第三章 圆锥曲线的方程 章末综合提升-【金版新学案】2025-2026学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版）

本讲义聚焦圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质及直线与圆锥曲线的位置关系，构建“定义应用-方程求解-性质分析-综合探究”的学习支架，从基础定义判断轨迹（如椭圆、双曲线定义辨析）到方程求解（待定系数法、相关点法），再到几何性质（离心率、渐近线）及综合问题（弦长、定点证明），形成完整知识脉络。 资料亮点在于融合高考真题与分层训练，注重数学思维与数学语言培养。例如探究点一通过多选辨析轨迹类型（如双曲线一支与射线的区别），培养用数学眼光观察问题本质；证明问题中用坐标法转化几何条件（如点关于x轴对称的代数表达），提升数学语言表达能力。课中辅助教师分层教学，课后检测卷助力学生查漏补缺，强化知识应用。

章末综合提升 探究点一　圆锥曲线的定义与应用 (1)(多选)已知平面上点A，B，动点M，以下叙述正确的是(　　) A.若｜MA｜2－｜MB｜2＝3，则M的轨迹是一条直线 B.若－＝4，则M的轨迹是双曲线的一支 C.若＝k(k为正常数，且k≠1)，则M的轨迹一定是圆 D.若＋＝8，则M的轨迹是椭圆 (2)已知平面内两点F1(－1，2)，F2(3，5)，且动点M满足｜MF1｜－｜MF2｜＝5，则M的轨迹为　　　　. 答案：(1)ACD　(2)一条射线 解析：(1)对于A，根据题意可得＋y2－＝3，整理可得x＝， 故M的轨迹是一条直线，故A正确；对于B，－＝4＝，故点M的轨迹是一条射线，不满足双曲线定义，故B错误；对于C，＝k(k≠1，k＞0)，即＋y2＝k2，整理可得＋y2＝，其表示圆心为，半径为的圆，故C正确；对于D，＋＝8＞，故其轨迹是以A，B为焦点，且长轴长为8的椭圆，故D正确.故选ACD. (2)由｜F1F2｜＝＝5，｜MF1｜－｜MF2｜＝｜F1F2｜.又｜MF1｜＞｜MF2｜，故M的轨迹为一条射线. 1.涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时，常用定义结合图形解题. 2.求抛物线的最值问题时，常利用定义把抛物线上一点到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形解题. 对点练1.(1)(2021·新高考Ⅰ卷)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1的两个焦点，点M在C上，则｜MF1｜·｜MF2｜的最大值为(　　) A.13 B.12 C.9 D.6 (2)已知动圆C与圆C1：(x－3)2＋y2＝4，圆C2：(x＋3)2＋y2＝4中的一个外切、一个内切，则动圆圆心C的轨迹方程为　　　　　　. 答案：(1)C　(2)－＝1 解析：(1)由椭圆C：＋＝1，得｜MF1｜＋｜MF2｜＝2×3＝6，则｜MF1｜·｜MF2｜≤()2＝32＝9，当且仅当｜MF1｜＝｜MF2｜＝3时等号成立.故选C. (2)设动圆圆心C的坐标为(x，y)，半径为r，由圆C1：(x－3)2＋y2＝4，可得圆心C1(3，0)，半径r1＝2，由圆C2：(x＋3)2＋y2＝4，可得圆心C2(－3，0)，半径r2＝2.根据题意，可得－＝4或－＝－4，可得＝4，又因为＝6，可得＝4＜＝6.根据双曲线的定义，可得点C的轨迹为以C1，C2为焦点的双曲线，且2a＝4，2c＝6，所以a＝2，c＝3，则b＝＝，所以动圆圆心C的轨迹方程为－＝1. 探究点二　圆锥曲线的标准方程 (1)已知抛物线y2＝8x的准线过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为　　　　　　　　. (2)在圆x2＋y2＝4上任取一点P，设点P在x轴上的正投影为点D.当点P在圆上运动时，动点M满足＝2，动点M形成的轨迹为曲线C.求曲线C的方程. 答案：(1)x2－＝1 解析：(1)由题意得则b2＝c2－a2＝3，因此双曲线的方程为x2－＝1. (2)法一：由＝2，知点M为线段PD的中点，设点M的坐标为(x，y)， 则点P的坐标为(x，2y). 因为点P在圆x2＋y2＝4上， 所以x2＋(2y)2＝4， 所以曲线C的方程为＋y2＝1. 法二：设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)，则D(x0，0)，由＝2，得x0＝x，y0＝2y， 因为点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝4上， 所以＋＝4，(*) 把x0＝x，y0＝2y代入(*)式，得x2＋4y2＝4， 所以曲线C的方程为＋y2＝1. 学生用书⬇第145页 求圆锥曲线方程的步骤 第一步(定位)：指的是圆锥曲线的焦点位置与对称轴的位置.根据“位”设方程的形式，例如焦点在x轴上的椭圆可设为＋＝1(a＞b＞0)，焦点在y轴上的椭圆可设为＋＝1(a＞b＞0)，焦点不确定在哪个坐标轴上就设mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0)； 第二步(定量)：由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系，通过解方程组得到量的大小. 对点练2.(1)设双曲线C：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点.以F1F2为直径的圆与双曲线的右支交于P点，且以OF2为直径的圆与直线PF1相切，若＝8，双曲线C与抛物线y2＝2px有共同的焦点F2，则抛物线的标准方程为(　　) A.y2＝12x B.y2＝12x C.y2＝6x D.y2＝6x (2)若双曲线C与－y2＝1有共同的渐近线，且与椭圆＋＝1有相同的焦点，则该双曲线C的方程为　　　　　　　. 答案：(1)A　(2)－＝1 解析： (1)由题意知，PF1⊥PF2，设以OF2为直径的圆与直线PF1相切于点N，圆心为M，如图所示，则MN⊥PF1，因此Rt△PF1F2∽Rt△NF1M，所以＝.设双曲线的焦距为2c，则＝，解得＝.由勾股定理可得＝＝＝，于是＝8，c＝3.又因为双曲线C与抛物线y2＝2px有共同的焦点F2，则＝3，所以2p＝12，即抛物线方程为y2＝12x.