3.2.2 双曲线的简单几何性质（六大题型）训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.2.2 双曲线的简单几何性质 题型一 求双曲线的离心率或离心率的取值范围 1．直线与双曲线：（，）交于，两点，存在以为的中点，则的离心率的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由点差法求得，结合已知可得，求解即可. 【详解】设， 因为，两点在双曲线上，所以， 两式相减得， 又为的中点，所以， 所以，所以， 又双曲线的渐近线方程为，为的中点，所以， 所以，两边平方得，所以， 所以，所以，所以，又，所以， 所以的离心率的取值范围是. 2．已知双曲线，则下列结论正确的是（    ） A．m的取值范围是 B．C的焦距与m的取值有关 C．存在实数m，使得点在C上 D．若C的离心率不小于2，则m的取值范围为 【答案】ACD 【详解】双曲线，则需满足， 解得，故A正确； 双曲线的标准方程为，则， 故，焦距为，与无关，故B错误； 若点存在，则代入双曲线方程得：， 解得， ， 存在这样的实数，故C正确； 由题意知，即，解得， ， ，故D正确． 3．已知双曲线的左、右焦点分别为，，在的右支上存在异于顶点的一点，使交轴于点，若为的角平分线，则的离心率的取值范围为____． 【答案】 【分析】设点且，，从而有直线为，根据三角形角平分线的性质有，且，，得即可求范围. 【详解】设双曲线的焦距为，且，则，， 设点且，， 直线的方程为，令，得，， 所以，则在线段上， 由是的角平分线，在中， 由三点共线，则， 因为，则， 而点到右焦点的距离为， 所以，所以， 由，则，即， 综上，离心率的取值范围为. 4．已知双曲线，过点作不垂直于轴的直线交双曲线于、两点. (1)求双曲线离心率； (2)若点，点在双曲线的右支上，且是的中点，求直线的斜率； (3)若，，分别是双曲线的左右焦点，是关于轴的对称点，若存在直线使得，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求出，直接利用公式即可求解； （2）根据中点坐标公式求出点，将点坐标代入双曲线方程求出，再利用斜率公式即可求出答案； （3）设直线方程为，联立求出，由题意得且，再根据求出，结合且可求出答案. 【详解】（1）对于双曲线，，， ， 所以双曲线离心率. （2）因为点是的中点，所以点， 代入双曲线方程，得， 解得， 又点在双曲线的右支上，所以，即， 所以， 所以直线的斜率为. （3）当直线斜率为时，易知与共线，不符合题意； 当直线斜率不为时，设直线方程为， 设，，则， 联立，整理得， （*）且， ，， 因为，， 所以，， 所以， 即， 即， 整理得，即， 代入（*）中得，又，所以， 又因为，即，所以且， 综上，的取值范围为. 题型二 双曲线离心率大小与双曲线形状的关系 5．设双曲线的离心率为，则下列命题中是真命题的为（    ） A．越大，双曲线开口越小 B．越小，双曲线开口越大 C．越大，双曲线开口越大 D．越小，双曲线开口越大 【答案】C 【分析】根据双曲线的性质结合离心率对双曲线开口大小的影响即可得解. 【详解】解：对于A，越大，双曲线开口越大，故A错误； 对于B，越小，双曲线开口越小，故B错误； 对于C，由，越大，则越大，双曲线开口越大，故C正确； 对于D，越小，则越小，双曲线开口越小，故D错误. 故选：C. 6．将离心率为的双曲线的实半轴长和虚半轴长同时增加个单位长度，得到离心率为的双曲线，则（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】CD 【解析】由离心率公式，结合双曲线的关系可得、，讨论的大小关系确定的大小关系即可. 【详解】依题意得，， ∵，由于，，， ∴当时，，即， 当时，，即， ∴当时，当时， 故选：CD. 7．若双曲线的离心率为2，则其两条渐近线所成的锐角的大小为__________. 【答案】/ 【分析】由离心率公式可得，根据双曲线的渐近线方程及斜率公式即可求解. 【详解】由题意，即，可得， 所以渐近线的斜率为，所以两条渐近线的倾斜角为和， 所以双曲线的两条渐近线所成的锐角为. 故答案为：. 8．已知双曲线的一个焦点与椭圆的右焦点重合，点为双曲线上的动点，和为双曲线的左右两个焦点 (1)求出双曲线的方程，并写出它的离心率； (2)证明 (3)如果点是椭圆上的动点，则又怎么用表示呢？（直接写出结论即可） 【答案】(1) (2) 设，则 所以, ， (3) 【分析】(1)根据共焦点求解，求出离心率; (2)在双曲线中利用余弦定理和三角函数公式求解; (3)在椭圆中利用余弦定理和三角函数公式求解. 【详解】（1）由双曲线与椭圆共焦点，则，故, 双曲线， 离心率 （2）略 （3）设，则 所以， . 题型三 根据离心率求双曲线的标准方程 9．已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据离心率公式及的关系，可得的值，代入渐近线方程，即可得答案. 【详解】由题意得，解得， 所以双曲线的渐近线方程为. 10．已知双曲线C：的离心率为2，点是C上一点，过P作C 的两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B，则（    ） A． B．C的渐近线方程为 C． D．的面积为 【答案】ABD 【详解】如图， 由题意可知，可得，，，∴，故A正确． 由渐近线方程为，可得，故B正确． 点到两条渐近线的距离分别为，，∴，故C错误． ∵，∴，∴由面积公式可得的面积为，故D正确． 11．离心率为，一个焦点坐标为的双曲线的标准方程为________. 【答案】 【分析】根据条件确定，即可求解双曲线的标准方程. 【详解】由条件可知，，且，得， ，并且双曲线的焦点在轴， 所以双曲线的标准方程为. 故答案为： 12．已知双曲线的离心率为，且经过点． (1)求的方程； (2)过点作直线与交于，两点，与直线交于点，若，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件，建立方程组，直接求出，即可求解； （2）根据条件，设，，联立直线与双曲线方程，消，利用根与系数之间的关系得，结合题设条件得，即可求解. 【详解】（1）依题意，，解得， 所以的方程为. （2）由题知直线的斜率存在，设，， 由，消得到， ，且，（*） ， 由，得到， 则，， 因为，则，得到， 所以，解得或， 当时，直线与双曲线无交点，所以，满足（*）， 故直线的方程为.    题型四 求共离心率的双曲线的标准方程 13．与双曲线有相同离心率和相同渐近线的双曲线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别求出双曲线的离心率和渐近线方程，然后逐项求解即可判断. 【详解】双曲线中，，，，渐近线， 对于A：，，，，渐近线，故A错误； 对于B ：，，，，渐近线，故B错误； 对于C ：，，，，渐近线，故C正确； 对于D：，，，，渐近线，故D错误.   故选：C. 14．已知双曲线过点，且与双曲线有相同的离心率，则双曲线的标准方程为______． 【答案】 【分析】与双曲线共离心率的双曲线方程可设为或，代入点的坐标求解. 【详解】设与双曲线共离心率的双曲线方程为或， 因为双曲线过点，所以，（舍去）， 所以双曲线的方程为，即． 故答案为：． 15．已知以下事实：反比例函数（）的图象是双曲线，两条坐标轴是其两条渐近线． (1)求双曲线：的离心率； (2)将（1）中的曲线绕原点顺时针转，得到曲线，求曲线的方程; (3)已知点是（2）中曲线的左顶点．圆：（）与直线：交于、两点，直线、分别与双曲线交于、两点．试问：点A到直线的距离是否存在最大值？若存在，求出此最大值以及此时的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点A到直线距离的最大值为2， 【分析】（1）由题意可知，双曲线：为等轴双曲线，进而求解离心率即可； （2）由题意结合双曲线的性质，即可求解； （3）设，，设：，联立双曲线方程，可得根与系数的关系式，进而求出两点的纵坐标，结合，即可求得参数之间的关系，代入，即可求得答案. 【详解】（1）由题意可知，两条坐标轴是双曲线：的两条渐近线， 则双曲线：为等轴双曲线，即， 所以双曲线：的离心率为. （2）联立，解得或， 即双曲线的两顶点为， 两顶点的距离为， 将曲线绕原点顺时针转，得到曲线， 此时曲线的两顶点为，曲线为等轴双曲线， 所以曲线的方程为. （3）由（2）知，，设，， 显然直线的斜率存在，设：， 联立，得， 所以，，， 因为：，令，则，同理，， 依题意得，即，即， 整理得，， 即， 整理得，， 所以，即或， 若，则：过点A，不合题意； 若，则：．所以，恒过， 所以点A到直线的距离，当且仅当，即时取得， 此时方程为，联立，解得， 则，， 综上所述，点A到直线距离的最大值为2，此时圆的半径为 题型五 由双曲线的离心率求参数的取值范围 16．已知双曲线的离心率为，点在上，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由双曲线的离心率为，得，将点代入双曲线方程，得，代入，得利用不等式的性质，可得其取值范围. 【详解】由的离心率为，得，所以． 所以双曲线的渐近线方程为. 因为点在上，所以，，， 所以， 因为，所以 故选：A. 17．已知双曲线的左，右焦点分别为为双曲线右支上一点，则下列说法正确的是（    ） A．若的内切圆圆心为，直线的斜率为 B．若的内切圆圆心为的外接圆半径为 C．若且，则 D．若且，则 【答案】ACD 【分析】A.根据双曲线的性质，结合内心的性质，确定内切圆的圆心在轴的射影为双曲线的顶点，再结合二倍角公式和正切公式，即可判断A，根据A的结果判断是直角三角形，再结合正弦定理判断B；由斜率结合三角形的正切公式，表示和，再根据双曲线的定义和离心率公式，即可判断C；首先由正切值求，再根据余弦定理求和，结合离心率公式，即可判断D. 【详解】如图1，由条件，点应在双曲线的右支上， 设圆分别与的三边切于点， 则， ，得，连接， 则， 所以，A选项正确； 同理，是直角三角形.. 由正弦定理，得选项错误； 若，则， 且，可得， 所以，故C正确； 对于选项D：因为，所以 因为，即， 解得，若，即， 则 即，即，故D正确. 故选：ACD 18．已知双曲线C：的开口比等轴双曲线的开口更开阔，则实数m的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据题意可知双曲线C的离心率大于等轴双曲线的离心率，进而列出不等式求解即可. 【详解】∵等轴双曲线的离心率为，且双曲线C的开口比等轴双曲线的开口更开阔， ∴双曲线C：的离心率，则，即， ∴． 故答案为：. 19．已知双曲线左、右顶点分别为、，过点的直线交双曲线于、两点. (1)若离心率时，求的值； (2)若，过点且斜率为的直线与双曲线只有一个交点，求的值； (3)连接并延长交双曲线于点，若，求的取值范围. 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据双曲线的离心率的值可求出的值，结合的值，即可得出的值； （2）由题意可知直线的方程为，将该直线方程与双曲线方程联立，可得出，分、两种情况讨论，结合直线与双曲线只有一个公共点可得出关于的等式，即可求得的值； （3）分析可知直线的斜率不为零，可设直线的方程为，设点、，可得出，将直线的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，根据结合平面向量数量积的坐标运算、韦达定理可得出，结合以及可求出的取值范围. 【详解】（1）由题意可得，故. （2）当时，双曲线的方程为， 由题意可知，直线的方程为， 联立可得（*）， 当时，即当时，方程（*）即为，该方程只有一个解，合乎题意； 当时，即当时，则，解得. 综上所述，或. （3）由题知、，当直线的斜率为时，此时，不合题意， 则直线的斜率不为，则设直线的方程为，设点、， 根据延长线交双曲线于点，根据双曲线对称性知， 联立有， 显然二次项系数，其中， 由韦达定理可得①，②， ，， 则， 因为、在直线上，则，， 即，即， 将①②代入有， 即  化简得， 所以，代入到，得，所以， 且，解得， 又因为，则， 综上，，. 题型六 双曲线的应用 20．某落地青花瓷外形为单叶双曲面，可看作双曲线C：绕虚轴旋转而成，若该花瓶横截面圆最小直径为40，最大直径为60，双曲线离心率为，则该花瓶的高为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得，然后将代入双曲线方程即可得解. 【详解】如图所示，作出花瓶的纵截面，    因为横截面圆最小直径为40，所以，解得， 将，代入可得，，解得， 所以该花瓶的高为. 21．双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角．已知分别为双曲线的左，右焦点，过双曲线右支上一点作直线交轴于点，交轴于点则（    ） A．双曲线的渐近线方程为 B．点的坐标为 C．过点作，垂足为，则 D．四边形面积的最小值为4 【答案】CD 【分析】根据方程，可直接求出渐近线方程，即可判断A项；由已知可得，进而结合双曲线方程，即可得出点的坐标，即可判断B项；根据双曲线的光学性质可推得，点为的中点.进而得出，结合双曲线的定义，即可判断C项；由，代入利用基本不等式即可求出面积的最小值，判断D项. 【详解】对于A项，由已知可得，，所以的渐近线方程为，故A项错误； 对于B项，设，则，整理可得. 又，所以，所以有， 由于，所以，解得，所以点的坐标为，故B项错误； 对于C项，如图，，且满足 所以直线的方程为， 联立化简得， 由于，即为双曲线的切线. 由双曲线的光学性质可知，平分，延长与的延长线交于点. 则垂直平分，即点为的中点. 又是的中点，所以，故C项正确； 对于D项，， 当且仅当，即时，等号成立. 所以，四边形面积的最小值为4，故D项正确. 故选：CD. 22．双曲线的光学性质是：从一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线会散开，但反射光线的反向延长线都经过双曲线的另一个焦点.已知双曲线，一束光线从C的右焦点射出，经过C反射后到达点.则光线从到Q所经过的路径长为_______. 【答案】8 【分析】由双曲线的性质即可求解. 【详解】已知双曲线，可得：， 设光线与双曲线C的交点为，双曲线C的左焦点为． 所以， 由题意知，共线， 因为，所以， 故路径长． 故答案为：8. 23．如图，某市在城市东西方向主干道边有两个景点，，它们距离城市中心的距离均为，是正北方向主干道边上的一个景点，且距离城市中心的距离为3km，为改善市民出行，准备规划道路建设，规划中的道路如图所示，道路MN段上的任意一点到景点的距离比到景点的距离都多4km，其中道路起点到东西方向主干道的距离为6km，线路NP段上的任意一点到的距离都相等，以为原点、线段AB所在直线为轴建立平面直角坐标系xOy. (1)求道路的曲线方程； (2)现要在上建一站点，使得到景点的距离最近，问如何设置站点的位置?（即确定点的坐标） 【答案】(1)：，: (2) 【分析】（1）根据题意，由双曲线的定义可得线路所在的曲线是以定点为左右焦点的双曲线的右支上，求得其标准方程，再结合圆的定义，得到线路所在的曲线为以为圆心，为半径的圆，求得此圆的方程，即可得到答案； （2）根据题意，分点在线路与线路上两种情况讨论，分别求得的最小值，比较大小，得出最小值，以及点的坐标. 【详解】（1）根据题意，线路段上的任意一点到景点的距离比到景点的距离都多， 则线路所在的曲线是以定点为左右焦点的双曲线的右支上， 且，所以， 所以方程为， 又点纵坐标为6，代入方程可得M点横坐标为， 所以道路所在的曲线方程为， 又由线路段上的任意一点到的距离都相等，则线路所在的曲线为 以为圆心，为半径的圆，其方程为， 故道路曲线方程为段：为， 段：. （2）当点在线路上，设， 又由，则， 由（1）可得，则， 可得当时，有最小值，且， 当点在线路上，设， 又由，则， 由（1）可得，则， 可得当时，有最小值，且， 因为，所以有最小值为，此时，则， 则点的坐标为，此时到的距离最小. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2.2 双曲线的简单几何性质 题型一 求双曲线的离心率或离心率的取值范围 1．直线与双曲线：（，）交于，两点，存在以为的中点，则的离心率的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．已知双曲线，则下列结论正确的是（    ） A．m的取值范围是 B．C的焦距与m的取值有关 C．存在实数m，使得点在C上 D．若C的离心率不小于2，则m的取值范围为 3．已知双曲线的左、右焦点分别为，，在的右支上存在异于顶点的一点，使交轴于点，若为的角平分线，则的离心率的取值范围为____． 4．已知双曲线，过点作不垂直于轴的直线交双曲线于、两点. (1)求双曲线离心率； (2)若点，点在双曲线的右支上，且是的中点，求直线的斜率； (3)若，，分别是双曲线的左右焦点，是关于轴的对称点，若存在直线使得，求的取值范围. 题型二 双曲线离心率大小与双曲线形状的关系 5．设双曲线的离心率为，则下列命题中是真命题的为（    ） A．越大，双曲线开口越小 B．越小，双曲线开口越大 C．越大，双曲线开口越大 D．越小，双曲线开口越大 6．将离心率为的双曲线的实半轴长和虚半轴长同时增加个单位长度，得到离心率为的双曲线，则（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 7．若双曲线的离心率为2，则其两条渐近线所成的锐角的大小为__________. 8．已知双曲线的一个焦点与椭圆的右焦点重合，点为双曲线上的动点，和为双曲线的左右两个焦点 (1)求出双曲线的方程，并写出它的离心率； (2)证明 (3)如果点是椭圆上的动点，则又怎么用表示呢？（直接写出结论即可） 题型三 根据离心率求双曲线的标准方程 9．已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 10．已知双曲线C：的离心率为2，点是C上一点，过P作C 的两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B，则（    ） A． B．C的渐近线方程为 C． D．的面积为 11．离心率为，一个焦点坐标为的双曲线的标准方程为________. 12．已知双曲线的离心率为，且经过点． (1)求的方程； (2)过点作直线与交于，两点，与直线交于点，若，求直线的方程． 题型四 求共离心率的双曲线的标准方程 13．与双曲线有相同离心率和相同渐近线的双曲线方程是（    ） A． B． C． D． 14．已知双曲线过点，且与双曲线有相同的离心率，则双曲线的标准方程为______． 15．已知以下事实：反比例函数（）的图象是双曲线，两条坐标轴是其两条渐近线． (1)求双曲线：的离心率； (2)将（1）中的曲线绕原点顺时针转，得到曲线，求曲线的方程; (3)已知点是（2）中曲线的左顶点．圆：（）与直线：交于、两点，直线、分别与双曲线交于、两点．试问：点A到直线的距离是否存在最大值？若存在，求出此最大值以及此时的值；若不存在，说明理由． 题型五 由双曲线的离心率求参数的取值范围 16．已知双曲线的离心率为，点在上，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 17．已知双曲线的左，右焦点分别为为双曲线右支上一点，则下列说法正确的是（    ） A．若的内切圆圆心为，直线的斜率为 B．若的内切圆圆心为的外接圆半径为 C．若且，则 D．若且，则 18．已知双曲线C：的开口比等轴双曲线的开口更开阔，则实数m的取值范围是______． 19．已知双曲线左、右顶点分别为、，过点的直线交双曲线于、两点. (1)若离心率时，求的值； (2)若，过点且斜率为的直线与双曲线只有一个交点，求的值； (3)连接并延长交双曲线于点，若，求的取值范围. 题型六 双曲线的应用 20．某落地青花瓷外形为单叶双曲面，可看作双曲线C：绕虚轴旋转而成，若该花瓶横截面圆最小直径为40，最大直径为60，双曲线离心率为，则该花瓶的高为（   ） A． B． C． D． 21．双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角．已知分别为双曲线的左，右焦点，过双曲线右支上一点作直线交轴于点，交轴于点则（    ） A．双曲线的渐近线方程为 B．点的坐标为 C．过点作，垂足为，则 D．四边形面积的最小值为4 22．双曲线的光学性质是：从一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线会散开，但反射光线的反向延长线都经过双曲线的另一个焦点.已知双曲线，一束光线从C的右焦点射出，经过C反射后到达点.则光线从到Q所经过的路径长为_______. 23．如图，某市在城市东西方向主干道边有两个景点，，它们距离城市中心的距离均为，是正北方向主干道边上的一个景点，且距离城市中心的距离为3km，为改善市民出行，准备规划道路建设，规划中的道路如图所示，道路MN段上的任意一点到景点的距离比到景点的距离都多4km，其中道路起点到东西方向主干道的距离为6km，线路NP段上的任意一点到的距离都相等，以为原点、线段AB所在直线为轴建立平面直角坐标系xOy. (1)求道路的曲线方程； (2)现要在上建一站点，使得到景点的距离最近，问如何设置站点的位置?（即确定点的坐标） 1 学科网（北京）股份有限公司 $