专题05 定值·切线·最值六大典型问题（高效培优专项训练）数学人教A版高二选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦圆的六大核心问题，以题型为载体构建从基础到综合的解题逻辑链，强化几何直观与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |定点定值问题|10题|含选择、填空、解答题，涉及切线过定点、斜率和定值证明|从圆的方程切入，结合几何性质与代数运算，培养推理意识| |切线方程|10题|覆盖圆上、圆外点求切线，含多选型判断|基于圆心与切点连线垂直切线的性质，强化分类讨论思维| |弦长问题|10题|已知弦长求参数、直线方程，涉及动态弦长计算|运用弦长公式与勾股定理，建立代数关系解决几何问题| |弦长最值|10题|过圆内定点最短弦、动弦长范围，含轨迹问题|结合圆心距与半径关系，培养空间观念与最值思想| |点线距离最值|10题|圆上点到直线距离、多动点距离和最值|转化为圆心到直线距离问题，发展数学抽象与模型意识|

专题05 定值·切线·最值六大典型问题 题型一 直线与圆中的定点定值问题 题型二 过圆上一点的切线方程 题型三 过圆外一点的切线方程 题型四 已知圆的弦长求直线或参数 题型五 过圆内定点的弦长最值 题型六 圆上点到定直线的最值问题 题型一 直线与圆中的定点定值问题 1． 【详解】设，则， 过点作圆的切点弦方程为， 联立，得， 当时，即，无论如何变化， 恒等于0，所以直线过定点.    2． 【详解】圆的圆心为，设， 则以为直径的圆的方程为， 即， 又圆，代入上式可得，即 即，令，解得， 所以直线经过定点． 3．(1) (2) (3)证明:当斜率不存在时，于圆C相切，不合题意； 如图，直线的斜率必定存在，且不为0， 设其方程为，即， 由，解得，即． 因为为PQ的中点，所以直线CM与垂直，则直线CM的方程为， 由，解得，即． 因此， 所以为定值． 【分析】（1）设出圆心坐标，借助两点间距离公式求出圆心和半径即可得圆的方程； （2）按直线的斜率存在与否分类，借助点到直线的距离公式求解即可. （3）设出直线的方程，求出点的坐标，再利用两点间距离公式计算即得. 【详解】（1）设圆心，由圆心在直线上及点和点都在圆上， 得，即， 解得，即，圆的半径， 所以圆的方程为． （2）设圆心到直线的距离为， 则， 因为直线与圆交于两点，所以． 所以， 由于，则，因此， 所以的面积的取值范围为． （3）略. 4．(1) (2)和 (3)定值， 【详解】（1）过点斜率为的直线方程为， 圆心到该直线的距离为， 所以该直线被圆截得的弦长为. （2）圆的圆心为，半径为2， 若过点的直线垂直于轴，则方程为，显然与圆相切，符合题意； 若过点的直线不垂直于轴，设直线的斜率与， 则直线方程为，即， 因为直线与圆相切， 所以圆心到直线的距离，解得， 所以切线方程为； 综上所述，切线方程为和. （3）由题意知点，显然直线的斜率存在，设直线方程为， 联立，得， 设，则， 且， 所以 ， 所以是定值，定值为． 5．ACD 6．(1) (2)直线经过定点，该定点的坐标为 【详解】（1）设圆W的方程为， 则，解得 则圆W的方程为． （2）若直线的斜率不存在，则设直线的方程为， 则，整理得． 又，解得，所以直线的方程为，此时经过点，不符合题意． 若直线的斜率存在，则设直线的方程为， 联立方程组，整理得， 则． ， 则， 整理得， 解得或． 当时，直线的方程为， 此时直线经过点，不符合题意，故舍去． 所以， 故直线的方程为，即，经过定点． 综上所述，直线经过定点，且该定点的坐标为．        7． 【详解】圆化成标准形式为圆， 圆心，半径， 直线过定点，并在圆内， 最短时，点为弦的中点，即时， 所以. 故答案为：. 8．(1)； (2)设，．由题意得直线l的方程为， 由，得， ∴， ∴， ∴， . 即为定值0． 【详解】（1）解：设圆C的方程为， ∴，解得， ∴圆C的方程为，其标准方程为． （2）略 9．C 10．(1) (2)存在；P（2，0） 【详解】（1）（1）设M（a，b）． 则． 解得． 所以该圆的半径为3，． 所以圆M的方程为； （2）设OA所在直线方程为， 联立 得， 同理把k换做－，可得 所以AB所在直线方程为）． 当时，可得， 故直线AB过定点C（4，0）． 由于OC为定值，且△ODC为直角三角形，OC为斜边， 所以OC中点P满足为定值， 由于O（0，0），C（4，0），故由中点坐标公式可得P（2，0）， 故存在点P（2，0），使得|DP|为定值． 题型二 过圆上一点的切线方程 11．D 12．D 13．D 14．(1)5；(2). 【详解】（1）因为圆的方程为， 即为， 所以圆的半径为5； （2）显然切线不垂直于轴，设直线的方程为， 为圆心到直线的距离， 则有， 又因为线与圆相切， 所以， 即， 解得：， 所以切线的方程为， 即. 15．(1)(2). 【详解】（1）设圆心为，半径为，由， 得，得， 所以点坐标为，圆半径， 所以圆的标准方程为：. （2）由，知点在圆上， 由且，，知， 所以过的圆切线方程为：. 16．C 17．BD 18．BCD 19．（1） ；（2） ；切线方程为或． 【详解】（1）由题意，知点在圆外， 又圆心，半径， 所以，解得或． 故实数的取值范围是． （2）由题意知点在圆上， 所以，解得． 当时，点为，所以，， 此时切线方程为，即； 当时，点为，所以，． 此时切线方程为，即． 综上，所求切线方程为或． 20．B 题型三 过圆外一点的切线方程 21．A 22．(1)相交，弦长为(2)或 【详解】（1）圆：化为标准方程为， 圆心坐标为，半径为， 圆心到直线的距离为， 所以，所以直线与圆相交； 直线被圆所截得的弦长为； （2）当直线斜率不存在时，直线方程为， 圆心到直线的距离等于半径，所以直线与圆相切， 当直线斜率存在时，设直线方程为，即， 圆心到直线的距离为， 解得， 所以直线方程为， 综上，切线方程为或. 23．(1)(2)或 【详解】（1）设，则， 故， 化简整理得， 故曲线的标准方程为； （2）曲线是以为圆心，1为半径的圆， 当过点的直线斜率不存在时，直线方程为， 此时到的距离为1，故与圆相切，满足要求， 当过点的直线斜率存在时，设切线方程为，即， 圆心到的距离， 解得，故切线方程为，即， 综上，过点且与曲线相切的直线方程为或. 24．A 25．或 【详解】解：由题意知圆心的坐标为，半径， 当过点的直线的斜率不存在时，方程为． 由圆心到直线的距离知，此时，直线与圆相切． 当过点的直线的斜率存在时，设方程为， 即．由题意知， 解得，∴方程为． 故过点的圆的切线方程为或． 26．(1)(2)或. 【详解】（1）设圆的标准方程为， 因为圆经过和点，且圆心在直线上， 所以 ，解得： ， 所以圆的标准方程为. （2）当直线的斜率不存在时，，此时圆心到直线的距离为5，等于半径，故满足题意； 当直线的斜率存在时，设，即， 则点到直线的距离为圆的半径， 即，解得，此时. 综上，直线l的方程为或. 27．B 28．或 【详解】由已知，圆可化为：， 直线l过点， ①当直线l的斜率不存在时，此时直线方程为：， 所以圆心到直线的距离， 此时直线l与圆不相切，所以不成立； ②当直线l的斜率存在时，设直线方程为：， 要使直线与圆相切，需满足圆心到直线的距离等于圆的半径， 即，解得：或， 所以直线l的方程为：或. 故答案为：或. 29．(1)x2+y2﹣2x﹣3＝0；(2)y＝2或4x﹣3y+6＝0． 【详解】（1）根据题意，设圆心C的坐标为（1，t）， 则有1+（t﹣）2＝0+（t﹣2）2， 解可得t＝0， 即圆心的坐标为（1，0）， 圆的半径r＝＝2， 则圆的方程为（x﹣1）2+y2＝4，即x2+y2﹣2x﹣3＝0； （2）根据题意，圆的方程为（x﹣1）2+y2＝4， 过点P（0，2）作圆的切线，斜率必定存在，设切线的斜率为k， 则切线的方程为y＝kx+2，即kx﹣y+2＝0； 则有d＝＝2，解可得k＝0或； 故切线的方程为y＝2或4x﹣3y+6＝0． 30．或. 【详解】已知圆圆心坐标为，半径为，易知直线是圆的切线， 当切线斜率存在时，设切线方程为，即， 由，解得，切线方程为，即． 故答案为或． 题型四 已知圆的弦长求直线或参数 31．(1)(2) 【详解】（1）因为直线是圆的一条对称轴， 所以直线过圆的圆心（圆是轴对称图形，直径所在直线都是对称轴）， 将代入直线的方程，得，解得． （2）直线，即，则直线恒过定点． 因为，所以定点在圆内部，所以直线与圆恒相交． 若选①． 如图1，设直线与圆交于两点，连接，则． 过点作于点，则， 所以，即点到直线AB的距离． 由，得， 所以直线的方程为．    若选②． 设定点为点，则直线与垂直时，直线被圆截得的弦长最短（如图2）， 此时，故， 直线的方程为．    32．(1)(2) 【详解】（1） 如图，设圆与轴交于两点，则， 过点作于点，连接，则， ∴，即圆半径为， ∴圆标准方程为，化为一般方程为， ∴. （2） 如图，连接. 由题意得，，与全等， ∴， 当取最小值时，四边形的面积有最小值， 的最小值为点到直线的距离，即， ∴四边形的面积的最小值为. 33．(1)(2)或 【详解】（1）由圆C关于y轴对称知：圆心C在y轴上，故设圆心；   ∴设圆的标准方程为，   则解得： 故圆C的标准方程为； （2）∵  ∴圆心C到直线l的距离为；   当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，此时，圆心C到直线l的距离为，满足题意；     当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为， 即     则圆心C到直线l的距离， 解得     此时直线l的方程为，即；     综上所述：直线l的方程为或． 34．C 35．(1)(2)或 【详解】（1）圆C：化为标准方程为，则圆C的圆心为. 又弦AB最长时，直线l过点和，所以直线l的方程为， 即. （2）当直线斜率存在时，设直线的方程为，即， 弦长为时，由圆的半径为3，由垂径定理和勾股定理得， 圆心到直线距离为，即，解得， 此时直线l的方程为， 经检验k不存在时的直线也符合条件. 所以直线l的方程为或. 36．(1)(2)或 【详解】（1）因为圆的圆心为，且过点， 所以半径， 所以圆的标准方程为 （2）设圆心到直线的距离为，因为， 所以，解得， 所以，由圆心到直线距离公式可得， 解得或． 37．(1)(2)或. 【详解】（1），的中点为，故的垂直平分线为， 即，，解得，故圆心为， 半径，故圆方程为. （2）当直线斜率不存在时，此时，满足条件，直线方程为； 当直线斜率存在时，设直线方程为，即， ，故圆心到直线的距离为，解得， 故直线方程为，即. 综上所述：直线的方程为或. 38．(1)(2) 【详解】（1）当直线的斜率不存在时，直线方程是，经过圆的圆心，所以直线与圆不相切，所以不成立， 当直线的斜率存在时，设直线，因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离，解得：， 所以直线的方程是； （2）由（1）知当直线的斜率不存在时，直线经过圆的圆心，不满足条件， 所以设直线，由条件可知是等边三角形，圆心到直线的距离，即，解得：， 所以直线的方程是. 39．C 40．(1)(2)或 【详解】（1）解：由圆，可得圆心坐标为，半径为， 因为直线过点，且圆上任意一点关于直线的对称点也在圆上， 可得直线经过圆的圆心，所以直线斜率为， 所以直线的方程为，整理得. （2）解：由及圆的半径为，可得，圆心C到直线的距离为, 设直线的斜率为m，则直线的方程为， 圆心C到直线的距离，解得或， 所以直线的方程为或． 题型五 过圆内定点的弦长最值 41． 【详解】将直线，化为， 令，解得，所以直线过定点， 又圆的标准方程为，则圆心为， 由，则点在圆内， 故当时，圆心到直线的距离取得最大值，此时直线被圆截得的弦长最短， 则，解得． 故答案为：． 42．D 43．ACD 44．A 45． 【详解】解：将圆方程整理为，得圆心，半径， 将直线方程整理为，得直线恒过定点，且在圆内， 最长弦为过的圆的直径，即，最短弦为过，且与最长弦垂直的弦， ，， 直线方程为，即， 圆心到直线的距离为， ， 四边形的面积， 故答案为：. 46．ABD 47．A 48．BD 49．（1）过定点，定点为；（2）. 【详解】解：（1）由直线，得， 联立，解得， 则直线过定点； （2）由圆，得， 则圆的圆心坐标为， 要使圆截直线所得弦长最小，则， ，直线的斜率. 50． ； . 【详解】依题意设圆的方程为（）， 由可得，则， 所以圆的方程为. 显然，直线恒过圆内一定点，易得当直线与垂直时被圆截得的弦长最短. 因为的斜率为，所以，直线的斜率为. 故答案为：① ；② . 题型六 圆上点到定直线的最值问题 51．(1)最大值为，最小值为 (2)最大值为，最小值为． 【详解】（1）由题意，圆心为，半径， 则圆心到直线的距离为． 点到直线的距离的最大值为，最小值为． （2）方法一：设，则直线与圆有公共点， ，解得， 则，即的最大值为，最小值为． 方法二：设，则， 其中，则， 即的最大值为，最小值为． 52．B 53．ABD 54．ACD 55．AB 56．D 57．(1)；(2). 【详解】（1）由，，可得的垂直平分线为， 又点、点均在圆C上，圆C的圆心在直线上， 由，可得，即圆心， 又， 所以圆的方程为； （2）由（1）得，圆的圆心为，半径， 所以四边形的面积为， 所以当最小时，最小， 又到直线的距离为， 即的最小值为， 所以四边形面积的最小值为. 58．ACD 59．BCD 60．ABD 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 定值·切线·最值六大典型问题 题型一 直线与圆中的定点定值问题 题型二 过圆上一点的切线方程 题型三 过圆外一点的切线方程 题型四 已知圆的弦长求直线或参数 题型五 过圆内定点的弦长最值 题型六 圆上点到定直线的最值问题 题型一 直线与圆中的定点定值问题 1．已知点在直线上运动，过点作圆的切线，切点为，直线过定点______． 【答案】 【分析】先求出切点弦的方程，再联立已知直线方程进行消参，最后求出定点坐标. 【详解】设，则， 过点作圆的切点弦方程为， 联立，得， 当时，即，无论如何变化， 恒等于0，所以直线过定点.    2．已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线为切点，则直线经过的定点坐标为____. 【答案】 【分析】设出点坐标，得到以为直径的圆的方程，与已知圆的方程联立，可得直线的方程，再由直线系方程求解． 【详解】圆的圆心为，设， 则以为直径的圆的方程为， 即， 又圆，代入上式可得，即 即，令，解得， 所以直线经过定点． 3．已知圆过点和点，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)已知直线与圆交于点B，D，求的面积的取值范围； (3)若直线过点，且与圆相交于P，Q两点，线段PQ的中点为与：的交点为，求证：为定值． 【答案】(1) (2) (3)证明:当斜率不存在时，于圆C相切，不合题意； 如图，直线的斜率必定存在，且不为0， 设其方程为，即， 由，解得，即． 因为为PQ的中点，所以直线CM与垂直，则直线CM的方程为， 由，解得，即． 因此， 所以为定值． 【分析】（1）设出圆心坐标，借助两点间距离公式求出圆心和半径即可得圆的方程； （2）按直线的斜率存在与否分类，借助点到直线的距离公式求解即可. （3）设出直线的方程，求出点的坐标，再利用两点间距离公式计算即得. 【详解】（1）设圆心，由圆心在直线上及点和点都在圆上， 得，即， 解得，即，圆的半径， 所以圆的方程为． （2）设圆心到直线的距离为， 则， 因为直线与圆交于两点，所以． 所以， 由于，则，因此， 所以的面积的取值范围为． （3）略. 4．平面直角坐标系中，点，圆与轴正半轴交于点. (1)求过点且斜率为的直线被圆截得的弦长； (2)求过点与圆相切的直线方程； (3)过点的直线与圆交于不同的两点，判断直线QA，QB的斜率之和是否为定值，若是则求出该定值，若不是则说明理由. 【答案】(1) (2)和 (3)定值， 【分析】（1）计算出圆心到直线的距离，然后根据半径、圆心到直线的距离、半弦长之间的关系求解出弦长； （2）先直接分析直线斜率不存在的情况，当直线斜率存在时，设出直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径求解出切线方程，由此结果可知； （3）设以及直线的方程，联立直线与圆的方程，得到坐标的韦达定理形式，然后将化简至用韦达定理表示的形式，代入计算可得结果. 【详解】（1）过点斜率为的直线方程为， 圆心到该直线的距离为， 所以该直线被圆截得的弦长为. （2）圆的圆心为，半径为2， 若过点的直线垂直于轴，则方程为，显然与圆相切，符合题意； 若过点的直线不垂直于轴，设直线的斜率与， 则直线方程为，即， 因为直线与圆相切， 所以圆心到直线的距离，解得， 所以切线方程为； 综上所述，切线方程为和. （3）由题意知点，显然直线的斜率存在，设直线方程为， 联立，得， 设，则， 且， 所以 ， 所以是定值，定值为． 5．（多选）设两动直线，，，与交于点M且直线交圆于A，B两点（点C为圆心），则下列说法正确的有（    ） A．直线过定点 B．当最小时，其余弦值为 C．存在点P，使得为定值 D．存在点M，使 【答案】ACD 【分析】根据题意得到直线和分别经过和，且，利用圆的性质和弦长公式，以及余弦定理，点与圆的最值等知识点，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由直线，可化为， 由方程组，解得，所以直线过定点，所以A正确； 对于B中，由圆，可得圆心，半径为， 因为直线过定点，且点在圆的内部，可得， 由圆的性质得，当时，此时弦最短，此时最小， 又由， 在中，由余弦定理得， 所以B错误； 对于C中，直线，可化为， 由方程组，解得，所以直线过定点， 又由，可得，所以为直角三角形，且 根据直角三角形的性质，可得的中点到点的距离为（定值），所以C正确. 对于D中，由，且，， 所以点落在以为直径的圆Q上，其中圆心，半径为， 又由，所以， 因为，所以存在点M，使，所以D正确. 故选：ACD. 6．已知圆经过三点． (1)求圆的方程． (2)已知直线与圆交于M，N（异于A点）两点，若直线的斜率之积为2，试问直线是否经过定点？若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由． 【答案】(1) (2)直线经过定点，该定点的坐标为 【分析】（1）设出圆的一般方程，代入的坐标，由此求得正确答案. （2）根据直线的斜率是否存在进行分类讨论，由直线的斜率之积列方程，化简求得定点坐标. 【详解】（1）设圆W的方程为， 则，解得 则圆W的方程为． （2）若直线的斜率不存在，则设直线的方程为， 则，整理得． 又，解得，所以直线的方程为，此时经过点，不符合题意． 若直线的斜率存在，则设直线的方程为， 联立方程组，整理得， 则． ， 则， 整理得， 解得或． 当时，直线的方程为， 此时直线经过点，不符合题意，故舍去． 所以， 故直线的方程为，即，经过定点． 综上所述，直线经过定点，且该定点的坐标为．        7．直线与圆交于两点，则弦长的最小值是___________. 【答案】 【分析】先把圆的方程化成标准形式，从而得出圆心坐标和半径，再通过直线方程得出直线过定点，发现定点在圆的内部，从而根据圆的有关知识知：当定点是弦的中点时，弦长最短，从而求出弦长的最小值. 【详解】圆化成标准形式为圆， 圆心，半径， 直线过定点，并在圆内， 最短时，点为弦的中点，即时， 所以. 故答案为：. 8．已知圆C经过点，及（3，0）．过坐标原点O，且斜率为k的直线l与圆C交于M，N两点． (1)求圆C的标准方程； (2)若点，分别记直线PM，直线PN的斜率为，，证明：为定值． 【答案】(1)； (2) 设，．由题意得直线l的方程为， 由，得， ∴， ∴， ∴， . 即为定值0． 【分析】（1）设圆C的方程为，解方程组求出即得解； （2）设，．由题意得直线l的方程为，联立直线和圆的方程得到韦达定理，计算化简即得证. 【详解】（1）解：设圆C的方程为， ∴，解得， ∴圆C的方程为，其标准方程为． （2）略 9．已知圆：，一条光线从点射出经轴反射，则下列结论不正确的是（    ） A．圆关于轴的对称圆的方程为 B．若反射光线平分圆的周长，则入射光线所在直线方程为 C．若反射光线与圆相切于，与轴相交于点，则 D．若反射光线与圆交于，两点，则面积的最大值为 【答案】C 【分析】对于A，由对称的性质直接求解即可，对于B，由题意可知入射光线所在的直线过点和，从而可求出直线方程，对于C，由题意可知反射光线所在的直线过点，则，然后由圆的性质可求出，进而可求得的值，对于D，设，，表示弦长和弦心距，可表示出面积，从而可求出其最大值 【详解】对于A，由圆方程可得，故圆心，半径， 圆关于轴对称的圆的圆心为，半径为， 所求圆的方程为：，即，A正确； 对于B，反射光线平分圆的周长，反射光线经过圆心， 入射光线所在直线经过点，， 入射光线所在直线方程为：，即，B正确； 对于C，反射光线经过点关于轴的对称点， ，   ，则，C错误； 对于D，设， 则圆心到直线的距离， ， ， 则当时，，D正确. 故选：C. 10．已知圆的圆心与点关于直线 对称，且圆与轴相切于原点． (1)求圆的方程； (2)过原点的两条直线与圆分别交于两点，直线的斜率之积为 ，为垂足，是否存在定点，使得为定值，若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在；P（2，0） 【分析】（1）设M（a，b）．则由题意可得，解方程组求出，从而可求出圆的方程， （2）设OA所在直线方程为，与圆的方程联立，可求出点的坐标，同理可求出点的坐标，则可表示出直线的方程，化简后可得直线AB过定点C（4，0），由于OC为定值，且△ODC为直角三角形，OC为斜边，从而可得为定值，进而可求出点的坐标 【详解】（1）（1）设M（a，b）． 则． 解得． 所以该圆的半径为3，． 所以圆M的方程为； （2）设OA所在直线方程为， 联立 得， 同理把k换做－，可得 所以AB所在直线方程为）． 当时，可得， 故直线AB过定点C（4，0）． 由于OC为定值，且△ODC为直角三角形，OC为斜边， 所以OC中点P满足为定值， 由于O（0，0），C（4，0），故由中点坐标公式可得P（2，0）， 故存在点P（2，0），使得|DP|为定值． 题型二 过圆上一点的切线方程 11．过点作圆的切线，则切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析可知，点在圆上，且，由此可得出所求切线的方程. 【详解】圆的标准方程为，圆心为， 因为，所以，点在圆上，则， 所以，所求切线与轴垂直，故所求切线的方程为. 故选：D. 12．过点作圆的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由圆E的方程可得圆心E的坐标，将P点的坐标代入圆的方程，可得P点在圆上，求出直线PE的斜率，得到过P点的切线的斜率，再求出过P点的切线方程. 【详解】由圆的方程，可得圆心坐标为， 将的坐标代入圆的方程，得，则点在圆上， 又，所以过点与圆相切的直线的斜率为1， 所以过点的切线方程为，即. 故选：D. 13．已知圆经过点，则圆在点P处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出圆心坐标，利用圆的切线性质求出切线的斜率即可得切线方程. 【详解】圆的圆心，直线的斜率， 因此圆在点P处的切线方程为，即. 故选：D 14．已知圆. (1)求圆的半径； (2)若直线与圆相切于点，求直线的方程. 【答案】(1)5； (2). 【分析】（1）将圆的方程化为标准形式即得答案； （2）设直线的方程为，求出圆心到直线的距离，再根据，解出的值即得答案. 【详解】（1）因为圆的方程为， 即为， 所以圆的半径为5； （2）显然切线不垂直于轴，设直线的方程为， 为圆心到直线的距离， 则有， 又因为线与圆相切， 所以， 即， 解得：， 所以切线的方程为， 即. 15．已知圆经过两点，，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)求过点且与圆相切的直线方程. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）设圆心为，半径为，由，求出圆心坐标，进而求出半径，得到圆的方程； （2）由，知点在圆上，由可得求出，得到切线方程. 【详解】（1）设圆心为，半径为，由， 得，得， 所以点坐标为，圆半径， 所以圆的标准方程为：. （2）由，知点在圆上， 由且，，知， 所以过的圆切线方程为：. 16．圆在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出以点P为端点的半径所在直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解. 【详解】圆的圆心为，点P在圆上，直线OP的斜率为， 所以所求切线的斜率为，方程为，即. 故选：C 17．（多选）已知实数满足曲线的方程，则下列选项正确的是（    ） A．的最大值是 B．的最大值是 C．的最小值是 D．过点作曲线的切线，则切线方程为 【答案】BD 【分析】由表示圆上的点到定点的距离的平方，可判定A错误；由表示圆上的点与点的斜率，设，结合点到直线的距离公式，列出不等式，可判定B正确；由表示圆上任意一点到直线的距离的倍，进而可判定C错误；根据点在圆上，结合圆的切线的性质，可判定D正确. 【详解】由圆可化为，可得圆心，半径为， 对于A中，由表示圆上的点到定点的距离的平方， 所以它的最大值为，所以A错误； 对于B中，表示圆上的点与点的斜率，设，即， 由圆心到直线的距离，解得， 所以的最大值为，所以B正确； 对于C中，由表示圆上任意一点到直线的距离的倍， 圆心到直线的距离，所以其最小值为，所以C错误； 对于D中，因为点满足圆的方程，即点在圆上， 则点与圆心连线的斜率为， 根据圆的性质，可得过点作圆的切线的斜率为， 所以切线方程为，即，所以D正确. 故选：BD. 18．（多选）已知圆的方程为，则关于圆的说法正确的是（    ） A．圆心的坐标为 B．点在圆内 C．直线被圆截得的弦长为 D．圆在点处的切线方程为 【答案】BCD 【分析】由圆的标准方程即可判断A,根据点与圆的位置关系即可判断B,根据直线与圆相交，结合勾股定理即可求解弦长判断C,根据点的位置即可判断切线与轴平行，即可判断D. 【详解】由圆的方程为，知圆心为，半径为1，选项A错误； 点到点的距离为，选项B正确； 点到的距离为，所以，选项C正确； 由于点在圆上，点与圆心在垂直于坐标轴的直线上，所以圆在点的切线直线与轴平行，其方程为，选项D正确； 故选：BCD. 19．已知圆和点． （1）若过点有两条直线与圆相切，求实数的取值范围； （2）若过点有且只有一条直线与圆相切，求实数的值，并求出切线方程． 【答案】（1） ；（2） ；切线方程为或． 【分析】（1）根据已知条件判断点的位置，由此得到关于的不等式，则结果可求； （2）根据条件判断出点位置，由此可求的值，然后根据切线与垂直得到切线斜率，根据点斜式方程可求切线方程. 【详解】（1）由题意，知点在圆外， 又圆心，半径， 所以，解得或． 故实数的取值范围是． （2）由题意知点在圆上， 所以，解得． 当时，点为，所以，， 此时切线方程为，即； 当时，点为，所以，． 此时切线方程为，即． 综上，所求切线方程为或． 20．已知过点的直线与圆相切，且与直线垂直，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先由点的坐标满足圆的方程来确定点在圆上，然后求出过点的圆的切线方程，最后由两直线的垂直关系转化为斜率关系求解. 【详解】由题知，圆的圆心，半径. 因为，所以点在圆上， 所以过点的圆的切线与直线垂直， 设切线的斜率，则有， 即，解得. 因为直线与切线垂直， 所以，解得. 故选：B. 题型三 过圆外一点的切线方程 21．已知圆的圆心为，且经过点，过点作圆的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意求得其中一个切点的坐标，并求出的斜率即可求解. 【详解】由题意，圆的半径为圆的标准方程为． 当斜率不存在时，过点的直线为，与圆相切于点． 由圆的切线的性质可知，， 直线AB的方程为，即． 故选：A. 22．已知圆：. (1)判断直线与圆的位置关系；如果相交，求直线被圆所截得的弦长；如果相离，求圆心到直线的距离. (2)过圆外一点引圆的切线，求切线方程. 【答案】(1)相交，弦长为 (2)或 【分析】（1）由圆心到直线的距离与半径比较，即可判断直线与圆的位置关系；利用勾股定理即可计算弦长； （2）当切线斜率不存在时，切线方程为，当切线斜率存在时，设出切线方程，由圆心到直线的距离等于半径即可求解. 【详解】（1）圆：化为标准方程为， 圆心坐标为，半径为， 圆心到直线的距离为， 所以，所以直线与圆相交； 直线被圆所截得的弦长为； （2）当直线斜率不存在时，直线方程为， 圆心到直线的距离等于半径，所以直线与圆相切， 当直线斜率存在时，设直线方程为，即， 圆心到直线的距离为， 解得， 所以直线方程为， 综上，切线方程为或. 23．已知，动点满足，设动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的标准方程； (2)求过点且与曲线相切的直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设，根据得到方程，整理得到曲线的标准方程； （2）曲线是以为圆心，1为半径的圆，当斜率不存在时，满足要求，当斜率存在时，设出直线方程，利用圆心到直线距离等于半径得到方程，求出答案. 【详解】（1）设，则， 故， 化简整理得， 故曲线的标准方程为； （2）曲线是以为圆心，1为半径的圆， 当过点的直线斜率不存在时，直线方程为， 此时到的距离为1，故与圆相切，满足要求， 当过点的直线斜率存在时，设切线方程为，即， 圆心到的距离， 解得，故切线方程为，即， 综上，过点且与曲线相切的直线方程为或. 24．若过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意求出点到圆心的距离为，进而可得，结合二倍角的余弦公式计算即可求解. 【详解】点到圆心的距离为，圆的半径为， 所以，于是． 故选：A． 25．已知圆C：．若点，求过点的圆的切线方程； 【答案】或 【分析】求出圆的圆心与半径，分过点的直线的斜率不存在和存在两种情况，利用圆心到直线距离等于半径，即可求出切线方程； 【详解】解：由题意知圆心的坐标为，半径， 当过点的直线的斜率不存在时，方程为． 由圆心到直线的距离知，此时，直线与圆相切． 当过点的直线的斜率存在时，设方程为， 即．由题意知， 解得，∴方程为． 故过点的圆的切线方程为或． 26．已知圆经过点和，且圆心在直线：上. (1)求圆的标准方程； (2)若过点作圆的切线，求该切线方程. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）先设圆的标准方程，再代入点的坐标及圆心在直线上即可求参； （2）设直线方程，利用直线与圆的位置关系计算即可求解. 【详解】（1）设圆的标准方程为， 因为圆经过和点，且圆心在直线上， 所以 ，解得： ， 所以圆的标准方程为. （2）当直线的斜率不存在时，，此时圆心到直线的距离为5，等于半径，故满足题意； 当直线的斜率存在时，设，即， 则点到直线的距离为圆的半径， 即，解得，此时. 综上，直线l的方程为或. 27．过点作圆C：的两条切线，切点分别为A，B，则直线的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，可知圆的圆心为，半径，由切线长公式求出的长，进而可得以为圆心，为半径为圆，则为两圆的公共弦所在的直线，联立两个圆的方程，两方程作差后计算可得答案． 【详解】根据题意，可知圆的圆心为，半径， 过点作圆的两条切线，设切点分别为、， 而，则， 则以为圆心，为半径为圆为，即圆， 所以为两圆的公共弦所在的直线，则有， 作差变形可得：； 即直线的方程为. 故选：B. 28．直线l过点，且与圆相切，则直线l的方程为___________． 【答案】或 【分析】由已知，先将圆的方程化为标准式，然后分类讨论直线l斜率存在、不存在，计算圆心到直线的距离等于圆的半径，列式即可求解直线方程的斜率，从而得到直线方程. 【详解】由已知，圆可化为：， 直线l过点， ①当直线l的斜率不存在时，此时直线方程为：， 所以圆心到直线的距离， 此时直线l与圆不相切，所以不成立； ②当直线l的斜率存在时，设直线方程为：， 要使直线与圆相切，需满足圆心到直线的距离等于圆的半径， 即，解得：或， 所以直线l的方程为：或. 故答案为：或. 29．已知圆经过，两点，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)求过点且与圆相切的直线方程． 【答案】(1)x2+y2﹣2x﹣3＝0； (2)y＝2或4x﹣3y+6＝0． 【分析】（1）由圆心在直线上，设圆心为（1，t），再由经过，两点可得1+（t﹣）2＝0+（t﹣2）2，求得圆心和半径即可得解； （2）根据题意切线的斜率存在可设直线方程为y＝kx+2，再利用直线和圆相切可得 d＝＝2，求得即可得解. 【详解】（1）根据题意，设圆心C的坐标为（1，t）， 则有1+（t﹣）2＝0+（t﹣2）2， 解可得t＝0， 即圆心的坐标为（1，0）， 圆的半径r＝＝2， 则圆的方程为（x﹣1）2+y2＝4，即x2+y2﹣2x﹣3＝0； （2）根据题意，圆的方程为（x﹣1）2+y2＝4， 过点P（0，2）作圆的切线，斜率必定存在，设切线的斜率为k， 则切线的方程为y＝kx+2，即kx﹣y+2＝0； 则有d＝＝2，解可得k＝0或； 故切线的方程为y＝2或4x﹣3y+6＝0． 30．过点的圆的切线方程为___________. 【答案】或. 【分析】根据切线斜率存在和不存在分类讨论，斜率存在时设直线方程，由圆心到切线距离等于半径求解． 【详解】已知圆圆心坐标为，半径为，易知直线是圆的切线， 当切线斜率存在时，设切线方程为，即， 由，解得，切线方程为，即． 故答案为或． 题型四 已知圆的弦长求直线或参数 31．已知直线，圆． (1)若直线是圆的一条对称轴，求的值； (2)从①若直线被圆截得的弦长为4，②若直线被圆截得的弦长最短这两个条件中选择一个作为已知，求直线的方程． 注：若选择两个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意直线过圆的圆心，将代入直线的方程，计算得． （2）根据题意直线恒过定点．代入圆的方程判断在圆内部，可得直线与圆恒相交．①三角形中勾股定理计算得到点到直线AB的距离，再根据点到直线距离公式计算的结果；②设定点为点，依题意当直线与垂直时，直线被圆截得的弦长最短，利用两直线斜率之积为，计算可得直线的结果； 【详解】（1）因为直线是圆的一条对称轴， 所以直线过圆的圆心（圆是轴对称图形，直径所在直线都是对称轴）， 将代入直线的方程，得，解得． （2）直线，即，则直线恒过定点． 因为，所以定点在圆内部，所以直线与圆恒相交． 若选①． 如图1，设直线与圆交于两点，连接，则． 过点作于点，则， 所以，即点到直线AB的距离． 由，得， 所以直线的方程为．    若选②． 设定点为点，则直线与垂直时，直线被圆截得的弦长最短（如图2）， 此时，故， 直线的方程为．    32．已知圆被轴截得的弦长为，点是直线上的一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和． (1)求的值； (2)求四边形面积的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据弦长和圆心到直线的距离可求得半径，利用半径可求的值. （2）利用几何特征可得，问题转化为求的最小值，利用点到直线的距离可得结果. 【详解】（1） 如图，设圆与轴交于两点，则， 过点作于点，连接，则， ∴，即圆半径为， ∴圆标准方程为，化为一般方程为， ∴. （2） 如图，连接. 由题意得，，与全等， ∴， 当取最小值时，四边形的面积有最小值， 的最小值为点到直线的距离，即， ∴四边形的面积的最小值为. 33．已知圆C关于y轴对称且经过点和． (1)求圆C的标准方程； (2)过点的直线l与圆C交于A，B两点；若，求直线l的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由题意，设圆的标准方程为，再将点的坐标代入求解； （2）利用直线与圆的弦长公式求解. 【详解】（1）由圆C关于y轴对称知：圆心C在y轴上，故设圆心；   ∴设圆的标准方程为，   则解得： 故圆C的标准方程为； （2）∵  ∴圆心C到直线l的距离为；   当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，此时，圆心C到直线l的距离为，满足题意；     当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为， 即     则圆心C到直线l的距离， 解得     此时直线l的方程为，即；     综上所述：直线l的方程为或． 34．已知直线和圆相交于两点．若，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】应用点线距离公式及几何法求圆的弦长公式列方程求半径即可. 【详解】由圆心为原点，则圆心到直线距离，又，    所以. 故选：C 35．圆C：内有一点，过点P作直线l交圆C于A，B两点. (1)当弦AB最长时，求直线l的方程； (2)当直线l被圆C截得的弦长为时，求l的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）弦AB最长时，直线l过点和圆心,可求方程； （2）根据弦长，求得圆心到直线距离，利用点到距离公式可求直线方程. 【详解】（1）圆C：化为标准方程为，则圆C的圆心为. 又弦AB最长时，直线l过点和，所以直线l的方程为， 即. （2）当直线斜率存在时，设直线的方程为，即， 弦长为时，由圆的半径为3，由垂径定理和勾股定理得， 圆心到直线距离为，即，解得， 此时直线l的方程为， 经检验k不存在时的直线也符合条件. 所以直线l的方程为或. 36．圆C的圆心为，且过点． (1)求圆C的标准方程； (2)直线与圆C交M，N两点，且，求k． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用题意可得到圆的半径为，即可求解； （2）利用几何法先求出圆心到直线的距离为，然后利用点到直线的距离即可求解 【详解】（1）因为圆的圆心为，且过点， 所以半径， 所以圆的标准方程为 （2）设圆心到直线的距离为，因为， 所以，解得， 所以，由圆心到直线距离公式可得， 解得或． 37．已知圆C经过，两点，且圆心C在直线上. (1)求圆C的方程； (2)过点的直线l与圆C交于P，Q两点，如果，求直线l的方程. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）计算的垂直平分线，计算交点得到圆心，再计算半径得到答案. （2）考虑直线斜率存在和不存在两种情况，根据点到直线的距离公式结合弦长公式计算得到答案. 【详解】（1），的中点为，故的垂直平分线为， 即，，解得，故圆心为， 半径，故圆方程为. （2）当直线斜率不存在时，此时，满足条件，直线方程为； 当直线斜率存在时，设直线方程为，即， ，故圆心到直线的距离为，解得， 故直线方程为，即. 综上所述：直线的方程为或. 38．已知圆O：，直线l过点A（0，4）. (1)若直线l与圆O相切，求直线l的方程 (2)若直线l与圆O交于E，F两点，且，求直线l的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先设出直线，利用圆心到直线的距离，求解直线方程； （2）首先判断是等边三角形，可知圆心到直线的距离，即可求解直线方程. 【详解】（1）当直线的斜率不存在时，直线方程是，经过圆的圆心，所以直线与圆不相切，所以不成立， 当直线的斜率存在时，设直线，因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离，解得：， 所以直线的方程是； （2）由（1）知当直线的斜率不存在时，直线经过圆的圆心，不满足条件， 所以设直线，由条件可知是等边三角形，圆心到直线的距离，即，解得：， 所以直线的方程是. 39．若过点的直线截圆的弦长为8，则直线的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】对直线的斜率是否存在分类讨论，根据圆心到直线的距离、弦长和半径构成的直角三角形得到关于斜率的方程，解方程得到方程的斜率，进而得到直线方程. 【详解】若直线l的斜率不存在，则l的方程为， 圆心到l的距离为3，易求得弦长为8，符合题意； 若直线l的斜率存在，设l的方程为，即， 故圆心到l的距离， 解得， 则l的方程为. 综上所述，直线l的方程为或. 故选：C. 40．已知点，圆． (1)若直线过点，且圆上任意一点关于直线的对称点也在圆上，求直线的方程； (2)若直线过点，且直线与圆交于两点，若，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由题意得到直线经过圆的圆心，求得直线斜率为，结合直线的点斜式方程，即可求解； （2）根据题意得到圆心C到直线的距离为,设直线的方程为，利用点到直线的距离公式，列出方程，即可求解. 【详解】（1）解：由圆，可得圆心坐标为，半径为， 因为直线过点，且圆上任意一点关于直线的对称点也在圆上， 可得直线经过圆的圆心，所以直线斜率为， 所以直线的方程为，整理得. （2）解：由及圆的半径为，可得，圆心C到直线的距离为, 设直线的斜率为m，则直线的方程为， 圆心C到直线的距离，解得或， 所以直线的方程为或． 题型五 过圆内定点的弦长最值 41．当直线被圆截得的弦长最短时，实数______． 【答案】 【分析】根据直线的方程，求得直线所过的定点，直线被圆截得的弦长最短时有，则，解出方程即可. 【详解】将直线，化为， 令，解得，所以直线过定点， 又圆的标准方程为，则圆心为， 由，则点在圆内， 故当时，圆心到直线的距离取得最大值，此时直线被圆截得的弦长最短， 则，解得． 故答案为：． 42．已知圆，过圆内一点的直线被圆所截得的最短弦的长度为2，则（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】D 【分析】求出圆心和半径，由几何关系得到当过圆内一点的直线与垂直时，被圆所截得的弦长最短，由垂径定理列出方程，求出答案. 【详解】整理得，故圆心为，半径为， 当过圆内一点的直线与垂直时，被圆所截得的弦长最短，    其中， 由垂径定理得，即，解得， 故选：D 43．（多选）已知圆的圆心在直线上，且与相切于点，过点作圆的两条互相垂直的弦，记线段的中点分别为，则下列结论正确的是（    ） A．圆的方程为 B．四边形面积的最大值为 C．弦的长度的取值范围为 D．直线恒过定点 【答案】ACD 【分析】利用待定系数法求出圆E的方程，判断A；根据圆的几何性质表示出四边形面积，结合二次函数知识求得其最大值，判断B；利用圆的几何性质可求得弦的长度的取值范围，判断C；结合四边形为矩形，可判断D. 【详解】由题意可设圆心为，半径为， 故，解得，则， 故圆的方程为，A正确；    连接,则, 设,则,则， 故， 所以， 当时，四边形面积取到最大值，B错误； 当弦过圆心时最长，最大值为4； 当弦时最短，最小值为， 即弦的长度的取值范围为，C正确； 由题意知，， 故四边形为矩形，则为矩形的对角线，二者互相平分， 而，故过的中点，D正确， 故选：ACD 44．已知圆的方程为，过点的直线与圆交于，两点，则弦的最小值为（    ） A． B．10 C． D．5 【答案】A 【分析】确定圆的圆心和半径，确定当时，最短，根据圆心距和圆的半径以及弦长的关系，即可求得答案. 【详解】圆的方程可化为，则 ， 因为， 故点在圆内， 过点的最长弦一定是圆的直径，当时，最短， 此时， 则， 故选：A． 45．已知圆：及直线：，设直线与圆相交所得的最长弦长为，最短弦为，则四边形的面积为______． 【答案】 【分析】将直线方程整理为，得直线恒过定点，且在圆内，进而可得最长弦为过的圆的直径，即，最短弦为过，且与最长弦垂直的弦，根据垂直关系求出，可得直线的方程，利用弦长公式求出，从而根据四边形的面积即可求解. 【详解】解：将圆方程整理为，得圆心，半径， 将直线方程整理为，得直线恒过定点，且在圆内， 最长弦为过的圆的直径，即，最短弦为过，且与最长弦垂直的弦， ，， 直线方程为，即， 圆心到直线的距离为， ， 四边形的面积， 故答案为：. 46．（多选）已知圆，直线l过点，且交圆O于P，Q两点，点M为线段PQ的中点，则下列结论正确的是（    ） A．点M的轨迹是圆 B．的最小值为6 C．使为整数的直线l共有9条 D．使为整数的直线l共有16条 【答案】ABD 【分析】对A，，利用圆的性质即可判断M的轨迹； 对B， ，，讨论即可； 对C、D，利用圆的对称性，即过定点最短弦与最长弦的唯一性即可计算 【详解】因为直线l恒过点，且点M为弦PQ的中点，所以，则易得点M的轨迹是圆，故A对； 圆心O到直线l的距离为，故当时有最大值，即，故的最小值为，故B对； 由过定点最短弦与最长弦有唯一性，以及长度在最短弦与最长弦之间的弦有对称性可知，使为整数的直线l有（条），故C错，D对. 故选：ABD 47．已知直线：恒过点，过点作直线与圆C：相交于A，B两点，则的最小值为（   ） A． B．2 C．4 D． 【答案】A 【分析】写出直线的定点坐标并判断与圆的位置关系，进而确定最小时直线与直线的位置关系，即可得结果. 【详解】由恒过， 又，即在圆C内， 要使最小，只需圆心与的连线与该直线垂直，所得弦长最短， 由，圆的半径为5， 所以. 故选：A 48．（多选）已知点，直线：，圆：，过点分别作圆的两条切线，（，为切点），在的外接圆上．则（    ） A．直线的方程是 B．被圆截得的最短弦的长为 C．四边形的面积为 D．的取值范围为 【答案】BD 【分析】求出以为直径的圆的方程，与圆的方程联立可得直线的方程判断A；求出直线所过定点，得到圆心到直线的最小距离，再由垂径定理求被圆截得的最短弦的长判断B；直接求出四边形的面积判断C；求解，再分别减去的外接圆半径与加上的外接圆半径求得的取值范围判断D． 【详解】对于A，圆的圆心坐标为，，则的中点为， ，则以为直径的圆的方程为， 又圆：， 两式作差可得直线的方程是，故A错误； 对于B，直线：可化为， 联立，解得直线过定点， 且定点在圆内，当且仅当时，弦长最短，又， 所以的最小值为，故B正确； 对于C，四边形的对角线、互相垂直， 则四边形的面积， 因为，， 所以，故C错误； 对于D，由题意知，的外接圆恰好是经过、、、四点的圆， 因为的中点为外接圆的圆心， 所以圆上的点到点距离最小值是， 最大值是， 所以的取值范围为，故D正确． 故选：BD． 49．已知直线与圆. （1）判断直线是否过定点？若是，求该定点坐标； （2）当圆截直线所得弦长最小时，求的值. 【答案】（1）过定点，定点为；（2）. 【分析】（1）直接由直线系方程求得直线所过定点坐标； （2）化圆的方程为标准方程，求得圆心坐标，要使圆截直线所得弦长最小，则，再求出所在直线的斜率，可得圆截直线所得弦长最小时的值. 【详解】解：（1）由直线，得， 联立，解得， 则直线过定点； （2）由圆，得， 则圆的圆心坐标为， 要使圆截直线所得弦长最小，则， ，直线的斜率. 50．已知圆C与y轴相切于，与x轴正半轴相交于A，B两点，且，则圆C的方程为________．直线被圆C所截得弦长最短时的k的值________． 【答案】 ； . 【分析】依题意求得半径和圆心，即可求得圆的方程；显然，直线恒过圆内一定点，当直线与垂直时被圆截得的弦长最短. 由的斜率可得直线的斜率. 【详解】依题意设圆的方程为（）， 由可得，则， 所以圆的方程为. 显然，直线恒过圆内一定点，易得当直线与垂直时被圆截得的弦长最短. 因为的斜率为，所以，直线的斜率为. 故答案为：① ；② . 题型六 圆上点到定直线的最值问题 51．已知点是圆上任意一点． (1)求点到直线的距离的最大值和最小值； (2)求的最大值和最小值． 【答案】(1)最大值为，最小值为 (2)最大值为，最小值为． 【分析】（1）先求圆心到直线的距离，进而求点到直线距离的最大值和最小值； （2）方法一：设，转化为直线与圆有公共点；方法二：利用三角换元求最值． 【详解】（1）由题意，圆心为，半径， 则圆心到直线的距离为． 点到直线的距离的最大值为，最小值为． （2）方法一：设，则直线与圆有公共点， ，解得， 则，即的最大值为，最小值为． 方法二：设，则， 其中，则， 即的最大值为，最小值为． 52．已知圆，圆，分别是圆的动点，为直线上的动点，则的最小值为（    ） A．6 B．10 C．13 D．16 【答案】B 【分析】求出两圆的圆心和半径，数形结合得到的最小值为的最小值，求出关于直线的对称点的坐标，从而得到的最小值，进而得到的最小值. 【详解】的圆心为，半径， 的圆心为，半径， 如图所示，的最小值为的最小值， 设点关于直线的对称点为， 则，解得， 故，连接，则即为的最小值， 故的最小值为， 故的最小值为. 故选：B 53．（多选）已知点，动点满足，则下面结论正确的为（    ） A．点的轨迹方程为 B．点到原点的距离的最大值为5 C．面积的最大值为4 D．的最大值为18 【答案】ABD 【分析】设动点，根据两点之间的距离公式结合条件化简即可判断A选项，再由圆外一点到圆上一点的距离范围判断B和C选项，利用向量的数量积公式和代入消元法即可判断D选项. 【详解】设动点，则由得：， 即， 化简得：，即，所以A选项正确； 所以点轨迹是圆心为，半径为的圆， 则点到原点的距离最大值为，所以B选项正确； 又，和点轨迹的圆心都在轴上，且， 所以当圆的半径垂直于轴时，面积取得最大值，所以C选项错误； 又， 因为（）， 所以（）， 则，所以D选项正确； 故选：ABD. 54．（多选）已知点分别是直线和圆上的动点，则（    ） A．点到直线的最大距离为7 B．当直线被圆所截得的弦长最大时，的值为1 C．若直线与圆相切，则的值为 D．若直线与被圆截得的弦长为，则的值为 【答案】ACD 【分析】对于A项，利用定点到动直线的距离最值，结合圆上动点到直线的距离最值判定即可；对于B项，利用圆中最长弦为直径计算即可；对于C项，利用直线与圆的相切的几何法计算即可；对于D项，利用弦长公式计算即可. 【详解】对于A项，由，可知过定点，圆的圆心为坐标原点，半径r=2，设圆心到直线的距离为， 如图所示，当时，， 当与直线不垂直时，， 从而可知点到直线的最大距离为，此时Q、O、M三点共线，故A正确；    若直线被圆所截得的弦长最大，则直线经过圆心，则，解得，故B错误； 若直线与圆相切，则圆心到直线的距离，解得，故C正确； 若直线被圆截得的弦长为，如图设为弦CD， 则圆心到直线的距离为，    解得，故D正确. 故选：ACD. 55．（多选）已知直线与圆，则（    ） A．直线与圆一定相交 B．直线过定点 C．圆心到直线距离的最大值是 D．使得圆心到直线的距离为2的直线有2条 【答案】AB 【分析】把直线方程化为，令求解可得直线过定点可判断B；判断点在圆内，从而可判断A；对于C，可知当时，圆心到直线距离最大，求解可判断C；根据点线距离公式可求得，从而可判断D. 【详解】可化为， 对于B，令，解得，则直线过定点，B正确； 可化为，所以圆心的坐标为，半径为3. 对于A，，则点在圆内，从而直线与圆一定相交，故A正确； 对于C，设圆心到直线的距离为，则，则C错误； 对于D，因为圆心到直线的距离为2，所以，解得， 所以使得圆心到直线的距离为2的直线有且仅有1条，则D错误． 故选：AB 56．已知，点P为直线上的一点，点Q为圆上的一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，可得M点的坐标为，则，即可得答案. 【详解】设，令， 则 ，则M. 如图，当三点共线时，且垂直于直线时，有最小值，为，即直线到点M距离，为. 故选：D 57．已知圆C的圆心在第一象限且在直线上，点、点均在圆C上. (1)求圆C的方程； (2)由直线上一点P向圆C引切线，A，B是切点，求四边形PACB面积的最小值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由题可得的垂直平分线方程，进而可得圆心坐标，即得； （2）先求得，通过求的最小值可得得的最小值. 【详解】（1）由，，可得的垂直平分线为， 又点、点均在圆C上，圆C的圆心在直线上， 由，可得，即圆心， 又， 所以圆的方程为； （2）由（1）得，圆的圆心为，半径， 所以四边形的面积为， 所以当最小时，最小， 又到直线的距离为， 即的最小值为， 所以四边形面积的最小值为. 58．（多选）已知直线，圆，则（    ） A．直线与圆相交 B．圆上的点到直线距离的最大值为 C．直线关于圆心对称的直线的方程为 D．圆关于直线对称的圆的方程为 【答案】ACD 【分析】由圆的方程可确定圆心和半径；利用圆心到直线距离知直线与圆相交，得A正确；由圆上点到直线距离最大值为，可知B错误；由直线关于点的对称直线的求法可知C正确；利用点关于直线对称点的求法可求得对称圆的圆心，由此可得圆的方程，知D正确. 【详解】由圆方程知：圆心，半径； 对于A，圆心到直线距离，直线与圆相交，A正确； 对于B，圆心到直线距离，圆上的点到直线距离的最大值为，B错误； 对于C，设直线关于圆心对称的直线方程为：， 则圆心到直线和到其对称直线的距离相等，，解得：（舍）或，直线关于圆心对称的直线的方程为，C正确； 对于D，设圆心关于直线对称的点为，则，解得：， 所求圆的圆心为，半径为， 圆关于直线对称的圆的方程为，D正确. 故选：ACD. 59．（多选）圆C：，直线，点P在圆C上，点Q在直线l上，则下列结论正确的是（    ） A．直线l与圆C相交 B．的最小值是1 C．若P到直线l的距离为2，则点P有2个 D．从Q点向圆C引切线，则切线段的最小值是3 【答案】BCD 【分析】对于A:求出圆心到直线的距离，即可判断直线与圆相离； 对于B:利用几何法求出的最小值，即可判断； 对于C:设直线m与l平行，且m到l的距离为2.求出m的方程，判断出直线m与圆C相交，有两个交点，即可判断； 对于D:根据图形知,过Q作QR与圆C相切于    R，连结CR.要使切线长最小，只需最小.利用几何法求出切线段的最小值，即可判断. 【详解】对于A:由圆C：，得圆C的标准方程为，圆心到直线的距离，所以直线与圆相离.    故A错误； 对于B:圆心到直线的距离,所以的最小值为.    故B正确; 对于C:设直线m与l平行，且m到l的距离为2.则可设.由，解得：或.    当时，直线，圆心到直线的距离,所以直线m与圆C相交，有两个交点，且这两个点到直线l的距离为1. 当时，直线，圆心到直线的距离,所以直线m与圆C相离，不合题意. 综上所述，圆上到直线l的距离为1的点有且只有2个.故C正确. 对于D:根据图形知,过Q作QR与圆C相切于R，连结CR.则切线长.要使切线长最小，只需最小.    点Q到圆心C的最小值为圆心到直线的距离d=5,由勾股定理得切线长的最小值为,故D正确. 故选：BCD 60．（多选）在平面直角坐标系中，，点满足，设点的轨迹为，则（    ） A．的周长为 B．（不重合时）平分 C．面积的最大值为6 D．当时，直线与轨迹相切 【答案】ABD 【分析】设，根据题意求得曲线的方程为，结合圆的周长公式，可判定A正确；求得，延长到，使，连结，得到，进而求得，可判定B正确；利用三角形的面积公式和圆的性质，可判定C错误；不妨取，求得直线的方程，结合直线与圆的位置关系的判定方法，即可求解. 【详解】设，因为，且点满足，可得，整理得，即曲线的方程为． 对于A中，曲线为半径为的圆，所以周长为，所以A正确； 对于B中，因为，所以，所以， 延长到，使，连结，如图所示， 因为，所以，所以， 所以，， 因为，所以，所以， 即平分，所以B正确． 对于C中，由的面积为， 要使得的面积最大，只需最大， 由点的轨迹为，可得， 所以面积的最大值为，所以C错误； 对于D中，当时，或， 不妨取，则直线，即， 因为圆心到直线的距离为， 所以，即直线与圆相切，所以D正确． 故选：ABD． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 定值·切线·最值六大典型问题 题型一 直线与圆中的定点定值问题 题型二 过圆上一点的切线方程 题型三 过圆外一点的切线方程 题型四 已知圆的弦长求直线或参数 题型五 过圆内定点的弦长最值 题型六 圆上点到定直线的最值问题 题型一 直线与圆中的定点定值问题 1．已知点在直线上运动，过点作圆的切线，切点为，直线过定点______． 2．已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线为切点，则直线经过的定点坐标为____. 3．已知圆过点和点，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)已知直线与圆交于点B，D，求的面积的取值范围； (3)若直线过点，且与圆相交于P，Q两点，线段PQ的中点为与：的交点为，求证：为定值． 4．平面直角坐标系中，点，圆与轴正半轴交于点. (1)求过点且斜率为的直线被圆截得的弦长； (2)求过点与圆相切的直线方程； (3)过点的直线与圆交于不同的两点，判断直线QA，QB的斜率之和是否为定值，若是则求出该定值，若不是则说明理由. 5．（多选）设两动直线，，，与交于点M且直线交圆于A，B两点（点C为圆心），则下列说法正确的有（    ） A．直线过定点 B．当最小时，其余弦值为 C．存在点P，使得为定值 D．存在点M，使 6．已知圆经过三点． (1)求圆的方程． (2)已知直线与圆交于M，N（异于A点）两点，若直线的斜率之积为2，试问直线是否经过定点？若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由． 7．直线与圆交于两点，则弦长的最小值是___________. 8．已知圆C经过点，及（3，0）．过坐标原点O，且斜率为k的直线l与圆C交于M，N两点． (1)求圆C的标准方程； (2)若点，分别记直线PM，直线PN的斜率为，，证明：为定值． 9．已知圆：，一条光线从点射出经轴反射，则下列结论不正确的是（    ） A．圆关于轴的对称圆的方程为 B．若反射光线平分圆的周长，则入射光线所在直线方程为 C．若反射光线与圆相切于，与轴相交于点，则 D．若反射光线与圆交于，两点，则面积的最大值为 10．已知圆的圆心与点关于直线 对称，且圆与轴相切于原点． (1)求圆的方程； (2)过原点的两条直线与圆分别交于两点，直线的斜率之积为 ，为垂足，是否存在定点，使得为定值，若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由． 题型二 过圆上一点的切线方程 11．过点作圆的切线，则切线方程为（   ） A． B． C． D． 12．过点作圆的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 13．已知圆经过点，则圆在点P处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 14．已知圆. (1)求圆的半径； (2)若直线与圆相切于点，求直线的方程. 15．已知圆经过两点，，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)求过点且与圆相切的直线方程. 16．圆在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 17．（多选）已知实数满足曲线的方程，则下列选项正确的是（    ） A．的最大值是 B．的最大值是 C．的最小值是 D．过点作曲线的切线，则切线方程为 18．（多选）已知圆的方程为，则关于圆的说法正确的是（    ） A．圆心的坐标为 B．点在圆内 C．直线被圆截得的弦长为 D．圆在点处的切线方程为 19．已知圆和点． （1）若过点有两条直线与圆相切，求实数的取值范围； （2）若过点有且只有一条直线与圆相切，求实数的值，并求出切线方程． 20．已知过点的直线与圆相切，且与直线垂直，则（    ） A． B． C． D． 题型三 过圆外一点的切线方程 21．已知圆的圆心为，且经过点，过点作圆的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（    ） A． B． C． D． 22．已知圆：. (1)判断直线与圆的位置关系；如果相交，求直线被圆所截得的弦长；如果相离，求圆心到直线的距离. (2)过圆外一点引圆的切线，求切线方程. 23．已知，动点满足，设动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的标准方程； (2)求过点且与曲线相切的直线的方程. 24．若过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 25．已知圆C：．若点，求过点的圆的切线方程； 26．已知圆经过点和，且圆心在直线：上. (1)求圆的标准方程； (2)若过点作圆的切线，求该切线方程. 27．过点作圆C：的两条切线，切点分别为A，B，则直线的方程为（　　） A． B． C． D． 28．直线l过点，且与圆相切，则直线l的方程为___________． 29．已知圆经过，两点，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)求过点且与圆相切的直线方程． 30．过点的圆的切线方程为___________. 题型四 已知圆的弦长求直线或参数 31．已知直线，圆． (1)若直线是圆的一条对称轴，求的值； (2)从①若直线被圆截得的弦长为4，②若直线被圆截得的弦长最短这两个条件中选择一个作为已知，求直线的方程． 注：若选择两个条件分别解答，按第一个解答计分． 32．已知圆被轴截得的弦长为，点是直线上的一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和． (1)求的值； (2)求四边形面积的最小值． 33．已知圆C关于y轴对称且经过点和． (1)求圆C的标准方程； (2)过点的直线l与圆C交于A，B两点；若，求直线l的方程． 34．已知直线和圆相交于两点．若，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 35．圆C：内有一点，过点P作直线l交圆C于A，B两点. (1)当弦AB最长时，求直线l的方程； (2)当直线l被圆C截得的弦长为时，求l的方程. 36．圆C的圆心为，且过点． (1)求圆C的标准方程； (2)直线与圆C交M，N两点，且，求k． 37．已知圆C经过，两点，且圆心C在直线上. (1)求圆C的方程； (2)过点的直线l与圆C交于P，Q两点，如果，求直线l的方程. 38．已知圆O：，直线l过点A（0，4）. (1)若直线l与圆O相切，求直线l的方程 (2)若直线l与圆O交于E，F两点，且，求直线l的方程. 39．若过点的直线截圆的弦长为8，则直线的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 40．已知点，圆． (1)若直线过点，且圆上任意一点关于直线的对称点也在圆上，求直线的方程； (2)若直线过点，且直线与圆交于两点，若，求直线的方程． 题型五 过圆内定点的弦长最值 41．当直线被圆截得的弦长最短时，实数______． 42．已知圆，过圆内一点的直线被圆所截得的最短弦的长度为2，则（    ） A．2 B． C． D．3 43．（多选）已知圆的圆心在直线上，且与相切于点，过点作圆的两条互相垂直的弦，记线段的中点分别为，则下列结论正确的是（    ） A．圆的方程为 B．四边形面积的最大值为 C．弦的长度的取值范围为 D．直线恒过定点 44．已知圆的方程为，过点的直线与圆交于，两点，则弦的最小值为（    ） A． B．10 C． D．5 45．已知圆：及直线：，设直线与圆相交所得的最长弦长为，最短弦为，则四边形的面积为______． 46．（多选）已知圆，直线l过点，且交圆O于P，Q两点，点M为线段PQ的中点，则下列结论正确的是（    ） A．点M的轨迹是圆 B．的最小值为6 C．使为整数的直线l共有9条 D．使为整数的直线l共有16条 47．已知直线：恒过点，过点作直线与圆C：相交于A，B两点，则的最小值为（   ） A． B．2 C．4 D． 48．（多选）已知点，直线：，圆：，过点分别作圆的两条切线，（，为切点），在的外接圆上．则（    ） A．直线的方程是 B．被圆截得的最短弦的长为 C．四边形的面积为 D．的取值范围为 49．已知直线与圆. （1）判断直线是否过定点？若是，求该定点坐标； （2）当圆截直线所得弦长最小时，求的值. 50．已知圆C与y轴相切于，与x轴正半轴相交于A，B两点，且，则圆C的方程为________．直线被圆C所截得弦长最短时的k的值________． 题型六 圆上点到定直线的最值问题 51．已知点是圆上任意一点． (1)求点到直线的距离的最大值和最小值； (2)求的最大值和最小值． 52．已知圆，圆，分别是圆的动点，为直线上的动点，则的最小值为（    ） A．6 B．10 C．13 D．16 53．（多选）已知点，动点满足，则下面结论正确的为（    ） A．点的轨迹方程为 B．点到原点的距离的最大值为5 C．面积的最大值为4 D．的最大值为18 54．（多选）已知点分别是直线和圆上的动点，则（    ） A．点到直线的最大距离为7 B．当直线被圆所截得的弦长最大时，的值为1 C．若直线与圆相切，则的值为 D．若直线与被圆截得的弦长为，则的值为 55．（多选）已知直线与圆，则（    ） A．直线与圆一定相交 B．直线过定点 C．圆心到直线距离的最大值是 D．使得圆心到直线的距离为2的直线有2条 56．已知，点P为直线上的一点，点Q为圆上的一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 57．已知圆C的圆心在第一象限且在直线上，点、点均在圆C上. (1)求圆C的方程； (2)由直线上一点P向圆C引切线，A，B是切点，求四边形PACB面积的最小值. 58．（多选）已知直线，圆，则（    ） A．直线与圆相交 B．圆上的点到直线距离的最大值为 C．直线关于圆心对称的直线的方程为 D．圆关于直线对称的圆的方程为 59．（多选）圆C：，直线，点P在圆C上，点Q在直线l上，则下列结论正确的是（    ） A．直线l与圆C相交 B．的最小值是1 C．若P到直线l的距离为2，则点P有2个 D．从Q点向圆C引切线，则切线段的最小值是3 60．（多选）在平面直角坐标系中，，点满足，设点的轨迹为，则（    ） A．的周长为 B．（不重合时）平分 C．面积的最大值为6 D．当时，直线与轨迹相切 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $