第2章 直线和圆的方程 章末检测试卷(2)（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教A版）

**基本信息** 本单元卷聚焦解析几何核心知识，通过基础概念与综合应用梯度设计，适配高中数学直线与圆单元复习，有效检测运算能力、推理意识及模型应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|倾斜角、垂直直线方程、对称问题|第8题结合对称转化思想，考查距离和最小值，体现数学思维| |多选|3/18|平行直线距离、圆的位置关系|第11题综合直线过定点与圆的性质，培养批判性思维| |填空|3/15|直线方程、圆的相切|第14题以安全预警区为情境，渗透数学眼光观察现实世界| |解答|5/77|直线方程、圆的公共弦、实际应用|第18题海上航行问题，通过坐标系建模，强化数学语言表达现实世界能力|

章末检测试卷(二) [时间：120分钟 分值：150分] 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分) 1.直线x+y=0的倾斜角为(　　) A.45° B.60° C.90° D.135° 答案　D 解析　因为直线的斜率为-1， 所以tan α=-1，即倾斜角为135°. 2.过点(0，-2)且与直线x+2y-3=0垂直的直线方程为(　　) A.2x-y+2=0 B.x+2y+2=0 C.2x-y-2=0 D.2x+y-2=0 答案　C 解析　设该直线方程为2x-y+m=0， 由于点(0，-2)在该直线上， 则2×0+2+m=0，即m=-2， 即该直线方程为2x-y-2=0. 3.直线3x-4y+5=0关于x轴对称的直线方程为(　　) A.3x+4y+5=0 B.3x+4y-5=0 C.-3x+4y-5=0 D.-3x+4y+5=0 答案　A 解析　设所求直线上任意一点为(x，y)， 则此点关于x轴对称的点的坐标为(x，-y)， 因为点(x，-y)在直线3x-4y+5=0上， 所以所求直线方程为3x+4y+5=0. 4.直线x+y-1=0被圆(x+1)2+y2=3截得的弦长等于(　　) A. B.2 C.2 D.4 答案　B 解析　由题意，得圆心为(-1，0)，半径r=， 弦心距d==， 所以所求的弦长为2=2. 5.若点P(1，1)为圆x2+y2-6x=0的弦MN的中点，则弦MN所在直线的方程为(　　) A.2x+y-3=0 B.x-2y+1=0 C.x+2y-3=0 D.2x-y-1=0 答案　D 解析　由题意，知圆的标准方程为(x-3)2+y2=9，圆心A(3，0). 因为点P(1，1)为弦MN的中点， 所以AP⊥MN. 又AP的斜率k==-， 所以直线MN的斜率为2， 所以弦MN所在直线的方程为y-1=2(x-1)，即2x-y-1=0. 6.若动点A(x1，y1)，B(x2，y2)分别在直线l1：x+y-7=0和l2：x+y-5=0上移动，则线段AB的中点M到原点的距离的最小值为(　　) A.2 B.3 C.3 D.4 答案　C 解析　由题意，知M点的轨迹为平行于直线l1，l2且到l1，l2距离相等的直线l， 故其方程为x+y-6=0， 所以M到原点的距离的最小值d==3. 7.圆x2+y2+2x+4y-3=0上到直线x+y+1=0的距离等于的点有(　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 答案　C 解析　圆的一般方程化为标准方程为(x+1)2+(y+2)2=8， 则圆心坐标为(-1，-2)， 圆的半径为2， 所以圆心到直线的距离为==， 而<2， 所以直线与圆相交. 由于圆的半径为2， 所以与直线x+y+1=0平行且距离为的直线一条过圆心，另一条与圆相切， 所以圆上到该直线的距离等于的点共有3个. 8.已知x+y=0，则+的最小值为(　　) A. B.2 C. D.2 答案　C 解析　设点P(x，y)为直线x+y=0上的动点， +=+可看作点P(x，y)与点(1，1)的距离和点P(x，y)与点(2，0)的距离之和， 设点M(1，1)，N(2，0)， 点M'(-1，-1)为点M(1，1)关于直线x+y=0的对称点，故|PM|=|PM'|， 且|M'N|==， 所以|PM|+|PN| =+ =|PM'|+|PN|≥|M'N| =， 当且仅当P，M'，N三点共线时，取等号， 所以+的最小值为. 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.若两条平行直线l1：x-2y+m=0与l2：2x+ny-6=0之间的距离是2，则m+n的可能值为(　　) A.3 B.-17 C.-3 D.17 答案　AB 解析　由题意，n≠0，-=， 所以n=-4， 所以l2：2x-4y-6=0， 即x-2y-3=0， 由两平行直线间的距离公式得=2， 解得m=7或m=-13， 所以m+n=3或m+n=-17. 10.等腰直角三角形ABC的直角顶点为C(3，3)，若点A(0，4)，则点B的坐标可能是(　　) A.(2，0) B.(6，4) C.(4，6) D.(0，2) 答案　AC 解析　设B点坐标为(x，y)， 根据题意知 则 解得或 11.已知圆C：x2+y2-6x-8y+21=0和直线l：kx-y+3-4k=0，则(　　) A.直线l与圆C的位置关系无法判定 B.当k=1时，圆C上的点到直线l的最大距离为+2 C.当圆C上有且仅有3个点到直线l的距离等于1时，k=0 D.若直线l与圆C交于M，N两点，则MN的中点的轨迹是一个圆 答案　BCD 解析　由x2+y2-6x-8y+21=0，得(x-3)2+(y-4)2=4，所以圆心C的坐标为(3，4)，半径为2. 由直线l的方程可得y-3=k(x-4)，则直线l恒过定点(4，3)，易得此点在圆C内，故直线l与圆C相交，故A错误； 当k=1时，直线l的方程为x-y-1=0，设圆心C(3，4)到直线l的距离为d，则d==，所以圆C上的点到直线l的最大距离为+2，故B正确； 当圆C上有且仅有3个点到直线l的距离等于1时，圆心C(3，4)到直线l的距离为1，由 =1，得k=0，故C正确； 设直线l恒过的定点为A，MN的中点为P，由垂径定理知PC⊥PA，故点P的轨迹是以AC为直径的圆，故D正确. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12.已知A(0，-1)，点B在直线x-y+2=0上，若直线AB平行于直线x+2y-3=0，则B点坐标为　　　　.  答案　(-2，0) 解析　因为直线AB平行于直线x+2y-3=0， 所以设直线AB的方程为x+2y+m=0(m≠-3)， 又点A(0，-1)在直线AB上， 所以0+2×(-1)+m=0，解得m=2， 所以直线AB的方程为x+2y+2=0， 联立两直线方程 解得故B点坐标为(-2，0). 13.集合A={(x，y)|x2+y2=4}，B={(x，y)|(x-3)2+(y-4)2=r2}，其中r>0，若A∩B中有且仅有一个元素，则r的值是　　　　　.  答案　3或7 解析　∵A∩B中有且仅有一个元素， ∴圆x2+y2=4与圆(x-3)2+(y-4)2=r2相切. 当两圆内切时， 由=|2-r|，解得r=7(负值舍去)； 当两圆外切时， 由=2+r，解得r=3.∴r=3或r=7. 14.某市为了改善城市中心环境，计划将市区某工厂向城市外围迁移，需要拆除工厂内一个高塔，施工单位在某平台O的北偏东45°方向40 m处设立观测点A，在平台O的正西方向240 m处设立观测点B，已知经过O，A，B三点的圆为圆C，规定圆C及其内部区域为安全预警区.以O为坐标原点，O的正东方向为x轴正方向，建立如图所示的平面直角坐标系.经观测发现，在平台O的正南方向200 m的P处，有一辆小汽车沿北偏西45°方向行驶，则小汽车　　　　进入安全预警区.(填“会”或“不会”)  答案　会 解析　由题意得A(40，40)，B(-240，0)， 设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0， 因为圆C经过O，A，B三点， 所以 解得 所以圆C的方程为x2+y2+240x-320y=0， 即(x+120)2+(y-160)2=40 000，小汽车行驶路线所在直线的斜率为-1， 又点P的坐标是(0，-200)， 所以小汽车行驶路线所在直线的方程为y=-x-200， 圆心为C(-120，160)，半径r=200， 圆心C到直线y=-x-200的距离 d==120<r， 所以直线y=-x-200与圆C相交， 即小汽车会进入安全预警区. 四、解答题(本题共5小题，共77分) 15.(13分)已知直线l经过点P(-2，5)，且斜率为-. (1)求直线l的方程；(6分) (2)若直线m与l平行，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程.(7分) 解　(1)由直线方程的点斜式， 得y-5=-(x+2)， 整理得所求直线方程为3x+4y-14=0. (2)由直线m与直线l平行， 可设直线m的方程为3x+4y+C=0(C≠-14)， 由点到直线的距离公式得 =3， 即=3，解得C=1或C=-29， 故所求直线方程为3x+4y+1=0或3x+4y-29=0. 16.(15分)在x轴的正半轴上求一点P，使以A(1，2)，B(3，3)及点P为顶点的△ABP的面积为5. 解　设点P的坐标为(a，0)(a>0)， 点P到直线AB的距离为d， 由已知，得S△ABP=|AB|·d =·d=5， 解得d=2. 易得直线AB的方程为x-2y+3=0， 所以d==2， 解得a=7或a=-13(舍去)， 所以点P的坐标为(7，0). 17.(15分)已知圆C1：x2+y2=10与圆C2：x2+y2+2x+2y-14=0. (1)求两圆公共弦所在直线的方程；(5分) (2)求经过两圆交点，且圆心在直线x+y-6=0上的圆的方程.(10分) 解　(1)因为圆C1：x2+y2=10与圆C2：x2+y2+2x+2y-14=0， 所以将C1：x2+y2=10代入C2：x2+y2+2x+2y-14=0， 得两圆公共弦所在直线的方程为x+y-2=0. (2)由 解得或 则交点为A(3，-1)，B(-1，3)， 因为圆心在直线x+y-6=0上，所以设圆心为P(6-n，n)， 则=，即=， 解得n=3，故圆心P(3，3)，半径r==4， 所以所求圆的方程为(x-3)2+(y-3)2=16. 18.(17分)在海上进行工程建设时，一般需要在工地某处设置警戒水域，现有一海上作业工地记为点E，在一个特定时段内，以点E为中心的1海里以内的海域被设为警戒水域，点E正北4海里处有一个雷达观测站A，某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东30°方向且与点A相距10海里的点B处，经过12分钟又测得该船只已行驶到点A北偏东60°方向且与点A相距2海里的点C处. (1)求该船的行驶速度的大小(单位：海里/小时)；(8分) (2)若该船不改变航行方向继续行驶.试判断它是否会进入警戒水域(点E与船的距离小于1海里即为进入警戒水域)，并说明理由.(9分) 解　(1)如图，以A为原点建立平面直角坐标系， 设一个单位长度为1海里， 由题知|AB|=10，|AC|=2， A(0，0)，E(0，-4)， 再由方位角可得 B(5，5)，C(3，)， 所以|BC|==2， 又因为12分钟=0.2小时， 则v=2÷0.2=10(海里/小时)， 所以该船行驶的速度的大小为10海里/小时. (2)直线BC的斜率k==2， 所以直线BC的方程为y-=2(x-3)， 即2x-y-5=0， 所以点E到直线BC的距离为 =<1， 即该船不改变航行方向行驶时离点E的距离小于1海里，所以若该船不改变航行方向会进入警戒水域. 19.(17分)已知k∈R，圆C：x2+y2+2kx+(4k+10)y+(5k2+20k+9)=0. (1)若圆C与圆x2+y2=1外切，求实数k的值；(5分) (2)求圆心C的轨迹方程；(5分) (3)是否存在定直线l，使得动圆C截直线l所得的弦长恒为？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.(7分) 解　(1)由圆C：x2+y2+2kx+(4k+10)y+(5k2+20k+9)=0， 化为标准方程为(x+k)2+(y+2k+5)2=42， ∴圆C的圆心为C(-k，-2k-5)，半径r=4. ∵圆C与圆x2+y2=1外切， ∴=4+1=5， 解得k=0或k=-4. (2)由(1)得C(-k，-2k-5)， 即 消去k得y=2x-5， ∴圆心C的轨迹方程为y=2x-5. (3)设直线l交圆C于A，B两点， 设C(-k，-2k-5)到直线l的距离为d， 则|AB|=2， 假设存在符合题意的定直线l， 则=2，解得d=， 即圆心C到直线l的距离恒为， 而圆心C的轨迹方程为2x-y-5=0， ∴可设直线l的方程为2x-y+t=0， 且=，|t+5|=， 解得t=-或t=-， ∴存在符合题意的定直线l， 且定直线l的方程为2x-y-=0或2x-y-=0. 学科网（北京）股份有限公司 $