专题03 确定三角形·距离最值·对称六大典型问题（高效培优专项训练）数学人教A版高二选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦解析几何中三角形性质、距离最值与对称问题，以六大典型题型构建从概念应用到综合迁移的系统性训练，强化数形结合与逻辑推理。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |顶点坐标判断三角形形状|10题|结合距离公式与斜率判定三角形形状及中线方程|以距离和斜率概念为基础，构建三角形几何属性的代数表达| |两点间距离公式求函数最值|10题|将函数转化为两点距离模型求最值|体现代数问题几何化，发展数学眼光与模型意识| |已知点到直线距离求参数|10题|直接应用距离公式求解参数及直线方程|强化距离公式的逆向应用与运算能力| |点关于线对称问题|10题|通过垂直与中点关系求对称点及反射路径|深化对称性质的逻辑推理，培养空间观念| |直线关于直线对称|10题|利用对称点或夹角关系推导反射直线方程|提升综合几何变换能力，发展理性思维| |求到两点距离相等的直线方程|10题|分类讨论中垂线及平行线两种情形|整合距离与直线位置关系，完善知识体系|

专题03 确定三角形·距离最值·对称六大典型问题 题型一 顶点坐标判断三角形形状 题型二 两点间的距离公式求函数最值 题型三 已知点到直线距离求参数 题型四 点关于线对称问题 题型五 直线关于直线对称 题型六 求到两点距离相等的直线方程 题型一 顶点坐标判断三角形形状 1．已知点及点； (1)若直线经过点且，求直线的一般式方程； (2)求证：是直角三角形. 2．已知三条直线，，，设，，，则是（   ） A．以为直角顶点的等腰直角三角形 B．以为直角顶点的非等腰直角三角形 C．以为直角顶点的等腰直角三角形 D．等边三角形 3．已知△的三个顶点为，，. (1)求证：△为直角三角形； (2)求边上的中线长及中线所在的直线方程. 4．已知，，，则三角形的面积为（    ） A．3 B．5 C．7 D．8 5．已知三个顶点坐标分别为，，. (1)试判断的形状； (2)求边上的中线所在直线的方程. 6．已知的三个顶点的坐标是，，. (1)判断的形状； (2)求的面积. 7．已知的三个顶点是，，. (1)求边上的高所在直线的方程； (2)求的角平分线所在直线的方程. 8．已知的三个顶点分别为，，． (1)求边上的中线的长； (2)证明：为等腰直角三角形． 9．（多选）已知顶点坐标是，则下列结论正确的是（    ） A．若为直角三角形，则或 B．若为锐角三角形，则 C．若为钝角三角形，则或 D．若为等腰三角形，则 10．如图，已知的三个顶点分别为，，． (1)试判断的形状； (2)设点D为BC的中点，求BC边上中线的长． 题型二 两点间的距离公式求函数最值 11．函数的最大值是__________. 12．已知、，则函数的最小值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 13．数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.函数下列结论正确的是（    ） A．的最小值为6 B．的最小值为 C．方程6有两解 D．方程7无解 14．已知点，点，当变化时，的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 15．已知，是正数，且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 16．某同学在研究函数的性质时，联想到两点间的距离公式，从而将函数变形为，则的最小值为___________；类比地，已知函数，则的最小值为___________． 17．著名数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点之间的距离.结合上述观点，可得的最大值为（    ） A． B． C． D． 18．函数的最小值为（   ） A．5 B． C． D． 19．若函数存在零点，求实数a的取值范围. 20．已知、，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 题型三 已知点到直线距离求参数 21．已知点． (1)求过点P且与原点的距离为2的直线l的方程． (2)求过点P且与原点的距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？ (3)是否存在过点P且与原点的距离为3的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由． 22．已知直线经过定点且与直线垂直．若点和点到直线的距离相等，则实数的值为（   ） A．1或 B．1或 C． D．1 23．（多选）已知两点到直线的距离相等，则a的值可以为（   ） A． B．0 C． D．2 24．已知，两点到直线的距离相等，则（    ） A．0 B．2 C．0或2 D．或2 25．已知点到直线：的距离为1，则＝________． 26．已知直线经过点. (1)若点到直线的距离为1，求直线的方程； (2)若直线在轴上的截距等于在轴上的截距的5倍，求直线的方程. 27．已知点到直线的距离为，则等于（    ） A． B． C．或 D． 28．已知两点到直线的距离相等，则实数的值为（    ） A．0 B． C．0或 D．或 29．直线经过两条直线和的交点. (1)若直线与直线平行，求直线的方程； (2)若点到直线的距离为2，求直线的方程. 30．在平面直角坐标系中，已知的三个顶点，，. (1)求边所在直线的一般式方程； (2)若的面积等于，且点在直线上，求点的坐标. 题型四 点关于线对称问题 31．点关于直线的对称点为_____. 32．直线关于直线对称的直线方程是（　　） A． B． C． D． 33．已知在中，边上的高所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为，点的坐标为． (1)求垂心的坐标； (2)求所在的直线方程； (3)若关于直线：的对称点为，求点到直线的距离． 34．已知点，直线，则点A关于直线l对称的点的坐标为_______． 35．在中，顶点，点B在直线上，点C在x轴上，则周长的最小值为_________. 36．设直线，一束光线从原点出发沿射线向直线射出，与交于点，经反射后与轴交于点，再次经轴反射后与轴交于点.若光线所经长度，则的值为（    ） A． B． C． D． 37．（多选）已知直线，则（   ） A．的倾斜角为 B．与两坐标轴围成的三角形面积为 C．原点O到的距离为1 D．原点O关于的对称点为 38．已知点与点关于直线对称，则点的坐标为_____. 39．在平面直角坐标系中，已知点，直线，且点在直线上，． (1)求直线的方程； (2)若点与点关于直线对称，求证：点在轴上． 40．在中，的平分线所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为，已知点坐标为. (1)求点的坐标； (2)求直线的方程. 题型五 直线关于直线对称 41．（多选）下列说法中错误的有（    ） A．点斜式 可以表示任何直线 B．直线在y轴上的截距为 C．直线关于对称的直线方程是 D．点到直线的最大距离为 42．一条光线沿直线入射到直线后反射，则反射光线所在的直线方程为（ ） A． B． C． D． 43．已知光线通过点，经轴反射，反射光线通过点，则反射光线所在直线的方程是______. 44．一条沿直线传播的光线经过点，且在轴上的截距为，然后被直线反射，则反射光线所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 45．光线从点出发，经过直线反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线的方程是（   ） A． B． C． D． 46．一条光线从点射出，经过直线反射后过点，则反射光线所在直线的方程为__________. 47．已知点，，，，平面上仅在线段，，所在位置分别放置一个双面镜．现有一道光束沿向量的方向从线段上某点（不含端点）射入，若光束恰好依次在，，各反射一次后从线段上某点射出，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 48．一条光线经过点射到直线上，被反射后经过点，则入射光线所在直线的方程为______． 49．已知点 ，直线 . (1)求过点 ，且与直线 平行的直线 的方程； (2)光线通过点 ，经直线 反射，其反射光线通过点 ，求反射光线所在直线的方程. 50．已知直线：，：，直线与交于点 (1)求过点且与垂直的直线的方程； (2)点是直线上异于的一点，若为的角平分线，求点所在的直线的方程． 题型六 求到两点距离相等的直线方程 51．已知的三个顶点分别是，，. (1)求边上的高线所在直线的方程； (2)若直线过点，且点､到直线的距离相等，求直线的方程. 52．求以下直线方程 (1)已知直线若直线过点，且，求直线的方程； (2)已知直线经过点，且点和点到直线的距离相等，求直线的方程． 53．已知、两点到直线的距离相等，则的值为（ ） A． B． C． D．或 54．求下列直线方程： (1)已知直线过点，且与点，点的距离相等，求直线的方程． (2)已知直线经过点，且与坐标轴围成的三角形面积为2，求直线的方程． 55．在中，. (1)求边上的高的方程； (2)若直线经过点，且到直线的距离相等，求直线的方程. 56．已知的三个顶点是，，． (1)求边上的高所在直线的方程； (2)若直线过点，且点，到直线的距离相等，求直线的方程． 57．（多选）已知直线过原点，且点，到直线的距离相等，则直线的方程为（　　） A． B． C． D． 58．已知，两点到直线l：的距离相等，则a的值为（    ） A． B． C．或 D．或 59．已知两点和到直线距离相等，则值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 60．（多选）已知平面内的点P异于原点，且点P的坐标满足关系式，若这样的点P恰有三个，则实数t的值可以是（   ） A． B． C． D． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 确定三角形·距离最值·对称六大典型问题 题型一 顶点坐标判断三角形形状 题型二 两点间的距离公式求函数最值 题型三 已知点到直线距离求参数 题型四 点关于线对称问题 题型五 直线关于直线对称 题型六 求到两点距离相等的直线方程 题型一 顶点坐标判断三角形形状 1．(1) (2)法一：由题设可知：直线的斜率为：， 直线的斜率为：， ， ， 所以是直角三角形. 法二：由题设可知：， ， ， ， ， 所以是直角三角形. 【详解】（1）由题设可知：直线的斜率； ∴直线的方程为：， ∴直线的一般式方程为：. （2）略 2．A 3．(1)证明：由已知条件得， ,, 则, 所以△为直角三角形； (2) 【详解】（2）设的中点坐标为，则边上的中线, 由中点坐标公式可得，，即的坐标为， 直线的斜率为， 所以边上的中线所在直线方程为，即. 4．A 5．(1)是以为直角的等腰直角三角形(2) 【详解】（1）因为，，， 所以的斜率，， 的斜率，， 则， 所以且，所以是以为直角的等腰直角三角形； （2）易求中点坐标，所以直线的斜率， 边上的中线为，化为一般式为． 6．(1)等腰直角三角形(2)26 【详解】（1）因为，，， 所以，， ， 所以， 所以是等腰直角三角形. （2）由（1）得. 7．(1)(2) 【详解】（1）设边上的高所在直线的斜率为，直线的斜率， 所以，所以， 故所求直线方程为，即. （2）由题意得，， 所以，则为等腰三角形， 的中点为，故， 由等腰三角形的性质知，为的平分线， 故所求直线方程为，即.    8．(1)(2)答案及解析 【详解】（1）因为，，所以线段的中点的坐标为， 又，则． （2）因为， ， ， 因为，且， 所以为等腰直角三角形． 9．AB 10．(1)直角三角形；(2). 【详解】（1）根据两点间的距离公式，得，， ，，即， 所以是直角三角形. （2）依题意，线段BC的中点，， 所以BC边上中线的长为. 题型二 两点间的距离公式求函数最值 11． 【详解】， 在平面直角坐标系中，设点，，. 则，当点在线段的延长线上时，等号成立， ，， 由，有，即，解得， 其中时，，不合题意； 当时， ，满足点在线段的延长线上， 所以时，. 12．A 13．B 14．A 15．A 16． 【详解】由，得是坐标平面内点与 点距离的和，则，当且仅当重合时取等号， 所以的最小值为；    由，得是坐标平面内点与 点距离的和，则，当且仅当为线段与轴的交点时取等号， 所以的最小值为.    故答案为：； 17．C 18．B 19． 【详解】由题意得， ； 表示点与点的距离， 表示点与点的距离， 如图， 结合图象可得，， 即， 故实数的取值范围是． 20．C 题型三 已知点到直线距离求参数 21．(1)或(2)，最大距离为(3)不存在 【详解】（1）过点P的直线l与原点的距离为2，而点P的坐标为，显然，过点且垂直于x轴的直线满足条件， 此时l的斜率不存在，其方程为． 若斜率存在，设l的方程为， 即．由已知得，解得． 此时l的方程为． 综上，可得直线l的方程为或． （2）作图可得过点P与原点O的距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线，如图． 由，得，所以． 由直线方程的点斜式得，即． 所以直线是过点P且与原点O的距离最大的直线，最大距离为． （3）由（2）可知，过点P不存在到原点的距离超过的直线， 因此不存在过点P且到原点的距离为3的直线． 22．A 23．BD 24．C 25．或 【详解】点到直线：的距离为1，则， 解得：或. 故答案为：或 26．(1)或.(2)或. 【详解】（1）当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 此时到直线的距离为1，满足题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，即， 所以，，此时直线的方程为. 综上，直线的方程为或； （2）当过原点时，满足题意，可求出的方程为：，即. 当不过原点时，设的方程为：，把代入， 则有，，，此时的方程为：. 综上，直线的方程为：或. 27．B 28．D 29．(1)(2)或. 【详解】（1）联立直线方程组为，解得. 所以直线的交点坐标为. 因为直线与直线平行，设直线的方程为， 将交点坐标代入可求得. 所以直线的方程为. （2）由（1）知直线过点， 当直线的斜率不存在时，，此时点到该直线的距离为2，符合题意； 当直线的斜率存在时，设斜率为，则直线的方程为， 即，因为点到该直线的距离为2， 所以，化简得， 等式两边平方化简得，解得. 此时直线的方程为. 综上所述，直线的方程为或. 30．(1)(2)或 【详解】（1），，边所在直线斜率， 直线方程为：，即， 即边所在直线的一般式方程为：. （2），， 点到直线的距离， 在直线上，，即， ，解得：或， 当时，；当时，； 或. 题型四 点关于线对称问题 31． 【详解】设关于直线对称点坐标为， 则，解得，所以对称点为. 故答案为：. 32．B 33．(1)(2)(3) 【详解】（1）如图所示：设的边上的高为，边上的高为，    设：，：，联立得， 解得，所以垂心； （2）， 由“三条高线交于一点”可得：，所以， 因为，设所在直线方程为，代入解得：， 所以所在直线方程：，联立直线与的方程， 可得， 解得，所以，所以所在直线方程：， 整理后可得：.    （3）设关于直线：的对称点，则有， 且的中点在上，所以， 整理得，解得， 所以，所以到直线的距离为． 34． 【详解】设点关于直线的对称点为，则，解得， 所以点关于直线对称的点的坐标为. 故答案为： 35． 【详解】设关于直线的对称点为，关于轴的对称点为，与的交点即为，与轴的交点即为. 如图，两点之间线段最短可知，的长即为周长的最小值. 设，则， 解得，即， 关于轴的对称点为， 故周长的最小值为. 故答案为：.    36．D 37．CD 38． 【详解】设点，由点与点关于直线对称， 得，解得， 所以点的坐标为. 故答案为： 39．(1) (2) 因为，所以，即. 设，则，所以，即. 因为，所以点在轴上. 40．(1)(2) 【详解】（1）设直线的方程为，把点代入直线方程可得， 所以直线的方程为，联立，解得， 即点的坐标为. （2）设点关于直线的对称点为， 直线的斜率为，则直线的斜率为， 并且的中点在直线上， 即，解得，所以， ，所以直线的方程为，即. 题型五 直线关于直线对称 41．ACD 42．A 43． 【详解】如下图所示： 点关于轴的对称点为， 由题意可知，反射光线所在直线为直线，且该直线的斜率为， 故反射光线所在直线的方程为，即. 故答案为：. 44．B 45．B 46． 【详解】点关于直线的对称点为， 根据光线反射的性质知，反射光线所在的直线即为经过，Q的直线， 由直线点斜式方程得直线的方程为：， 化为 故答案为： 47．C 48． 【详解】设点关于直线的对称点为，则解得 所以．又点， 所以，直线的方程为， 由图可知，直线即为入射光线，所以化简得入射光线所在直线的方程为． 故答案为：. 49．(1)(2) 【详解】（1）因为直线与直线平行，直线的方程为， 故可设直线的方程为， 因为点在直线上， 所以， 所以， 所以直线的方程为 （2）设点关于直线的对称点为． 由题意得， 解得，所以点的坐标为， 所以反射光线所在直线斜率为， 直线方程为． 50．(1)(2) 【详解】（1）令，则，解得， 则，因为直线的斜率，则， 则直线的方程为，即. （2）取点，设其关于直线的对称点， 则，解得. 则点所在的直线的方程，即.    题型六 求到两点距离相等的直线方程 51．(1).(2)或. 【详解】（1）由，，得直线的斜率为， 因为是边上的高线，所以直线的斜率为， 而，所以直线的方程为，即. （2）由点､到直线的距离相等，得直线与边所在的直线平行或过边的中点， ①当直线与直线平行时，由，，知直线的斜率为， 所以直线的斜率为，而直线过点， 所以直线的方程为，即； ②当直线过边的中点时，由，，得边的中点为， 又，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. 52．(1)(2)或 【详解】（1）因为直线的方程为，所以直线的斜率为．因为，所以直线的斜率为． 因为直线过点，所以直线的方程为， 即． （2）点和到直线距离相等，分两种情况： ①直线，因为直线斜率， 故直线方程为，即． ②直线过中点．中点为，又直线经过点， 所以直线方程为． 综上，直线的方程为或． 53．D 54．(1)或(2)或 【详解】（1）由题意可知，直线与直线平行时或者经过线段的中点时符合题意； 直线的斜率为：，当直线与直线平行时，可设直线方程为， 故，，直线方程为； 线段的中点为，当经过线段的中点时，方程为，即. 综上，求直线的方程为或. （2）显然直线的斜率存在，设方程为， 令，得，令，得， 因为与坐标轴围成的三角形面积为2，所以， 解得或，即直线的方程为或. 55．(1)(2)或 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴边上的高的斜率为， ∴边上的高的方程为，即 （2）解：当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 此时两点到直线的距离相等，且等于，满足题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， ∵到直线的距离相等， ∴，即，解得， ∴直线的方程为， 综上，直线的方程为或 56．(1)(2)或． 【详解】（1）因为，所以边上的高所在直线的斜率为． 由于直线过点，所以的直线方程为，即． （2）因为点，到直线的距离相等，所以直线与平行或过线段的中点． ①当直线与平行时，因为，且过点， 所以的直线方程为，即． ②直线过线段的中点时，有， 所以的直线方程为，即． 综上所述：直线方程为或． 57．AC 58．C 59．B 60．AD 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 确定三角形·距离最值·对称六大典型问题 题型一 顶点坐标判断三角形形状 题型二 两点间的距离公式求函数最值 题型三 已知点到直线距离求参数 题型四 点关于线对称问题 题型五 直线关于直线对称 题型六 求到两点距离相等的直线方程 题型一 顶点坐标判断三角形形状 1．已知点及点； (1)若直线经过点且，求直线的一般式方程； (2)求证：是直角三角形. 【答案】(1) (2) 法一：由题设可知：直线的斜率为：， 直线的斜率为：， ， ， 所以是直角三角形. 法二：由题设可知：， ， ， ， ， 所以是直角三角形. 【详解】（1）由题设可知：直线的斜率； ∴直线的方程为：， ∴直线的一般式方程为：. （2）略 2．已知三条直线，，，设，，，则是（   ） A．以为直角顶点的等腰直角三角形 B．以为直角顶点的非等腰直角三角形 C．以为直角顶点的等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【分析】分别求出三条直线的斜率以及的坐标，进而可得出三条直线的位置关系及三角形三边之间的大小关系，即可得解. 【详解】由题意得， 所以， 所以，即， 联立，解得，即， 联立，解得，即， 联立，解得，即， 则， 所以， 所以是以为直角顶点的等腰直角三角形. 故选：A． 3．已知△的三个顶点为，，. (1)求证：△为直角三角形； (2)求边上的中线长及中线所在的直线方程. 【答案】(1)证明：由已知条件得， ,, 则, 所以△为直角三角形； (2) 【分析】（1）根据两点间距离公式求出,,的长度，可得，即证△为直角三角形； （2）边上的中线长为，求出中点的坐标，再根据点斜式求出边上的中线所在的直线方程. 【详解】（1）略 （2）设的中点坐标为，则边上的中线, 由中点坐标公式可得，，即的坐标为， 直线的斜率为， 所以边上的中线所在直线方程为，即. 4．已知，，，则三角形的面积为（    ） A．3 B．5 C．7 D．8 【答案】A 【分析】根据两点间的距离判定三角形为直角三角形，求解即可. 【详解】，, ， ，所以三角形为直角三角形， ， 故选：A. 5．已知三个顶点坐标分别为，，. (1)试判断的形状； (2)求边上的中线所在直线的方程. 【答案】(1)是以为直角的等腰直角三角形 (2) 【分析】（1）根据斜率公式与两点间的距离公式求出，，，，即可判断； （2）求出、的中点的坐标，再根据斜率公式求出，最后由点斜式求出直线方程，再化为一般式即可. 【详解】（1）因为，，， 所以的斜率，， 的斜率，， 则， 所以且，所以是以为直角的等腰直角三角形； （2）易求中点坐标，所以直线的斜率， 边上的中线为，化为一般式为． 6．已知的三个顶点的坐标是，，. (1)判断的形状； (2)求的面积. 【答案】(1)等腰直角三角形 (2)26 【分析】（1）由三角形的三个顶点的坐标分别求出三边长，再由勾股定理的逆定理能得到这个三角形是等腰直角三角形； （2）由三角形的面积公式即可计算得解． 【详解】（1）因为，，， 所以，， ， 所以， 所以是等腰直角三角形. （2）由（1）得. 7．已知的三个顶点是，，. (1)求边上的高所在直线的方程； (2)求的角平分线所在直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据垂直满足的斜率关系，即可由点斜式求解直线方程， （2）根据两点距离可得三角形为等腰三角形，进而得中点坐标，根据两点斜率公式即可求解斜率. 【详解】（1）设边上的高所在直线的斜率为，直线的斜率， 所以，所以， 故所求直线方程为，即. （2）由题意得，， 所以，则为等腰三角形， 的中点为，故， 由等腰三角形的性质知，为的平分线， 故所求直线方程为，即.    8．已知的三个顶点分别为，，． (1)求边上的中线的长； (2)证明：为等腰直角三角形． 【答案】(1) (2)答案及解析 【分析】（1）首先求出线段的中点的坐标，利用平面直角坐标系中两点的距离公式计算可得； （2）利用距离公式求出，，，再由勾股定理逆定理证明即可. 【详解】（1）因为，，所以线段的中点的坐标为， 又，则． （2）因为， ， ， 因为，且， 所以为等腰直角三角形． 9．（多选）已知顶点坐标是，则下列结论正确的是（    ） A．若为直角三角形，则或 B．若为锐角三角形，则 C．若为钝角三角形，则或 D．若为等腰三角形，则 【答案】AB 【分析】画出图像，逐一分析，即可. 【详解】解：如图所示， 当点与D、F重合时，为直角三角形，此时或，故A对， 当点介于D、F之间时，为锐角三角形，此时，故B对， 当点于位于D点左侧且不与B点重合时，为钝角三角形，此时且，故C错误， 当点与E、F、G重合时，为等腰三角形，此时或，故D错误， 故选：AB. 10．如图，已知的三个顶点分别为，，． (1)试判断的形状； (2)设点D为BC的中点，求BC边上中线的长． 【答案】(1)直角三角形； (2). 【分析】(1)利用两点间距离公式直接计算三角形三边长即可判断作答. (2)求出点D坐标，再用两点间距离公式计算作答. 【详解】（1）根据两点间的距离公式，得，， ，，即， 所以是直角三角形. （2）依题意，线段BC的中点，， 所以BC边上中线的长为. 题型二 两点间的距离公式求函数最值 11．函数的最大值是__________. 【答案】 【分析】根据题意，的几何意义为点到点与两点的距离之差，故，再根据距离公式求解即可. 【详解】， 在平面直角坐标系中，设点，，. 则，当点在线段的延长线上时，等号成立， ，， 由，有，即，解得， 其中时，，不合题意； 当时， ，满足点在线段的延长线上， 所以时，. 12．已知、，则函数的最小值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】将函数看作点和点与的距离之和，可得，由此求得函数的最小值. 【详解】函数的几何意义是点和点与的距离的和． 由不等式，可得当，，三点共线，且点在线段上时，等号成立． 此时取得最小值，最小值为． 故选：A． 13．数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.函数下列结论正确的是（    ） A．的最小值为6 B．的最小值为 C．方程6有两解 D．方程7无解 【答案】B 【分析】将函数变形为，分析出其几何意义是轴上的动点到两个定点和的距离之和，求出的最小值，即可判断A，B，C，D. 【详解】因为，所以的几何意义是轴上的动点到两个定点和的距离之和，，作点关于轴的对称点，，当，，三点共线时，取得最小值， ，所以，故A错误，B正确， 因为，所以无解，故C错误，因为，所以有两解，故D错误. 故选：B. 14．已知点，点，当变化时，的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据两点间距离公式将问题转化为关于参数的二次函数，再利用二次函数的性质求最小值. 【详解】已知点和点，根据两点间距离公式可得： ， 故当时，. 故选：A 15．已知，是正数，且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】从中解出，代入得到，则表示点到点的距离与点到点的距离之和，故的最小值就是的值，利用两点间距离公式求解即可得解. 【详解】是正数，，，，，， ， 表示点到点的距离与点 到点的距离之和， 的最小值就是的值，且， 的最小值即的最小值为. 故选：A.    16．某同学在研究函数的性质时，联想到两点间的距离公式，从而将函数变形为，则的最小值为___________；类比地，已知函数，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】利用两点间的距离公式，结合几何意义求出的最小值；变形，再利用几何意义求出其最小值. 【详解】由，得是坐标平面内点与 点距离的和，则，当且仅当重合时取等号， 所以的最小值为；    由，得是坐标平面内点与 点距离的和，则，当且仅当为线段与轴的交点时取等号， 所以的最小值为.    故答案为：； 17．著名数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点之间的距离.结合上述观点，可得的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将转化为轴上一点到点与到点的距离之差.再结合进行求解. 【详解】， 可转化为轴上一点到点与到点的距离之差.，当且仅当点是射线与轴的交点时取等号， 所以的最大值为. 故选：C 18．函数的最小值为（   ） A．5 B． C． D． 【答案】B 【分析】由，则可以看作是x轴上的动点分别与两点，的距离之和，结合图形分析即可求解. 【详解】由题可得的定义域为，又，所以可以看作是x轴上的动点分别与两点，的距离之和，如图，点关于x轴对称的点为，则当与，三点共线时，距离之和最小，则． 故选：B 19．若函数存在零点，求实数a的取值范围. 【答案】 【分析】由题意可得，结合两点坐标求距离公式和图形可得，即可求解. 【详解】由题意得， ； 表示点与点的距离， 表示点与点的距离， 如图， 结合图象可得，， 即， 故实数的取值范围是． 20．已知、，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】记点、、、，，可得出，数形结合可得出所求代数式的最小值. 【详解】记点、、、，，如下图所示： 易知四边形是边长为的正方形， 所以，，，， 所以， 当且仅当点在线段上时，等号成立， ， 当且仅当点在线段上时，等号成立， 所以 ， 当且仅当点为线段、的交点时，等号成立， 故的最小值为. 故选：C. 题型三 已知点到直线距离求参数 21．已知点． (1)求过点P且与原点的距离为2的直线l的方程． (2)求过点P且与原点的距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？ (3)是否存在过点P且与原点的距离为3的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或 (2)，最大距离为 (3)不存在 【分析】（1）根据条件设出方程，再根据点到直线的距离公式，求出参数． （2）过点P与原点O的距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线，由此求出直线斜率和方程，再由点到直线的距离公式求出最大距离； （3）由（2）可知，过点P不存在到原点的距离超过的直线，由此可得出结论. 【详解】（1）过点P的直线l与原点的距离为2，而点P的坐标为，显然，过点且垂直于x轴的直线满足条件， 此时l的斜率不存在，其方程为． 若斜率存在，设l的方程为， 即．由已知得，解得． 此时l的方程为． 综上，可得直线l的方程为或． （2）作图可得过点P与原点O的距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线，如图． 由，得，所以． 由直线方程的点斜式得，即． 所以直线是过点P且与原点O的距离最大的直线，最大距离为． （3）由（2）可知，过点P不存在到原点的距离超过的直线， 因此不存在过点P且到原点的距离为3的直线． 22．已知直线经过定点且与直线垂直．若点和点到直线的距离相等，则实数的值为（   ） A．1或 B．1或 C． D．1 【答案】A 【分析】设直线的方程为，根据所过的点得，再根据点到直线的距离公式求出或. 【详解】设直线的方程为，因为直线经过定点， 故即，故直线的方程为， 而点和点到直线的距离相等，故， 所以，所以或，A正确. 23．（多选）已知两点到直线的距离相等，则a的值可以为（   ） A． B．0 C． D．2 【答案】BD 【分析】利用点到直线的距离公式为，再解方程即可求解. 【详解】由到直线距离相等可得 ， 即，分两种情况： ①，解得， 此时斜率为，直线斜率为，符合平行条件，距离相等； ②，解得， 此时中点为，代入直线得，即，符合条件； 所以和都满足题意. 24．已知，两点到直线的距离相等，则（    ） A．0 B．2 C．0或2 D．或2 【答案】C 【分析】利用点到直线公式结合题目信息列式可得答案. 【详解】点到直线的距离为， 点到直线的距离为， 由题意得，解得或. 故选：C. 25．已知点到直线：的距离为1，则＝________． 【答案】或 【分析】利用点到直线的距离公式求解. 【详解】点到直线：的距离为1，则， 解得：或. 故答案为：或 26．已知直线经过点. (1)若点到直线的距离为1，求直线的方程； (2)若直线在轴上的截距等于在轴上的截距的5倍，求直线的方程. 【答案】(1)或. (2)或. 【分析】（1）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，验证是否满足题意，当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，即，利用点到直线的距离公式即可求解； （2）分过原点和不过原点两种情况讨论，当不过原点时，设的方程为：，代入点解出即可求解. 【详解】（1）当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 此时到直线的距离为1，满足题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，即， 所以，，此时直线的方程为. 综上，直线的方程为或； （2）当过原点时，满足题意，可求出的方程为：，即. 当不过原点时，设的方程为：，把代入， 则有，，，此时的方程为：. 综上，直线的方程为：或. 27．已知点到直线的距离为，则等于（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】由点到直线的距离公式，即得解 【详解】由点到直线的距离公式得，即， 又，所以． 故选：B. 28．已知两点到直线的距离相等，则实数的值为（    ） A．0 B． C．0或 D．或 【答案】D 【分析】 利用点到直线的距离公式列方程即可得出． 【详解】由题意可得，即， 解得或 故选：D. 29．直线经过两条直线和的交点. (1)若直线与直线平行，求直线的方程； (2)若点到直线的距离为2，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）先求出直线的交点坐标，然后根据两直线平行设出直线的方程，最后将交点坐标代入求出参数值即可求出直线的方程. （2）考虑直线斜率不存在和存在两种情况，结合点到直线的距离公式即可求出符合题意的直线方程. 【详解】（1）联立直线方程组为，解得. 所以直线的交点坐标为. 因为直线与直线平行，设直线的方程为， 将交点坐标代入可求得. 所以直线的方程为. （2）由（1）知直线过点， 当直线的斜率不存在时，，此时点到该直线的距离为2，符合题意； 当直线的斜率存在时，设斜率为，则直线的方程为， 即，因为点到该直线的距离为2， 所以，化简得， 等式两边平方化简得，解得. 此时直线的方程为. 综上所述，直线的方程为或. 30．在平面直角坐标系中，已知的三个顶点，，. (1)求边所在直线的一般式方程； (2)若的面积等于，且点在直线上，求点的坐标. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用两点坐标可得直线斜率，由此可写出直线点斜式方程，整理可得一般式方程； （2）根据三角形面积和长可求得点到直线的距离，利用点到直线距离公式可构造方程求得结果. 【详解】（1），，边所在直线斜率， 直线方程为：，即， 即边所在直线的一般式方程为：. （2），， 点到直线的距离， 在直线上，，即， ，解得：或， 当时，；当时，； 或. 题型四 点关于线对称问题 31．点关于直线的对称点为_____. 【答案】 【分析】根据一条直线将点与对称点的连线相互垂直平分列出方程组，进而求得结果. 【详解】设关于直线对称点坐标为， 则，解得，所以对称点为. 故答案为：. 32．直线关于直线对称的直线方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 利用关于直线的对称点为求解. 【详解】设为所求直线上的任意一点， 关于直线的对称点为， 则在直线上， 则，整理得到即为所求. 故选：B. 33．已知在中，边上的高所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为，点的坐标为． (1)求垂心的坐标； (2)求所在的直线方程； (3)若关于直线：的对称点为，求点到直线的距离． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）联立、边上高所在的直线方程，解方程组得到垂心的坐标. （2）利用垂心性质得以确定的斜率，再通过与边上高垂直求出的方程，联立与边上的高得点坐标，最后用点斜式写出的直线方程. （3）根据对称点的垂直关系与中点在对称轴上的性质列方程组求出的坐标，再用点到直线的距离公式计算到的距离. 【详解】（1）如图所示：设的边上的高为，边上的高为，    设：，：，联立得， 解得，所以垂心； （2）， 由“三条高线交于一点”可得：，所以， 因为，设所在直线方程为，代入解得：， 所以所在直线方程：，联立直线与的方程， 可得， 解得，所以，所以所在直线方程：， 整理后可得：.    （3）设关于直线：的对称点，则有， 且的中点在上，所以， 整理得，解得， 所以，所以到直线的距离为． 34．已知点，直线，则点A关于直线l对称的点的坐标为_______． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用轴对称的意义列式求解. 【详解】设点关于直线的对称点为，则，解得， 所以点关于直线对称的点的坐标为. 故答案为： 35．在中，顶点，点B在直线上，点C在x轴上，则周长的最小值为_________. 【答案】 【分析】折线段之和最值问题，利用对称，将直线同侧折线段化为直线异侧两定点间的折线段之和，由两点之间线段最短可知. 【详解】设关于直线的对称点为，关于轴的对称点为，与的交点即为，与轴的交点即为. 如图，两点之间线段最短可知，的长即为周长的最小值. 设，则， 解得，即， 关于轴的对称点为， 故周长的最小值为. 故答案为：.    36．设直线，一束光线从原点出发沿射线向直线射出，与交于点，经反射后与轴交于点，再次经轴反射后与轴交于点.若光线所经长度，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设关于轴的对称点为，先求出点关于直线的对称点的坐标，再根据光学性质得到四点共线，由求出的坐标，进而求出直线与直线的交点的坐标，即可求出的值. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则得，即. 设关于轴的对称点为，由光学性质可知，四点共线， 所以，， 又因为，所以，解得或， 故或， ①当时， 此时直线的斜率为，直线的方程为， 由，解得，所以直线与直线的交点， 此时，不符合题意，舍去； ②当时， 此时直线的斜率为，直线的方程为， 由，解得，所以直线与直线的交点， 此时. 综上，的值为. 故选：D. 37．（多选）已知直线，则（   ） A．的倾斜角为 B．与两坐标轴围成的三角形面积为 C．原点O到的距离为1 D．原点O关于的对称点为 【答案】CD 【分析】对于A：根据直线方程可得斜率，即可得倾斜角；对于B：先求直线与两坐标轴的交点坐标，计算面积即可；对于C：利用点到直线的距离公式运算求解；对于D：设原点关于的对称点为，根据垂直关系以及中点在上，列式求解即可． 【详解】对于A：因为直线的斜率为，设倾斜角为， 则，所以，故A错误； 对于B：因为直线与两坐标轴的交点分别为， 所以与两坐标轴围成的三角形面积为，故B错误； 对于C：原点O到的距离，故C正确； 对于D：设原点O关于的对称点为， 则，解得， 所以原点O关于的对称点为，故D正确， 故选：CD． 38．已知点与点关于直线对称，则点的坐标为_____. 【答案】 【分析】设出点的坐标，再利用轴对称列出方程求解. 【详解】设点，由点与点关于直线对称， 得，解得， 所以点的坐标为. 故答案为： 39．在平面直角坐标系中，已知点，直线，且点在直线上，． (1)求直线的方程； (2)若点与点关于直线对称，求证：点在轴上． 【答案】(1) (2) 因为，所以，即. 设，则，所以，即. 因为，所以点在轴上. 【分析】（1）由，求得直线的斜率，利用点斜式求出方程； （2）联立直线与直线的方程求出点，利用中点坐标公式求解. 【详解】（1）因为，即，所以直线的斜率为. 设直线的斜率为，因为， 所以，所以. 所以直线的方程，即. （2）略 40．在中，的平分线所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为，已知点坐标为. (1)求点的坐标； (2)求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据垂直关系求出的直线方程，然后与平分线所在的直线联立即可求解； （2）根据对称关系求出点关于平分线所在直线的对称点，然后根据点的对称点和点坐标即可求解. 【详解】（1）设直线的方程为，把点代入直线方程可得， 所以直线的方程为，联立，解得， 即点的坐标为. （2）设点关于直线的对称点为， 直线的斜率为，则直线的斜率为， 并且的中点在直线上， 即，解得，所以， ，所以直线的方程为，即. 题型五 直线关于直线对称 41．（多选）下列说法中错误的有（    ） A．点斜式 可以表示任何直线 B．直线在y轴上的截距为 C．直线关于对称的直线方程是 D．点到直线的最大距离为 【答案】ACD 【分析】根据直线点斜式方程，斜截式方程的适用范围，结合直线关于直线的对称直线的求法，以及直线恒过定点的处理方法，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】对A：当直线斜率不存在时，不能用该方程表示，故A错误； 对B：在轴上的截距为，故B正确； 对C：点关于的对称点为，故直线关于对称的直线方程是，故C错误； 对D：，即，其恒过定点， 又， 故点到直线的最大距离为，故D错误. 42．一条光线沿直线入射到直线后反射，则反射光线所在的直线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由反射光线所在直线与直线关于直线对称，利用对称性求出在反射光线上的两个点坐标，再由点斜式写出方程，即可得. 【详解】由题意，反射光线所在直线与直线关于直线对称， 联立，可得，则它们的交点为， 又点在直线上，令点关于的对称点为， 所以，可得，则点在反射光线所在直线上， 综上，点、均在反射光线所在直线上， 所以，所求直线为，即. 故选：A 43．已知光线通过点，经轴反射，反射光线通过点，则反射光线所在直线的方程是______. 【答案】 【分析】求出点关于轴的对称点的坐标，可知反射光线所在直线为直线，求出该直线的方程即可. 【详解】如下图所示： 点关于轴的对称点为， 由题意可知，反射光线所在直线为直线，且该直线的斜率为， 故反射光线所在直线的方程为，即. 故答案为：. 44．一条沿直线传播的光线经过点，且在轴上的截距为，然后被直线反射，则反射光线所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出入射点坐标，以及关于直线对称的点的坐标，再根据反射光线经过所求两点即可求解反射光线所在直线方程． 【详解】入射光线所在直线的方程为，即， 由解得，即入射点的坐标为， 设关于直线对称的点为， 则，解得，即， 因为反射光线所在直线经过入射点和点，所以反射光线所在直线的斜率为， 所以反射光线所在直线的方程为，即． 故选：B． 45．光线从点出发，经过直线反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出点关于直线的对称点，然后结合点可得直线方程. 【详解】设点关于直线的对称点为，则， 解得，即点，故所求直线的斜率为， 所以，所求直线的方程为，即. 故选：B 46．一条光线从点射出，经过直线反射后过点，则反射光线所在直线的方程为__________. 【答案】 【分析】先求出点关于直线的对称点为，再利用点斜式方程即可得答案. 【详解】点关于直线的对称点为， 根据光线反射的性质知，反射光线所在的直线即为经过，Q的直线， 由直线点斜式方程得直线的方程为：， 化为 故答案为： 47．已知点，，，，平面上仅在线段，，所在位置分别放置一个双面镜．现有一道光束沿向量的方向从线段上某点（不含端点）射入，若光束恰好依次在，，各反射一次后从线段上某点射出，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设初始入射点设，确定入射点和反射点的坐标从而利用直线的点斜式方程得入射与反射直线，利用点在线段，，，上从而可得对应坐标范围，建立的不等关系，根据的范围得的取值范围即可. 【详解】设线段上的入射点为，依次在，，上的反射点为，最后射出的点为 设关于对称的点为，关于对称的点为， 设，且，则， 由可得，所以直线， 由对称性可得，所以直线， 则，所以直线， 故，所以， 故， 则由题可得（*）， 又，所以， ，所以 所以不等式组（*）解得，因为， 函数在上均为增函数，所以， 故的取值范围是. 故选：C. 48．一条光线经过点射到直线上，被反射后经过点，则入射光线所在直线的方程为______． 【答案】 【分析】先根据点关于直线对称得出，又点，应用斜率公式求出斜率，最后点斜式写出直线方程即可. 【详解】设点关于直线的对称点为，则解得 所以．又点， 所以，直线的方程为， 由图可知，直线即为入射光线，所以化简得入射光线所在直线的方程为． 故答案为：. 49．已知点 ，直线 . (1)求过点 ，且与直线 平行的直线 的方程； (2)光线通过点 ，经直线 反射，其反射光线通过点 ，求反射光线所在直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平行设出直线方程，再根据点在线上求参即可； （2）设点关于直线的对称点为，再根据斜率及中点在直线上求出，最后应用两点式写出直线方程. 【详解】（1）因为直线与直线平行，直线的方程为， 故可设直线的方程为， 因为点在直线上， 所以， 所以， 所以直线的方程为 （2）设点关于直线的对称点为． 由题意得， 解得，所以点的坐标为， 所以反射光线所在直线斜率为， 直线方程为． 50．已知直线：，：，直线与交于点 (1)求过点且与垂直的直线的方程； (2)点是直线上异于的一点，若为的角平分线，求点所在的直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出，再写出点斜式方程即可； （2）取点，求出其关于直线的对称点坐标，再利用点斜式方程即可. 【详解】（1）令，则，解得， 则，因为直线的斜率，则， 则直线的方程为，即. （2）取点，设其关于直线的对称点， 则，解得. 则点所在的直线的方程，即.    题型六 求到两点距离相等的直线方程 51．已知的三个顶点分别是，，. (1)求边上的高线所在直线的方程； (2)若直线过点，且点､到直线的距离相等，求直线的方程. 【答案】(1). (2)或. 【分析】（1）求出直线的斜率，进而求出直线的斜率及方程. （2）根据给定条件，求直线与边所在的直线平行或过边的中点的直线方程即可. 【详解】（1）由，，得直线的斜率为， 因为是边上的高线，所以直线的斜率为， 而，所以直线的方程为，即. （2）由点､到直线的距离相等，得直线与边所在的直线平行或过边的中点， ①当直线与直线平行时，由，，知直线的斜率为， 所以直线的斜率为，而直线过点， 所以直线的方程为，即； ②当直线过边的中点时，由，，得边的中点为， 又，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. 52．求以下直线方程 (1)已知直线若直线过点，且，求直线的方程； (2)已知直线经过点，且点和点到直线的距离相等，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用两条直线垂直的斜率关系，结合直线的点斜式方程求解即可； （2）点和到直线距离相等，分两种情况：①直线，②直线过中点，分别求出直线方程即可. 【详解】（1）因为直线的方程为，所以直线的斜率为．因为，所以直线的斜率为． 因为直线过点，所以直线的方程为， 即． （2）点和到直线距离相等，分两种情况： ①直线，因为直线斜率， 故直线方程为，即． ②直线过中点．中点为，又直线经过点， 所以直线方程为． 综上，直线的方程为或． 53．已知、两点到直线的距离相等，则的值为（ ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据题意结合点到直线的距离公式运算求解即可. 【详解】因为、两点到直线的距离相等， 则，即， 可得或，解得或. 故选：D. 54．求下列直线方程： (1)已知直线过点，且与点，点的距离相等，求直线的方程． (2)已知直线经过点，且与坐标轴围成的三角形面积为2，求直线的方程． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）利用距离相等得出直线与直线平行或经过的中点，分别求解方程即可； （2）设出直线方程，表示出三角形的面积，根据面积可得答案. 【详解】（1）由题意可知，直线与直线平行时或者经过线段的中点时符合题意； 直线的斜率为：，当直线与直线平行时，可设直线方程为， 故，，直线方程为； 线段的中点为，当经过线段的中点时，方程为，即. 综上，求直线的方程为或. （2）显然直线的斜率存在，设方程为， 令，得，令，得， 因为与坐标轴围成的三角形面积为2，所以， 解得或，即直线的方程为或. 55．在中，. (1)求边上的高的方程； (2)若直线经过点，且到直线的距离相等，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先求直线的斜率，进而得，再根据点斜式方程求解即可； （2）分直线的斜率不存在与存在两种情况分别讨论求解即可; 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴边上的高的斜率为， ∴边上的高的方程为，即 （2）解：当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 此时两点到直线的距离相等，且等于，满足题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， ∵到直线的距离相等， ∴，即，解得， ∴直线的方程为， 综上，直线的方程为或 56．已知的三个顶点是，，． (1)求边上的高所在直线的方程； (2)若直线过点，且点，到直线的距离相等，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或． 【分析】（1）求出直线的斜率，则可求出直线的斜率，再利用点斜式可求出直线的方程； （2）由题意分直线与平行和直线通过的中点两种情况求解. 【详解】（1）因为，所以边上的高所在直线的斜率为． 由于直线过点，所以的直线方程为，即． （2）因为点，到直线的距离相等，所以直线与平行或过线段的中点． ①当直线与平行时，因为，且过点， 所以的直线方程为，即． ②直线过线段的中点时，有， 所以的直线方程为，即． 综上所述：直线方程为或． 57．（多选）已知直线过原点，且点，到直线的距离相等，则直线的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】先分析题意设直线为，再利用两点到直线的距离相等列式计算求得参数，即得结果. 【详解】设所求直线的方程为，即， 因为点，到直线的距离相等， 所以， 解得或， 即所求直线方程为或， 故选：AC． 58．已知，两点到直线l：的距离相等，则a的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】法一：由点线距离公式列方程求参数值；法二：两点到直线的距离相等，则直线与两定点所在直线平行，或直线过以两定点为端点的线段的中点，列方程求参数值. 【详解】法一：因为点，到直线l：的距离相等， 所以，即， 化简得，解得或； 法二：若，由，，得直线AB的斜率为，又直线l的斜率为，故； 若在两侧，线段AB的中点，代入直线l：，得，则． 经检验，或均符合题意. 故选：C 59．已知两点和到直线距离相等，则值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【详解】根据点到直线的距离公式列出等式，由此能求出． 【解答】两点和到直线距离相等， ，解得，或． 故选：B． 60．（多选）已知平面内的点P异于原点，且点P的坐标满足关系式，若这样的点P恰有三个，则实数t的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】化简得到，然后利用点到直线的距离公式对进行分类讨论即可求解. 【详解】由已知得，整理得， 问题可看成有且仅有三条直线满足和到直线(不过原点)的距离t相等， 又， ①当，此时易得符合题意的直线l为线段的垂直平分线以及与直线平行的且距离为2.5的两条直线，符合题意，故A正确；    ②当时，有4条直线l会使得点和到它们的距离相等， 注意到l不过原点，所以当其中一条直线过原点时，会作为增根被舍去． 设点A到l的距离为d， （i）作为增根被舍去的直线l，过原点和A，B的中点，其方程为，此时，符合，即D正确；    （ii）作为增根被舍去的直线l，过原点且与平行，其方程为，此时，不符合，即C错误； ③当，只有两条直线使得点和到它们的距离相等， 不符合题意； 综上，AD正确. 故选：AD. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $