案】解：因为双曲线经过点， 所以， 又， 当，，三点共线时，取得最小值， 此时， 解得， 又，， 所以， 故双曲线的方程为． 由可知，， 根据双曲线的对称性， 不妨设点为双曲线在第一象限内的一点， 由， 解得， 代入双曲线方程，得， 所以，，， 所以．  【解析】本题主要考查了双曲线的性质及几何意义，双曲线的概念及标准方程，属于中档题． 由题可求得，又，当，，三点共线时，取得最小值，求得，又，求得，即可求解． 由可知，，由，求得，代入双曲线方程求出，所以，，，即可求解． 重难点五：与内切圆结合求面积相关问题 1.如图所示，是双曲线右支在第一象限内一点，分别为其左、右焦点，为右顶点，圆是的内切圆，设圆与分别切于点，，当圆的面积为时，直线的斜率为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查双曲线的定义，考查三角函数二倍角公式，属于中档题． 先根据定义得到点即为圆与轴的切点，再求出，再利用，求出，即可得到直线的斜率． 【解答】 解：设圆与轴相切于， 由题意可知，，， 所以， 则， 即，即， 所以点为圆与轴的切点， 设圆的半径为，因为圆的面积为，则， 因为，所以， 于是， 因为是的角平分线， 所以， 所以， 即直线 的斜率为． 故选：． 2.已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线的右支上且位于第一象限，若直线的斜率为，则的内切圆面积为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：已知双曲线的左、右焦点分别为，， 则，，， 即， 又点在双曲线的右支上且位于第一象限， 则， 又直线的斜率为， 则， 又， 即， 联立可得：， 即的周长为，面积为， 设的内切圆半径为， 则， 即， 即的内切圆面积为． 故选：． 3.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与轴垂直，与双曲线交于，两点，则的内切圆的面积为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查了双曲线的定义及直线与双曲线位置关系，三角形内切圆半径的求法，属中档题． 由题意可知，设的内切圆半径为，由等面积法可得，即可得出的内切圆的面积． 【解答】 解：由题意可知，将代入，得，所以， 设的内切圆半径为． 根据双曲线的定义可得， 所以由等面积法得的面积为，解得， 所以的内切圆的面积为． 故答案选：． 4.已知点为双曲线右支上一点，点，分别为双曲线的左右焦点，为的内心若，则的面积为(    ) A.             B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查双曲线的定义，利用双曲线的定义求解是解题关键． 根据双曲线的定义可得，根据可得的内切圆的半径为，再根据面积公式可求得的面积． 【解答】 解：由题意知，，所以，，． 又由双曲线的定义可知． 设的内切圆的半径为， ， ，所以， 所以，所以， ． 故选：． 5.如图，双曲线的左、右焦点分别是，，是双曲线右支上一点，与圆相切于点，是的中点，则(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查双曲线的定义，考查勾股定理，中位线定理的应用，考查计算能力，属于中档题． 利用中位线定理可知，根据勾股定理求得，则利用双曲线的定义，即可求出． 【解答】 解：由题意可知：双曲线焦点在轴上，，， 设双曲线的左焦点，右焦点， 由是的中点， 则为中位线，则， 由与圆相切于点，则为直角三角形， ， 则， ， 由， 故选A． 6.已知双曲线：的左、右焦点为、，为双曲线右支上的一点，，是的内心，则下列结论错误的是(    ) A. 是直角三角形 B. 点的横坐标为 C. D. 的内切圆的面积为 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查了双曲线方程和性质，余弦定理，内切圆，考查了运算求解能力，属于中档题． 设，则，由余弦定理求出，则，可得为直角三角形，且，求出点的坐标，设内切圆的半径为，利用面积法求出，即可求出点的坐标，利用两点间的距离可求出，根据圆的面积公式即可求出内切圆的面积，然后判断各选项． 【解答】 解：由双曲线标准方程可得左、右焦点为、，则，，， 设，则， 根据余弦定理可得， 即 解得， ，则， ， 为直角三角形，且， 不妨设在第一象限， 点的坐标为， 设内切圆的半径为， 则， 即， 解得， 点的横坐标为， ， ， 的内切圆的面积， 故选：． 7.双曲线的左，右焦点分别为、，是双曲线的右支上的一点，的内切圆圆心为，记I、的面积分别为、，则            ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查双曲线的性质，属中档题． 利用圆的切线长定理和双曲线的定义证明在定直线上，即可得到及内切圆半径，再由面积公式计算可得． 【解答】 解：如图所示： 设圆与三边、、切点分别为、、，则， 由双曲线定义有，从而， 又，，所以， 设，，， 所以，解得，即点在定直线上， 又的内切圆圆心为， 所以，内切圆半径， 又，， 所以． 故答案为：． 8.已知双曲线：，其左、右焦点分别为，，过点作一直线与双曲线的右支交于点，，且，的内切圆半径为_______ 【答案】  【解析】【分析】 求得双曲线的，，设的内切圆的半径为，，运用双曲线的定义和勾股定理、三角形的面积公式和等积法，解方程即可得到所求半径． 本题考查双曲线的定义和方程、性质，考查直角三角形的内切圆半径的求法，考查化简整理的运算能力，属于中档题． 【解答】 解：如图所示，由双曲线的性质知 ， ． 因为， 所以，故，因此 ， 从而的内切圆半径是 ． 9.已知，是双曲线：的左、右焦点，是双曲线右支上的一点，半径为的圆与的边，的延长线及的延长线分别切于点，，，则的面积为          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查双曲线的定义，双曲线的焦点三角形问题，属于中档题． 由直线和圆相切的性质可得，，，由可得，在中，结合，，解出，再在根据余弦定理解出，即可求得的面积． 【解答】 解：如图， 由题知：，，， 根据圆的切线性质可得：  ，，； 由，可得， 即可得， 即可得， ， ， 在中，，，则， ，， 在中，，， 解得， 则的面积为． 故答案为：． 10.已知点为双曲线右支上一点，点，分别为双曲线的左、右焦点，为的内心角平分线交于一点，若，则的面积为____． 【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查双曲线的定义，方程和性质，考查了三角形的面积公式的运用，属于中档题．求出双曲线的，，，设内切圆的半径为，运用双曲线的定义和三角形的面积公式，计算可得，进而可得的面积． 【解答】 解：双曲线的，，， 则由双曲线的定义可得，， 设内切圆的半径为， ，即， ， 即，， ， 故答案为． 41 / 42 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题04 双曲线的焦点三角形的面积 重难点一：已知顶角求面积 1.已知双曲线的左、右焦点分别为、，是双曲线上一点，若，则三角形的面积为          ． 2.设双曲线：的左，右焦点分别为，，是双曲线上一点，若，则的最小内角的正弦值为______________． 3.已知双曲线的左右焦点分别为过的直线与双曲线右支交于，两点，且则的面积为          ． 4.双曲线的左、右焦点分别为，，点在上，且，为坐标原点，则____________． 5.已知双曲线的左、右焦点分别为，，点是双曲线左支上一点，且，若，则等于          ． 6.设，为双曲线的左，右焦点，点为双曲线上的一点若，则点到轴的距离为_________． 7.已知，分别是双曲线的左、右焦点，是双曲线上在第一象限内的点，若且，延长交双曲线的右支于点，则的面积等于          ． 8.已知、分别为双曲线的左、右焦点，若点到该双曲线的渐近线的距离为，点在双曲线上，且，则三角形的面积为          ． 9.已知与双曲线共焦点的双曲线过点， 求该双曲线的标准方程； 若点为双曲线右支上的一点，分别为双曲线的左右焦点，满足，求三角形的面积． 重难点二：已知边长或边长关系求面积 3、 1.已知是双曲线的右焦点，是左支上一点，，当周长最小时，该三角形的面积为(    ) A. B. C. D. 2.已知、分别是双曲线：的左、右焦点，且，若是该双曲线右支上一点，且满足，则面积的最大值是(    ) A.           B.                       C.                         D. 3.已知双曲线的左、右焦点分别为，为双曲线的右支上一点，且，则的面积为(    ) A.          B.                 C. D. 4.已知双曲线过点且与椭圆有相同的焦点． 求双曲线的标准方程． 若点在双曲线上，是双曲线的左、右焦点，且求的面积． 5.已知方程表示双曲线． 求实数的取值范围； 当时，若点在双曲线上，，为该双曲线的左、右焦点，，试求的面积． 6.已知与双曲线共焦点的双曲线过点， 求该双曲线的标准方程； 若点为双曲线右支上的一点，分别为双曲线的左右焦点，满足，求三角形的面积． 7.已知双曲线过点和点． 求双曲线的标准方程； 若点在双曲线上，为双曲线的左、右焦点，且，求的余弦值． 8.已知双曲线，，且双曲线过点． 求双曲线的方程； 已知，是双曲线的两个焦点，点在双曲线上，设，，若，求的面积． 9.如图，若，是双曲线的两个焦点． 若双曲线上一点到它的一个焦点的距离等于，求点到另一个焦点的距离； 若是双曲线左支上的点，且，求的面积． 10.若，是双曲线的两个焦点，是双曲线上的点，且，试求的面积． 11.双曲线的左、右两焦点分别为、，在双曲线上，且满足，求的面积． 重难点三：直角焦点三角形求面积 1、 1.双曲线的左、右焦点分别为点在双曲线右支上，直线的斜率为若是直角三角形，且面积为，则双曲线的方程为(    ) A. B. C. D. 2.已知是双曲线的两个焦点，为双曲线上的一点，若为直角三角形，则的面积等于          ． 3.已知双曲线：经过点，且其离心率为． 求双曲线的方程； 设双曲线的左，右焦点分别为，，的一条渐近线上有一点，满足恰好垂直于这条渐近线，求的面积． 4.已知双曲线． 若双曲线的一条渐近线方程为，求双曲线的标准方程； 设双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，若，且的面积为，求的值． 5.已知双曲线的方程为，其左、右焦点分别为，，且， 求双曲线的标准方程； 是双曲线上一点，是坐标原点，且，求的面积． 6.已知双曲线的中心在原点，左，右焦点，在坐标轴上，离心率为，且过点 求双曲线的方程 若点在双曲线上，求证： 在的条件下，求的面积． 7.已知双曲线的左、右焦点分别为，，若双曲线上存在一点使得，求的面积． 8.已知点是椭圆上的一点，，分别是椭圆的左，右焦点． 若，求的长度； 若，求的面积． 9.已知双曲线实轴长为，焦点为，且经过点． 求的值； 若点在双曲线上，且求的面积． 10.已知双曲线的焦点坐标为，，实轴长为， 求双曲线的标准方程； 若双曲线上存在一点使得，求的面积． 重难点四：结合点到坐标轴距离求面积 1.已知某等轴双曲线的两个焦点分别为，，双曲线的焦点到一条渐近线的距离为，为双曲线上一点且满足，则的面积为(    ) A. B. C. D. 2.如图，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线分别交于点，且，若为等边三角形，则的面积为(    ) A. B. C. D. 3.双曲线的左、右焦点分别为点在双曲线右支上，直线的斜率为若是直角三角形，且面积为，则双曲线的方程为(    ) A. B. C. D. 4.设，是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的面积为(    ) A. B. C. D. 5.已知，是双曲线的上、下焦点，点是其一条渐近线上一点，且以为直径的圆经过点，则的面积为(    ) A. B. C. D. 6.已知、分别为双曲线的左、右焦点，若点到该双曲线的渐近线的距离为，点在双曲线上，且，则三角形的面积为          ． 7.已知，分别为双曲线的左、右焦点，若点到该双曲线渐近线的距离为，点在双曲线上，且，则的面积为          ． 8.在平面直角坐标系中，椭圆与为双曲线有公共焦点，设是椭圆与双曲线的一个交点，则的面积是          ． 9.已知双曲线与椭圆有公共的焦点、，且与在第一象限的交点为，若的面积为，则的值为          ． 10.在平面直角坐标系中，双曲线：经过点，，分别为双曲线的左、右焦点，双曲线右支上一点到点与到点距离之和的最小值为． 求双曲线的方程； 若的面积为，求的余弦值． 重难点五：与内切圆结合求面积相关问题 1.如图所示，是双曲线右支在第一象限内一点，分别为其左、右焦点，为右顶点，圆是的内切圆，设圆与分别切于点，，当圆的面积为时，直线的斜率为(    ) A. B. C. D. 2.已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线的右支上且位于第一象限，若直线的斜率为，则的内切圆面积为(    ) A. B. C. D. 3.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与轴垂直，与双曲线交于，两点，则的内切圆的面积为(    ) A. B. C. D. 4.已知点为双曲线右支上一点，点，分别为双曲线的左右焦点，为的内心若，则的面积为(    ) A.             B. C. D. 5.如图，双曲线的左、右焦点分别是，，是双曲线右支上一点，与圆相切于点，是的中点，则(    ) A. B. C. D. 6.已知双曲线：的左、右焦点为、，为双曲线右支上的一点，，是的内心，则下列结论错误的是(    ) A. 是直角三角形 B. 点的横坐标为 C. D. 的内切圆的面积为 7.双曲线的左，右焦点分别为、，是双曲线的右支上的一点，的内切圆圆心为，记I、的面积分别为、，则            ． 8.已知双曲线：，其左、右焦点分别为，，过点作一直线与双曲线的右支交于点，，且，的内切圆半径为_______ 9.已知，是双曲线：的左、右焦点，是双曲线右支上的一点，半径为的圆与的边，的延长线及的延长线分别切于点，，，则的面积为          ． 10.已知点为双曲线右支上一点，点，分别为双曲线的左、右焦点，为的内心角平分线交于一点，若，则的面积为____． 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $