专题04 对称·将军饮马·轨迹六大典型问题（高效培优专项训练）数学人教A版高二选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦对称变换、轨迹方程及最值问题，以六大典型题型构建从基础到综合的知识逻辑链，培养几何直观与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |线关于点对称直线|10题|点对称性质应用|对称变换基础| |将军饮马求最值|10题|轴对称路径最短|对称与最值结合| |平行直线对称问题|10题|平行线对称及中点轨迹|对称拓展应用| |轨迹问题|10题|阿氏圆、中点轨迹等|几何条件代数化| |圆过定点问题|10题|动圆定点探究|圆的方程综合| |定点到圆上点最值|10题|距离范围计算|圆的性质应用|

专题04 对称·将军饮马·轨迹六大典型问题 题型一 线关于点对称直线 题型二 将军饮马求最值 题型三 平行直线对称问题 题型四 轨迹问题 题型五 圆过定点问题 题型六 定点到圆上的点最值问题 题型一 线关于点对称直线 1．（多选）下列说法正确的有（   ） A．点关于直线的对称点为 B．直线关于点的对称直线为 C．经过点，且与直线平行的直线方程是 D．当时，直线与垂直 2．已知直线与直线关于点对称，则实数（　　） A．2 B．1 C． D． 3．（多选）下列说法正确的有（ ） A．直线的倾斜角为 B．点在同一条直线上 C．直线关于点对称的直线方程是 D．经过任意两个不同点的直线都可用方程表示 4．已知直线，试求： (1)直线关于直线对称的直线方程； (2)直线关于对称的直线方程． 5．已知直线与直线关于点对称，则实数的值为______. 6．已知直线l过点，且直线l的倾斜角比直线的倾斜角大． (1)求直线l的方程（一般式表示）； (2)若点在直线l上，且，求的取值范围； (3)求直线l关于点对称的直线方程（一般式表示）． 7．已知直线，求： (1)原点关于的对称点坐标； (2)直线关于的对称直线方程； (3)直线关于点的对称直线方程. 8．（多选）下列说法中，正确的有（    ） A．直线的点斜式方程可以表示任何直线 B．直线在轴上的截距为 C．直线关于点对称的直线方程是 D．直线：与：之间的距离为 9．已知直线与直线关于点对称，则实数的值为（    ） A．2 B．6 C． D． 10．已知的三个顶点是，，． (1)过点的直线与边相交于点，若的面积是面积的3倍，求直线的方程； (2)求的角平分线所在直线的方程． 题型二 将军饮马求最值 11．古代数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点为，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再到军营的总路程最短，则将军在河边饮马的地点坐标为（   ）． A． B． C． D． 12．（多选）下列说法正确的是（   ） A．若直线不经过第三象限，则 B．方程表示的直线都经过点 C．若直线的斜率，则直线倾斜角的取值范围是 D．已知，，点在轴上，则的最小值是5 13．（多选）下列结论错误的是（　　） A．过点的直线的倾斜角为 B．若直线与直线垂直，则 C．直线与直线之间的距离是 D．已知，点在轴上，则的最小值是6 14．已知点在轴上，在直线上，，则的周长的最小值为_____． 15．已知直线和点，，P是l上一点，则的最小值为________． 16．在平面直角坐标系xOy 中，已知点，P 为直线上一动点，则的最小值是（    ） A． B． C．2 D．4 17．已知直线：和，若直线上存在点P使得最小，则最小值为___________. 18．唐代诗人李顾的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为__________. 19．（多选）下列结论错误的是（   ） A．过点且在，轴上的截距互为相反数的直线方程为 B．直线与直线之间的距离为 C．已知点，，点在轴上，则的最小值为 D．已知两点，，过点的直线与线段没有公共点，则直线的斜率的取值范围是 20．（多选）古代数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是．军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则（   ） A．将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是 B．将军在河边饮马的地点的坐标为 C．将军从河边回军营的路线所在直线的方程是 D．“将军饮马”走过的总路程为 题型三 平行直线对称问题 21．若动点，分别在直线：和：上移动，则线段的中点点到原点的距离的最小值为（   ） A． B． C． D． 22．已知直线，，． （1）求直线关于直线的对称直线的方程； （2）求直线关于直线的对称直线的方程． 23．已知直线与. （1）若、两点分别在直线、上运动，求的中点到原点的最短距离； （2）若，直线过点，且被直线、截得的线段长为，求直线的方程. 24．若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为(　　) A．3 B．2 C．3 D．4 25．直线关于直线对称的直线的方程为___________．（用一般式表示） 26．已知直线与关于直线对称，求直线的方程. 27．已知直线，直线，若直线关于直线l的对称直线为，则直线的方程为_______________． 28．已知点分别在直线和上，若的中点恰好在直线上，则点的坐标为___________． 29．求下列直线方程： (1)已知直线经过直线和的交点，且到的距离为，求直线的方程； (2)求与直线平行且到距离为的直线方程． 30．（多选）下列直线与直线：平行，且与它的距离为2的是（   ） A． B． C． D． 题型四 轨迹问题 31．已知动直线的方程为为坐标原点，过点作直线的垂线，垂足为，则线段长度的取值范围为___________. 32．已知，，动点满足，则面积的最大值为（    ） A．6 B．12 C．16 D．24 33．点在动直线上的投影为点M，若点，那么的最小值为______. 34．已知平面平面，，，且，，是正方形，在正方形内部（含边界）有一点，满足，与平面所成的角相等，则点的轨迹长度为__________． 35．已知正方形ABCD的边长为2，点在以为圆心，1为半径的圆上，则的最小值为____________. 36．（1）已知动点到定点的距离与到定点的距离之比为,求动点的轨迹方程； （2）已知圆，线段的一端点在圆上运动，另一个端点．求线段的中点的轨迹方程. 37．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，距离之比为定值且的点所形成的图形是圆，后来人们将这个圆以他名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知中，，，动点满足，则面积最大值是_______. 38．在平面直角坐标系中，已知点，，，且动点满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 39．在平面直角坐标系中，对于定点，记点集中距离原点最近的点为．当点在曲线上运动时，点轨迹的长度为（   ） A． B． C． D． 40．在平面直角坐标系中，已知，，动点满足，则点的轨迹方程为_____. 题型五 圆过定点问题 41．若抛物线与坐标轴分别交于三个不同的点、、，则的外接圆恒过的定点坐标为_______ 42．点是直线上任意一点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（      ） A．和 B．和 C．和 D．和 43．（多选）已知二次函数交轴于两点（不重合），交轴于点．圆过三点．下列说法正确的是（    ） A．圆心在直线上 B．的取值范围是 C．圆半径的最小值为 D．存在定点，使得圆恒过点 44．求证：对任意实数，动圆恒过两定点. 45．圆心在抛物线上，且与直线相切的圆一定过的点是（    ） A． B． C． D． 46．已知抛物线与轴交于A，B两点，点C的坐标为(3，1)，圆Q过A，B，C三点，当实数变化时，存在一条定直线被圆Q截得的弦长为定值，则此定直线方程为（    ） A． B． C． D． 47．（下一章会学）已知点M的坐标为，点N的坐标为，且动点Q到点M的距离是，线段QN的垂直平分线交线段QM于点P. （1）求动点P的轨迹C的方程； （2）过圆上任意一点作切线l交曲线C于A，B两点，以AB为直径的圆是否过定点，如过定点，求出该定点；如不过定点，请说明理由. 48．已知圆，点P是直线上的一动点，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B． （1）当切线PA的长度为时，求点P的坐标； （2）若的外接圆为圆N，试问：当P运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）求线段AB长度的最小值． 49．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：－y＋3＋＝0和圆：＋＋8x＋F＝0．若直线l被圆截得的弦长为． （1）求圆的方程； （2）设圆和x轴相交于A，B两点，点P为圆上不同于A，B的任意一点，直线PA，PB交y轴于M，N两点．当点P变化时，以MN为直径的圆是否经过圆内一定点？请证明你的结论； （3）若△RST的顶点R在直线x＝－1上，点S，T在圆上，且直线RS过圆心，∠SRT＝，求点R的纵坐标的范围． 50．已知方程表示的曲线恒过第三象限内的一个定点，若点又在直线：上，则 A．1 B．2 C．3 D．4 题型六 定点到圆上的点最值问题 51．点在以为直径的单位圆上运动，则的最大值为（     ） A． B． C． D． 52．（多选）已知，，三点，点在圆上运动，则的值可能为（     ） A．64 B．72 C．84 D．85 53．已知圆的圆心为（0，0），半径为3，圆的圆心为（0，0），半径为6，定点，A、B分别在圆和圆上，满足，则线段AB的取值范围是__________． 54．已知为坐标原点，动点在：上，点的坐标为，且线段的中点为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 55．已知菱形的边长为2，，设点P为平面内一动点，满足，则_______；的取值范围为_______. 56．已知平面向量满足，且．若向量满足，则的最大值为（   ） A． B． C．2 D．1 57．已知点，点在圆上运动，则的取值范围为_________． 58．已知半径为3，圆心为的圆，则圆上的点到原点的距离的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 59．已知、，点在，则的取值范围为______. 60．在中，，，为所在平面内的动点，且.则的最大值为（ ） A． B． C． D． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 对称·将军饮马·轨迹六大典型问题 题型一 线关于点对称直线 题型二 将军饮马求最值 题型三 平行直线对称问题 题型四 轨迹问题 题型五 圆过定点问题 题型六 定点到圆上的点最值问题 题型一 线关于点对称直线 1．ABD 2．C 3．BCD 4．(1)(2) 【详解】（1）由可得， 直线与直线的交点为， 再在直线上取一点， 设点关于直线的对称点为， 则由解得，即．     由题意可得、两点是所求直线上的两个点，则直线斜率为， 则直线方程为，化简为． （2）在直线上任意取出两个点， 求出这两个点关于点对称点分别为 由题意可得，是所求直线上的两个点， 则直线斜率为，则所求直线方程为，即． 5．2 【详解】由于直线与直线关于点对称， 所以两直线平行，故，则， 由于点在直线上，关于点的对称点为， 故在上，代入可得，. 故答案为：. 6．(1)(2)(3) 【详解】（1）因为直线的斜率为，所以其倾斜角为， 则l的倾斜角为，可知l的斜率， 所以l的方程为，即； （2）表示与点连线的斜率， 又是直线l在部分上的动点，如下图示：    则，直线AB的斜率不存在，则， 即的取值范围为. （3）点关于对称后为在直线上， 则，即， 所以直线l关于点对称的直线方程为. 7．(1)(2)(3) 【详解】（1）设原点关于直线的对称点为， 则线段的中点在直线上，且直线垂直于直线， 即，解得，即， 所以原点关于的对称点坐标为； （2）联立，解得，则点在所求直线上， 在直线上任取一点， 由（1）得关于的对称点坐标为， 所以点也在所求直线上， 由两点式得直线方程为，整理得， 所以直线关于的对称直线方程为； （3）在直线上取两点，， 则，关于点的对称点分别为，. 因为点，在所求直线上， 所以由两点式得直线方程为，整理得， 所以直线关于点的对称直线方程为. 8．BC 9．A 10．(1)(2) 【详解】（1）设则， 因为的面积是面积的3倍，所以， 则解得 故直线的方程为，即 （2）显然，的斜率存在且不为零，设的方程为， 则过点且与垂直的直线的方程为 设点关于直线对称的点为， 因为直线的方程为， 所以 整理得 因为，所以，解得或 又，，所以， 故直线的方程为，即 题型二 将军饮马求最值 11．C 12．BD 13．ABCD 14． 【详解】 作点关于直线的对称点为， 再作点关于轴的对称点为， 由的周长， 因为， 所以的周长, 故答案为： 15． 【详解】设点A关于直线l的对称点为，则，解得，即， 则． 故答案为： 16．D 17． 【详解】因为在直线同侧， 点关于直线的对称点为， 所以， 当且仅当点为线段与直线的交点时等号成立，得最小值为. 答案为： 18． 【详解】设点关于对称点，则，解得， 即，所以“将军饮马”的最短总路程为. 故答案为：    19．ABD 20．BD 题型三 平行直线对称问题 21．A 22．（1） ；（2） ． 【详解】（1）因为，所以． 设直线的方程为（，且）． 在直线上取点，设点关于直线的对称点为， 则，解得， 即点的坐标为． 把点的坐标代入直线的方程，得，解得， 所以直线的方程为． （2）由，得， 所以与的交点坐标为． 另取上不同于A的一点， 设关于的对称点为， 则，得， 即点的坐标为． 所以过与的直线的方程为， 即． 23．（1）；（2）或. 【详解】（1）因为、两点分别在直线、上运动， 所以的中点的轨迹为与、平行且在它们中间的直线， 设其方程为， 、与y轴的交点分别为、，两点的中点为， 且中点在直线，所以，所以， 的中点到原点的最短距离即为原点到直线的距离，为. （2）过点且与x轴垂直的直线方程为， 与、的交点为和，两点之间的距离为不符合题意， 所以设的斜率为，直线方程为， 由直线与 即，交点为为， 由直线与 即，交点为 所以两交点之间的距离为， 解得，或， 所求直线方程为，或， 即或. 24．A 25． 【详解】由、，显然两条直线平行，且它们的距离， 可设所求直线为，则或（舍）， 所以，所求直线为. 故答案为： 26． 【详解】易知，所以与直线平行， 与直线间的距离为， 又因为与关于直线对称， 所以与平行，且两直线间的距离为， 设直线，所以，解得或， 当时，直线与直线间的距离为， 即直线与关于直线不对称； 当时，直线与直线间的距离为，符合， 所以. 27．. 【详解】由题意知，设直线，在直线上取点， 设点关于直线的对称点为， 则， 解得，即， 将代入的方程得， 所以直线的方程为. 故答案为： 28． 【详解】直线与直线是平行关系，所以的中点在两直线等距且平行的直线上，设，因为直线与直线和直线等距，所以， 又因为在直线又在直线上，所以，解得，，即. 故答案为：. 29．(1)或；(2)或. 【详解】（1）由题意，联立，解得，所以两直线的交点为， 当直线的斜率存在时，设的方程为，即， 则点到直线的距离为，解得， 所以直线的方程为； 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 点到直线的距离为，成立； 综上所述，直线的方程为或. （2）因为所求直线与直线平行， 所以设所求直线为， 又所求直线到直线的距离为， 所以，解得或， 所以所求直线方程为或. 30．AC 【详解】由题意，设与直线平行的直线方程为，， 由两平行直线间的距离公式可得，解得或， 故所求直线方程为或． 故选：AC 题型四 轨迹问题 31． 【详解】将动直线的方程整理，得，即①， 经过原点与垂直的直线为，即②， 上两式的两侧平方后相加，化简得，所以轨迹是圆心，的圆， 结合，可知点在圆内， 所以线段长度的取值范围为，即线段长度的取值范围为. 故答案为： 32．B 33． 【详解】因为直线即过定点， 因为点在动直线上的投影为点M， 所以，所以M的轨迹是以为直径的圆， 且圆心为，半径， 由得，点N在圆C的外部， 如图：   ， 故答案为：. 34． 【详解】因为平面平面，平面平面，， 且平面，所以平面，平面， 可知和分别是直线与平面所成的角， 则，即， 可得，所以. 以为原点建立平面直角坐标系如下图所示， 则，，设， 由得，化简得， 由于点在第一象限内，所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆在第一象限的部分， 令代入原方程，解得，故， 由于，所以， 所以点的轨迹长度为. 故答案为：. 35． 【详解】依题意，以点为原点，直线分别为轴建立平面直角坐标系，则，如图， 取点，设，当时，，化简整理得， 即点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆， 而点在以为圆心，1为半径的圆上，因此， 显然点在圆：外， 则， 当且仅当为线段与圆的交点时取等号， 而， 所以的最小值为. 故答案为：. 36．（1）；（2） 【详解】（1）设， 由题意可知：，即， 则，整理可得， 所以动点的轨迹方程为； （2）设， 因为点为线段的中点，且，则， 又因为点在圆上运动， 则，可得， 所以点的轨迹方程为. 37． 【详解】由题意可得，化简得， 则点在圆上， 则有，即， 又，故. 故答案为：. 38．D 39．D 40． 【详解】设动点，又，，则，， 因为点满足， 所以，化简整理得， 所以动点的轨迹方程为. 题型五 圆过定点问题 41． 【详解】设抛物线交轴于点，交轴于点、， 由题意可知，由韦达定理可得，， 所以，线段的中点为，设圆心为， 由可得，解得， ，则，则， 所以，圆的方程为， 整理可得， 方程组的解为. 因此，的外接圆恒过的定点坐标为. 故答案为：. 42．D 43．AD 44．圆系方程可化为. 设. ∵对（）恒成立， ∴，解得或. 因此，圆系过定点和. 45．B 46．A 47．（下一章会学）（1）；（2）是，以AB为直径的圆恒过坐标原点O. 【详解】解：（1）依题意有：， ∴， ∴点P的轨迹是以M，N为焦点，长轴长为的椭圆. 设椭圆的方程为，则，， ∴，， ∴所求轨迹C的方程为. （2）以AB为直径的圆过定点. 圆E的方程为，设O为坐标原点， ①当直线l的斜率不存在时，不妨设AB直线方程为， 则，， 所以∴，所以， 即AB为直径的圆过坐标原点； ②当直线l的斜率存在时， 设其方程设为，设，， 因为直线与相关圆相切，所以， ∴， 联立方程组得， 即， ，， ∴ ， ∴， 所以以AB为直径的圆恒过坐标原点O， 综上①②可知以AB为直径的圆恒过坐标原点O. 48．（1）或；（2）圆过定点，；（3）当时，AB有最小值． 【详解】（1）由题可知，圆M的半径，设， 因为PA是圆M的一条切线，所以， 所以， 解得或， 所以点P的坐标为或． （2）设，因为， 所以经过A、P、M三点的圆N以MP为直径， 其方程为， 即， 由， 解得或， 所以圆过定点，． （3）因为圆N方程为， 即① 又圆② ①-②得圆M方程与圆N相交弦AB所在直线方程为 ． 点到直线AB的距离， 所以相交弦长 ， 所以当时，AB有最小值． 49．（1）；（2）圆经过圆内一定点；（3） 【详解】（1） 所以圆的方程为； （2）和x轴相交于,不妨设 设，则，所以, 因此以MN为直径的圆为 从而 因为当时 因此圆过定点，而在圆内， 所以圆经过圆内一定点； （3）设到距离为，则 设，则 所以点R的纵坐标的范围为. 50．B 题型六 定点到圆上的点最值问题 51．C 52．BCD 53． 【详解】 设为的中点，连接、. 因为，所以 由在圆上，在圆上， 两边平方得 整理得 代入，，，得 即 设，，则 所以 整理得 即点的轨迹是以为圆心，为半径的圆. 点到圆心的距离为，则 因为，所以， 所以的范围为 54．A 55． 【详解】 菱形边长为2，，设对角线交点为原点，对角线在轴上， 得各点坐标： ， 设动点，则 ， 化简可得的轨迹：​，即在以原点为圆心，半径为的圆上， 则 则 由点是圆上的点，以原点为圆心，半径， 所以， 即， 所以 即的取值范围为. 56．C 57． 【详解】圆的标准方程为， 则圆心为，半径， 又圆心到点A的距离，所以点A在圆外， 则的最大值为，的最小值为， 则的取值范围为 58．B 59． 【详解】设线段的中点为，点， 由线段的中点坐标公式可得，所以， 因为点在圆上，所以，化简得出， 即点的轨迹方程为，记其圆心为，半径为， ， 所以，当且仅当为线段与圆的交点时，取最小值， ，当且仅当为射线与圆的交点时，取最大值， 所以. 故答案为：. 60．D 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 对称·将军饮马·轨迹六大典型问题 题型一 线关于点对称直线 题型二 将军饮马求最值 题型三 平行直线对称问题 题型四 轨迹问题 题型五 圆过定点问题 题型六 定点到圆上的点最值问题 题型一 线关于点对称直线 1．（多选）下列说法正确的有（   ） A．点关于直线的对称点为 B．直线关于点的对称直线为 C．经过点，且与直线平行的直线方程是 D．当时，直线与垂直 【答案】ABD 【分析】利用点关于直线的对称的性质求解判断A；利用直线关于点对称直线的求法求解以判断B；利用平行求出斜率，再利用点斜式求出直线方程判断C，利用直线垂直的系数关系判断D. 【详解】对于A，设点关于直线的对称点为， 则，解得， 即点关于直线的对称点为，正确； 对于B，设直线上的点，其关于点的对称点为， 所以，则，则，即， 所以直线关于点对称的直线方程是，正确； 对于C，直线的斜率为2，所以所求直线的斜率也是2， 则所求直线为，即，错误； 对于D，当时，， 故直线与垂直，正确； 故选：ABD. 2．已知直线与直线关于点对称，则实数（　　） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得到直线与直线平行，从而得到，再根据直线上取一点，得到关于点的对称点，代入直线即可得到答案. 【详解】因为不在直线上， 且直线与直线关于点对称， 所以直线与直线平行， 即，解得. 在直线上取一点， 关于点的对称点为, 将代入直线，解得. 故选：C 3．（多选）下列说法正确的有（ ） A．直线的倾斜角为 B．点在同一条直线上 C．直线关于点对称的直线方程是 D．经过任意两个不同点的直线都可用方程表示 【答案】BCD 【分析】A先求斜率，进而可得倾斜角；B利用两点的斜率公式即可判断；C求出直线上的点关于点的对称点，确定对称点横纵坐标关系判断；D根据两点式方程的变形进行判断即可. 【详解】对于A，直线的斜率，结合倾斜角范围知，直线倾斜角为，故错误； 对于B，，，显然所在直线的斜率相同且有共同点，则三点共线，故正确； 对于C，设直线上点，其关于点的对称点为， 所以，则，则，即， 所以直线关于点对称的直线方程是，故正确； 对于D，方程为直线两点式方程的变形， 可以表示经过任意两不同点，的直线，故正确. 故选：BCD 4．已知直线，试求： (1)直线关于直线对称的直线方程； (2)直线关于对称的直线方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求直线与的交点，再求直线上关于的对称点，进而求出所求直线的斜率，利用点斜式方程求解直线即可； （2）分别求出直线上点关于点的对称点，进而求出所求直线的斜率，利用点斜式方程求解直线即可. 【详解】（1）由可得， 直线与直线的交点为， 再在直线上取一点， 设点关于直线的对称点为， 则由解得，即．     由题意可得、两点是所求直线上的两个点，则直线斜率为， 则直线方程为，化简为． （2）在直线上任意取出两个点， 求出这两个点关于点对称点分别为 由题意可得，是所求直线上的两个点， 则直线斜率为，则所求直线方程为，即． 5．已知直线与直线关于点对称，则实数的值为______. 【答案】2 【分析】根据直线关于点对称即可得两直线平行，进而根据点的对称代入求解即可. 【详解】由于直线与直线关于点对称， 所以两直线平行，故，则， 由于点在直线上，关于点的对称点为， 故在上，代入可得，. 故答案为：. 6．已知直线l过点，且直线l的倾斜角比直线的倾斜角大． (1)求直线l的方程（一般式表示）； (2)若点在直线l上，且，求的取值范围； (3)求直线l关于点对称的直线方程（一般式表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先得到已知直线的斜率，则斜角为，继而得到所求直线倾斜角为，再由点斜式求出直线方程即可； （2）根据几何意义表示与点连线的斜率，结合图象求出范围即可； （3）由点关于对称后为在直线上，再代入求解即可． 【详解】（1）因为直线的斜率为，所以其倾斜角为， 则l的倾斜角为，可知l的斜率， 所以l的方程为，即； （2）表示与点连线的斜率， 又是直线l在部分上的动点，如下图示：    则，直线AB的斜率不存在，则， 即的取值范围为. （3）点关于对称后为在直线上， 则，即， 所以直线l关于点对称的直线方程为. 7．已知直线，求： (1)原点关于的对称点坐标； (2)直线关于的对称直线方程； (3)直线关于点的对称直线方程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设出原点关于直线的对称点的坐标，利用的中点在直线上，以及直线与直线垂直列方程组，即可求解； （2）求出直线与直线的交点坐标，在直线上取一点，由（1）知关于直线的对称点为，利用直线方程的两点式求解即可； （3）在直线上任取两点，分别求出这两点关于点的对称点，再利用直线方程的两点式求解即可. 【详解】（1）设原点关于直线的对称点为， 则线段的中点在直线上，且直线垂直于直线， 即，解得，即， 所以原点关于的对称点坐标为； （2）联立，解得，则点在所求直线上， 在直线上任取一点， 由（1）得关于的对称点坐标为， 所以点也在所求直线上， 由两点式得直线方程为，整理得， 所以直线关于的对称直线方程为； （3）在直线上取两点，， 则，关于点的对称点分别为，. 因为点，在所求直线上， 所以由两点式得直线方程为，整理得， 所以直线关于点的对称直线方程为. 8．（多选）下列说法中，正确的有（    ） A．直线的点斜式方程可以表示任何直线 B．直线在轴上的截距为 C．直线关于点对称的直线方程是 D．直线：与：之间的距离为 【答案】BC 【分析】根据点斜式方程判断A；根据斜截式方程判断B；设直线关于点对称的直线方程是，利用点到直线的距离公式求解判断C；利用平行线间距离公式判断D. 【详解】直线的点斜式方程不表示直线，故A不正确； 由直线的斜截式方程可知，直线在轴上的截距为，故B正确； 设直线关于点对称的直线方程是， 由点到两直线的距离相等得，解得， 则直线关于点对称的直线方程是，故C正确； 直线：即，与：之间的距离为，故D不正确. 故选：BC. 9．已知直线与直线关于点对称，则实数的值为（    ） A．2 B．6 C． D． 【答案】A 【分析】根据线关于点对称即可得两直线平行，进而根据点的对称代入求解即可. 【详解】由于直线与直线关于点对称， 所以两直线平行，故，则， 由于点在直线上，关于点的对称点为， 故在上，代入可得，故， 故选：A 10．已知的三个顶点是，，． (1)过点的直线与边相交于点，若的面积是面积的3倍，求直线的方程； (2)求的角平分线所在直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，根据平面向量的坐标关系确定，即可列方程得的坐标，从而可得直线方程； （2）利用对称性结合直线方程确定关于直线对称的点为的坐标关系式，即可得所求. 【详解】（1）设则， 因为的面积是面积的3倍，所以， 则解得 故直线的方程为，即 （2）显然，的斜率存在且不为零，设的方程为， 则过点且与垂直的直线的方程为 设点关于直线对称的点为， 因为直线的方程为， 所以 整理得 因为，所以，解得或 又，，所以， 故直线的方程为，即 题型二 将军饮马求最值 11．古代数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点为，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再到军营的总路程最短，则将军在河边饮马的地点坐标为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出点关于直线的对称点，求出直线与河岸线的交点即可得出饮马的地点坐标. 【详解】设点关于直线的对称点为点, 根据对称点的性质知中点在直线上， 即,可得, 又直线与直线垂直，即,可得, 即可得,即点, 直线的斜率为,得直线方程，即, 将军在河边饮马的地点坐标为直线与河岸线的交点 ， 将代入得,即坐标点为. 则将军在河边的饮马地点为. 故选：C 12．（多选）下列说法正确的是（   ） A．若直线不经过第三象限，则 B．方程表示的直线都经过点 C．若直线的斜率，则直线倾斜角的取值范围是 D．已知，，点在轴上，则的最小值是5 【答案】BD 【分析】对于A，分和两种情况讨论即可判断，对于B，由，令，解出即可判断，对于C，由，又，解出即可求解，对于D，先求点关于对称点，由，利用两点间距离即可求解. 【详解】对于A，由直线不经过第三象限， 当时，直线不经过第三象限，所以， 当时，直线不经过第三象限，所以， 故A错误； 对于B，由题意有，令，得， 解得，所以方程表示的直线都经过定点，故B正确； 对于C，由，又，所以或，故C错误； 对于D，由关于轴的对称点为，所以，所以的最小值是5，故D正确； 故选：BD. 13．（多选）下列结论错误的是（　　） A．过点的直线的倾斜角为 B．若直线与直线垂直，则 C．直线与直线之间的距离是 D．已知，点在轴上，则的最小值是6 【答案】ABCD 【分析】通过直线斜率、垂直条件、平行直线距离公式、对称点法，分别验证各选项的正确性，确定错误结论. 【详解】选项A： 过点、的直线斜率，倾斜角满足， 而，A选项错误. 选项B： 直线垂直的条件为斜率乘积为. 直线的斜率为， 直线的斜率为，故，解得，B选项错误. 选项C： 将直线化为， 两平行直线距离为，C选项错误. 选项D： 取关于轴的对称点， 的最小值为，D选项错误. 故选：ABCD 14．已知点在轴上，在直线上，，则的周长的最小值为_____． 【答案】 【分析】利用对称性变换，再结合两点之间线段最短，即可得最小值. 【详解】 作点关于直线的对称点为， 再作点关于轴的对称点为， 由的周长， 因为， 所以的周长, 故答案为： 15．已知直线和点，，P是l上一点，则的最小值为________． 【答案】 【分析】首先求解点关于直线的对称点，再根据即可求解答案. 【详解】设点A关于直线l的对称点为，则，解得，即， 则． 故答案为： 16．在平面直角坐标系xOy 中，已知点，P 为直线上一动点，则的最小值是（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】求出点关于直线的对称点，利用轴对称性质及两点间线段最短求出最小值. 【详解】设点关于直线的对称点， 则，解得，即点， 因此，当且仅当为线段与直线的交点时取等号， 所以的最小值是4. 故选：D 17．已知直线：和，若直线上存在点P使得最小，则最小值为___________. 【答案】 【分析】利用对称关系求出点关于直线的对称点为，则最小值为之间的距离. 【详解】因为在直线同侧， 点关于直线的对称点为， 所以， 当且仅当点为线段与直线的交点时等号成立，得最小值为. 答案为： 18．唐代诗人李顾的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为__________. 【答案】 【分析】求出点关于直线对称点的坐标，再利用两点间距离公式计算得解. 【详解】设点关于对称点，则，解得， 即，所以“将军饮马”的最短总路程为. 故答案为：    19．（多选）下列结论错误的是（   ） A．过点且在，轴上的截距互为相反数的直线方程为 B．直线与直线之间的距离为 C．已知点，，点在轴上，则的最小值为 D．已知两点，，过点的直线与线段没有公共点，则直线的斜率的取值范围是 【答案】ABD 【分析】过点且在，轴上的截距互为相反数的直线有过原点的方程为，即可判断选项A；由两平行线间的距离公式求解即可判断选项B；先求出点关于轴的对称点为，然后求解两点间的距离即可判断选项C；先求出，，由过点的直线与线段没有公共点即可判断选项D. 【详解】对于A，当直线过原点的方程为，故选项A错误； 对于B，由可得，与平行， 则两条平行直线间的距离为，故选项B错误， 对于C，点关于轴的对称点为，则， 所以， 即的最小值为，故C正确， 对于D，，，又直线与线段没有公共点，所以，故D错误. 故选：ABD 20．（多选）古代数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是．军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则（   ） A．将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是 B．将军在河边饮马的地点的坐标为 C．将军从河边回军营的路线所在直线的方程是 D．“将军饮马”走过的总路程为 【答案】BD 【分析】求出点关于直线的对称点为，直线的方程为即为从出发点到河边的路线所在直线方程，可得A错误；联立直线方程可解得交点坐标即为饮马地点的坐标为，可得B正确；直线的方程为即为从河边回军营的路线所在直线方程，可得C错误；由各路段长度总和即可求出“将军饮马”走过的总路程为，可知D正确. 【详解】由题可知在的同侧， 设点关于直线的对称点为，如下图所示： 则，解得，即. 对于A，将军从出发点到河边的路线所在直线即为， 又，所以直线的方程为，即，故A错误； 对于B，设将军在河边饮马的地点为，则即为与的交点， 联立两直线方程解得，故B正确； 对于C，将军从河边回军营的路线所在直线为，又， 所以直线的方程为，即，故C错误； 对于D，总路程， 所以“将军饮马”的总路程为，故D正确. 故选：BD. 题型三 平行直线对称问题 21．若动点，分别在直线：和：上移动，则线段的中点点到原点的距离的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先分析出M的轨迹，再求到原点的距离的最小值. 【详解】由题意可知：M点的轨迹为平行于直线和且到、距离相等的直线l， 因为直线和在轴上的截距分别为， 所以直线l在轴上的截距为，故其方程为：， 故到原点的距离的最小值为. 故选：A 22．已知直线，，． （1）求直线关于直线的对称直线的方程； （2）求直线关于直线的对称直线的方程． 【答案】（1） ；（2） ． 【分析】（1）由于，所以，可设的方程为，在直线上取点，求出点关于直线的对称点，代入方程，即得解； （2）与的交点坐标为也在上，另取上不同于的一点，求出关于的对称点为，利用两个点坐标求出直线方程，即得解 【详解】（1）因为，所以． 设直线的方程为（，且）． 在直线上取点，设点关于直线的对称点为， 则，解得， 即点的坐标为． 把点的坐标代入直线的方程，得，解得， 所以直线的方程为． （2）由，得， 所以与的交点坐标为． 另取上不同于A的一点， 设关于的对称点为， 则，得， 即点的坐标为． 所以过与的直线的方程为， 即． 23．已知直线与. （1）若、两点分别在直线、上运动，求的中点到原点的最短距离； （2）若，直线过点，且被直线、截得的线段长为，求直线的方程. 【答案】（1）；（2）或. 【解析】（1）的中点的运动轨迹为与、平行且在它们中间的直线得其斜率，再求两直线在y轴中点的坐标可得答案.   （2）设的直线方程，分别于、联立，解得交点坐标，再利用两点之间的距离公式可得斜率，然后根据点斜式方程求得答案. 【详解】（1）因为、两点分别在直线、上运动， 所以的中点的轨迹为与、平行且在它们中间的直线， 设其方程为， 、与y轴的交点分别为、，两点的中点为， 且中点在直线，所以，所以， 的中点到原点的最短距离即为原点到直线的距离，为. （2）过点且与x轴垂直的直线方程为， 与、的交点为和，两点之间的距离为不符合题意， 所以设的斜率为，直线方程为， 由直线与 即，交点为为， 由直线与 即，交点为 所以两交点之间的距离为， 解得，或， 所求直线方程为，或， 即或. 24．若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为(　　) A．3 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】先求出点M所在直线的方程为l：x＋y＋m＝0，再求出m的值和原点到直线l的距离即得解. 【详解】依题意知AB的中点M的集合为与直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0距离都相等的直线， 则M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离． 设点M所在直线的方程为l：x＋y＋m＝0， 根据平行线间的距离公式得 所以|m＋7|＝|m＋5|，所以m＝－6， 即l：x＋y－6＝0. 根据点到直线的距离公式得M到原点的距离的最小值为. 故选：A. 25．直线关于直线对称的直线的方程为___________．（用一般式表示） 【答案】 【分析】根据已知直线平行，并求出它们的距离，再设所求直线为，根据对称性及平行线的距离公式求参数，即可得. 【详解】由、，显然两条直线平行，且它们的距离， 可设所求直线为，则或（舍）， 所以，所求直线为. 故答案为： 26．已知直线与关于直线对称，求直线的方程. 【答案】 【分析】由直线斜率得与直线平行，由两条平行线距离公式得与直线间的距离，由对称关系得与平行和与距离，接着设直线方程，依据与距离列式求解并检验即可得解. 【详解】易知，所以与直线平行， 与直线间的距离为， 又因为与关于直线对称， 所以与平行，且两直线间的距离为， 设直线，所以，解得或， 当时，直线与直线间的距离为， 即直线与关于直线不对称； 当时，直线与直线间的距离为，符合， 所以. 27．已知直线，直线，若直线关于直线l的对称直线为，则直线的方程为_______________． 【答案】. 【分析】由于两条直线平行，所以可设，利用对称的性质，可求得，进而求得直线方程为. 【详解】由题意知，设直线，在直线上取点， 设点关于直线的对称点为， 则， 解得，即， 将代入的方程得， 所以直线的方程为. 故答案为： 28．已知点分别在直线和上，若的中点恰好在直线上，则点的坐标为___________． 【答案】 【分析】先分析两条直线是平行关系，那么中点在两条平行直线等距的直线上，求出那条直线，然后与联立即可求出答案. 【详解】直线与直线是平行关系，所以的中点在两直线等距且平行的直线上，设，因为直线与直线和直线等距，所以， 又因为在直线又在直线上，所以，解得，，即. 故答案为：. 29．求下列直线方程： (1)已知直线经过直线和的交点，且到的距离为，求直线的方程； (2)求与直线平行且到距离为的直线方程． 【答案】(1)或； (2)或. 【分析】（1）先求两直线的交点，再分斜率存在与不存在两种情况设直线方程，利用点到直线距离公式求解即可； （2）设平行直线方程，利用两平行直线距离公式列方程求参数，即可得所求直线方程. 【详解】（1）由题意，联立，解得，所以两直线的交点为， 当直线的斜率存在时，设的方程为，即， 则点到直线的距离为，解得， 所以直线的方程为； 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 点到直线的距离为，成立； 综上所述，直线的方程为或. （2）因为所求直线与直线平行， 所以设所求直线为， 又所求直线到直线的距离为， 所以，解得或， 所以所求直线方程为或. 30．（多选）下列直线与直线：平行，且与它的距离为2的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】设与直线平行的直线方程为，，然后由平行直线间的距离公式可得答案. 【详解】由题意，设与直线平行的直线方程为，， 由两平行直线间的距离公式可得，解得或， 故所求直线方程为或． 故选：AC 题型四 轨迹问题 31．已知动直线的方程为为坐标原点，过点作直线的垂线，垂足为，则线段长度的取值范围为___________. 【答案】 【分析】利用垂直关系求原点与垂直的直线，结合已知直线求垂足的轨迹为，利用圆的性质求线段长度的范围. 【详解】将动直线的方程整理，得，即①， 经过原点与垂直的直线为，即②， 上两式的两侧平方后相加，化简得，所以轨迹是圆心，的圆， 结合，可知点在圆内， 所以线段长度的取值范围为，即线段长度的取值范围为. 故答案为： 32．已知，，动点满足，则面积的最大值为（    ） A．6 B．12 C．16 D．24 【答案】B 【分析】首先根据题意得到的轨迹是以为圆心，为半径的圆，去掉和两点，即可求解. 【详解】设，，因为， 所以，， 化简得：，， 的轨迹是以为圆心，为半径的圆，去掉和两点. 到轴的最大距离为4， 所以的面积最大值为. 故选：B 33．点在动直线上的投影为点M，若点，那么的最小值为______. 【答案】 【分析】易知直线过定点，再由题意得，进而得到M的轨迹是以为直径的圆，然后利用点与圆的位置关系求解即可. 【详解】因为直线即过定点， 因为点在动直线上的投影为点M， 所以，所以M的轨迹是以为直径的圆， 且圆心为，半径， 由得，点N在圆C的外部， 如图：   ， 故答案为：. 34．已知平面平面，，，且，，是正方形，在正方形内部（含边界）有一点，满足，与平面所成的角相等，则点的轨迹长度为__________． 【答案】 【分析】根据与平面所成的角相等，判断出，建立平面直角坐标系，求得点的轨迹方程，由此求得点的轨迹长度. 【详解】因为平面平面，平面平面，， 且平面，所以平面，平面， 可知和分别是直线与平面所成的角， 则，即， 可得，所以. 以为原点建立平面直角坐标系如下图所示， 则，，设， 由得，化简得， 由于点在第一象限内，所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆在第一象限的部分， 令代入原方程，解得，故， 由于，所以， 所以点的轨迹长度为. 故答案为：. 35．已知正方形ABCD的边长为2，点在以为圆心，1为半径的圆上，则的最小值为____________. 【答案】 【分析】建立直角坐标系，取点，探讨满足条件的点的轨迹，再结合已知条件，求出两条线段长度和的最小值作答. 【详解】依题意，以点为原点，直线分别为轴建立平面直角坐标系，则，如图， 取点，设，当时，，化简整理得， 即点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆， 而点在以为圆心，1为半径的圆上，因此， 显然点在圆：外， 则， 当且仅当为线段与圆的交点时取等号， 而， 所以的最小值为. 故答案为：. 36．（1）已知动点到定点的距离与到定点的距离之比为,求动点的轨迹方程； （2）已知圆，线段的一端点在圆上运动，另一个端点．求线段的中点的轨迹方程. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）设，根据结合两点间距离公式运算求解即可； （2）设，根据中点可得，代入圆的方程运算求解即可. 【详解】（1）设， 由题意可知：，即， 则，整理可得， 所以动点的轨迹方程为； （2）设， 因为点为线段的中点，且，则， 又因为点在圆上运动， 则，可得， 所以点的轨迹方程为. 37．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，距离之比为定值且的点所形成的图形是圆，后来人们将这个圆以他名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知中，，，动点满足，则面积最大值是_______. 【答案】 【分析】由题意计算可得点轨迹方程，则可得，即可得面积最大值. 【详解】由题意可得，化简得， 则点在圆上， 则有，即， 又，故. 故答案为：. 38．在平面直角坐标系中，已知点，，，且动点满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出点的轨迹图形，然后利用圆心到的距离求解即可. 【详解】设动点的坐标为 因为，故, 即，化简得：， 故点的轨迹是以为圆心，半径的圆， 故， 且故. 故选：D 39．在平面直角坐标系中，对于定点，记点集中距离原点最近的点为．当点在曲线上运动时，点轨迹的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可知当时、当时，确定点的位置，求得其轨迹方程，结合图形来求轨迹长度即可. 【详解】点集表示以为中心，边长为2且各边均平行或垂直于坐标轴的正方形及其内部. 曲线即，是圆心为，半径为的圆. 当时，为正方形左下顶点，， 代入得，， 轨迹为图中加粗的优弧； 当时，为正方形左侧边与轴的交点，轨迹为图中轴上加粗线段. 最终可得轨迹为如图优弧与弦组成，其中圆心，， 取中点，可得，，， 则，，所以，， 优弧， 最终轨迹长为. 故选：D. 40．在平面直角坐标系中，已知，，动点满足，则点的轨迹方程为_____. 【答案】 【分析】设，根据两点间距离公式，化简求动点的轨迹方程. 【详解】设动点，又，，则，， 因为点满足， 所以，化简整理得， 所以动点的轨迹方程为. 题型五 圆过定点问题 41．若抛物线与坐标轴分别交于三个不同的点、、，则的外接圆恒过的定点坐标为_______ 【答案】 【分析】设抛物线交轴于点，交轴于点、，根据题意设圆心为，求出，写出圆的方程，可得出关于、的方程组，即可得出圆所过定点的坐标. 【详解】设抛物线交轴于点，交轴于点、， 由题意可知，由韦达定理可得，， 所以，线段的中点为，设圆心为， 由可得，解得， ，则，则， 所以，圆的方程为， 整理可得， 方程组的解为. 因此，的外接圆恒过的定点坐标为. 故答案为：. 42．点是直线上任意一点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（      ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】设点，求出以为直径的圆的方程，并将圆的方程变形，可求得定点坐标. 【详解】设点，则线段的中点为， 圆的半径为， 所以，以为直径为圆的方程为， 即，即， 由，解得或， 因此，以为直径的圆经过定点坐标为、. 故选：D. 43．（多选）已知二次函数交轴于两点（不重合），交轴于点．圆过三点．下列说法正确的是（    ） A．圆心在直线上 B．的取值范围是 C．圆半径的最小值为 D．存在定点，使得圆恒过点 【答案】AD 【分析】由圆心在中垂线上可知A正确；根据可求得范围，知B错误； 求得坐标后，代入圆的方程可表示出，结合范围可求得，知C错误； 将圆的方程整理为，由此可求得定点，知D正确. 【详解】对于A，对称轴为，过两点的圆的圆心必在中垂线，即上，A正确； 对于B，与轴交于两点，，解得：， 即且，B错误； 对于C，设在左侧，由得：，则， 设圆：，又， ，解得：， 且，，C错误； 对于D，由C可知，圆：， 即，， 令，解得：或，圆恒过定点或，D正确. 故选：AD. 44．求证：对任意实数，动圆恒过两定点. 【答案】 圆系方程可化为. 设. ∵对（）恒成立， ∴，解得或. 因此，圆系过定点和. 【分析】把动圆方程转化为关于实数a的一元一次方程，利用恒等式知识可得定点坐标． 【详解】略 45．圆心在抛物线上，且与直线相切的圆一定过的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出抛物线的焦点坐标和准线方程，根据抛物线的性质和圆的性质得出圆的半径为圆心到直线的距离，对于圆心到抛物线的焦点的距离，故抛物线的焦点在圆上． 【详解】解：抛物线的标准方程为：， 抛物线的准线方程为，焦点为． 设动圆圆心为，则到的距离：． 动圆与直线相切， 到直线的距离为动圆半径，即动圆半径为，即为圆上的点． 此圆恒过定点． 故选：B． 46．已知抛物线与轴交于A，B两点，点C的坐标为(3，1)，圆Q过A，B，C三点，当实数变化时，存在一条定直线被圆Q截得的弦长为定值，则此定直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出圆的一般方程，令求得，可得圆过两个定点可得答案. 【详解】设过三点的圆的方程为， 由题意可得时，与等价，可得， 圆的方程即为，由圆过可得， 可得，即圆的方程为， 整理得，因为为任意实数方程都成立，所以 解得或，所以圆过定点和， 此时过两点的弦长为定值， 过两点的直线方程的斜率为， 所以过两点的直线方程的为，即为. 故选：A. 47．（下一章会学）已知点M的坐标为，点N的坐标为，且动点Q到点M的距离是，线段QN的垂直平分线交线段QM于点P. （1）求动点P的轨迹C的方程； （2）过圆上任意一点作切线l交曲线C于A，B两点，以AB为直径的圆是否过定点，如过定点，求出该定点；如不过定点，请说明理由. 【答案】（1）；（2）是，以AB为直径的圆恒过坐标原点O. 【分析】（1）根据条件可得，从而点P的轨迹是以M，N为焦点，长轴长为的椭圆.可得答案. （2）先分析当直线l的斜率不存在时的情况, 当直线l的斜率存在时，设其方程设为，设，，由直线与相关圆相切，可得，将直线方程与椭圆方程联立，由韦达定理可得，从而可得出答案. 【详解】解：（1）依题意有：， ∴， ∴点P的轨迹是以M，N为焦点，长轴长为的椭圆. 设椭圆的方程为，则，， ∴，， ∴所求轨迹C的方程为. （2）以AB为直径的圆过定点. 圆E的方程为，设O为坐标原点， ①当直线l的斜率不存在时，不妨设AB直线方程为， 则，， 所以∴，所以， 即AB为直径的圆过坐标原点； ②当直线l的斜率存在时， 设其方程设为，设，， 因为直线与相关圆相切，所以， ∴， 联立方程组得， 即， ，， ∴ ， ∴， 所以以AB为直径的圆恒过坐标原点O， 综上①②可知以AB为直径的圆恒过坐标原点O. 48．已知圆，点P是直线上的一动点，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B． （1）当切线PA的长度为时，求点P的坐标； （2）若的外接圆为圆N，试问：当P运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）求线段AB长度的最小值． 【答案】（1）或；（2）圆过定点，；（3）当时，AB有最小值． 【分析】（1）设，由，计算即可求得，得出结果； （2）因为A、P、M三点的圆N以MP为直径，所以圆的方程为，化简为，由方程恒成立可知，即可求得动圆所过的定点； （3）由圆和圆方程作差可得直线方程，设点到直线AB的距离，则，计算化简可得结果. 【详解】（1）由题可知，圆M的半径，设， 因为PA是圆M的一条切线，所以， 所以， 解得或， 所以点P的坐标为或． （2）设，因为， 所以经过A、P、M三点的圆N以MP为直径， 其方程为， 即， 由， 解得或， 所以圆过定点，． （3）因为圆N方程为， 即① 又圆② ①-②得圆M方程与圆N相交弦AB所在直线方程为 ． 点到直线AB的距离， 所以相交弦长 ， 所以当时，AB有最小值． 49．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：－y＋3＋＝0和圆：＋＋8x＋F＝0．若直线l被圆截得的弦长为． （1）求圆的方程； （2）设圆和x轴相交于A，B两点，点P为圆上不同于A，B的任意一点，直线PA，PB交y轴于M，N两点．当点P变化时，以MN为直径的圆是否经过圆内一定点？请证明你的结论； （3）若△RST的顶点R在直线x＝－1上，点S，T在圆上，且直线RS过圆心，∠SRT＝，求点R的纵坐标的范围． 【答案】（1）；（2）圆经过圆内一定点；（3） 【分析】（1）根据垂径定理列方程解得F，即得结果； （2）设点P坐标，表示出M，N两点坐标，利用向量写出以MN为直径的圆，再根据方程确定其定点； （3）根据到距离不大于半径，确定范围，进而可得点R的纵坐标的范围. 【详解】（1） 所以圆的方程为； （2）和x轴相交于,不妨设 设，则，所以, 因此以MN为直径的圆为 从而 因为当时 因此圆过定点，而在圆内， 所以圆经过圆内一定点； （3）设到距离为，则 设，则 所以点R的纵坐标的范围为. 50．已知方程表示的曲线恒过第三象限内的一个定点，若点又在直线：上，则 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】把方程化为，解方程组，即得定点的坐标.把点的坐标代入直线的方程，即得答案. 【详解】方程可化为. 曲线恒过定点，，解得或. 点在第三象限，，代入直线的方程， 可得. 故选：. 题型六 定点到圆上的点最值问题 51．点在以为直径的单位圆上运动，则的最大值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得，然后令，则，再换元后利用二次函数的性质可求得答案. 【详解】如图，设P到的距离分别为， 因为点P是以为直径的单位圆上的动点，所以， 因为P到的距离分别为x，y，所以， 令（）， 所以， 令， 则，所以， 所以， 因为，所以当时， 可得取得最大值. 52．（多选）已知，，三点，点在圆上运动，则的值可能为（     ） A．64 B．72 C．84 D．85 【答案】BCD 【分析】根据两点间距离公式求解即可. 【详解】设，则， 则 ， 所以， 即的取值范围为． 53．已知圆的圆心为（0，0），半径为3，圆的圆心为（0，0），半径为6，定点，A、B分别在圆和圆上，满足，则线段AB的取值范围是__________． 【答案】 【详解】 设为的中点，连接、. 因为，所以 由在圆上，在圆上， 两边平方得 整理得 代入，，，得 即 设，，则 所以 整理得 即点的轨迹是以为圆心，为半径的圆. 点到圆心的距离为，则 因为，所以， 所以的范围为 54．已知为坐标原点，动点在：上，点的坐标为，且线段的中点为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求，再结合消元法可求的取值范围. 【详解】设，则，故， 故，故，且， 故，故，故. 55．已知菱形的边长为2，，设点P为平面内一动点，满足，则_______；的取值范围为_______. 【答案】 【分析】建系，确定动点的轨迹方程，再结合向量数量积的坐标运算即可求解. 【详解】 菱形边长为2，，设对角线交点为原点，对角线在轴上， 得各点坐标： ， 设动点，则 ， 化简可得的轨迹：​，即在以原点为圆心，半径为的圆上， 则 则 由点是圆上的点，以原点为圆心，半径， 所以， 即， 所以 即的取值范围为. 56．已知平面向量满足，且．若向量满足，则的最大值为（   ） A． B． C．2 D．1 【答案】C 【分析】由的垂直关系和模长可令坐标为，，再设，由数量积的坐标表示确定的轨迹方程，进而可求解. 【详解】因为，且，令，， 设， 由，代入坐标得： ， 整理配方得： ， 即点的轨迹是圆心为，半径的圆. 则是原点到圆上点的距离， 又原点到圆心的距离为： ， 所以圆上点到原点的最大距离为，因此的最大值为. 57．已知点，点在圆上运动，则的取值范围为_________． 【答案】 【详解】圆的标准方程为， 则圆心为，半径， 又圆心到点A的距离，所以点A在圆外， 则的最大值为，的最小值为， 则的取值范围为 58．已知半径为3，圆心为的圆，则圆上的点到原点的距离的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据圆外一点到圆上的距离的最小值等于这个点到圆心的距离减去半径可得. 【详解】由半径为3，圆心为的圆，则圆心到原点的距离，. 由，，所以原点O在圆的外部，如图：所以圆上的点到原点的距离的最小值为． 故选：B． 59．已知、，点在，则的取值范围为______. 【答案】 【分析】求出线段中点的轨迹方程，可得出，利用圆的几何性质可求得的最大值和最小值，即可得解. 【详解】设线段的中点为，点， 由线段的中点坐标公式可得，所以， 因为点在圆上，所以，化简得出， 即点的轨迹方程为，记其圆心为，半径为， ， 所以，当且仅当为线段与圆的交点时，取最小值， ，当且仅当为射线与圆的交点时，取最大值， 所以. 故答案为：. 60．在中，，，为所在平面内的动点，且.则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先把向量和转化为中点向量，利用平行四边形法则把它转化为，化为定点 到动点 的距离最值，再把动点轨迹看成圆，最后用点到圆的最值求解即可. 【详解】如图： 由已知，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 又因为，，，取的中点，则， 所以. 故选：D. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $