专题01 倾斜角·斜率·平行·垂直六大典型问题（高效培优专项训练）数学人教A版高二选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦倾斜角与斜率的概念关联及平行垂直判定，通过六大题型系统覆盖核心应用，强化数形结合与逻辑推理 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |斜率与倾斜角关系|10题|含范围计算、旋转问题、图像辨析|从倾斜角定义到斜率公式（k=tanθ）的转化应用| |已知斜率求参数|10题|结合两点坐标、倾斜角列方程|斜率公式的直接应用与参数求解| |直线与线段相交求斜率范围|10题|数形结合分析临界斜率|通过端点连线斜率确定范围，培养几何直观| |平行垂直判定|10题|斜率关系判断及位置关系辨析|平行（斜率相等且不重合）与垂直（斜率积为-1）的原理应用| |平行求参数|10题|含斜率相等条件及重合检验|平行判定定理的参数化应用，强化推理严谨性| |垂直求参数|10题|斜率积为-1及特殊情况处理|垂直判定定理的参数化应用，提升运算能力|

专题01 倾斜角·斜率·平行·垂直六大典型问题 题型一 斜率与倾斜角的变化关系 题型二 已知斜率求参数 题型三 直线与线段的相交关系求斜率范围 题型四 由斜率判断两条直线平行与垂直 题型五 已知直线平行求参数 题型六 已知直线垂直求参数 题型一 斜率与倾斜角的变化关系 1．设直线的倾斜角，则其斜率的取值范围是____________；若直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是____________. 【答案】 【分析】根据直线的倾斜角和斜率的关系，，即可求解. 【详解】因为，，，， 所以或， 所以斜率的取值范围是； 当时，. 2．如果直线经过，两点，那么直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【详解】由点和，得， 所以直线的一个方向向量为，所以直线的斜率， 所以，又，所以或． 3．已知斜率为2的直线与轴交于点，直线绕点逆时针旋转得到直线，则直线的斜率为______． 【答案】 【详解】令直线的倾斜角为，则，而直线绕点逆时针旋转得到直线， 所以直线的倾斜角为，则其斜率为. 4．直线经过点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知直线经过点， ， 设直线的倾斜角为，则， ． 5．（多选）如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据斜率和倾斜角的关系确定正确答案. 【详解】由图象可知， 所以，， 函数在上单调递增，所以， 综上所述，. 故选：AD 6．若如图中的直线，，的斜率分别为，，，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由倾斜角与斜率的关系即可求解. 【详解】设直线､､的倾斜角分别为， 则， 由图可知：，， 所以. 故选：D 7．已知为直线的倾斜角，若直线的法向量为，，那么当实数变化时，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由直线的法向量得到直线的方向向量，进而求得直线的斜率，利用斜率与 倾斜角的关系求范围. 【详解】由直线的法向量为可得：直线的方向向量可取为. 当时，，此时直线垂直于轴，. 当时，直线的斜率，， 则当时，由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立，此时； 则当时，由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立，此时； 综上可得：的取值范围是. 故选：A. 8．下列直线中，倾斜角为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由倾斜角为，则该直线的斜率为，逐项判断即可. 【详解】若直线的倾斜角为，则该直线的斜率为， 所以这四条直线中，倾斜角为的是. 故选：C 9．（多选）若两直线，的斜率存在，其倾斜角分别为，，斜率分别为，，则下列四个结论错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AD 【分析】根据倾斜角和斜率的函数关系，对选项一一分析即可得出答案. 【详解】对于A，取，则，则，故A错误； 对于B，若，即，故B正确； 对于C，若，则直线，的斜率存在且不为， 因为，又因为正切函数在，上单调递增， 所以，故C正确； 对于D，若，则，所以，故D错误; 故选：AD. 10．已知，直线：上存在点，满足，则的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两点间的距离公式，以及直线过定点的判定方法，求出直线所过定点，判断满足题目条件的直线情况，进而求出斜率的取值范围，再求出倾斜角范围即可. 【详解】由题意得直线方程为，变形为， 可知直线过定点， 由可知， 当直线上存在点满足时，即直线与线段有交点， 如图所示，， 又因为直线的斜率不为0， 所以直线斜率在， 直线倾斜角的范围为. 故选：D. 题型二 已知斜率求参数 11．已知点，直线的斜率为，则（    ） A．-5 B．-2 C．2 D．5 【答案】D 【分析】根据两点求斜率的公式求得正确答案. 【详解】因为，所以， 故选：D 12．若经过，两点的直线的倾斜角为45°，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据过两点的直线的斜率公式列方程求解. 【详解】因为经过，两点的直线的倾斜角为45°， 所以该直线的斜率，即，解得. 故选：C. 13．已知直线的倾斜角为，且直线经过，两点，则实数的值为（    ） A．－2 B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据直线的倾斜角求出其斜率，再由过两点，的直线的斜率公式为求出的值. 【详解】直线的倾斜角为，故其斜率， 根据两点间斜率公式可得：，解得. 故选：B 14．过不重合的两点的直线倾斜角为45°，则的取值为（   ） A． B． C．或2 D．或-2 【答案】B 【分析】先根据斜率的定义及过两点的斜率的计算公式列出等式，求出，将值代入两点的坐标验证，即可得解. 【详解】因为过两点的直线倾斜角为45°，所以直线的斜率. 又因为， 所以， 整理可得，即，解得或. 当时，，，此时两点重合，不符合题意，舍去； 当时，，，此时两点不重合，符合题意. 综上，所以的取值为. 故选：B 15．过两点的直线l的倾斜角为135°，求m的值为_____. 【答案】 【分析】根据倾斜角计算出斜率值，然后根据斜率的坐标公式求解出的值. 【详解】因为的倾斜角为，所以的斜率， 所以且，解得， 故答案为：. 16．设，为实数，已知直线的斜率，且，，是这条直线上的三个点，则__________. 【答案】1 【分析】根据斜率公式直接可得. 【详解】由直线的斜率，且，，得，解得. 同理，解得，所以. 故答案为：1. 17．过两不同点的直线的斜率为1，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】利用两点的斜率公式，建立方程求解，通过验根，可得答案. 【详解】根据题意可得，解得或． 当时，点重合，不符合题意，舍去． 当时，经验证，符合题意． 故选：C. 18．过两点、的直线的倾斜角为，则的值为（    ） A．或 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据斜率公式计算可得. 【详解】因为过两点、的直线的倾斜角为， 所以，即，解得. 故选：D 19．（多选）已知点，若在坐标轴上存在一点，使直线的倾斜角为，则点的坐标不能为（　　） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】设轴上点或轴上点，根据斜率公式，列出方程，即可求解. 【详解】设轴上点或轴上点， 因为直线的倾斜角为，可得，得， 解得，故点的坐标为或. 故选：BD. 20．若直线经过两点、且的倾斜角为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据斜率的定义以及斜率公式可得出关于实数的等式，解之即可. 【详解】由斜率的定义可得，即，解得. 故选：D. 题型三 直线与线段的相交关系求斜率范围 21．已知，若过点的直线与线段（含端点）总有公共点，则直线的斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出直线过点和过点时的斜率，数形结合求解. 【详解】 如图，设，当直线过点时，斜率，当直线过点时，斜率， 要使直线与线段（含端点）总有公共点，则直线的斜率需满足或. 所以直线的斜率的取值范围为. 故选：C. 22．若，，若直线与线段AB有公共点，则实参数m的取值范围为______． 【答案】 【分析】确定线段端点与直线的位置关系，先代入端点计算，再解不等式即可. 【详解】将 代入直线方程： ， 将 代入直线方程： ， 因为直线 与线段 有公共点， 所以，所以解集为 ， 即实数 的取值范围为 ， 故答案为：. 23．已知点，，过的直线与线段没有交点，则直线斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先计算过点与线段的两端点，的直线的斜率，再根据直线与线段无交点的条件，结合图象确定斜率的取值范围. 【详解】设点坐标为，则，， 设直线的斜率为， 由图可知过点的直线与线段没有交点时，直线的斜率满足， ∴. 故选：D. 24．经过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的斜率取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，作出图形，利用斜率公式结合图形求解作答. 【详解】如图，直线与线段总有公共点，即直线以直线为起始位置，绕点P逆时针旋转到直线即可， 而， 因此， 故选：C 25．设点，，若直线与线段相交，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过分析直线与线段相交的条件，解得a的取值范围. 【详解】当时，直线为轴，显然与线段相交；    又， 当时，只需或，所以或. 综上，所以实数的取值范围是. 故选：C. 26．已知点、、，过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合图象分析过点与线段有公共点的情况，求出过线段端点的斜率，从而得出斜率的取值范围． 【详解】如下图所示，    若过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率或， ，， 直线的斜率或， 直线斜率的取值范围是，故C正确． 故选：C． 27．若直线与以为端点的线段相交，则直线的倾斜角取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出直线恒过的定点，分别求出直线的斜率，由直线与线段相交，得到直线的斜率和直线的斜率的不等关系，从而得到直线的倾斜角的取值范围. 【详解】直线，即，则直线恒过定点，且斜率为， ，， 直线与以为端点的线段相交，   或，或， 直线的倾斜角取值范围为. 故选：A. 28．已知点，若过定点的直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线斜率公式，结合数形结合思想进行求解即可. 【详解】直线过定点，且直线与线段相交， 由图象知，或，则斜率的取值范围是． 故选：A 29．直线l过点且与以为端点的线段相交，则直线的斜率的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别求出PM、QM的斜率，结合图象及斜率变化关系，即可得斜率的范围. 【详解】当直线l过点时，， 当直线l过点时，， 要使直线l与以为端点的线段相交， 则直线的斜率的取值范围. 故选：D 30．已知点，.若直线：与线段相交，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直线l过定点，且与线段相交，利用数形结合法，求出的斜率，从而得出l的斜率的取值范围，即可得解. 【详解】设直线过定点，则直线可写成， 令，解得. 直线必过定点． ，． 直线与线段相交，   由图象知，或，解得或， 则实数的取值范围是． 故选：A 题型四 由斜率判断两条直线平行与垂直 31．（多选）同一平面内的直线与直线，下列选项中满足的直线是（   ） A． B．经过点和 C．的斜率为2，且过点 D．与没有公共点 【答案】AD 【分析】根据两条直线平行计算求出参数判断A，C，根据平行直线位置关系判断D，应用两点求出斜率判断B. 【详解】对于A：与斜率相等，且不重合，所以符合题意； 对于B : 经过点和，所以斜率为， 所以直线的方程为,化简可得，重合，不符合题意； 对于C：的斜率为2，且过点，所以，两条直线重合，不符合题意； 对于D：与没有公共点，则满足，D选项符合题意； 故选：AD. 32．“”是“直线和直线平行”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据两直线平行的判定条件进行判断即可. 【详解】当时，两直线方程为和， 可见两直线斜率相等，且两直线不重合，所以两直线平行， 所以“”是“直线和直线平行”的充分条件； 若直线和直线平行， 若，则，解得. 当时，两直线方程为和，斜率相等，平行； 当时，两直线方程为和，斜率相等，平行； 若，两直线方程为和，两直线垂直，不平行； 所以若直线和直线平行，则或. 综上，“”是“直线和直线平行”的充分不必要条件. 故选：A. 33．（多选）已知直线，则下列结论正确的是（    ） A．直线可能与轴垂直 B．当时，直线的倾斜角为 C．当时，直线与直线AB平行 D．当时，直线与直线AB垂直 【答案】AB 【分析】对于A，根据与轴垂直直线的方程，利用赋值法，可得其正误；对于B，根据直线一般式方程以及倾斜角与斜率的关系，可得其正误；对于C，根据已知点的坐标以及两点式方程，整理直线的一般式方程，可得其正误；对于D，根据两直线的一般式方程，结合垂直直线的判定，可得其正误. 【详解】对于A，当时，直线，此时该直线与轴垂直，故A正确； 对于B，当时，直线的斜率为， 由，则该直线的倾斜角为，故B正确； 对于C，当时，直线， 由，则直线，化简可得， 显然两条直线重合，故C错误； 对于D，当时，直线，由直线， 且，则两直线不垂直，故D错误. 故选：AB. 34．（多选）下列说法正确的是（   ） A．任意一条直线的倾斜角都存在 B．倾斜角为钝角的直线必过第三象限 C．两条平行的直线一定有相等的斜率 D．若直线l的斜率为负数，则其倾斜角为钝角 【答案】AD 【分析】根据直线倾斜角与斜率的关系，即可结合选项逐一求解. 【详解】根据倾斜角的定义可知易得A正确， 由于斜率与倾斜角满足，，故时，，D正确； 直线，斜率为负，故倾斜角为钝角，该直线经过二、四象限，不过第三象限，故B错误； 当两条直线不重合，且均与轴垂直，此时这两条直线平行，但它们没有斜率，故C错误. 故选:AD. 35．已知直线与直线，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】当时可推得，当时，可推得或，再利用充分条件与必要条件的判断方法，即可求解. 【详解】当时，直线，直线，此时，即可以推出， 当时，由，得到或， 又时，，，显然有，所以推不出， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 36．（多选）下列说法正确的是（    ） A．若空间中的非零向量，夹角为钝角，则 B．任意空间中的非零向量，，满足 C．所有的直线都有倾斜角 D．若两直线垂直，则它们的斜率互为负倒数 【答案】AC 【分析】本题综合考查空间向量数量积的性质、直线倾斜角与斜率的基本概念，需结合相关定义逐一验证选项. 【详解】 选项A：非零向量夹角为钝角时，夹角，，因此，A正确; 选项B：和都是实数，左边是与共线的向量，右边是与共线的向量，与不一定共线，因此等式不一定成立，B错误; 选项C：根据倾斜角的定义，平面内任意直线都有唯一的倾斜角，取值范围为，C正确; 选项D：若一条直线斜率为0，另一条垂直于它的直线斜率不存在，此时两直线垂直但不满足斜率互为负倒数，D错误. 37．已知直线，则与的位置关系是（   ） A．平行 B．重合 C．相交但不垂直 D．垂直 【答案】D 【分析】根据判断. 【详解】因为直线，的斜率分别为，且，所以与的位置关系是垂直. 故选：D 38．已知点，，点在轴上，是直角三角形，这样的三角形的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】设点C的坐标，讨论当分别为直角时的情况，求得点C的坐标，得满足题意的三角形共有3个. 【详解】设.显然直线斜率都存在. 若为直角，则，所以，解得； 若为直角，则，所以，解得； 若为直角，则，所以，解得. 故有三个满足要求的直角三角形. 故选：C 方法二：若为直角，则，解得； 若为直角，则，解得； 若为直角，则，解得. 故有三个满足要求的直角三角形. 故选：C 方法三：当为直角顶点时，显然有两个这样的直角三角形； 若为直角顶点，中点，，则，而点到距离为5，此时有唯一点，符合要求. 故有三个满足要求的直角三角形. 故选：C 39．直线经过点且斜率为，直线经过点和，则与的位置关系为（    ） A．平行 B．重合 C．垂直 D．相交但不垂直 【答案】D 【分析】根据两直线的斜率关系判断即可. 【详解】因为直线经过点和，所以直线的斜率， 又直线的斜率，且， 所以与相交但不垂直. 故选：D 40．在直角坐标系中，已知点，点在第一象限且，则的平分线所在直线的斜率为______. 【答案】 【分析】求出的平分线的倾斜角，得到斜率. 【详解】因为，所以， 因为点在第一象限，且，所以， 所以直线的倾斜角为，所以， 设的平分线为直线，则直线的倾斜角为， 所以， 即的平分线所在直线的斜率为. 题型五 已知直线平行求参数 41．已知直线与，则“”是“”的（    ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【分析】借助直线平行的性质及充分条件与必要条件定义计算即可得. 【详解】若，则，解得或， 当时，，两直线重合，不符； 当时，，符合题意； 所以，即“”是“” 的充要条件. 42．已知直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先验证充分性，即代入判断两直线是否平行；再求解必要性，通过两直线平行的系数关系求出所有满足的值，验证是否为唯一解，从而判断条件关系. 【详解】当时，直线，即；直线， 即，两直线斜率均为0且不重合，故. 若，则，展开得， 整理得，解得或. 当时，，即；， 即，两直线平行且不重合，满足条件. 因此，可推出，但不能仅推出， 故“”是“”的充分不必要条件. 43．已知直线与直线平行，则（    ） A．2 B．或2 C． D．或1 【答案】C 【详解】因为直线与直线平行， 根据两直线平行的充要条件可得，解得或， 当时，代入可得与，两条直线平行且不重合，符合题意； 当时，代入可得与，两条直线重合，不符合题意. 所以 44．已知，q：直线与直线平行，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据两直线平行求出的值，结合充分条件、必要条件的概念判断即可. 【详解】因为直线与直线平行， 所以，即，解得或. 当时，，满足平行条件. 当时，，满足平行条件. 所以，两直线平行时或. 因此是的充分不必要条件. 45．已知直线和直线，若，则（   ） A．1或 B．1 C． D．不存在 【答案】C 【分析】根据可列出关于的方程，求解再舍去不符合题意的项即可. 【详解】因为，所以，解得 时，两直线方程均为，两直线重合，故舍去. 时，两直线不重合，满足题意. 故选：C 46．“”是直线与直线平行的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先由两直线平行求出参数a，再由充分不必要条件的定义即可得解. 【详解】若直线与直线平行， 当时，两直线为和直线，平行，符合； 当时，两直线为和直线， 则， 综上，直线与直线平行的充要条件是. 所以“”是直线与直线平行的充分不必要条件. 故选：A 47．已知直线，直线，若，则实数的值为（   ） A．2 B． C．1 D．1或 【答案】B 【分析】根据两直线平行得到，解出值后再验证即可. 【详解】若，则，即，解得或， 当时，直线：与：，符合题意； 当时，直线：与：，两直线重合，不合题意. 综上， . 故选：B. 48．若直线与直线平行，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线平行系数关系列式计算再检验是否重合即可求解. 【详解】直线与直线平行， 则，所以或， 当时，直线与直线平行，符合题意； 当时，直线与直线重合，不符合题意； 故选：A. 49．（多选）下列说法正确的是（    ） A．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 B．“”是“直线与直线互相平行”的充要条件 C．直线的倾斜角的取值范围是 D．若点，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是 【答案】BCD 【分析】对于A：根据两直线的垂直条件，结合充分、必要条件分析判断；对于B：根据两直线的平行条件，结合充分、必要条件分析判断；对于C：由题意可得，进而可得倾斜角的范围；对于D：根据图形结合斜率公式分析求解. 【详解】对于A：当时，与的斜率分别为1和，斜率之积为，故两直线相互垂直，即充分性成立； 若“直线与直线互相垂直”，则，解得或， 所以推不出，即必要性不成立，故A错误； 对于B：因两直线平行等价于，解得， 故“”是“直线与直线互相平行”的充要条件，故B正确； 对于C：直线的倾斜角为，当时，则直线方程为，则； 当时，则， 因为，所以，综上可得，故C正确； 对于D：如图所示： 可得，，结合图象知，故D正确. 故选：BCD. 50．“”是直线与直线平行的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】先根据两直线平行求出参数，再检验，最后根据充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】若，则，得或， 当时，，，此时两直线重合； 当时，，，此时两直线平行， 故的充要条件是， 故“”是直线与直线平行的既不充分也不必要条件. 故选：D 题型六 已知直线垂直求参数 51．若直线与垂直，则实数_______________ 【答案】# 【详解】因为直线与垂直， 所以，即. 52．已知直线与，则“”是“”的（    ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【详解】由两条直线垂直的充要条件得，解得或， 所以“”是“”的充分不必要条件. 53．设不同的直线，，若，则_____. 【答案】 【分析】根据直线垂直的充要条件计算即可. 【详解】直线，， 若，则有，解得. 当时，，，两直线是不同的直线，满足题意. 故答案为：. 54．若直线与互相垂直，则实数（    ） A． B．或0 C．或0 D．0 【答案】C 【分析】根据互相垂直的两直线的性质进行求解即可. 【详解】因为直线与互相垂直， 所以，即，解得或. 故选：C. 55．已知直线与直线垂直，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线垂直得出系数关系计算求参. 【详解】两直线垂直，，即解得． 故选：A. 56．已知，两直线，若，则的最小值为（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据两条直线垂直的条件及基本不等式可得. 【详解】因为，且， 所以，即，且， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 故选：D. 57．已知直线经过，，直线经过点，. (1)若，求m的值； (2)若，求m的值. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)先求两条直线的斜率，由得，列关系式求解; (2)由得，列关系式求解。 【详解】（1）直线斜率，直线的斜率， 由得，所以，所以. （2）由得,由(1)可得，所以. 58．（多选）已知动直线：，动直线：，则下列结论中正确的是（    ） A．存在，使得的倾斜角为 B．动直线恒过定点 C．若与垂直，则或 D．若与平行，则或 【答案】BC 【分析】根据直线方程的性质及直线间的位置关系，逐一分析判断选项 【详解】因为直线的斜率恒存在，直线才会垂直于轴，故选项A错误； 已知，化简得：， 由解得直线经过点，故选项B正确； 由题可得，，若则，解得， 当时，，，此时直线，故选项C正确； 若，则，化简得，或， 当，与的方程均为，两直线重合非平行，故D选项错误. 故选：BC 59．“”是“直线与直线互相垂直”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用直线垂直的判定列方程求参数值，再由充分、必要性定义及推出关系判断题设条件间的关系. 【详解】“直线与直线互相垂直”的充要条件为：或. 因为“”是“或”的充分不必要条件， 所以“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件. 故选：A 60．已知直线与互相垂直，则实数的值为_____________. 【答案】0或 【分析】根据两直线垂直的系数关系列方程求解即可得实数的值. 【详解】因为直线与互相垂直， 所以，解得或. 故答案为：0或. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01倾斜角·斜率.平行垂直六大典型问题 题型归纳 题型一斜率与倾斜角的变化关系 题型二已知斜率求参数 题型三直线与线段的相交关系求斜率范围 题型四由斜率判断两条直线平行与垂直 题型五已知直线平行求参数 题型六已知直线垂直求参数 题型专练 题型一斜率与倾斜角的变化关系 (小+经 6 所>号或- 所以*9原位四足a-小个停+ 当ke)时，ae0}(经j 2.B 3.-3 【详解】令直线l的倾斜角为0，则tan0=2,而直线l绕点A逆时针旋转45°得到直线m, 所以直线m的预斜角为2459，则其斜率为am(0+45m9523 4.B 5.AD 115 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6.D 7.A 8.C 9.AD 10.D 题型二己知斜率求参数 11.D 12.C 13.B 14.B 4 15.3 【详解】因为l的倾斜角为135°，所以l的斜率k=tanl35°=-l, 2m-(m2-3 所以1 3-m-m2-(m2+2且3-m-㎡2-㎡2+2)≠0：解得m=年， 3 故答案为：3 16.1 【保1白应线的斜年-2·R小A<办得如高-2.解得， 同理e=昌-2，解得)3所以+= 故答案为：1. 17.c 18.D 19.BD 20.D 题型三直线与线段的相交关系求斜率范围 21.c 2.4] 215 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】将A(1,2)代入直线方程： f(1,2)=(m-1)1-2+1=m-2, 将B(4,-2)代入直线方程： f(4,-2)=(m-1)4-（-2)+1=4m-4+2+1=4m-1, 因为直线I:(m-)x-y+1=0与线段AB有公共点， 所以m-24m-)50,所以解集为冬m≤2. 即实数m 的取值范围为 [列 故答案为： 可 23.D 24.C 25.C 26.C 27.A 28.A 29.D 30.A 题型四由斜率判断两条直线平行与垂直 31.AD 32.A 33.AB 34.AD 35.A 36.AC 37.D 38.C 39.D 40.3 315 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】因为A(-山，V5),所以k4=-V5, 因为点a在第-象职，且OB1O4所以a= 3 所以直线OB的倾斜角为石，所以∠B0 3 设∠B0,的平分线为直线：则直线，的倾斜角为子 所以k=tan=5」 3 即∠BOy的平分线所在直线的斜率为V5. 题型五已知直线平行求参数 41.C 42.A 43.C 44.A 45.C 46.A 47.B 48.A 49.BCD 50.D 题型六已知直线垂直求参数 【详解】因为直线：6x+4y+3=0与：mr-2y+1=0垂直， 所以6m+4x(-2）=0,即m-号 415 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 52.A 53.3 【详解】直线：2x-my-1=0,12:(m-1)x-y+1=0 2 若11，则有2(m-)+(←m)×(←)=0，解得m= 当m-号时，：2x子-1=0，：}-少41-0，两直线是不洞的直线，满足题点 1 故答案为：3 54.C 55.A 56.D 57.(1)m=1(2)m=-9 【解】山直线（编，青线的与@-2” -2-1 3 1__m 由1∥l,得k=k2,所以3=-3，所以m=1 （②115人=由0可得》-山，所以m9 58.BC 59.A 60.0或-3 【详解】因为直线：ax+(a+2)y+2=0与：x+四+1=0互相垂直， 所以ax1+(a+2)a=0,解得a=0或a=-3. 故答案为：0或-3. 5/5 专题01 倾斜角·斜率·平行·垂直六大典型问题 题型一 斜率与倾斜角的变化关系 题型二 已知斜率求参数 题型三 直线与线段的相交关系求斜率范围 题型四 由斜率判断两条直线平行与垂直 题型五 已知直线平行求参数 题型六 已知直线垂直求参数 题型一 斜率与倾斜角的变化关系 1．设直线的倾斜角，则其斜率的取值范围是____________；若直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是____________. 【答案】 【分析】根据直线的倾斜角和斜率的关系，，即可求解. 【详解】因为，，，， 所以或， 所以斜率的取值范围是； 当时，. 2．如果直线经过，两点，那么直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【详解】由点和，得， 所以直线的一个方向向量为，所以直线的斜率， 所以，又，所以或． 3．已知斜率为2的直线与轴交于点，直线绕点逆时针旋转得到直线，则直线的斜率为______． 【答案】 【详解】令直线的倾斜角为，则，而直线绕点逆时针旋转得到直线， 所以直线的倾斜角为，则其斜率为. 4．直线经过点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知直线经过点， ， 设直线的倾斜角为，则， ． 5．（多选）如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据斜率和倾斜角的关系确定正确答案. 【详解】由图象可知， 所以，， 函数在上单调递增，所以， 综上所述，. 故选：AD 6．若如图中的直线，，的斜率分别为，，，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由倾斜角与斜率的关系即可求解. 【详解】设直线､､的倾斜角分别为， 则， 由图可知：，， 所以. 故选：D 7．已知为直线的倾斜角，若直线的法向量为，，那么当实数变化时，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由直线的法向量得到直线的方向向量，进而求得直线的斜率，利用斜率与 倾斜角的关系求范围. 【详解】由直线的法向量为可得：直线的方向向量可取为. 当时，，此时直线垂直于轴，. 当时，直线的斜率，， 则当时，由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立，此时； 则当时，由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立，此时； 综上可得：的取值范围是. 故选：A. 8．下列直线中，倾斜角为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由倾斜角为，则该直线的斜率为，逐项判断即可. 【详解】若直线的倾斜角为，则该直线的斜率为， 所以这四条直线中，倾斜角为的是. 故选：C 9．（多选）若两直线，的斜率存在，其倾斜角分别为，，斜率分别为，，则下列四个结论错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AD 【分析】根据倾斜角和斜率的函数关系，对选项一一分析即可得出答案. 【详解】对于A，取，则，则，故A错误； 对于B，若，即，故B正确； 对于C，若，则直线，的斜率存在且不为， 因为，又因为正切函数在，上单调递增， 所以，故C正确； 对于D，若，则，所以，故D错误; 故选：AD. 10．已知，直线：上存在点，满足，则的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两点间的距离公式，以及直线过定点的判定方法，求出直线所过定点，判断满足题目条件的直线情况，进而求出斜率的取值范围，再求出倾斜角范围即可. 【详解】由题意得直线方程为，变形为， 可知直线过定点， 由可知， 当直线上存在点满足时，即直线与线段有交点， 如图所示，， 又因为直线的斜率不为0， 所以直线斜率在， 直线倾斜角的范围为. 故选：D. 题型二 已知斜率求参数 11．已知点，直线的斜率为，则（    ） A．-5 B．-2 C．2 D．5 【答案】D 【分析】根据两点求斜率的公式求得正确答案. 【详解】因为，所以， 故选：D 12．若经过，两点的直线的倾斜角为45°，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据过两点的直线的斜率公式列方程求解. 【详解】因为经过，两点的直线的倾斜角为45°， 所以该直线的斜率，即，解得. 故选：C. 13．已知直线的倾斜角为，且直线经过，两点，则实数的值为（    ） A．－2 B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据直线的倾斜角求出其斜率，再由过两点，的直线的斜率公式为求出的值. 【详解】直线的倾斜角为，故其斜率， 根据两点间斜率公式可得：，解得. 故选：B 14．过不重合的两点的直线倾斜角为45°，则的取值为（   ） A． B． C．或2 D．或-2 【答案】B 【分析】先根据斜率的定义及过两点的斜率的计算公式列出等式，求出，将值代入两点的坐标验证，即可得解. 【详解】因为过两点的直线倾斜角为45°，所以直线的斜率. 又因为， 所以， 整理可得，即，解得或. 当时，，，此时两点重合，不符合题意，舍去； 当时，，，此时两点不重合，符合题意. 综上，所以的取值为. 故选：B 15．过两点的直线l的倾斜角为135°，求m的值为_____. 【答案】 【分析】根据倾斜角计算出斜率值，然后根据斜率的坐标公式求解出的值. 【详解】因为的倾斜角为，所以的斜率， 所以且，解得， 故答案为：. 16．设，为实数，已知直线的斜率，且，，是这条直线上的三个点，则__________. 【答案】1 【分析】根据斜率公式直接可得. 【详解】由直线的斜率，且，，得，解得. 同理，解得，所以. 故答案为：1. 17．过两不同点的直线的斜率为1，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】利用两点的斜率公式，建立方程求解，通过验根，可得答案. 【详解】根据题意可得，解得或． 当时，点重合，不符合题意，舍去． 当时，经验证，符合题意． 故选：C. 18．过两点、的直线的倾斜角为，则的值为（    ） A．或 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据斜率公式计算可得. 【详解】因为过两点、的直线的倾斜角为， 所以，即，解得. 故选：D 19．（多选）已知点，若在坐标轴上存在一点，使直线的倾斜角为，则点的坐标不能为（　　） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】设轴上点或轴上点，根据斜率公式，列出方程，即可求解. 【详解】设轴上点或轴上点， 因为直线的倾斜角为，可得，得， 解得，故点的坐标为或. 故选：BD. 20．若直线经过两点、且的倾斜角为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据斜率的定义以及斜率公式可得出关于实数的等式，解之即可. 【详解】由斜率的定义可得，即，解得. 故选：D. 题型三 直线与线段的相交关系求斜率范围 21．已知，若过点的直线与线段（含端点）总有公共点，则直线的斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出直线过点和过点时的斜率，数形结合求解. 【详解】 如图，设，当直线过点时，斜率，当直线过点时，斜率， 要使直线与线段（含端点）总有公共点，则直线的斜率需满足或. 所以直线的斜率的取值范围为. 故选：C. 22．若，，若直线与线段AB有公共点，则实参数m的取值范围为______． 【答案】 【分析】确定线段端点与直线的位置关系，先代入端点计算，再解不等式即可. 【详解】将 代入直线方程： ， 将 代入直线方程： ， 因为直线 与线段 有公共点， 所以，所以解集为 ， 即实数 的取值范围为 ， 故答案为：. 23．已知点，，过的直线与线段没有交点，则直线斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先计算过点与线段的两端点，的直线的斜率，再根据直线与线段无交点的条件，结合图象确定斜率的取值范围. 【详解】设点坐标为，则，， 设直线的斜率为， 由图可知过点的直线与线段没有交点时，直线的斜率满足， ∴. 故选：D. 24．经过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的斜率取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，作出图形，利用斜率公式结合图形求解作答. 【详解】如图，直线与线段总有公共点，即直线以直线为起始位置，绕点P逆时针旋转到直线即可， 而， 因此， 故选：C 25．设点，，若直线与线段相交，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过分析直线与线段相交的条件，解得a的取值范围. 【详解】当时，直线为轴，显然与线段相交；    又， 当时，只需或，所以或. 综上，所以实数的取值范围是. 故选：C. 26．已知点、、，过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合图象分析过点与线段有公共点的情况，求出过线段端点的斜率，从而得出斜率的取值范围． 【详解】如下图所示，    若过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率或， ，， 直线的斜率或， 直线斜率的取值范围是，故C正确． 故选：C． 27．若直线与以为端点的线段相交，则直线的倾斜角取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出直线恒过的定点，分别求出直线的斜率，由直线与线段相交，得到直线的斜率和直线的斜率的不等关系，从而得到直线的倾斜角的取值范围. 【详解】直线，即，则直线恒过定点，且斜率为， ，， 直线与以为端点的线段相交，   或，或， 直线的倾斜角取值范围为. 故选：A. 28．已知点，若过定点的直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线斜率公式，结合数形结合思想进行求解即可. 【详解】直线过定点，且直线与线段相交， 由图象知，或，则斜率的取值范围是． 故选：A 29．直线l过点且与以为端点的线段相交，则直线的斜率的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别求出PM、QM的斜率，结合图象及斜率变化关系，即可得斜率的范围. 【详解】当直线l过点时，， 当直线l过点时，， 要使直线l与以为端点的线段相交， 则直线的斜率的取值范围. 故选：D 30．已知点，.若直线：与线段相交，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直线l过定点，且与线段相交，利用数形结合法，求出的斜率，从而得出l的斜率的取值范围，即可得解. 【详解】设直线过定点，则直线可写成， 令，解得. 直线必过定点． ，． 直线与线段相交，   由图象知，或，解得或， 则实数的取值范围是． 故选：A 题型四 由斜率判断两条直线平行与垂直 31．（多选）同一平面内的直线与直线，下列选项中满足的直线是（   ） A． B．经过点和 C．的斜率为2，且过点 D．与没有公共点 【答案】AD 【分析】根据两条直线平行计算求出参数判断A，C，根据平行直线位置关系判断D，应用两点求出斜率判断B. 【详解】对于A：与斜率相等，且不重合，所以符合题意； 对于B : 经过点和，所以斜率为， 所以直线的方程为,化简可得，重合，不符合题意； 对于C：的斜率为2，且过点，所以，两条直线重合，不符合题意； 对于D：与没有公共点，则满足，D选项符合题意； 故选：AD. 32．“”是“直线和直线平行”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据两直线平行的判定条件进行判断即可. 【详解】当时，两直线方程为和， 可见两直线斜率相等，且两直线不重合，所以两直线平行， 所以“”是“直线和直线平行”的充分条件； 若直线和直线平行， 若，则，解得. 当时，两直线方程为和，斜率相等，平行； 当时，两直线方程为和，斜率相等，平行； 若，两直线方程为和，两直线垂直，不平行； 所以若直线和直线平行，则或. 综上，“”是“直线和直线平行”的充分不必要条件. 故选：A. 33．（多选）已知直线，则下列结论正确的是（    ） A．直线可能与轴垂直 B．当时，直线的倾斜角为 C．当时，直线与直线AB平行 D．当时，直线与直线AB垂直 【答案】AB 【分析】对于A，根据与轴垂直直线的方程，利用赋值法，可得其正误；对于B，根据直线一般式方程以及倾斜角与斜率的关系，可得其正误；对于C，根据已知点的坐标以及两点式方程，整理直线的一般式方程，可得其正误；对于D，根据两直线的一般式方程，结合垂直直线的判定，可得其正误. 【详解】对于A，当时，直线，此时该直线与轴垂直，故A正确； 对于B，当时，直线的斜率为， 由，则该直线的倾斜角为，故B正确； 对于C，当时，直线， 由，则直线，化简可得， 显然两条直线重合，故C错误； 对于D，当时，直线，由直线， 且，则两直线不垂直，故D错误. 故选：AB. 34．（多选）下列说法正确的是（   ） A．任意一条直线的倾斜角都存在 B．倾斜角为钝角的直线必过第三象限 C．两条平行的直线一定有相等的斜率 D．若直线l的斜率为负数，则其倾斜角为钝角 【答案】AD 【分析】根据直线倾斜角与斜率的关系，即可结合选项逐一求解. 【详解】根据倾斜角的定义可知易得A正确， 由于斜率与倾斜角满足，，故时，，D正确； 直线，斜率为负，故倾斜角为钝角，该直线经过二、四象限，不过第三象限，故B错误； 当两条直线不重合，且均与轴垂直，此时这两条直线平行，但它们没有斜率，故C错误. 故选:AD. 35．已知直线与直线，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】当时可推得，当时，可推得或，再利用充分条件与必要条件的判断方法，即可求解. 【详解】当时，直线，直线，此时，即可以推出， 当时，由，得到或， 又时，，，显然有，所以推不出， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 36．（多选）下列说法正确的是（    ） A．若空间中的非零向量，夹角为钝角，则 B．任意空间中的非零向量，，满足 C．所有的直线都有倾斜角 D．若两直线垂直，则它们的斜率互为负倒数 【答案】AC 【分析】本题综合考查空间向量数量积的性质、直线倾斜角与斜率的基本概念，需结合相关定义逐一验证选项. 【详解】 选项A：非零向量夹角为钝角时，夹角，，因此，A正确; 选项B：和都是实数，左边是与共线的向量，右边是与共线的向量，与不一定共线，因此等式不一定成立，B错误; 选项C：根据倾斜角的定义，平面内任意直线都有唯一的倾斜角，取值范围为，C正确; 选项D：若一条直线斜率为0，另一条垂直于它的直线斜率不存在，此时两直线垂直但不满足斜率互为负倒数，D错误. 37．已知直线，则与的位置关系是（   ） A．平行 B．重合 C．相交但不垂直 D．垂直 【答案】D 【分析】根据判断. 【详解】因为直线，的斜率分别为，且，所以与的位置关系是垂直. 故选：D 38．已知点，，点在轴上，是直角三角形，这样的三角形的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】设点C的坐标，讨论当分别为直角时的情况，求得点C的坐标，得满足题意的三角形共有3个. 【详解】设.显然直线斜率都存在. 若为直角，则，所以，解得； 若为直角，则，所以，解得； 若为直角，则，所以，解得. 故有三个满足要求的直角三角形. 故选：C 方法二：若为直角，则，解得； 若为直角，则，解得； 若为直角，则，解得. 故有三个满足要求的直角三角形. 故选：C 方法三：当为直角顶点时，显然有两个这样的直角三角形； 若为直角顶点，中点，，则，而点到距离为5，此时有唯一点，符合要求. 故有三个满足要求的直角三角形. 故选：C 39．直线经过点且斜率为，直线经过点和，则与的位置关系为（    ） A．平行 B．重合 C．垂直 D．相交但不垂直 【答案】D 【分析】根据两直线的斜率关系判断即可. 【详解】因为直线经过点和，所以直线的斜率， 又直线的斜率，且， 所以与相交但不垂直. 故选：D 40．在直角坐标系中，已知点，点在第一象限且，则的平分线所在直线的斜率为______. 【答案】 【分析】求出的平分线的倾斜角，得到斜率. 【详解】因为，所以， 因为点在第一象限，且，所以， 所以直线的倾斜角为，所以， 设的平分线为直线，则直线的倾斜角为， 所以， 即的平分线所在直线的斜率为. 题型五 已知直线平行求参数 41．已知直线与，则“”是“”的（    ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【分析】借助直线平行的性质及充分条件与必要条件定义计算即可得. 【详解】若，则，解得或， 当时，，两直线重合，不符； 当时，，符合题意； 所以，即“”是“” 的充要条件. 42．已知直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先验证充分性，即代入判断两直线是否平行；再求解必要性，通过两直线平行的系数关系求出所有满足的值，验证是否为唯一解，从而判断条件关系. 【详解】当时，直线，即；直线， 即，两直线斜率均为0且不重合，故. 若，则，展开得， 整理得，解得或. 当时，，即；， 即，两直线平行且不重合，满足条件. 因此，可推出，但不能仅推出， 故“”是“”的充分不必要条件. 43．已知直线与直线平行，则（    ） A．2 B．或2 C． D．或1 【答案】C 【详解】因为直线与直线平行， 根据两直线平行的充要条件可得，解得或， 当时，代入可得与，两条直线平行且不重合，符合题意； 当时，代入可得与，两条直线重合，不符合题意. 所以 44．已知，q：直线与直线平行，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据两直线平行求出的值，结合充分条件、必要条件的概念判断即可. 【详解】因为直线与直线平行， 所以，即，解得或. 当时，，满足平行条件. 当时，，满足平行条件. 所以，两直线平行时或. 因此是的充分不必要条件. 45．已知直线和直线，若，则（   ） A．1或 B．1 C． D．不存在 【答案】C 【分析】根据可列出关于的方程，求解再舍去不符合题意的项即可. 【详解】因为，所以，解得 时，两直线方程均为，两直线重合，故舍去. 时，两直线不重合，满足题意. 故选：C 46．“”是直线与直线平行的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先由两直线平行求出参数a，再由充分不必要条件的定义即可得解. 【详解】若直线与直线平行， 当时，两直线为和直线，平行，符合； 当时，两直线为和直线， 则， 综上，直线与直线平行的充要条件是. 所以“”是直线与直线平行的充分不必要条件. 故选：A 47．已知直线，直线，若，则实数的值为（   ） A．2 B． C．1 D．1或 【答案】B 【分析】根据两直线平行得到，解出值后再验证即可. 【详解】若，则，即，解得或， 当时，直线：与：，符合题意； 当时，直线：与：，两直线重合，不合题意. 综上， . 故选：B. 48．若直线与直线平行，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线平行系数关系列式计算再检验是否重合即可求解. 【详解】直线与直线平行， 则，所以或， 当时，直线与直线平行，符合题意； 当时，直线与直线重合，不符合题意； 故选：A. 49．（多选）下列说法正确的是（    ） A．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 B．“”是“直线与直线互相平行”的充要条件 C．直线的倾斜角的取值范围是 D．若点，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是 【答案】BCD 【分析】对于A：根据两直线的垂直条件，结合充分、必要条件分析判断；对于B：根据两直线的平行条件，结合充分、必要条件分析判断；对于C：由题意可得，进而可得倾斜角的范围；对于D：根据图形结合斜率公式分析求解. 【详解】对于A：当时，与的斜率分别为1和，斜率之积为，故两直线相互垂直，即充分性成立； 若“直线与直线互相垂直”，则，解得或， 所以推不出，即必要性不成立，故A错误； 对于B：因两直线平行等价于，解得， 故“”是“直线与直线互相平行”的充要条件，故B正确； 对于C：直线的倾斜角为，当时，则直线方程为，则； 当时，则， 因为，所以，综上可得，故C正确； 对于D：如图所示： 可得，，结合图象知，故D正确. 故选：BCD. 50．“”是直线与直线平行的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】先根据两直线平行求出参数，再检验，最后根据充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】若，则，得或， 当时，，，此时两直线重合； 当时，，，此时两直线平行， 故的充要条件是， 故“”是直线与直线平行的既不充分也不必要条件. 故选：D 题型六 已知直线垂直求参数 51．若直线与垂直，则实数_______________ 【答案】# 【详解】因为直线与垂直， 所以，即. 52．已知直线与，则“”是“”的（    ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【详解】由两条直线垂直的充要条件得，解得或， 所以“”是“”的充分不必要条件. 53．设不同的直线，，若，则_____. 【答案】 【分析】根据直线垂直的充要条件计算即可. 【详解】直线，， 若，则有，解得. 当时，，，两直线是不同的直线，满足题意. 故答案为：. 54．若直线与互相垂直，则实数（    ） A． B．或0 C．或0 D．0 【答案】C 【分析】根据互相垂直的两直线的性质进行求解即可. 【详解】因为直线与互相垂直， 所以，即，解得或. 故选：C. 55．已知直线与直线垂直，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线垂直得出系数关系计算求参. 【详解】两直线垂直，，即解得． 故选：A. 56．已知，两直线，若，则的最小值为（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据两条直线垂直的条件及基本不等式可得. 【详解】因为，且， 所以，即，且， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 故选：D. 57．已知直线经过，，直线经过点，. (1)若，求m的值； (2)若，求m的值. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)先求两条直线的斜率，由得，列关系式求解; (2)由得，列关系式求解。 【详解】（1）直线斜率，直线的斜率， 由得，所以，所以. （2）由得,由(1)可得，所以. 58．（多选）已知动直线：，动直线：，则下列结论中正确的是（    ） A．存在，使得的倾斜角为 B．动直线恒过定点 C．若与垂直，则或 D．若与平行，则或 【答案】BC 【分析】根据直线方程的性质及直线间的位置关系，逐一分析判断选项 【详解】因为直线的斜率恒存在，直线才会垂直于轴，故选项A错误； 已知，化简得：， 由解得直线经过点，故选项B正确； 由题可得，，若则，解得， 当时，，，此时直线，故选项C正确； 若，则，化简得，或， 当，与的方程均为，两直线重合非平行，故D选项错误. 故选：BC 59．“”是“直线与直线互相垂直”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用直线垂直的判定列方程求参数值，再由充分、必要性定义及推出关系判断题设条件间的关系. 【详解】“直线与直线互相垂直”的充要条件为：或. 因为“”是“或”的充分不必要条件， 所以“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件. 故选：A 60．已知直线与互相垂直，则实数的值为_____________. 【答案】0或 【分析】根据两直线垂直的系数关系列方程求解即可得实数的值. 【详解】因为直线与互相垂直， 所以，解得或. 故答案为：0或. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $