专题2.2 直线的方程（高效培优讲义）数学人教A版高二选择性必修第一册

本讲义聚焦高中数学直线方程核心知识点，系统梳理点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式五种方程形式，构建从点斜式基础到一般式统一的学习支架，明确各类方程适用条件与转化方法，为后续直线位置关系、圆的方程学习奠定基础。 该资料通过“即学即练”即时巩固与题型分类设计，培养学生根据几何条件灵活选择方程的数学思维，结合实例提升运算能力与数形结合能力，课中助力教师系统授课，课后帮助学生查漏补缺，深化解析几何用代数方法研究几何问题的基本思想。

专题2.2 直线的方程 教学目标 1. 掌握直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式五种方程形式，明确各类方程的适用条件与限制情况。 2. 能根据已知条件灵活选择合适的直线方程形式，熟练求解直线方程，提升数学运算与数形结合能力。 3. 体会解析几何用代数方法研究几何问题的基本思想，为后续直线位置关系、圆的方程学习奠定基础。 教学重难点 重点 1. 直线点斜式、斜截式方程的推导与应用，是所有直线方程的核心基础。 2. 根据不同已知条件，准确选择对应的直线方程形式求解方程。 3. 直线一般式方程的特征及一般式与其他四种形式的相互转化。 难点 1. 区分各类直线方程的适用范围，规避斜率不存在、截距为零导致的公式误用问题。 2. 灵活结合几何条件（平行、垂直、过定点）求解复杂情境下的直线方程。 3. 将实际几何问题转化为直线方程代数模型，实现数形的准确转化。 知识点01 直线的点斜式方程 方程由直线上一_________及其_________决定，我们把叫做直线的点斜式方程，简称点斜式． 1．点斜式方程是由直线上一点和斜率确定的，点斜式的前提是直线的斜率存在．点斜式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线； 2．当直线的倾斜角为时，直线方程为； 3．当直线倾斜角为时，直线没有斜率，它的方程不能用点斜式表示．这时直线方程为：． 4．表示直线去掉一个点；表示一条直线． 【即学即练】 1．过点且与直线斜率相等的直线方程为（    ） A． B． C． D． 2．已知直线过点，且与直线及轴围成等腰三角形，则的方程为（    ） A．或 B．或 C． D． 3．已知直线的倾斜角为，且过点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 知识点02 直线的斜截式方程 如果直线的斜率为，且与轴的交点为，根据直线的点斜式方程可得，即．我们把直线与轴的交点的纵坐标叫做直线在_________，方程由直线的斜率与它在轴上的截距确定，所以方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式． 1．b为直线在y轴上截距，截距可以取一切实数，即可以为正数、零、负数；距离必须大于或等于零； 2．斜截式方程可由过点的点斜式方程得到； 3．当时，斜截式方程就是一次函数的表示形式． 4．斜截式的前提是直线的斜率存在．斜截式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线． 5．斜截式是点斜式的特殊情况，在方程中，是直线的斜率，是直线在轴上的截距． 【即学即练】 1．直线经过点，与轴、轴分别交于、两点，若，则直线的方程为__________. 2．直线经过点，在两坐标轴上的截距互为相反数，则的所有可能取值之和为（ ） A．7 B．8 C．9 D．10 3．经过点的直线在轴上的截距是（    ） A． B． C．10 D．2 知识点03 直线的两点式方程 经过两点（其中）的直线方程为__________________，称这个方程为直线的两点式方程，简称两点式． 1．这个方程由直线上两点确定； 2．当直线没有斜率（）或斜率为时，不能用两点式求出它的方程． 3．直线方程的表示与选择的顺序无关． 4．在应用两点式求直线方程时，往往把分式形式通过交叉相乘转化为整式形式，从而得到的方程中，包含了或的情况，但此转化过程不是一个等价的转化过程，不能因此忽略由、和、是否相等引起的讨论．要避免讨论，可直接假设两点式的整式形式． 【即学即练】 1．已知直角中，点，，在轴上. (1)求点的坐标； (2)求斜边中线所在直线的方程. 2．已知两点． (1)求直线的方程； (2)若点，且，求直线的方程． 3．经过两点的直线的方向向量为，则直线的方程为______． 知识点04 直线的截距式方程 若直线与轴的交点为，与y轴的交点为，其中，则过AB两点的直线方程为，这个方程称为直线的截距式方程．a叫做直线在_________，b叫做直线在_________． 1．截距式的条件是，即截距式方程不能表示过原点的直线以及不能表示与坐标轴平行的直线． 2．求直线在坐标轴上的截距的方法：令x=0得直线在y轴上的截距；令y=0得直线在x轴上的截距． 【即学即练】 1．（多选）直线经过点，在轴上的截距的取值范围是，则其斜率的取值范围可以是（    ） A． B． C． D． 2．若直线被两坐标轴截得的线段长为，则实数的值为（   ） A． B． C．6 D．5 3．已知直线的斜率为2． (1)求； (2)若直线，且与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线的方程． 知识点05 直线方程的一般式 关于x和y的一次方程都表示一条直线．我们把方程写为，这个方程（其中A、B不全为零）叫做直线方程的一般式． 1．A、B不全为零才能表示一条直线，若A、B全为零则不能表示一条直线． 当时，方程可变形为，它表示过点，斜率为_________的直线． 当，时，方程可变形为，即，它表示一条与轴垂直的直线． 由上可知，关于、的二元一次方程，它都表示一条直线． 2．在平面直角坐标系中，一个关于、的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于、的一次方程． 【即学即练】 1．直线的斜率与的斜率相同，则的值为________. 2．过点且与直线垂直的直线的方程是_____________． 3．设A，是轴上的两点，点的横坐标为2，且，若直线的方程为，则直线的方程是（ ）． A． B． C． D． 知识点06 直线方程的综合应用 1．已知所求曲线是直线时，用待定系数法求． 2．根据题目所给条件，选择适当的直线方程的形式，求出直线方程． 对于两直线的平行与垂直，直线方程的形式不同，考虑的方向也不同． （1）从斜截式考虑 已知直线，， ； 于是与直线平行的直线可以设为；垂直的直线可以设为． （2）从一般式考虑： 且或，记忆式（） 与重合，，， 于是与直线平行的直线可以设为；垂直的直线可以设为． 【即学即练】 1．（多选）已知直线，直线，则（    ） A．直线可以与轴平行 B．直线可以与轴平行 C．当时， D．当时， 2．（多选）已知直线，则下列选项中正确的有（   ） A．直线在轴上的截距为2 B．直线的斜率为 C．直线的一个方向向量为 D．直线不经过第一象限 3．（多选）已知直线与直线，下列说法正确的是（） A．当时，直线的倾斜角为 B．直线恒过点 C．若，则 D．若，则 题型01 点斜式直线方程 （1）利用点斜式求直线方程的步骤是：①判断斜率是否存在，并求出存在时的斜率；②在直线上找一点，并求出其坐标． （2）要注意点斜式直线方程的逆向运用，即由方程可知该直线过定点且斜率为． 【典例1】若直线经过点、倾斜角为，则直线的点斜式方程是________. 【变式1】已知的顶点坐标分别是，，，为边的中点. (1)求直线的斜率； (2)求中线的方程. 【变式2】已知直线绕点逆时针旋转，得到直线，则不过第（   ）象限． A．四 B．三 C．二 D．一 题型02 斜截式直线方程 （1）选用斜截式表示直线方程的依据是知道（或可以求出）直线的斜率和直线在轴上的截距． （2）直线的斜截式方程的好处在于它比点斜式方程少一个参数，即斜截式方程只要两个参数、即可确定直线的方程，而点斜式方程则需要三个参数、、才能确定，而且它的形式简洁明了，这样当我们仅知道直线满足一个条件时，由参数选用斜截式方程具有化繁为简的作用． （3）若直线过某一点，则这一点坐标一定满足直线方程，这一隐含条件应充分利用． 【典例1】已知直线的方程为，求直线与坐标轴围成的三角形面积． 【变式1】已知直线方程是，则此直线过定点的坐标为______． 【变式2】已知直线的倾斜角为，在轴上的截距是，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 题型03 两点式直线方程 运用两点式求直线方程，要牢记公式适用前提：直线不能平行于坐标轴，两点横坐标、纵坐标均不能相等。若两点横坐标相等，直线垂直x轴，直接写x=x0；纵坐标相等，直线平行x轴，直接写y=y0，不可硬套两点式。解题可优先转化为点斜式运算，避开两点式的限制。求出方程后，务必代入两点进行检验，确认等式成立，防止漏解错解，做题要先观察两点坐标特征，再选择合适列式方式。 【典例1】已知的三个顶点分别为，M为AB的中点，则中线CM所在直线的方程为(    ) A． B． C． D． 【变式1】经过点和点的直线方程是______. 【变式2】过两点，的直线在轴上的截距为（    ） A． B． C． D． 题型04 截距式直线方程 使用截距式求直线方程，必须满足横、纵截距都不为0，直线不能过原点，也不能平行坐标轴。做题先判断截距是否存在，出现截距为零时，不能套用截距式，改用点斜式求解。已知截距直接代入列式，求得方程后化为一般式。已知条件求截距时，注意区分截距与距离，截距可为负数。遇到截距相关参数问题，要分类讨论，防止漏解，最后代入点检验结果，保证符合题意。 【典例1】在平面直角坐标系中，直线在轴上的截距为（    ） A． B．8 C． D． 【变式1】若直线经过点，则直线l在x轴和y轴上的截距之和取最小值时，_________. 【变式2】过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 题型05 中点坐标公式 （1）中点坐标公式是一个重要的公式，要注意灵活地运用它来解决问题． （2）在运用中点坐标公式时，要注意与“中点”等价的有关概念的运用． （3）在具体解题时，还应注意创设条件运用中点坐标公式，如由平面几何知识可知，平行四边形的对角线相交于一点且互相平分，也就是对角线上两顶点的中点重合等． 【典例1】已知点，若的中点坐标为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（多选）已知的三个顶点、、，则下列说法正确的是（    ） A．直线的斜率为 B．直线的倾斜角为锐角 C．边的中点坐标为 D．边上的中线所在的直线方程为 【变式2】已知的顶点，线段的中点为． (1)求边上的中线所在直线的方程； (2)若边所在直线在两坐标轴上的截距和是9，求边所在直线的方程． 题型06 直线的一般式方程 处理直线一般式Ax+By+C=0，要把握A,B不同时为0的前提，能够实现和点斜式、截距式互相转化。由一般式求斜率，B≠0时k=-A /B；B=0时直线垂直x轴，斜率不存在。利用系数可以快速判断两直线平行、垂直关系，无需计算斜率，规避斜率不存在的漏解。化简一般式时，通常把A化为非负整数，求解参数问题注意分类讨论，计算完成后代入点坐标检验，保证结果准确。 【典例1】若点在直线上，且，则的最小值为______． 【变式1】直线在两坐标轴上的截距之和为，则实数（   ） A． B． C． D．2 【变式2】已知的三个顶点的坐标分别为，，求： (1)边所在直线的一个方向向量； (2)边的中垂线的一般式方程. 题型07 判断动直线所过定点 判断动直线过定点，优先采用分离参数法，把含参数项合并，令参数的系数与常数项同时等于零，联立方程组解出定点坐标。也可取参数两个特殊值，得到两条直线方程，联立求交点，再回代原直线验证。注意特殊参数取值造成直线变化，避免漏掉特殊情况。不要直接凭观察猜定点，务必代入原式检验。面对多条动直线问题，结合几何意义辅助分析，提升解题正确率。 【典例1】不论为何实数，直线过定点（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知直线，当变化时，直线总是经过定点，则定点坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式2】直线l：（其中）. (1)求直线l所经过的定点P的坐标； (2)若向量是直线的一个方向向量，求直线的一般式方程. 题型08 直线与坐标轴形成三角形问题 （1）由于已知直线的倾斜角（与斜率有关）及直线与坐标轴围成的三角形的面积（与截距有关），因而可选择斜截式直线方程，也可选用截距式直线方程，故有“题目决定解法”之说． （2）在求直线方程时，要恰当地选择方程的形式，每种形式都具有特定的结论，所以根据已知条件恰当地选择方程的类型往往有助于问题的解决．例如：已知一点的坐标，求过这点的直线方程，通常选用点斜式，再由其他条件确定该直线在轴上的截距；已知截距或两点，选择截距式或两点式．在求直线方程的过程中，确定的类型后，一般采用待定系数法求解，但要注意对特殊情况的讨论，以免遗漏． 【典例1】（多选）若直线经过点，且与坐标轴围成的三角形面积为2，则的方程可能是（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知直线l过点，且与x轴、y轴的正方向分别交于A，B两点，分别求满足下列条件的直线方程： (1)时，求直线l的方程． (2)当的面积最小时，求直线l的方程． 【变式2】直线与坐标轴所围成的三角形的面积为3，则m的值可以为（    ） A．2 B． C．3 D． 题型09 直线方程的综合应用 直线方程综合应用，要根据题目条件灵活选用点斜式、一般式等形式，优先使用一般式可规避斜率不存在的漏解。遇到平行、垂直、过定点条件，用好直线系方程简化运算。处理与截距、交点相关题型，注意分类讨论，警惕截距为零、直线垂直坐标轴等特殊情形。解题坚持数形结合，画图辅助分析几何关系，求出结果后代入条件回代检验，区分截距与距离，防止概念混淆，提升解题准确度。 【典例1】已知直线l经过，两点，则（   ） A．直线l的一个点斜式为 B．直线l的一个两点式为 C．直线l的倾斜角为锐角 D．直线l的一个方向向量为 【变式1】已知直线在轴上的截距为1，则直线在轴上的截距是（    ） A．或 B．或 C．或5 D．或5 【变式2】经过直线与直线的交点，且垂直于直线的直线方程是（    ） A． B． C． D． 1．已知直线：绕点逆时针旋转得到直线，则的斜截式方程为（    ） A． B． C． D． 2．已知直线的方程为． (1)求证：不论为何值，直线必过定点； (2)过点的直线交坐标轴正半轴于两点，当面积最小时，求的周长． 3．（多选）在平面直角坐标系中，已知点，则（    ） A．直线的倾斜角为钝角 B．直线的斜率为 C．若为的重心，则直线的方程为 D．的平分线所在直线的斜率为 4．已知点，直线的方程为，若直线以为法向量，且点在直线上，则______． 5．（多选）已知直线，则下列结论正确的是（　　） A．直线可能与轴垂直 B．当时，直线的倾斜角为 C．当时，直线与直线平行 D．当时，直线与直线垂直 6．已知直线与直线互相垂直，则______． 7．（多选）已知的三个顶点，则下列描述正确的有（    ） A．直线BC的倾斜角不存在 B．直线AB的斜率为－2 C．边AC所在直线过坐标原点 D．边AB上的中线所在直线的方程为 8．（多选）已知直线l过点，，则（    ） A．点在直线l上 B．直线l的两点式方程为 C．直线l的一个方向向量的坐标为 D．直线l的截距式方程为 9．（多选）已知直线：，动直线：，则下列结论正确的是（    ） A．不存在k，使得的倾斜角为90° B．对任意的k，与都有公共点 C．对任意的k，与都不重合 D．对任意的k，与都不垂直 10．（多选）下列说法正确的是（ ） A．若直线经过第一､二､四象限，则点在第三象限 B．直线过定点 C．斜率为，在轴上的截距为的直线的方程为 D．过点且斜率为的直线的点斜式方程为 1．（多选）已知直线，，则下列说法正确的是（    ） A．的充要条件为或 B．若，则 C．若直线不经过第四象限，则 D．若，则将直线绕坐标原点按逆时针方向旋转，再向右平移一个单位长度，所得直线方程为 2．已知点，． (1)设，若直线与直线垂直，求的值； (2)求过点且与直线夹角的余弦值为的直线方程． 3．已知，直线上存在点，满足，则实数的取值范围是__________． 4．一束光线从点射出，沿倾斜角为的直线射到轴上，经轴反射后，反射光线所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 5．（多选）如果，，那么直线经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．已知，直线的方程为，直线的方程为，记，与两坐标轴围成的四边形的面积为S，则S的最小值为______. 7．若直线：经过第四象限，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（1）一条光线从点射出，与x轴相交于点，经x轴反射，求入射光线与反射光线所在直线的斜截式方程； （2）直线l经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，求直线l的一般式方程． 9．设，若直线与线段AB有交点，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 10．已知直线的方程为： (1)求证：不论为何值，直线必过定点； (2)过点引直线，使它与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积最小，求的方程． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.2 直线的方程 教学目标 1. 掌握直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式五种方程形式，明确各类方程的适用条件与限制情况。 2. 能根据已知条件灵活选择合适的直线方程形式，熟练求解直线方程，提升数学运算与数形结合能力。 3. 体会解析几何用代数方法研究几何问题的基本思想，为后续直线位置关系、圆的方程学习奠定基础。 教学重难点 重点 1. 直线点斜式、斜截式方程的推导与应用，是所有直线方程的核心基础。 2. 根据不同已知条件，准确选择对应的直线方程形式求解方程。 3. 直线一般式方程的特征及一般式与其他四种形式的相互转化。 难点 1. 区分各类直线方程的适用范围，规避斜率不存在、截距为零导致的公式误用问题。 2. 灵活结合几何条件（平行、垂直、过定点）求解复杂情境下的直线方程。 3. 将实际几何问题转化为直线方程代数模型，实现数形的准确转化。 知识点01 直线的点斜式方程 方程由直线上一定点及其斜率决定，我们把叫做直线的点斜式方程，简称点斜式． 1．点斜式方程是由直线上一点和斜率确定的，点斜式的前提是直线的斜率存在．点斜式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线； 2．当直线的倾斜角为时，直线方程为； 3．当直线倾斜角为时，直线没有斜率，它的方程不能用点斜式表示．这时直线方程为：． 4．表示直线去掉一个点；表示一条直线． 【即学即练】 1．过点且与直线斜率相等的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线的点斜式方程得到直线方程. 【详解】直线斜率为2且过点，由点斜式方程得． 故选：A． 2．已知直线过点，且与直线及轴围成等腰三角形，则的方程为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】根据直线所过点、倾斜角以及等腰三角形等知识求得正确答案. 【详解】如图，设，直线过和.      ①当直线为时，直线、直线与轴围成的三角形是，不是等腰三 角形，所以直线的斜率存在． ②当直线的斜率为负时，设关于轴的对称点为，当直线过两点时，是等腰三角形， 又，所以为等边三角形，满足题意，因为，所以此时直线的方程为． ③当直线的斜率为正时，设直线与轴负半轴相交于点，则，由直线AB的斜率为，倾斜角为，可得， 所以直线，也即直线的斜率为，对应方程为． 综上，直线的方程为或． 故选：A. 3．已知直线的倾斜角为，且过点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先得到直线的斜率，再由斜截式得到直线方程. 【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率， 又直线过点，所以直线的方程为. 故选：D 知识点02 直线的斜截式方程 如果直线的斜率为，且与轴的交点为，根据直线的点斜式方程可得，即．我们把直线与轴的交点的纵坐标叫做直线在轴上的截距，方程由直线的斜率与它在轴上的截距确定，所以方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式． 1．b为直线在y轴上截距，截距可以取一切实数，即可以为正数、零、负数；距离必须大于或等于零； 2．斜截式方程可由过点的点斜式方程得到； 3．当时，斜截式方程就是一次函数的表示形式． 4．斜截式的前提是直线的斜率存在．斜截式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线． 5．斜截式是点斜式的特殊情况，在方程中，是直线的斜率，是直线在轴上的截距． 【即学即练】 1．直线经过点，与轴、轴分别交于、两点，若，则直线的方程为__________. 【答案】 【分析】先由向量的坐标运算求出、两点的坐标，再利用直线的斜截式方程求解即可. 【详解】依题意，设，， 则，， 则， 由得，解得， 则，， 则直线的斜率为，方程为即. 故答案为：. 2．直线经过点，在两坐标轴上的截距互为相反数，则的所有可能取值之和为（ ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】由直线经过点得，然后计算直线在两坐标轴上的截距，然后根据截距相反列式计算即可. 【详解】由题意，因为直线经过点，所以，则直线. 当时，直线在轴上不存在截距，不满足题意； 所以，令，则，令，则. 由题意，化简得，解得或， 故的所有可能取值之和为. 故选：C. 3．经过点的直线在轴上的截距是（    ） A． B． C．10 D．2 【答案】A 【分析】先求得直线的方程，从而求得纵截距. 【详解】直线的斜率为， 所以直线的方程为， 纵截距为. 故选：A 知识点03 直线的两点式方程 经过两点（其中）的直线方程为，称这个方程为直线的两点式方程，简称两点式． 1．这个方程由直线上两点确定； 2．当直线没有斜率（）或斜率为时，不能用两点式求出它的方程． 3．直线方程的表示与选择的顺序无关． 4．在应用两点式求直线方程时，往往把分式形式通过交叉相乘转化为整式形式，从而得到的方程中，包含了或的情况，但此转化过程不是一个等价的转化过程，不能因此忽略由、和、是否相等引起的讨论．要避免讨论，可直接假设两点式的整式形式． 【即学即练】 1．已知直角中，点，，在轴上. (1)求点的坐标； (2)求斜边中线所在直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两直线垂直求直线的斜率，再利用点斜式求直线的方程，最后令可求点坐标. （2）先确定斜边的中点，利用两点式写出斜边中线的方程，再化简即可. 【详解】（1）因为，且， 所以. 所以直线的方程为，即. 令，可得. 所以点的坐标为. （2）的斜边为，设中点为，则. 所以直线的方程为：，即. 所以斜边中线所在直线的方程为. 2．已知两点． (1)求直线的方程； (2)若点，且，求直线的方程． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）由两点式求解直线的方程即可； （2）由计算点坐标，再由两点式求解直线的方程即可. 【详解】（1）因为， 所以直线的方程为， 整理得直线的方程为． （2）由题可得， 即，解得， 所以， 故直线的方程为， 即． 3．经过两点的直线的方向向量为，则直线的方程为______． 【答案】 【分析】由直线的方向向量求出点坐标，再由两点式计算直线的方程. 【详解】由题知，解得，即， 将两点坐标代入直线的两点式方程可得， 即． 故答案为：. 知识点04 直线的截距式方程 若直线与轴的交点为，与y轴的交点为，其中，则过AB两点的直线方程为，这个方程称为直线的截距式方程．a叫做直线在x轴上的截距，b叫做直线在y轴上的截距． 1．截距式的条件是，即截距式方程不能表示过原点的直线以及不能表示与坐标轴平行的直线． 2．求直线在坐标轴上的截距的方法：令x=0得直线在y轴上的截距；令y=0得直线在x轴上的截距． 【即学即练】 1．（多选）直线经过点，在轴上的截距的取值范围是，则其斜率的取值范围可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据题意，分别求得直线过点以及点的斜率，再结合图像，即可得到结果. 【详解】 设直线的斜率为， 如图，过定点的直线经过点时，直线在轴上的截距为3，此时； 过定点的直线经过点时，直线在轴的截距为，此时， 满足条件的直线的斜率范围是． 故选：BD 2．若直线被两坐标轴截得的线段长为，则实数的值为（   ） A． B． C．6 D．5 【答案】B 【分析】分别求出直线在两坐标轴上的截距，然后求解即可. 【详解】令，得；令，得. 依题意得，所以. 故选：B 3．已知直线的斜率为2． (1)求； (2)若直线，且与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或． 【分析】（1）根据直线过点，再由斜率公式计算即可； （2）根据直线，设直线方程为，再计算直线与轴的交点坐标，然后根据面积求解即可. 【详解】（1）易知直线过点， 则直线的斜率为， 解得． （2）由题可知直线的斜率为2， 故设直线的方程为． 易知直线与轴的交点坐标分别为，， 则直线与两坐标轴围成的三角形的面积为， 解得． 所以直线的方程为或． 知识点05 直线方程的一般式 关于x和y的一次方程都表示一条直线．我们把方程写为，这个方程（其中A、B不全为零）叫做直线方程的一般式． 1．A、B不全为零才能表示一条直线，若A、B全为零则不能表示一条直线． 当时，方程可变形为，它表示过点，斜率为的直线． 当，时，方程可变形为，即，它表示一条与轴垂直的直线． 由上可知，关于、的二元一次方程，它都表示一条直线． 2．在平面直角坐标系中，一个关于、的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于、的一次方程． 【即学即练】 1．直线的斜率与的斜率相同，则的值为________. 【答案】3 【分析】由直线的一般式可得两直线的斜率，由题意可得它们的斜率相等，由此即可求得的值. 【详解】直线的斜率为1， 所以直线：的斜率， 整理得，解得或3， 又因为，所以且，所以， 故答案为：3. 2．过点且与直线垂直的直线的方程是_____________． 【答案】 【分析】设是所求直线上任一点，直线的方向向量为，由化简即可求解. 【详解】设是所求直线上任一点， 直线的方向向量为，由，得． 故答案为： 3．设A，是轴上的两点，点的横坐标为2，且，若直线的方程为，则直线的方程是（ ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求得P、A两点的坐标，根据，可得点在直线上，从而可得B点的坐标，从而可求得直线的方程. 【详解】由直线PA的方程为， 当时，；当时，，所以， ∵， ∴点在线段的垂直平分线，即直线上， ∴， ∴直线的斜率， ∴直线的方程为，即． 故选：A. 知识点06 直线方程的综合应用 1．已知所求曲线是直线时，用待定系数法求． 2．根据题目所给条件，选择适当的直线方程的形式，求出直线方程． 对于两直线的平行与垂直，直线方程的形式不同，考虑的方向也不同． （1）从斜截式考虑 已知直线，， ； 于是与直线平行的直线可以设为；垂直的直线可以设为． （2）从一般式考虑： 且或，记忆式（） 与重合，，， 于是与直线平行的直线可以设为；垂直的直线可以设为． 【即学即练】 1．（多选）已知直线，直线，则（    ） A．直线可以与轴平行 B．直线可以与轴平行 C．当时， D．当时， 【答案】ABD 【分析】根据两直线平行和垂直时的系数关系逐个选项计算判断即可. 【详解】当时，直线：，此时直线与轴平行，故A项正确； 当时，直线：，此时直线与轴平行，故B项正确； 若，则，解得，此时直线与重合，故C项错误； 若，则，解得，故D正确. 故选：ABD. 2．（多选）已知直线，则下列选项中正确的有（   ） A．直线在轴上的截距为2 B．直线的斜率为 C．直线的一个方向向量为 D．直线不经过第一象限 【答案】BCD 【分析】对A，根据截距的定义判断即可；对B，根据斜率的定义判断即可；对C，根据该直线的一个方向向量为判断即可；对D，根据直线的截距和斜率判断即可. 【详解】对于A，直线方程截距是，故A错误； 对于B，斜率，故B正确； 对于C，该直线的一个方向向量为，与平行，故C正确； 对于D，由直线方程可知斜率为负，截距为负数，故直线l不经过第一象限，故D正确； 故选：BCD 3．（多选）已知直线与直线，下列说法正确的是（） A．当时，直线的倾斜角为 B．直线恒过点 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【分析】利用直线斜率与倾斜角的关系判断A，利用直线过定点的求解判断B，利用直线平行与垂直的性质判断CD，从而得解. 【详解】A中，当时，直线的斜率，设其倾斜角为， 所以，则，所以A不正确； B中，直线，整理可得， 令，可得， 即直线恒过定点，所以B正确； C中，当时，两条直线方程分别为：， 则两条直线重合，所以C不正确； D中，当时，两条直线方程分别为：， 显然两条直线垂直，所以D正确. 故选：BD. 题型01 点斜式直线方程 （1）利用点斜式求直线方程的步骤是：①判断斜率是否存在，并求出存在时的斜率；②在直线上找一点，并求出其坐标． （2）要注意点斜式直线方程的逆向运用，即由方程可知该直线过定点且斜率为． 【典例1】若直线经过点、倾斜角为，则直线的点斜式方程是________. 【答案】 【分析】根据给定条件，求出直线的斜率，进而求出直线的点斜式方程. 【详解】由直线的倾斜角为，得直线的斜率，又直线过点， 所以直线的点斜式方程是. 故答案为： 【变式1】已知的顶点坐标分别是，，，为边的中点. (1)求直线的斜率； (2)求中线的方程. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用斜率坐标公式直接求出斜率. （2）求出及直线的斜率，再利用直线的点斜式求出方程. 【详解】（1）直线的斜率. （2）依题意，边的中点，则直线的斜率， 所以直线的方程是，即. 【变式2】已知直线绕点逆时针旋转，得到直线，则不过第（   ）象限． A．四 B．三 C．二 D．一 【答案】D 【分析】首先求出直线的倾斜角，再根据旋转角度求出直线的倾斜角，进而得到直线的斜率，再根据直线所过的点求出直线方程，从而判断直线不过第几象限. 【详解】对于直线（为斜率），直线，其斜率，设其倾斜角为，根据，可得，又因为倾斜角，所以. 直线绕点逆时针旋转，则直线的倾斜角. 直线的斜率. 因为直线过点，根据直线的点斜式方程（为直线上一点，为斜率），可得直线的方程为，即. 直线的斜率为负，截距为负，所以直线不过第一象限. 故选：D. 题型02 斜截式直线方程 （1）选用斜截式表示直线方程的依据是知道（或可以求出）直线的斜率和直线在轴上的截距． （2）直线的斜截式方程的好处在于它比点斜式方程少一个参数，即斜截式方程只要两个参数、即可确定直线的方程，而点斜式方程则需要三个参数、、才能确定，而且它的形式简洁明了，这样当我们仅知道直线满足一个条件时，由参数选用斜截式方程具有化繁为简的作用． （3）若直线过某一点，则这一点坐标一定满足直线方程，这一隐含条件应充分利用． 【典例1】已知直线的方程为，求直线与坐标轴围成的三角形面积． 【答案】 【分析】先求出直线在坐标轴上两个截距，然后利用直角三角形面积公式求解即可 【详解】令，可得；令，可得， 所以直线与坐标轴围成的三角形面积为． 【变式1】已知直线方程是，则此直线过定点的坐标为______． 【答案】 【分析】将直线方程变形为点斜式方程，由点斜式方程的定义可得解. 【详解】将直线方程转化为点斜式方程，由点斜式方程定义可知，则此直线过定点的坐标为． 故答案为： 【变式2】已知直线的倾斜角为，在轴上的截距是，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出直线的斜率，利用斜截式可得出直线的方程. 【详解】由题意可知，直线的斜率为， 又因为该直线在轴上的截距是，故直线的方程为. 故选：C. 题型03 两点式直线方程 运用两点式求直线方程，要牢记公式适用前提：直线不能平行于坐标轴，两点横坐标、纵坐标均不能相等。若两点横坐标相等，直线垂直x轴，直接写x=x0；纵坐标相等，直线平行x轴，直接写y=y0，不可硬套两点式。解题可优先转化为点斜式运算，避开两点式的限制。求出方程后，务必代入两点进行检验，确认等式成立，防止漏解错解，做题要先观察两点坐标特征，再选择合适列式方式。 【典例1】已知的三个顶点分别为，M为AB的中点，则中线CM所在直线的方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求得点M的坐标，由直线的两点式方程求解. 【详解】点M的坐标为(2,1)，由直线的两点式方程得，即. 故选：D 【变式1】经过点和点的直线方程是______. 【答案】 【分析】根据两点式求得直线方程. 【详解】经过点和点的直线方程是：， 整理得. 故答案为： 【变式2】过两点，的直线在轴上的截距为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由两点式得出直线方程，令，即可解出直线在轴上的截距. 【详解】过两点，的直线的为， 令，解得：， 故选：A. 题型04 截距式直线方程 使用截距式求直线方程，必须满足横、纵截距都不为0，直线不能过原点，也不能平行坐标轴。做题先判断截距是否存在，出现截距为零时，不能套用截距式，改用点斜式求解。已知截距直接代入列式，求得方程后化为一般式。已知条件求截距时，注意区分截距与距离，截距可为负数。遇到截距相关参数问题，要分类讨论，防止漏解，最后代入点检验结果，保证符合题意。 【典例1】在平面直角坐标系中，直线在轴上的截距为（    ） A． B．8 C． D． 【答案】A 【分析】对直线方程，令，即可求得结果. 【详解】对方程，令，解得； 故直线在轴上的截距为. 故选：A. 【变式1】若直线经过点，则直线l在x轴和y轴上的截距之和取最小值时，_________. 【答案】/ 【分析】根据题意，由条件可得，再结合基本不等式即可得到当取最小值的条件，即可得到结果. 【详解】因为直线经过点，可得， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以直线l在x轴和y轴上的截距之和取最小值为， 此时，则. 故答案为：. 【变式2】过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】分直线过原点和不过原点两种情况讨论，结合直线的截距式即可得解. 【详解】当直线过原点时在两坐标轴上的截距都为，满足题意， 又因为直线过点，所以直线的斜率为， 所以直线方程为，即， 当直线不过原点时，设直线方程为， 因为点在直线上， 所以，解得， 所以直线方程为， 故所求直线方程为或.故C项正确. 故选：C. 题型05 中点坐标公式 （1）中点坐标公式是一个重要的公式，要注意灵活地运用它来解决问题． （2）在运用中点坐标公式时，要注意与“中点”等价的有关概念的运用． （3）在具体解题时，还应注意创设条件运用中点坐标公式，如由平面几何知识可知，平行四边形的对角线相交于一点且互相平分，也就是对角线上两顶点的中点重合等． 【典例1】已知点，若的中点坐标为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由的中点为列方程组解，然后根据两点式方程计算即可. 【详解】由题可得，解得， 即，． 将点坐标代入两点式方程可得， 即． 故选：D. 【变式1】（多选）已知的三个顶点、、，则下列说法正确的是（    ） A．直线的斜率为 B．直线的倾斜角为锐角 C．边的中点坐标为 D．边上的中线所在的直线方程为 【答案】CD 【分析】利用直线的斜率公式可判断A选项；利用直线斜率与倾斜角的关系可判断B选项；利用中点坐标可判断C选项；利用直线的两点式方程可判断D选项． 【详解】对于A，直线AC的斜率为，故A错误； 对于B，直线AB的斜率为，所以直线AB的倾斜角为钝角，故B错误； 对于C，设BC边的中点为，则，即点，故C正确； 对于D，BC边上的中线AD所在的直线方程为，整理得，故D正确． 故选： CD． 【变式2】已知的顶点，线段的中点为． (1)求边上的中线所在直线的方程； (2)若边所在直线在两坐标轴上的截距和是9，求边所在直线的方程． 【答案】(1)5x－4y－9＝0． (2)或． 【分析】(1)根据两点式方程写出直线方程; (2)先设截距式方程,再根据条件列式求解即可. 【详解】（1）因为边上的中线就是， 所以由两点式方程：，得：5x－4y－9＝0． （2）设直线的方程为， 则有或， 所以直线的方程为：或． 题型06 直线的一般式方程 处理直线一般式Ax+By+C=0，要把握A,B不同时为0的前提，能够实现和点斜式、截距式互相转化。由一般式求斜率，B≠0时k=-A /B；B=0时直线垂直x轴，斜率不存在。利用系数可以快速判断两直线平行、垂直关系，无需计算斜率，规避斜率不存在的漏解。化简一般式时，通常把A化为非负整数，求解参数问题注意分类讨论，计算完成后代入点坐标检验，保证结果准确。 【典例1】若点在直线上，且，则的最小值为______． 【答案】8 【分析】根据给定条件可得，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】由点在直线上，得，而，则， 因此， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为8. 故答案为：8 【变式1】直线在两坐标轴上的截距之和为，则实数（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】令表示出，得到直线的纵截距．令表示出，得到直线的横截距，根据题意列方程求解． 【详解】直线， 令，解得，令，解得， 由题意得：，解得． 故选：B 【变式2】已知的三个顶点的坐标分别为，，求： (1)边所在直线的一个方向向量； (2)边的中垂线的一般式方程. 【答案】(1)（答案不唯一） (2) 【分析】（1）即为边所在直线的一个方向向量； （2）求出线段的中点坐标，再求出的斜率，即可得到所求直线的斜率，再由点斜式求出直线方程. 【详解】（1）因为，，所以边所在直线的一个方向向量为； （2）设线段的中点为，则点，即， 又，所以边的中垂线的斜率， 则可得中垂线的方程为， 整理得边的中垂线的一般式方程是. 题型07 判断动直线所过定点 判断动直线过定点，优先采用分离参数法，把含参数项合并，令参数的系数与常数项同时等于零，联立方程组解出定点坐标。也可取参数两个特殊值，得到两条直线方程，联立求交点，再回代原直线验证。注意特殊参数取值造成直线变化，避免漏掉特殊情况。不要直接凭观察猜定点，务必代入原式检验。面对多条动直线问题，结合几何意义辅助分析，提升解题正确率。 【典例1】不论为何实数，直线过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】法一：直线方程可化为，解方程组即可求解； 法二：直线方程可化为，解方程组即可求解. 【详解】法一：直线方程可化为， 令，解得，即定点坐标为. 法二：直线方程可化为， 则，解得，即定点坐标为. 故选：B. 【变式1】已知直线，当变化时，直线总是经过定点，则定点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过分离参数将问题转化为过直线交点的直线系方程，即可求解. 解法一：直线方程可化为，解方程组，即可求解； 解法二（取特殊值）：直线方程中，令，得；令，得.解方程组，即可求解； 解法三：设直线过定点，则，即，解方程组，即可求解. 【详解】解法一：直线方程可化为， 分离参数后直线交点即为定点. 令，解得，所以直线过定点. 解法二（取特殊值）：直线方程中， 令，得；令，得. 由，解得，所以直线过定点. 解法三：设直线过定点，则， 即， 则，解得，所以直线过定点. 故选：B. 【变式2】直线l：（其中）. (1)求直线l所经过的定点P的坐标； (2)若向量是直线的一个方向向量，求直线的一般式方程. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据直线方程，转化为关于的方程，从而列出方程组求得所过定点即可； （2）根据直线的方向向量，可得出直线的斜率，再利用点斜式求得直线方程即可. 【详解】（1）直线方程可化为：， 由解得所以直线l过定点. （2）由向量是直线的一个方向向量，得直线的斜率， 又经过点，所以方程为：，即. 题型08 直线与坐标轴形成三角形问题 （1）由于已知直线的倾斜角（与斜率有关）及直线与坐标轴围成的三角形的面积（与截距有关），因而可选择斜截式直线方程，也可选用截距式直线方程，故有“题目决定解法”之说． （2）在求直线方程时，要恰当地选择方程的形式，每种形式都具有特定的结论，所以根据已知条件恰当地选择方程的类型往往有助于问题的解决．例如：已知一点的坐标，求过这点的直线方程，通常选用点斜式，再由其他条件确定该直线在轴上的截距；已知截距或两点，选择截距式或两点式．在求直线方程的过程中，确定的类型后，一般采用待定系数法求解，但要注意对特殊情况的讨论，以免遗漏． 【典例1】（多选）若直线经过点，且与坐标轴围成的三角形面积为2，则的方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】设直线的方程，分别求出直线在轴与轴上的截距，由三角形面积为2列方程求出即可得直线的方程. 【详解】易知直线的斜率存在，故设直线的方程， 令，得；令，得. 故围成的三角形面积为, 化简可得或. 对于方程，，故方程无解. 对于方程，可得或. 故直线的方程或， 即或. 故选:CD. 【变式1】已知直线l过点，且与x轴、y轴的正方向分别交于A，B两点，分别求满足下列条件的直线方程： (1)时，求直线l的方程． (2)当的面积最小时，求直线l的方程． 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据条件可知点是的三等分点，构造直角三角形，利用相似三角形比值关系即可求出A，B两点坐标，继而求出方程; （2）利用截距式找出两截距关系，再根据代入三角形面积计算中即可找出面积的最小值，继而求出方程. 【详解】（1）作，则.    由三角形相似，，可求得，， ∴方程为，即； （2）根据题意，设直线l的方程为，由题意，知，， ∵l过点，∴，解得，∴的面积， 化简，得.① ∴，解得或（舍去）. ∴S的最小值为4， 将代入①式，得，解得， ∴.∴直线l的方程为. 【变式2】直线与坐标轴所围成的三角形的面积为3，则m的值可以为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】求出直线与坐标轴的交点，根据面积公式即可求解. 【详解】很显然，直线与轴和轴既不平行也不垂直， 当时，，当时，， 所以直线与轴和轴的交点分别为和， 因为直线与坐标轴所围成的三角形的面积为3， 所以有，解得：或. 故选：D 题型09 直线方程的综合应用 直线方程综合应用，要根据题目条件灵活选用点斜式、一般式等形式，优先使用一般式可规避斜率不存在的漏解。遇到平行、垂直、过定点条件，用好直线系方程简化运算。处理与截距、交点相关题型，注意分类讨论，警惕截距为零、直线垂直坐标轴等特殊情形。解题坚持数形结合，画图辅助分析几何关系，求出结果后代入条件回代检验，区分截距与距离，防止概念混淆，提升解题准确度。 【典例1】已知直线l经过，两点，则（   ） A．直线l的一个点斜式为 B．直线l的一个两点式为 C．直线l的倾斜角为锐角 D．直线l的一个方向向量为 【答案】A 【分析】由直线方程、斜率逐项判断即可. 【详解】因为直线l经过，两点，所以两点式为，故B错误； 由题意可得直线斜率，可知倾斜角为钝角，故C错； 一个方向向量为，可判断D错误； 所以点斜式方程为，A正确； 故选:A 【变式1】已知直线在轴上的截距为1，则直线在轴上的截距是（    ） A．或 B．或 C．或5 D．或5 【答案】B 【分析】利用题意得到直线上必过的定点，代入方程中求出参数，分类讨论求解即可. 【详解】首先，我们把直线化简为 ，而由题意得，直线在轴上的截距为1， 所以点一定在直线上，故可知且，解得或， 当时，直线的方程为，此时直线在轴上的截距是； 当时，直线的方程为，此时直线在轴上的截距是； 综上所述直线在轴上的截距是或，故B正确. 故选：B 【变式2】经过直线与直线的交点，且垂直于直线的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】联立方程组求出交点坐标，利用直线垂直的性质得到斜率，代入坐标求解方程即可. 【详解】根据题意，联立直线的方程解得 则直线的交点坐标是， 设与直线垂直的直线方程为， 代入点，解得，故所求直线方程为，故A正确. 故选：A 1．已知直线：绕点逆时针旋转得到直线，则的斜截式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出直线的倾斜角，再根据旋转角度求出直线的倾斜角，进而得到直线的斜率，再根据直线所过的点求出直线方程． 【详解】直线，其斜率，设其倾斜角为，则，又因为倾斜角，所以． 直线绕点逆时针旋转，则直线的倾斜角． 直线的斜率． 又因为直线过点，所以直线的斜截式方程为． 故选：B． 2．已知直线的方程为． (1)求证：不论为何值，直线必过定点； (2)过点的直线交坐标轴正半轴于两点，当面积最小时，求的周长． 【答案】(1) 由可得，， 令 所以直线过定点． (2) 【分析】（1）将直线方程整理为关于参数的表达式，利用其对任意恒成立的条件，即可证明直线过定点； （2）通过直线过定点，设点斜式方程来求两坐标轴上的截距，再求面积，利用基本不等式求最小值，然后求出对应三角形的周长即可. 【详解】（1）略 （2）由（1）知，直线恒过定点， 由题意可设直线的方程为，直线与轴、轴正半轴的交点分别为， 令，得；令，得． 所以的面积， 当且仅当，即时等号成立，此时面积最小， ，， 的周长为． 所以当面积最小时，的周长为． 3．（多选）在平面直角坐标系中，已知点，则（    ） A．直线的倾斜角为钝角 B．直线的斜率为 C．若为的重心，则直线的方程为 D．的平分线所在直线的斜率为 【答案】AC 【分析】画图观察判断A，利用斜率公式计算判断BD，根据重心坐标公式和两点式方程判断C； 【详解】对于A，如图，在平面直角坐标系中，描出，，，由图可知直线的倾斜角为钝角．A正确； 对于B，直线的斜率．B错误； 对于C，因为的顶点分别为， 则重心），所以点的坐标为， 则直线的方程为，即．C正确； 对于D，，， 所以为等腰三角形，则的平分线也为中线，边的中点为， 所以的平分线所在直线的斜率为．D错误； 故选：AC. 4．已知点，直线的方程为，若直线以为法向量，且点在直线上，则______． 【答案】 【分析】先根据直线方程求得直线所过定点，方法一由直线的法向量可求得直线的方向向量，结合直线的斜率公式解得参数；方法二由题意直接求出直线的点法式方程.再代入点解得参数. 【详解】直线的方程为，即，所以直线过定点． 方法一  则直线的一个方向向量的坐标为．又直线过定点， 且点在直线上，所以，解得． 方法二  又直线过定点，所以直线的方程为， 化简得．将点代入，得，解得． 故答案为：. 5．（多选）已知直线，则下列结论正确的是（　　） A．直线可能与轴垂直 B．当时，直线的倾斜角为 C．当时，直线与直线平行 D．当时，直线与直线垂直 【答案】BD 【分析】由直线的方程得其斜率，由点A、B的坐标得直线的斜率，逐项判断即可. 【详解】因为直线的方程为，所以直线的斜率存在且为，不可能与轴垂直，A错误； 当时，直线的斜率为，故其倾斜角为，B正确； ，当时，直线的斜率为2，故直线与直线不平行，C错误； 当时，直线的斜率为，因为，故此时直线与直线垂直，D正确. 故选：BD. 6．已知直线与直线互相垂直，则______． 【答案】-1或3 【分析】方法1，由直线一般式垂直相关结论可得答案；方法2，分别对两直线斜率是否存在进行分类讨论，再利用垂直关系的斜率表示计算可得结果 【详解】方法一 ，由题意，知，即，解得或． 方法二，根据题意，当时，直线的斜率不存在，此时两直线不垂直； 当时，直线的斜率不存在，此时两直线不垂直； 当且时，斜率为，斜率为， 若两直线垂直，需满足，即，解得或． 故答案为：-1或3 7．（多选）已知的三个顶点，则下列描述正确的有（    ） A．直线BC的倾斜角不存在 B．直线AB的斜率为－2 C．边AC所在直线过坐标原点 D．边AB上的中线所在直线的方程为 【答案】BCD 【分析】对于A，由倾斜角概念可判断选项正误；对于B，由斜率计算公式可判断选项正误；对于C，由题可得直线AC方程，据此可判断选项正误；对于D，由题可得AB中点，又中线过点C，据此可判断选项正误. 【详解】对于A，易得直线BC方程为，则直线BC的倾斜角为，斜率不存在，故A错误； 对于B，直线AB的斜率为，故B正确； 对于C，因，故边AC所在直线的方程为， 即，故过坐标原点，故C正确； 对于D，线段AB的中点坐标为，又中线过点C， 则边AB上中线所在直线的斜率为，故所求方程为， 即，故D正确. 故选：BCD 8．（多选）已知直线l过点，，则（    ） A．点在直线l上 B．直线l的两点式方程为 C．直线l的一个方向向量的坐标为 D．直线l的截距式方程为 【答案】BD 【分析】应用两点式、方向向量求斜率判断A、C；写出直线的两点式和截距式判断B、D. 【详解】A：因为直线l过点，，所以直线l的斜率为， 设，则，故点不在直线l上，错； B：直线l的两点式方程为，对； C：若直线l的一个方向向量的坐标为，则，与A分析不符，错； D：由B中两点式方程，整理得截距式方程为，对. 故选：BD 9．（多选）已知直线：，动直线：，则下列结论正确的是（    ） A．不存在k，使得的倾斜角为90° B．对任意的k，与都有公共点 C．对任意的k，与都不重合 D．对任意的k，与都不垂直 【答案】BD 【分析】根据两直线的位置关系求解判断. 【详解】A错，当时，：，符合倾斜角为90°； B对，：过定点，而点也在：上，所以对任意的k，与都有公共点； C错，当时，：，然与：重合； D对，要使与垂直，则，即，显然不存在这样的k值． 故选：BD. 10．（多选）下列说法正确的是（ ） A．若直线经过第一､二､四象限，则点在第三象限 B．直线过定点 C．斜率为，在轴上的截距为的直线的方程为 D．过点且斜率为的直线的点斜式方程为 【答案】BD 【分析】根据直线的点斜式方程、斜截式方程逐一判断即可. 【详解】因为直线经过第一､二､四象限， 所以有，因此点在第二象限，所以选项A不正确； 由，所以直线过定点， 因此选项B正确； 斜率为，在轴上的截距为的直线的方程为， 所以选项C不正确； 过点且斜率为的直线的点斜式方程为， 所以选项D正确， 故选：BD 1．（多选）已知直线，，则下列说法正确的是（    ） A．的充要条件为或 B．若，则 C．若直线不经过第四象限，则 D．若，则将直线绕坐标原点按逆时针方向旋转，再向右平移一个单位长度，所得直线方程为 【答案】BCD 【分析】利用两直线平行的结论结合充要条件的定义可判断A；.根据两直线垂直的结论可判断B；由直线方程，求得斜率与截距，建立不等式组，求解即可判断；先得到逆时针旋转后的直线方程，再根据左右平移求出平移后的直线方程，即可判断D. 【详解】对于A， 显然直线的斜率存在，若，则，解得或， 经检验时，这两条直线重合，所以，故充要条件不是“或”．故A不正确； 对于B，若，则，解得．故B正确； 对于C，若直线不经过第四象限，则，解得．故C正确； 对于D，若，则直线，将其绕坐标原点按逆时针方向旋转，得到直线，再向右平移一个单位长度，所得直线方程为，故D正确. 故选：BCD 2．已知点，． (1)设，若直线与直线垂直，求的值； (2)求过点且与直线夹角的余弦值为的直线方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据直线垂直即可求解； （2）先对用正弦定理，得到的正弦值，对用正弦定理，得到，设出交点求解二次方程即可求解. 【详解】（1）直线的斜率为，因为直线与直线垂直， 所以，所以； （2） 如图点为过点且与直线夹角的余弦值为的直线与直线的交点， 点为直线与轴的交点，点为直线与直线的交点， 点为过点作轴的垂线交直线的交点，，， 设夹角为，因为，所以， 因为，， 所以在中，，所以， 因为，所以在中，， 所以，所以，易知， 设交点坐标为，所以， 所以或，所以交点坐标为或， 所以直线方程为或， 即或. 3．已知，直线上存在点，满足，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据条件先判断点在线段上，结合点在直线上得出点是线段与直线的公共点，接着判断直线过定点，最后通过直线的斜率范围求得数的取值范围. 【详解】    如图，由可得 因点满足，即, 故点在线段上， 又因过点，则点是线段与直线的公共点. 由整理得：， 则易得直线过定点， 直线的斜率为直线的斜率为 又由知其斜率必存在（否则直线与线段无公共点）， 依题意，其斜率需满足，解得：或. 故答案为：. 4．一束光线从点射出，沿倾斜角为的直线射到轴上，经轴反射后，反射光线所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】先求得入射光线所在直线与轴的交点，进而求得反射光线所在直线方程. 【分析】倾斜角为的直线，斜率为， 所以入射光线为， 令，解得，所以入射光线与轴的交点为， 反射光线的斜率为，则反射光线的方程为. 故选：D 5．（多选）如果，，那么直线经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】ACD 【分析】根据直线斜率与截距判断即可. 【详解】因为，故，故直线的斜截式方程为：， 因为，，故，， 故直线经过第一象限、第三象限、第四象限． 故选：ACD． 6．已知，直线的方程为，直线的方程为，记，与两坐标轴围成的四边形的面积为S，则S的最小值为______. 【答案】 【分析】确定两直线经过的定点，求出直线与y轴的交点的坐标和直线与x轴的交点的坐标，进而表示出围成的四边形面积，结合二次函数的性质求得答案. 【详解】因为， 所以由， 因此直线恒过点，且该直线的斜率 所以由， 因此直线也恒过点，且该直线的， 设直线与纵轴的交点为，直线与横轴的交点为， 点为点， 所以，与两坐标轴围成的四边形为四边形， 如图所示：   ， 当时，有最小值， 故答案为： 7．若直线：经过第四象限，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以直线的斜率为标准，对参数分类讨论，解出即可. 【详解】若，则的方程为，不经过第四象限． 若，则的方程为，经过第四象限． 若且，将的方程转化为， 因为经过第四象限，所以或 解得或或． 综上知，的取值范围为， 故选： 8．（1）一条光线从点射出，与x轴相交于点，经x轴反射，求入射光线与反射光线所在直线的斜截式方程； （2）直线l经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，求直线l的一般式方程． 【答案】（1）；；（2），，． 【分析】（1）根据斜率公式可得PQ的斜率，然后点斜式可得入射光线所在直线方程，根据反射光线与入射光线所在直线的倾斜角互补，即可求得反射光线所在直线方程； （2）分直线过原点和不过原点，不过原点时根据题意截距式方程，代入已知点可得. 【详解】解：（1）由P，Q两点坐标，可得直线PQ的斜率为， 所以入射光线所在直线的点斜式方程为， 其斜截式方程为． 因为反射光线与入射光线所在直线关于x轴对称，所以反射光线与入射光线所在直线的倾斜角互补， 所以反射光线所在直线的斜率为3，所以反射光线所在直线的点斜式方程为， 其斜截式方程为． （2）当直线l的截距为0时，直线l的方程为，即． 当直线l的截距不为0时，设直线l的方程为， 则，解得或， 若，则直线l的方程为，即； 若，则直线l的方程为，即． 综上所述，直线l的一般式方程可能是，，． 9．设，若直线与线段AB有交点，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直线恒过定点，若直线与线段有交点，画图图形，求出临界时直线的斜率与直线的斜率，即可得解. 【详解】由得， 因此直线过定点，且斜率， 如图所示，当直线由直线按顺时针方向旋转到直线的位置时，符合题意．    易得，． 结合图形知或，解得或， 即的取值范围是． 故选：C 10．已知直线的方程为： (1)求证：不论为何值，直线必过定点； (2)过点引直线，使它与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积最小，求的方程． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）将直线方程改写成形式，解方程组即可. （2）设出直线的方程，分别令、求出相对于的y值、x值，结合三角形面积公式及基本不等式即可求得结果. 【详解】（1）证明：由可得：， 令， 所以直线过定点． （2）由（1）知，直线恒过定点， 所以设直线的方程为， 令，则；令，则， 所以， 当且仅当，即时，三角形面积最小， 此时的方程为． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $