第三章圆锥曲线的方程暑假单元测试-2026年新高二数学暑假衔接进阶讲义（人教A版2019）

该高中数学圆锥曲线单元复习讲义通过知识框架图系统梳理椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程及几何性质，用对比表格呈现三种曲线的离心率、焦点、渐近线等核心要素，构建从基础概念到拓展应用（如蒙日圆）的知识脉络，突出内在逻辑联系。 讲义亮点在于分层练习设计，基础题（如椭圆定义条件判断）巩固概念，综合题（如圆锥截面离心率计算）培养数学眼光，解答题（如抛物线定点证明）发展数学思维。不同层次题目满足学生需求，助力自主复习，为教师精准教学提供有效依据。

第三章圆锥曲线的方程暑假单元测试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，则“”是“曲线表示椭圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线，则的方程为（    ） A． B． C． D． 3．双曲线的焦点到渐近线的距离为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 4．点在抛物线上，为的焦点，轴，过且与轴平行的直线与的准线交于点的面积2，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．已知双曲线：，其一条渐近线被圆截得的弦长为（   ） A．1 B．2 C． D． 6．可以采用平面切割圆锥面的方法来研究圆锥曲线，如图1，设圆锥轴截面的顶角为2，用一个平面去截该圆锥面，随着圆锥的轴和所成角的变化，截得的曲线的形状也不同．据研究，曲线的离心率为，比如，当时，e＝1，此时截得的曲线是抛物线．如图2，在底面半径为2，高为2的圆锥SO中，AB、CD是底面圆O上互相垂直的直径，截面截圆锥所得的截面ABE与底面夹角为60°，则平面ABE截该圆锥面所得的曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 7．已知双曲线的右焦点为F，P为双曲线右支上一动点，，则的最小值为（     ） A． B． C．5 D．10 8．“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆任意两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为椭圆的蒙日圆．若椭圆的方程为，则椭圆的蒙日圆的方程为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法中不正确的是（   ） A．平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线 B．平面内与两个定点和的距离之和等于2的点的轨迹是椭圆 C．平面内与两个定点和的距离之差等于的点的轨迹是双曲线 D．平面内与两个定点和的距离之比等于2的点的轨迹是圆 10．已知椭圆的两个焦点分别为，是上任意一点，则（    ） A．椭圆的离心率为 B．的周长为10 C．的最小值为3 D．椭圆的离心率越大形状越扁平 11．已知是抛物线的焦点，是C的准线，是l与坐标轴的交点，是C上的动点，则下列说法正确的是（    ） A． B．若点的横坐标是点的横坐标的2倍，则 C．的最小值为4 D．若点的坐标为，则的最小值为6 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知双曲线（，）的一条渐近线与直线平行，且双曲线的焦距为，则双曲线的方程为______． 13．在中，，点在以为焦点的椭圆上，则该椭圆的短轴长为______. 14．已知椭圆的左、右焦点分别为上的点与的上、下顶点连线的斜率之积为．过点的直线与交于P，Q两点（均异于左、右顶点），若，则_____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，是C上一点. (1)求C的方程； (2)已知斜率为1的直线l与C交于M，N两点，若，求l的方程. 16．（15分） 已知抛物线过点，且点到其准线的距离为4． (1)求抛物线的方程； (2)设直线与抛物线交于异于原点的P、Q两点，求的面积． 17．（15分） 已知双曲线C：（），焦距为，点，分别为双曲线的左右焦点． (1)求双曲线C的标准方程与渐近线方程； (2)过点作斜率为k的直线l，与双曲线C交于M，N两点，是否存在实数k使得？若存在，请求出k的值；若不存在说明理由； (3)点Q为双曲线右支上的动点，求的最小值． 18．（17分） 已知双曲线：的离心率为，左､右顶点分别为，，右焦点到其中一条渐近线的距离为．过的直线与双曲线交于，两点，直线，交于点，直线，交于点，设点为中点． (1)求双曲线的标准方程； (2)求直线的方程； (3)试证明为定值 19．（17分） 已知抛物线：，是坐标原点，是焦点，，是抛物线上异于原点的两个不同点． (1)若点到焦点的距离等于9，求点的坐标； (2)若，求证：直线过定点，并求出该定点坐标； (3)若过点且不与轴垂直的直线与抛物线交于，两点，点在轴上方，设点为轴上异于点的点，且满足，延长交抛物线于点．记直线和的倾斜角分别为，，求的最小值． 第4页，共4页 第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章圆锥曲线的方程暑假单元测试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，则“”是“曲线表示椭圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】若方程表示椭圆，则，解得且， 所以“”是“曲线表示椭圆”的必要不充分条件. 2．已知双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线， 所以设双曲线方程为，将代入，可得，则， 所求双曲线的标准方程是． 3．双曲线的焦点到渐近线的距离为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【解析】双曲线， 由对称性，不妨取右焦点，其中一条渐近线方程为，即， 则焦点到渐近线的距离． 4．点在抛物线上，为的焦点，轴，过且与轴平行的直线与的准线交于点的面积2，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】 由抛物线的定义可得， 所以. 5．已知双曲线：，其一条渐近线被圆截得的弦长为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【解析】双曲线：的渐近线方程为， 圆，圆心，半径， 因为双曲线与圆都关于轴对称， 故取其中一条渐近线， 圆心到的距离， 故所求的弦长为. 6．可以采用平面切割圆锥面的方法来研究圆锥曲线，如图1，设圆锥轴截面的顶角为2，用一个平面去截该圆锥面，随着圆锥的轴和所成角的变化，截得的曲线的形状也不同．据研究，曲线的离心率为，比如，当时，e＝1，此时截得的曲线是抛物线．如图2，在底面半径为2，高为2的圆锥SO中，AB、CD是底面圆O上互相垂直的直径，截面截圆锥所得的截面ABE与底面夹角为60°，则平面ABE截该圆锥面所得的曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可得，，，则离心率为. 7．已知双曲线的右焦点为F，P为双曲线右支上一动点，，则的最小值为（     ） A． B． C．5 D．10 【答案】B 【解析】设双曲线的左焦点为，则，所以，. 则由题意可得，，即. 所以， 当且仅当三点共线时，等号成立. 即的最小值为. 8．“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆任意两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为椭圆的蒙日圆．若椭圆的方程为，则椭圆的蒙日圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设为椭圆上两条互相垂直的切线的交点， 若两条切线斜率都存在，设为、，则， 过的切线方程可设为， 联立，则， ，化简得， 由切线过点，则，故， 即有，整理得， 则关于的方程有两根、，满足， 即有，即点的轨迹为； 若两条切线中有一条斜率不存在，则另一条斜率为， 则，，此时满足； 综上可得：椭圆的蒙日圆的方程为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法中不正确的是（   ） A．平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线 B．平面内与两个定点和的距离之和等于2的点的轨迹是椭圆 C．平面内与两个定点和的距离之差等于的点的轨迹是双曲线 D．平面内与两个定点和的距离之比等于2的点的轨迹是圆 【答案】ABC 【解析】对于A，当定点在直线上时，轨迹为过且与垂直的直线，故A错误； 对于B，平面内与两个定点和的距离之和等于2的点的轨迹是线段，故B错误； 对于C，平面内与两个定点和的距离之差等于的点的轨迹是双曲线的一支，不是双曲线，故C错误； 对于D，设所求点为，则，即， 则，化简可得，轨迹是圆，故D正确. 故选：ABC 10．已知椭圆的两个焦点分别为，是上任意一点，则（    ） A．椭圆的离心率为 B．的周长为10 C．的最小值为3 D．椭圆的离心率越大形状越扁平 【答案】AD 【解析】椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距， 对于A，椭圆的离心率，故A正确； 对于B，的周长为，故B错误； 对于C，的最小值为，故C错误； 对于D，当一定时，椭圆的离心率越大，则越大，越小，椭圆形状越扁平，故D正确． 故选：AD． 11．已知是抛物线的焦点，是C的准线，是l与坐标轴的交点，是C上的动点，则下列说法正确的是（    ） A． B．若点的横坐标是点的横坐标的2倍，则 C．的最小值为4 D．若点的坐标为，则的最小值为6 【答案】ABD 【解析】对于A，由，可得，解得，A正确； 对于B，因为，所以，则，故，B正确； 对于C，因为，，所以的最小值为2，C错误； 对于D，等于点到的距离，的最小值为点到的距离，且点到的距离为，D正确． 故选：ABD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知双曲线（，）的一条渐近线与直线平行，且双曲线的焦距为，则双曲线的方程为______． 【答案】 【解析】双曲线的一条渐近线与直线平行，，得. 又双曲线的焦距为，，得. 又，可得. 故双曲线的方程为. 13．在中，，点在以为焦点的椭圆上，则该椭圆的短轴长为______. 【答案】 【解析】 根据题意可知，在如图所示中， 对于椭圆上的点，有，代入，得半长轴， 椭圆的焦距为，代入，得半焦距， 由于椭圆中半长轴、半短轴与半焦距之间满足关系式， 代入，得半短轴长，因此短轴长为. 14．已知椭圆的左、右焦点分别为上的点与的上、下顶点连线的斜率之积为．过点的直线与交于P，Q两点（均异于左、右顶点），若，则_____________. 【答案】/ 【解析】设，上下顶点坐标分别为和，所以，得， 因为在椭圆上，所以，整理得， 所以，化简得，离心率； 设，则，，因为，所以，则，整理为，得，所以，中，根据余弦定理. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，是C上一点. (1)求C的方程； (2)已知斜率为1的直线l与C交于M，N两点，若，求l的方程. 【解析】（1）由题可知解得a＝2，， 所以C的方程为. （2）设直线l：y＝x＋m，. 由得，则， ， 解得，所以l的方程为. 16．（15分） 已知抛物线过点，且点到其准线的距离为4． (1)求抛物线的方程； (2)设直线与抛物线交于异于原点的P、Q两点，求的面积． 【解析】（1）根据题意知抛物线过点， 所以抛物线准线方程为，且点A到其准线的距离为4， 所以，即，所以抛物线的方程为； （2）由得，， 设，为直线与轴交点，则，， 所以． 17．（15分） 已知双曲线C：（），焦距为，点，分别为双曲线的左右焦点． (1)求双曲线C的标准方程与渐近线方程； (2)过点作斜率为k的直线l，与双曲线C交于M，N两点，是否存在实数k使得？若存在，请求出k的值；若不存在说明理由； (3)点Q为双曲线右支上的动点，求的最小值． 【解析】（1）由双曲线的焦距为，则， 即双曲线C：，则渐近线方程为； （2）不存在，理由如下： 由题意可得直线的方程为，设、， 联立，消去可得， 则，且， 若，则，即有， 即，则该方程无解，故不存在这样的； （3）由双曲线定义可得，则， 由，故. 18．（17分） 已知双曲线：的离心率为，左､右顶点分别为，，右焦点到其中一条渐近线的距离为．过的直线与双曲线交于，两点，直线，交于点，直线，交于点，设点为中点． (1)求双曲线的标准方程； (2)求直线的方程； (3)试证明为定值 【解析】（1）易知双曲线：的渐近线方程为，右焦点为， 由题意知， 解得，，， 所以双曲线的标准方程为. （2）由（1）知，，，， 由题可设过的直线方程为，，， 联立，消整理得， 则，，， 又直线方程为，直线方程为， 联立解得 ，即点的横坐标为， 同理可得，点的横坐标为． 所以直线的方程为． （3）由（2）知，，，则． 将代入直线方程中，可得， 同理可得， 所以 ，即， ， ， 所以， 而， 所以． 19．（17分） 已知抛物线：，是坐标原点，是焦点，，是抛物线上异于原点的两个不同点． (1)若点到焦点的距离等于9，求点的坐标； (2)若，求证：直线过定点，并求出该定点坐标； (3)若过点且不与轴垂直的直线与抛物线交于，两点，点在轴上方，设点为轴上异于点的点，且满足，延长交抛物线于点．记直线和的倾斜角分别为，，求的最小值． 【解析】（1）抛物线 中，，得 ，焦点 ，准线 ， 设 ，由抛物线定义：点 到焦点 的距离等于到准线的距离，即，解得， 代入抛物线方程得 ，解得， 故点 的坐标为或 . （2）证明：设 ，满足 ，由 得：，又， 所以，整理得，解得， 设直线 ，联立 得 ， 由韦达定理 ，结合 得 ， 故直线方程为，恒过定点 . （3）设过的直线，，， 联立得 ，由韦达定理：，所以， 设，由，，平方得， 代入，整理得（），所以即， 所以，所以直线， 联立，得，整理得， 所以，解得的纵坐标 ， 因为， 所以，因为， 所以 当且仅当 时取等号，故 的最小值为 . 第2页，共14页 第3页，共14页 学科网（北京）股份有限公司 $