专题07 直线与双曲线综合·面积·中点弦·定点·定值·最值六大典型问题（高效培优专项训练）数学人教A版高二选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦直线与双曲线综合问题，系统整合面积、中点弦等六大题型，通过30道典例构建"题型-方法-知识"三维训练体系，强化逻辑推理与数学运算素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |位置关系|5题|韦达定理应用、分类讨论|双曲线方程→直线位置关系→参数范围| |面积问题|5题|坐标法、距离公式|图形分割→面积表达式→最值计算| |中点弦|5题|点差法、设而不求|中点坐标→斜率关系→方程求解| |参数最值|5题|函数思想、不等式法|参数表示→目标函数→最值转化| |定点定值|5题|方程恒成立、特殊值法|动直线方程→参数分离→定点验证| |向量问题|5题|坐标运算、数量积|向量关系→坐标转化→方程求解|

专题07 直线与双曲线综合·面积·中点弦·定点·定值·最值六大典型问题 题型一 直线与双曲线的位置关系（韦达） 题型二 双曲线中三角形面积（四边形） 题型三 双曲线的中点弦问题 题型四 双曲线中的参数及最值 题型五 双曲线中的定点、定值、定直线 题型六 双曲线中的向量问题 题型一 直线与双曲线的位置关系（韦达） 1．已知动点分别与定点和连线的斜率乘积． (1)求动点的轨迹方程； (2)是的右焦点，若过点，与曲线交于，两点，是否存在轴上一定点，使得以为直径的圆恒过该定点？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）根据斜率的计算公式代入求解即可. （2）设出直线方程，与双曲线方程联立，结合圆的性质、韦达定理及向量垂直的坐标表示化简求解即可. 【详解】（1）由题意知，（，否则斜率不存在）， 则，即， 整理得. 故动点的轨迹方程为. （2）易知. 当直线斜率存在时，设：. 联立，整理得， 由题意知，， 设，，则，. 以为直径的圆恒过该定点，则，即. 又 ， 则， 即，解得，故 当直线斜率不存在时，此时：，代入双曲线方程解得， 不妨设，，以为直径的圆为， 将代入中，等式成立. 综上，存在满足条件的定点，坐标为. 2．已知双曲线，过点的直线l与交于不同两点A、B. (1)求双曲线的焦距和离心率； (2)若点A坐标为，点B在双曲线右支上，且B为线段AM的中点，求直线l的斜率； (3)若，点、分别是双曲线的左、右焦点，点是点A关于y轴的对称点，若存在直线l，使得，求m的取值范围. 【答案】(1)焦距为4，离心率 (2) (3)且 【分析】（1）根据双曲线方程求出，即可求得焦距和离心率； （2）根据中点公式用表示出点的坐标，根据点在双曲线右支上，列方程求出，再由斜率公式即可解出； （3）设，，联立直线和双曲线方程可得，再根据，代入并化简，可得到的关系，然后由，即可求出的取值范围. 【详解】（1）由题可知，，，所以焦距. 离心率. （2）因为B是线段AM的中点，所以， 同时B又在双曲线右支上，所以有，且， 解得， 所以l斜率. （3），设，， 则， 双曲线和直线l联立得， 化简得到， 因此有， . 由得， 代入并化简得， 再代入并化简得， 方程有解，代入t的范围，得到且. 由于，所以的取值范围为且. 3．已知双曲线的离心率为2，右焦点到渐近线的距离为，左焦点为，过的直线与的右支交于、两点，且点在第一象限． (1)求的标准方程； (2)若，求的方程； (3)记的内心为，的内心为，的面积为，的面积为，求的最大值． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）根据离心率和焦点到渐近线距离得到方程，求出双曲线方程； （2）设出直线，联立直线和双曲线方程，得到两根之和，两根之积，表达出两三角形面积，得到方程，求出答案； （3）作出辅助线，根据内心的性质和双曲线定义可得，，结合韦达定理得到，并求出面积的最大值. 【详解】（1）因为右焦点到渐近线的距离， 所以． 又离心率，且，解得． 所以的标准方程为． （2）设直线，点在第一象限，故， 联立消去得． 由韦达定理，得． 因为与的右支交于两点，所以，即． 因为，且，所以． 所以，解得，满足要求， 由于，故，故，解得，故， 所以的方程为． （3）由已知得． 过的内心作的垂线，垂足分别为，如图所示． 根据切线长定理，得， 由，得． 又，所以． 而，则． 所以．同理． 所以． 又， 所以． 因为， 所以，解得． 即，同理．所以． 因为， 所以． 所以． 又， 所以． 因为， 所以． 所以． 因为，所以当时，取最大值． 【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： （1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 4．已知，分别是双曲线的左、右顶点，点是双曲线上的一点． (1)求双曲线的方程； (2)已知过点的直线，交双曲线的左、右两支于，两点（异于，）． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）若，其中为坐标原点，求直线的方程． 【答案】(1) (2)（ⅰ）（ⅱ）或 【分析】（1）应用点在双曲线上列式计算求解双曲线方程； （2）（ⅰ）先设直线再联立结合根与系数关系及判别式列式计算求解；（ⅱ）应用面积及几何特征列式计算求解. 【详解】（1）因为是C上一点，所以，解得， 所以双曲线的方程为． （2）（ⅰ）由题意知，直线的方程为，设，， 联立，化简得， 因为直线与双曲线左右两支相交，所以，所以， 解得或，所以的取值范围为． （ⅱ）由图易知，， 则 ， 所以，解得或． 由（ⅰ）知，得，直线的方程为， 即或． 5．已知双曲线：的焦距为4，它的一条渐近线的倾斜角为. (1)求双曲线的方程； (2)已知点，过双曲线的右焦点的直线交的右支于，两点，的外接圆交轴于另一点. （i）证明：； （ii）若，求直线的方程. 【答案】(1) (2)（i）， ， 所以，即， 在与中， 又，所以， 所以，即； （ii）或 【分析】（1）根据已知列方程求双曲线参数，即可得； （2）设，，联立双曲线并应用韦达定理得，，且，（i）应用斜率的两点式整理化简得，从而有，再应用正弦定理且，即可证；（ii）设，利用四点共圆及韦达公式得，再由向量数量积的坐标表示列方程求，即可得. 【详解】（1）由题可知， 解得，所以双曲线的方程为； （2）由题知，设，， 联立， ，且，， 因为都在双曲线的右支上，所以有，解得， （i）略； （ii）设，由四点共圆得且， 即， 所以， ， 解得或，因为，所以，， 即所求直线的方程为或. 题型二 双曲线中三角形面积（四边形） 6．已知双曲线（，）经过点且其离心率为2，点为双曲线上一动点，过点的直线与双曲线的两条渐近线交于点，（，在轴同侧）． (1)求双曲线的方程； (2)证明点到两条渐近线的距离之积为定值，并求出该值； (3)求（为坐标原点）面积的最小值． 【答案】(1) (2)证明：双曲线的渐近线方程为：，点到两条渐近线的距离分别为：，，则，因在双曲线上，所以，代入解得为定值；定值为 (3) 【分析】1.使用离心率求出，，的关系，再将点代入求出双曲线方程； 2.利用双曲线上点的坐标特性，证明该点到双曲线两条渐近线的距离乘积恒为定值； 3.设过动点的直线，与渐近线方程联立得到三角形面积表达式，结合已知条件使用不等式求解。 【详解】（1）由题知，，故，结合，得：，将点代入双曲线方程得：，解得，，所以双曲线的方程为； （2）略，定值为； （3）设过点的直线方程为，联立直线与渐近线的方程得：，，，因为在轴同侧，所以，而，又因为，所以 原点到直线的距离，则， 又利用与，得： 因此， 所以面积最小值为. 7．在平面直角坐标系xOy中，设m为实数，若双曲线的右焦点为，离心率为，点F到双曲线的一条渐近线的距离为1，直线交双曲线于A，B两点. (1)求此双曲线的方程. (2)若A，B两点都在双曲线的右支上. （ⅰ）求面积的最小值. （ⅱ）在x轴上是否存在一点P，使得为定值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）存在， 【分析】（1）根据给定条件，结合点到直线距离公式列式求出即可. （2）（ⅰ）联立直线与双曲线的方程，结合韦达定理求出三角形面积的函数关系，进而求出最小值；（ⅱ）假定存在并设出点的坐标，利用数量积的坐标表示，结合韦达定理化简求解. 【详解】（1）由离心率，得，又，得， 焦点到渐近线的距离为，解得，，， 所以双曲线方程为. （2）（ⅰ）由消去得，设， 且，，， 因此的面积 ， 令，函数在上递减，当时，， 因此当时，取得最大值1， 所以面积的最小值为. （ⅱ）假设在x轴上存在一点P，使得为定值，设， 则， ，要为定值，当且仅当，即， 所以在x轴上存在一点P，使得为定值，点的坐标为. 8．已知点，点满足直线和直线的斜率之积为.点的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)设是坐标原点，是上位于第一象限内的一点，点，射线交于点，射线交于点，若和的面积之差为，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，利用斜率公式计算即可得； （2）由题意可设，，联立直线与双曲线方程，可得与交点纵坐标有关的韦达定理，再利用面积公式表示出和的面积之差，计算即可得的值，即可得解. 【详解】（1）设，则，整理得， 即的方程为； （2）由题意可得直线斜率存在且小于， 可设，，则， 联立，消去得， 则，， 由，， 故， 由，故， 整理得，故， 由，故，即直线的方程为. 9．已知双曲线：，斜率为2的动直线与双曲线交于，两点，点是，的中点. (1)证明：点在直线上； (2)若点，为坐标原点，试求此时三角形的面积. 【答案】(1)设，，， 因为点，在双曲线上， 则， 即：，. ∴点在直线上，得证. (2) 【分析】（1）根据点差法即可求解； （2）先求出直线方程，与双曲线联立，然后根据弦长公式求出，根据点到直线的距离公式求出点到直线的距离，最后由面积公式即可求解. 【详解】（1）略 （2）直线的方程是l：， 与双曲线方程联立得：， 所以，. ， 点到直线的距离， 所以.    10．已知双曲线，、分别是其左、右焦点，直线l与双曲线C的右支交于A、B两点． (1)求双曲线C的渐近线方程； (2)若M是双曲线上在第一象限的点，，求的面积； (3)已知直线l过点，P是双曲线C上一点且位于第一象限，且满足的点Q在线段上，若，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据双曲线的方程即可求得渐近线方程； （2）设，根据可得，结合即可求得，利用三角形面积公式即可求解； （3）分斜率存在与不存在两种情况讨论，斜率存在时表示出直线方程，联立双曲线方程，写出韦达定理，结合题意建立方程，可得答案. 【详解】（1）对于双曲线，， 故双曲线C的渐近线方程为，即； （2）设，由题意可知， 则， 由，得， 即， 又M在双曲线上，故，则， 结合，得，则， 由于，故， 又，故的面积. （3）设，由知 若直线斜率不存在，则，此时，不符合题意，舍去； 设直线方程为：， 与双曲线联立化简得， 显然成立，设交点， 由韦达定理： 由得， 从而，即，即， 将韦达定理代入 化简得（※）， 因为，即， 由已知在双曲线上，得， 从而得代入（※）式， 得， 化简得，即， 解得，结合，解得， 则点的坐标为. 题型三 双曲线的中点弦问题 11．已知双曲线的右焦点为，斜率为的直线交于，两点，且的中点为． (1)求的方程； (2)是否存在实数，使？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在； 【分析】（1）先设出弦的端点坐标并代入双曲线方程，两式相减后，结合弦中点坐标与直线斜率，推导出双曲线参数与的关系，再利用焦点条件求出参数值，得到双曲线方程； （2）先设出直线斜截式方程，与双曲线联立得到一元二次方程，通过判别式保证直线与双曲线有两个交点；将转化为向量数量积为0，展开后代入韦达定理的整体表达式，解出直线参数，再结合中点坐标求出的值，验证后得出存在性结论即可. 【详解】（1）如图，作出符合题意的图形， 设，，则，， 两式相减得，即，则．     又，所以，故C的方程为． （2）设直线的方程为， 由得， 则，且，， 假设存在，使，则． 因为，，且，， 所以， 故，整理得，解得．   由，解得．故存在，使． 12．已知双曲线（，）经过点，，直线交的右支于，两点，且线段的中点为． (1)求双曲线的标准方程； (2)若点的坐标为，求直线的方程； (3)若直线经过的右焦点，以为直径的圆与直线相交于，两点，证明：为定值． 【答案】(1) (2) (3)由双曲线得，右焦点， ①当直线的斜率存在时，设直线，，中点. 联立​，整理得, 由韦达定理得：， 因此：， 因为圆以为直径，圆心为，半径​，所以， 设，将代入圆方程， 得，故， 所以 ， 因为，所以，且，代入上式， 所以. ②当直线斜率不存在时，，易得， 所以，仍成立. 综上，为定值. 【分析】（1）直接由待定系数可求得双曲线方程； （2）直接用点差法求中点弦的方程并检验可得； （3）分直线的斜率存在或不存在两种情况讨论：当直线的斜率存在时，设直线，，中点，结合根与系数关系得，，再圆的方程中令，设，所以由根与系数关系得，进而可将，再将代入可得；当直线的斜率不存在时，得，进而可得所求值，综上可得所证结果. 【详解】（1）将点、代入双曲线方程，得， 令，​，解得​，即. 因此，双曲线的标准方程. （2）设，且两点均在双曲线上，故 两式相减得点差公式：，即. 又因为中点为，故，代入上式得，即. 若，则，则重合，且中点，则三点重合， 这与直线交的右支于，两点矛盾. 所以，因此直线斜率. 又因为直线经过点，由点斜式得直线方程，整理得. 联立​，得，判别式， 且，所以两根均为正根，符合交右支于两点的条件. 因此直线的方程为. （3）略 13．已知双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，左焦点为，点位于双曲线C两支之间，点P为双曲线右支上的动点.若△PAF的周长最小值为. (1)求双曲线C的标准方程； (2)是否存在过点A的直线与双曲线C交于B，C两点，且A恰为弦BC的中点？若存在，求该直线方程；若不存在，请说明理由； (3)设双曲线C的右顶点为H，若点M在x轴上，且满足，求所有满足条件的点M的坐标. 【答案】(1) (2)存在， (3)或 【分析】（1）根据焦点坐标及双曲线定义即可求解的值，双曲线方程即可求出； （2）考查双曲线点差法的应用，利用点差法可求出直线斜率，即可求出直线方程； （3）将和转化为正切值，即可求出点M的坐标. 【详解】（1）设右焦点为，双曲线方程为 . 由左焦点得. 因P在右支上，故 ，即 . 所以△PAF的周长为. 又 其中 ， . 故周长最小值为 由题意得， 所以.又，故 因此C： （2）设直线与双曲线交于，两点，且为弦BC的中点， 则， 因B，C在双曲线上，所以，. 两式相减得. 代入，，得， 因此 故所求直线过，斜率为，方程为， 即 将该直线代入双曲线可得， 其判别式显然大于0，故该直线与双曲线有两个不同交点. 因此存在这样的直线. （3）由（1）知右顶点，且，. 设，因为，，所以. 由题意，得. 又， 故 设．当时，，由，得 当时，，由，得. 当时，为钝角，不符合条件. 因此，点M的坐标为或. 14．已知双曲线C的焦点在x轴上，且C过点，一条渐近线的方程为． (1)求C的方程． (2)已知斜率存在的直线l与C交于A，B两点，且与C的两条渐近线分别交于点M，N． （i）求证：与的中点相同； （ii）若的中点的纵坐标为2，且l与两条坐标轴的正半轴所围成三角形的面积为，求l的方程． 【答案】(1) (2)（i）设l的方程为． 联立得，消去y，得，          则， 由 ，得， 设，则，AB中点的横坐标为．    C的渐近线方程为， ，得， 由，得， 则MN中点的横坐标为，所以， 又两个中点都在l上，所以， 故MN与AB的中点相同．           （ii） 【分析】（1）利用待定系数法，根据题意即可求得双曲线C的标准方程． （2）设l的方程为，与双曲线的方程联立，用表示出的中点坐标；与渐近线的方程联立，用表示出的中点坐标，即可证得与的中点相同；用表示出l与两条坐标轴的正半轴交点的坐标，根据题意列出关于的方程组，即可求得的值，从而得到直线l的方程. 【详解】（1）由题可设双曲线的方程为． 因为C的一条渐近线的方程为， 所以，即，①              又因为C过点，所以．②                  联立①②，解得．                  所以C的方程为． （2）（i）略 （ii）l与两条坐标轴的交点的坐标分别为和． 将代入，得， 由，得    ．③             因为与两条坐标轴的正半轴相交，所以即           因为l与两条坐标轴的正半轴所围成三角形的面积为， 所以，化简得，④          将④代入③，得，即. 当时， 单调递增，且 ， 所以，则，满足． 故l的方程为，即． 15．已知点，平面内一动点满足． (1)求点的轨迹方程； (2)若存在直线与点的轨迹交于两点，点为线段的中点，且直线与点处的切线平行． ①证明：三点共线； ②若直线与直线分别交于两点，比较与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)①证明：设直线，，为中点． 将代入轨迹方程，有：，， 两式作差得， 即得，故． 下面证明上一点的切线方程为， 理由如下：设过点的切线方程为，与联立得， ， 由 化简得， 因为，代入上式得， 整理得， 同除以得，， 即， 因为，， 所以， 联立，两式相乘得，， 从而， 故， 即， 令，则，即， 解得，即， 故过上一点的切线方程为， 故过点的切线斜率为，由直线与点处的切线平行，所以， 即，故．，且为公共点，所以三点共线得证． ②当直线的斜率时，；当直线的斜率时，． 【详解】（1）设点，已知点，则． 由得， 整理得：，即点的轨迹方程为； （2）①略 ②联立与双曲线，得， 利用韦达定理可得，， 故， ， 故，中点； 联立与直线，可得， 设，则，， 则，， 则的中点坐标为，故是的公共中点． 在平行四边形中，，， 两边平方相加可得，即， 取对角线交点，则有． 由于是的公共中点， 因此，， 故． 因为直线斜率分别为， 所以当直线的斜率时，直线交于一支双曲线，， 所以，故； 当直线的斜率时，直线交于两支双曲线，， 所以，故 题型四 双曲线中的参数及最值 16．已知动点满足方程． (1)求动点的轨迹的方程； (2)设，，过点的直线与轨迹交于，两点（，两点均在轴右侧），直线与直线相交于点． （ⅰ）证明：直线恒过定点； （ⅱ）若直线与直线相交于点，直线与直线相交于点，求面积的最小值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）由对称性可知，直线必过轴的定点， 当直线斜率不存在时，可得， 此时直线的斜率为，直线的方程为， 此时，直线的斜率为，直线的方程为， 所以直线与轴交点为， 设过点的直线为，， 直线与双曲线联立方程组可得， 则，， ， 因为，两点均在轴右侧，所以，即，得， 直线的斜率为，其方程为， 将代入直线的方程可得，即， 下面证明直线必经过点，即证， 因为，， 需证，因为， 代入化简可得， 将代入可得成立， 所以直线恒过定点； （ⅱ）. 【分析】（1）由双曲线的定义计算即可求解； （2）（ⅰ）根据对称性，当斜率不存在时得，设过点的直线为，，直线与曲线联立方程，根据韦达定理可得，由，代入计算即可得证；（ⅱ）根据对称性可得直线与直线相交于点即为定点，再由点到直线的距离公式、弦长公式表示面积，根据函数的基本性质即可求解. 【详解】（1）将原方程配方得：， 由双曲线的定义可知，点的轨迹是以，为焦点的双曲线， 所以，，， 故动点的轨迹的方程为； （2）（ⅰ）略； （ⅱ）同理，由（ⅰ）可知，直线恒过定点， 所以直线与直线相交于点即为定点， 设点到直线的距离为，则， 由弦长公式可得， 所以， 令，则， 令， 由对勾函数性质可知，在上单调递减， 所以在上单调递增， 当，即时，取最小值为， 所以面积的最小值为. 17．双曲线的左右顶点为，其渐近线上有一点，且轴． (1)求双曲线的方程； (2)过点作直线交于点，点在第一象限． （i）若的面积为14，求直线方程； （ii）若为钝角，过作的垂线，垂足为，求的最大值． 【答案】(1) (2)（i），（ii） 【分析】（1）根据点坐标和轴列出的方程，求解出即可. （2）（i）设出点坐标，根据点在双曲线上以及三角形的面积列出方程组，求解出点的坐标，然后写出直线的方程. （ii）根据为钝角求出点纵坐标的取值范围，然后利用向量法求解的最大值 【详解】（1）双曲线的渐近线上有一点，所以其渐近线方程为，，即. 又轴，，即. 双曲线的方程为. （2）（i）由（1）可得，，，. 直线的方程为. 设，①. 点到直线的距离. ，整理得，② 联立①②，解得，故点 直线的方程为. （ii）. 为钝角，，. 则， 当时，有最大值. 18．已知双曲线，，左右顶点分别为，过点的直线交双曲线于，两点． (1)若离心率时，求的值； (2)若，为等腰三角形时，且点在第一象限，求点的坐标； (3)设直线与双曲线另一个交点为，若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据双曲线离心率公式求出； （2）分类讨论等腰三角形的情况，确定点的坐标； （3）设直线方程并联立双曲线，应用韦达定理，计算向量数量积，代入韦达定理结果得到参数关系，求的取值范围． 【详解】（1）由题意得，则， . （2）当时，双曲线， 其中，， 因为为等腰三角形，则 ①当以为底时，显然点在直线上， 这与点在第一象限矛盾，故舍去； ②当以为底时，， 设，联立解得或或， 因为点在第一象限，显然以上均不合题意，舍去； （或者由双曲线性质知，矛盾，舍去）； ③当以为底时，， 设，其中，， 解得，即， 综上所述：. （3）由题知，， 当直线的斜率为时，此时，不合题意，则， 则设直线， 设点，，而直线与双曲线另外一个交点， 根据双曲线对称性知， 联立， 显然二次项系数， 其中， ①，②， 则，， 则， 因为，在直线上， 则，， 即，即， 将①②代入有， 即 化简得， 所以，代入到， 得，所以， 且，解得， 又因为，则， 综上知，， 所以． 19．已知双曲线的右焦点为，左顶点为，，圆，到圆上点的距离的最大值为3. (1)求的方程； (2)已知过点的直线与的右支交于，两点，直线，分别交圆的另一点于，. （i）证明：； （ii）记四边形的面积为，的面积为，求的最小值. 【答案】(1)； (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）8 【分析】（1）左顶点到右焦点的距离及右焦点到单位圆上点的最大距离，分别得到关于的方程，求解即可； （2）（i）设过右焦点的直线参数方程，与双曲线联立，利用韦达定理计算直线和的斜率乘积即可证明； （ii）设直线 和 的方程，分别联立双曲线和单位圆，求得点 的坐标，将面积比表示为关于斜率的函数，通过换元化简，利用基本不等式及函数单调性求得最小值. 【详解】（1）依题意，，设，则， 到圆上点的距离的最大值为3，所以，所以，故，， 所以的方程为； （2）（ⅰ）设直线，，， 由可得，， 所以，， ， 所以； （ⅱ）不妨设直线，，， 由，可得，解得， 同理可得，， 由可得，解得， 同理可得，， 由题意，得，，故， 设的面积为，则， 易知， 令，当且仅当时取等号，则， 令，函数在单调递增， 故当时，取得最小值；. 所以的最小值为8. 20．已知双曲线的左、右焦点为，圆上一动点与两个焦点组成的三角形面积最大值为. (1)求双曲线的标准方程； (2)过不在双曲线上的一点P，作双曲线的两条互相垂直的切线，切点分别为，. （i）求点的轨迹方程； （ii）求面积的最小值. 【答案】(1)y2＝1 (2)（i）；（ii） 【分析】（1）借助双曲线与圆的对称性，利用焦点三角形面积最大值求出，结合双曲线关系式算出，进而得出双曲线标准方程. （2）（i）设切线方程并联立双曲线方程，由相切得判别式为零推出关系，结合切线过点代入化简得到关于斜率的一元二次方程，依据两切线垂直斜率乘积为，整理求得点的轨迹方程. （ii）先写出点对应的双曲线切点弦方程，求出点到弦的距离，联立直线与双曲线借助韦达定理表示弦长，推出三角形面积表达式，换元构造函数，分区间利用导数判断单调性，分别求出区间内面积最值，最终确定面积最小值. 【详解】（1）根据双曲线与圆的对称性可知圆上一动点与两个焦点组成的三角形面积最大值为，所以. 所以，所以，所以双曲线的标准方程为; （2）（i）设，双曲线切线方程为 联立，得： 判别式，即. 即，切线过，故. 代入得. 两条切线互相垂直，故斜率之积. 整理得，即点的轨迹方程为; （ii）设，则切点弦的方程为. 点到的距离. 联立方程与双曲线方程. 消去整理得. 设，则， 的面积， 令，则， 当时，， 则在上单调递增， 所以当时，取得最小值为1;当时，， 则在上单调递减，所以当时，取得最小值为4， 综上，的面积的最小值为1. 题型五 双曲线中的定点、定值、定直线 21．已知双曲线的实轴长为2，顶点到渐近线的距离为． (1)求双曲线E的方程； (2)经过双曲线E的右焦点F的直线l与E相交于A，B两点， （ⅰ）若交点A，B在双曲线E的右支上，点，证明：； （ⅱ）以AB为直径的圆是否恒过x轴上的定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)（ⅰ）由（1）可知双曲线的右焦点， 设直线的方程为，，． 联立直线与双曲线的方程， 消去可得，即． 由韦达定理可得，． 已知， 则 ， 即， 所以直线、的倾斜角互补，即． （ⅱ）是，定点 【分析】（1）根据双曲线的实轴长求出的值，再结合顶点到渐近线的距离求出的值，进而得到双曲线的方程； （2）（ⅰ）设出直线l的方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理得到A，B两点横坐标的关系，再通过计算直线、的斜率之和为0，即可证得结果； （ⅱ）设出x轴上的定点，根据向量垂直的性质得到，进而求出定点的坐标． 【详解】（1）因为双曲线的实轴长为2，所以，解得1． 双曲线的渐近线方程为，即，右顶点坐标为． 所以右顶点到渐近线的距离为，即， 两边平方可得，解得． 将，代入双曲线方程， 可得双曲线的方程为． （2）（ⅰ）略 （ⅱ）设轴上的定点，则，． 因为以为直径的圆恒过轴上的定点， 所以，即． 当斜率不为0时，将，代入上式可得： ， 展开可得． 将，代入上式可得： ， 整理可得， 即， 合并同类项可得． 因为上式对任意都成立，所以， 解得，即， 则以AB为直径的圆恒过x轴上的定点． 当斜率为时，直线的方程为， 联立直线与双曲线的方程， 易得，， 此时以为直径的圆恒过轴上的定点． 综上，以为直径的圆恒过轴上的定点． 22．已知点，，，且. (1)求点P的轨迹方程C； (2)已知点，斜率为k的直线过点M. （i）若，且直线与曲线C只有一个交点，求k的值； （ii）已知点，直线与双曲线C有两个不同的交点A，B，直线，的斜率分别为，，若为定值，求实数m的值. 【答案】(1) (2)（i）或；（ii） 【分析】（1）根据双曲线的性质及定义写出对应参数，即可得； （2）（i）设直线，联立双曲线方程得，讨论、，分别求直线与双曲线只有一个交点情况下对应k值；（ii）设直线，，联立双曲线并应用韦达定理，结合，韦达定理代入化简，根据定值列方程组求得参数m. 【详解】（1）由题意，点P的轨迹为双曲线，且， 所以，则点P的轨迹方程C为； （2）（i）由题设，设直线，联立双曲线，得， 所以， 当，即时，直线与双曲线只有一个交点， 当，交点为；当，交点为； 当，此时，则， 当，切点为；当，切点为； 综上，或. （ii）由题设直线， 联立双曲线方程，得，则， 故，所以①， 设，则，， 由 又，， 为定值， 所以，此时为定值. 23．已知是焦距为的双曲线上一点，过的一条直线与双曲线的两条渐近线分别交于，且，过作互相垂直的两条直线与，与轴分别交于两点，其中与轴交点的横坐标是； (1)若双曲线的虚轴长为4，求该双曲线的方程； (2)求证：为定值，并写出该定值； (3)判断以为直径的圆是否过定点，如果是，求出所有定点；如果不是，说明理由； 【答案】(1) (2)双曲线的焦距为，则，. 所以. 由，得，即. 双曲线的渐近线方程为， 则或. 所以或. 又点在双曲线上，所以， 化简得，所以. 故. 即为定值，该定值为. (3)过定点，定点为和 【分析】（1）根据的关系，直接求方程； （2）将，转化成坐标关系，结合点在双曲线上，其坐标满足双曲线方程，可得，结合渐近线方程，可得，根据，可得为定值，并求得该定值； （3）由题意用分别表示的方程 ，结合点在双曲线上，化简的坐标，设为以为直径的圆上一点，由圆的性质获得的关系式，分析可得Q为定点，并求得定点坐标. 【详解】（1）设双曲线的焦距为，则，. 若双曲线的虚轴长为4，则，，所以. 所以该双曲线的方程为. （2）略 （3）由题可知，斜率均存在，且不为零. 所以，即，所以. ，所以. 由点在双曲线上，所以，得，所以. 设是以为直径的圆上任意一点，由，得， 即. 因为点是动点，所以是变量， 所以要使，须使， 所以，所以. 即以为直径的圆过定点，定点为. 24．已知双曲线的中心为坐标原点，上焦点为，离心率为．记的上、下顶点分别为，过点的直线与的上支交于两点． (1)求的方程； (2)直线和的斜率分别记为和，求的最小值； (3)直线与交于点，证明：点在定直线上． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据焦点坐标与离心率确定，再由算出，即可写出标准方程； （2）联立直线与双曲线方程得到韦达定理，推导出，将目标式化为单变量二次函数，利用二次函数性质求最小值即可； （3）写出两条直线的方程并联立，代入的比例关系，化简后求得交点纵坐标恒为定值，即可证明点在直线上. 【详解】（1）设双曲线的标准方程为， 由题意可得，解得，， 所以双曲线的标准方程为. （2）双曲线的上下顶点为，，设直线的方程为， 设，， 联立，消去，可得， 则，，且， 所以， 所以， 所以，所以， 所以当时，的最小值为； （3）直线的方程为，直线的方程为， 联立，得，解得， 即点在定直线上． 25．双曲线的一个顶点在直线上，且其离心率为． （附：双曲线以点为切点的切线方程为） (1)求双曲线的标准方程； (2)若一条直线与双曲线恰有一个公共点，且该直线与双曲线的渐近线不平行，则定义该直线为双曲线的切线，定义该公共点为切线的切点，已知点在直线上，且过点恰好可作双曲线的两条切线，设这两条切线的切点分别为和． （i）设点的横坐标为，求的取值范围； （ii）设直线和直线分别与直线交于点和点，证明：直线和直线交点在定直线上． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）设． 直线和方程分别为和． 联立得点． 又点在直线上，代入整理得：．① 在直线方程中，令，则，得点． 故直线方程为：． 设直线与直线交点为，联立两直线方程：． 解得：． 设直线与直线交点为， 同理可得：． 由①式，计算的分子之差有 计算的分母之差有 则可得和表达式的分子分母分别相等． 故两点重合，所以直线与的交点在定直线上． 【详解】（1）直线方程中，令，则， 则直线与轴交于，所以,离心率， 所以，故． 所以双曲线的标准方程为． （2）（i）经检验，当一条切线斜率不存在时， 若，显然另一条切线方程斜率存在，设切线方程为， 联立双曲线方程得， 则， 解得，而双曲线渐近线方程为，则此时不符合题意， 当时，此时只有一条切线，显然不合题意， 则两条切线斜率均存在，设切线斜率为，切线方程为， 与双曲线方程联立得：， 令 整理得：，由于，所以且． 上式整理得：． 由题意，有两个相异实根，所以， 且． 整理得：，解得：． 综上所述，的取值范围是． （ii）略 题型六 双曲线中的向量问题 26．已知双曲线的一条渐近线的斜率为左、右焦点分别为 (1)求C的方程; (2)设x轴上方的点A，B分别在C的左支与右支上，若求直线的方程． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据双曲线焦点坐标得，结合已知渐近线斜率得，再由双曲线关系求出、，即可得到双曲线的方程； （2）设出直线​的方程与点、的坐标，根据向量关系得到坐标间的倍数关系，将、坐标代入双曲线方程联立求解得到直线斜率，即可得到直线的方程. 【详解】（1）双曲线的渐近线方程为，依题意，，可得， 由焦点坐标可知，而，即， 解得，所以， 所以的方程为． （2）设，，，而，， 则 由，得，解得,即得， 依题意，解得即， 又，所以直线的方程为，整理得． 27．双曲线经过点，不垂直x轴的直线与交于不同于P的A、B两点，直线、分别与轴交于点、． (1)求的离心率； (2)设直线与x轴交于点Q，且，求点A的横坐标； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点的坐标代入双曲线方程求得，进而利用公式可得离心率； （2）设出点的坐标，利用坐标运算，结合向量关系，联立求解即可. 【详解】（1）将代入双曲线方程，可得， 因为双曲线中 ，所以， 即离心率为 . （2）如图，作出符合题意的图形，    设 ，直线 方程为， 令 ，得，即可知， 令，得，即可知， 由，可得， 则由纵坐标对应相等可得 ， 由（1）知双曲线化简为，代入得， 解得或 （因为此时与点 重合,舍去），即. 28．已知双曲线的离心率，左顶点，过C的右焦点F作与x轴不重合的直线l，交C于P、Q两点． (1)求双曲线C的方程； (2)求证：直线、的斜率之积为定值； (3)设，试问：在x轴上是否存在定点T，使得恒成立？若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)由题意知．设直线， 与双曲线方程联立得． ， 设、，则， 故直线、的斜率之积为 ． (3)存在， 【分析】（1）根据离心率的定义及求解即可. （2）设直线，与双曲线方程联立，结合韦达定理求解即可. （3）根据向量垂直的坐标表示得到，即，结合即韦达定理求解即可. 【详解】（1）设双曲线的半焦距为c． 由题意知．故， 所以，双曲线C的方程为． （2）略 （3）由题意知，得． 设，则． 即． 又，即，解得． 所以， 因此在x轴上存在定点，使得恒成立． 29．双曲线经过点，不垂直轴的直线与交于不同于的、两点，直线、分别与轴交于点、. (1)求的离心率； (2)设直线与轴交于点，且，求点的横坐标； (3)若、关于原点对称，证明：直线经过定点. 【答案】(1) (2) (3)设，由 关于原点对称得， 计算得直线 的斜率可得 所以有， 设直线，联立， 可得：， 设， 由韦达定理得， 由可得：， 整理得：， 所以， 所以， 代入韦达定理可得：， 所以， 所以， 所以， 所以，则或， 当时，直线恒过点，不符合题意， 故，此时直线恒过点. 【分析】（1）将点的坐标代入双曲线方程求得，进而利用公式可得离心率； （2）设出点的坐标，利用坐标运算，结合向量关系，联立求解即可； （3）先求得，设直线，与双曲线方程联立，由韦达定理得，即可求解定点. 【详解】（1）将代入双曲线方程可得：， 因为双曲线中 ，所以， 即离心率： ； （2） 设 ，直线 方程为， 令 ，得，即可知， 令，得，即可知， 由，可得：， 则由纵坐标对应相等可得 ， 由（1）知双曲线化简为，代入得， 解得或 （因为此时与点 重合故舍去），即； （3）略 30．已知是坐标原点，双曲线左顶点，直线过点交的右支于两点，记的面积分别为，．且当直线与轴垂直时，． (1)求双曲线的标准方程； (2)已知直线交轴于点， （i）若，求证：为定值； （ii）在（i）条件下，若，当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)（i）显然直线不为0，故设直线为 ， 又直线交轴于点，故直线与轴不垂直，故， 与 联立可得， ， 设，则， 过点交的右支于两点，故，不妨设， ，即， 即，解得，， ，同理可得 ，， 则； （ii） 【分析】（1）根据双曲线特征和三角形面积得到双曲线方程； （2）（i）设出直线，联立双曲线方程，根据向量关系进行求解； （ii）在（i）基础上，用表达出，求出取值范围. 【详解】（1）由题意得， 当直线与轴垂直时，，即，即， 故，将其代入 中，得 ， 所以双曲线方程为 ； （2）（i）略 （ii）由于，由几何关系可得， 其中，故，整理可得， 又，， 所以， 由（i）知，，， 故，又，， 故，整理得，， 令，则，， 所以， 由对勾函数可知在上单调递增， 故. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题07直线与双曲线综合·面积中点弦·定点·定值·最值六大典型问题 题型归纳 题型一直线与双曲线的位置关系（韦达） 题型二双曲线中三角形面积（四边形） 题型三双曲线的中点弦问题 题型四双曲线中的参数及最值 题型五双曲线中的定点、定值、定直线 题型六双曲线中的向量问题 题型专练 题型一直线与双曲线的位置关系（韦达） 1. 3=1(心≠0) (2)存在，T(-1,0) 2.(1)焦距为4，离心率e=V2 4 (3)m>3且m≠2 3四皆， (2)x= 15y+2: 1 312 4.雪-产-1 (2)(i)（-0,-2)U(2,+∞）(i)x+6y-4=0或x-V6y-4=0 1/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5r号1 2)(i)km+kwB=片+h x%+xy-0+) 1 1 x-2x-2 5*+g)-2m+20+3130. 18m18m 所以kMa+kMB=0,即∠AMF=∠BMF, AF AM BF BM 在AAMR与aBMF中sin ZAMF sin∠AFM'sin∠BMF sin.∠BFM' 又∠AFM+∠BFM=元，所以sin∠AFM=sin∠BFM, AF AM 所以BF=BM,即|AMI BFHAFLIBM: (i)2x-y-4=0或2x+y-4=0 题型二双曲线中三角形面积（四边形） 6.国x-’=1 3 2)证明：双曲线的渐近线方程为：5x士y=0'点P(K,必)到两条渐近线的距离分别为：d= 3x+% 2 4B.四，衣双发，两议3-矿=代入用-为在：定 2 4 3 值为4 (3)V5 7.(1)x2-y2=1 ②(i)2:(i)存在，P,0 8.x2 3=1(x≠士圳 (2)x+y-2=0 9.（1)设A(x,),B(x,y2),M(x,yo), 因为点A,B在双曲线C上， 2/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 是-1-s.=+》-0, 22 则 足五=1 2 、22 即：1--+)=0→1=2× 1 (x1-x32)x1+x2) x,%=2 ·点M在直线y=2x上，得证 (2)V5 10.(1)y=±V5x (2)V6 3V15 32’2 题型三双曲线的中点弦问题 11.(1)x2-y2=2 2)存在：m= 2=1 12.1)8-8 (2)y=2x-6 (3)由双曲线x2-y2=8得c2=a2+b=16,右焦点F(4,0), ①当直线I的斜率存在时，设直线：y=k(x-4),Ax,y,Ax),中点G(x%). y=k(x-4) 联立x2-y2=8，整理得(1-k)x2+82x-16k2+8)=0 8k2 由韦达定理得：+6+8 Γk2-1 因此：x=+5=4k2 22-了%=6-4)=4 2-1 因为圆以B为直径，园为。·半r,所以4=+长-小，= AB k2-1 (k2-1)2, 设P(2,Q(2,y4),将x=2代入圆G方程c-x}+0-}=r2, 3/14 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 得y2-2%y+(2-x)+8-r2=0,故⅓+y=20yy4=(2-}2+-r2, 所以PG·0G=(2-x0,⅓-6)(2-x0y4-%)=(2-)}+-⅓)(y4-%) =(2-x)}+y4-%(+y)+8=2(2-x)-r2, 肉为5背两限2×之，户 4k2 2-)，代入上式， 所以PG.QG=2 2(k2+1) 72 8k2+1y 8+8+-0 k2-1 2-2(k2-1(k2-1 ②当直线I斜率不存在时，1：x=4,易得P(2,2),Q2,-2),G(4,0) 所以PG·0G=(-2,2)(-2,-2)=4-4=0,仍成立. 综上，PGQG为定值0. B x=2 (2)存在，5x-12y+31=0 3)(-3,0)或(5,0) 2-1 14.1)36 (2)(i)设1的方程为y=a+m y=kx+m 联立得 上上-1消去少，得 36 -k2)x2-2kx-(m2+6)=01 则2-K2≠0， 由△=(-2km)°+4(2-k2)m2+6)>0,得3k2<m2+6, 设A(B(飞，)则+名2，B中点的横坐标为4-5=0 2km 22-k2· C的渐近线方程为y=±√2x, 4/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y=v2x m√2m y=+m’ 得M2-k2-k y=-V2x -m√2m】 由 y=+m’ 得小 √2+k’√2+k: 则MN中点的横坐标为= m+-m）=km 22-k2+k厂2-，所以x=: 又两个中点都在1上，所以中=4， 故MN与AB的中点相同. (i)x+y-1=0 15,手y=2 (2)O证明：设直线1：y=:+m,A(:,乃)，B(x,),(x,%)为AB中点. 将4B代入轨迹方程，有：于-听=山，草-片=山， 两式作差得名-+x)）--为0+，）=0， 4 y-)_(c+）k= 即得(x-x)4(+2）) 疗·改安在 下面正明号茶-a>06>0)上一点（W的初线方程为等学-1， x2 y2 理由如下：设过点(o,%)的切线方程为y-%=k(x-)与。尔=1(>0，b>0)联立得， b2 b2 化简得(-c)=a2k2-b2. 代5 x-Xo 整理得(y-oy)}=a2(y-%}-b(x-x, 5/14 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 同除以6得， (-xy_（y-)}(x-} a'b2 b2 a2 -2+--2+公-2x+ a'b2 b2 因为 1，尔1， 所以-2y+-2-2+2 a'b2 b2 a2 5=1 联立 两式相乘得， (a26=1 张蒂 02Xy6三1+A×3 从而a6a2b b4, 故1x品+%2+20之=2一2多x b+ a2b2 62 a 令1=。y -6，则-1+2=-2+2，即(t-=0, xox_yoy=1, 解得=1？即a2-6 故过手一y广=1上一点(k,)的切线方程为等-w=1, x Xp =k, 故过点p的切线斜率为4，由直线，与点p处的切线平行，所以4。 =1 1 即，4k,故k加=纸·ko=ko’且0为公共点，所以0，P,Q三点共线得证. ②当直线，的刻率(》公+m时，P+P8-PE-PF>-EF:当直线，的制率 6/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (11 k2'2时，Pf+Pg-PE-PF<(AB-EF) 题型四双曲线中的参数及最值 r=1 16.(1)2-2 (2)(i)由对称性可知，直线BM必过x轴的定点， 当直线AB斜率不存在时，可得A(2,V2),B(2,-V②)， 此时直线E的斜率为2，直线E的方程为三V2。 4(x+2), 此时M 3v2 4 直线 BM 的斜率为-7 x-1), 4 ，直线的方程为-32-72 BM 41 4 所以直线 BM 与，轴交点为T 设过点B(2,0)的直线为x=my+2,A(x,),B(x,)x>0,x>0, x=my+2 直线与双曲线联立方程组可得 22 则(m2-l)y2+4my+2=0,△=16m2-4×2×(m2-1）=8m2+8>0, 4m 一2 y+2= -m41-m, 因为A,B两点均在y轴右侧，所以y<0,即1-m2>0,得m2∈[0,1)， 百线析的剂率为本2，共方程为在2+2)， x=1 下面证转百线必经过点T停 ,即证k7=kr 3y 因为，=业 X21 1-0+2 7 7/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y2 需证名+2名号 10,因为 =mmy+2,x2=m2+2 代入化简可得8myy+4(出+为2)=0， m+4m 将+2=之三二m代入可得%之 4m +4-m=0成立， 所以直线 2 (i)7 x2 y2 17.11616 1 (2)(①y=3x-12,(2 18.(1)5 2)P2,22) Bas 19.a2-号-1， 3 (2)(i)证明见解析：(iⅱ)8 205r-1 (2)i)x2+y2=1:(i)1 题型五双曲线中的定点、定值、定直线 双@号-1 (2)(i)由(1)可知双曲线E的右焦点F(2,0), 设直线1的方程为x=my+2,A(G,),B(:,y2). x=my+2 联立直线与双曲线的方程：-)=1 E 3 8/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 消去，可得（衡+2r-号1,6x-y+12+9=0 12m 9 由韦达定理可得y+y2= 3m-,3m- +2-》+2- 1 x22 +2+2 2m4+2（g+) 2my2+。(y+2) 3 ) my2+2 3 3 my+2 m+2八m%+2】 9 3 12m 2m× 18m-18m 3m2-123m2-1 3m2-1 3 、=0 m+2八 my+2 my+ my2+2 即kpH+kpg=O 所以直线PA、PB的倾斜角互补，即∠APF=∠BPF. (i)是，定点(-1,0) 2双 20k=号或=±5 :()m=2 =1 23.1)4-4 (2)双曲线C的焦距为2c,则2c=4W2,c=2√2. 所以a2+b2=c2=8. =+2x 3 由 得3x=x+2x2,即1 30p=0E+20P 3y=+2y2 6=当+25 3 b 双曲线c:二片a>0b>0)的渐近线方程为P=±。x, 9/14 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 b b 。,乃=-。x2或乃= b ,2= X2. a a -b（s-2). 所以-品-2西成%= 2 x+2x2 b(G-2x,)7 又点在双曲线上，所以3 3a P C a2 b2 9 b2 9 化简得xx2=。a2,所以y2= b2 8 a253s 8 故-%+公)名8=9 即x-y为定值，该定值为9 (3过定点，定点为(-2W2,0)和(22,0) (2)-1 (3)直线AM的方程为y=kx+2,直线A,N的方程为y=kxr-2, y=kx+2 温y-2_k=-月 联立U=kx-2,得少+2店=了，解得y= 即点P在定直线上y=1, 25r号1 2〔( (i)设M(,y),P(,) 直线MT和p7方程分别为4x-子)=1和x-冬y=1, 联立得点T -y,4(x-) X2y-Xy2 x2y-xy2 又点T在直线1上，代入整理得：x4-=4(:-x)-(-).① 在直线n方促，令1则=行 ，得点N-14 MT 10/14 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4(x+1) y2+ kpN=一 =5+4(G+1) 2+1 (x2+1)y 放直线w方程为：(-)产为 (x2+1)y 设直线PN与直线，交点为A'联立两直线方程： y+4(g+(x-x)+⅓=x+1. (x2+1)4 解得：，-任+少+4+压 yy2+4(x+1)-(x2+1)y 设直线M0与直线I交点为B, 同瘦可得：与货业北+5 y2+4(2+1)-(x+1)y2 由①式，计算x4x的分子之差有(x2-乃+)y+4(:+):-(:-片+1)乃2-4(：2+1)x =xy-x2-[4(G-x)-(y-2)】=0, 计算xx的分母之差有+4(：+)-(：+)%2-[y+4(x+)-(:2+1)以] =y-xy2-[4(-x)-(y-y)】=0, 则可得x4和x表达式的分子分母分别相等， 故A,B两点重合，所以直线PN与MQ的交点在定直线上：y=x+1上. 4(B) M 题型六双曲线中的向量问题 照听 (2)V15x-y+4V15=0 27.1)V2 11/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .14 25 28.(x2-y 3 (2)由题意知F(2,0).设直线1：x=my+2, 与双曲线方程联立得(3m2-1)y2+12my+9=0】 △=(（12m-36(3m2-1=36m2+36>0. 12m y1+y2= 3m2-1 设 则 9 P(,）2(x,) y2=3m2-1 故直线AP、AQ的斜率之积为 9 y y2 2 y1'2 3m2- x+1+1(my+3)(0my2+3)m+3m(0+)+99m2 +3m 3m2-1 -12m+9 一=-1 3m2-1 3)存在， 29.(1)e=2 14 25 (3)设M(0,m）),由M,N关于原点对称得N(O,-m), 计得点线P儿PB的剑桌到得，-生 1-m+1+m=1, 所以有kp4+ka=2+2 设直线AB:y=x+S,联立x2-y2=3, 可得：x2-(x+s}=3→(1-k2)x2-2kx-52-3=0 12/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设A(x4y4),B(xB,ya), 2ks s2+3 由韦达定理得+=二x,=, 4-+h-=1→c+s-1+c+s1-1 出，+n=1可得：好 XA-2 xB-2 整理得：(a4+S-1xg-2)+(g+s-I)(x4-2)=(x4-2)(x。-2), 所以2k4xg+(s-1-2k)(x4+xa)-4(s-1)=xxB-2(x4+xB)+4, 所以(2k-1)xxa+(s+1-2k)(4+xB)-4s=0, 代入达定理可得：-}6+1-2)，2次-4s=0, 所以-(2k-1(s2+3)+(s+1-2k)2ks-4s1-k2)=0, 所以-2ks2-6k+s2+3+2ks2+2k-4k2s-4s+4k2s=0, 所以-6k+s2+3+2ks-45=0, 所以2k(s-3)+(s-3(s-1)=0→(6-3)(2k+s-)=0,则s=3或s=1-2k, 当s=1-2k时，直线AB:y=:+1-2k=k(x-2)+1恒过点P(2,),不符合题意， 故s=3,此时直线AB:y=:+3恒过点(0,3). 30r51 (2)()显然直线1不为0，故设直线l为x=2+少， 又直线交y轴于点P,故直线I与x轴不垂直，故t≠0， 与-号-1联立可得心-y+12w+9=0 △=1442-36(32-1)=362+36>0， 12t 9 设M(,),N(,)则y+%=3-43一： 过点(2,0)交E的右支于M,N两点，故<0，不妨设y>0>, pW=0:+号》0-. 即+子，解得的=0=品1， 2 y 13/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所=0，时莲可得为=04=2-1， 2 2 期2*=是-11=22-22-2 12t ty ty2 t yiy2 3 3t2-1 14/14 专题07 直线与双曲线综合·面积·中点弦·定点·定值·最值六大典型问题 题型一 直线与双曲线的位置关系（韦达） 题型二 双曲线中三角形面积（四边形） 题型三 双曲线的中点弦问题 题型四 双曲线中的参数及最值 题型五 双曲线中的定点、定值、定直线 题型六 双曲线中的向量问题 题型一 直线与双曲线的位置关系（韦达） 1．已知动点分别与定点和连线的斜率乘积． (1)求动点的轨迹方程； (2)是的右焦点，若过点，与曲线交于，两点，是否存在轴上一定点，使得以为直径的圆恒过该定点？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由． 2．已知双曲线，过点的直线l与交于不同两点A、B. (1)求双曲线的焦距和离心率； (2)若点A坐标为，点B在双曲线右支上，且B为线段AM的中点，求直线l的斜率； (3)若，点、分别是双曲线的左、右焦点，点是点A关于y轴的对称点，若存在直线l，使得，求m的取值范围. 3．已知双曲线的离心率为2，右焦点到渐近线的距离为，左焦点为，过的直线与的右支交于、两点，且点在第一象限． (1)求的标准方程； (2)若，求的方程； (3)记的内心为，的内心为，的面积为，的面积为，求的最大值． 4．已知，分别是双曲线的左、右顶点，点是双曲线上的一点． (1)求双曲线的方程； (2)已知过点的直线，交双曲线的左、右两支于，两点（异于，）． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）若，其中为坐标原点，求直线的方程． 5．已知双曲线：的焦距为4，它的一条渐近线的倾斜角为. (1)求双曲线的方程； (2)已知点，过双曲线的右焦点的直线交的右支于，两点，的外接圆交轴于另一点. （i）证明：； （ii）若，求直线的方程. 题型二 双曲线中三角形面积（四边形） 6．已知双曲线（，）经过点且其离心率为2，点为双曲线上一动点，过点的直线与双曲线的两条渐近线交于点，（，在轴同侧）． (1)求双曲线的方程； (2)证明点到两条渐近线的距离之积为定值，并求出该值； (3)求（为坐标原点）面积的最小值． 7．在平面直角坐标系xOy中，设m为实数，若双曲线的右焦点为，离心率为，点F到双曲线的一条渐近线的距离为1，直线交双曲线于A，B两点. (1)求此双曲线的方程. (2)若A，B两点都在双曲线的右支上. （ⅰ）求面积的最小值. （ⅱ）在x轴上是否存在一点P，使得为定值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由. 8．已知点，点满足直线和直线的斜率之积为.点的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)设是坐标原点，是上位于第一象限内的一点，点，射线交于点，射线交于点，若和的面积之差为，求直线的方程. 9．已知双曲线：，斜率为2的动直线与双曲线交于，两点，点是，的中点. (1)证明：点在直线上； (2)若点，为坐标原点，试求此时三角形的面积. 10．已知双曲线，、分别是其左、右焦点，直线l与双曲线C的右支交于A、B两点． (1)求双曲线C的渐近线方程； (2)若M是双曲线上在第一象限的点，，求的面积； (3)已知直线l过点，P是双曲线C上一点且位于第一象限，且满足的点Q在线段上，若，求点P的坐标． 题型三 双曲线的中点弦问题 11．已知双曲线的右焦点为，斜率为的直线交于，两点，且的中点为． (1)求的方程； (2)是否存在实数，使？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 设，，则，， 两式相减得，即，则．     又，所以，故C的方程为． 12．已知双曲线（，）经过点，，直线交的右支于，两点，且线段的中点为． (1)求双曲线的标准方程； (2)若点的坐标为，求直线的方程； (3)若直线经过的右焦点，以为直径的圆与直线相交于，两点，证明：为定值． 13．已知双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，左焦点为，点位于双曲线C两支之间，点P为双曲线右支上的动点.若△PAF的周长最小值为. (1)求双曲线C的标准方程； (2)是否存在过点A的直线与双曲线C交于B，C两点，且A恰为弦BC的中点？若存在，求该直线方程；若不存在，请说明理由； (3)设双曲线C的右顶点为H，若点M在x轴上，且满足，求所有满足条件的点M的坐标. 14．已知双曲线C的焦点在x轴上，且C过点，一条渐近线的方程为． (1)求C的方程． (2)已知斜率存在的直线l与C交于A，B两点，且与C的两条渐近线分别交于点M，N． （i）求证：与的中点相同； （ii）若的中点的纵坐标为2，且l与两条坐标轴的正半轴所围成三角形的面积为，求l的方程． 15．已知点，平面内一动点满足． (1)求点的轨迹方程； (2)若存在直线与点的轨迹交于两点，点为线段的中点，且直线与点处的切线平行． ①证明：三点共线； ②若直线与直线分别交于两点，比较与的大小关系，并说明理由． 题型四 双曲线中的参数及最值 16．已知动点满足方程． (1)求动点的轨迹的方程； (2)设，，过点的直线与轨迹交于，两点（，两点均在轴右侧），直线与直线相交于点． （ⅰ）证明：直线恒过定点； （ⅱ）若直线与直线相交于点，直线与直线相交于点，求面积的最小值． 17．双曲线的左右顶点为，其渐近线上有一点，且轴． (1)求双曲线的方程； (2)过点作直线交于点，点在第一象限． （i）若的面积为14，求直线方程； （ii）若为钝角，过作的垂线，垂足为，求的最大值． 18．已知双曲线，，左右顶点分别为，过点的直线交双曲线于，两点． (1)若离心率时，求的值； (2)若，为等腰三角形时，且点在第一象限，求点的坐标； (3)设直线与双曲线另一个交点为，若，求的取值范围． 19．已知双曲线的右焦点为，左顶点为，，圆，到圆上点的距离的最大值为3. (1)求的方程； (2)已知过点的直线与的右支交于，两点，直线，分别交圆的另一点于，. （i）证明：； （ii）记四边形的面积为，的面积为，求的最小值. 20．已知双曲线的左、右焦点为，圆上一动点与两个焦点组成的三角形面积最大值为. (1)求双曲线的标准方程； (2)过不在双曲线上的一点P，作双曲线的两条互相垂直的切线，切点分别为，. （i）求点的轨迹方程； （ii）求面积的最小值. 题型五 双曲线中的定点、定值、定直线 21．已知双曲线的实轴长为2，顶点到渐近线的距离为． (1)求双曲线E的方程； (2)经过双曲线E的右焦点F的直线l与E相交于A，B两点， （ⅰ）若交点A，B在双曲线E的右支上，点，证明：； （ⅱ）以AB为直径的圆是否恒过x轴上的定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 22．已知点，，，且. (1)求点P的轨迹方程C； (2)已知点，斜率为k的直线过点M. （i）若，且直线与曲线C只有一个交点，求k的值； （ii）已知点，直线与双曲线C有两个不同的交点A，B，直线，的斜率分别为，，若为定值，求实数m的值. 23．已知是焦距为的双曲线上一点，过的一条直线与双曲线的两条渐近线分别交于，且，过作互相垂直的两条直线与，与轴分别交于两点，其中与轴交点的横坐标是； (1)若双曲线的虚轴长为4，求该双曲线的方程； (2)求证：为定值，并写出该定值； (3)判断以为直径的圆是否过定点，如果是，求出所有定点；如果不是，说明理由； 24．已知双曲线的中心为坐标原点，上焦点为，离心率为．记的上、下顶点分别为，过点的直线与的上支交于两点． (1)求的方程； (2)直线和的斜率分别记为和，求的最小值； (3)直线与交于点，证明：点在定直线上． 25．双曲线的一个顶点在直线上，且其离心率为． （附：双曲线以点为切点的切线方程为） (1)求双曲线的标准方程； (2)若一条直线与双曲线恰有一个公共点，且该直线与双曲线的渐近线不平行，则定义该直线为双曲线的切线，定义该公共点为切线的切点，已知点在直线上，且过点恰好可作双曲线的两条切线，设这两条切线的切点分别为和． （i）设点的横坐标为，求的取值范围； （ii）设直线和直线分别与直线交于点和点，证明：直线和直线交点在定直线上． 题型六 双曲线中的向量问题 26．已知双曲线的一条渐近线的斜率为左、右焦点分别为 (1)求C的方程; (2)设x轴上方的点A，B分别在C的左支与右支上，若求直线的方程． 27．双曲线经过点，不垂直x轴的直线与交于不同于P的A、B两点，直线、分别与轴交于点、． (1)求的离心率； (2)设直线与x轴交于点Q，且，求点A的横坐标； 28．已知双曲线的离心率，左顶点，过C的右焦点F作与x轴不重合的直线l，交C于P、Q两点． (1)求双曲线C的方程； (2)求证：直线、的斜率之积为定值； (3)设，试问：在x轴上是否存在定点T，使得恒成立？若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由． 29．双曲线经过点，不垂直轴的直线与交于不同于的、两点，直线、分别与轴交于点、. (1)求的离心率； (2)设直线与轴交于点，且，求点的横坐标； (3)若、关于原点对称，证明：直线经过定点. 30．已知是坐标原点，双曲线左顶点，直线过点交的右支于两点，记的面积分别为，．且当直线与轴垂直时，． (1)求双曲线的标准方程； (2)已知直线交轴于点， （i）若，求证：为定值； （ii）在（i）条件下，若，当时，求的取值范围． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $