高中数学单元测试——第3章圆锥曲线与方程（适中版01）

**基本信息** 本卷为高中数学圆锥曲线与方程单元测试，覆盖抛物线、双曲线、椭圆核心知识，通过基础辨析与综合应用，适配单元复习，培养数学抽象与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|抛物线焦点准线、双曲线渐近线、椭圆离心率|基础概念辨析，考查数学抽象能力| |多选题|3/18|双曲线性质、抛物线焦点弦|综合判断，体现推理意识| |填空题|3/15|双曲线参数、抛物线最近点|情境化问题，培养空间观念| |解答题|5/77|轨迹方程、直线与圆锥曲线位置关系、定点证明|分层设计，从方程求解到创新应用，发展模型观念与运算能力|

高中数学单元测试 —— 第3章 圆锥曲线与方程（适中版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）抛物线的焦点到准线的距离为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】由题可知即求p的值. 【详解】解：由题得， 故焦点到准线的距离为2， 故选：A． 2．（本题5分）双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由双曲线的渐近线方程的求法得出答案. 【详解】由题意得，，则其渐近线方程为. 故选：C. 3．（本题5分）已知焦点在x轴上的椭圆的短轴长为,则其离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由椭圆方程和短轴的长度，得出、的具体值,进而求出离心率. 【详解】由椭圆方程可知,所以,又短轴长,所以, 所以离心率. 故选:A 4．（本题5分）已知点在抛物线上，若点到抛物线对称轴的距离是4，到准线的距离是5，则的值是（    ）． A．2或4 B．4或6 C．6或8 D．2或8 【答案】D 【分析】由点的纵坐标及点在抛物线上得到点的横坐标，再由到准线的距离得到的值. 【详解】 如图所示，因为点到抛物线对称轴的距离是4，所以点的纵坐标为， 因为点在抛物线上，所以由得横坐标为， 又因为到准线的距离为5，即，解得或． 故选：D. 5．（本题5分）若椭圆的焦点在坐标轴上，焦距为8，且过点，则椭圆的标准方程为（    ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【分析】分焦点在轴上或轴上，两种情况，结合椭圆性质讨论求解即可. 【详解】因为焦距为8，所以，即． 若椭圆的焦点在轴上，椭圆过点，则， 此时，椭圆不存在，舍去； 若椭圆的焦点在轴上，椭圆过点，则， 此时，，所以，椭圆存在， 故椭圆的焦点在轴上，标准方程为． 故选：C 6．（本题5分）如图，一座抛物线形拱桥，当桥洞内水面宽16m时，拱顶距离水面4m，当水面下降1m后，桥洞内水面宽为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以抛物线的顶点为坐标原点，抛物线的对称轴为轴，过原点且垂直于轴的直线为轴建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为，分析可知点在该抛物线上，求出的值，可得出抛物线的方程，将代入抛物线方程，即可得出结果. 【详解】以抛物线的顶点为坐标原点，抛物线的对称轴为轴，过原点且垂直于轴的直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 设抛物线的方程为，由题意可知点在抛物线上， 所以，可得，所以抛物线的方程为， 当水面下降后，即当时，，可得， 因此，当水面下降后，桥洞内水面宽为. 故选：D. 7．（本题5分）设 分别是双曲线 的上、下焦点，双曲线上的点 满足 ，则 的面积等于（    ） A． B．12 C． D．6 【答案】D 【分析】根据双曲线定义可得，进而得，即可利用面积公式求解. 【详解】由可得，故， 又，故,即， 故的面积为， 故选:D 8．（本题5分）在平面直角坐标系中，点是椭圆上的动点，椭圆的左、右焦点分别为，，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆定义以及点点距离即可求解. 【详解】依题意，设，而，，    则 ， 要使最大，则在右半椭圆上，故， ，此时点位于右顶点. 故选：D 二、多选题 9．（本题6分）关于双曲线的以下论述中，正确的是（   ） A．焦点在y轴上 B．虚轴长为16 C．渐近线方程为 D．离心率为 【答案】ACD 【分析】由有，逐项验证即可求解. 【详解】由有，所以双曲线的焦点在轴上，故A正确； 由，所以虚轴长为，故B错误； 由得，故C正确；由，所以，即， 所以，故D正确. 故选：ACD. 10．（本题6分）设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于两点，为的准线，则（    ） A． B． C．以为直径的圆与相切 D． 【答案】CD 【分析】求出抛物线方程，利用抛物线的定义，结合直线与抛物线的位置关系计算弦长和三角形面积判断选项的正误即可 【详解】直线过抛物线的焦点， 可得，则，所以A选项错误； 抛物线方程为，准线的方程为， 直线与抛物线交于两点，设， 直线方程代入抛物线方程消去可得， 则，得，所以B选项错误； 的中点的横坐标，中点到抛物线的准线的距离为， 则以为直径的圆与相切，所以C选项正确； 点到直线的距离，，所以D选项正确． 故选：CD． 11．（本题6分）已知曲线C的方程为，集合，若对于任意的，都存在，使得成立，则称曲线C为Σ曲线.下列方程所表示的曲线中，是Σ曲线的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】问题转化为，存在，使得，根据这一条件逐一判断即可. 【详解】A：的图象既关于x轴对称，也关于y轴对称，且图象是封闭图形.所以对于任意的点，存在着点Q（x2，y2）使得，所以满足； B：的图象是双曲线，且双曲线的渐近线斜率为±1，所以渐近线将平面分为四个夹角为90°的区域，当P，Q在双曲线同一支上，此时，当P，Q不在双曲线同一支上，此时，所以不满足； C：的图象是焦点在x轴上的抛物线，且关于x轴对称，设P为抛物线上一点，过O点作OP的垂线，则垂线一定与抛物线交于Q点，所以，所以 D：取P（0，1），若，则有显然不成立，所以此时不成立， 故选：AC 【点睛】关键点睛：运用圆锥曲线的性质是解题的关键. 三、填空题 12．（本题5分）已知双曲线，且，那么正实数______. 【答案】 【分析】根据双曲线的几何性质，得出方程，即可求解. 【详解】因为双曲线，且， 由，可得，所以， 因为，所以. 故答案为：. 13．（本题5分）已知抛物线的焦点为，若点是抛物线上到点距离最近的点，则__________. 【答案】3 【分析】根据两点间距离公式，结合二次函数的性质即可求解, 由抛物线的焦半径公式即可求解. 【详解】由题知，设，其中，则 由于点是抛物线上到点距离最近的点，， 故答案为：3. 14．（本题5分）已知点，椭圆上的两点满足，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】设，由及点差法可得，结合点在椭圆上可得，由求解即可. 【详解】由题意知，，，故点在椭圆内，、、三点共线，如图所示， 设，则， 由，可得，解得. 又， 可得，即，⑤ 将①②代入⑤可得，⑥ 联立①⑥，即，解得， 将点带入椭圆方程可得，整理得， 由可得，解得， 又，所以，故实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 15．（本题13分）根据下列条件，求曲线的标准方程： (1)经过两点，的椭圆的标准方程. (2)焦距为26，且经过点的双曲线的标准方程. (3)经过点的抛物线的标准方程. 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解，可设方程为，代入点的坐标可得答案； （2）根据焦距和顶点可得双曲线的方程； （3）设出方程，根据抛物线所过点，求出方程. 【详解】（1）设椭圆的方程为， 因为椭圆经过两点，，所以，解得， 所以椭圆的方程为. （2）因为双曲线的焦距为26，且经过点，所以， 所以，所以双曲线的方程为. （3）由题意设抛物线的方程为或， 因为抛物线过点，所以可得，， 即抛物线的方程为或. 16．（本题15分）拋物线的顶点为坐标原点，焦点为，过且斜率为的直线与交于两点． (1)当时，求； (2)若的面积为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先得到焦点坐标，则直线的方程为，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，根据焦点弦公式表示出，再代入即可得解； （2）求出点到直线的距离，再由面积公式得到方程，解得即可. 【详解】（1）拋物线的焦点， 则直线的方程为． 设， 由，得， 则，所以， 所以， 当时，． （2）因为， 点到直线的距离， 所以， 化简得，解得，即． 17．（本题15分）已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且它们的斜率之积是2，记动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)过点作直线与曲线相交于两点，点能否是线段的中点？若能，求直线的方程，若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 【分析】（1）根据列出关于的方程，由此可知结果； （2）先根据点差法求得的斜率，然后可表示出的方程，联立的方程与曲线的方程，根据的结果作出判断. 【详解】（1）设，所以， 所以， 又斜率存在，所以， 所以. （2）假设是线段的中点，设，则， 所以，所以， 所以， 所以，即， 联立，可得， 所以，即与曲线没有两个交点， 所以假设不成立，即点不能是线段的中点. 18．（本题17分）已知动点在运动过程中总满足关系式 (1)请说明动点的轨迹是什么曲线，并求出轨迹的标准方程； (2)记点的轨迹为曲线，且曲线与轴交于两个不同的点，当动点与两点均不重合时，证明直线的斜率之积为定值，并求出此定值． 【答案】(1)动点的轨迹是椭圆，椭圆的标准方程为. (2)直线的斜率之积为定值. 【分析】（1）根据椭圆的定义判断动点的轨迹，并求出椭圆的标准方程；（2）先求出曲线与轴的交点坐标，再根据直线的斜率公式求出直线的斜率，最后计算它们的斜率之积. 【详解】（1）设，，， 则动点到定点，的距离之和为 ， 又，满足， 所以动点的轨迹是以，为焦点的椭圆. 因为焦点在轴上，设的轨迹方程为， ，，，所以， 则椭圆的标准方程为. （2）令，解得， 所以，， 直线的斜率为， 直线的斜率为， . 因为点在椭圆上，满足， 所以， 将代入得：， 所以直线的斜率之积为定值. 19．（本题17分）在平面直角坐标系中，动点P与定点的距离和它到定直线的距离之比是常数，记P的轨迹为曲线E． (1)求曲线E的方程； (2)设过点且互相垂直的两条直线分别与曲线E交于点M，N（异于点A），求证：直线MN过定点． 【答案】(1)； (2)解法一：设， 当直线MN斜率不存在，直线AM，AN分别为， 分别联立，有，可得或（点横坐标，舍），则， 此时直线MN的方程为，过点； 当直线MN斜率存在时，设其方程为， 由，消去y得， 所以， 由根与系数的关系得， 因为，所以，即， 即， 即， 将，代入化简得， 所以或， 当时，直线MN方程为（不合题意，舍）， 当时，直线MN方程为，MN恒过定点， 综上所述，直线MN过定点．    解法二：（齐次化）设不过点A的直线MN的方程为， 将双曲线E的方程变形为：，即， 将直线MN的方程代入得，， 整理得，， 变形得． 由题意，直线AM、AN的斜率存在，且， 设， 则是方程的两个根， 所以，解得， 则直线MN的方程为，整理得， 令，得，所以直线MN恒过定点． 【分析】（1）根据两点距离、点线距离求曲线E的方程； （2）法一：讨论直线MN斜率存在性，设直线方程并联立双曲线方程，利用韦达定理及求出相关参数，得到直线方程，进而确定直线是否过定点；法二：将视作对称中心，齐次化处理相关方程、设直线方程，联立方程并结合求方程中所含的参数值，进而确定直线是否过定点； 【详解】（1）设，因为P与定点的距离和它到定直线的距离之比是常数， 所以，化简得，曲线E的方程为． （2）略 【点睛】关键点点睛：第二问，设直线方程，联立双曲线方程并应用韦达定理及求出直线方程中的相关参数为关键. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第3章 圆锥曲线与方程（适中版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）抛物线的焦点到准线的距离为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．（本题5分）双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 3．（本题5分）已知焦点在x轴上的椭圆的短轴长为,则其离心率为（   ） A． B． C． D． 4．（本题5分）已知点在抛物线上，若点到抛物线对称轴的距离是4，到准线的距离是5，则的值是（    ）． A．2或4 B．4或6 C．6或8 D．2或8 5．（本题5分）若椭圆的焦点在坐标轴上，焦距为8，且过点，则椭圆的标准方程为（    ） A．或 B． C． D． 6．（本题5分）如图，一座抛物线形拱桥，当桥洞内水面宽16m时，拱顶距离水面4m，当水面下降1m后，桥洞内水面宽为（    ） A． B． C． D． 7．（本题5分）设 分别是双曲线 的上、下焦点，双曲线上的点 满足 ，则 的面积等于（    ） A． B．12 C． D．6 8．（本题5分）在平面直角坐标系中，点是椭圆上的动点，椭圆的左、右焦点分别为，，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D． 二、多选题 9．（本题6分）关于双曲线的以下论述中，正确的是（   ） A．焦点在y轴上 B．虚轴长为16 C．渐近线方程为 D．离心率为 10．（本题6分）设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于两点，为的准线，则（    ） A． B． C．以为直径的圆与相切 D． 11．（本题6分）已知曲线C的方程为，集合，若对于任意的，都存在，使得成立，则称曲线C为Σ曲线.下列方程所表示的曲线中，是Σ曲线的有（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（本题5分）已知双曲线，且，那么正实数______. 13．（本题5分）已知抛物线的焦点为，若点是抛物线上到点距离最近的点，则__________. 14．（本题5分）已知点，椭圆上的两点满足，则实数的取值范围是__________. 四、解答题 15．（本题13分）根据下列条件，求曲线的标准方程： (1)经过两点，的椭圆的标准方程. (2)焦距为26，且经过点的双曲线的标准方程. (3)经过点的抛物线的标准方程. 16．（本题15分）拋物线的顶点为坐标原点，焦点为，过且斜率为的直线与交于两点． (1)当时，求； (2)若的面积为，求的值． 17．（本题15分）已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且它们的斜率之积是2，记动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)过点作直线与曲线相交于两点，点能否是线段的中点？若能，求直线的方程，若不能，请说明理由． 18．（本题17分）已知动点在运动过程中总满足关系式 (1)请说明动点的轨迹是什么曲线，并求出轨迹的标准方程； (2)记点的轨迹为曲线，且曲线与轴交于两个不同的点，当动点与两点均不重合时，证明直线的斜率之积为定值，并求出此定值． 19．（本题17分）在平面直角坐标系中，动点P与定点的距离和它到定直线的距离之比是常数，记P的轨迹为曲线E． (1)求曲线E的方程； (2)设过点且互相垂直的两条直线分别与曲线E交于点M，N（异于点A），求证：直线MN过定点． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $