专题02 定点·面积·交点系六大典型问题（高效培优专项训练）数学人教A版高二选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦直线交点相关六大典型问题，以题型为载体构建从定点判断到参数求解再到综合应用的递进式训练体系，强化运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |直线过定点问题|10题|含线段相交、恒过定点证明及应用|从特殊到一般，通过参数分离法培养抽象能力| |方程组解判断位置关系|10题|含无解、无穷解及位置关系判定|结合代数运算与几何意义，发展推理能力| |交点个数求参数|10题|含直线与线段交点及参数范围|通过数形结合，强化数学建模意识| |交点坐标求参数|10题|含交点位置、中点及三角形条件|综合方程求解与几何性质，提升运算能力| |三线围三角形问题|10题|含平行、共点及面积计算|整合位置关系与图形构成，培养空间观念| |交点系方程及应用|10题|含定点证明、最短弦及面积最值|运用参数方程思想，发展创新意识|

专题02 定点·面积·交点系六大典型问题 题型一 直线过定点问题 题型二 由方程组解的个数判断直线位置关系 题型三 根据交点个数求参数 题型四 根据直线的交点坐标求参数 题型五 三线能围成三角形的问题 题型六 直线交点系方程及应用 题型一 直线过定点问题 1．已知点，若直线与线段相交(包含端点的情况)，则实数的取值范围是（    ） A． B． 或 C． D．或 2．若直线与点构成的线段相交，则的取值范围是_________. 3．在中，点在线段BC上，且，过点的直线分别交直线于不同的两点．若．直线恒过定点，则点的坐标为__________． 4．直线所过定点为______ 5．（多选）已知直线，，则（ ） A．恒过点 B．若，则 C．若，则 D．当时，不经过第三象限 6．（多选）已知过定点A的直线与过定点B的直线相交于点，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 7．已知点，，直线与线段AB总有交点，则实数k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．平面直角坐标系中的直线系方程：经过的定点是（    ） A． B． C． D． 9．直线（其中）必经过的点是（   ） A． B． C． D． 10．已知直线：恒过点，为坐标原点. (1)求点的坐标； (2)当点到直线的距离最大时，求直线的方程； 题型二 由方程组解的个数判断直线位置关系 11．若关于，的方程组无解，则实数为（   ） A． B．3 C．3或 D．1或 12．（多选）已知与是直线（k为常数）上两个不同的点，则关于和的交点情况说法错误的是（   ） A．无论k、M、N如何，总是无交点 B．存在k、M、N使之无交点 C．无论k、M、N如何，总是唯一交点 D．存在k、M、N使之有无穷多交点 13．判断下列各组中直线的位置关系，若相交，求出交点的坐标： (1)，； (2)，； (3)，． 14．写出使得关于的方程组无解的一个的值为______.（写出一个即可） 15．曲线与的交点的情况是（    ） A．最多有两个交点 B．两个交点 C．一个交点 D．无交点 16．若关于，的方程组有无穷多组解，则的值为______ 17．（多选）(多选题)与直线2x－y－3＝0相交的直线方程是（    ） A．y＝2x＋3 B．y＝－2x＋3 C．4x－2y－6＝0 D．4x＋2y－3＝0 18．（多选）已知集合，集合，且，则（    ） A．2 B． C． D． 19．设为不同的两点，直线，以下命题中正确的序号为_________． （1）不论为何值，点都不在直线上 （2）若，则过、的直线与直线平行； （3）若，则直线经过的中点 （4）若，则点、在直线的同侧且直线与线段的延长线相交； 20．解关于.的一元二次方程组，并对解的情况进行讨论. 题型三 根据交点个数求参数 21．直线与线段没有公共点，其中，，则实数b的取值范围是______. 22．已知两条直线， (1)当为何值时，与相交; (2)与是两条不同直线，经过定点，当也经过点时，求的值. 23．（多选）已知集合，集合，且，则（    ） A． B． C． D． 24．若的图象与直线有两个不同的交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 25．（多选）若与的图形有两个交点，则的取值可能为（    ） A．1 B．0 C．2 D．3 26．已知线段AB两端点的坐标分别为和，若直线与线段AB有交点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 27．若与的图形有两个交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 28．已知关于的方程组有唯一解，则实数a的取值范围是__________. 29．设三条不同的直线：，，，则它们相交于一点的充分必要条件为____________. 30．设，若直线与线段相交，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 题型四 根据直线的交点坐标求参数 31．两直线与轴相交且能构成三角形，则满足的条件是__________. 32．若直线与的交点在第二象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 33．（多选）（多选）若三条直线，，能围成一个三角形，则的值不可能是（     ） A． B．1 C． D． 34．已知直线. (1)求直线过定点的坐标； (2)若直线被两平行直线：与：所截得的线段的中点恰好在直线上，求的值. 35．已知直线，直线和． (1)求证：直线恒过定点； (2)设（1）中的定点为与的交点分别为，若恰为的中点，求． 36．已知三条直线，，. (1)若，，交于一点，求实数的值； (2)若，，可以围成一个三角形，求实数的取值范围. 37．在中，点A的坐标为,边的中线所在的直线方程为，边的高线所在的直线方程为，则点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 38．已知平面直角坐标系中，，，， (1)若直线与直线平行，求的值； (2)若线段与线段有公共点，求的取值范围 39．（多选）已知直线：，：，：，则下列判断正确的是（   ） A．的斜率为2 B．若，则 C．若，则 D．若，，相交于一点，则 40．（多选）已知直线，则（    ） A．若，则 B．若，则或 C．若与相交于点，则 D．若，则在两坐标轴上的截距相等 题型五 三线能围成三角形的问题 41．已知直线与． (1)当时，求直线与轴围成的三角形的面积； (2)讨论直线与的位置关系． 42．已知两直线，． (1)求过直线交点P，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程； (2)若直线与直线能构成三角形，求实数a的取值范围． 43．两直线与轴相交且能构成三角形，则满足的条件是_____． 44．（多选）下列四个命题中正确的是（    ） A．过点，且在轴和轴上的截距互为相反数的直线方程为 B．若直线和以为端点的线段相交，则实数的取值范围为或 C．若三条直线不能构成三角形，则实数所有可能的取值组成的集合为 D．若直线沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线的斜率为 45．（多选）下面三条直线，，不能构成三角形，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D．4 46．已知直线． (1)求证：直线经过一个定点； (2)若直线交轴的正半轴于点，交轴的正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程． 47．在下列三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答.①垂直于直线；②平行于直线；③截距相等问题：直线l经过两条直线和的交点，且________. (1)求直线l的方程； (2)直线l不过坐标原点O，且与x轴和y轴分别交于两点，求的面积. 48．（多选）（多选）平面上有三条直线，将平面划分为六个部分，则实数的所有可能取值为（    ） A． B． C． D．1 49．（多选）已知三条直线，，能构成三角形，则实数m的取值可能为（    ） A．2 B． C． D． 50．已知三条直线：，：，：． (1)若，且过点，求a、b的值； (2)若，且、、三条直线能围成三角形，求a的取值范围． 题型六 直线交点系方程及应用 51．（1）已知两直线，求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； （2）已知直线过点，且交坐标轴正半轴于两点，当的面积最小时，求的周长. 52．直线经过直线的交点，且与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，求直线的方程. 53．设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 54．已知直线，圆. （1）求证：直线过定点，并求出点的坐标； （2）若直线与圆交于，两点，当弦长最短时，求此时直线的方程. 55．已知直线，圆的方程为：，则直线恒过定点______________；若直线与圆相较于，两点，则弦长度的最小值______________； 56．求经过点和两直线和的交点的直线方程． 57．已知直线的方程是，则对任意的实数，直线一定经过（    ）. A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 58．求过直线和的交点，且斜率为3的直线方程． 59．若直线l经过两直线和的交点，且斜率为，则直线l的方程为______． 60．已知直线． (1)求证：直线过定点； (2)过点作直线使直线与两负半轴围成的三角形的面积等于4，求直线的方程． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 定点·面积·交点系六大典型问题 题型一 直线过定点问题 题型二 由方程组解的个数判断直线位置关系 题型三 根据交点个数求参数 题型四 根据直线的交点坐标求参数 题型五 三线能围成三角形的问题 题型六 直线交点系方程及应用 题型一 直线过定点问题 1．D 2．或 【详解】直线过定点，如图，    由，， 由直线与线段相交，可得的取值范围是或. 3． 【详解】连接，如图所示. 因为，所以， 所以. 因为，所以. 因为，，三点共线，所以，则. 则为， 即， 令，解得，则点的坐标为. 4． 【详解】， 因为直线恒过定点， 所以有， 因此该直线恒过点. 故答案为： 5．BD 6．AC 7．B 8．C 9．C 10．(1)；(2). 【详解】（1）直线的方程化为，令，解得， 所以点的坐标为. （2）由（1）知直线恒过定点，当且仅当时，点到直线的距离最大， 而直线的斜率，则直线的斜率， 所以直线的方程为，即. 题型二 由方程组解的个数判断直线位置关系 11．B 12．ABD 13．(1)相交，交点坐标为 (2)平行 (3)重合 【详解】（1）由，解得， 因此直线和相交，交点坐标为． （2）因为，， 由， 得，矛盾， 由此可知方程组无解，因此直线与平行． （3）由， 得， 说明方程②是方程①的倍，方程①的解都是方程②的解． 因此直线与重合． 14．，3，（写出一个即可） 【详解】显然，当时，不表示直线，无解，故方程组无解； 当时，由方程组可看作求两直线（）与的交点，则方程组无解，即直线无交点， 若两直线平行，则，解得. 若两直线不平行时，过点，即，解得或， 此时，不过点，方程组无解. 综上，的取值为. 故答案为：，3，（写出一个即可） 15．A 16．4 【详解】若方程组有无穷多组解， 即两条直线重合,即 , 则 故答案为：4 17．BD 18．AD 19．（1）（2）（3）（4） 【详解】（1）知：，故点都不在直线上； （2）知：，即与直线l的斜率相等，由（1）结论可知过、的直线与直线平行；若时，即与直线都平行于y轴，故平行； （3）知：，令中点为，故有，则直线经过的中点； （4）知：即的符号相同，即、在直线的同侧，而，即、与直线的距离不同，故直线与线段的延长线相交； 故答案为：（1）（2）（3）（4） 20．，无数个解；，无解；且，. 【详解】（1）当时，方程组有无数个解， 解得； （2）当时，方程组无解， 解得； （3）当时，方程组只有一组解为， 解得且， 综上，，无数个解；，无解；且，. 题型三 根据交点个数求参数 21． 【详解】由题可知，当直线经过点时， 当直线经过点时， 当直线与线段没有公共点， 则或. 故答案为：. 22．(1)，且，且(2) 【详解】（1）依题意，得， 得， 得，且，且． （2）， 得，得， 得过定点，又因为也经过点， 得，得． 当时，与重合，故舍去， 故． 23．BD 24．B 25．CD 26．C 27．A 28． 【详解】由方程组中的两个方程对应两条直线， 则方程组的解就是两直线的交点， 要使得两直线只有一个交点，则满足， 即，解得. 故答案为：. 29． 【详解】设c=a+b+1，设三条直线相交于点(x，y)，则有， 三式相加可得：， 即：， 据此有：，则：. 反之，当时，方程组有解，即三条直线相交于一点. 故答案为： ． 30．C 题型四 根据直线的交点坐标求参数 31．且 【详解】由得：， 联立，得， 所以直线过定点， ，不在直线上， 直线与轴相交于原点， 直线的斜率为，直线的斜率为. 两直线与轴相交且能构成三角形， 直线不能经过原点，； 直线与轴不能平行，，即； 直线与直线不能平行，，即， 综上得满足的条件是：且. 32．D 33．ACD 34．(1)(2) 【详解】（1）解：由直线，可化为， 联立方程组，解得， 所以直线恒过定点. （2）解：设直线分别与直线交于两点， 由，解得，即， 又由，解得，即， 所以的中点的坐标为， 不妨设点在直线上，点在直线上，则，所以， 所以为的中点，将点代入直线的方程， 可得，解得. 35．(1)直线恒过定点(2) 【详解】（1）证明：可化为， 由于，则，解得， 即直线恒过定点．所以直线恒过定点. （2）由（1）知，不妨设， 因为恰为的中点，所以． 因为分别在直线和直线上， 所以，解得，所以． 将代入直线的方程得：，解得. 36．(1)(2) 【详解】（1）联立与的方程，得解得         即与的交点坐标为，             由题意知点在上，所以，         解得. （2）由（1）知，             当时，，所以，             当时，，所以，             当，，三条直线可以围成三角形，则且且，             故的取值范围为. 37．B 38．(1)(2) 【详解】（1）因为直线与直线平行，所以， 所以，解得，经检验两直线不重合，所以. （2）由题意可得，， 直线的方程为，即， 所以直线的方程为， 又是直线上的动点， 记直线与直线的交点为，直线与直线的交点为， 因为直线的方程为，令，可得，即， 因为直线的方程为，令，可得，即， 当在上移动时，线段与线段有公共点，故的取值范围为.    39．BC 40．BC 题型五 三线能围成三角形的问题 41．(1) (2)当时，两直线重合；当时，两直线平行；当时，两直线相交． 【详解】（1）解：当时，，， 当时，和，解得：和， 与轴的交点，与轴的交点， 联立，解得：， 与的交点， ，点到轴的垂直距离为：， ； （2）解：若两直线平行或重合，则斜率相等， 的斜率为：，的斜率为：， ，解得：或， 当时，，，两直线重合； 当时，，，两直线平行； 故当时，两直线重合；当时，两直线平行；当时，两直线相交． 42．(1)或(2) 【详解】（1）由题意得，，解得，∴点P的坐标为． 设所求直线为l， （i）当直线l在两坐标轴上的截距不为0时，设直线方程为， 则，解得，所以直线l的方程为，即； （ⅱ）当直线l在两坐标轴上的截距为0时， 设直线方程为，则，解得， ∴直线l的方程为，即． 综上，直线l的方程为或． （2）（i）当直线与平行时，不能构成三角形，此时，解得； （ⅱ）当直线与平行时，不能构成三角形，此时，解得； （iii）当直线过与的交点时，不能构成三角形，此时，解得． 综上，当，且，且时，能构成三角形． 即实数a的取值范围为. 43．且 【详解】由得：， 联立，得， 所以直线过定点， 因为，所以不在直线上， 直线与轴相交于原点， 直线的斜率为，直线的斜率为. 因为两直线与轴相交且能构成三角形， 所以，直线不能经过原点，∴； 直线与轴不能平行，∴，即； 直线与直线不能平行，∴，即， 综上得满足的条件是：且． 故答案为：且． 44．BD 45．ACD 46．(1)证明：直线，化为，当时，对任意实数，恒有， 所以直线过定点. (2)，. 【详解】（1）略 （2）依题意，显然，直线交轴于点，交轴于点， 而点分别在轴的正半轴上，即，于是， 则的面积为， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，，直线的方程的方程为. 47．(1)选①，直线l的方程为.选②，直线l的方程为.选③，直线l的方程为或； (2)选①，.选②，.选③，. 【详解】（1）由，解得，所以交点坐标为. 选①，垂直于直线，设直线l的方程为：， 其过点，则，即，故直线l的方程为. 选②，平行于直线，设直线l的方程为：， 其过点，则，即，故直线l的方程为. 选③，截距相等，当直线l经过原点时，，符合题意；当直线l不过原点时， 设为，其经过点，故，即.得直线l：， 化简得，故直线l的方程为或； （2）由（1）知选①时，直线l的方程为， 可知其在x轴和y轴的交点分别为，，故. 选②时，直线l的方程为， 可知其在x轴和y轴的交点分别为，，故. 选③时，直线l的方程为，可知其 在x轴和y轴的交点分别为，故. 48．ABC 49．AD 50．(1)或 (2) 【详解】（1）因为：，：，且，所以， 又直线过点，所以，所以， 即，即，解得或 所以或； （2）因为，则：，：， ①当时，由得， 此时为，为，为，都与相交，不能构成三角形； ②当时，由得，此时为，为，为，都与相交，不能构成三角形； ③当时，由得，此时为，为，为，都与相交，不能构成三角形； ④当，，交于一点时，，则由,解得 所以与的交点，将M代入到方程得，解得； 综上所述：时，，，三条直线能围成三角形时a的取值范围为． 题型六 直线交点系方程及应用 51．（1）（2） 【详解】（1）法1：联立，解得， 与直线垂直的直线斜率为， 所以经过与交点且与垂直的直线方程为：，即； 法2：经过直线交点的直线设为：， 即， 因其与直线垂直，所以，解得， 所以所求直线方程为. （2）设，则， 因直线过，所以，则，等号成立时， 所以的面积， 此时的周长为. 52．或 【详解】解：设直线方程为， 化简得, 直线与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形， 直线的斜率为, 或，解得或. 代入并化简得直线的方程为或. 所以所求的直线方程为或. 53．A 54．（1）证明见解析，；（2）. 【详解】（1）直线可化为： ，可得 所以直线过定点. （2）由圆的几何性质可知，当直线时，弦长最短，因为直线的斜率为，所以直线的斜率为1，此时直线的方程为. 55． 【解析】转化直线为，恒过定点，因此且联立即得定点坐标，当直线与垂直时，弦最短，利用勾股定理即得解. 【详解】， ， 则所以直线恒过定点. 当直线与垂直时，弦最短，最小值 故答案为：，. 56． 【详解】解法1：设过点的直线方程为， ，解得， 则，即． 又点不在上，直线不合题意． 故所求直线方程为． 解法2：由，得，即． 所求直线过与， 由得， 故所求直线方程为． 57．A 58． 【详解】法一：解方程组得 所以两条直线的交点坐标为． 又所求直线的斜率为3，故所求直线的方程为，即． 法二：设所求直线为，因为过已知两条直线的交点，所以直线的方程可设为（其中为常数），即①， 又直线的斜率为3，所以，解得，将代入①，整理得． 59． 【详解】设直线l的方程为（其中为常数），即 ①． 又直线l的斜率为，则，解得． 将代入①式并整理，得，此即所求直线l的方程． 故答案为：. 60．(1)方程化为：， 由直线系方程的性质有：，解得，故直线恒过点 (2) 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 定点·面积·交点系六大典型问题 题型一 直线过定点问题 题型二 由方程组解的个数判断直线位置关系 题型三 根据交点个数求参数 题型四 根据直线的交点坐标求参数 题型五 三线能围成三角形的问题 题型六 直线交点系方程及应用 题型一 直线过定点问题 1．已知点，若直线与线段相交(包含端点的情况)，则实数的取值范围是（    ） A． B． 或 C． D．或 【答案】D 【详解】整理直线的方程，可知直线恒过定点， 所以直线的斜率为，直线的斜率为， 直线与线段相交（包含端点），则直线的斜率需或： 当时，直线的方程为，即轴，与线段交于点，符合条件； 当时，直线的斜截式方程为，斜率为， 若，解得；若，解得或， 综上，的取值范围是或. 2．若直线与点构成的线段相交，则的取值范围是_________. 【答案】或 【分析】首先求出直线过定点，利用斜率计算公式求出，，再数形结合即可得解． 【详解】直线过定点，如图，    由，， 由直线与线段相交，可得的取值范围是或. 3．在中，点在线段BC上，且，过点的直线分别交直线于不同的两点．若．直线恒过定点，则点的坐标为__________． 【答案】 【分析】连接，结合题意，利用平面向量的线性运算得到，再由三点共线即可得，再代入直线方程即可. 【详解】连接，如图所示. 因为，所以， 所以. 因为，所以. 因为，，三点共线，所以，则. 则为， 即， 令，解得，则点的坐标为. 4．直线所过定点为______ 【答案】 【分析】对等式进行变形，通过解方程组进行求解即可. 【详解】， 因为直线恒过定点， 所以有， 因此该直线恒过点. 故答案为： 5．（多选）已知直线，，则（ ） A．恒过点 B．若，则 C．若，则 D．当时，不经过第三象限 【答案】BD 【分析】对于选项A，将直线的方程化为，再由可求得定点对于选项B，C可通过直线一般式方程时两直线平行垂直的条件求解；对于选项D，将直线化为斜截式，再根据斜率和截距建立不等式可以求解 【详解】直线，则， 由，得，所以恒过定点，所以A错误； 由可得：，所以.当时，成立.B正确； 由可得：，，所以C错误； 由，当时，，不过第三象限； 当时，，不过第三象限，只需要，解得， 所以的取值范围为，所以D正确； 故选：BD. 6．（多选）已知过定点A的直线与过定点B的直线相交于点，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据直线和的方程，求得定点的坐标，可判定A正确，B不正确；根据两直线位置关系的判定方法，可判定C正确，D不正确. 【详解】由直线，令，可得，所以直线过定点，所以A正确； 由直线，可得， 联立方程组，解得，所以恒过定点，所以B不正确； 由和，可得，所以，所以C正确，D不正确； 故选：AC. 7．已知点，，直线与线段AB总有交点，则实数k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由直线所过定点P和两点间斜率公式求出即可由斜率定义数形结合求解. 【详解】直线过定点， 所以，如图，    由图可知实数k的取值范围是. 故选：B 8．平面直角坐标系中的直线系方程：经过的定点是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由直线方程得到，由，即可求解. 【详解】由， 可得， 因为方程对恒成立， 所以可得：， 解得，， 所以直线系方程：经过的定点是， 故选：C 9．直线（其中）必经过的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意列方程组计算即可求解. 【详解】由题意，令，解得， 所以直线必经过的点是. 故选：C 10．已知直线：恒过点，为坐标原点. (1)求点的坐标； (2)当点到直线的距离最大时，求直线的方程； 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）把直线的方程化为，进而求出点的坐标. （2）确定点到直线的距离最大时直线的位置，再求出直线的方程. 【详解】（1）直线的方程化为，令，解得， 所以点的坐标为. （2）由（1）知直线恒过定点，当且仅当时，点到直线的距离最大， 而直线的斜率，则直线的斜率， 所以直线的方程为，即. 题型二 由方程组解的个数判断直线位置关系 11．若关于，的方程组无解，则实数为（   ） A． B．3 C．3或 D．1或 【答案】B 【分析】将方程组进行消元，再对消元后的方程的解进行讨论可得所求值. 【详解】易知当时，方程组有解，不满足题意； 当时，方程组消去y得，， 当时，方程无解，所以原方程组无解，符合题意； 当时，方程的解集为，此时原方程组有无数多组解，不符合题意，故. 故选：B. 12．（多选）已知与是直线（k为常数）上两个不同的点，则关于和的交点情况说法错误的是（   ） A．无论k、M、N如何，总是无交点 B．存在k、M、N使之无交点 C．无论k、M、N如何，总是唯一交点 D．存在k、M、N使之有无穷多交点 【答案】ABD 【分析】计算，进而可得，由两直线相交即可求解. 【详解】由于与是直线（k为常数）上两个不同的点， 故，， 又， 由于，因此，故直线不平行，也不重合， 故两直线相交，因此只有唯一的交点，故C正确，ABD错误， 故选：ABD 13．判断下列各组中直线的位置关系，若相交，求出交点的坐标： (1)，； (2)，； (3)，． 【答案】(1)相交，交点坐标为 (2)平行 (3)重合 【分析】（1）联立直线方程得到方程组，求出方程组的解，即可得到两直线的交点坐标； （2）联立直线方程得到方程组，判断方程组无解，即可得到两直线平行； （3）联立直线方程得到方程组，得到方程组有无数解，即可判断. 【详解】（1）由，解得， 因此直线和相交，交点坐标为． （2）因为，， 由， 得，矛盾， 由此可知方程组无解，因此直线与平行． （3）由， 得， 说明方程②是方程①的倍，方程①的解都是方程②的解． 因此直线与重合． 14．写出使得关于的方程组无解的一个的值为______.（写出一个即可） 【答案】，3，（写出一个即可） 【分析】根据方程组无解，讨论其中一方程无解、两方程表示的直线平行、一方程表示直线过，另一方程表示直线不过该点的情况得解. 【详解】显然，当时，不表示直线，无解，故方程组无解； 当时，由方程组可看作求两直线（）与的交点，则方程组无解，即直线无交点， 若两直线平行，则，解得. 若两直线不平行时，过点，即，解得或， 此时，不过点，方程组无解. 综上，的取值为. 故答案为：，3，（写出一个即可） 15．曲线与的交点的情况是（    ） A．最多有两个交点 B．两个交点 C．一个交点 D．无交点 【答案】A 【分析】联立两条直线的方程得到二次方程，再根据判别式分析即可 【详解】联立两条直线方程得：得到，两边平方得：，当即时，，得到方程有两个不相等的实数解，所以曲线与直线有两个交点．当时，得到，与曲线只有一个交点．所以曲线与的最多有两个交点． 故选：A 16．若关于，的方程组有无穷多组解，则的值为______ 【答案】4 【分析】当方程组有无穷多解时,可得到两直线重合,则可求出,,计算即可得解. 【详解】若方程组有无穷多组解， 即两条直线重合,即 , 则 故答案为：4 17．（多选）(多选题)与直线2x－y－3＝0相交的直线方程是（    ） A．y＝2x＋3 B．y＝－2x＋3 C．4x－2y－6＝0 D．4x＋2y－3＝0 【答案】BD 【分析】将2x－y－3＝0与A, B, C, D中直线方程联立，解方程组，从而作出判断. 【详解】对于A，联立，方程组无解，两直线平行； 对于B，联立方程组，解得：，有唯一解，与原直线相交； 对于C，联立方程组有无数解，与原直线重合； 对于D，联立方程组有唯一解，与原直线相交. 故选：BD. 18．（多选）已知集合，集合，且，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据直线平行和两线交于点时，交集为空集，可得结果． 【详解】解：因为集合，集合，且， 所以直线与直线平行或交于点， 当两线平行时，； 当两线交于点时，，解得． 综上得a等于或2． 故选：AD． 19．设为不同的两点，直线，以下命题中正确的序号为_________． （1）不论为何值，点都不在直线上 （2）若，则过、的直线与直线平行； （3）若，则直线经过的中点 （4）若，则点、在直线的同侧且直线与线段的延长线相交； 【答案】（1）（2）（3）（4） 【分析】（1）由分母不等于0即可判断是否在直线上；（2）讨论时，MN与直线l的位置关系即可；（3）由已知化简，由中点坐标有，，即可知直线是否经过的中点；（4）由已知，判断的符号相同，且即可判断结论是否正确. 【详解】（1）知：，故点都不在直线上； （2）知：，即与直线l的斜率相等，由（1）结论可知过、的直线与直线平行；若时，即与直线都平行于y轴，故平行； （3）知：，令中点为，故有，则直线经过的中点； （4）知：即的符号相同，即、在直线的同侧，而，即、与直线的距离不同，故直线与线段的延长线相交； 故答案为：（1）（2）（3）（4） 20．解关于.的一元二次方程组，并对解的情况进行讨论. 【答案】，无数个解；，无解；且，. 【分析】分情况讨论即可知道解的情况. 【详解】（1）当时，方程组有无数个解， 解得； （2）当时，方程组无解， 解得； （3）当时，方程组只有一组解为， 解得且， 综上，，无数个解；，无解；且，. 题型三 根据交点个数求参数 21．直线与线段没有公共点，其中，，则实数b的取值范围是______. 【答案】 【分析】数形结合即可求得的取值范围. 【详解】由题可知，当直线经过点时， 当直线经过点时， 当直线与线段没有公共点， 则或. 故答案为：. 22．已知两条直线， (1)当为何值时，与相交; (2)与是两条不同直线，经过定点，当也经过点时，求的值. 【答案】(1)，且，且 (2) 【分析】（1）由求解； （2）过定点，又因为也经过点，代入求解，要注意检验． 【详解】（1）依题意，得， 得， 得，且，且． （2）， 得，得， 得过定点，又因为也经过点， 得，得． 当时，与重合，故舍去， 故． 23．（多选）已知集合，集合，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】由整理可得，根据题意可知，直线过点，或直线与平行，综合可得出实数的值. 【详解】由整理可得. 因为集合，. （1）直线过点，则，解得， 此时，直线与直线不平行； （2）若直线与平行，则，解得. 综上所述，或. 故选：BD. 24．若的图象与直线有两个不同的交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，分与讨论，结合条件，列出不等式，即可得到结果. 【详解】当时，由可得，，当时，解得； 当时，由可得，，由可知，方程的解是， 又的图象与直线有两个不同的交点， 所以，其中，解得； 综上所述，. 故选：B 25．（多选）若与的图形有两个交点，则的取值可能为（    ） A．1 B．0 C．2 D．3 【答案】CD 【分析】在同一直角坐标系中作出与的图形，数形结合即可得解. 【详解】表示关于轴对称的两条射线， 表示与平行的直线，在轴上的截距为的直线， 根据题意，画出大致图形，如下图， 若与的图形有两个交点，且，则根据图形可知. 故选：CD. 26．已知线段AB两端点的坐标分别为和，若直线与线段AB有交点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判断出直线所过定点，结合图象求得的取值范围 【详解】直线恒过的定点，. 当时，直线方程为，与线段有交点，符合题意. 当时，直线的斜率为，则， 解得或，综上，. 故选：C 27．若与的图形有两个交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】根据题意，可知表示关于轴对称的两条射线，表示斜率为1，在轴上的截距为的直线，画出图形，分析判断即可求出的取值范围. 【详解】解：表示关于轴对称的两条射线， 表示斜率为1，在轴上的截距为的直线， 根据题意，画出大致图形，如下图， 若与的图形有两个交点，且，则根据图形可知． 故选：A． 28．已知关于的方程组有唯一解，则实数a的取值范围是__________. 【答案】 【分析】把方程组中的两个方程对应两条直线，结合两直线的位置关系，即可求解. 【详解】由方程组中的两个方程对应两条直线， 则方程组的解就是两直线的交点， 要使得两直线只有一个交点，则满足， 即，解得. 故答案为：. 29．设三条不同的直线：，，，则它们相交于一点的充分必要条件为____________. 【答案】 【详解】设c=a+b+1，设三条直线相交于点(x，y)，则有， 三式相加可得：， 即：， 据此有：，则：. 反之，当时，方程组有解，即三条直线相交于一点. 故答案为： ． 30．设，若直线与线段相交，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线经过定点，又由直线与线段相交，可得或，即可求解． 【详解】由题意，直线，即，所以直线经过定点， 又由斜率公式，可得，． ∵直线与线段相交， ∴或，则的取值范围是． 故选． 题型四 根据直线的交点坐标求参数 31．两直线与轴相交且能构成三角形，则满足的条件是__________. 【答案】且 【分析】找出直线过的定点，由题意可得：直线不能经过原点，与轴不能平行，与直线不能平行，即可求解. 【详解】由得：， 联立，得， 所以直线过定点， ，不在直线上， 直线与轴相交于原点， 直线的斜率为，直线的斜率为. 两直线与轴相交且能构成三角形， 直线不能经过原点，； 直线与轴不能平行，，即； 直线与直线不能平行，，即， 综上得满足的条件是：且. 32．若直线与的交点在第二象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由两直线相交，求得交点坐标，再根据交点所在位置，得不等式组，求解即可. 【详解】由题意得，解方程组，得， 因为直线与的交点在第二象限， 所以，解得， 即实数的取值范围是． 33．（多选）（多选）若三条直线，，能围成一个三角形，则的值不可能是（     ） A． B．1 C． D． 【答案】ACD 【分析】先求出两条已知直线的交点，再分别考虑第三条直线过该交点或与其中一条直线平行这三种不能构成三角形的情况，从而排除对应的值. 【详解】由得所以两条直线交于点． 当也过时，，解得，此时三条直线交于同一点，不能构成三角形； 当与平行时，有，则，不能构成三角形； 当与平行时，有，则，不能构成三角形，所以且且． 故选：ACD． 34．已知直线. (1)求直线过定点的坐标； (2)若直线被两平行直线：与：所截得的线段的中点恰好在直线上，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，化简直线的方程为，联立方程组，即可求解； （2）设直线分别与直线交于两点，联立方程组，求得的坐标，得到的中点，设点在直线和上，利用三角形全等，证得，所以为的中点，代入直线的方程，即可求解. 【详解】（1）解：由直线，可化为， 联立方程组，解得， 所以直线恒过定点. （2）解：设直线分别与直线交于两点， 由，解得，即， 又由，解得，即， 所以的中点的坐标为， 不妨设点在直线上，点在直线上，则，所以， 所以为的中点，将点代入直线的方程， 可得，解得. 35．已知直线，直线和． (1)求证：直线恒过定点； (2)设（1）中的定点为与的交点分别为，若恰为的中点，求． 【答案】(1)直线恒过定点 (2) 【分析】（1）把直线的方程化为即可求出恒过的定点； （2）设出点A的坐标，利用P是AB中点表示出点B的坐标，再根据A、B分别在直线上求出A点坐标，最后将A点坐标代入直线的方程求出m. 【详解】（1）证明：可化为， 由于，则，解得， 即直线恒过定点．所以直线恒过定点. （2）由（1）知，不妨设， 因为恰为的中点，所以． 因为分别在直线和直线上， 所以，解得，所以． 将代入直线的方程得：，解得. 36．已知三条直线，，. (1)若，，交于一点，求实数的值； (2)若，，可以围成一个三角形，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出，的交点，再应用交点在上，列式计算求参；    （2）先求出，，不可以围成一个三角形时的参数取值，进而得出，，可以围成一个三角形时参数范围. 【详解】（1）联立与的方程，得解得         即与的交点坐标为，             由题意知点在上，所以，         解得. （2）由（1）知，             当时，，所以，             当时，，所以，             当，，三条直线可以围成三角形，则且且，             故的取值范围为. 37．在中，点A的坐标为,边的中线所在的直线方程为，边的高线所在的直线方程为，则点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出点后，根据点在的高线上，且的中点在的中线所在直线上，列出两个方程，求解即可. 【详解】 设点,线段的中点为,则. 因为点必在的高线上，故有； 因为边的中线所在直线方程为上,即点在该直线方程上,故有. 联立,解得. 即点. 故选：B. 38．已知平面直角坐标系中，，，， (1)若直线与直线平行，求的值； (2)若线段与线段有公共点，求的取值范围 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据可求出结果； （2）作出示意图，求得直线与的方程，又在直线上，求得直线与的交点的坐标，直线与的交点的坐标，可求得的取值范围. 【详解】（1）因为直线与直线平行，所以， 所以，解得，经检验两直线不重合，所以. （2）由题意可得，， 直线的方程为，即， 所以直线的方程为， 又是直线上的动点， 记直线与直线的交点为，直线与直线的交点为， 因为直线的方程为，令，可得，即， 因为直线的方程为，令，可得，即， 当在上移动时，线段与线段有公共点，故的取值范围为.    39．（多选）已知直线：，：，：，则下列判断正确的是（   ） A．的斜率为2 B．若，则 C．若，则 D．若，，相交于一点，则 【答案】BC 【分析】将直线方程化为斜截式即可求解斜率判断A选项；由两直线平行与垂直的表示可判断BC选项；联立直线与求出交点坐标，再代入可判断D选项. 【详解】对于A选项：：，即，其斜率为，A错误； 对于B选项：若，则，解得，B正确； 对于C选项：若，则，解得，C正确； 对于D选项：联立：， 若，，相交于一点，等价于点在直线上， 则，解得.D错误. 故选：BC. 40．（多选）已知直线，则（    ） A．若，则 B．若，则或 C．若与相交于点，则 D．若，则在两坐标轴上的截距相等 【答案】BC 【分析】根据直线平行和垂直的条件求出参数a的值，可判断A，B；将代入的方程求出a，判断C；求出在两坐标轴上的截距判断D. 【详解】若，则，解得或，故A错误； 若，则，且，解得或，故B正确； 若与相交于点，则，解得，故C正确； 若，则在x轴和y轴上的截距分别为和， 显然截距不相等，故D错误． 故选：BC． 题型五 三线能围成三角形的问题 41．已知直线与． (1)当时，求直线与轴围成的三角形的面积； (2)讨论直线与的位置关系． 【答案】(1) (2)当时，两直线重合；当时，两直线平行；当时，两直线相交． 【分析】（1）分别求出各自与轴的交点与两条直线的交点求解即可； （2）分斜率相同的情况和不同的情况进行讨论即可． 【详解】（1）解：当时，，， 当时，和，解得：和， 与轴的交点，与轴的交点， 联立，解得：， 与的交点， ，点到轴的垂直距离为：， ； （2）解：若两直线平行或重合，则斜率相等， 的斜率为：，的斜率为：， ，解得：或， 当时，，，两直线重合； 当时，，，两直线平行； 故当时，两直线重合；当时，两直线平行；当时，两直线相交． 42．已知两直线，． (1)求过直线交点P，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程； (2)若直线与直线能构成三角形，求实数a的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）联立两条直线构成方程组，求解方程组即可得到交点坐标；在两坐标轴上的截距相等时，设出直线方程，分截距为0和不为0两种情况讨论即可； （2）直线与直线能构成三角形时要考虑不能构成三角形的三种情况即可． 【详解】（1）由题意得，，解得，∴点P的坐标为． 设所求直线为l， （i）当直线l在两坐标轴上的截距不为0时，设直线方程为， 则，解得，所以直线l的方程为，即； （ⅱ）当直线l在两坐标轴上的截距为0时， 设直线方程为，则，解得， ∴直线l的方程为，即． 综上，直线l的方程为或． （2）（i）当直线与平行时，不能构成三角形，此时，解得； （ⅱ）当直线与平行时，不能构成三角形，此时，解得； （iii）当直线过与的交点时，不能构成三角形，此时，解得． 综上，当，且，且时，能构成三角形． 即实数a的取值范围为. 43．两直线与轴相交且能构成三角形，则满足的条件是_____． 【答案】且 【分析】找出直线过的定点，由题意可得：直线不能经过原点，与轴不能平行，与直线不能平行，即可求解． 【详解】由得：， 联立，得， 所以直线过定点， 因为，所以不在直线上， 直线与轴相交于原点， 直线的斜率为，直线的斜率为. 因为两直线与轴相交且能构成三角形， 所以，直线不能经过原点，∴； 直线与轴不能平行，∴，即； 直线与直线不能平行，∴，即， 综上得满足的条件是：且． 故答案为：且． 44．（多选）下列四个命题中正确的是（    ） A．过点，且在轴和轴上的截距互为相反数的直线方程为 B．若直线和以为端点的线段相交，则实数的取值范围为或 C．若三条直线不能构成三角形，则实数所有可能的取值组成的集合为 D．若直线沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线的斜率为 【答案】BD 【分析】利用直线经过原点的情况即可判断A，求出直线斜率范围，结合倾斜角与斜率的关系即可判断B；利用三条直线不能构成三角形的条件求出值判断C，利用斜率的定义即可判定D. 【详解】对于A，当直线经过原点时，且经过，此时直线方程为，也符合题意，因此A错误， 对于B，直线恒过定点，直线，的斜率分别为，， 结合图可得，或，即为或，B正确；    对于C，当直线，平行时，，当直线，平行时，，显然直线，交于点，当点在直线时，，所以三条直线，，不能构成三角形，实数的取值集合为,1,，C错误． 对于D，若直线沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线的斜率为，D正确， 故选：BD． 45．（多选）下面三条直线，，不能构成三角形，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D．4 【答案】ACD 【分析】由题意，利用分类讨论思想，分为三线交于一点和至少有两条直线平行两种情况，分别剪力方程，可得答案. 【详解】当三条直线交于一点时，由，解得直线和直线的交点的坐标， 由点在直线上可得，解得或，故AC正确； 至少有两条直线平行或重合时，即，，中至少有两条直线的斜率相等， 当时，；当时，；若，则需有，不可能，故D正确. 故选：ACD. 46．已知直线． (1)求证：直线经过一个定点； (2)若直线交轴的正半轴于点，交轴的正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程． 【答案】(1)证明：直线，化为，当时，对任意实数，恒有， 所以直线过定点. (2)，. 【分析】（1）利用直线的点斜式方程即可得到直线经过一个定点. （2）先求得的面积S的表达式，再利用均值定理即可求得S的最小值，进而求得此时直线的方程. 【详解】（1）略 （2）依题意，显然，直线交轴于点，交轴于点， 而点分别在轴的正半轴上，即，于是， 则的面积为， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，，直线的方程的方程为. 47．在下列三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答.①垂直于直线；②平行于直线；③截距相等问题：直线l经过两条直线和的交点，且________. (1)求直线l的方程； (2)直线l不过坐标原点O，且与x轴和y轴分别交于两点，求的面积. 【答案】(1) 选①，直线l的方程为.选②，直线l的方程为.选③，直线l的方程为或； (2) 选①，.选②，.选③，. 【分析】（1）设出直线方程，利用直线平行，垂直的性质求解参数即可. （2）求出直线与坐标轴的交点，再利用三角形面积公式求解即可. 【详解】（1）由，解得，所以交点坐标为. 选①，垂直于直线，设直线l的方程为：， 其过点，则，即，故直线l的方程为. 选②，平行于直线，设直线l的方程为：， 其过点，则，即，故直线l的方程为. 选③，截距相等，当直线l经过原点时，，符合题意；当直线l不过原点时， 设为，其经过点，故，即.得直线l：， 化简得，故直线l的方程为或； （2）由（1）知选①时，直线l的方程为， 可知其在x轴和y轴的交点分别为，，故. 选②时，直线l的方程为， 可知其在x轴和y轴的交点分别为，，故. 选③时，直线l的方程为，可知其 在x轴和y轴的交点分别为，故. 48．（多选）（多选）平面上有三条直线，将平面划分为六个部分，则实数的所有可能取值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】ABC 【分析】先求得的交点，对进行分类讨论，画出图象，结合图象求得的范围，从而确定正确答案. 【详解】由解得，设， 当时，直线即，画出图象如下图所示，此时三条直线围成三角形， 平面划分为部分，不符合题意.    当时，直线的斜率为， 当直线过时，， 平面划分为部分，符合题意.    直线的斜率为，直线的斜率为， 当时，如下图所示，平面划分为部分，符合题意，    当时，如下图所示，平面划分为部分，符合题意，    当且且时，三条直线围成三角形， 平面划分为部分，不符合题意. 所以ABC选项正确，D选项错误. 故选：ABC 49．（多选）已知三条直线，，能构成三角形，则实数m的取值可能为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】AD 【分析】因为三条直线，，能构成三角形，所以直线与或都不平行，且直线不过与的交点，进而即可求得实数m的取值，从而可得结果． 【详解】因为三条直线，，能构成三角形， 所以直线与，都不平行， 且直线不过与的交点， 直线与，都不平行时，，且， 联立，解得， 即直线与的交点坐标为， 代入直线中，得，故可知， 结合选项可知实数m的取值可以为2或， 故选：AD 50．已知三条直线：，：，：． (1)若，且过点，求a、b的值； (2)若，且、、三条直线能围成三角形，求a的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据垂直满足的关系，结合直线经过的点，即可联立方程求解. （2）根据任意两条直线平行不可构成三角形，以及三条直线交于一点不能构成三角形，结合两直线平行满足的系数关系，以及两直线的交点坐标，即可求解. 【详解】（1）因为：，：，且，所以， 又直线过点，所以，所以， 即，即，解得或 所以或； （2）因为，则：，：， ①当时，由得， 此时为，为，为，都与相交，不能构成三角形； ②当时，由得，此时为，为，为，都与相交，不能构成三角形； ③当时，由得，此时为，为，为，都与相交，不能构成三角形； ④当，，交于一点时，，则由,解得 所以与的交点，将M代入到方程得，解得； 综上所述：时，，，三条直线能围成三角形时a的取值范围为． 题型六 直线交点系方程及应用 51．（1）已知两直线，求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； （2）已知直线过点，且交坐标轴正半轴于两点，当的面积最小时，求的周长. 【答案】（1）（2） 【分析】（1）法1：求出交点，利用垂直关系求直线方程；法2：设直线系方程，再利用垂直关系求出； （2）设截距式方程，利用基本不等式求最值，得出取等条件即可. 【详解】（1）法1：联立，解得， 与直线垂直的直线斜率为， 所以经过与交点且与垂直的直线方程为：，即； 法2：经过直线交点的直线设为：， 即， 因其与直线垂直，所以，解得， 所以所求直线方程为. （2）设，则， 因直线过，所以，则，等号成立时， 所以的面积， 此时的周长为. 52．直线经过直线的交点，且与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，求直线的方程. 【答案】或 【分析】设直线方程为，解方程或，即得解. 【详解】解：设直线方程为， 化简得, 直线与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形， 直线的斜率为, 或，解得或. 代入并化简得直线的方程为或. 所以所求的直线方程为或. 53．设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求得直线恒过的定点，判断两直线位置关系，找到与的关系，利用均值不等式求最值. 【详解】直线可整理为，故恒过定点，即为A的坐标； 直线整理为，故恒过定点，即为B坐标； 又两条直线垂直，故可得， 即 整理得 解得，当且仅当时取得最大值. 故选：A. 54．已知直线，圆. （1）求证：直线过定点，并求出点的坐标； （2）若直线与圆交于，两点，当弦长最短时，求此时直线的方程. 【答案】（1）证明见解析，；（2）. 【分析】（1）将直线化为，利用，求得直线所过的定点坐标； （2）根据圆的几何性质可知，当直线时，弦长最短，根据直线的斜率为，可得直线的斜率为1，从而求得直线的方程. 【详解】（1）直线可化为： ，可得 所以直线过定点. （2）由圆的几何性质可知，当直线时，弦长最短，因为直线的斜率为，所以直线的斜率为1，此时直线的方程为. 55．已知直线，圆的方程为：，则直线恒过定点______________；若直线与圆相较于，两点，则弦长度的最小值______________； 【答案】 【解析】转化直线为，恒过定点，因此且联立即得定点坐标，当直线与垂直时，弦最短，利用勾股定理即得解. 【详解】， ， 则 所以直线恒过定点. 当直线与垂直时， 弦最短，最小值 故答案为：，. 56．求经过点和两直线和的交点的直线方程． 【答案】 【分析】解法1：设过点的直线方程为，代入点坐标可得答案；解法2：解方程组求出点坐标，由直线两点式方程可得答案． 【详解】解法1：设过点的直线方程为， ，解得， 则，即． 又点不在上，直线不合题意． 故所求直线方程为． 解法2：由，得，即． 所求直线过与， 由得， 故所求直线方程为． 57．已知直线的方程是，则对任意的实数，直线一定经过（    ）. A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】首先求直线所过定点，再判断选项. 【详解】， ，得，定点在第一象限，则直线一定经过第一象限 故选：A 58．求过直线和的交点，且斜率为3的直线方程． 【答案】 【详解】法一：解方程组得 所以两条直线的交点坐标为． 又所求直线的斜率为3，故所求直线的方程为，即． 法二：设所求直线为，因为过已知两条直线的交点，所以直线的方程可设为（其中为常数），即①， 又直线的斜率为3，所以，解得，将代入①，整理得． 59．若直线l经过两直线和的交点，且斜率为，则直线l的方程为______． 【答案】 【分析】先设经过交点的直线系，应用斜率求出参数即可得直线方程. 【详解】设直线l的方程为（其中为常数），即 ①． 又直线l的斜率为，则，解得． 将代入①式并整理，得，此即所求直线l的方程． 故答案为：. 60．已知直线． (1)求证：直线过定点； (2)过点作直线使直线与两负半轴围成的三角形的面积等于4，求直线的方程． 【答案】(1) 方程化为： ， 由直线系方程的性质有：，解得， 故直线恒过点 (2) 【分析】（1）变形直线方程，分离参数，利用直线系方程，解方程组求出定点，即可证明. （2）设直线方程，利用过点作直线使得直线与两负半轴围成的三角形面积等于4，得到方程组，即可求出直线方程. 【详解】（1）略 （2）设直线， 则由题意得：，解得， 所以直线，即， 所以所求直线方程为：. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $