第三章 圆锥曲线的方程（高效培优讲义）数学人教A版高二选择性必修第一册

该高中数学圆锥曲线单元复习讲义通过表格梳理教学目标与重难点，分知识点系统呈现椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质及综合应用，构建“定义-方程-性质-应用”的知识脉络，突出离心率、渐近线、直线与圆锥曲线综合问题等核心重难点。 讲义亮点在于“题型+变式”的分层练习设计，如“椭圆焦点三角形内心”题型结合等面积法与角平分线定理，培养逻辑推理与数学运算素养。每个知识点配套推导过程与解题技巧，基础学生可掌握通法，优秀学生能探究综合应用，助力教师实施精准教学与学生自主高效复习。

第三章 圆锥曲线的方程 教学目标 1. 理解椭圆、双曲线、抛物线的定义，掌握三类曲线标准方程、几何性质，能根据条件求圆锥曲线方程，会求解简单的基本量、顶点、离心率、渐近线等问题。 2. 经历圆锥曲线方程推导过程，强化坐标法、数形结合思想，提升学生代数运算、几何直观与逻辑推理能力，掌握解析几何的基本解题思路。 3. 体会几何图形代数化的解析几何思想，培养严谨运算、规范书写的习惯，提升处理几何综合问题的探究能力，发展数学核心素养。 教学重难点 重点 1. 椭圆、双曲线、抛物线的定义与标准方程，基本量a,b,c,p之间的关系。 2. 圆锥曲线的几何性质，离心率、渐近线、焦点、准线等相关计算。 3. 利用定义与待定系数法求圆锥曲线的方程。 难点 1. 双曲线渐近线的理解，椭圆与双曲线定义、性质的辨析，离心率综合计算。 2. 轨迹问题，利用定义法求曲线方程，准确限定动点取值范围，排除多余点。 3. 直线与圆锥曲线的综合问题，联立方程、韦达定理应用，处理计算量大的求值、范围类题型。 知识点1 椭圆的硬解定理 如果直线与曲线（m>0,n>0,）有两个交点，． 先将直线方程与曲线方程进行联立，得到， 于是判别式____________________， 再根据韦达定理得到 于是有， 从而________________________________________． 特别地，对于最常见的斜截式来说，可令，，， 则有以下结论： ①判别式． ② ③． ④． 知识点2 椭圆的焦点三角形的内心 如图，若点I是焦点三角形的内心，则有下列结论： ①若r为焦点三角形的内切圆半径，则使用等面积法，就有． ②若的平分线交于点G，则在中， 根据角平分线定理得到． ③在中使用角平分线定理得到____________________． 知识点3 椭圆弦中点问题 若直线与椭圆交于，两点， 且是线段AB的中点，如图，则． 证明 因为点，都在椭圆上， 所以（点在椭圆上），所以（作差）， 所以，所以． 因为，，，所以． 知识点4 椭圆的切线 将椭圆的图象一分为三，x轴上方为一部分，x轴下方为一部分，x轴上单独讨论．如图． ①易得椭圆在左右顶点处的切线方程分别为，． ②椭圆在x轴上方的部分可以看成y关于x的某个函数的图象，于是在两边对自变量x求导，得到（隐函数求导），进而得到，从而椭圆在点处的切线方程为，于是（同乘）， 于是就有（点在椭圆上）， 因此椭圆在点处的切线方程为． ③依葫芦画瓢，当点在x轴下方时，椭圆在点处的切线方程为． 结合①②③可得，椭圆在点处的切线方程为____________________． 知识点5 双曲线的焦点三角形的内心 ①若点P在双曲线（，）的右支上且不与右顶点重合，则焦点三角形的内心I的横坐标为a． ②同理，若点P在双曲线（，）的左支上且不与左顶点重合，则焦点三角形的内心I的横坐标为． 证明 以点P在双曲线（，）的右支上情形为例分析，左支情形也可以依葫芦画瓢． 令的内接圆与，，依次相切于D，E，G三点，连接IP，，，ID，IE，IG，如图所示， 根据内心的性质可得，，． 因为点P在双曲线（，）的右支上，所以， 所以，所以，所以， 又（D在上），所以，，所以点D的坐标为， 所以焦点三角形的内心I的横坐标为a． 知识点6 双曲线弦中点问题 若直线与双曲线（，）交于，两点，且是线段AB的中点，如图，则____________________． 证明 因为点，都在双曲线（，）上， 所以（点在双曲线上），所以（作差）， 所以，所以． 因为，，，所以． 知识点7 双曲线（，）的切线 先将双曲线（，）的图象一分为三，x轴上方为一部分，x轴下方为一部分，x轴上单独讨论．如图． ①易得双曲线（，）在左、右顶点处的切线方程分别为，． ②双曲线（，）在x轴上方的部分可以看成y关于x的某个函数的图象，于是在两边对自变量x求导，得到（隐函数求导），进而得到，从而双曲线（，）在点处的切线方程为，于是（同乘），于是就有（点在双曲线上），因此双曲线（，）在点处的切线方程为____________________． ③依葫芦画瓢，当点在x轴下方时，双曲线（，）在点处的切线方程为． 结合①②③可得，双曲线（，）在点处的切线方程为． 注：通过隐函数求导求切线方程只能在小题中使用，在大题中求切线方程时需要联立求解． 知识点8 抛物线弦中点问题 若直线与抛物线交于，两点， 且是线段AB的中点，如图，则． 证明 因为点，都在抛物线上， 所以（点在抛物线上），所以（作差）， 所以，所以． 因为，，所以． 注：这里给出的都是焦点在x轴上的情形，焦点在y轴上时需要再根据点差法推导，不能直接套结论．点差法得到的结论在小题中可以直接用，在大题中要有推导过程． 知识点9 抛物线的切线 1．抛物线的切线 先将抛物线转化为函数的图象，然后直接求导得到，因此抛物线在点处的切线方程为，又，所以切线方程为．如图． 综上，抛物线在点处的切线方程为． 2．抛物线的切线 如图，先将抛物线的图象一分为三，x轴上方为一部分，x轴下方为一部分，原点处单独讨论． ①易得抛物线在原点处的切线方程为． ②抛物线在x轴上方的部分可以看成y关于x的某个函数的图象，于是在两边对自变量x求导，得到（隐函数求导，详见层数部分大招）．进而得到，因此抛物线在点处的切线方程为，又，所以． ③依葫芦画瓢，当点在x轴下方时，切线方程也为____________________． 结合①②③可得，抛物线在点处的切线方程为． 知识点10 抛物线的硬解定理 1．抛物线的硬解定理 如果与抛物线有两个交点，．先将直线与抛物线进行联立， 得到，于是判别式， 再根据韦达定理得到 于是有， 从而． 2．抛物线的硬解定理 如果直线与抛物线有两个交点，．先将直线与抛物线进行联立， 得到，于是判别式， 再根据韦达定理得 于是有， 从而________________________________________． （实际上与抛物线的硬解定理的区别就是把A，B对调了一下） 题型01 对椭圆定义的理解及应用 【典例1】已知的顶点，，且周长为16，求顶点的轨迹方程______． 【变式1】已知椭圆C：的左、右焦点分别是，，且该椭圆过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若椭圆上的点满足，求的值． 【变式2】一动圆与圆外切，同时与圆内切，求动圆圆心M的轨迹方程． 【变式3】某椭圆的两焦点坐标分别为，，是椭圆上一点，若，，则该椭圆的方程是（    ） A． B． C． D． 题型02 椭圆的焦点三角形问题 【典例1】已知是椭圆的两个焦点，为上一点，且的内切圆半径为，若在第一象限，则点的纵坐标为（    ） A．2 B． C． D． 【变式1】已知直线与椭圆交于两点，，则的周长是__________. 【变式2】（多选）已知点P是椭圆上的一点，是椭圆的左、右焦点，则下列说法正确的是（    ） A．存在点P，使得 B． C．的周长为定值6 D． 【变式3】已知点，分别是椭圆的左、右焦点，点P在此椭圆上，则的周长等于（    ） A．16 B．20 C．18 D．14 所以的周长等于 题型03 椭圆中距离和差的最值问题 【典例1】已知是椭圆的下焦点，为上一点，，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D． 【变式1】设为椭圆上一动点，分别为椭圆的左､右焦点，已知点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2】已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，M是椭圆上的动点，点A(1，1)，则的最大值是________. 【变式3】已知为椭圆的焦点，P为椭圆上一动点，，则的最大值为（    ） A． B．6 C． D． 题型04 椭圆的标准方程性质与求解 【典例1】若椭圆的焦点在坐标轴上，焦距为8，且过点，则椭圆的标准方程为（    ） A．或 B． C． D． 【变式1】已知椭圆方程为，若椭圆上的点到左焦点距离的最大值为3，最小值为1，则椭圆方程是______． 【变式2】若椭圆的短轴顶点为，焦距为8，则该椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3】焦点在轴上，焦距为，且经过点的椭圆的标准方程为__________. 题型05 与椭圆有关的轨迹问题 【典例1】已知点，，动点满足，则动点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【变式1】在平面直角坐标系中，满足，、分别为的重心、内心，若轴，则点的轨迹方程为______. 【变式2】已知动点到两定点，的距离和为6，记动点的轨迹为曲线C. (1)求曲线的方程； (2)直线与曲线交于，两点，在轴是否存在点（若记直线、的斜率分别为，）使得为定值，若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由. 【变式3】（多选）一般地，若，（，且），则称，，，四点构成调和点列.已知椭圆：，过点的直线与椭圆交于，两点.动点满足，，，四点构成调和点列，则下列结论正确的是（    ） A．，，，四点共线 B． C．动点的轨迹方程为 D．既有最小值又有最大值 题型06 求椭圆离心率的值或取值范围 【典例1】（多选）已知椭圆C：的焦点分别为，，设直线l与椭圆C交于M，N两点，且点为线段MN的中点，则下列说法正确的是（    ） A．椭圆C的离心率为 B．椭圆与椭圆C共焦点 C．直线l的方程为 D．椭圆C的内部（含边界）共有10个整数点 【变式1】（多选）已知两椭圆和，则（    ） A．两椭圆有相同的焦点 B．两椭圆的离心率相等 C．两椭圆有完全相同的顶点 D．两椭圆有相同的对称轴和对称中心 【变式2】（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，过点的直线与椭圆交于，两点（点位于点上方），且，延长分别交椭圆于点C，D，连接CD交轴于点，若的面积是的面积的3倍，则下列说法正确的有（    ） A．为等腰直角三角形 B．椭圆的离心率为 C．的周长为 D． 【变式3】已知，分别为椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，，且，则椭圆的离心率为___________. 题型07 直线与椭圆的位置关系 【典例1】已知双曲线，椭圆，椭圆的焦距为，长轴长为. (1)求双曲线的离心率； (2)设直线与存在两个交点、，求面积的最大值； (3)设直线与、的总交点数恰有个，求的取值范围. 【变式1】已知圆：，点，是圆上一个动点，线段的垂直平分线与线段相交于点，记点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)过点作直线交曲线于，两点，若轴上一点满足． （i）求实数的值； （ⅱ）若，求的面积． 【变式2】已知椭圆上的点到两焦点的距离之和为4，且右焦点为． (1)求椭圆的方程； (2)设、分别为椭圆的左右顶点，点为椭圆上异于、的动点，直线、分别与直线交于点、．求证：以为直径的圆交轴于两定点． 【变式3】已知椭圆．过点的直线与椭圆交于两点，设为线段的中点．求点的轨迹方程； 题型08 椭圆的中点弦问题 【典例1】（多选）已知曲线和椭圆，其中和不同时为0，点在曲线上运动，过点的一条直线与椭圆交于两点，坐标原点为．下列说法正确的是（    ） A．曲线存在2条对称轴 B．曲线全部在椭圆内 C．点到的最大值为 D．对任意点均存在直线使 【变式1】倾斜角为的直线交椭圆于A、B两点，则线段AB中点M的轨迹方程是_______． 【变式2】椭圆的两个焦点是和，椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于． (1)求椭圆的离心率． (2)已知椭圆的弦的中点的坐标为，求直线的方程． 【变式3】如图，直线交椭圆于两点，分别交轴正半轴、轴正半轴于两点，且，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 题型09 直线与椭圆相交弦长问题 【典例1】已知椭圆的左焦点为，离心率为. (1)求椭圆E的标准方程； (2)过椭圆E右焦点的直线l与椭圆E交于A，B两点，若，求直线l的方程. 【变式1】已知椭圆的左顶点为，过点的直线交于另一点．若，则直线的斜率为__________________． 【变式2】已知直线与椭圆交于不同的两点A，B，若，则实数______． 【变式3】已知椭圆的离心率为且经过点.试求： (1)求椭圆的标准方程； (2)是否存在过点与（1）中曲线C相交所得弦长的直线，若存在，求直线的方程；若不存在，试说明理由. 题型10 椭圆中的定点问题 【典例1】已知椭圆的左，右焦点坐标分别为，，椭圆上任意一点到两焦点距离之和为4． (1)求椭圆的标准方程与离心率； (2)已知点，过定点的直线与椭圆交于，两点（异于），直线与轴交于点，直线与轴交于点． （i）求面积的最大值； （ii）求证：的中点为定点． 【变式1】已知椭圆的左、右顶点分别为，且，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆交于两点． ①若过点，求的最大值； ②设直线，的斜率分别为，，且．问直线是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 【变式2】在平面直角坐标系中，已知点，，点满足直线，的斜率之积为，记点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程． (2)若是曲线上第一象限的点，且，求点的坐标． (3)设、是曲线上的两点，若直线的斜率是直线的斜率的倍，证明：直线过定点，并求出定点的坐标． 【变式3】已知椭圆：的焦距为2且经过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)、是椭圆长轴的两个端点，动点与、的连线分别与椭圆交于点、，为椭圆的左焦点，试判断的周长是否与有关，若是，用表示的周长；若不是，说明理由． 题型11 椭圆中的定值问题 【典例1】已知椭圆的中心在原点，离心率，短轴的一个端点为，点为直线与该椭圆在第一象限内的交点，平行于的直线交椭圆于两点． (1)求椭圆的方程； (2)求证：直线，与轴始终围成一个等腰三角形． 【变式1】已知椭圆C：的两焦点与短轴的一个端点连接构成等腰直角三角形，直线与以椭圆C的右焦点为圆心，以为半径的圆相切. (1)求椭圆C的方程； (2)若过椭圆C右焦点F作直线L交椭圆C于A，B两点，交y轴于M点，且，.求证：为定值. 【变式2】已知椭圆经过点，其右焦点为，左、右顶点分别为，． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知点为椭圆上任意一点（不与左、右顶点，重合），求证：直线，的斜率之积为定值，并求出该定值； (3)若过点的直线与椭圆交于，两点，求的面积的最大值． 【变式3】已知，分别是椭圆的左、右焦点，是上一点．当时，，． (1)求的标准方程； (2)若在第一象限，，是上的两点，若直线，关于直线对称，证明：直线的斜率为定值． 题型12 对双曲线定义的理解及应用 【典例1】已知双曲线的一个焦点为，则双曲线的渐近线方程为______. 【变式1】（多选）已知双曲线：，则的（    ） A．实轴长为定值 B．焦点在轴上 C．离心率为定值 D．渐近线方程为 【变式2】已知双曲线的一个焦点坐标为，则（   ） A．3 B．6 C． D．9 【变式3】（多选）已知双曲线，则（    ） A． B．C的焦点在x轴上 C．C的焦距为2 D．C的渐近线不可能互相垂直 题型13 双曲线的焦点三角形 【典例1】已知双曲线的左右焦点为，，为上一点，若，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知点为双曲线右支上一点，点，分别为双曲线的左右焦点，点是的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有，则双曲线的离心率是__________． 【变式2】如图，双曲线的右顶点为A，左右焦点为，，点P是双曲线右支上一点，交左支于点Q，交渐近线于点R，M是的中点，若，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【变式3】已知双曲线的左、右两个焦点分别为，为坐标原点，以为直径的圆与双曲线C在第二象限交于点， 直线与双曲线C右支交于点，，则双曲线C的离心率为（    ） A． B．2 C． D．3 题型14 双曲线中的距离和差的最值问题 【典例1】（多选）已知P是双曲线C：上的动点，，分别为C的左、右焦点，点，则下列说法正确的是（    ） A．C的渐近线方程为 B．直线与C的右支有2个交点 C．当时， D．当点P在C的右支上时，的最小值为 【变式1】（多选）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，其渐近线方程为，过的直线与双曲线的左右两支分别交于，两点（点在第一象限），则下列说法正确的是（     ） A．离心率 B．若的斜率为1时， C．为定值 D．当直线的斜率为，过线段的中点和原点的直线的斜率为时， 【变式2】已知双曲线的右焦点为F，P为双曲线右支上一动点，，则的最小值为（     ） A． B． C．5 D．10 【变式3】已知点是双曲线的右支上一点，，分别是圆和上的点，则的最大值为（     ） A．12 B．15 C．16 D．18 题型15 双曲线标准方程的求解 【典例1】（多选）已知双曲线，则下列说法正确的是（   ） A．的范围为 B．时，该双曲线的离心率为 C．时，该双曲线的渐近线方程为 D．使该双曲线的焦距最小 【变式1】（多选）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点为的右支上任意一点，点，则（   ） A． B．双曲线的渐近线方程为 C．过点且与双曲线只有一个公共点的直线有3条 D．的最小值为 【变式2】若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（多选）已知双曲线则（   ） A． B．双曲线C的焦距为定值 C．若双曲线C为等轴双曲线，则 D．若双曲线C的渐近线方程为，则 题型16 与双曲线有关的轨迹问题 【典例1】已知点，，为曲线上三点（其中点为曲线上除,外任意一点），且满足． (1)求曲线的方程； (2)已知圆，曲线的上焦点为，作圆的切线交曲线于，（，），在上取点使，判断是否为定值． 【变式1】动点到直线与直线的距离之积等于，且.记点的轨迹方程为. (1)求的方程； (2)已知点，直线交于点，，上是否存在点满足?若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 【变式2】已知两点坐标分别为，直线与斜率之积为24，求的轨迹方程. 【变式3】设动圆的半径为，它与圆外切，且与圆内切，求圆心的轨迹方程. 题型17 求双曲线离心率的值或范围 【典例1】圆心为原点、半径为的圆分别与轴负半轴、双曲线：（，）的一条渐近线交于，两点（在第一象限），若的另一条渐近线与直线垂直，则的离心率为（     ） A． B． C． D． 【变式1】在等腰梯形中，且，，，（）（如图）以，为焦点，且过点的双曲线的离心率为，以，为焦点，且过点的椭圆的离心率为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知椭圆：（）与双曲线：（，）有相同的焦点，，以线段为边作正，若椭圆与双曲线的一个交点恰好是的中点，设椭圆和双曲线的离心率分别为和，则______. 【变式3】已知双曲线的一条渐近线方程为，则其离心率为（    ） A． B． C． D． 题型18 直线与双曲线的位置关系 【典例1】（多选）已知双曲线与圆有且仅有两个公共点，若为双曲线上一动点，的中点为，直线的斜率为（其中为坐标原点），则（    ） A． B．点在以为直径的圆的外部 C． D． 【变式1】（多选）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，直线：交双曲线于，两点，则（     ） A． B． C．的最小值为 D．若，则点到轴距离的最大值为 【变式2】已知双曲线C：的左焦点为，离心率为2． (1)求C的方程： (2)设O为坐标原点，过F且斜率大于0的动直线l与C交于P，Q两点，其中Q在第三象限，直线PO与C的另一个交点为R． （ⅰ）若的面积是的面积的6倍，求l的方程； （ⅱ）求的取值范围． 【变式3】已知双曲线的左、右顶点分别为，，直线与C的右支交于，两点. (1)求实数的取值范围； (2)若直线，的斜率分别为，，证明：是定值. 题型19 对抛物线定义的理解及应用 【典例1】已知抛物线的焦点为F，准线l与x轴的交点为B，过抛物线上一点A作准线l的垂线，垂足为H，若为线段的中垂线，且，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【变式1】已知点在抛物线上，焦点为，，经过点的直线交抛物线于，两点. (1)求抛物线的方程； (2)若，求直线的方程. 【变式2】已知是抛物线：的焦点，直线与抛物线相交于两点，满足，记线段的中点到抛物线的准线的距离为，则的最大值为（    ） A．2 B． C．3 D．4 【变式3】设抛物线：的焦点为，斜率不为1的直线过点，过点作直线的垂线，垂足为，是抛物线上的一个动点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 题型20 抛物线中距离和差的最值问题 【典例1】已知为抛物线：的焦点，点，若为抛物线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知，M为抛物线上一动点，N是圆上一点，则的最小值是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【变式2】已知P为抛物线上任一动点，记点P到y轴的距离为d，对于给出定点，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 【变式3】（多选）抛物线的焦点为，直线过点且与抛物线交于，两点，点在第一象限，则（     ） A．抛物线的焦点到准线的距离为4 B．若点的坐标为，则周长的最小值为9 C．当时， D．当变化时，的最小值为8 题型21 与抛物线有关的轨迹问题 【典例1】已知动圆方程（为参数），那么圆心的轨迹是（    ） A．椭圆 B．椭圆的一部分 C．抛物线 D．抛物线的一部分 【变式1】若动圆M与圆外切，又与直线相切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【变式2】已知坐标平面内一动点P到定点的距离等于到定直线的距离． (1)求动点P的轨迹E的方程； (2)设O为坐标原点，过点的直线m交E于A，B两点，求证：是直角三角形． 【变式3】已知动点P(x，y)满足，则动点P的轨迹是（ ） A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 题型22 由抛物线方程研究几何性质 【典例1】若圆与抛物线：（）的准线相切，则抛物线的方程为_________． 【变式1】已知点在抛物线C：上，F是C的焦点，． (1)求C的标准方程； (2)若l是C的准线，过点P作直线l的垂线，垂足为M，线段MF交C于点N，且为锐角三角形，，求λ的值及的外接圆半径． 【变式2】已知抛物线经过点，其焦点为，过点的直线交于M，N两点． (1)求的方程； (2)若的斜率为1，分别求在点M，N处的切线方程； (3)直线上是否存在定点，使得DB平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式3】已知为抛物线的焦点，点在上，且满足． (1)求点的坐标及的方程； (2)设过点的直线与相交于两点，且不过点，若直线分别交的准线于两点，证明：以线段为直径的圆恒过定点． 题型23 求抛物线的标准方程 【典例1】抛物线经过点，其标准方程为_______. 【变式1】抛物线的焦点为直线与坐标轴的交点．其标准方程为_______. 【变式2】已知抛物线：和：均经过点，则抛物线的焦点与原点组成三角形的面积=____. 【变式3】若抛物线的焦点关于准线的对称点为，则的标准方程为（     ） A． B． C． D． 题型24 直线与抛物线的综合问题 【典例1】（多选）已知抛物线的焦点为，过点的动直线与交于，（）两点，记线段的中点为，直线的斜率为，则下列说法正确的有（    ） A．点的轨迹方程为（，） B．若，则 C．若直线的倾斜角为，且，则 D．当时，的面积为 【变式1】已知抛物线，直线与抛物线相切，切点为．过点作直线的垂线，点在直线上（异于点），以点为圆心，为半径作圆与抛物线交于，两点． (1)求直线的方程； (2)已知直线与相交，记直线的斜率为，直线的斜率为，则 ①判断直线的斜率是否为定值，并说明理由． ②判断是否为定值，并说明理由． 【变式2】已知抛物线的焦点为，准线为．过点作直线交于，两点，分别过，作的切线，两切线交于点．若，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知抛物线：的焦点坐标为，点，过点作直线交抛物线于，两点，过，分别作抛物线的切线，设两条切线交点为，且两切线分别交轴于，两点，则面积的最小值为（    ）． A． B． C． D． 1．已知，双曲线的左焦点为是双曲线的右支上的动点，则的最大值是（    ） A． B．2 C．3 D．1 2．曲线与的交点是（    ） A． B． C．或 D．或 3．已知点在曲线上，则实数（    ） A． B．或2 C．或3 D．或 4．某飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员安全救出，地面指挥中心在返回舱预计到达区域安排了三个救援中心（记为A，B，C），A在B的正东方向，相距6km；C在B的北偏西30°方向，相距4km；P为航天员的着陆点.某一时刻，A接收到P的求救信号，由于B，C两地比A距离P远，4s后B，C两个救援中心才同时接收到这一信号.已知该信号的传播速度为，则在A处测得P的方向角为（    ） A．北偏西60° B．北偏东60° C．北偏东30° D．北偏西30° 5．已知曲线过抛物线的焦点，则C的准线方程为（    ） A． B． C． D． 6．已知，是椭圆的两个焦点，P为C上一点，且的内切圆半径为1，若P在第一象限，则P点的纵坐标为（    ）． A．2 B． C． D． 7．直线是双曲线的一条渐近线，则（    ） A．1 B．4 C．16 D．18 8．直线与双曲线的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．1或2 9．已知直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，则线段的中点到准线的距离为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 10．已知坐标满足方程的点都在曲线上，则下列结论不正确的是（    ） A．所表示的曲线是 B．曲线上的点的坐标都适合方程 C．不在上的点的坐标必不适合方程 D．不适合的点都不在上 11．已知曲线上的动点到点的距离比其到直线的距离小1，过点的直线交曲线于A，B两点，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为4 B．设，则周长的最小值为4 C．以为直径的圆与直线相切 D．若，则直线的斜率为或 12．设抛物线的焦点为为上一动点，为定点，则下列结论正确的是（    ） A．准线方程是 B．的最小值为4 C．的最大值为5 D．以线段为直径的圆与轴相切 13．设A，B两点的坐标分别为，直线AM，BM相交于点，且它们的斜率之积为，则下列说法正确的是（    ） A．的轨迹方程为 B．的轨迹与椭圆共焦点 C．的轨迹的渐近线与圆相离 D．过能作4条直线与的轨迹有且只有一个公共点 14．已知椭圆的一个顶点为，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆相交于两点，若直线与直线的斜率之积为，判断直线是否过定点，若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，说明理由． 15．若一个椭圆的焦距为质数，且离心率的倒数也为质数，则称这样的椭圆为“质朴椭圆”． (1)证明：椭圆为“质朴椭圆”． (2)是否存在实数，使得椭圆为“质朴椭圆”？若存在，求的值；若不存在，说明理由． (3)设斜率为2的直线经过椭圆的右焦点，且与交于两点，，试问是否为“质朴椭圆”，并说明理由． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 圆锥曲线的方程 教学目标 1. 理解椭圆、双曲线、抛物线的定义，掌握三类曲线标准方程、几何性质，能根据条件求圆锥曲线方程，会求解简单的基本量、顶点、离心率、渐近线等问题。 2. 经历圆锥曲线方程推导过程，强化坐标法、数形结合思想，提升学生代数运算、几何直观与逻辑推理能力，掌握解析几何的基本解题思路。 3. 体会几何图形代数化的解析几何思想，培养严谨运算、规范书写的习惯，提升处理几何综合问题的探究能力，发展数学核心素养。 教学重难点 重点 1. 椭圆、双曲线、抛物线的定义与标准方程，基本量a,b,c,p之间的关系。 2. 圆锥曲线的几何性质，离心率、渐近线、焦点、准线等相关计算。 3. 利用定义与待定系数法求圆锥曲线的方程。 难点 1. 双曲线渐近线的理解，椭圆与双曲线定义、性质的辨析，离心率综合计算。 2. 轨迹问题，利用定义法求曲线方程，准确限定动点取值范围，排除多余点。 3. 直线与圆锥曲线的综合问题，联立方程、韦达定理应用，处理计算量大的求值、范围类题型。 知识点1 椭圆的硬解定理 如果直线与曲线（m>0,n>0,）有两个交点，． 先将直线方程与曲线方程进行联立，得到， 于是判别式， 再根据韦达定理得到 于是有， 从而． 特别地，对于最常见的斜截式来说，可令，，， 则有以下结论： ①判别式． ② ③． ④． 知识点2 椭圆的焦点三角形的内心 如图，若点I是焦点三角形的内心，则有下列结论： ①若r为焦点三角形的内切圆半径，则使用等面积法，就有． ②若的平分线交于点G，则在中， 根据角平分线定理得到． ③在中使用角平分线定理得到． 知识点3 椭圆弦中点问题 若直线与椭圆交于，两点， 且是线段AB的中点，如图，则． 证明 因为点，都在椭圆上， 所以（点在椭圆上），所以（作差）， 所以，所以． 因为，，，所以． 知识点4 椭圆的切线 将椭圆的图象一分为三，x轴上方为一部分，x轴下方为一部分，x轴上单独讨论．如图． ①易得椭圆在左右顶点处的切线方程分别为，． ②椭圆在x轴上方的部分可以看成y关于x的某个函数的图象，于是在两边对自变量x求导，得到（隐函数求导），进而得到，从而椭圆在点处的切线方程为，于是（同乘）， 于是就有（点在椭圆上）， 因此椭圆在点处的切线方程为． ③依葫芦画瓢，当点在x轴下方时，椭圆在点处的切线方程为． 结合①②③可得，椭圆在点处的切线方程为． 知识点5 双曲线的焦点三角形的内心 ①若点P在双曲线（，）的右支上且不与右顶点重合，则焦点三角形的内心I的横坐标为a． ②同理，若点P在双曲线（，）的左支上且不与左顶点重合，则焦点三角形的内心I的横坐标为． 证明 以点P在双曲线（，）的右支上情形为例分析，左支情形也可以依葫芦画瓢． 令的内接圆与，，依次相切于D，E，G三点，连接IP，，，ID，IE，IG，如图所示， 根据内心的性质可得，，． 因为点P在双曲线（，）的右支上，所以， 所以，所以，所以， 又（D在上），所以，，所以点D的坐标为， 所以焦点三角形的内心I的横坐标为a． 知识点6 双曲线弦中点问题 若直线与双曲线（，）交于，两点，且是线段AB的中点，如图，则． 证明 因为点，都在双曲线（，）上， 所以（点在双曲线上），所以（作差）， 所以，所以． 因为，，，所以． 知识点7 双曲线（，）的切线 先将双曲线（，）的图象一分为三，x轴上方为一部分，x轴下方为一部分，x轴上单独讨论．如图． ①易得双曲线（，）在左、右顶点处的切线方程分别为，． ②双曲线（，）在x轴上方的部分可以看成y关于x的某个函数的图象，于是在两边对自变量x求导，得到（隐函数求导），进而得到，从而双曲线（，）在点处的切线方程为，于是（同乘），于是就有（点在双曲线上），因此双曲线（，）在点处的切线方程为． ③依葫芦画瓢，当点在x轴下方时，双曲线（，）在点处的切线方程为． 结合①②③可得，双曲线（，）在点处的切线方程为． 注：通过隐函数求导求切线方程只能在小题中使用，在大题中求切线方程时需要联立求解． 知识点8 抛物线弦中点问题 若直线与抛物线交于，两点， 且是线段AB的中点，如图，则． 证明 因为点，都在抛物线上， 所以（点在抛物线上），所以（作差）， 所以，所以． 因为，，所以． 注：这里给出的都是焦点在x轴上的情形，焦点在y轴上时需要再根据点差法推导，不能直接套结论．点差法得到的结论在小题中可以直接用，在大题中要有推导过程． 知识点9 抛物线的切线 1．抛物线的切线 先将抛物线转化为函数的图象，然后直接求导得到，因此抛物线在点处的切线方程为，又，所以切线方程为．如图． 综上，抛物线在点处的切线方程为． 2．抛物线的切线 如图，先将抛物线的图象一分为三，x轴上方为一部分，x轴下方为一部分，原点处单独讨论． ①易得抛物线在原点处的切线方程为． ②抛物线在x轴上方的部分可以看成y关于x的某个函数的图象，于是在两边对自变量x求导，得到（隐函数求导，详见层数部分大招）．进而得到，因此抛物线在点处的切线方程为，又，所以． ③依葫芦画瓢，当点在x轴下方时，切线方程也为． 结合①②③可得，抛物线在点处的切线方程为． 知识点10 抛物线的硬解定理 1．抛物线的硬解定理 如果与抛物线有两个交点，．先将直线与抛物线进行联立， 得到，于是判别式， 再根据韦达定理得到 于是有， 从而． 2．抛物线的硬解定理 如果直线与抛物线有两个交点，．先将直线与抛物线进行联立， 得到，于是判别式， 再根据韦达定理得 于是有， 从而． （实际上与抛物线的硬解定理的区别就是把A，B对调了一下） 题型01 对椭圆定义的理解及应用 【典例1】已知的顶点，，且周长为16，求顶点的轨迹方程______． 【答案】 【分析】应用椭圆定义可判断顶点C的轨迹，应用待定系数法求轨迹方程，要注意排除三点共线情况. 【详解】因为，，所以， 又因为 的周长为16， 所以，并且. 所以顶点在以，为焦点的椭圆上， 设椭圆方程为， 因为，，，所以，， 又因为三点不共线，所以顶点的轨迹方程为. 故答案为： 【变式1】已知椭圆C：的左、右焦点分别是，，且该椭圆过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若椭圆上的点满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意确定c的值，根据椭圆上的点，结合椭圆定义求得a的值，即可求得，即得答案； （2）利用数量积的坐标表示，结合椭圆方程，即可求得答案. 【详解】（1）依题意，设所求椭圆方程为，其半焦距． ∵点在椭圆上， ∴， ∴，从而， 故所求椭圆的标准方程是． （2）由得，， 即， 代入椭圆方程得，故. 【变式2】一动圆与圆外切，同时与圆内切，求动圆圆心M的轨迹方程． 【答案】 【分析】由圆的外切与内切，结合椭圆定义得出点轨迹是椭圆，然后可求得其方程． 【详解】设动圆圆心为M（x，y），半径为R，设已知圆的圆心分别为、， 将圆方程分别配方得，， ，半径，，半径， 当⊙M与外切时，有，① 当⊙M与内切时，有，② 将①②两式的两边分别相加，得，由椭圆的定义知，M的轨迹是以、为焦点的椭圆， 设椭圆方程为，则有a＝6，c＝3，．从而所求椭圆方程为． 【变式3】某椭圆的两焦点坐标分别为，，是椭圆上一点，若，，则该椭圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义以及直角三角形的勾股定理列出方程，求解即可. 【详解】设，， 因为，，所以，即； 因为，所以， 所以； 因为，，所以，即，， 所以，， 所以椭圆的方程为， 故选：C. 题型02 椭圆的焦点三角形问题 【典例1】已知是椭圆的两个焦点，为上一点，且的内切圆半径为，若在第一象限，则点的纵坐标为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义得，进而得的周长，设的内切圆半径为，利用等面积法即可求解. 【详解】如图，不妨令分别为椭圆的左、右焦点，由，得， 所以，所以． 设的内切圆半径为， 因为， 所以，得． 故选：C. 【变式1】已知直线与椭圆交于两点，，则的周长是__________. 【答案】20 【分析】根据题意可知直线经过椭圆的右焦点，结合椭圆的定义即可求解. 【详解】椭圆,所以， 得，则椭圆的右焦点为， 所以直线经过椭圆的右焦点， 由椭圆的定义可知，的周长为 . 故答案为：20. 【变式2】（多选）已知点P是椭圆上的一点，是椭圆的左、右焦点，则下列说法正确的是（    ） A．存在点P，使得 B． C．的周长为定值6 D． 【答案】BCD 【分析】BC选项，由椭圆定义得到，，从而得到三角形周长；A选项，由余弦定理和基本不等式得到，结合的单调性得到，A错误；D选项，设，则，表达出，求出. 【详解】BC选项，因为， 由椭圆定义得，， 故的周长为，BC正确； A选项，由余弦定理得 ， 因为，当且仅当时等号成立， 所以， 因为在上单调递减，且， 所以，故不存在点P，使得，A错误； D选项，设，则，，， 故， 因为，所以，，D正确.    故选：BCD 【变式3】已知点，分别是椭圆的左、右焦点，点P在此椭圆上，则的周长等于（    ） A．16 B．20 C．18 D．14 【答案】A 【分析】根据给定的椭圆方程，求出长轴长及焦距即可. 【详解】椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距， 由椭圆定义知，焦距， 所以的周长等于 . 故选：A 题型03 椭圆中距离和差的最值问题 【典例1】已知是椭圆的下焦点，为上一点，，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】设为椭圆的上焦点，易知点在椭圆内，利用椭圆定义将转化为，当三点共线时，的最大值为，即可得解． 【详解】设为椭圆的上焦点，椭圆中，，则， 所以焦点坐标分别为，． 连接，由椭圆定义得． 由于，所以点在椭圆内． 如图所示，，    将代换为来求的最小值，也就是求的最大值， 当三点共线时，的最大值为， 所以的最小值为． 故选：D 【变式1】设为椭圆上一动点，分别为椭圆的左､右焦点，已知点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】利用椭圆定义转化为，即求的最大值，根据三角形性质，当三点共线时最大可得答案. 【详解】，所以，所以轴， 因为，所以在椭圆内部，且， 所以， 即求的最大值， 由于，当三点共线时最大， 此时，， 所以. 故选：B. 【变式2】已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，M是椭圆上的动点，点A(1，1)，则的最大值是________. 【答案】5 【分析】先求出，，则，结合图形可知，从而可求得结果. 【详解】设椭圆的半焦距为，则，， 所以，，， 所以． 如图，因为（当M在的延长线上时取等号），， 所以． 所以的最大值为5， 故答案为：5 【变式3】已知为椭圆的焦点，P为椭圆上一动点，，则的最大值为（    ） A． B．6 C． D． 【答案】A 【分析】根据焦点求得，利用椭圆的定义求得的最大值. 【详解】由于椭圆的焦点为，所以且焦点在轴上，则， 且，，所以椭圆方程为， 所以，设左焦点为， 根据椭圆的定义得， 当是的延长线与椭圆的交点时等号成立， 所以的最大值为. 故选：A    题型04 椭圆的标准方程性质与求解 【典例1】若椭圆的焦点在坐标轴上，焦距为8，且过点，则椭圆的标准方程为（    ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【分析】分焦点在轴上或轴上，两种情况，结合椭圆性质讨论求解即可. 【详解】因为焦距为8，所以，即． 若椭圆的焦点在轴上，椭圆过点，则， 此时，椭圆不存在，舍去； 若椭圆的焦点在轴上，椭圆过点，则， 此时，，所以，椭圆存在， 故椭圆的焦点在轴上，标准方程为． 故选：C 【变式1】已知椭圆方程为，若椭圆上的点到左焦点距离的最大值为3，最小值为1，则椭圆方程是______． 【答案】 【分析】根据已知及椭圆性质有，结合椭圆参数关系求参数，即可得方程. 【详解】椭圆上的点到左焦点距离的最大值为，最小值为， 联立，解得，，根据，得， 则椭圆方程是. 故答案为： 【变式2】若椭圆的短轴顶点为，焦距为8，则该椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】方法一：根据椭圆的定义和已知条件求出椭圆的标准方程；方法二：根据椭圆的定义进行理解辨析，利用排除法求得答案. 【详解】方法一：由题意椭圆的焦点在轴上，且，则，， 所以椭圆的标准方程为． 方法二：由题意，知椭圆长轴在轴上，则下面的分母数值大于下面的分母数值， 则排除C，D；选项B中椭圆的焦距为6，不符合题意，排除B，所以A正确. 故选：A． 【变式3】焦点在轴上，焦距为，且经过点的椭圆的标准方程为__________. 【答案】 【分析】由题意确定可得，进而求得标准方程. 【详解】由焦点在轴上，设椭圆的标准方程为， 由焦距为可得，解得； 又椭圆经过点，故，所以， 所以椭圆的标准方程为. 故答案为：. 题型05 与椭圆有关的轨迹问题 【典例1】已知点，，动点满足，则动点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题可得动点的轨迹是椭圆，即可求出动点的轨迹方程. 【详解】由题设知，所以动点的轨迹是椭圆，且焦点在轴上， 设椭圆方程为，则，， 所以，，故所求轨迹方程为. 故选：A 【变式1】在平面直角坐标系中，满足，、分别为的重心、内心，若轴，则点的轨迹方程为______. 【答案】 【分析】根据重心的性质和内心的性质，求出两点的坐标，根据线段平行轴，纵坐标相等，列出坐标的关系式，求出轨迹方程. 【详解】设，则重心，设内切圆半径为， 又，所以， 因为，则，又，所以， 所以点的轨迹方程为. 故答案为：. 【变式2】已知动点到两定点，的距离和为6，记动点的轨迹为曲线C. (1)求曲线的方程； (2)直线与曲线交于，两点，在轴是否存在点（若记直线、的斜率分别为，）使得为定值，若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在定点，使得直线为定值. 【分析】（1）由椭圆定义可得动点的轨迹为以点为焦点的椭圆，求出椭圆方程； （2）联立与，设，得到两根之和，两根之积，设，则，从而得到时，，，时，，，得到答案. 【详解】（1）由题意得， 故动点的轨迹为以点，为焦点的椭圆， 其中，则， 故曲线的方程为； （2）联立与得， 设， 则， 则， ， 设，则 ， 当时，，， 当时，，， 所以存在定点，使得直线为定值. 【变式3】（多选）一般地，若，（，且），则称，，，四点构成调和点列.已知椭圆：，过点的直线与椭圆交于，两点.动点满足，，，四点构成调和点列，则下列结论正确的是（    ） A．，，，四点共线 B． C．动点的轨迹方程为 D．既有最小值又有最大值 【答案】ABC 【分析】由和可判断A，由向量的数乘运算可判断B，设，，通过向量的坐标运算可得出，从而可判断C，由点到直线的距离可判断D. 【详解】对于A，因为，，，四点构成调和点列， 则有，因为有公共点，所以三点共线， 且有，因为有公共点，所以三点共线， 即可得到，，，四点共线，A正确； 对于B，因为，所以， 即， 所以，B正确； 对于C，设，， 由，得， 两式相乘得：①， 同理可得：②， 则①+②得：， 又点在椭圆上， ，， ，即，即，C正确. 对于D，到直线的距离， 即为的最小值，无最大值，D错误. 故选：ABC 题型06 求椭圆离心率的值或取值范围 【典例1】（多选）已知椭圆C：的焦点分别为，，设直线l与椭圆C交于M，N两点，且点为线段MN的中点，则下列说法正确的是（    ） A．椭圆C的离心率为 B．椭圆与椭圆C共焦点 C．直线l的方程为 D．椭圆C的内部（含边界）共有10个整数点 【答案】BC 【分析】应用椭圆焦点坐标计算得出离心率判断A，求两个椭圆的焦点判断B，联立方程组点差法得出直线方程判断C，列举法判断零点个判断D. 【详解】A：由条件可知，，解得，所以椭圆C：，所以，椭圆C的离心率，A选项错误； B：椭圆的焦点为，与椭圆C共焦点，B选项正确； C：设，，代入椭圆C的方程，得 两式相减得． 由题意可知，，，所以，，所以， 所以直线l的斜率为，所以直线l的方程为，整理得，C选项正确； D：椭圆C：，故椭圆内满足，的整数点有，，，，， ，，，，，，共11个，D选项错误. 故选：BC. 【变式1】（多选）已知两椭圆和，则（    ） A．两椭圆有相同的焦点 B．两椭圆的离心率相等 C．两椭圆有完全相同的顶点 D．两椭圆有相同的对称轴和对称中心 【答案】BD 【分析】写出椭圆的标准形式，逐项分析即得. 【详解】设椭圆，，，则； 设椭圆，，，则. A（×）椭圆的焦点分别在轴上. B（√）的离心率，的离心率. C（×）椭圆的顶点为，，椭圆的顶点为，. D（√）两椭圆都关于轴对称，关于原点中心对称，即它们有相同的对称轴和对称中心. 故选：BD 【变式2】（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，过点的直线与椭圆交于，两点（点位于点上方），且，延长分别交椭圆于点C，D，连接CD交轴于点，若的面积是的面积的3倍，则下列说法正确的有（    ） A．为等腰直角三角形 B．椭圆的离心率为 C．的周长为 D． 【答案】ABD 【分析】根据椭圆的定义、性质对选项逐一计算判断即可. 【详解】 选项 正误 原因 A √ 如图，因为的面积是的面积的3倍，所以，不妨设，则．中，由余弦定理得，， 解得或（舍去），故，，则由，可得，所以为等腰直角三角形．    B √ 由A知，，于是椭圆方程为：， 离心率为． C × 的周长为． D √ 由题意，，则直线，代入，整理得，解得，代入，得．又直线，即， 代入，整理得，解得， 代入，得．又直线， 代入，整理得，解得， 代入，得． 故直线，即， 令，解得，故． 故选：ABD. 【变式3】已知，分别为椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，，且，则椭圆的离心率为___________. 【答案】/ 【分析】利用椭圆的定义结合勾股定理，列出等式求解即可. 【详解】 由椭圆定义得，又因为， 所以，， 又，，结合勾股定理得， 解得，则， 所以椭圆的离心率为. 故答案为：. 题型07 直线与椭圆的位置关系 【典例1】已知双曲线，椭圆，椭圆的焦距为，长轴长为. (1)求双曲线的离心率； (2)设直线与存在两个交点、，求面积的最大值； (3)设直线与、的总交点数恰有个，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据椭圆的基本性质，求出参数的值，进而写出双曲线的方程，求出离心率即可； （2）联立椭圆和直线方程，根据弦长公式求出弦长，根据点到直线距离公式，求出高，写出三角形面积公式，构造函数，根据函数导数求出单调性，判断面积最大值； （3）分别联立椭圆和直线方程，双曲线和直线方程，根据韦达定理，判断各自交点个数对应的参数范围，分析有两个交点时的不同情况，判断参数范围即可. 【详解】（1）由椭圆条件可知，解得，，解得， 所以，解得， 则双曲线为，化简得， 可得双曲线参数为，， 则离心率 . （2）直线，椭圆 ， 联立方程组得，消去得， 设，可知， 根据韦达定理可得， 所以弦长公式， 原点到直线距离为， 则面积 ， 令，则， 令，则， 可知当时，，在定义域内单调递减， 所以， 即当时，可得. （3）联立直线与双曲线：，消去得， 则， 当时，即，解得，即， 当时，即，解得，即， 当时，即，解得，即， 联立直线和椭圆，消去得， 所以， 当时，即，解得，即， 当时，即，解得，即， 当时，即，解得，即， 情形1：椭圆0个，双曲线2个， ，即，解得， 情形2：椭圆1个，双曲线1个， ，即，此时无解， 情形3：椭圆2个，双曲线0个， ，即，解得， 综上所述. 【变式1】已知圆：，点，是圆上一个动点，线段的垂直平分线与线段相交于点，记点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)过点作直线交曲线于，两点，若轴上一点满足． （i）求实数的值； （ⅱ）若，求的面积． 【答案】(1) (2)（i） （ⅱ） 【分析】（1）根据椭圆的定义求解即可. （2）（i）设出直线方程，与椭圆方程联立，结合韦达定理及求解即可. （ⅱ）根据角平分线的性质，结合韦达定理求出值，进而求出交点纵坐标，代入三角形面积公式求解即可. 【详解】（1）连接，由题意知， 则， 所以动点的轨迹是以，为焦点的椭圆，，. 所以，，所以曲线的方程为. （2）（i）设直线的方程为，，， 联立，整理得， 则，. 设直线与的斜率分别为，，则，， 因为，所以直线与的倾斜角互补，即， 则， 所以，所以， 又为任意实数，所以. 当直线的斜率为0时，，符合题意. 综上所述，. （ⅱ）因为，所以为的角平分线，所以. 因为，所以， 由，，得，解得. 不妨设，则，． 所以的面积. 【变式2】已知椭圆上的点到两焦点的距离之和为4，且右焦点为． (1)求椭圆的方程； (2)设、分别为椭圆的左右顶点，点为椭圆上异于、的动点，直线、分别与直线交于点、．求证：以为直径的圆交轴于两定点． 【答案】(1) (2)如图所示，可知，设， 则，所以， 所以， 设以为直径的圆交轴于点， 可得， 因为为直径，所以，即，化简得， 而，所以，所以，所以， 解得或，即以为直径的圆交轴于点，即以为直径的圆交轴于两定点. 【分析】（1）根据椭圆的概念，求出参数值，写出标准方程即可； （2）根据直线与椭圆的位置关系，和圆的基本性质，设出点的坐标，联立方程组，求出圆与轴交点的横坐标即可. 【详解】（1）由题意可知，所以， 所以椭圆的方程为. （2）略 【变式3】已知椭圆．过点的直线与椭圆交于两点，设为线段的中点．求点的轨迹方程； 【答案】（）； 【分析】把椭圆上两个交点代入方程作差，借助中点坐标推出直线斜率；再利用直线过定点写出另一组斜率，斜率相等消去参数得到轨迹，最后根据中点在椭圆内限定x范围. 【详解】设． 因为弦的中点为，所以， 又因为两点在椭圆上，所以， 两式相减得， 当时，，，即， 由于弦过点，，所以， 因此，整理得①， 又因为是弦的中点，所以必在椭圆内， 所以，再与①联立消去得：，即. 再由①得，解得，因此. 因此点M的轨迹方程为（）． 题型08 椭圆的中点弦问题 【典例1】（多选）已知曲线和椭圆，其中和不同时为0，点在曲线上运动，过点的一条直线与椭圆交于两点，坐标原点为．下列说法正确的是（    ） A．曲线存在2条对称轴 B．曲线全部在椭圆内 C．点到的最大值为 D．对任意点均存在直线使 【答案】ABD 【分析】对于A，根据的方程易得轴、轴均为对称轴；对于B，根据曲线的方程求出的最大值小于2，即可判断曲线全部在椭圆内；对于C，根据曲线的方程求出的最大值即可判断；对于D，先考虑为弦的中点，求出直线的方程，再证明此时，根据直角三角形斜边中线定理即可得到． 【详解】对于A：在曲线的方程中，将替换为，方程不变，故轴是对称轴， 将替换为，方程不变，故轴也是对称轴，故A正确； 对于B：设，则由可得， 将曲线的方程即代入不等式， 由得，结合，得；由得，得， 因此，最大值， 所以曲线上所有点都满足，全部在椭圆内，故B正确； 对于C：由解得， 因此， 当时等号成立，此时，，， 所以点到的距离的最大值为，故C错误； 对于D：设，记，则， 先考虑为弦的中点，则， 又，两式作差得， 故， 若，两边除以，得直线的斜率， 故直线的方程为，即， 若，则直线的方程为，代入上式仍成立， 因此椭圆中以为中点的弦，直线方程为， 由于在椭圆内部，故该弦始终存在． 联立得， 故， 进而 因此， 上式的分子 ， 而， 因此，即， 因此在中，是斜边的中点，故， 因此对任意，以为中点的椭圆弦均满足条件，故D正确． 【变式1】倾斜角为的直线交椭圆于A、B两点，则线段AB中点M的轨迹方程是_______． 【答案】 【分析】由题意，设直线方程为，，中点，应用点差法得到，结合在椭圆内部求自变量范围即可得. 【详解】倾斜角为，故直线斜率，   设直线方程为，，中点，则， 由在椭圆上，故，则， 由，，，可得， 联立椭圆方程，得，而中点在椭圆内部，故， 所以点M的轨迹方程为. 【变式2】椭圆的两个焦点是和，椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于． (1)求椭圆的离心率． (2)已知椭圆的弦的中点的坐标为，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆的定义可得，再求离心率即可； （2）先求得椭圆方程，设，，进而可得，，再利用作差法可得直线的斜率，然后根据点斜式求直线方程即可． 【详解】（1）椭圆的焦点在轴上，故设椭圆的标准方程为， ，， ． （2）， 椭圆的标准方程为； 设，． 因为是的中点，所以，， 即：，， 点和都在椭圆上：， 将相减；， 即：， 代入和， ， 即：， 因此，直线的斜率：， 直线过点，斜率为， 其方程为：，即． 【变式3】如图，直线交椭圆于两点，分别交轴正半轴、轴正半轴于两点，且，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将代入椭圆，两式相减，得到，结合斜率公式和中点公式，化简得到，即可求解. 【详解】设 将代入椭圆，可得， 两式相减，可得，即， 因为，所以， 则直线的斜率为． 题型09 直线与椭圆相交弦长问题 【典例1】已知椭圆的左焦点为，离心率为. (1)求椭圆E的标准方程； (2)过椭圆E右焦点的直线l与椭圆E交于A，B两点，若，求直线l的方程. 【答案】(1) (2)，或 【分析】（1）根据椭圆焦点坐标特点，结合椭圆离心率公式进行求解即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，利用转化法进行求解即可. 【详解】（1）因为椭圆的左焦点为，离心率为， 所以， 所以椭圆E的标准方程为； （2）当直线l斜率为零时，此时A，B为左右顶点，不管A，B哪一个为左顶点，均不满足， 当直线l斜率不存在时，此时根据椭圆的对称性，显然不成立， 当直线l存在斜率且不为零时，设直线l的方程为， 于是有， 显然， 设，则有， 因为，所以，即， 因此由 ， 所以直线l的方程为，或， 化为一般式为，或. 【变式1】已知椭圆的左顶点为，过点的直线交于另一点．若，则直线的斜率为__________________． 【答案】 【分析】根据题意，设直线的方程为，将该直线方程与椭圆方程联立，求出点的纵坐标，结合弦长公式可得出关于的方程，解出的值，即可得出直线的斜率. 【详解】由题意可得，若直线与轴重合，则，不符合题意， 设直线的方程为，设点，其中， 联立可得，解得， 由弦长公式可得， 整理可得，即，解得， 故直线的斜率为. 【变式2】已知直线与椭圆交于不同的两点A，B，若，则实数______． 【答案】4 【详解】联立，得 ， 则，解得，且， 所以，解得． 【变式3】已知椭圆的离心率为且经过点.试求： (1)求椭圆的标准方程； (2)是否存在过点与（1）中曲线C相交所得弦长的直线，若存在，求直线的方程；若不存在，试说明理由. 【答案】(1) (2)存在，或. 【分析】（1）由题设可得，，结合即可求出，进而求解即可； （2）分直线的斜率不存在、存在，两种情况结合弦长公式讨论求解即可. 【详解】（1）根据题意，椭圆的离心率为，则①， 又因为椭圆过点，则②，又③， 由①②③联立解得，，所以椭圆的标准方程为. （2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 此时，不满足题意； 当直线的斜率存在时，设直线：，与曲线的交点为，， 联立，得，则， 且，， 则， 整理得，所以或（舍）. 经检验，符合题意， 所以直线的方程为，即或.    题型10 椭圆中的定点问题 【典例1】已知椭圆的左，右焦点坐标分别为，，椭圆上任意一点到两焦点距离之和为4． (1)求椭圆的标准方程与离心率； (2)已知点，过定点的直线与椭圆交于，两点（异于），直线与轴交于点，直线与轴交于点． （i）求面积的最大值； （ii）求证：的中点为定点． 【答案】(1)椭圆方程为：，离心率：. (2)（i）面积最大值. （ii）设 直线：，令得：；同理可得： 带入得：，，带入韦达定理化简得： 所以中点坐标.即的中点为定点. 【分析】 (1) 利用椭圆定义和可求椭圆的标准方程，再利用离心率公式可求离心率. (2) （i）联立直线和椭圆方程利用韦达定理构建三角形的面积函数，再利用换元法和基本不等式可求面积最大值. （ii）通过代数式表示直线，再求出两点坐标，化简可得中点坐标. 【详解】（1） 由题可知，，结合椭圆中可得，所以椭圆方程为：，离心率：. （2）（i）设直线：，联立得. 化简得：. 设，由韦达定理得：. 化简得：，令，则， （当且仅当时取等）. （ii）略 【变式1】已知椭圆的左、右顶点分别为，且，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆交于两点． ①若过点，求的最大值； ②设直线，的斜率分别为，，且．问直线是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)① ；②是，定点为 【分析】（1）根据条件，直接求出，即可求解； （2）（i）分直线l斜率为0和不为两种情况，斜率为0时，直接求出，斜率不为时，设直线，再利用根与系数间的关系及弦长公式可得，即可求解；（ii）法一，结合条件，利用椭圆的第三定义，建立等量关系，从而可得，即可求解. 【详解】（1）由题意可得，得到，又，得到，则， 所以椭圆方程为. （2）（ⅰ）若直线l斜率为0，此时，解得M，N两点坐标为，此时， 若直线斜率不为0，不妨设直线，，， 由，消整理得到， 则，，， 又直线过点，故， 此时，易知点在椭圆外，则，正负号一致， ， ， 综上所述，的最大值为． （ⅱ）利用椭圆的第三定义可知，，得， 此时， 即，将，代入， 得到， 整理化简可得，解得或， 当时，直线l经过点，不符合要求，舍去；所以，即直线l恒过定点． 且定点在椭圆内部，直线l与椭圆恒有两个交点，经检验成立． 【变式2】在平面直角坐标系中，已知点，，点满足直线，的斜率之积为，记点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程． (2)若是曲线上第一象限的点，且，求点的坐标． (3)设、是曲线上的两点，若直线的斜率是直线的斜率的倍，证明：直线过定点，并求出定点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)解：法一：直线，的斜率均存在且不为，设直线的斜率为， 则直线的斜率为，直线，的方程分别为和， 联立方程组，整理得， 解得或，得，同理得， 则直线的斜率为，                             所以直线的方程为，即，             令，则，即直线过定点               法二：设，则满足，可得 因为，，可得， 则， 又因为，且，所以，即， 直线的斜率明显存在，设直线的方程为， 联立方程组，整理得， 设，，则，， 所以，即， 即， 即， 整理得，解得或（舍去）， 所以直线的方程：， 经检验，此时，所以直线过定点． 【分析】（1）设，根据题意，得到，进而求得曲线的方程； （2）法一：设，直线与的倾斜角分别为，得到，由，，求得，结合椭圆的方程，求得的值，即可求解；         法二：设，得到，，求得，由，结合椭圆的方程，得到关于的方程，求得的值，即可求解； （3）法一：设直线的斜率为，得到直线，的方程分别为和， 联立方程组求得和，得到直线的方程，即可得证； 法二：设直线的方程为，设，，联立方程组，结合韦达定理和，得到关于的方程，求得值，即可得证. 【详解】（1）解：设，且，， 因为点满足直线，的斜率之积为，可得，         即，整理得， 所以曲线的方程. （2）解：法一：设，其中，， 直线与的倾斜角分别为，，则，                 所以，         因为，，所以①，         因为，代入①中，得，故或（舍），         因为，所以点的坐标为．         法二：设，其中，，则，，        所以②，        由，可得③，        因为④，将③，④代入②中，， ， 所以，即， 因为，可得，所以，解得或（舍）．                      因为，所以点的坐标为． （3）略 【变式3】已知椭圆：的焦距为2且经过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)、是椭圆长轴的两个端点，动点与、的连线分别与椭圆交于点、，为椭圆的左焦点，试判断的周长是否与有关，若是，用表示的周长；若不是，说明理由． 【答案】(1) (2)的周长为定值8，与无关， 【分析】 （1）焦距为2，求得，再将代入即可求解； （2），联立直线和椭圆方程，求得，，进而得到，， 再根据向量共线的定义即可得证的周长是否与无关. 【详解】（1）焦距为2，即，解得，所以，将代入得：， 联立，得：，解得，所以， 椭圆的标准方程：. （2）   的周长与无关. 证明：设，则，， 同理可得，， 联立方程，得，， 则． 同理联立方程，可得，， 则. 又因为椭圆的右焦点为， 所以，， 因为， 说明P，Q，三点共线， 即直线PQ恒过点． 因为直线PQ恒过点，根据椭圆的定义，所以的周长为. 题型11 椭圆中的定值问题 【典例1】已知椭圆的中心在原点，离心率，短轴的一个端点为，点为直线与该椭圆在第一象限内的交点，平行于的直线交椭圆于两点． (1)求椭圆的方程； (2)求证：直线，与轴始终围成一个等腰三角形． 【答案】(1) (2) 由（1）知椭圆方程为． 联立，解得或， 因为点在第一象限内，所以， 设直线的方程为． 由， 得， 设直线，的斜率分别为， 设，则，． 由， 得，， ． 即． 故直线，与轴始终围成一个等腰三角形． 【分析】（1）椭圆由短轴的端点、离心率求出，得到椭圆的方程； （2）要证与x轴围成等腰三角形，转化证明两直线斜率之和为0，设出直线，和椭圆联立，利用韦达定理代入化简分子等于0. 【详解】（1）设椭圆方程为， 由离心率，得， 由短轴的一个端点为，得， 因为，所以，所以， 所以椭圆方程为． （2）略. 【变式1】已知椭圆C：的两焦点与短轴的一个端点连接构成等腰直角三角形，直线与以椭圆C的右焦点为圆心，以为半径的圆相切. (1)求椭圆C的方程； (2)若过椭圆C右焦点F作直线L交椭圆C于A，B两点，交y轴于M点，且，.求证：为定值. 【答案】(1)； (2)由题意得直线的斜率存在，， 所以设直线方程为，令得，则， 将直线方程代入椭圆方程得：， 因为在椭圆内部，则直线与椭圆必有两个交点， 设 则， 由， 即， ， . 【分析】（1）根据相切得到，再分析得，联立即可得到方程； （2）设直线方程为，将其与椭圆方程联立得到韦达定理式，再求出，再通分代入韦达定理式即可. 【详解】（1）由题意：以椭圆的右焦点为圆心， 以为半径的圆的方程为， 所以圆心到直线的距离①， 因为椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，所以，联立①得，， 故所求椭圆方程为. （2）略. 【变式2】已知椭圆经过点，其右焦点为，左、右顶点分别为，． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知点为椭圆上任意一点（不与左、右顶点，重合），求证：直线，的斜率之积为定值，并求出该定值； (3)若过点的直线与椭圆交于，两点，求的面积的最大值． 【答案】(1) (2)设点，则，即， 由题意可知：，， 则， 所以直线，的斜率之积为定值，该定值为． (3) 【分析】（1）根据题意列方程求的值，即可得椭圆的标准方程； （2）设点，可得，结合斜率公式分析证明即可； （3）设，，，，与椭圆方程联立利用韦达定理可得，进而可得，换元利用基本不等式求最值即可. 【详解】（1）由题意可得：，解得，，， 所以椭圆的标准方程为． （2）略 （3）由题意可知：直线不垂直于坐标轴，且过点， 设，，，， 联立方程，消去x可得， 则，解得， 可得，， 则， 因为，则， 可得的面积． 设，则， 可得， 当且仅当，即，时，等号成立 所以的面积的最大值为． 【变式3】已知，分别是椭圆的左、右焦点，是上一点．当时，，． (1)求的标准方程； (2)若在第一象限，，是上的两点，若直线，关于直线对称，证明：直线的斜率为定值． 【答案】(1) (2)设，．由题可知直线与的斜率互为相反数， 当，代入椭圆方程得， 又在第一象限，故． 设直线的斜率为，则直线的斜率为， 于是直线的方程为，直线的方程为 代入，的坐标并作差，得．①   由，得． 由韦达定理，得，即，②   同理可得．③   将①②③代入，得， 故直线的斜率为定值 【分析】（1）通过焦距确定，通过椭圆定义求得，进而可求解； （2）设，．直线的斜率为，得到直线的斜率为，通过点在直线上作差，及直线方程和椭圆方程联立，进而可求解. 【详解】（1）由题可知，即， ， 所以，即， 则， 故的标准方程为． （2）略 题型12 对双曲线定义的理解及应用 【典例1】已知双曲线的一个焦点为，则双曲线的渐近线方程为______. 【答案】 【分析】由已知可直接写出，进而利用双曲线参数关系，求出，再通过双曲线的渐近线方程公式即可解决本题. 【详解】焦点在轴上的双曲线的标准方程为，焦点坐标为，其中， 双曲线的一个焦点为可知， 则， 所以双曲线的渐近线方程为，即. 【变式1】（多选）已知双曲线：，则的（    ） A．实轴长为定值 B．焦点在轴上 C．离心率为定值 D．渐近线方程为 【答案】BC 【详解】因为，可得， 则，，， 可得实轴长为，不为定值，故A错误； 焦点在轴上，故B正确； 离心率为，为定值，故C正确； 渐近线方程为，故D错误. 【变式2】已知双曲线的一个焦点坐标为，则（   ） A．3 B．6 C． D．9 【答案】D 【详解】双曲线的标准方程为其中 设双曲线的焦距参数为 ，则 已知一个焦点坐标为 ，所以 因此 【变式3】（多选）已知双曲线，则（    ） A． B．C的焦点在x轴上 C．C的焦距为2 D．C的渐近线不可能互相垂直 【答案】AB 【详解】A选项，由题意得，解得，A正确； B选项，由A知，，故，，故焦点在x轴上，B正确； C选项，因为，所以，故C的焦距为，C错误； D选项，当，即时，C的渐近线方程为，两条渐近线互相垂直，D错误. 题型13 双曲线的焦点三角形 【典例1】已知双曲线的左右焦点为，，为上一点，若，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点在的右支上，,则，由，可得①，在中，由余弦定理可得②，由①②即可得与的关系，再根据离心率公式求解即可. 【详解】不妨设点在的右支上，, 则， 又因为为中点， 所以， 平方得， 即， 整理得，① 在中，由余弦定理可得：, 即， 整理得，② 由①②可得：，即， 所以双曲线的离心率， 又因为， 所以. 【变式1】已知点为双曲线右支上一点，点，分别为双曲线的左右焦点，点是的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有，则双曲线的离心率是__________． 【答案】 / 【分析】设的内切圆半径为，结合双曲线定义与三角形面积公式推导、的关系，进而求出离心率。 【详解】设的内切圆半径为, 根据双曲线的定义，点在双曲线右支上，故，双曲线的焦距, 由三角形面积公式可得 ，，, 代入题设条件， 得 ，得 ,由于，两边约去得， 故双曲线的离心率. 【变式2】如图，双曲线的右顶点为A，左右焦点为，，点P是双曲线右支上一点，交左支于点Q，交渐近线于点R，M是的中点，若，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】先求出点坐标，再求出点坐标，再根据点差法表示出，再由建立方程求解即可. 【详解】因为，所以在直角中，， 设，则，解得，即， 又，所以，则， 即，又因为，，所以 ，设，， 联立，两式相减化简得， 又M是的中点，， 即，又，所以， 又，所以， 化简得，又，解得， 即. 【变式3】已知双曲线的左、右两个焦点分别为，为坐标原点，以为直径的圆与双曲线C在第二象限交于点， 直线与双曲线C右支交于点，，则双曲线C的离心率为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】利用圆周角定理和等腰三角形的性质得到平行关系，再借助中位线性质确定有关线段长度；结合双曲线的定义求出焦半径，最后利用余弦定理求离心率． 【详解】因为在以为直径的圆上，所以． 又三点共线，故． 由，知为等腰三角形． 取的中点，则，从而． 在中，为的中点，所以为的中点，故 设，则，． 点在双曲线左支上，所以 点在双曲线右支上，且，所以即，解得． 因此 故为等边三角形，． 又，． 在中，由余弦定理，得 所以，故双曲线的离心率为 题型14 双曲线中的距离和差的最值问题 【典例1】（多选）已知P是双曲线C：上的动点，，分别为C的左、右焦点，点，则下列说法正确的是（    ） A．C的渐近线方程为 B．直线与C的右支有2个交点 C．当时， D．当点P在C的右支上时，的最小值为 【答案】ACD 【分析】本题围绕双曲线的基本性质展开，结合双曲线定义、直线与双曲线位置关系、焦点三角形性质、距离最值模型逐一判断选项. 【详解】双曲线C：中，，渐近线方程为，因此选项A正确， 由，则，那么直线的斜率为， 方程为，联立双曲线方程， 消去可得，由韦达定理， 说明两根一正一负，即直线与C的右支仅有1个交点，故选项B错误. 由双曲线定义可得，两边平方可得，因为， 根据勾股定理可得， 代入可得，则，故选项C正确. 当点P在C的右支上时，由双曲线定义可得，即， 所以，当三点共线时，如图： 取得最小值，即，已知， 则，所以的最小值为，故选项D正确. 【变式1】（多选）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，其渐近线方程为，过的直线与双曲线的左右两支分别交于，两点（点在第一象限），则下列说法正确的是（     ） A．离心率 B．若的斜率为1时， C．为定值 D．当直线的斜率为，过线段的中点和原点的直线的斜率为时， 【答案】ABC 【分析】对于选项A，根据双曲线的渐近线方程可求得，进而可求得，可得离心率；对于选项B，联立直线与双曲线方程，根据弦长公式即可求解；对于选项C，根据双曲线定义，即可求解；对于选项D，设，，则，，代入化简即可求解. 【详解】对于A选项，因为双曲线：的渐近线方程为， 即，所以，此时双曲线的方程为，则，， 所以，所以，所以，故A正确； 对于B选项，因为，所以， 又过的直线的斜率为1，所以直线的方程为， 因为直线与双曲线的左右两支分别交于，两点， 与双曲线联立，化简得， 设，，则，， 所以，故B正确； 对于C选项，根据双曲线定义，，， 所以，， 所以，故C正确； 对于D选项，设，，线段的中点，则，，所以，，， 又，在双曲线上，所以，， 所以，， 所以，故D错误. 综上所述，选项ABC正确. 【变式2】已知双曲线的右焦点为F，P为双曲线右支上一动点，，则的最小值为（     ） A． B． C．5 D．10 【答案】B 【分析】设双曲线的左焦点为，根据双曲线的定义，将转化为，即可求其最小值. 【详解】设双曲线的左焦点为，则，所以，. 则由题意可得，，即. 所以， 当且仅当三点共线时，等号成立. 即的最小值为. 【变式3】已知点是双曲线的右支上一点，，分别是圆和上的点，则的最大值为（     ） A．12 B．15 C．16 D．18 【答案】B 【分析】根据双曲线的性质得到焦点的坐标和双曲线上的点到两个焦点的距离之差，结合三角形边的性质从而求解. 【详解】 在双曲线中，，，， 所以双曲线的焦点，，， 因为，， 所以. 题型15 双曲线标准方程的求解 【典例1】（多选）已知双曲线，则下列说法正确的是（   ） A．的范围为 B．时，该双曲线的离心率为 C．时，该双曲线的渐近线方程为 D．使该双曲线的焦距最小 【答案】ABD 【分析】先根据双曲线定义确定参数范围，再代入特定值计算几何性质，最后利用导数研究焦距函数的最值问题. 【详解】方程表示双曲线，需满足与项系数异号，即. 解得,因此，选项A正确. 将代入原方程得，整理为标准形式. 此时焦点在轴上，实半轴长，虚半轴长. 半焦距，离心率. 因此，选项B正确. 由双曲线标准方程可知，渐近线方程为，即. 这与选项C中的不符. 因此，选项C错误. 当时，方程可化为. 此时. 设，对求导得. 令，即，因，开方得，解得. 当时，函数单调递减；当时，函数单调递增. 故在处取得最小值，即有最小值，焦距也有最小值. 因此，选项D正确. 【变式1】（多选）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点为的右支上任意一点，点，则（   ） A． B．双曲线的渐近线方程为 C．过点且与双曲线只有一个公共点的直线有3条 D．的最小值为 【答案】BD 【分析】首先结合焦距求出半焦距，利用双曲线中求解参数，即可得到渐近线方程，判断A、B的正误；再结合直线与双曲线仅有一个公共点的两类情况（与双曲线相切、与渐近线平行），结合点的位置判断C的正误；最后利用双曲线的定义转化所求距离和，结合两点之间线段最短求最值，判断D的正误. 【详解】由可知半焦距，则 ，故A错误； 双曲线的渐近线方程为，故B正确； 对于C，易知不在双曲线及其渐近线上， 当过的直线与双曲线相切时，有两条直线与双曲线只有一个公共点； 当过的直线与渐近线平行时，也有两条直线与双曲线只有一个公共点， 所以过点且与双曲线只有一个公共点的直线有4条，故C错误； 对于D， ， 因为在双曲线渐近线的上方， 则， 当且仅当在线段上时，取得等号，故D正确． 【变式2】若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线标准方程的成立条件列不等式，求解得到实数的取值范围. 【详解】已知方程表示双曲线，则， 解得或. 因此实数的取值范围是. 【变式3】（多选）已知双曲线则（   ） A． B．双曲线C的焦距为定值 C．若双曲线C为等轴双曲线，则 D．若双曲线C的渐近线方程为，则 【答案】ABC 【详解】对于A，由双曲线，得，解得，A正确； 对于B，由，得双曲线的焦距为，为定值，B正确； 对于C，由双曲线为等轴双曲线，得，解得，C正确； 对于D，由双曲线的渐近线方程为，得，解得，D错误. 题型16 与双曲线有关的轨迹问题 【典例1】已知点，，为曲线上三点（其中点为曲线上除,外任意一点），且满足． (1)求曲线的方程； (2)已知圆，曲线的上焦点为，作圆的切线交曲线于，（，），在上取点使，判断是否为定值． 【答案】(1) (2)是定值，定值为. 【分析】（1）设点．把已知用坐标表示后化简可得； （2）若切线斜率存在，设切线的方程为，由与圆相切得．设点，，由垂直得关系，从而用表示出点坐标，代入曲线的方程求出，切线斜率不存在时，同样求出，从而计算数量积可得. 【详解】（1）设点．由题意，，，的斜率分别为，， 代入，得，     整理得． 这是焦点在轴上的双曲线，其顶点为，即点，． 因此曲线的方程为． （2）显然， 法一：若切线斜率存在，设切线的方程为，由与圆相切得．     设点，． 由可得， 解得，故．     代入双曲线可得，     展开化简得．     若斜率不存在，此时易得或，与双曲线联立解得或， 又由，点与点的横坐标相同，解得．     所以为定值．     法二：设点，因为，则可令点． 因为切线与单位圆相切，故到直线的距离为， 在中，面积， 即，     化简得．①     又在双曲线上，可得，②     ①②，得，     所以为定值．     法三：设点，，若切线斜率存在，设直线的方程为， 由与圆相切得．     联立，得， 由韦达定理，得，，     由且点在直线上，设， 代入垂直条件并结合，推导得，     平方得， 代入韦达定理及化简可得，     若斜率不存在，此时易得或，与双曲线联立解得或， 又由，点与点的横坐标相同，解得．     所以为定值．     法四：显然切线的斜率不为，设切线， 由与圆相切得．     设点，， 由可得， 解得，故．     代入双曲线可得，     展开化简得，解得（显然，负值舍去）．     所以为定值． 【变式1】动点到直线与直线的距离之积等于，且.记点的轨迹方程为. (1)求的方程； (2)已知点，直线交于点，，上是否存在点满足?若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)存在点，使得. 【详解】（1）利用点到直线与直线的距离之积等于建立方程，化简即可得到结果. （2）假设存在点，联立直线与双曲线方程，利用韦达定理及题目条件得到点坐标满足的关系式，利用点在双曲线上即可得到结果. （1）因为动点到直线的距离为，动点到直线的距离为， 所以，化简得， 因为，所以，所以， 所以的方程为. （2）存在，使得，理由如下： 由得，， 由得，且. 设，则，故. 由题意得，. 设存在点满足， 则， 所以. 因为点在上，所以， 化简得，解得或（舍）， 因为，所以，故，即， 所以存在，使得. 【变式2】已知两点坐标分别为，直线与斜率之积为24，求的轨迹方程. 【答案】 【详解】设，由题意知，，其中， 化简整理得， 所以点的轨迹方程为. 【变式3】设动圆的半径为，它与圆外切，且与圆内切，求圆心的轨迹方程. 【答案】 【分析】根据两圆关系及已知有，再由双曲线的定义确定轨迹并写出轨迹方程. 【详解】因为动圆与圆外切，所以， 因为动圆与圆内切，所以， 所以， 根据双曲线的定义，点的轨迹为双曲线的右支，且， 所以，则， 所以圆心的轨迹方程E为. 题型17 求双曲线离心率的值或范围 【典例1】圆心为原点、半径为的圆分别与轴负半轴、双曲线：（，）的一条渐近线交于，两点（在第一象限），若的另一条渐近线与直线垂直，则的离心率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求得交点、的坐标，结合两条直线垂直斜率乘积为建立方程，再利用双曲线中，，的关系求解离心率. 【详解】 双曲线的渐近线方程为，半径为的圆的方程为. 圆与轴负半轴交点为，联立圆与渐近线的方程： 代入得， 结合，解得第一象限交点. 由题意，另一条渐近线与直线垂直，故两条直线斜率乘积为. 直线的斜率为： . 因此有： 化简得，结合双曲线关系，代入得： . 两边同除以，结合离心率，得，解得（不符合离心率取值范围，舍去）. 【变式1】在等腰梯形中，且，，，（）（如图）以，为焦点，且过点的双曲线的离心率为，以，为焦点，且过点的椭圆的离心率为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线和椭圆的定义分别表示出离心率和，再利用对勾函数的单调性求解即可. 【详解】如图，双曲线以，为焦点，且过点，则， ，，，则 所以；椭圆以，为焦点，且过点， 则，，，， 所以，，令，又， 则，所以， 令，则是对勾函数， 由对勾函数单调性可知，当时，函数单调递减， 即时，，时，， 所以的取值范围为. 【变式2】已知椭圆：（）与双曲线：（，）有相同的焦点，，以线段为边作正，若椭圆与双曲线的一个交点恰好是的中点，设椭圆和双曲线的离心率分别为和，则______. 【答案】2 【分析】利用正三角形与中点条件得到焦点三角形两边长度，结合椭圆、双曲线定义分别求出离心率，再借助平方差公式化简乘积求值. 【详解】由题意，，则在椭圆中，则； 双曲线中，则； 所以. 【变式3】已知双曲线的一条渐近线方程为，则其离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由渐近线方程可得等量关系，据此可得答案. 【详解】因双曲线的一条渐近线方程为，则. 题型18 直线与双曲线的位置关系 【典例1】（多选）已知双曲线与圆有且仅有两个公共点，若为双曲线上一动点，的中点为，直线的斜率为（其中为坐标原点），则（    ） A． B．点在以为直径的圆的外部 C． D． 【答案】ACD 【分析】联立双曲线与圆方程消去，得到关于的二次方程，令判别式为零即可判断A选项；写出以为直径的圆方程，将中点的坐标代入判断其与圆的位置关系即可判断B选项；用中点坐标表示，利用双曲线方程消去，得到关于的二次函数，配方求其最小值即可判断C选项；由斜率定义将用表示后代入双曲线方程，得到关于的二次方程有实数解，故判别式非负，从而解出斜率范围，从而判断D选项． 【详解】对于选项A： 由双曲线方程得，代入圆方程：， 展开整理得关于的一元二次方程：， 因为两曲线均关于轴对称，若有且仅有两个公共点，则这两个公共点必关于轴对称，即它们对应同一个纵坐标，所以方程在实数范围内有两个相等的实数根， 即. 化简： 因，故，所以A正确； 对于选项B：因为，所以双曲线方程为，圆心， 设在双曲线上，则，线段的中点， 为直径的圆方程为：， 将点代入该圆方程左侧并减去右侧，判断位置关系： 由得，代入上式：. 所以点相对于该圆的位置满足“在圆上或圆外”，当时点恰在圆上，所以B错误； 对于选项C：， 代入，得， 因为，所以，所以C正确； 对于选项D： 直线的斜率， 所以，代入双曲线得： 因为存在实数使点在双曲线上，所以该二次方程有实数解， 所以， 解得，所以D正确． 【变式1】（多选）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，直线：交双曲线于，两点，则（     ） A． B． C．的最小值为 D．若，则点到轴距离的最大值为 【答案】AC 【分析】A用联立判别式判断交点条件；B利用对称性与双曲线定义判断边长关系；C、D将向量数量积转化为坐标表达式，利用双曲线范围求最值或解不等式. 【详解】由，可知，双曲线的渐近线的斜率为. 且，则焦点. 选项A，将代入双曲线方程得，整理为. 已知直线与双曲线交于两点，所以，即，解得，A正确； 选项B，由双曲线的中心对称性，A、B关于原点对称，故. 又，四边形是平行四边形，因此. 根据双曲线定义，可得，即，B错误； 选项C，设，则，， 由可得，则. 因，故当时，取得最小值，C正确； 选项D，若，即，解得，即，而， 即点到轴距离的最大值为，D错误. 【变式2】已知双曲线C：的左焦点为，离心率为2． (1)求C的方程： (2)设O为坐标原点，过F且斜率大于0的动直线l与C交于P，Q两点，其中Q在第三象限，直线PO与C的另一个交点为R． （ⅰ）若的面积是的面积的6倍，求l的方程； （ⅱ）求的取值范围． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）． 【分析】（1）根据焦点及离心率的定义即可求解； （2）（ⅰ）通过联立直线与双曲线的方程，利用根与系数的关系以及三角形面积公式即可求解；（ⅱ）由于是直线与的夹角，列出的表达式即可求解. 【详解】（1）已知双曲线C：的左焦点为，离心率． 则，，解得，，因此双曲线的方程为． （2）（ⅰ）如图所示，设直线l的方程为，其中斜率， 设点，点，且，根据双曲线的中心对称性可知，点， 联立直线与双曲线方程，得，化简得， 其中. 由根与系数的关系，可得，， 因为Q点在第三象限，所以，所以． 因为R是P关于原点O的对称点，所以O是线段PR的中点， 因此，所以， 由于，所以， ，， 所以，由于，，所以简化为， 代入韦达定理，得，则， 化简得，由于，解得， 所以直线l的方程为，即. （ⅱ）由题意，即为直线QP与直线QR的夹角， 直线QP即直线l，方程为， 点，点，点，直线QP的斜率， 直线QR的斜率， 由于P，Q在直线上，有，， 则，代入， 则， 设直线QP的倾斜角为，直线QR的倾斜角为，则， 因此， 即， 又因为单调递减，所以的取值范围． 【变式3】已知双曲线的左、右顶点分别为，，直线与C的右支交于，两点. (1)求实数的取值范围； (2)若直线，的斜率分别为，，证明：是定值. 【答案】(1) (2)，，，， 由（1）可知，直线与双曲线联立消元可得：， 所以，根据已知条件有： ， 所以是定值. 【分析】（1）设，，直线，联立双曲线方程，得到两根之积小于即可求解； （2）对进行配凑得，代入计算即可. 【详解】（1）设，，直线， 由，消元得：， 整理得：. 因为直线过定点且与双曲线右支有两个交点， 因为在轴上，且在双曲线的内部， 所以有：，，且， 则，解得：. （2）略. 题型19 对抛物线定义的理解及应用 【典例1】已知抛物线的焦点为F，准线l与x轴的交点为B，过抛物线上一点A作准线l的垂线，垂足为H，若为线段的中垂线，且，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】结合题意与中垂线性质得到，并且联立方程得到，再结合两点间距离公式建立方程，求出，进而求解即可. 【详解】如图，作出符合题意的图形，设，，， 若为线段的中垂线，则，而，， 则，而在抛物线上，得到，解得， 得到，解得，则，得到， 而，由两点间距离公式得，解得，故C正确. 【变式1】已知点在抛物线上，焦点为，，经过点的直线交抛物线于，两点. (1)求抛物线的方程； (2)若，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据点在抛物线上以及抛物线的定义列方程组求，即可得抛物线方程； （2）设直线，，，与抛物线方程联立可得韦达定理，结合弦长公式运算求解即可. 【详解】（1）由抛物线方程可知：焦点，准线， 由题意可知：，解得， 所以抛物线的方程为. （2）因为点在抛物线内部，则直线的斜率不为0，且直线与抛物线必相交， 设直线，，， 联立方程，消去y可得， 则，， 可得， 则，解得， 所以直线的方程为或. 【变式2】已知是抛物线：的焦点，直线与抛物线相交于两点，满足，记线段的中点到抛物线的准线的距离为，则的最大值为（    ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】设两焦半径，由抛物线定义将中点到准线距离转化为焦半径和的一半，再求焦点到中点距离的平方，利用基本不等式消元求比值的最大值. 【详解】设，过点分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为， 则，点到抛物线的准线的距离为， 因为， ， 所以， 又因为，所以，当且仅当时等号成立， 所以，故. 所以的最大值为. 【变式3】设抛物线：的焦点为，斜率不为1的直线过点，过点作直线的垂线，垂足为，是抛物线上的一个动点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得点轨迹方程，再由抛物线的定义转化后数形结合求解可得答案. 【详解】抛物线的焦点的坐标为，准线方程为. 直线过定点，且，即. 根据直角三角形的性质可得直角顶点的轨迹是以线段为直径的圆（除外）， 圆心为中点，半径. 根据抛物线的定义可得抛物线上任意动点到焦点的距离等于到准线的距离， 即（为到直线的距离）. . 根据几何性质，对固定的，的最小值是到上述圆心的距离减去半径； 所以， 又的最小值是圆心到准线的距离，圆心到准线的距离为， 因此的最小值为. 题型20 抛物线中距离和差的最值问题 【典例1】已知为抛物线：的焦点，点，若为抛物线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线标准方程以及定义，结合两点之间线段最短，即可求得结果. 【详解】因为抛物线方程为，所以焦点，准线为， 设点到准线的垂线段为，垂足为， 根据抛物线定义得，所以， 根据两点之间线段最短得到，三点共线时等号成立， 且此时，所以，即的最小值为. 【变式1】已知，M为抛物线上一动点，N是圆上一点，则的最小值是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】将转化为，再根据抛物线的定义考虑三点共线时的情况，由此求解出的最小值. 【详解】的焦点为，准线为， 即为， 所以圆心为即为焦点，半径，显然在抛物线内部， 过点作垂直准线，交准线于点，    所以，当且仅当三点共线时取等号， 又当且仅当三点共线时取最小值， 此时最小值为， 所以的最小值为5. 【变式2】已知P为抛物线上任一动点，记点P到y轴的距离为d，对于给出定点，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用抛物线的定义，将d转化为，再由数形结合求解. 【详解】抛物线的焦点是,准线是直线， 当时，，得， 因为，所以点在抛物线外，如图所示， 过P作准线，垂足为,交轴于,则,, 所以. 【变式3】（多选）抛物线的焦点为，直线过点且与抛物线交于，两点，点在第一象限，则（     ） A．抛物线的焦点到准线的距离为4 B．若点的坐标为，则周长的最小值为9 C．当时， D．当变化时，的最小值为8 【答案】ABC 【分析】求出焦点坐标判断A；利用抛物线定义，结合两点间线段最短求解判断B；利用抛物线定义求出倾斜角判断C；联立直线与抛物线方程，利用韦达定理及抛物线定义求出弦长关系判断D. 【详解】对于A，由直线与轴的交点为，得焦点，准线方程为， 因此抛物线的焦点到准线的距离，A正确； 对于B，由点，，过点作准线的垂线，垂足为， 则周长为， 当且仅当共线时取等号，B正确； 对于C，设直线与抛物线的准线交于点，过点作准线的垂线，垂足为， 设，则，由，即， 得，则，因此直线的倾斜角为，斜率，C正确； 对于D，由消去得，设， 显然，，，，D错误. 题型21 与抛物线有关的轨迹问题 【典例1】已知动圆方程（为参数），那么圆心的轨迹是（    ） A．椭圆 B．椭圆的一部分 C．抛物线 D．抛物线的一部分 【答案】D 【详解】圆心轨迹的参数方程为，即， 消去参数得. 【变式1】若动圆M与圆外切，又与直线相切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意得到到的距离与到直线 的距离相等，再利用抛物线的定义即可得解. 【详解】设动圆圆心为，半径为，由已知可得圆C的圆心为，半径. 因为两圆外切，所以. 又动圆M与已知直线相切， 所以圆心M到直线的距离. 所以. 即动点到定点的距离等于它到定直线的距离． 由抛物线的定义可知，点M的轨迹是以C为焦点，为准线的抛物线， 且，， 故动圆圆心M的轨迹方程为. 【变式2】已知坐标平面内一动点P到定点的距离等于到定直线的距离． (1)求动点P的轨迹E的方程； (2)设O为坐标原点，过点的直线m交E于A，B两点，求证：是直角三角形． 【答案】(1) (2)设，分两类情况： 第一种：直线垂直于轴，其方程为， 联立，解得，     此时， 所以，是直角三角形； 第二种：直线不垂直于轴， 设直线，联立得， ， 由韦达定理得， ， 即， 因为， 所以，所以为直角三角形． 【分析】（1）利用抛物线的定义，将动点到定点与定直线距离相等的关系直接转化为抛物线的轨迹方程. （2）分类讨论直线的斜率，通过联立直线与抛物线方程并借助韦达定理得到向量数量积为零，以此证明即可. 【详解】（1）由抛物线定义可知，点轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线， 设的方程为：，则，即， 所以动点的轨迹的方程为. （2）略 【变式3】已知动点P(x，y)满足，则动点P的轨迹是（ ） A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】A 【详解】因为， 得， 即动点到定点的距离等于到定直线的距离， 直线过点， 因为定点在定直线上，且动点到定点的距离等于到定直线的距离， 则轨迹为过点与直线垂直的直线. A正确. 题型22 由抛物线方程研究几何性质 【典例1】若圆与抛物线：（）的准线相切，则抛物线的方程为_________． 【答案】或 【分析】求出抛物线的准线方程，利用直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径的性质列方程求解参数，即可得到抛物线方程. 【详解】圆的圆心为，半径. 抛物线（）的准线方程为. 由题意知，圆心到抛物线准线的距离等于圆的半径，即，化简得， 解得或. 所以抛物线的方程为或. 【变式1】已知点在抛物线C：上，F是C的焦点，． (1)求C的标准方程； (2)若l是C的准线，过点P作直线l的垂线，垂足为M，线段MF交C于点N，且为锐角三角形，，求λ的值及的外接圆半径． 【答案】(1)或； (2)，外接圆的半径为． 【分析】（1）由抛物线焦半径公式得到点坐标，代入抛物线方程即可求解； （2）设准线与轴的交点为，过点作准线的垂线，垂足为，由余弦定理求得，再通过，求得，再由正弦定理求外接圆半径. 【详解】（1）由题意得，解得， 所以点P的坐标为 ， 代入C的方程得 ，解得或， 所以抛物线C的标准方程为或； （2）当抛物线C的方程为时，准线l的方程为， 设准线与x轴的交点为K，过点N作准线l的垂线，垂足为Q， 则， 此时， 所以是锐角且， 又因为，所以为锐角三角形， 因为点N在抛物线上，所以， 所以， 外接圆的半径； 当抛物线C的方程为时，同理可得， 此时， 与为锐角三角形矛盾， 综上，，外接圆的半径为． 【变式2】已知抛物线经过点，其焦点为，过点的直线交于M，N两点． (1)求的方程； (2)若的斜率为1，分别求在点M，N处的切线方程； (3)直线上是否存在定点，使得DB平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)存在定点 【分析】（1）将的坐标代入方程，求即可； （2）由条件结合点斜式确定的方程，联立方程组求出的坐标，结合导数的几何意义求切线方程； （3）设的方程为，，，联立方程组，求得，当时，可得对应的点的坐标，再验证该点对任意均满足关系DB平分即可. 【详解】（1）解：因为抛物线经过点，可得， 所以的方程为． （2）解：当直线的斜率为1时，可得直线的方程为，即， 联立方程组，解得或，即， 由，得，所以点处的切线的斜率为2， 则在点处的切线方程为，即， 所以点处的切线的斜率为，则在点处的切线方程为，即， 所以在点处的切线方程为， 综上可得，在点和处的切线方程分别为和. （3）解：由题可知的斜率存在，设，即，且， 联立方程组，整理得， 则且， 当时，，此时点为线段的中点， 过点作的垂线，其方程为， 与直线的交点即为，满足平分， 下面证明点满足题意： 当直线的斜率不存在时，， 此时，则，直线的斜率为， 可得，所以平分， 根据对称性，当直线DN的斜率为0时，直线DM的斜率不存在， 同理可得平分； 当直线的斜率存在且不为时，， 设直线，直线， 点到直线，的距离分别为， 又 成立， 所以， 所以平分． 综上，直线上存在定点，使得平分． 【变式3】已知为抛物线的焦点，点在上，且满足． (1)求点的坐标及的方程； (2)设过点的直线与相交于两点，且不过点，若直线分别交的准线于两点，证明：以线段为直径的圆恒过定点． 【答案】(1)； (2)证明：由对称性可知：以线段为直径的圆所过定点在轴上. 设直线l的方程为，代入，得， 设点，，则， 因为，所以， 得到直线的方程为，令，得， 所以点，同理，点， 设以线段为直径的圆与轴的交点为， 则，， 因为，所以，即， 则， 解得或，故以线段为直径的圆所过定点为和. 【分析】（1）设点，点，根据向量表示点坐标，代入抛物线方程可得的取值，从而求出点坐标以及抛物线方程； （2）设直线的方程，联立直线与抛物线的准线方程求出两点的坐标，再由对称性可知定点在轴上，可设定点，由于线段为圆的直径，则，坐标运算求出的值． 【详解】（1）设点，点，则有， 则，因为点在上，所以， 解得或（舍），即， 所以点的坐标为，抛物线的方程为． （2）略． 题型23 求抛物线的标准方程 【典例1】抛物线经过点，其标准方程为_______. 【答案】或 【分析】根据抛物线过的点坐标，分类讨论利用待定系数法求解即可. 【详解】因为点在第三象限， 所以设所求抛物线的标准方程为或． 若抛物线的标准方程为， 则由，解得； 若抛物线的标准方程为， 则由，解得. 故所求抛物线的标准方程为或. 【变式1】抛物线的焦点为直线与坐标轴的交点．其标准方程为_______. 【答案】或 【分析】利用直线与坐标轴交点求出抛物线的焦点，再利用焦点求出抛物线方程. 【详解】对于直线方程， 令，得；令，得， 所以抛物线的焦点为或． 当焦点为时，，所以， 此时抛物线的标准方程为； 当焦点为时，，所以， 此时抛物线的标准方程为. 故所求抛物线的标准方程为或. 【变式2】已知抛物线：和：均经过点，则抛物线的焦点与原点组成三角形的面积=____. 【答案】 【详解】依题意，，解得， 则抛物线的焦点，抛物线的焦点， 所以的面积. 【变式3】若抛物线的焦点关于准线的对称点为，则的标准方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，准线为，关于的对称点为， 故，解得，故的标准方程为. 题型24 直线与抛物线的综合问题 【典例1】（多选）已知抛物线的焦点为，过点的动直线与交于，（）两点，记线段的中点为，直线的斜率为，则下列说法正确的有（    ） A．点的轨迹方程为（，） B．若，则 C．若直线的倾斜角为，且，则 D．当时，的面积为 【答案】ABD 【分析】设直线方程为，与抛物线联立方程，由韦达定理可得，对于A，利用中点公式化简即可判断，对于B，利用焦半径公式结合韦达定理化简即可求解；对于C，根据条件可得，或，从而可得的值，利用弦长公式求解即可；对于D，利用点到直线的距离以及弦长公式即可求解. 【详解】设过点的直线方程为，其中 联立，消去可得:， 由韦达定理可得：， 设线段的中点， 所以, 所以，化简得：， 因为，则， 由，解得：， 所以点的轨迹方程为（，），故A正确； 对于B，由于， 解得：，所以，故B正确； 对于C，由于， 由于，所以为锐角， 故，或， 当时，，则， 所以， 当时，，则， 所以， 所以，故C错误； 对于D，由于，当时，，此时直线方程为：， 所以点到直线得距离， 由于， 所以，的面积为，故D正确. 【变式1】已知抛物线，直线与抛物线相切，切点为．过点作直线的垂线，点在直线上（异于点），以点为圆心，为半径作圆与抛物线交于，两点． (1)求直线的方程； (2)已知直线与相交，记直线的斜率为，直线的斜率为，则 ①判断直线的斜率是否为定值，并说明理由． ②判断是否为定值，并说明理由． 【答案】(1) (2)①设直线的方程为，直线与直线交于点，设，， 则， ， ， 联立， 得， ； ， 联立，得， 代入上式得：， ， 则有， （舍去）， 所以直线的斜率为定值． ②依题意，， 则， 由①知直线的方程为与抛物线的方程联立得， 所以，代入上式得， 故为定值． 【分析】（1）先把点代入抛物线方程求出，再设过点的直线方程，此直线方程和抛物线联立方程组，利用相切得到判别式为零求出切线方程. （2）①依题意，直线的斜率存在，故设直线的方程为，直线与直线交于点，设，，通过联立方程组，结合判别式和韦达定理求出直线的斜率为定值．②求出，，计算即可得到结论. 【详解】（1）将点代入抛物线方程，得，解得， 所以抛物线的方程为． 设直线的方程为，与抛物线的方程联立得， 所以，即，得， 所以直线的方程为. （2）（i）略 （ii）略 【变式2】已知抛物线的焦点为，准线为．过点作直线交于，两点，分别过，作的切线，两切线交于点．若，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设过，点的切线方程，分别与抛物线联立，求得切线方程，将切线方程联立，可求得．又，，即可求得直线的斜率的取值范围. 【详解】设直线的斜率为． 设过点的切线的斜率为，方程为． 联立，消去得． 由，得． 所以直线的方程为，化简得直线的方程为． 同理可得直线的方程为． 联立，解得. 又，且，代入上式化简得，即． 由于抛物线的焦点，所以． 因为，所以，解得或． 所以直线的斜率的取值范围是． 【变式3】已知抛物线：的焦点坐标为，点，过点作直线交抛物线于，两点，过，分别作抛物线的切线，设两条切线交点为，且两切线分别交轴于，两点，则面积的最小值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线的性质求出抛物线方程，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理和导数的几何意义求出点坐标，利用三角形面积公式求出面积表达式，进而求最小值． 【详解】抛物线：的焦点坐标为，已知焦点坐标为， 则，解得，故抛物线方程为， 显然当直线的斜率不存在时不合题意，故可设过点的直线方程为，， 联立得， 由韦达定理，判别式，直线与抛物线恒有2个交点， 对抛物线求导得，则过的切线方程为， 令得切线与轴交点，同理， 故， 联立切线方程得，即，则到轴的距离为， ， 当时取最小值，． 1．已知，双曲线的左焦点为是双曲线的右支上的动点，则的最大值是（    ） A． B．2 C．3 D．1 【答案】D 【分析】由双曲线的定义得，由三角不等式得出，即可求解． 【详解】如图，设双曲线的右焦点为，连接，则， 因为， 而，所以， 当三点共线且在之间时等号成立，故的最大值是1． 故选：D． 2．曲线与的交点是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】联立方程直接求解可得. 【详解】直接联立方程，消去得， 解得或（舍去）， 所以或，即两曲线的交点为和. 故选：D 3．已知点在曲线上，则实数（    ） A． B．或2 C．或3 D．或 【答案】C 【分析】将点坐标代入曲线方程求解即可. 【详解】因为点在曲线上， 所以， 即，解得或． 故选：C 4．某飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员安全救出，地面指挥中心在返回舱预计到达区域安排了三个救援中心（记为A，B，C），A在B的正东方向，相距6km；C在B的北偏西30°方向，相距4km；P为航天员的着陆点.某一时刻，A接收到P的求救信号，由于B，C两地比A距离P远，4s后B，C两个救援中心才同时接收到这一信号.已知该信号的传播速度为，则在A处测得P的方向角为（    ） A．北偏西60° B．北偏东60° C．北偏东30° D．北偏西30° 【答案】C 【分析】分析可知，在以、为焦点的双曲线的右支上，建立平面直角坐标系，求出双曲线方程，将线段的垂直平分线方程与双曲线的方程联立，求出点的坐标，可求出直线的斜率及倾斜角，即可得出结论. 【详解】如图，以线段AB的中点O为坐标原点，AB的垂直平分线为y轴，正东方向为x轴的正方向， 建立如图所示的平面直角坐标系. 因为B，C同时接收到信号，所以， 则点P在线段BC的垂直平分线上. 因为B，C比A同时晚4s收到信号，且信号的传播速度为， 所以有， 从而P在以A，B为焦点的双曲线的右支上. 由题意得，，， 设双曲线方程为，则，， 所以，所以双曲线的方程为. 线段BC的中点为，且， 所以线段BC的垂直平分线的方程为，即. 联立，解得，即点， 从而，所以直线PA的倾斜角为60°， 则在A处测得P的方向角为北偏东30°. 故选：C. 5．已知曲线过抛物线的焦点，则C的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用抛物线的特点知抛物线的焦点在轴上，曲线过x轴上的定点，即可得抛物线的准线方程. 【详解】由题意可知曲线过x轴上的定点，即为C的焦点，故C的准线方程为． 故选：C 6．已知，是椭圆的两个焦点，P为C上一点，且的内切圆半径为1，若P在第一象限，则P点的纵坐标为（    ）． A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】不妨令，分别为椭圆C的左、右焦点，设的内切圆半径为r，根据可得答案． 【详解】如图，不妨令，分别为椭圆C的左、右焦点， 由，得，， ，， 所以． 设的内切圆半径为r， 因为， 所以，得．    故选：B. 7．直线是双曲线的一条渐近线，则（    ） A．1 B．4 C．16 D．18 【答案】D 【分析】根据渐近线的求法可直接求解. 【详解】令双曲线方程等号右侧的1变为0，可得双曲线的渐近线方程为， 又直线是双曲线的一条渐近线，所以，解得． 故选：D. 8．直线与双曲线的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．1或2 【答案】C 【分析】方法一：将直线方程与双曲线方程联立即可求得交点个数；方法二：将直线与渐近线的斜率比较进行判断. 【详解】方法一：由 可得，， 所以直线与双曲线有2个交点． 方法二：双曲线的渐近线为， 易知直线过双曲线的左顶点，且斜率为， 所以直线与双曲线有2个交点． 故选：C 9．已知直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，则线段的中点到准线的距离为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】先求出抛物线方程为：，再与直线联立，由根与系数的关系进行求解． 【详解】直线与轴的交点为， 又经过的焦点，故焦点，可得， 即抛物线：，准线为． 由， 可得，则， 所以，线段中点的横坐标为3， 则线段的中点到准线的距离为． 故选：B 10．已知坐标满足方程的点都在曲线上，则下列结论不正确的是（    ） A．所表示的曲线是 B．曲线上的点的坐标都适合方程 C．不在上的点的坐标必不适合方程 D．不适合的点都不在上 【答案】ABD 【分析】举例判断ABD,利用反证法可判断C. 【详解】根据题意可以令方程为，曲线为单位圆， 可知方程表示的曲线为曲线的一部分，不正确. 假设命题“不在上的点的坐标必不适合方程”为假命题， 则存在不在上的点，其坐标满足方程， 由题干可知“坐标满足方程的点都在曲线上” 即点在曲线上，与假设矛盾，故假设不成立， 即命题“不在上的点的坐标必不适合方程”为真命题，C正确. 故选：ABD. 11．已知曲线上的动点到点的距离比其到直线的距离小1，过点的直线交曲线于A，B两点，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为4 B．设，则周长的最小值为4 C．以为直径的圆与直线相切 D．若，则直线的斜率为或 【答案】ACD 【分析】利用抛物线的焦点弦性质判断A，利用抛物线的定义转化法求解判断BC，设，，设直线方程为，利用韦达定理求解判断D. 【详解】列表解析如下： 选项 正误 原因 A √ 依题意，曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线，设其方程为，则，曲线的方程为．因为为过焦点的弦长，所以的最小值为通径长，又通径长为，故的最小值为4. B × 如图，不妨设点A在点的上方，过点A作准线的垂线，垂足为，交轴于点，根据抛物线的定义可得，所以的周长为．由图可知，当A，E与点等高时，有最小值，最小值为到准线的距离，其值为，所以，即周长的最小值是． C √ 由A知，直线是抛物线的准线．如B中图，点A在点上方时，取AB的中点为，过点作准线的垂线，垂足为，过作准线的垂线，垂足为．则，是梯形的中位线，由抛物线的定义可得，，所以，所以以AB为直径的圆与直线相切．同理，点A在点下方时，也可证得以AB为直径的圆与直线相切． D √ 设，，因为，所以，易知直线AB的斜率不为0，设其方程为，与抛物线联立，消去得，易知，，，与联立可得，，则，解得，，所以直线AB的斜率． 故选：ACD. 12．设抛物线的焦点为为上一动点，为定点，则下列结论正确的是（    ） A．准线方程是 B．的最小值为4 C．的最大值为5 D．以线段为直径的圆与轴相切 【答案】ABD 【分析】根据抛物线方程写出准线判断A，根据抛物线定义及三角形三边长关系判断B、C，写出的中点坐标，根据其横坐标与关系即可判断D. 【详解】A（√）由抛物线，知其焦点为，准线方程为． B（√）如图所示，过作准线于点，则， 故， 当且仅当，，共线时（即图中），最小， 最小值为到准线的距离4.    C（×）由，当且仅当共线时取等号，故的最大值为． D（√）由，知的中点坐标为，而，故，所以以线段为直径的圆与轴相切． 故选：ABD 13．设A，B两点的坐标分别为，直线AM，BM相交于点，且它们的斜率之积为，则下列说法正确的是（    ） A．的轨迹方程为 B．的轨迹与椭圆共焦点 C．的轨迹的渐近线与圆相离 D．过能作4条直线与的轨迹有且只有一个公共点 【答案】BC 【分析】对A，设点，根据条件列式求出轨迹方程可判断；对B，由点的轨迹方程求出焦点坐标可判断；对C，点的轨迹方程求出渐近线，法一：利用几何法求得圆心到直线的距离可判断，法二：由代数法，将直线方程代入圆的方程得到的方程，利用判别式可判断；对D，点在轴上，过点的直线与点的轨迹只有一个公共点，只有两条切线，其中与渐近线平行的直线过点不合题意. 【详解】直观解题 选项 正误 原因 A × 设点，则， 所以，化简得， 所以点的轨迹方程为． B √ 由A选项，知点的轨迹的焦点为， 与椭圆共焦点． C √ 法一：点的轨迹对应曲线的渐近线为， 圆的圆心到渐近线的距离． 又圆的半径为， 所以渐近线与圆相离； 法二：将代入圆的方程，可得， 整理得，所以， 所以方程无解，故渐近线与圆相离． D × 点在轴上，，则， 所以直线AN，NB与渐近线平行，但点A，B不在点的轨迹上， 故过点只能作点轨迹的两条切线，如图所示， 故过只能作2条直线与的轨迹有且只有一个公共点． 故选：BC. 14．已知椭圆的一个顶点为，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆相交于两点，若直线与直线的斜率之积为，判断直线是否过定点，若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，说明理由． 【答案】(1) (2)过定点 【分析】（1）根据椭圆顶点坐标以及离心率列方程求解即可； （2）分情况讨论直线斜率是否存在并设出直线的方程并于椭圆方程联立，利用韦达定理并根据斜率之间的关系列方程计算得出或，可求出直线过定点. 【详解】（1）由顶点为可知， 又离心率为，即，可得， 因此， 所以椭圆的方程为. （2）当直线的斜率存在时，设直线：，，如下图所示： 联立，整理可得， 显然，即，可得； 且， 则直线与直线的斜率分别为； 即可得 ， 所以可得，所以； 解得或； 当时，直线为，此时直线恒过点， 当时直线为，恒过，与点重合，不合题意； 当直线的斜率不存在时，设直线方程为， 代入椭圆方程可得， 不妨取， 则， 解得，即直线为，恒过点， 当时，直线过点，不合题意； 综上可知，直线过定点. 15．若一个椭圆的焦距为质数，且离心率的倒数也为质数，则称这样的椭圆为“质朴椭圆”． (1)证明：椭圆为“质朴椭圆”． (2)是否存在实数，使得椭圆为“质朴椭圆”？若存在，求的值；若不存在，说明理由． (3)设斜率为2的直线经过椭圆的右焦点，且与交于两点，，试问是否为“质朴椭圆”，并说明理由． 【答案】(1) 证明：椭圆，则， 所以焦距为，离心率，即， 所以该椭圆的焦距为质数，离心率的倒数也为质数，即该椭圆为“质朴椭圆”． (2)不存在实数，理由为： 椭圆的焦距为，离心率， 若存在实数，使得椭圆为“质朴椭圆”， 则均为质数， 又，所以， 即，则，这些数都不是质数， 所以不存在实数，使得椭圆为“质朴椭圆”． (3)为“质朴椭圆”，理由： 设的右焦点为，则直线的方程为， 设，联立得 得， 则， ， 解得，则的焦距为为质数， 离心率，其倒数为质数， 所以为“质朴椭圆”． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $