第二章 直线和圆的方程（高效培优单元自测·强化卷）数学人教A版高二选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦高中数学“直线和圆的方程”单元，通过120分钟150分的题量设计，实现基础巩固与能力提升的梯度训练，适配单元复习，强化数学抽象、运算推理及模型应用素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|直线方程、圆的标准方程、位置关系|单选（8题）基础概念辨析，多选（3题）综合判断（如直线与圆相交的点位置、弦长问题）| |填空题|3题15分|圆的方程、动直线与圆相交的中点轨迹、菱形中最值问题|第13题动态轨迹方程，体现数学眼光的抽象能力| |解答题|5题77分|直线倾斜角、面积最值、定圆证明、向量与圆综合|17题面积与线段最小值分层设问，18题证明交点在定圆上，强化数学思维的推理与模型应用|

第二章 直线和圆的方程（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知点，，若以线段为直径作圆，则该圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 2．若经过，两点的直线的方向向量为，则实数（    ） A． B． C． D． 3．已知直线与垂直，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 4．已知直线：和直线：，若，则（ ） A． B． C． D． 5．已知圆，直线与圆O相交于A，B两点．若，则实数（     ） A． B． C． D． 6．三个点中，在方程确定的曲线所围成区域中的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 7．已知为坐标原点，过点的直线分别与轴的正半轴交于两点，则当的面积取得最小值时，直线的纵截距为（ ） A．4 B．7 C．8 D．14 8．已知圆与直线相交于两点，若为等边三角形，则k的值为（　　） A． B．±2 C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（多选）下列结论正确的是（　　） A．若直线l：与圆O：相交，则点在圆O的外部 B．直线被圆所截得的最长弦长为 C．若圆上有4个不同的点到直线的距离为1，则有 D．若过点作圆O：的切线只有一条，则切线方程为 10．（多选）已知为正整数，的方程为，则下列结论正确的有（    ） A．对任意正整数，直线平分的面积 B．对任意正整数，直线与相切 C．存在正整数，使得直线与相交 D．对任意正整数与相交 11．（多选）已知直线，圆，则下列说法中正确的是（    ） A．圆心坐标为 B．对，直线与圆一定相交 C．直线被圆截得的最短弦长为 D．当时，圆上存在着4个点到直线的距离为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知某圆经过，两点，圆心M在直线上，则该圆的方程为______. 13．已知动直线（其中且为变动参数）和圆相交于、两点，则弦的中点的轨迹方程为_____________． 14．菱形，，，E，F为线段AC上两点，且，M为AD中点，则四边形的周长的最小值等于_______ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）设直线的方程为. (1)若直线不经过第二象限，求实数的取值范围； (2)若直线与轴、轴分别交于点，，且，求（为坐标原点）面积的最小值及此时直线的方程. 16．（15分）已知点，圆. (1)设，直线过点且被圆截得的弦长为，求直线的方程； (2)设，直线过点，求被圆截得的线段的最短长度，并求此时的方程. 17．（15分）已知过点的直线l分别与x轴的正半轴，y轴的正半轴交于点． (1)当时，求直线l的倾斜角大小； (2)求面积的最小值； (3)求的最小值． 18．（17分）已知直线：，：． (1)求证：对，与的交点在一个定圆上； (2)若与定圆的另一个交点为，与定圆的另一交点为，求当在实数范围内取值时，面积的最大值及对应的． 19．（17分）已知经过点，且方向向量为的直线l与圆相交于M、N两点． (1)求实数k的取值范围； (2)求证：为定值； (3)若O为坐标原点，且，求k的值． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第二章直线和圆的方程（高效培优单元自测·强化卷） (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1 A 5 6 7 8 D A C A C D A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9 10 11 AD ABD ABD 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.（x-3)2+(y-5)2=34 13.+0-=4(y40 14.6+310/310+6 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 【解析】(1)因为l:y=-(a+)x+a+2不经过第二象限， 「-(a+1)≥0 则a+2≤0，解得a≤-2， 所以“的取值范围为0，-2习列 (2)因为直线I的方程为y=-(a+1)x+a+2】 令x=0,得y=a+2:令y=0,得x=04名 a+1; 1/7 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 且a≥0，则 loMj-at2_a+2 a+1a+1,loN=a+2=a+2, 可wmoo--o0+ 3,a小+2 1 当且仅当a+l=a十1，即a=0时，等号成立， 所以△MON面积的最小值为2，此时直线I的方程为y=-x+2. 16.(15分) 【解析】(1) y 4 A」 B 1234x 由圆C:6x-2+0-2=4 知，圆心为 ,2,半径为=2。 由a=4可知，A(4,3), 因为4C-4-+6-2=0>2=r,所以点A在圆C之外， 显然，当直线的斜率不存在时，1与圆C相离，不符合题意， 所以直线的斜率存在，设为k, 设直线l的方程为y-3=k(x-4),即c-y+3-4k=0, d=k-2+3-4w3k- d=3k-1 所以，圆心C1,2)到直线1的距离√k2+1Vk2+1,即弦心距Vk2+1, 217 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 不妨设直线！被圆C截得的弦为EF, 由圆半径，、弦长小弦心距之间的关系r2=+ 2可得， r--43-, d=k-=1 所以，解得=0或4=。 4, 所以直线1的方程为0-y+3-0=0或子-+3-4号0，即y=3孩y-子 综上，直线1的方程为y=3或3x-4y=0. (2) M 4 3 2 01234x 由a=2可知，4(2,3) 因为MG=2-)+B-2少=V5<2=r,所以点A在圆C之内， 不妨设直线被圆C截得的弦为MW 当14C时，N录每，此时弦心距d-4G=2 向的格，安长w小孩心原g之间g关柔产-(】 则MN=2P-dP=2V2-(W2=22 317 函学科网·上好课 Www,zX×k.com 上好每一堂课 肉为直线C的e之-名品-，1C 1 所以直线，的斜率为斤= =1,代入点斜式可得， kac 直线的方程 y-3=k(x-2)=-x+2nx+y-5=0 ，即 综上，被圆C我得的线段的最短长度为25 此时的方程为x+y-5=0 17.(15分) 【解析】(1)由题，P2,1),当a=2+5时，A为(2+5,0)】 0-1 15 k= 则斜率=2+3-25-3， 因为直线经过x轴的正半轴，y轴的正半轴， 所以设直线1的倾斜角为22，则 na=k=_3 5 所以ax=π 6 (2)由题，a>0,b>0, 设直线：+上，将点P2,代入方程可得。+方 a b y2+22222 21 所以a b-"Va b "Vab,所以ab≥8，当且仅当ab,即a=4,b=2时，等号成立， 因为m的，所以3m的最小值为×8=4 3m,喻角为a传可.按0=a引 则直线'的方程为少-1=-an8(x-2) 417 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 将Aa,0,B0,)代入可得a=2+,1 tan0'b=1+2tan0, 1 12 所以斜边长 v2+b2 2+ tanθ +(1+2tan0y=1+2 sin0'cos0,则设 L=a+h+2+F=3+l+2am0+1 、2 =3+1+cos0+2.1+sim0 tan sin cos0 sin cos0 =3+0+2m π.0 tan 42, 2 2 所以L=3+2+2=1++ ，14 t1-t't'1-t: 由eo.子-1-=3+告5a=9 1-t_4t 当且仅当(-：即1=3时取等， Lmin=1+9=10 此时 18.(17分) 【解析】4国证明：直线过定点O0,),直线←过定点42， 当m0t.表志()-，山，且交不可务20Q) 所以与的交点必在以线段O1为直径的圆上. 517 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设P(刃，由PP1PBP,得-2列+0-)=0，即+y-2x-y=0 当m=0时，：=0,5：x=2,此时交点P20),也在因产+少-2x-y=0上 所以，交点P的轨迹方程为+广-2x-y=0(除点Q). 综上，对m∈R,与的交点P在一个定圆上 (2)由(1)得(0,0)，B(2,1),设定圆圆心为 因为B=2r=5,所以当PB1PB时，△PP的面积取得最大值， 1 5 为5ms-2x2rxr= 41 O(P) 又s28,则=2，所以直线g:y-2-).即=2x+ 1-01 3 与定圆方程联立整理得4x2-8x+3=0,解得x=2或x=2, 6)6 所以直线为，x政y=,即=3或 19.(17分) (0,1) a=(I,k) 【解析】(1)直线1过点且方向向量 12k-3+1<1 直线的方程为y=c+1,则V2+1,整理得(2k-2<2+1, 617 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4-万<k<4 4+V7 即3k2-8k+3<0,得3 3. (2)证明：设过A点的圆C的一条切线为AT,T为切点， 则4r2=(VAc-可=7 .AM·ANAM AN|cos0°=AT2=7 ∴AM·AN 为定值。 (3)设M(,).N(,) 将”=+1代入方程(x-2少+(0-3}=1 得1+2）x-41+)x+7=0 4(1+k) 7 ∴+x2= 1+2,=1+积 :0W-.0N=+=+)45+6+5)+1=t）+8=12 1+2 4k1+=4,解得k=-1 1+k2 又当k=1时，△>0，.k=1. 717 第二章 直线和圆的方程（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知点，，若以线段为直径作圆，则该圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由直径的两个端点确定圆心和半径，再代入圆的标准方程即可． 【详解】线段的中点为，故圆心为． 又，所以． 因此所求圆的标准方程为． 2．若经过，两点的直线的方向向量为，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，向量与向量共线， 因此，所以. 3．已知直线与垂直，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，与垂直，可得： ，解得. 4．已知直线：和直线：，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】已知直线： ，其斜率为，直线：，其斜率为， 因为，所以，解得． 5．已知圆，直线与圆O相交于A，B两点．若，则实数（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】圆 的圆心坐标为 ，半径 ，将直线整理为一般式：； 设 为圆心到直线 的距离，则 ， 所以 ，解得 ，即 ， 由点到直线的距离公式： ，解得 ，即 . 6．三个点中，在方程确定的曲线所围成区域中的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【详解】因为， 当时，可得，即； 当时，可得，即； 当时，可得，即； 当时，可得，即； 综上所述，可得方程确定的曲线所围成区域，如图所示， 可知点在该区域内，点不在该区域内，所以个数是1. 7．已知为坐标原点，过点的直线分别与轴的正半轴交于两点，则当的面积取得最小值时，直线的纵截距为（ ） A．4 B．7 C．8 D．14 【答案】D 【详解】设直线，其中， 因为直线过点， 所以， 而，解得， 当且仅当，即时等号成立， 故，此时直线的纵截距为14. 8．已知圆与直线相交于两点，若为等边三角形，则k的值为（　　） A． B．±2 C． D． 【答案】A 【详解】圆的圆心，半径， 由为等边三角形，得点到直线距离为， 因此，解得，所以的值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（多选）下列结论正确的是（　　） A．若直线l：与圆O：相交，则点在圆O的外部 B．直线被圆所截得的最长弦长为 C．若圆上有4个不同的点到直线的距离为1，则有 D．若过点作圆O：的切线只有一条，则切线方程为 【答案】AD 【详解】对于A，圆O的圆心为，半径， 其圆心到直线的距离为， 即到圆心的距离，所以点在圆O的外部，A正确， 对于B，整理直线得，令，解得，则直线过定点， 已知圆心为，半径，则， 所以定点在圆内， 经过圆内一点的最长弦即为该圆的直径，长度为， 最短弦长为与垂直的弦，其长度为，故B错误， 对于C，圆上的点到直线的距离为1，则有， 即这些点位于两条平行线上，即， 整理得或， 这两条直线到原点的距离分别为和， 要使圆上有4个不同的点满足条件，则两条直线都应与圆交于两点， 则有，故C错误， 对于D，由题意得在圆上，且，所以过的切线的斜率， 所以切线方程为，整理得，故D正确. 10．（多选）已知为正整数，的方程为，则下列结论正确的有（    ） A．对任意正整数，直线平分的面积 B．对任意正整数，直线与相切 C．存在正整数，使得直线与相交 D．对任意正整数与相交 【答案】ABD 【详解】对于A，将的方程化简得，所以圆心坐标为. 可知直线经过的圆心，所以对任意正整数，直线平分的面积，A正确； 将的方程化简得， 可知圆心到直线的距离为，与轴相切， 故直线关于直线的对称直线也与相切，所以B正确； 结合B选项可知圆心到直线的距离，所以直线与相离，所以C错误； 将的方程化简得，其圆心坐标为，半径为. 的方程为，化简为，其圆心坐标为，半径为. 所以与的圆心距始终为，而对任意正整数与的半径之和， 对任意正整数有，半径之差，所以对任意正整数与相交，D正确. 11．（多选）已知直线，圆，则下列说法中正确的是（    ） A．圆心坐标为 B．对，直线与圆一定相交 C．直线被圆截得的最短弦长为 D．当时，圆上存在着4个点到直线的距离为 【答案】ABD 【详解】对于A：，从而圆心坐标为，故A正确； 对于B：，则直线过定点，又， 则定点在圆内，则过该定点直线一定与圆相交，故B正确； 对于C：设直线到圆心距离为，直线被圆所截弦长为，圆半径为.由AB分析可得，直线过定点且该点到圆心距离为， 当直线与定点和圆心连线垂直时，最大为，则直线被圆截得的最短弦长为，故C错误； 对于D：当时，直线到圆心距离为，如下图，设直线与圆交于，中点为， 连接并延长交圆于，由垂径定理可得.易得， 则在劣弧上存在两点到直线的距离为，在优弧上也存在两点到直线的距离为， 综上圆上存在着4个点到直线的距离为，故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知某圆经过，两点，圆心M在直线上，则该圆的方程为______. 【答案】 【详解】设圆心为，半径为r，则圆的标准方程为. 由题意可得方程组. 解此方程组，得， 故所求圆的方程为. 13．已知动直线（其中且为变动参数）和圆相交于、两点，则弦的中点的轨迹方程为_____________． 【答案】（） 【详解】由恒过，且与圆相交于、， 而的圆心为，令的中点为，则， 若点不重合时，，点在以线段为直径的圆上，且， 若点重合时，点也在以线段为直径的圆上， 所以弦的中点的轨迹方程且． 14．菱形，，，E，F为线段AC上两点，且，M为AD中点，则四边形的周长的最小值等于_______ 【答案】/ 【详解】已知，且为中点， 因为菱形对角线，，它们互相垂直平分， 所以菱形的边长：， 由于是中点，所以， 因此，四边形的周长， 要使周长最小，只需使的值最小， 建立平面直角坐标系：以对角线交点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴， 则各点坐标为：，，，， 点是的中点，所以， 因为在上，且，设点的坐标为，则点的坐标为， 故， ， 所以，， 这个式子的几何意义是：在轴上求一点， 使它到点和点的距离之和最小， 作点关于轴的对称点， 根据对称性，到的距离等于到的距离， 因此，， 当三点共线时，距离之和最小，即为线段的长度： ， 此时求得，在线段范围内，符合题意， 所以的最小值为， 四边形周长的最小值为： . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）设直线的方程为. (1)若直线不经过第二象限，求实数的取值范围； (2)若直线与轴、轴分别交于点，，且，求（为坐标原点）面积的最小值及此时直线的方程. 【答案】(1)；(2)最小值为2，直线的方程为. 【详解】（1）因为：不经过第二象限， 则，解得， 所以的取值范围为. （2）因为直线的方程为， 令，得；令，得； 且，则，， 可得 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以面积的最小值为2，此时直线的方程为. 16．（15分）已知点，圆. (1)设，直线过点且被圆截得的弦长为，求直线的方程； (2)设，直线过点，求被圆截得的线段的最短长度，并求此时的方程. 【答案】(1)或.(2)最短长度为，此时的方程为. 【详解】（1） 由圆可知，圆心为，半径为， 由可知，， 因为，所以点在圆之外， 显然，当直线的斜率不存在时，与圆相离，不符合题意， 所以直线的斜率存在，设为， 设直线的方程为，即， 所以，圆心到直线的距离，即弦心距， 不妨设直线被圆截得的弦为， 由圆半径、弦长、弦心距之间的关系可得， ，即， 所以，解得或， 所以直线的方程为或，即或， 综上，直线的方程为或. （2） 由可知，， 因为，所以点在圆之内， 不妨设直线被圆截得的弦为， 当时，最短，此时弦心距， 由圆半径、弦长、弦心距之间的关系， 则， 因为直线的斜率，且， 所以直线的斜率为，代入点斜式可得， 直线的方程为，即， 综上，被圆截得的线段的最短长度为， 此时的方程为. 17．（15分）已知过点的直线l分别与x轴的正半轴，y轴的正半轴交于点． (1)当时，求直线l的倾斜角大小； (2)求面积的最小值； (3)求的最小值． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）由题，，当时，为， 则斜率， 因为直线经过x轴的正半轴，y轴的正半轴， 所以设直线的倾斜角为，则， 所以. （2）由题，， 设直线，将点代入方程可得， 所以，所以，当且仅当，即时，等号成立， 因为，所以的最小值为. （3）由（1），直线的倾斜角为，设， 则直线的方程为， 将代入可得，， 所以斜边长 ，则设 ， 令 ，则， 所以， 由 ，所以， 当且仅当 ，即 时取等， 此时 . 18．（17分）已知直线：，：． (1)求证：对，与的交点在一个定圆上； (2)若与定圆的另一个交点为，与定圆的另一交点为，求当在实数范围内取值时，面积的最大值及对应的． 【答案】 【详解】（1）(1)证明：直线过定点，直线过定点. 当时，，则，且交点不可能为和. 所以与的交点必在以线段为直径的圆上． 设，由，得，即． 当时，：，：，此时交点，也在圆上. 所以，交点的轨迹方程为（除点）. 综上，对，与的交点在一个定圆上. （2）由（1）得，，设定圆圆心为， 因为，所以当时，的面积取得最大值， 为. 又，则，所以直线：，即． 与定圆方程联立整理得，解得或， 即或， 所以直线为或，即或． 19．（17分）已知经过点，且方向向量为的直线l与圆相交于M、N两点． (1)求实数k的取值范围； (2)求证：为定值； (3)若O为坐标原点，且，求k的值． 【答案】(1) (2)证明：设过A点的圆C的一条切线为，T为切点， 则． ， 为定值． (3)1 【详解】（1）∵直线l过点且方向向量， ∴直线l的方程为，则，整理得， 即，得． （2）证明：设过A点的圆C的一条切线为，T为切点， 则． ， 为定值． （3）设，， 将代入方程 得， ， ． ，解得． 又当时，，． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $