第3章 圆锥曲线的方程 章末检测试卷(3)（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教A版）

**基本信息** 本单元卷聚焦圆锥曲线核心知识，融合2024年全国甲卷真题与油纸伞文化素材，梯度覆盖定义、方程、几何性质及综合应用，适配高中数学圆锥曲线单元复习，培养数学抽象与逻辑推理素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|抛物线定义、椭圆方程、双曲线离心率|基础概念与真题衔接，如第3题改编自2024甲卷| |多选题|3/18|双曲线渐近线、椭圆与抛物线综合|多知识点融合，如第10题考查椭圆与抛物线交点性质| |填空题|3/15|抛物线距离、文化情境应用、双曲线最值|情境化设计，如第13题以油纸伞为背景考查椭圆形成| |解答题|5/77|双曲线方程、抛物线定点证明、椭圆弦长、对称探究、综合证明|综合性强，如第19题复刻2024甲卷椭圆证明题，强化逻辑推理|

章末检测试卷(三) [时间：120分钟 分值：150分] 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分) 1.抛物线y2=6x的焦点到准线的距离是(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案　C 解析　抛物线的焦点到准线的距离为p=3. 2.焦点在x轴上，右焦点到短轴端点距离为2，到左顶点距离为3的椭圆的标准方程是(　　) A.+=1 B.+y2=1 C.+y2=1 D.x2+=1 答案　A 解析　由题意知，a=2，a+c=3， 即a=2，c=1， 所以b==， 因为椭圆的焦点在x轴上，所以椭圆的标准方程是+=1. 3.(2024·全国甲卷)已知双曲线的两个焦点分别为(0，4)，(0，-4)，点(-6，4)在该双曲线上，则该双曲线的离心率为(　　) A.4 B.3 C.2 D. 答案　C 解析　设F1(0，-4)，F2(0，4)，P(-6，4)， 则|F1F2|=2c=8， |PF1|==10， |PF2|==6， 则2a=|PF1|-|PF2|=10-6=4， 则e===2. 4.直线y=kx+1与椭圆+=1总有公共点，则m的取值范围是(　　) A.[1，+∞) B.(0，1)∪(1，+∞) C.[1，5)∪(5，+∞) D.(0，1)∪(1，5) 答案　C 解析　直线y=kx+1过定点(0，1)，只需该点落在椭圆内或椭圆上， ∴+≤1， 解得m≥1，又m≠5， ∴m的取值范围是[1，5)∪(5，+∞). 5.在椭圆+=1中，以点M为中点的弦所在直线的斜率为(　　) A.- B.-4 C.- D.-2 答案　C 解析　方法一　设弦的两端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 代入椭圆方程得 两式相减得 +=0， 即=-， 又x1+x2=2，y1+y2=1， 所以=-，即=-，所以以点M为中点的弦所在的直线的斜率为-. 方法二　设弦的斜率为k，则k·kOM=-=-，得k=-. 6.将椭圆C1：+=1(a>b>0)上所有点的横坐标伸长为原来的m(m>1)倍，纵坐标伸长为原来的n(n>1)倍得到椭圆C2，设C1，C2的离心率分别为e1，e2，则下列说法正确的是(　　) A.若m<n，则e2<e1 B.若m>n，则e2>e1 C.若m<n，则e2>e1 D.若m>n，则e2<e1 答案　B 解析　由题意知，椭圆C1：+=1(a>b>0)上所有点的横坐标伸长为原来的m(m>1)倍，纵坐标伸长为原来的n(n>1)倍得到椭圆C2，则C2：+=1(a>b>0)， 若m>n(m>1，n>1)， 则e1=， e2==， 则<1，所以a2-b2>a2-b2， 则e2>e1，故B正确，D错误； 若m<n(m>1，n>1)，则可能出现m2a2<n2b2，即椭圆焦点在y轴上的情况， 此时e2=e1，e2>e1，e2<e1均可能出现，故A，C错误. 7.已知抛物线C1：y2=4x与抛物线C2：x2=4y，则(　　) A.过C1与C2焦点的直线方程为x+y=4 B.C1与C2只有1个公共点 C.平行于x轴的直线与C1和C2最多共有3个交点 D.不存在直线与C1和C2都相切 答案　C 解析　由题意可知C1的焦点坐标为(1，0)，C2的焦点坐标为(0，1)， 过C1与C2焦点的直线方程为+=1，即x+y=1，A错误； 由解得或 所以C1与C2有(0，0)，(4，4)，共2个公共点，B错误； 由抛物线C1：y2=4x知，开口向右，对称轴为x轴， 所以与x轴平行的直线与C1有1个交点， 由抛物线C2：x2=4y知，开口向上，对称轴为y轴， 所以与x轴平行的直线与C2最多有2个交点，C正确； C1与C2关于直线y=x对称，若存在直线与C1和C2都相切，则该切线也关于直线y=x对称，不妨设为y=-x+t，与x2=4y联立得x2+4x-4t=0，由Δ=0得t=-1， 所以直线y=-x-1与C1和C2都相切，D错误. 8.在平面直角坐标系中，设线段AB长度为2a(a>0)，坐标原点O为AB中点且点A，B均在x轴上，若动点P满足|PA||PB|=a2，那么点P的轨迹称为双纽线(如图).若a=1，点P在第一象限且cos∠POB=，则|PA|等于(　　) A. B. C. D.2 答案　C 解析　A(-1，0)，B(1，0)，设P(x，y)， 由双纽线的定义得|PA||PB|=1， 即=1， 化简得(x2+y2)2=2(x2-y2)， 显然|OB|=1，设|OP|=r，∠POB=θ，则P(rcos θ，rsin θ)， 代入方程(x2+y2)2=2(x2-y2)，得r4=2r2(cos2θ-sin2θ)=2r2cos 2θ， 所以r2=2cos 2θ=2(2cos2θ-1)=2×=，|OP|=， 由余弦定理得|PB|2=|OP|2+|OB|2-2|OP||OB|cos∠POB=+1-2××1×=， 所以|PB|=， 所以|PA|==. 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.已知F1，F2分别是双曲线C：x2-y2=1的左、右焦点，点P是双曲线上异于双曲线顶点的一点，且·=0，则下列结论正确的是(　　) A.双曲线C的渐近线方程为y=±x B.△PF1F2的面积为1 C.F1到双曲线的一条渐近线的距离为2 D.以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=1 答案　AB 解析　对于A，由题意知双曲线C的渐近线方程为y=±x，所以A正确； 对于B，由双曲线C：x2-y2=1，可得a=1，b=1，c=，则F1(-，0)，F2(，0)，设P(x，y)，则=(--x，-y)，=(-x，-y)， 所以·=(--x)(-x)+(-y)2=0，得x2+y2=2，因为点P在双曲线上，所以x2-y2=1，解得|y|=，所以△PF1F2的面积为|F1F2||y|=×2×=1，所以B正确； 对于C，F1(-，0)到一条渐近线x-y=0的距离为d==1，所以C错误； 对于D，由于 F1(-，0)，F2(，0)，所以以F1F2为直径的圆的圆心为(0，0)，半径为，所以圆的方程为x2+y2=2，所以D错误. 10.已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1，F2，抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F2，若两曲线的一个交点为P，则下列说法正确的是(　　) A.p=4 B.|PF1|+|PF2|=6 C.|PF2|=3 D.△PF1F2的面积为2 答案　AB 解析　由椭圆方程可得c==2， 所以=2，即p=4，故A正确； 由椭圆定义可得|PF1|+|PF2|=2a=6， 故B正确； 联立方程解得x=(负值舍去)， 即点P的横坐标为xP=， 由抛物线定义可得|PF2|=xP+=≠3，故C错误； 将xP=代入抛物线方程可得|yP|=， 所以=×2c×|yP|=≠2，故D错误. 11.已知平面内动点P到定点F(0，5)的距离与到定直线y=1的距离之和为6，点P的轨迹为曲线C，则下列说法中正确的有(　　) A.点(3，4)在曲线C的内部 B.曲线C关于y轴对称 C.若点(x0，y0)在C上，则x0的取值范围是[-2，2] D.直线y=x+3被曲线C截得的线段长为8 答案　BC 解析　设点P(x，y)，因为点P到定点F(0，5)的距离与到定直线y=1的距离之和为6， 所以+|y-1|=6， 当y≥1时，得=7-y，两边平方得x2=-4y+24(1≤y≤6)， 当y≤1时，得=5+y，两边平方得x2=20y(0≤y≤1)， A选项，如图，曲线C由两段抛物线弧组成，在x2=-4y+24(1≤y≤6)中， 令x=3，得y=<4，故点(3，4)不在曲线C的内部，A错误； B选项，由图易知，两段抛物线弧均关于y轴对称，故曲线C关于y轴对称，B正确； C选项，若点(x0，y0)在x2=-4y+24(1≤y≤6)上，得=-4y0+24≤20，所以-2≤x0≤2，若点(x0，y0)在x2=20y(0≤y≤1)上，同理得-2≤x0≤2，C正确； D选项，由得 由得 故y=x+3与曲线C交于P(2，5)，Q(10-4，13-4)， 可得|PQ|= =8×(-)≠8，D错误. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12.(2024·上海)已知抛物线y2=4x上有一点P到准线的距离为9，那么点P到x轴的距离为　　　　.  答案　4 解析　设P(x0，y0)， 因为点P到准线x=-1的距离为9， 所以x0+1=9， 则x0=8，=4x0=32， 则y0=±4， 即点P到x轴的距离为4. 13.油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1 000多年的历史.为宣传和推广这一传统工艺，某活动中将一把油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示.该伞沿是一个半径为2的圆，圆心到伞柄底端距离为，当阳光与地面的夹角为60°时，在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，该椭圆的长轴长为　　　　.  答案　 解析　因为伞沿是半径为2的圆，圆心到伞柄底端的距离为，设伞柄与地面的夹角为θ，则tan θ==，所以θ=60°，阳光光线与伞柄平行， 所以椭圆的长半轴长a==， 长轴长2a=. 14.已知双曲线C：x2-=1的左焦点为F1，点Q(0，2)，P是双曲线C右支上的动点，则|PF1|+|PQ|的最小值为　　　　.  答案　6 解析　如图所示，根据双曲线的性质可知|PF1|-|PF2|=2a=2， 得到|PF1|=|PF2|+2， 所以|PF1|+|PQ|=|PF2|+|PQ|+2≥|QF2|+2， 而Q(0，2)，F2(2，0)， 所以|QF2|==4， 所以|PF1|+|PQ|的最小值为6. 四、解答题(本题共5小题，共77分) 15.(13分)已知双曲线C1过点(-4，3)，且与双曲线C2：-=1有共同的渐近线，F1，F2分别是C1的左、右焦点. (1)求C1的标准方程；(4分) (2)设点P是C1上第一象限内的点，求·的取值范围.(9分) 解　(1)由题意可设C1的方程为-=λ(λ≠0)， 将(-4，3)代入可得，-=λ，解得λ=2， ∴C1的标准方程为-=1. (2)设P(x，y)，则y2=6， ∵点P在第一象限，∴x>2， 且F1(-，0)，F2(，0)， ∴·=(--x，-y)·(-x，-y)=x2-10+y2=x2-16∈(-6，+∞)， ∴·的取值范围是(-6，+∞). 16.(15分)已知点A(-2，1)，B(2，4)，C(2，1)中恰有两个点在抛物线E：x2=2py(p>0)上. (1)求E的标准方程；(5分) (2)若点M(x1，y1)，N(x2，y2)在E上，且x1x2=-4，证明：直线MN过定点.(10分) (1)解　因为点A(-2，1)，C(2，1)关于y轴对称，抛物线E也关于y轴对称， 所以点A(-2，1)，C(2，1)在E上， 将点A(-2，1)代入抛物线E：x2=2py(p>0)得4=2p，即p=2， 所以抛物线E的方程为x2=4y. (2)证明　由题意可知，直线MN的斜率一定存在，则设直线MN的方程为y=kx+m， 由消y得x2-4kx-4m=0， 由根与系数的关系得x1x2=-4m=-4⇒m=1， 所以直线MN：y=kx+1，显然恒过定点(0，1). 17.(15分)已知椭圆+=1及直线l：y=x+m. (1)当直线l与该椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；(7分) (2)求直线l被此椭圆截得的弦长的最大值.(8分) 解　(1)由 消去y并整理得9x2+6mx+2m2-18=0.① Δ=36m2-36(2m2-18)=-36(m2-18). 因为直线l与椭圆有公共点， 所以Δ≥0，解得-3≤m≤3. 故所求实数m的取值范围为[-3，3]. (2)设直线l与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由①得x1+x2=-，x1x2=， 故|AB|=· =· =·， 当m=0时，直线l被椭圆截得的弦长最大，最大值为. 18.(17分)已知直线l与抛物线y2=8x交于A，B两点，且线段AB恰好被点P(2，2)平分. (1)求直线l的方程；(8分) (2)抛物线上是否存在点C和D，使得C，D关于直线l对称？若存在，求出直线CD的方程；若不存在，请说明理由.(9分) 解　(1)由题意，可得直线AB的斜率存在，且不为0. 设直线AB：x-2=m(y-2)， 代入抛物线方程可得y2-8my+16m-16=0. 判别式Δ=(-8m)2-4(16m-16) =64>0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有y1+y2=8m， 由8m=4，得m=. 所以直线l的方程为2x-y-2=0. (2)假设存在点C，D， 则可设lCD：y=-x+n，与抛物线y2=8x联立， 消去y得x2-(n+8)x+n2=0， 其中Δ=(n+8)2-n2=16n+64>0， 则n>-4.(*) 又xC+xD=4(n+8)， 所以CD的中点为(2(n+8)，-8)， 代入直线l的方程，得n=-，不满足(*)式. 所以满足题意的点C，D不存在. 19.(17分)(2024·全国甲卷)已知椭圆C：+=1(a>b>0)的右焦点为F，点M在C上，且MF⊥x轴. (1)求C的方程；(5分) (2)过点P(4，0)的直线与C交于A，B两点，N为线段FP的中点，直线NB交直线MF于点Q，证明：AQ⊥y轴.(12分) (1)解　设F(c，0)，则c2=a2-b2， 由题意知c=1且=， 故=，故a=2(负值舍去)，故b=， 故椭圆方程为+=1. (2)证明　直线AB的斜率必定存在， 设AB：y=k(x-4)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由 可得(3+4k2)x2-32k2x+64k2-12=0， 故Δ=1 024k4-4(3+4k2)(64k2-12)>0， 故-<k<， 又x1+x2=， x1x2=， 而N， 故直线BN：y=， 因为点Q是直线BN与MF的交点， 设其纵坐标为yQ， 则yQ==， 所以y1-yQ=y1+ = = =k· =k· =k·=0， 故y1=yQ，即AQ⊥y轴. 学科网（北京）股份有限公司 $