第三章 圆锥曲线的方程（高效培优单元自测·提升卷）数学人教A版高二选择性必修第一册

**基本信息** 本卷为高中数学圆锥曲线单元提升卷，全面覆盖椭圆、双曲线、抛物线核心知识，通过基础巩固与能力提升题梯度设计，适配单元复习，培养数学抽象与逻辑推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|双曲线虚轴长、抛物线焦点、椭圆离心率|结合几何直观（如第3题对称点求离心率），基础概念辨析| |多选|3/18|抛物线焦点弦性质、直线与圆锥曲线位置关系|多角度考查综合应用（如第9题四边形形状判断）| |填空|3/15|抛物线焦半径、椭圆焦点三角形最值|聚焦关键性质（如第13题焦点三角形最大值）| |解答|5/77|椭圆方程求解、双曲线定点证明、抛物线定值探究|注重逻辑推理与模型构建（如第17题直线与双曲线相交定点证明）|

第三章 圆锥曲线的方程（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知双曲线经过点，则的虚轴长为（    ） A． B．2 C． D．1 2．在平面直角坐标系xOy中，为抛物线的焦点，点在上，若轴，则（    ） A． B． C． D． 3．已知点、是椭圆的左、右焦点、点为椭圆上一点，点关于的角平分线的对称点也在椭圆上，若，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 4．“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知直线与抛物线相交于两点，点在轴上，且，则点到坐标原点的距离为（    ） A．4 B．2 C． D． 7．已知抛物线的焦点为F，点P在抛物线上运动，点Q在圆上运动，则的最小值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 8．已知椭圆和双曲线有公共的焦点，其中为左焦点，是与在第一象限的公共点.线段的垂直平分线经过坐标原点，若的离心率为，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线过抛物线的焦点且与交于A，B两点，点F，B关于坐标原点的对称点分别为M，N，AM与NF相交于点，则（    ） A． B．四边形ABMN为梯形 C． D．面积的最大值为2 10．已知过抛物线（）的焦点的直线交抛物线C于，两点，且，直线OA和OB的斜率分别为，则（    ） A． B． C．线段长的最小值为4 D． 11．在平面直角坐标系中，过抛物线的焦点的直线与抛物线交于两点，直线分别交抛物线的准线于两点，则下列说法正确的有（    ） A．轴 B． C．以为直径的圆与抛物线的准线恒相交 D．面积的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．设为抛物线：的焦点，点为上一点，过作轴的垂线，垂足为，若，则______． 13．已知是椭圆的两个焦点，点在上，则的最大值为______ 14．已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于、两点，直线、分别与抛物线交于、两点，设直线、的斜率分别为、，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知椭圆的离心率，且上的点到的距离的最大值为. (1)求的方程； (2)过的直线与交于，记关于轴的对称点为.证明：直线恒过定点； 16．（15分）在平面直角坐标系中，已知椭圆的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，连接BF并延长交椭圆C于点椭圆P． (1)若，，求椭圆C的方程 (2)若直线AB与直线AP的斜率之比是-2，证明：为定值，并求出定值． 17．（15分）已知A，B分别是双曲线的左、右顶点，点是双曲线C上的一点，直线PA，PB的斜率分别为，，且. (1)求双曲线C的方程； (2)已知过点的直线，交C的左，右两支于D，E两点（异于A，B）. （i）求m的取值范围； （ii）设直线与直线交于点Q，求证：点Q在定直线上. 18．（17分）已知动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数． (1)求动点的轨迹方程，并说明轨迹即曲线的形状． (2)过作两直线与抛物线相切，且分别与曲线交于，两点，直线，的斜率分别为，． ①求证：为定值； ②试问直线是否过定点，若是，求出定点坐标；若不是，说明理由． 19．（17分）椭圆的两个焦点分别为，，离心率为，为椭圆上任意一点，不在轴上，的面积的最大值为. (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆相交于M，N两点，设点，求证：直线，的斜率之和为定值，并求出定值. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 圆锥曲线的方程（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知双曲线经过点，则的虚轴长为（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【详解】由点在双曲线上，得，解得，即双曲线方程为，所以，则的虚轴长为． 故选：A 2．在平面直角坐标系xOy中，为抛物线的焦点，点在上，若轴，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】抛物线，焦点， 当轴时，，则，解得， 即或，如下图， 不妨取，则， 所以． 故选：D 3．已知点、是椭圆的左、右焦点、点为椭圆上一点，点关于的角平分线的对称点也在椭圆上，若，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】点关于的角平分线的对称点N必在上，因此共线，， ，设，则，，， 又，则， 中，由余弦定理得：， 即，化简得，则，， 中，，由余弦定理得， 整理得，所以离心率. 故选：D 4．“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】联立方程，整理可得， 当时，即，方程有一解，即只有一个公共点； 当时，，解得； 所以直线与双曲线只有一个公共点时，或， 所以“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的充分不必要条件， 故选：A 5．已知，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由两边平方得，对应图象是椭圆的上半部分， 画出半椭圆和的图象如下图所示， 设半椭圆的左右顶点为， 由两边平方并化简得， 由，解得（负根舍去）， 当过点时，， 结合图象可知，要使关于的方程有两个不相等的实数根， 则需 故选：A 6．已知直线与抛物线相交于两点，点在轴上，且，则点到坐标原点的距离为（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】D 【详解】设，将与联立，得，所以. 设，因为，所以 0， 解得，故点到坐标原点的距离为. 故选：D． 7．已知抛物线的焦点为F，点P在抛物线上运动，点Q在圆上运动，则的最小值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【详解】由抛物线方程可得焦点，准线方程为， 如图： 过点P作准线的垂线，垂足为N， 因为点P在抛物线上，所以，所以， 当Q点固定不动时，P、Q、N三点共线，即垂直于准线时，所求的和最小， 又因为Q在圆上运动，由圆的方程为得圆心，半径， 所以. 故选：A. 8．已知椭圆和双曲线有公共的焦点，其中为左焦点，是与在第一象限的公共点.线段的垂直平分线经过坐标原点，若的离心率为，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令线段的垂直平分线与的交点为，显然是的中点，而是的中点， 则，而，因此，， 则，令与的半焦距为， 由，得，于是，解得，则， ，所以的渐近线方程为. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线过抛物线的焦点且与交于A，B两点，点F，B关于坐标原点的对称点分别为M，N，AM与NF相交于点，则（    ） A． B．四边形ABMN为梯形 C． D．面积的最大值为2 【答案】BC 【详解】对于A，由抛物线，得，准线方程为，当轴时，根据对称性，在轴上，故可设，因为，所以，所以． 对于B，如图，设为坐标原点，因为点F，B关于原点的对称点分别为M，N，所以四边形BMNF为平行四边形，所以且，所以，且，所以四边形ABMN为梯形．    对于C，若的斜率存在，设，与方程联立，得，所以，，所以． 若的斜率不存在，则，易得，所以．所以（记结论  若线段AB是抛物线的一条过焦点的弦，则），即． 对于D，因为过焦点且斜率不为0，所以可设，与方程联立，得，所以， ，则，又，所以，所以为等腰三角形，又轴为MF的垂直平分线，故必在轴上．因为，所以，则，当MA与抛物线相切时，｜OP｜取得最大值．设过与抛物线相切的直线为，与方程联立，得，则，解得，则，令，得，此时，所以的最大值为1． 故选：BC 10．已知过抛物线（）的焦点的直线交抛物线C于，两点，且，直线OA和OB的斜率分别为，则（    ） A． B． C．线段长的最小值为4 D． 【答案】BC 【详解】当时，，，，，A错； 当斜率存在时，设直线方程为， 代入抛物线方程得，，解得（负值舍去）， 焦点为，抛物线方程为，当与轴垂直时，，， 可取，此时，，，，D错； ， ，，，而异号，所以， ，B正确； ， 综上，，当轴时，取得最小值4，C正确， 故选：BC． 11．在平面直角坐标系中，过抛物线的焦点的直线与抛物线交于两点，直线分别交抛物线的准线于两点，则下列说法正确的有（    ） A．轴 B． C．以为直径的圆与抛物线的准线恒相交 D．面积的最小值为 【答案】ABD 【详解】如图，由题意可知，抛物线的焦点为，准线为， 显然直线AB的斜率可以不存在，但不为0，此时直线AB与抛物线必相交于两点， 设直线设，，联立方程 消去可得，可得． 对于A，直线，令，可得， 即，所以轴，A正确； 对于B，由A项同理可得则轴，则， 可得，所以，B正确； 对于C，由上述分析可知，由梯形中位线可知， 以AB为直径的圆的圆心到准线的距离为， 即圆心到准线的距离等于圆的半径，故以AB为直径的圆与抛物线的准线恒相切，C错误； 对于D，因为， 所以的面积， 当且仅当时，等号成立，此时直线与轴垂直，故面积的最小值为，D正确. 故选：ABD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．设为抛物线：的焦点，点为上一点，过作轴的垂线，垂足为，若，则______． 【答案】 【详解】因为抛物线，所以，所以抛物线的焦点的坐标为． 设，如图，由抛物线的定义可知，又， 所以，解得，故．    方法一：设为原点，则． 方法二：，所以， 在中，由余弦定理得． 故答案为：. 13．已知是椭圆的两个焦点，点在上，则的最大值为______ 【答案】8 【详解】设，，， 所以， 因为，所以，当且仅当时取等号， 所以的最大值为8. 故答案为：8. 14．已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于、两点，直线、分别与抛物线交于、两点，设直线、的斜率分别为、，则__________. 【答案】 【详解】当直线与轴重合时，直线与抛物线有且只有一个公共点，不合乎题意， 设直线的方程为，设点、， 联立，可得，， 由韦达定理可得，， 设点、，易知点， 易知，直线不与轴重合，设直线的方程为， 联立，可得，， 由韦达定理可得，，同理可得， 所以，. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知椭圆的离心率，且上的点到的距离的最大值为. (1)求的方程； (2)过的直线与交于，记关于轴的对称点为.证明：直线恒过定点； 【答案】（1）由的离心率，则， ，设上的点， 则， ， ①当，即时，的最大值为， 由，则， 又，所以，所以此时椭圆的方程为 ②当，即时，的最大值为， 由， 即，解得，不合题意. 综上可知，的方程为. (2)当直线斜率存在时，设直线的方程为， ，则， 由得， ，即 ， 直线方程为， 当时， ， 故直线恒过定点. 当直线斜率不存在时，直线方程为也过. 故直线恒过定点. 16．（15分）在平面直角坐标系中，已知椭圆的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，连接BF并延长交椭圆C于点椭圆P． (1)若，，求椭圆C的方程 (2)若直线AB与直线AP的斜率之比是-2，证明：为定值，并求出定值． 【答案】（1）由，，得：，解得， 又点在椭圆上，则，解得， 所以椭圆的方程为． (2) 证明：依题意，令，直线，由，得， 直线AB的斜率，直线AP的斜率， 则，即，有，得，， 于是得点，，， 所以为定值. 17．（15分）已知A，B分别是双曲线的左、右顶点，点是双曲线C上的一点，直线PA，PB的斜率分别为，，且. (1)求双曲线C的方程； (2)已知过点的直线，交C的左，右两支于D，E两点（异于A，B）. （i）求m的取值范围； （ii）设直线与直线交于点Q，求证：点Q在定直线上. 【答案】（1）由题意可知，，因为，所以. 因为，，得， 又因为在双曲线上，则， 所以. 所以双曲线C的方程为. （2）（i）由题意知直线l的方程为，，. 联立， 化简得， 因为直线l与双曲线左右两支相交，所以， 即满足：， 所以或. （ii）证明：，，则， 直线的方程为，直线的方程为. 联立直线与的方程，得， 所以， 所以， 所以， 所以点Q的横坐标始终为1，故点Q在定直线上 18．（17分）已知动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数． (1)求动点的轨迹方程，并说明轨迹即曲线的形状． (2)过作两直线与抛物线相切，且分别与曲线交于，两点，直线，的斜率分别为，． ①求证：为定值； ②试问直线是否过定点，若是，求出定点坐标；若不是，说明理由． 【答案】(1)(2)①；② 【详解】（1）解：由动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数， 因为，点到定直线的距离为， 根据题意，可得，整理得， 所以点的轨迹方程为. （2）解：①证明：设过点与抛物线相切的直线方程为， 其中， 联立方程组，整理得， 则，整理得， 由直线的斜率分别为，则是方程的两个实数根， 可得，则， 所以为定值. ②设直线的方程为，且， 联立方程组，整理得， 可得， 因为，可得，即， 化简可得， 即，所以， 所以或， 当时，可得，此时恒过定点与点重合，舍去； 当时，可得，此时恒过定点， 综上所述，直线恒过定点.    19．（17分）椭圆的两个焦点分别为，，离心率为，为椭圆上任意一点，不在轴上，的面积的最大值为. (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆相交于M，N两点，设点，求证：直线，的斜率之和为定值，并求出定值. 【答案】(1)(2)定值， 【详解】（1）因为椭圆的离心率为，所以， 设到的距离为，因为， 所以，易得当时面积取得最大值， 所以，因为， 所以，，所以椭圆的方程为； （2）证明：如图，易知点在椭圆外， 设直线的方程为，，， 由得， 所以，，， 因为，所以， 所以， 所以， 所以. 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第三章圆锥曲线的方程（高效培优单元自测·提升卷） (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1 2 4 6 7 8 A D D A A 0 A B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9 10 11 BC BC ABD 第二部分（非选择题共92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 2号 13.8 14.2 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 由E保味是.电 B:r+4=a,设E上的点M(x八 则w0r=r+0-2-3y-4y+,(sysj 3 3 118 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由a2+16= 2W21 3， 则a2=4' t 又，所以a=2,所以此时椭圆E的方程为4+y2=1 2当0>号0ca有所，10的大为3j-。4 1 2 4 自-442可 240:得华20不合验 综上可知，E的方程为4+少=1 (2)当直线斜率存在时，设直线I的方程为y=+2, 4)B(,）,则C(-,） +y=1 4 由y=+2得(1+4k2)x2+16x+12=0, 4=06er-486）0,a> 16k 12 x+x2= 1+4k2,x21+4k2,+5s 3, y-为=2-4(x-5) 直线BC方程为+x 当x=0时，为-.5他+2 2+xx2+ x2+x1 =2+26五=2+26=1 218 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 。1 故直线I恒过定点 P 当直线l斜率不存在时，直线BC方程为x=O也过 1 故直线恒过定点 B C 1 0.5 /2 -1B2 16.(15分) 【解析】(1)由B(0,b), 5得： 解得6=5 8)2 -3v5)1 则(5 5 -=1,解得 a=2 x2,y2 所以椭圆c的方程为4+3 =1 珠 B F (2) D x+y=1 c b 证明：依题意，令 ,直线 F(c,0) BF: ，由 x2,y2 ，得 =1 la+ 1 2ae、, 318 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -b3 -b3 直线B的斜序么直线P的料率 a2+c2 2ac a2+c2（a) 2a'c+a+ae?, a 2b3 b 则2ac++aca,即2b=2ac+a2+c2,有2(a-c)=(a+cy,得a=3c'b=2W2c, 9c 8v2c P 于是得点 吟学，m警，叶远 5 5, V2c25 S0r=16W2.216 所以S。4PF5C 为定值 17.(15分) (1)由题意可知4(-a,0),B(a,0),因为lAB片2a=4,所以a=2. n2n2 因为P25,m.62N2+222-222㎡-444.得r=16, =4 又因为P22,川在双曲线上，则4= 所以b2=16. 2y-1 所以双曲线C的方程为416. (2)(①由题意知直线1的方程为=m+4,D(,出）.E,) 418 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (x y 461 联立x=my+4, 化简得 4m2-1y2+32my+48=0 B 因为直线与双曲线左右两支相交，所以>0， 4m2-1≠0 (32m)2-192(4m2-1>0 即满足： 48 m y2= 4m21>0 所以m< 2或加、1 2 -32m 48 3(y+y2) 出+y2 (i)证明： 4m,44m-,则 2= 2m a如，”名9的4r空 2（x+2)=当2x-2) 联立直线AD与BE的方程，得：+2 七2-2 所以my2+2my+6厂my,+6my2+2, 所以（6%-2)x=4m+4y+12y2 x=2m+2y+62.-3y-3+2%+6%=3-4=1 所 3y2-y 3y2-y 3y2-y, 518 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以点Q的横坐标始终为1，故点Q在定直线x=1上 18.(17分) 【解析】(1)解：由动点M(x,)与定点FL,0)的距离和M到定直线I:x=4的距离的比是常数2， 因为MF--+广，点Mc)到定直线1：x=4的距离为K-4, V(x-1)2+y21 x2.y2 根据题意，可得x-42,整理得4+31， 所以点M的轨迹方程为4+3】 3 2)解：①证明：设过点40，与抛物线y=m相切的直线方程为>=x-)+} 其中k≠0， y=kx-)+2 3 联立方程组 (y=mx2 整理得m2-+k+3-0, 2 则A=(-k-4mk+2=0,整理得K2-4k-6m=0: 3 AP,AQ 由直线 k,k3‘人，k3县方程2-4mk-6m=0的两个实数根， 的斜率分别为，则是方程 1+1=k+及=-2 可得k+k=4m,kk3=-6m,则kk,kk3, 1+1 2 所以kk为定值3. PO x=ty+n P(x,y),O(x2,y2) ②设直线的方程为 且 x=ty+n 联立方程组 父+=1，整理得6x+4y2+6m+3-12=0 43 618 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6tn 可得少+⅓= 3n2-12 32+45 3t2+4, 1+1=-2 -+名=-29+m++n-12 3 3 3 因为店+龙一3，可得y+2⅓+2 3,即++2 ，3 3 化简可得2+争 32+4++3】 即4r+24n=9r+48+28,所以 4(n+3)2=(3t+8)2 所以”=+1或n= 3 t-7 +1时，可得=++1=0++1此时P0恒过定点-多与点4重合合去； 3 当n= 3 可-引7t 当”、3 1 3 综上所述，直线PQ恒过定点 19.(17分) V3 c=5 (1)因为椭圆的离心率为2，所以a2, 设R到的距离为，因为 FF =2c 所以S.5=2FBd=cd,易得当d=b时△RFE,面积取得最大值， 所以c=5,因为=a-c】 所以。：4尔=小所以能因c的方型为子+广产-1： 718 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)证明：如图，易知点P在椭圆外， 设直线l的方程为x=my+m+1,M(,),N(x,2), 2+y2=1 4 由x=my+m+1得(m2+4)y2+(2m2+2m)y+m2+2m-3=0, 2m2+2m m2+2m-3 所以A>0片+%= m2+4,= m2+4, 则=H」k=h-1 因为B(0,1),所以 x, u+k=片-1+_50y-)+x0-D 所以 X1 X2 XX2 w+kv-m,+m+10-)+(m+m+1)03-)。 2myy2+y+当2-2m-2 所以 (my,+m+1)(my2+m+1) m2yy2+m2+m)(y+y2)+m2+2m+1, 2m(m+3m-）_2m2+2m-2m-2 所以aw+kaN m2+4m2+4 28m-2 mm+3m-).2mm+Dm+m）+m2+2m+18m+4 m2+4 m2+4 818