故选A. (2)由方程－y2＝1，得其渐近线方程为y＝±x，由椭圆＋＝1，得其焦点为.由题意可知，双曲线C的标准方程可设为－＝1，则则双曲线C的标准方程为－＝1. 探究点三　圆锥曲线的几何性质 (1)与双曲线 － ＝1有公共渐近线，且过点(2，2)的双曲线的标准方程为　　　　　　　　. (2)已知椭圆 ＋ ＝1(a＞b＞0)的右焦点F与抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点重合，M是两条曲线的公共点，｜MF｜＝ p，则椭圆的离心率为　　　　　　　. 答案：(1) － ＝1　(2) 解析：(1)设所求的双曲线方程为 － ＝λ(λ≠0).因为双曲线过点(2，2)，所以 － ＝λ，解得λ＝－，所以 － ＝－，化为标准方程得 － ＝1，即 － ＝1. (2)由题意知，椭圆的右焦点F(c，0)，抛物线的焦点为(，0)，则c＝，即p＝2c，所以抛物线方程为y2＝4cx.根据对称性，不妨设M(，y)，y＞0，又｜MF｜＝p，由抛物线的定义，得 ＋ ＝p，得y2＝ p·4c＝ c2，即M( c， c).代入椭圆方程，得 ＋ ＝1，结合a2＝b2＋c2，整理得9a4－37a2c2＋4c4＝0，由e＝，得4e4－37e2＋9＝0，解得e2＝9或e2＝.又0＜e＜1，所以e＝ . 　　应用圆锥曲线的性质时，要注意数形结合、方程等数学思想的综合应用. 对点练3.(1)在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线E：－＝1的右焦点为F，过F作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为M，直线MF与另一渐近线交于点N，若M是FN的中点，则双曲线的离心率为(　　) A. B.2 C. D.3 (2)如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，B，C分别为椭圆的上、下顶点，直线BF2与椭圆的另一交点为D，若∠F1BF2＝，则直线CD的斜率为　　　　. 答案：(1)B　(2) 解析： (1)如图所示，由题意可知，∠AOF＝∠COF1.又因为M是FN的中点，OM⊥FN，所以∠AOF＝∠AOC，所以3∠AOF＝π，∠AOF＝.根据双曲线的性质，双曲线的渐近线方程为y＝±x，tan∠AOF＝，所以＝.因为a2＋b2＝c2，所以e＝＝＝2.故选B. (2)由椭圆的对称性及∠F1BF2＝得∠OBF2＝.因为＝＝＝a，所以cos∠OBF2＝＝.设D，则＋＝1，即n2＝b2，则kBD·kCD＝·＝＝＝－＝－.因为∠OBF2＝，所以∠OF2B＝，所以tan∠OF2B＝，所以kBD＝－，故kCD＝＝. 学生用书⬇第146页 探究点四　直线与圆锥曲线的位置关系 已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)经过点(0，)，离心率为，左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0). (1)求椭圆的方程； (2)若直线l：y＝－x＋m与椭圆交于A，B两点，与以F1F2为直径的圆交于C，D两点，且满足＝，求直线l的方程. 解：(1)由题意知 所以椭圆的方程为＋＝1. (2)由(1)知，以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1， 所以圆心到直线l的距离d＝， 由d＜1得｜m｜＜ .① 所以｜CD｜＝2＝2＝. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由得x2－mx＋m2－3＝0， Δ＝m2－4(m2－3)＝12－3m2＞0.② 由根与系数的关系可得x1＋x2＝m，x1x2＝m2－3. 所以｜AB｜＝＝. 由＝，得 ＝1， 解得m＝±，经检验满足①②. 所以直线l的方程为y＝－x＋或y＝－x－. 　　求解直线与圆锥曲线的位置关系中的定点、定值、切线、求值、最值等问题，一般是将几何关系用坐标表示，建立方程(组)，利用根与系数的关系求解，体现了“设而不求”的思想. 对点练4.已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)，其焦点为F1，F2，离心率为，直线l：x＋2y－2＝0与x轴，y轴分别交于点A，B. (1)若点A是椭圆E的一个顶点，求椭圆的方程； (2)若线段AB上存在点P满足｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a，求实数a的取值范围. 解：(1)由椭圆的离心率为，得a＝c， 由A(2，0)，得a＝2， 所以c＝，b＝， 所以椭圆方程为＋＝1. (2)由e＝，设椭圆方程为＋＝1， 联立得6y2－8y＋4－a2＝0. 若线段AB上存在点P满足｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a，则线段AB与椭圆E有公共点，等价于方程6y2－8y＋4－a2＝0在y∈[0，1]上有解. 设f(y)＝6y2－8y＋4－a2， 所以 所以≤a2≤4，故实数a的取值范围是. 学生用书⬇第147页 探究点五　圆锥曲线中的证明问题 已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)经过点M，F为椭圆C的右焦点，O为坐标原点，△OFM的面积为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点P作一条斜率不为0的直线与椭圆C相交于A，B两点(A在B，P之间)，直线BF与椭圆C的另一个交点为D，求证：点A，D关于x轴对称. 解：(1)因为△OFM的面积为，则有×c×＝，解得c＝1. 又因为M在椭圆C上， 则 所以椭圆C的标准方程为＋＝1. (2)证明：根据椭圆的对称性，欲证A，D关于x轴对称，如图所示， 只需证kFA＝－kFD，即证kFA＋kFB＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，设直线AB方程为x＝my＋4， 由消去x得y2＋24my＋36＝0， 所以y1＋y2＝，y1y2＝， 则kFA＋kFB＝＋ ＝ ＝. 因为y1x2＋y2x1－＝2my1y2＋3(y1＋y2)＝2m×＋3×＝0， 所以kFA＋kFB＝0，即A，D关于x轴对称. 　　解决证明问题时，主要根据直线与圆锥曲线的位置关系、圆锥曲线的性质等，通过相关性质的应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明. 对点练5.双曲线C：－＝1(a＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作与x轴垂直的直线交双曲线C于A，B两点，△F1AB的面积为12，抛物线E：y2＝2px(p＞0)以双曲线C的右顶点为焦点. (1)求抛物线E的方程； (2)如图，点P(－，t)(t≠0)为抛物线E的准线上一点，过点P作y轴的垂线交抛物线于点M，连接PO并延长交抛物线于点N，求证：直线MN过定点. 解： (1)设F2(c＞0)，则c＝， 令x＝c，代入C的方程得y2＝3×＝，即＝.如图所示. 所以＝×2c×2＝＝12，所以a＝1，故＝a＝1，即p＝2. 所以抛物线E的方程为y2＝4x. (2)证明：由(1)知P(t≠0)，则M. 直线PO的方程为y＝－tx，代入抛物线E的方程有N. 当t2≠4时，kMN＝＝， 所以直线MN的方程为y－t＝， 即y＝. 所以此时直线MN过定点. 当t2＝4时，直线MN的方程为x＝1，此时仍过点， 综上，直线MN过定点. 学生用书⬇第148页 (2024·全国甲卷)已知双曲线的两个焦点分别为(0，4)，(0，－4)，点(－6，4)在该双曲线上，则该双曲线的离心率为(　　) A.4 B.3 C.2 D. 答案：C 解析：由题意，设F1，F2，P，则＝2c＝8，＝＝10，＝＝6，则2a＝－＝10－6＝4，则e＝＝＝2.故选C. (2024·新课标Ⅱ卷)已知曲线C：x2＋y2＝16(y＞0)，从C上任意一点P向x轴作垂线段PP'，P'为垂足，则线段PP'的中点M的轨迹方程为(　　) A.＋＝1(y＞0) B.＋＝1(y＞0) C.＋＝1(y＞0) D.＋＝1(y＞0) 答案：A 解析：设点M(x，y)，则P(x，2y)，又P在曲线x2＋y2＝16(y＞0)上，所以x2＋4y2＝16(y＞0)，即＋＝1(y＞0)，即点M的轨迹方程为＋＝1(y＞0).故选A. (2024·北京卷)若直线y＝k与双曲线－y2＝1只有一个公共点，则k的一个取值为　　　　. 答案：(或－，答案不唯一) 解析：联立x2＋24k2x－36k2－4＝0，由题意得1－4k2＝0或Δ＝＋4＝0，解得k＝±或无解，即k＝±，经检验，符合题意(答案不唯一). (2023·北京卷)已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，A，C分别是E的上、下顶点，B，D分别是E的左、右顶点，｜AC｜＝4. (1)求椭圆E的方程； (2)设P为第一象限内E上的动点，直线PD与直线BC交于点M，直线PA与直线y＝－2交于点N.求证：MN∥CD. 解：(1)由题意，得e＝＝，则c＝a， 又A，C分别为椭圆上、下顶点，＝4，所以2b＝4，即b＝2， 所以a2－c2＝b2＝4，即a2－a2＝a2＝4，则a2＝9， 所以椭圆E的方程为＋＝1. (2)证明：因为椭圆E的方程为＋＝1， 所以A，C，B，D， 因为P为第一象限E上的动点， 设P，则＋＝1， 易得kBC＝＝－，则直线BC的方程为y＝－x－2. kPD＝＝，则直线PD的方程为y＝， 联立 解得即M(，). 而kPA＝＝，则直线PA的方程为y＝x＋2， 令y＝－2，则－2＝x＋2，解得x＝，即N. 又＋＝1，则m2＝9－，8m2＝72－18n2. 所以kMN＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝＝. 又kCD＝＝，即kMN＝kCD， 显然，MN与CD不重合，所以MN∥CD. (2023·全国甲卷)已知直线x－2y＋1＝0与抛物线C：y2＝2px(p＞0)交于A，B两点，且｜AB｜＝4. (1)求p； (2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，且·＝0，求△MFN面积的最小值. 解：(1)设A，B， 由可得，y2－4py＋2p＝0，所以yA＋yB＝4p，yAyB＝2p， 所以＝＝＝×＝4， 即2p2－p－6＝0，因为p＞0，解得p＝2. (2)因为F，显然直线MN的斜率不可能为零， 设直线MN：x＝my＋n，M，N， 由可得，y2－4my－4n＝0， 所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4n， Δ＝16m2＋16n＞0⇒m2＋n＞0. 因为·＝0，所以＋y1y2＝0， 即＋y1y2＝0， 亦即y1y2＋m＋＝0， 将y1＋y2＝4m，y1y2＝－4n代入得， 4m2＝n2－6n＋1，因为4＝＞0， 所以n≠1，且n2－6n＋1≥0，解得n≥3＋2或n≤3－2. 设点F到直线MN的距离为d，所以d＝， ＝ ＝＝ ＝ ＝2， 所以△MFN的面积S＝×d×＝××2＝， 而n≥3＋2或n≤3－2， 所以当n＝3－2时，△MFN的面积Smin＝＝12－8. 单元检测卷(三)　圆锥曲线的方程 (时间：120分钟　满分：150分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分， 共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1.(2025·河北石家庄高二月考)若双曲线－＝1的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为(　　) A.x±y＝0 B.x±y＝0 C.x±y＝0 D.x±y＝0 答案：A 解析：由题意可知，e＝2，则＝＝＝，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x，即x±y＝0.故选A. 2.已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线C：x2＝8y上的两点，且直线AB经过C的焦点，若y1＋y2＝12，则｜AB｜＝(　　 ) A.12 B.14 C.16 D.18 答案：C 解析：｜AB｜＝y1＋＋y2＋＝y1＋y2＋p＝12＋＝16.故选C. 3.阿基米德(公元前287年—公元前212年)不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点在y轴上，且椭圆的离心率为，面积为12π，则椭圆C的方程为(　　 ) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 答案：A 解析：由题意可得解得a＝4，b＝3，c＝.因为椭圆的焦点在y轴上，所以椭圆方程为＋＝1.故选A. 4.已知椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，其右焦点为F，过点F的直线交椭圆于A，B两点.若AB的中点坐标为，则椭圆的方程为(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 答案：C 解析：设AB的中点坐标为M，则kFM＝＝.设A，B，则＋＝1，＋＝1，相减得到＋＝0，即－＝0，a2＝3b2.又c＝4，a2＝b2＋c2，解得a2＝24，b2＝8，椭圆的方程为＋＝1.故选C. 5.已知双曲线E：－y2＝1，直线l：y＝kx＋1，若直线l与双曲线E的两个交点分别在双曲线的两支上，则实数k的取值范围是(　　) A.k＜－，或k＞ B.－＜k＜ C.k＜－，或k＞ D.－＜k＜ 答案：B 解析：由消去y并整理得(1－3k2)x2－6kx－6＝0.由直线l与双曲线E的两个交点分别在双曲线的两支上，得解得－＜k＜，所以实数k的取值范围是－＜k＜.故选B. 6.已知点P是椭圆＋＝1上一点，椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，且cos ∠F1PF2＝，则△PF1F2的面积为(　　 ) A.6 B.12 C. D.2 答案：D 解析：由题意得a＝3，b＝2，c＝，设｜PF1｜＝m，｜PF2｜＝n.根据椭圆的定义得m＋n＝2a＝6，又cos∠F1PF2＝＝＝＝，解得mn＝6，所以＝mnsin∠F1PF2＝×6×＝2.故选D. 7.已知F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，点P在椭圆上，且在第一象限，过F2作∠F1PF2的外角平分线的垂线，垂足为A，O为坐标原点，若＝b，则该椭圆的离心率为(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：设F1P与F2A交于点Q，由题意PA⊥F2A，PA平分∠F2PQ，则｜PQ｜＝｜PF2｜，A是F2Q中点，｜QF1｜＝｜PF1｜＋｜PQ｜＝2a.而O是F1F2中点，故OA是△F1F2Q的中位线，｜QF1｜＝2｜OA｜，则2a＝2b，a＝b，c2＝a2－b2＝a2，e＝＝.故选B. 8.双曲线C：－＝1＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，A为双曲线C左支上一点，直线AF2与双曲线C的右支交于点B，且＝15，∠F1AF2＝，则＋＝(　　) A. B.26 C.25 D.23 答案：B 解析：由题意知｜AF2｜－｜AF1｜＝｜BF1｜－｜BF2｜＝2a＝10.令｜BF2｜＝x，则｜AF1｜＝x＋15－10＝x＋5，｜BF1｜＝x＋10，△ABF1中，如图所示，＝15，∠F1AF2＝，则cos∠F1AF2＝＝， 所以＝，则x＝3，故｜AF1｜＝8，则｜AF2｜＝18，所以＋＝26.故选B. 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9.(2025·山西太原高二检测)已知点P是双曲线C：－y2＝1上任意一点，F1，F2是C的左、右焦点，则下列结论正确的是(　　) A.＝2 B.C的离心率为 C.－＝2 D.C的渐近线方程为y＝±x 答案：AB 解析：在－y2＝1中，a＝，b＝1，c＝，＝2c＝2，故A正确；C的离心率e＝＝＝，故B正确；由双曲线的定义－＝2或－2，故C错误；C的渐近线方程为y＝±x，即y＝±x，故D错误.故选AB. 10.已知F1，F2是椭圆C：＋y2＝1的两个焦点，点P在C上，∠F1PF2＝，则(　　) A.△PF1F2的周长为6 B.△PF1F2的面积为 C.△PF1F2内切圆的半径为－1 D.｜OP｜＝ 答案：BC 解析：由C：＋y2＝1可得a＝2，b＝1，c＝.对于A，△PF1F2的周长为2a＋2c＝4＋2，故A错误；对于B，由余弦定理可得＝＋｜PF2｜2－2｜PF2｜｜F1P｜cos＝＋－＝－3，故4c2＝4a2－3⇒3＝4a2－4c2＝4b2＝4，所以＝sin＝××＝，故B正确；对于C，＝＝r，所以r＝－1，故C正确；对于D，＝＝×2c×＝×2×，所以＝，所以＝4＝4(1－)＝，所以＝＝＝＝，故D错误.故选BC. 11.已知抛物线C：y2＝2px的焦点为F，准线为l，经过点F且斜率为的直线与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，若＝4，D，则以下结论正确的是(　　) A.p＝4 B.＝3 C.若E为C上的动点，其在l上的射影为E1，则＋≥ D.过点D且与C有且仅有一个公共点的直线有3条 答案：BCD 解析：对于A，因为F，直线的斜率为，则设直线l的方程为y＝， 联立得12x2－20px＋3p2＝0，解得xA＝，xB＝，由＝xA＋＝2p＝4，得p＝2，故A错误；对于B，由于＝xB＋＝p，则＝3，故B正确；对于C，如图所示，抛物线C：y2＝4x的焦点为F，＋＝＋≥＝，当且仅当D，E，F三点共线时取等号，故C正确；对于D，当直线斜率不存在时，直线方程为x＝0，与抛物线只有一个公共点；当直线斜率存在时，设直线方程为y＝kx＋1，联立消去x得ky2－4y＋4＝0，当k＝0时，方程的解为y＝1，此时直线与抛物线只有一个交点；当k≠0时，则Δ＝16－16k＝0，解得k＝1，综上所述，过点D与C有且仅有一个公共点的直线有3条，故D正确.故选BCD. 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，将答案填在题中的横线上.) 12.抛物线y＝4x2的焦点到准线的距离是　　　　. 答案： 解析：y＝4x2化为x2＝y，2p＝，p＝. 13.(2025·山东淄博高二质量检测)已知F1，F2分别为椭圆＋＝1的左、右焦点，以F2为圆心且过椭圆左顶点的圆与直线x－y＋8＝0相切.P为椭圆上一点，I为△PF1F2的内心，且＝λ－，则λ的值为　　　　. 答案： 解析：设F1，F2，F2为圆心且过椭圆左顶点的圆的半径为R＝a＋c＝3＋c，根据题意可知R＝，解得c＝2.设△PF1F2的内切圆半径为r，则＝·r，＝·r，＝·r，故·r＝·r－·r，化简可得＋＝λ，即2a＝λ·2c，解得λ＝. 14.已知椭圆C1和双曲线C2有公共焦点，且左，右焦点分别为F1，F2，C1与C2在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，若＝10，C1与C2的离心率分别为e1，e2，则2e1＋e2的取值范围是　　　　　　. 答案：(，＋∞) 解析：设椭圆C1和双曲线C2的半焦距为c，＝m，＝n，m＞n，如图所示.由于△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，＝10，则m＝10，n＝2c.令椭圆C1的长半轴长为a1，双曲线C2的实半轴长为a2.由椭圆的定义得m＋n＝2a1，由双曲线的定义得m－n＝2a2，则a1＝＝5＋c，a2＝＝5－c，相减得a1－a2＝2c，即－＝2，得e1＝＝－，因此2e1＋e2＝1－＋e2，e2＞1，显然f＝1－＋e2在上单调递增，于是f＞f＝，所以2e1＋e2的取值范围是(，＋∞). 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15.(13分)已知A(－2，0)，B(2，0)，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于. (1)求动点P的轨迹方程； (2)若点O为坐标原点，当｜OP｜＝时，求第二象限点P的坐标. 解：(1)设点P的坐标为(x，y)， 由题意得，·＝(x≠±2)， 化简得－＝1(x≠±2). 故动点P的轨迹方程为－＝1(x≠±2). (2)因为｜OP｜＝＝， 故x2＋y2＝，① 又由(1)知－＝1，② 由①②得 又点P在第二象限内， 所以点P的坐标为(－，). 16.(15分)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)经过点A(2，1)，离心率为，过点B(3，0)的直线l与椭圆交于不同的两点M，N. (1)求椭圆的方程； (2)若｜MN｜＝，求直线MN的方程. 解：(1)由题意有＋＝1，e＝＝， a2－b2＝c2， 解得a＝，b＝，c＝. 所以椭圆的方程为＋＝1. (2)由直线MN过点B且与椭圆有两交点，且直线MN的斜率必存在. 可设直线MN方程为y＝k(x－3)， 代入椭圆方程整理得(2k2＋1)x2－12k2x＋18k2－6＝0， Δ＝24－24k2＞0，得k2＜1. 设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则x1＋x2＝，x1x2＝， 所以｜MN｜＝＝＝＝， 解得k＝±，满足k2＜1， 所以所求直线方程为y＝±(x－3). 17.(15分)(2025·贵州铜仁高二质量监测)如图是抛物线型拱桥，当水面在l时，水面宽16米，拱桥顶部离水面8米. (1)当拱顶离水面2米时，水面宽多少米？ (2)现有一艘船，可近似为长方体的船体高4.2米，吃水深2.7米(即水面上部分高1.5米)，船体宽为12米，前后长为80米，若河水足够深，要使这艘船能安全通过，则水面宽度至少应为多少米？(计算结果保留至小数点后一位，参考数据：≈1.732) 解：(1)如图建立平面直角坐标系xOy，设抛物线型拱桥的方程为x2＝ay(a＜0)， 由题意，可知抛物线经过点G，代入抛物线方程可得64＝－8a，即得a＝－8， 所以抛物线方程为x2＝－8y. 当拱顶离水面2米时，即y＝－2，代入抛物线方程可得x＝±4，即水面宽为8米. (2)由于船体宽12米，则当船体恰好能通过时，令x＝6米， 代入抛物线方程中，则36＝－8y， 解得y＝－4.5， 即拱顶与船顶的最近距离为4.5米. 又因为船在水面上部分高为1.5米， 故拱顶离水面6米. 在抛物线方程x2＝－8y中，令y＝－6， 则x＝±4， 故2＝8≈13.9， 所以水面宽度至少应为13.9米. 18.(17分)已知双曲线Γ：－＝1，其渐近线方程为x±2y＝0，点在Γ上. (1)求双曲线Γ的方程； (2)过点A的两条直线AP，AQ分别与双曲线Γ交于P，Q两点(不与点A重合)，且两条直线的斜率之和为1，求证：直线PQ过定点. 解：(1)因为a＞0，b＞0，由题意，得 解得a＝2，b＝1， 所以双曲线Γ的方程为－y2＝1. (2)证明：由题意可知PQ斜率存在，设方程为y＝kx＋m，P，Q，如图所示. 联立x2－8kmx－4m2－4＝0， 则Δ＝64k2m2＋4＞0，即m2＋1－4k2＞0，① 所以 设直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，由题意知k1＋k2＝1， 故有k1＋k2＝＋＝＝＝1，即－4(2k＋m)＋4(m2＋4km＋4k2)＝0， 整理得＝0. 当m＋2k＝0⇒PQ：y＝kx－2k，过A舍去， 当m＋2k－1＝0⇒PQ：y＝kx－2k＋1，过点， 此时，将m＝1－2k代入①得＋1－4k2＝2－4k＞0，得k＜，满足题意. 所以直线PQ过定点M. 19.(17分)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为P，且＝4. (1)求椭圆C的标准方程； (2)不过原点O的直线l：y＝kx＋m与C交于不同的两点A、B，在OA的延长线上取一点D使得｜OA｜＝｜AD｜，连接BD交C于点E(点E在线段BD上且不与端点重合)，若S△OAB＝2S△EAB，试求直线l与坐标轴所围成三角形面积的最小值. 解：(1)由题意可得＝｜F1F2｜·｜OP｜＝×2c×b＝bc＝4. 又因为椭圆C的离心率为e＝＝， 所以a2＝2c2. 又a2＝b2＋c2，解得a2＝8，b2＝4. 所以椭圆C的标准方程为＋＝1. (2)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立可得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－8＝0， 则Δ＝(4km)2－4(2k2＋1)(2m2－8)＝8(4k2＋2－m2)＞0.① 由韦达定理可得x1＋x2＝－，x1x2＝， 所以y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝＝. 因为点A为OD的中点，所以D(2x1，2y1)， 由S△OAB＝2S△EAB，可得S△ABD＝S△OAB＝2S△EAB，即｜BD｜＝2｜BE｜， 所以点E为BD中点， 所以点E的坐标为(x1＋x2，y1＋y2). 将点E的坐标代入椭圆C的方程＋＝1， 可得(x1＋x2)2＋(y1＋y2)2＝1， 化简得(＋)＋＋)＋(＋)＝1. 又＋＝1，＋＝1， 代入上式可得，＋＝－，即x1x2＋2y1y2＝－2. 把x1x2＝，y1y2＝，代入x1x2＋2y1y2＝－2， 可得2m2＝6k2＋3，且满足①式. 在直线l的方程中，令y＝0，可得x＝－，即直线交x轴于点(－，0). 所以直线l与坐标轴所围成三角形面积为S＝｜m｜｜｜＝＝·＝(2｜k｜＋)≥×2＝， 当且仅当2｜k｜＝，即k＝±时取等号. 所以直线l与坐标轴所围成三角形面积的最小值为. 模块综合检测卷 (时间：120分钟　满分：150分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1.若直线l的一个方向向量为(－1，)，则直线的倾斜角是(　　 ) A. B. C. D. 答案：C 解析：直线l的一个方向向量为(－1，)，则直线l的斜率为－，所以直线l的倾斜角为.故选C. 2.两个不同的平面α和β，平面α的一个法向量为v1＝(1，2，1)，平面β的一个法向量为v2＝(2，4，2)，则平面α与平面β(　　 ) A.平行 B.垂直 C.相交 D.不能确定 答案：A 解析： 由题意知v1＝(1，2，1)，v2＝(2，4，2)，则v2＝2v1，即v1，v2共线，则α∥β.故选A. 3.已知直线3x＋4y＋a＝0与圆C：(x－2)2＋y2＝9相交于A，B两点，且∠ACB＝120°，则实数a＝(　　 ) A. B. C.或－ D.或－ 答案：D 解析：设圆心C到直线AB的距离为d，因为圆的方程为C：(x－2)2＋y2＝9，所以圆心C(2，0)，圆的半径为3，｜CA｜＝｜CB｜＝3，又∠ACB＝120°，所以d＝，即点C到直线AB的距离为，所以＝，解得a＝或a＝－.故选D. 4.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为(　　 ) A. B. C. D. 答案：C 解析：如图所示，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，则D1(0，0，1)，E(1，1，0)，A(1，0，0)，C(0，2，0).连接D1E，所以＝(1，1，－1)，＝(－1，2，0)，＝(－1，0，1).设平面ACD1的一个法向量为n＝(a，b，c)，则令a＝2，则n＝(2，1，2).所以点E到平面ACD1的距离为h＝＝＝.故选C. 5.已知F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，P为椭圆上一点，3｜PF2｜＝5｜PF1｜，则△PF1F2的面积为(　　 ) A. B.6 C.8 D.2 答案：B 解析：由＋＝1，得a＝4，c＝2，即｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a＝8，｜F1F2｜＝4.又3｜PF2｜＝5｜PF1｜，则｜PF1｜＝3，｜PF2｜＝5，所以△PF1F2为直角三角形，∠PF1F2＝90°.所以＝｜PF1｜·｜F1F2｜＝×3×4＝6.故选B. 6.图1通过旋转可得到图2，则图3通过相同的旋转可得到(　　 ) 答案：D 解析：由图1向后推倒后，逆时针旋转90°可得图2，同理可知，D正确.故选D. 7.过点M(0，1)，且斜率为负数的直线l与函数y＝x2的图象相交于A，B两点，若M是线段AB上的一个三等分点，则直线l的斜率为(　　 ) A.－ B.－ C.－ D.－2 答案：A 解析：由于直线l过点M(0，1)，且斜率为负数，故可设直线l的方程为y＝kx＋1(k＜0)，联立y＝kx＋1与y＝x2可得x2－4kx－4＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，Δ＝16k2＋16＞0，由于M是线段AB上的一个三等分点，所以x1＝－2x2，进而可得x2＝，x1＝－2，所以＝k⇒k＝－.故选A. 8.已知双曲线C：x2－＝1，P为双曲线C上任意一点，过点P分别作双曲线C的两条渐近线的垂线，垂足分别为M，N，则＋的最小值为(　　 ) A. B. C. D. 答案：A 解析：因为双曲线C：x2－＝1，所以双曲线C的渐近线方程为2x±y＝0，设P(m，n)是双曲线上任意一点，则≥1，m2≥1，所以m2－＝1，则8m2－n2＝8，由点到直线的距离公式得｜PM｜＝＝，｜PN｜＝＝，｜PM｜｜PN｜＝×＝＝，所以＋≥2＝2＝＝，当且仅当｜PM｜＝｜PN｜时，等号成立，即＋. 故选A. 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9.已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上，点A(4，0)，B(0，2)，则(　　 ) A.点P到直线AB的距离小于10 B.圆上到直线AB的距离等于1的点只有1个 C.当∠PBA最小时，｜PB｜＝3 D.当∠PBA最大时，｜PB｜＝3 答案：ACD 解析：对于A，由(x－5)2＋(y－5)2＝16，可得圆心坐标为(5，5)，r＝4，过点A(4，0)，B(0，2)的直线为 ＋ ＝1，即x＋2y－4＝0，所以圆心(5，5)到直线x＋2y－4＝0的距离d＝ ＝ ＞4，所以点P到直线AB的距离的最大值为d＋r＝ ＋4＜10，则点P到直线AB的距离小于10，故A正确；对于B，点P到直线AB的距离的最小值为d－r＝ －4＜1，圆上到直线AB的距离等于1的点有2个，故 B错误；对于C、D，如图所示，当∠PBA最大或最小时，此时直线PB与圆相切，圆心(5，5)到B(0，2)的距离为 ＝ ，利用勾股定理可得｜PB｜＝ ＝3 ，故C、D正确.故选ACD. 10.长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝6，BC＝2，BB1＝2，E为棱CD上一点，CE＝2，F是平面ABCD内一动点，∠FC1E＝30°，则(　　 ) A.存在点F，使得EF∥平面BDD1B1 B.存在不与C，D重合的点F，使得DF⊥平面FCC1 C.棱CD上存在两定点M，N，使得｜MF｜＋｜NF｜＝6 D.点F的轨迹截直线AB所得弦长为2 答案：ACD 解析：如图建立空间直角坐标系，易知D，C(0，6，0)，C1，E(0，4，0)，B，设F(x，y，0)，则＝，＝，由∠FC1E＝30°，可得cos＜，＞＝＝，化简可得3x2＋2y2－12y＝0.对于A，若EF∥平面BDD1B1，易得EF∥BD.又＝，＝，可得y＝3x＋4，联立3x2＋2y2－12y＝0，消去y可得21x2＋12x－16＝0，Δ＞0，所以存在点F，使得EF∥平面BDD1B1，故A正确；对于B，由长方体性质可知，CC1⊥DF，要使得DF⊥平面FCC1，则必有DF⊥CF，＝，＝，所以·＝x2＋y2－6y＝0，联立3x2＋2y2－12y＝0，可得x＝0，y＝0或x＝0，y＝6，此时点F与C，D重合，故B错误；对于C，由3x2＋2y2－12y＝0化简可得：＋＝1，即点F的轨迹是椭圆，且焦点在y轴上，且a＝3，所以棱CD上存在两定点M，N，使得｜MF｜＋｜NF｜＝2a＝6，故C正确；对于D，在坐标平面xDy中，直线AB的方程为x＝2，联立3x2＋2y2－12y＝0，可得y2－6y＋6＝0，y1＋y2＝6，y1y2＝6，所以点F的轨迹截直线AB所得弦长为＝＝2，故D正确.故选ACD. 11. 双纽线∞最早于1694年被瑞士数学家雅各布•伯努利用来描述他发现的曲线.在平面直角坐标系xOy中，把到定点F1(－a，0)，F2(a，0)的距离之积等于a2(a＞0)的点的轨迹称为双纽线.已知点P是a＝1时的双纽线C上一点，则(　　) A.C关于原点成中心对称 B.C上满足＝的点P有2个 C.△PF1F2面积的最大值为 D.当直线y＝kx与C有3个交点时，k的取值范围是(－1，1) 答案：ACD 解析：对于A，设动点C，由题可得C的轨迹方程为·＝a2，把 代入轨迹方程显然成立，故A正确；对于B，a＝1时的双纽线的方程为·＝1，若＝，则P在F1F2的中垂线y轴上，故此时x0＝0，代入得y0＝0，即P，所以只有一个点P，故B错误；对于C，因为P(x0，y0)是·＝1上的一点，故＝｜PF1｜·sin ∠F1PF2＝sin ∠F1PF2≤，当sin ∠F1PF2＝1，即PF1⊥PF2时等号成立，下面说明垂直时可取到，若PF1⊥PF2，＝，＝，则·＝＋－1＝0，代入·＝1，得·＝1，解得x0＝±，故C正确；对于D，直线y＝kx与C有3个交点时，联立y＝kx与·＝1，得x4＋x2＝0，当x＝0时，适合上述方程，当x≠0时，x2＋＝0，即x2＝2－2k2，则2－2k2＞0，则－1＜k＜1，所以直线y＝kx与C有3个交点时，k的取值范围是(－1，1)，故D正确.故选ACD. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分，将答案填在题中的横线上.) 12.已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是矩形，AB＝4，AA1＝3，∠BAA1＝60°，E为棱C1D1的中点，则·＝　　　　. 答案：14 解析：如图所示，由题意可得·＝0，·＝｜｜·｜｜·cos 60°＝6.因为＝＋＋＝＋＋，所以·＝·(＋＋)＝·＋·＋＝6＋0＋×42＝14. 13.已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2且倾斜角为60°的直线l与C交于A，B两点.若△AF1F2的面积是△BF1F2面积的倍，则C的离心率为　　　　. 答案： 解析：如图所示，由△AF1F2的面积是△BF1F2面积的倍，得｜AF2｜＝｜BF2｜，不妨设｜AF2｜＝3t，｜BF2｜＝2t，｜F1F2｜＝2c，则｜AF1｜＝2a－3t，｜BF1｜＝2a－2t，在△AF1F2中，∠F1F2A＝60°，由｜AF2｜2＋｜F1F2｜2－｜AF1｜2＝2｜AF2｜｜F1F2｜cos 60°，得9t2＋4c2－(2a－3t)2＝6ct，整理得2c2－2a2＋6at－3ct＝0①，在△BF1F2中，∠F1F2B＝120°，由｜BF2｜2＋｜F1F2｜2－｜BF1｜2＝2｜BF2｜｜F1F2｜cos 120°，得4t2＋4c2－(2a－2t)2＝－4ct，整理得c2－a2＋2at＋ct＝0②，联立①②得2at－5ct＝0，而t＞0，于是＝，所以C的离心率为. 14.已知方程＋＝1(m≠±1)表示曲线C，则下列结论正确的是　　　　　(填正确的序号). ①若m＝3，则曲线C是圆 ②若曲线C是椭圆，则m＞3 ③若曲线C是双曲线，则m＜1且m≠－1 ④若m＜－1，则曲线C是焦点在x轴上的双曲线 答案：①③④ 解析：对于①，若m＝3，则m2－1＝2m＋2＝8，方程化为x2＋y2＝8，故①正确；对于②，若曲线C是椭圆，则解得m＞1且m≠3，故②错误；对于③，若曲线C是双曲线，则(2m＋2)＜0，解得m＜1且m≠－1，故③正确；对于④，若m＜－1，则m2－1＞0且2m＋2＜0，所以曲线C是焦点在x轴上的双曲线，故④正确. 四、解答题(本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15.(13分)已知圆C过点A，B，且圆心C在直线l：x＋y－6＝0上. (1)求圆C的方程； (2)若从点M发出的光线经过x轴反射，反射光线l1恰好平分圆C的圆周，求反射光线l1的一般方程. 解：(1)由A，B，得直线AB的斜率为kAB＝＝－1， 线段AB的中点D，所以kCD＝1，直线CD的方程为y－2＝x－2， 即y＝x，联立即C， 所以半径r＝＝＝， 所以圆C的方程为(x－3)2＋(y－3)2＝10. (2)M关于x轴的对称点为N， 由l1恰好平分圆C的圆周，得l1经过圆心C， ＝＝－4，l1的方程为y－3＝－4，即4x＋y－15＝0. 16.(15分)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝1，∠BCD＝，四边形BFED为矩形，平面BFED⊥平面ABCD，BF＝1. (1)求证：AD⊥平面BFED； (2)点P在线段EF上运动，设平面PAB与平面ADE所成角为θ，试求θ的最小值. 解：(1)证明：在梯形ABCD中， 因为AB∥CD，AD＝DC＝CB＝1，∠BCD＝， 所以AB＝2， 所以BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos ＝3. 所以AB2＝AD2＋BD2，所以AD⊥BD. 因为平面BFED⊥平面ABCD，平面BFED∩平面ABCD＝BD，AD⊂平面ABCD，AD⊥BD， 所以AD⊥平面BFED. (2)因为四边形BFED为矩形，所以ED⊥BD，所以ED⊥平面ABCD， 由(1)可建立以点D为坐标原点， 分别以直线DA，DB，DE为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系，如图所示. 令EP＝λ(0≤λ≤)， 则D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(0，，0)，P(0，λ，1)， 所以＝(－1，，0)，＝(0，λ－，1). 设n1＝(x，y，z)为平面PAB的一个法向量， 由 取y＝1，得n1＝(，1，－λ)， 因为n2＝(0，1，0)是平面ADE的一个法向量， 所以cos θ＝＝＝. 因为0≤λ≤， 所以当λ＝时，cos θ有最大值， 又因为θ为锐角，所以θ的最小值为. 17.(15分)已知拋物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，M(m，－2)为抛物线上一点，｜MF｜＝2. (1)求抛物线C的标准方程； (2)过点F作互相垂直的两条直线交抛物线C于G，H，R，S四点，求四边形RGSH面积的最小值. 解：(1)由｜MF｜＝2，可得｜MF｜＝m＋＝2， 又M(m，－2)在抛物线上，所以4＝2pm， 联立解得m＝1，p＝2， 故抛物线方程为C：y2＝4x. (2)由(1)知：F(1，0)， 设RS：x＝ny＋1，GH：x＝－y＋1(n≠0)， 由得y2－4ny－4＝0， 因为Δ＝16n2＋16＝16(n2＋1)＞0， 设R(x1，y1)，S(x2，y2)， 所以y1＋y2＝4n，y1y2＝－4， 所以｜RS｜＝｜RF｜＋｜SF｜＝x1＋1＋x2＋1＝n(y1＋y2)＋4＝4(n2＋1)， 同理：｜GH｜＝4， 所以四边形RGSH面积为S＝｜RS｜｜GH｜＝8(n2＋1)＝8≥32， 当且仅当n2＝，即n＝±1时等号成立. 所以四边形RGSH的面积的最小值为32. 18.(17分)如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝2AB＝4，BC＝6，M，N分别是AD，BC的中点，将四边形MABN沿MN翻折至四边形MEFN，点Q为CF上一点，且FQ＝2QC. (1)证明：DQ∥平面MEFN； (2)设二面角F-MN-C的平面角为θ(0＜θ＜π). ①若θ＝，求直线FM与直线CD所成角的余弦值； ②在翻折过程中，是否存在θ，使得直线NE与平面MDQ所成角的正弦值为？若存在，求出θ；若不存在，请说明理由. 解：(1)证明：取FN的靠近点N的三等分点H，连接HQ，HM， 由于FQ＝2QC，即点Q是靠近点C的三等分点，故HQ∥NC，HQ＝NC＝2. 由于MD∥NC，MD＝2， 故MD∥HQ，MD＝HQ，因此四边形MDQH为平行四边形，故DQ∥MH， 又MH⊂平面MEFN，DQ⊄平面MEFN， 所以DQ∥平面MEFN. (2)由题意可知MN⊥NC，MN⊥FN，∠FNC＝θ. ①在NC上取点P使得PC＝2， 由于MD∥PC，MD＝PC， 故四边形MDCP为平行四边形， 故DC∥MP，故直线FM与直线CD所成的角为∠FMP或其补角， 因为MN＝＝， MP＝＝2， FP＝＝， FM＝＝2， 故cos ∠FMP＝＝＝. 故直线FM与直线CD所成角的余弦值为. ②以N为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则 N，M，D，F(3sin θ，3cos θ，0)，E(2sin θ，2cos θ，)，Q(sin θ，cos θ＋2，0)， 故＝，＝(sin θ，cos θ＋2，－)，＝， 设平面MDQ的一个法向量为n＝， 所以 令x＝，则n＝， 假设存在θ，使得直线NE与平面MDQ所成角的正弦值为， 故＝＝， 解得sin2θ＝1， 由于0＜θ＜π，故存在θ＝，使得直线NE与平面MDQ所成角的正弦值为. 19.(17分)在平面直角坐标系xOy中，动圆C与圆C1：x2＋y2＋2x－＝0内切，且与圆C2：x2＋y2－2x＋＝0外切，记动圆C的圆心的轨迹为H. (1)求轨迹H的方程； (2)设O为坐标原点，过点C2且与坐标轴不垂直的直线与轨迹H交于P，Q两点.线段OC2上是否存在点N(n，0)，使得·＝·？若存在，求出n的取值范围；若不存在，说明理由； (3)过点P0(4，0)且不垂直于y轴的直线与轨迹H交于A，B两点，点B关于x轴的对称点为E，证明：直线AE过定点. 解：(1)设动圆C的半径为R， 由于圆C1：x2＋y2＋2x－＝0的圆心和半径分别为C1(－1，0)，r1＝， 圆C2：x2＋y2－2x＋＝0的圆心和半径分别为C2(1，0)，r2＝. 由题意可得＝－R，＝R＋， 故＋＝4＞＝2， 因此点C的轨迹满足椭圆方程，且以C1，C2为焦点，以4为长轴长， 故2a＝4，2c＝2，所以a＝2，c＝1，b＝， 故轨迹H的方程为＋＝1. (2)存在.理由如下：设直线PQ的方程为y＝k(x－1)，k≠0， 代入＋＝1，得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0， Δ＝(－8k2)2－4(3＋4k2)(4k2－12)＞0恒成立. 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，线段PQ的中点为R(x0，y0)，所以x1＋x2＝， 则x0＝＝，y0＝k(x0－1)＝－， 由·＝·，得·(＋)＝·(2)＝0， 所以直线NR为直线PQ的垂直平分线， 直线NR的方程为y＋＝－， 令y＝0得，点N的横坐标n＝＝， 因为k2∈(0，＋∞)，所以＋4∈(4，＋∞)， 所以n∈. 故线段OC2上存在点N(n，0)，使得·＝·，其中n∈. (3)证明：设直线AB的方程为y＝m(x－4)，m≠0， 代入＋＝1，得(3＋4m2)x2－32m2x＋64m2－12＝0， 因为过点P0(4，0)且不垂直于x轴的直线与椭圆交于A，B两点， 所以Δ＝(－32m2)2－4(3＋4m2)(64m2－12)＞0， 化简得4m2－1＜0，解得m∈∪， 设A(x3，y3)，B(x4，y4)，E(x4，－y4)， 则x3＋x4＝，x3x4＝， 则直线AE的方程为y－y3＝(x－x3)， 由对称性可知若直线AE过定点，则定点一定在x轴上. 令y＝0得，x＝－y3·＋x3＝＝ ＝ ＝＝1. 所以直线AE过定点(1，0). 学科网（北京）股份有限公司 $