第二章 直线和圆的方程 章末综合模拟测试卷- 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦直线与圆的方程核心知识，通过“将军饮马”“台球碰撞”等情境设计，融合几何直观与逻辑推理，适配新授课基础巩固与能力提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|直线截距、两圆公切线等|第3题光线反射考查对称思想| |多选|3/18|直线平行、圆的性质等|第11题曲线性质分析培养批判性思维| |填空|3/15|切线方程、距离公式等|第14题中点轨迹问题深化空间观念| |解答|5/77|圆的方程、轨迹问题等|第19题台球碰撞情境渗透数学建模|

第二章　直线和圆的方程 (时间:120分钟　满分:150分) 班级： 姓名： 成绩： 一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.直线x-2y-2=0在y轴上的截距为(　　) A.-2 B.2 C.-1 D.1 2.过两条直线l1:x+2y-4=0,l2:2x-y-3=0的交点,且与直线x+3y+1=0垂直的直线的方程为(　　) A.3x-y-5=0 B.6x-2y-3=0 C.x-3y+3=0 D.3x+y-7=0 3.一条光线从点P(5,3)射出,与x轴相交于点Q(2,0),经x轴反射,则反射光线所在直线的方程为(　　) A.x+y-2=0 B.x-y-2=0 C.x-y+2=0 D.x+y+2=0 4.圆C1:x2+y2+2x+2y-2=0与圆C2:x2+y2-4x-2y+1=0的公切线有且仅有(　　) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 5.已知直线l1:mx+y+3=0和直线l2:3mx+(m-2)y+m=0,则“m=5”是“l1∥l2”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.如图,在平面直角坐标系中,军营所在区域的边界为x2+y2=1,河岸所在直线方程为x+y=3,将军从点A(0,2)处出发,先到河边饮马,然后再返回军营,如果将军只要到达军营所在区域即回到军营,则这个将军所经过的最短路程为(　　) A. B.-1 C. D.-1 7.已知圆的方程为x2+y2-6x-2y+1=0,设该圆过点(2,2)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为(　　) A.32 B.12 C.16 D.6 8.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”,图中曲线为圆或半圆,已知点P(x,y)是阴影部分(包括边界)的动点,则值不可能是(　　) A.- B.-1 C.0 D.1 二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.已知直线l:x-y+1=0,则下列结论错误的是(　　) A.直线l的倾斜角是 B.若直线m:x-y-1=0,则l⊥m C.点(1,0)到直线l的距离是1 D.过点(2,-2)与直线l平行的直线方程是x-y-4=0 10.已知直线l:x+my-m+2=0,圆C:(x-1)2+(y-2)2=5,则下列说法正确的是(　　) A.直线l恒过定点(-2,1) B.直线l与圆C相交 C.当直线l平分圆C时,m=-3 D.当点C到直线l距离最大时,m= 11.在数学中有这样形状的曲线:x2+y2=|x|+|y|,关于这种曲线,下列结论正确的有(　　) A.该曲线的图象既是轴对称图形也是中心对称图形 B.该曲线恰好经过9个整点(即横、纵坐标均为整数的点) C.该曲线上任意两点之间的距离都不超过2 D.该曲线所围成的形状区域面积大于5 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.若直线l经过点A(1,3),且与圆C:x2+y2=10相切,则直线l的方程是　　　　　.  13.若直线l1:2x+ay-2=0与直线l2:x-y+a=0平行,则两直线之间的距离为　　　　.  14.已知M,N为圆C:x2+y2-2x-4y=0上两点,且|MN|=4,点P在直线l:x-y+3=0上,则||的最小值为　　　　.  四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知△ABC的顶点A(3,2),边AB上的中线所在直线方程为x-3y+8=0,边AC上的高所在直线方程为2x-y-9=0. (1)求顶点C的坐标; (2)求直线BC的方程. 16.(15分)已知圆M:(x-1)2+(y-2)2=4,直线l过点A(3,2). (1)若直线l被圆M所截得的弦长为2,求直线l的方程; (2)若直线l与圆M交于另一点B,与x轴交于点C,且A为线段BC的中点,求直线l的方程. 17.(15分)在平面直角坐标系中,圆C过点A(4,0),B(2,2),且圆心C在x+y-2=0上. (1)求圆C的方程; (2)若已知点P(4,2),过点P作圆C的切线,求切线的方程. 18.(17分)已知圆C:(x+4)2+y2=1和点A(1,0),P为圆C外一点,直线PQ与圆C相切于点Q,PQ=PA. (1)求点P的轨迹方程. (2)记(1)中的点P的轨迹为Г,是否存在斜率为-1的直线l,使得以直线l被曲线Г截得的弦MN为直径的圆过点B(-2,0)?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由. 19.(17分)规定:在桌面上,用母球击打目标球,使目标球运动,球的位置是指球心的位置,如球A是指该球的球心点A.两球碰撞后,目标球在两球的球心所确定的直线上运动,目标球的运动方向是指目标球被母球击打时,母球球心所指向目标球球心的方向.所有的球都简化为平面上半径为1的圆,且母球与目标球有公共点时,目标球就开始运动,在桌面上建立平面直角坐标系,解决下列问题: 图1 图2 (1)如图1,设母球A的位置为(0,0),目标球B的位置为(4,0),要使目标球B向C(8,-4)处运动,求母球A的球心运动的直线方程; (2)如图2,若母球A的位置为(0,-2),目标球B的位置为(4,0),让母球A击打目标球B后,能否使目标球B向C(8,-4)处运动? 附加题 已知圆A的方程为x2+y2-2x-2y-7=0,圆B的方程为x2+y2+2x+2y-2=0. (1)判断圆A与圆B是否相交,若相交,求过两交点的直线方程及两交点间的距离;若不相交,请说明理由. (2)求两圆的公切线长. 参考答案 1.C　由题意可知,直线方程为x-2y-2=0,令x=0,解得y=-1,所以直线x-2y-2=0在y轴上的截距为-1.故选C. 2.A　联立方程组解得设与直线x+3y+1=0垂直的直线的方程为3x-y+m=0,且该直线过点(2,1),则3×2-1+m=0,解得m=-5,故所求直线方程为3x-y-5=0.故选A. 3.A　由题意可得,反射光线所在直线经过点Q(2,0).设点P(5,3)关于x轴的对称点为P'(5,-3),则点P'(5,-3)在反射光线所在直线上,故反射光线所在直线的方程为,即x+y-2=0.故选A. 4.B　由题意易得,圆C1:(x+1)2+(y+1)2=4,则圆心C1(-1,-1),半径r1=2;圆C2:(x-2)2+(y-1)2=4,则圆心C2(2,1),半径r2=2.故两圆的圆心距为|C1C2|=,则r1-r2<|C1C2|<r1+r2,得两圆相交,故两圆的公切线有且仅有2条.故选B. 5.A　若l1∥l2,则m(m-2)=3m,解得m=5或m=0.若m=5,则直线l1:5x+y+3=0,直线l2:15x+3y+5=0,可知l1∥l2;若m=0,则直线l1:y+3=0,直线l2:y=0,可知l1∥l2.综上所述,m=5或m=0,故“m=5”是“l1∥l2”的充分不必要条件.故选A. 6.D　如图, 设将军去河岸的B点饮马,回到军营的C点,所以|AB|+|BC|的最小值即为将军所经过的最短路程.圆x2+y2=1的圆心为(0,0),半径r=1,设A(0,2)关于直线x+y=3的对称点为M(a,b),则解得所以M(1,3),此时|AB|+|BC|=|MB|+|BC|≥|MO|-r=-1=-1,当且仅当M,B,C三点在同一条直线上时,等号成立,所以“将军饮马”的最短路程为-1.故选D. 7.D　因为圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=9,则圆心坐标是(3,1),半径是3.因为圆心到点(2,2)的距离为,所以点(2,2)在圆内,故最长弦为圆的直径.由垂径定理,得最短弦BD和最长弦(即圆的直径)AC垂直,故最短弦的长为|BD|=2=2,最长弦|AC|=6,所以四边形ABCD的面积为|AC||BD|=×6×2=6.故选D. 8.A　如图,的几何意义为阴影部分内的动点P(x,y)与定点A(2,0)连线的斜率. 当直线AP与半圆x2+(y-1)2=1,x>0相切时,斜率k最小,设lAP:y=k(x-2),则=1,解得k=-或k=0(舍去);当直线过点(0,-2)时,直线AP的斜率取得最大值1,即的最大值为1,因此∈[-,1].故选A. 9.ABC　对于A,因为直线的斜率为1,则其倾斜角为,故A错误;对于B,直线x-y-1=0的倾斜角为,x-y+1=0的倾斜角为,两直线平行,故B错误;对于C,点(1,0)到直线l的距离为,故C错误;对于D,设与直线l平行的直线方程为x-y+n=0.因为该直线过(2,-2),所以2-(-2)+n=0,解得n=-4.故过点(2,-2)与直线l平行的直线方程是x-y-4=0,故D正确.故选ABC. 10.ACD　对于A,由题得,直线l:x+2+m(y-1)=0,令y-1=0,则y=1,x=-2,所以直线l恒过定点P(-2,1),故A正确;对于B,圆C:(x-1)2+(y-2)2=5的圆心为C(1,2),半径r=,点C(1,2)到直线l:x+my-m+2=0的距离为d=,从而d2-r2=-5=,取m=2,得d=r,直线l与圆C相切,故B错误;对于C,当直线l平分圆C时,点C(1,2)在直线l:x+my-m+2=0上,即1+2m-m+2=0,解得m=-3,故C正确;对于D,点C到直线l距离满足d≤|PC|,当且仅当PC⊥l时,等号成立.又直线PC的斜率为k1=,所以当等号成立时,×(-)=-1,解得m=,故D正确.故选ACD. 11.ABD　对于曲线x2+y2=|x|+|y|,当x>0,y>0时,有(x-)2+(y-)2=;当x>0,y<0时,有(x-)2+(y+)2=;当x<0,y>0时,有(x+)2+(y-)2=;当x<0,y<0时,有(x+)2+(y+)2=.点(0,0),(0,1),(0,-1),(1,0),(-1,0)也满足曲线方程,故该曲线图象由四个圆的部分图象和原点组成,且四个圆都可过原点,圆的半径R=, 如图中实线部分和原点.若点(x,y)满足曲线方程x2+y2=|x|+|y|,则点(x,-y),(-x,y),(-x,-y)也都满足曲线方程,该曲线的图象关于x轴和y轴对称,也关于原点对称,故A选项正确; 曲线中,经过的整点有(0,0),(1,1),(1,0),(1,-1),(-1,1),(-1,0),(-1,-1),(0,1),(0,-1),共9个,故B选项正确; 点(1,1)和(-1,-1)都在曲线上,这两点间的距离为2,故C选项错误; 曲线所围成的形状区域可看成四个半圆和一个正方形组成,则该区域的面积为S=4×πR2+(2R)2=π+2>5,故D选项正确. 故选ABD. 12.x+3y-10=0　由题可得点A(1,3)在圆C:x2+y2=10上, 则kAC==3. ∵直线AC与切线垂直, ∴切线的斜率为-,则切线方程为y-3=-(x-1), 即x+3y-10=0. 13.　∵直线l1与l2平行, ∴,解得a=-2, ∴直线l1:x-y-1=0,直线l2:x-y-2=0, 故直线l1与l2之间的距离d=. 14.2-2　设线段MN的中点为D,圆C:x2+y2-2x-4y=0的圆心为C(1,2),半径为, 则圆心C到直线MN的距离为=1, 所以|CD|=1, 故点D的轨迹是以C为圆心,半径为1的圆. 设点D的轨迹为圆D,圆D上的点到直线l的最短距离为d=-1=-1, 所以||=2||≥2d=2-2. 15.解(1)因为边AC上的高所在直线方程为2x-y-9=0, 设直线AC的斜率为k,则2k=-1,解得k=-. 又因为直线AC过点A(3,2), 则直线AC的方程为y-2=-(x-3),整理得x+2y-7=0. 又边AB上的中线所在直线方程为x-3y+8=0,且该直线过点C, 联立解得 故C的坐标为(1,3). (2)设B(a,b),因为边AB上的中线所在直线方程为x-3y+8=0, 所以AB的中点()在直线x-3y+8=0上. 边AC上的高所在直线2x-y-9=0过顶点B, 所以 解得即B的坐标为(8,7). 由(1)知C(1,3),根据两点式方程得,, 整理得4x-7y+17=0, 即直线BC的方程为4x-7y+17=0. 16.解(1)由题意可知,圆M的圆心为M(1,2),半径r=2. 若直线l被圆M所截得的弦长为2,则圆心到直线的距离为d==1. 当直线斜率不存在时,l:x=3与圆相切,不符合题意,舍去; 当直线斜率存在时,设直线l:y-2=k(x-3),即kx-y+2-3k=0, 可得d==1,解得k=±, 故直线l的方程为x-3y+6-3=0或x+3y-6-3=0. (2)设C(t,0),因为A为线段BC的中点,则B(6-t,4). 因为B在圆M上,则(6-t-1)2+(4-2)2=4,解得t=5, 即C(5,0). 则直线l:,整理得y=-x+5. 17.解(1)因为圆C过A(4,0),B(2,2),则线段AB的中垂线过圆心C. 设AB的中点为M,则M(3,1). 因为kAB==-1, 所以线段AB的中垂线的斜率为1,且方程为y-1=x-3, 整理得y=x-2. 因为圆心在直线x+y-2=0上, 联立解得 因此圆心C(2,0),半径r=2, 所以圆C的方程为(x-2)2+y2=4. (2)因为(4-2)2+(2)2>4,所以P(4,2)在圆C外. 过点P(4,2)作圆C的切线, 当切线斜率不存在时,则切线方程为x=4,满足与圆C相切; 当切线斜率存在时,设切线方程为y-2=k(x-4),即kx-y-4k+2=0, 则=2,解得k=, 所以切线方程为x-y-4×+2=0,即x-y+2=0. 综上,切线方程为x=4或x-y+2=0. 18.解(1)由题得,C(-4,0). 设点P坐标为(x,y),直线PQ与圆C相切于点Q, 则|PQ|2=|PC|2-|CQ|2,所以2|PA|2=|PC|2-|CQ|2, 即2[(x-1)2+y2]=(x+4)2+y2-1, 整理得(x-6)2+y2=49. (2)存在.设直线l方程为y=-x+t,M(x1,y1),N(x2,y2). 联立方程得2x2-2(t+6)x+t2-13=0, 所以 因为以MN为直径的圆过点B(-2,0),则kBM·kBN=-1, 即=-1, 化简得2x1x2+(2-t)(x1+x2)+t2+4=0, 则t2-13+(2-t)(t+6)+t2+4=0, 解得t=1或t=3, 故直线l的方程为y=-x+1或y=-x+3. 19.解(1)如图1,点B(4,0),C(8,-4)所在的直线方程为,整理得x+y-4=0, 图1 可知当A,B两球碰撞时,球A的球心在直线x+y-4=0上,且在第一象限. 设当A,B两球碰撞时,球A的球心坐标为A'(a,b),此时A'B=2,则 解得即A,B两球碰撞时,球A的球心坐标为A'(4-), 所以母球A的球心运动的直线方程为lOA':y=x,即y=x. (2)不能.假设能使目标球B向C(8,-4)处运动,则由(1)知,球A需运动到A'(4-)处,且到达A'处前不与目标球B接触. 如图2,设AA'与x轴的交点为D. 图2 因为直线A'B的斜率为-1,所以∠A'BD=45°. 因为AA'的斜率为>1, 所以∠A'DB>45°,所以∠DA'B为锐角. 过点B作BE垂直于AA',垂足为E,因为A'B=2,所以BE<2, 故球A的球心还未到直线BC上时,就会与目标球B接触,所以不能使目标球B向C(8,-4)处运动. 附加题 解(1)由题可得圆A:(x-1)2+(y-1)2=9的圆心为A(1,1), 圆B:(x+1)2+(y+1)2=4的圆心为B(-1,-1), 则圆心距|AB|==2. ∵3-2<|AB|<3+2,∴两圆相交, 将两圆方程左、右两边分别对应相减得4x+4y+5=0, 此方程即为过两圆交点的直线方程. 设两交点分别为C,D,则直线AB垂直平分线段CD, ∵点A到直线CD的距离d=, ∴|CD|=2. (2)设公切线l切圆A,圆B的切点分别为E,F,则四边形AEFB是直角梯形. ∴|EF|2=|AB|2-(rA-rB)2=7, ∴|EF|=. 学科网（北京）股份有限公司 $