第二章 直线和圆的方程（举一反三单元自测·培优卷）高二数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 第二章直线和圆的方程单元自测培优卷，题型全面（单选8、多选3、填空3、解答5），覆盖直线方程、圆的方程等核心知识，梯度合理，适配单元复习，考查数学眼光（几何直观）、思维（推理能力）与语言（模型观念）。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|直线平行、倾斜角范围、交点位置|基础巩固，几何直观应用| |多选|3/18|斜率与倾斜角关系、直线与圆位置|辨析推理，考查思维严谨性| |填空|3/15|距离公式、三线共点、直线与曲线交点|情境简洁，聚焦运算能力| |解答|5/77|垂直平分线、圆的标准方程、轨迹方程|综合应用，体现模型观念与创新意识|

第二章 直线和圆的方程（举一反三单元自测·培优卷） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（25-26高二上·江西鹰潭·期末）已知直线，若，则等于（   ） A．2 B．3 C．2或3 D．6或 【答案】A 【解题思路】根据两直线平行得到方程，再验证并结合充要条件的判定即可得到答案. 【解答过程】若，则，解得或3， 当时，，两直线平行， 当时，，两直线重合， 则时，. 故选：A. 2．（5分）（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）已知直线l的倾斜角，则直线l的斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用直线斜率的定义结合正切函数的性质即可计算作答. 【解答过程】当直线l的倾斜角为时，直线l的斜率不存在； 当直线l的倾斜角时，直线l的斜率，因， 则当时，，即，当时，，即， 所以直线l的斜率的取值范围是. 故选：D. 3．（5分）（25-26高二上·广东东莞·阶段检测）若直线：与直线：的交点位于第一象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】联立直线方程求出交点坐标，由题意可列出不等式组，即可求得答案. 【解答过程】由题意联立，解得， 即直线：与直线：的交点为， 由题意可得，解得， 即实数的取值范围是， 故选：A. 4．（5分）（25-26高二上·广东清远·期末）在轴上的截距为5，且与直线平行的直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先根据平行关系确定直线斜率为，再结合轴截距为得到直线过点，最后用点斜式求出直线方程. 【解答过程】已知直线，变形为，斜率为， 因为所求直线与平行，所以斜率也为， 又因为题干说所求直线在轴上的截距为，说明直线过点； 由点斜式可直接写出所求直线为：，化简可得：. 故选：A. 5．（5分）（25-26高二上·天津津南·阶段检测）已知直线：与直线：的交点为，则以点为圆心，且过点的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先求交点坐标，再由圆过点，可得，再写出圆的方程即可． 【解答过程】联立，解得，即， 以点为圆心，且过点， ， 则圆的方程为， 故选：D． 6．（5分）（25-26高二上·河北邢台·期中）圆与圆公切线的条数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据两圆圆心距离与半径的关系可判断两圆位置关系，进而可得公切线条数. 【解答过程】圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 所以两圆的圆心距为，所以， 因此两圆的位置关系为内切，所以公切线的条数为， 故选：B. 7．（5分）（25-26高二上·云南怒江·期中）光线从点出发，经过直线反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求出点关于直线的对称点，然后结合点可得直线方程. 【解答过程】设点关于直线的对称点为，则， 解得，即点，故所求直线的斜率为， 所以，所求直线的方程为，即. 故选：B. 8．（5分）（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知点在上，过点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】点在圆上，分析可得，要使四边形面积取到最大，只需取得最大值，根据点与圆的位置关系，分析计算，可求出，进而可得，计算即可得答案. 【解答过程】设圆的圆心为，则圆心坐标为，半径， 圆的圆心坐标为，半径， 所以点P到圆心C的最大距离为， 因为A为切点，所以， 所以， 所以四边形面积的最大值. 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知直线的斜率分别为，倾斜角分别为，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【解题思路】由斜率与倾斜角的关系逐项判断即可得. 【解答过程】对A：若，则，因，故，故A正确； 对B：当时，有，故B错误； 对C：若，则，因，故，故C正确； 对D：若，，则，故D正确. 故选：ACD. 10．（6分）（25-26高二上·贵州遵义·期末）已知直线，，则下列说法正确的是（    ） A．过定点 B．若，则 C．若，则 D．若与的纵截距相等，则 【答案】ABC 【解题思路】对于A，由即可求解判断；对于B，通过即可判断；对于C，由，并验证是否重合即可判断；对于D，由截距概念列出等式求解即可判断. 【解答过程】对于A，由直线，得， 由解得，，即过定点，正确； 对于B，当时，直线，， 则，故，则，正确； 对于C，若，可得，解得或， 又当时，直线，重合，舍去， 当时，直线，，平行， 综上，正确； 对于D，若与的纵截距相等，则， 对于直线，令得， 对于直线，令得， 由，解得，错误； 故选：ABC. 11．（6分）（25-26高二上·安徽阜阳·期末）已知圆和圆，则下列结论正确的是（    ） A．两圆有3条公切线 B．两圆的公共弦所在的直线方程为 C．若点E在圆C上，点F在圆M上，则的最大值为 D．两圆的交点及两个圆心的连线所围成的四边形的面积为 【答案】BD 【解题思路】由两圆方程式可知圆心及半径，确定两圆位置关系，再确定公切线条数，可判断A，将两圆方程式相减，可得到公共弦方程式，可判断B，利用圆上点到定直线距离最值，可判断C，求出弦长，可判断D. 【解答过程】由圆，得圆心，半径，由圆，得圆心，半径. 对于A项，因为，所以两圆相交，则两圆有两条公切线，故A不正确； 对于B项，因为两圆相交，将两圆的方程作差得，所以公共弦所在的直线方程为，故B项正确； 对于C项，由题意可得，当E，C，M，F四点共线时，最大， 所以，故C项不正确； 对于D项，圆心到公共弦所在的直线的距离, 所以公共弦长为， 所以两圆的交点及两个圆心的连线所围成的四边形的面积为，故D项正确. 故选：BD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（25-26高二上·上海·随堂练习）若点到直线的距离为1，则实数a的值为__________． 【答案】或 【解题思路】利用点到直线的距离公式求解即可. 【解答过程】因为点到直线的距离为1， 所以解得：或 故答案为：或 13．（5分）（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）三条直线，，相交于一点，则__________． 【答案】1 【解题思路】联立直线方程求交点坐标，再将点坐标代入含参直线方程求参数. 【解答过程】联立，解得， 把交点坐标代入，得，解得. 故答案为：. 14．（5分）（25-26高一下·上海宝山·期末）若直线（常数）与曲线有两个不同的公共点，则的取值范围是__________． 【答案】 【解题思路】根据给定条件，确定曲线表示的图形并作出，再利用直线与圆的位置关系求出范围. 【解答过程】由，得，则曲线表示以原点为圆心，1为半径的圆在及右侧部分， 直线恒过定点，斜率为，在同一坐标系内作出直线与曲线， 观察图象知，且，解得， 所以的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（25-26高一下·内蒙古乌兰察布·期中）直线经过，，直线经过点，． (1)若，求m的值； (2)若，求m的值． 【答案】(1)或 (2)或 【解题思路】（1）易得直线的斜率存在，则根据，可得两直线斜率相等，再结合斜率公式即可得解； （2）分直线的斜率等于零和直线的斜率存在且不为0，两种情况讨论，再结合斜率公式即可得解. 【解答过程】（1）由题知直线的斜率存在且， 若，则直线的斜率也存在，由， 得，解得或， 经检验，当或时，； （2）若，当时， 此时，斜率存在，不符合题意； 当时，直线的斜率存在且不为0， 则直线的斜率也存在，且， 即， 解得或， 所以当或时，． 16．（15分）（25-26高二上·湖北·阶段检测）已知顶点、、. (1)求边的垂直平分线的方程； (2)若直线过点，且的纵截距是横截距的2倍，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【解题思路】（1）根据，，即可得的中点及斜率，进而根据点斜式可得其垂直平分线方程； （2）当直线过坐标原点时可直接求得直线方程；当直线不过坐标原点时，可根据直线的截距式进行求解. 【解答过程】（1）由、可知中点为，且， 设边的垂直平分线的斜率为， 所以垂直平分线斜率满足，即， 所以边的垂直平分线的方程为，即； （2）当直线过坐标原点时，其斜率，此时直线方程为，符合题意； 当直线不过坐标原点时，由题意设直线方程为， 由过点，则，解得， 所以直线方程为， 综上所述，直线的方程为或. 17．（15分）（25-26高二上·山东济宁·期中）已知点是的外接圆上的一个动点，且． (1)求线段的垂直平分线方程及的外接圆的标准方程； (2)若，为的中点，求动点的轨迹方程． 【答案】(1)， (2) 【解题思路】（1）求得，进而可求得线段的垂直平分线方程，由题意的外接圆的直径为，据此求解即可； （2）设，利用坐标表示出点坐标，代入外接圆的方程即可求得点的轨迹方程. 【解答过程】（1）由得中点为. 直线的斜率. 所以其垂直平分线的斜率. 所以线段的垂直平分线方程为，即. 因为外接圆半径，圆心为. 所以外接圆方程为. （2）设，又. 则. 由于在上，将其代入圆方程可得. 化简可得. 即所求的轨迹方程为.    18．（17分）（25-26高二上·山东泰安·期中）已知圆过点，圆心在直线上，且圆与直线相切． (1)求圆的标准方程； (2)若点为直线上的动点，过作圆的两条切线，切点分别为、，求四边形面积的最小值，并求出此时点的坐标． 【答案】(1) (2)四边形面积的最小值为，点的坐标为 【解题思路】（1）设圆心，根据题意列关于的方程，解方程，可求出圆的半径，进而可得出圆的标准方程； （2）推导出，可得出四边形面积，分析可知，当时，取最小值， 求出方程，联立、的方程，求点的坐标，并求出的值，由此可得出四边形面积的最小值. 【解答过程】（1）因为圆的圆心在直线上，设圆心为， 根据题意可得，即， 解得，故圆心为，该圆的半径为， 因此，圆的标准方程为. （2）因为、都与圆相切，由切线长定理可得， 又因为，， 则，且，， 所以，四边形面积， 当时，取最小值，则四边形面积最小， 因为直线的斜率为，则直线的斜率为， 所以，直线的方程为，即， 由得，即点的坐标为， 此时，则四边形面积的最小值为. 19．（17分）（25-26高二上·甘肃张掖·期中）已知直线. (1)求经过点且与直线垂直的直线方程； (2)求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程. (3)若直线交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点B，O为坐标原点，设的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程. 【答案】(1) (2)或 (3)S的最小值为16，此时直线l的方程为． 【解题思路】（1）根据直线的斜率可设所求直线方程为，代入点即可求解； （2）联立直线与的方程可得交点坐标，分截距为0和截距不为0两种情况分别求解； （3）先求出两点的坐标，进而得到的面积表达式，然后利用基本不等式求出面积的最小值，即可确定直线的方程． 【解答过程】（1）由直线可得直线的斜率为， 依题意，所求直线斜率为，则其方程可设为， 该直线经过点，则，解得， 故所求直线方程为，即； （2）联立，解得，即直线与的交点为， 当直线经过原点时，满足题意，设直线方程为， 代入解得，此时； 当直线的截距都不为0时，设直线方程为， 依题意，解得，此时直线方程为， 综上，所求直线方程为或. （3）由题可知， 在中，令，解得，即得A， 再令，可得，即得， 故， 则 当且仅当，即时取等号， 故S的最小值为16，此时直线l的方程为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 直线和圆的方程（举一反三单元自测·培优卷） 【人教A版】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（25-26高二上·江西鹰潭·期末）已知直线，若，则等于（   ） A．2 B．3 C．2或3 D．6或 2．（5分）（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）已知直线l的倾斜角，则直线l的斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（5分）（25-26高二上·广东东莞·阶段检测）若直线：与直线：的交点位于第一象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（5分）（25-26高二上·广东清远·期末）在轴上的截距为5，且与直线平行的直线的方程为（   ） A． B． C． D． 5．（5分）（25-26高二上·天津津南·阶段检测）已知直线：与直线：的交点为，则以点为圆心，且过点的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 6．（5分）（25-26高二上·河北邢台·期中）圆与圆公切线的条数为（   ） A． B． C． D． 7．（5分）（25-26高二上·云南怒江·期中）光线从点出发，经过直线反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线的方程是（   ） A． B． C． D． 8．（5分）（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知点在上，过点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知直线的斜率分别为，倾斜角分别为，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．（6分）（25-26高二上·贵州遵义·期末）已知直线，，则下列说法正确的是（    ） A．过定点 B．若，则 C．若，则 D．若与的纵截距相等，则 11．（6分）（25-26高二上·安徽阜阳·期末）已知圆和圆，则下列结论正确的是（    ） A．两圆有3条公切线 B．两圆的公共弦所在的直线方程为 C．若点E在圆C上，点F在圆M上，则的最大值为 D．两圆的交点及两个圆心的连线所围成的四边形的面积为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（25-26高二上·上海·随堂练习）若点到直线的距离为1，则实数a的值为__________． 13．（5分）（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）三条直线，，相交于一点，则__________． 14．（5分）（25-26高一下·上海宝山·期末）若直线（常数）与曲线有两个不同的公共点，则的取值范围是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（25-26高一下·内蒙古乌兰察布·期中）直线经过，，直线经过点，． (1)若，求m的值； (2)若，求m的值． 16．（15分）（25-26高二上·湖北·阶段检测）已知顶点、、. (1)求边的垂直平分线的方程； (2)若直线过点，且的纵截距是横截距的2倍，求直线的方程. 17．（15分）（25-26高二上·山东济宁·期中）已知点是的外接圆上的一个动点，且． (1)求线段的垂直平分线方程及的外接圆的标准方程； (2)若，为的中点，求动点的轨迹方程． 18．（17分）（25-26高二上·山东泰安·期中）已知圆过点，圆心在直线上，且圆与直线相切． (1)求圆的标准方程； (2)若点为直线上的动点，过作圆的两条切线，切点分别为、，求四边形面积的最小值，并求出此时点的坐标． 19．（17分）（25-26高二上·甘肃张掖·期中）已知直线. (1)求经过点且与直线垂直的直线方程； (2)求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程. (3)若直线交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点B，O为坐标原点，设的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $