2.2直线的方程 9题型分类讲义(讲+练）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦高中数学“直线的方程”核心知识点，系统梳理点斜式、斜截式、两点式、截距式及一般式五种方程形式，明确每种形式的适用条件、已知条件与方程表达式，构建从特殊到一般的知识支架，为后续方程互化及应用题型奠定基础。 该资料以9类题型为核心，整合2026年各地期末、阶段检测真题，通过对比不同方程的局限（如点斜式不能表示斜率不存在的直线）培养数学眼光，借助平行垂直的逻辑推理（如一般式平行的充要条件）发展数学思维，用方程语言精准表达直线关系。课中辅助教师分层教学，课后助力学生通过典型例题查漏补缺，强化知识应用能力。

2026-2027学年高二数学人教A版2019选择性必修第一册同步知识·题型解题秘籍 2.2直线的方程9题型分类 一、直线的点斜式方程 直线的点斜式方程和斜截式方程： 类别 点斜式 斜截式 适用范围 斜率存在 已知条件 点P(x0，y0)和斜率k 斜率k和在y轴上的截距b 图示 方程 y－y0＝k(x－x0) y＝kx＋b 截距 直线与y轴交点(0,b)的纵坐标b叫做直线在y轴上的截距 二、直线的两点式方程 直线的两点式方程和截距式方程： 名称 两点式 截距式 条件 两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2) (x1≠x2，y1≠y2) 在x，y轴上的截距分别为a，b (a≠0，b≠0) 示意图 方程 ＝ ＋＝1 适用范围 斜率存在且不为0 斜率存在且不为0，不过原点 三、直线的一般式方程 1．直线的一般式方程： 关于x和y的二元一次方程都表示一条直线．我们把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式． 2．直线的五种形式的方程： 形式 方程 局限 点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不能表示斜率不存在的直线 斜截式 y＝kx＋b 不能表示斜率不存在的直线 两点式 ＝ x1≠x2，y1≠y2 截距式 ＋＝1 不能表示与坐标轴平行及过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0 无 3．直线各种形式方程的互化： （一） 直线的点斜式方程 1．直线的点斜式方程： 过点P(x0，y0)且斜率为k的直线的方程：y－y0＝k(x－x0). 2．两种特殊的直线： (1)垂直于x轴的直线：如图，过定点，倾斜角为90°，斜率不存在，没有点斜式，其方程为或. (2)平行于x轴（或与x轴重合）的直线：如图，过定点，倾斜角为0°，斜率为0，其点斜式方程为. 3.求直线的点斜式方程的步骤及注意点 (1)求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)→定斜率k→写出方程y－y0＝k(x－x0)． (2)点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但x＝x0除外． 题型1：求直线的点斜式方程 1．（2026高二·河南平顶山·期末）已知直线的点斜式方程为，则的倾斜角为（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【答案】A 【分析】由倾斜角与斜率的关系求倾斜角即可. 【详解】设直线的倾斜角为且， 则，故. 故选：A 2．（2026高二·湖北省直辖县级单位·期末）过点且倾斜角为的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出直线的斜率，再利用点斜式即可求出. 【详解】直线的斜率为， 又直线过点，，即. 故选：C. 3．直线经过点，斜率是，写出直线的点斜式方程. 【答案】 【详解】由直线l经过点，斜率是，可得其点斜式为. 4．（2026高二·全国·暑假作业）已知直线过点，且与两点，的连线垂直，则直线的方程为_________． 【答案】 【分析】根据两条斜率存在的直线垂直时，斜率乘积为，求出直线的斜率，代入点斜式方程求出直线方程即可. 【详解】解：因为，，，所以直线的斜率， 又直线与直线垂直，设直线的斜率为，则，所以， 因为直线过点，代入直线点斜式方程得，化简得. 5．（2026高二·河南郑州·期末）已知两点，，则线段的垂直平分线的方程为______． 【答案】 【分析】利用垂直平分线的性质求出直线的斜率和直线上的点，进而利用点斜式求解． 【详解】线段的垂直平分线，垂直于直线，且过直线的中点， 设的中点为，则， 设直线的斜率为，则，解得， 直线方程为，一般形式为． 6．（2026高二·陕西安康·期中）过点且方向向量为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出直线的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程. 【详解】由题意可知，所求直线的斜率为，故所求直线的方程为，即. 7．（2026高二·全国·课后作业）求经过点，倾斜角是直线倾斜角的2倍的直线的点斜式方程． 【答案】 【分析】根据直线斜率与倾斜角的关系，结合点斜式方程求解即可. 【详解】因为直线的斜率为，所以该直线倾斜角为， 所以所求直线的倾斜角为，其斜率为， 所以所求直线的点斜式方程为． 8．（2026高二·江苏南通·期中）若直线不经过第四象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将直线化为斜截式，结合其不经过的象限列不等式求参数范围. 【详解】由题设不经过第四象限， 则. 故选：B （二） 直线的斜截式方程 1．直线的斜截式方程: 斜率为k且在y轴上的截距为b的直线方程：y＝kx＋b. 2．(1)直线的斜截式是直线点斜式的特例. (2)一条直线与轴的交点为的纵坐标叫做直线在轴上的截距. 特别的，倾斜角为直角的直线没有斜截式方程. 3.求直线的斜截式方程的策略: (1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在． (2)直线的斜截式方程y＝kx＋b中只有两个参数，因此要确定直线方程只需两个独立条件即可． 题型2：求直线的斜截式方程 9．（2026高二·新疆昌吉·期中）已知直线经过点，斜率为，则直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由直线斜率和直线在轴上截距，求直线的斜截式方程. 【详解】直线经过点，则直线在轴上截距为4，又直线斜率为， 则直线方程是. 故选：A 10．（2026高二·山东菏泽·阶段检测）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用直线方程得到斜率，利用斜率定义求倾斜角即可. 【详解】直线的倾斜角为，因为直线的斜率为， ，所以. 故选：C. 11．（2026高二·全国·课堂例题）根据条件写出下列直线的斜截式方程： (1)斜率为2，在y轴上的截距是5； (2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2； (3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3. 【答案】(1)y＝2x＋5 (2)y＝－x－2 (3)y＝x＋3或y＝x－3 【分析】（1）由直线的斜截式可得直线方程； （2）由已知求得直线的斜率，再由直线的斜截式可得直线方程． （3）由已知求得直线的斜率和直线在y轴上的截距，再由直线的斜截式求得直线的方程. 【详解】（1）由直线方程的斜截式可知，所求直线的斜截式方程为y＝2x＋5. （2）由于直线的倾斜角为150°，所以斜率k＝tan 150°＝－， 故所求直线的斜截式方程为y＝－x－2. （3）因为直线的倾斜角为60°，所以斜率k＝tan 60°＝． 因为直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3， 所以直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3， 故所求直线的斜截式方程为y＝x＋3或y＝x－3. （三） 直线的两点式方程 1．直线的两点式方程： 过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程：＝. 2．(1)与坐标轴垂直的直线没有两点式方程. (2)两点式变形为,其可以表示任何直线. 3.利用两点式求直线的方程： (1)首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，然后代入两点式． (2)若满足即可考虑用两点式求方程．在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程． 题型3：求直线的两点式方程 12．（2026高二·全国·课后作业）经过两点的直线方程可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线两点式方程可得答案. 【详解】当经过的直线不与轴、轴平行时， 所有直线均可以用表示， 由于可能相等，也可能相等， 所以只有选项C满足包括与轴、轴平行的直线． 故选：C． 13．（2026高二·全国·课后作业）经过点的直线的两点式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两点式方程的定义结合已知条件求解 【详解】因为直线经过点， 所以由方程的两点式可得直线方程为，即． 故选：A 14．（2026高二·河南·期中）已知直线的两点式方程为，则直线的倾斜角为（   ） A．150° B．120° C．60° D．30° 【答案】A 【分析】首先根据两点式方程判断直线过点和，再利用斜率的坐标公式计算出斜率的值，最后利用斜率的几何公式计算出直线的倾斜角. 【详解】解：设直线的倾斜角为，； 由直线的两点式方程：得：直线过点和； 直线的斜率：，所以； 又因为，所以； 故选：A. 15．（2026高二·全国·课后作业）在中，已知点，，．求边上中线所在直线的两点式方程． 【答案】 【分析】先求得线段BC的中点D的坐标，再代入直线的两点式方程即可解决. 【详解】因为，，所以线段BC的中点D的坐标为． 又BC边上的中线经过点， 所以BC边上中线的两点式方程为． 16．（2026高二·甘肃金昌·阶段检测）已知直线l经过点，，则下列不在直线l上的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知的两点求出直线l的方程，将点的坐标代入直线方程即可求解. 【详解】由直线的两点式方程，得直线l的方程为，即， 将各个选项中的坐标代入直线方程， 可知点，，都在直线l上，点不在直线l上． 故选：D． 17．（2026高二·四川成都·阶段检测）已知，在中， (1)求边的方程； (2)求边上的中线所在直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接由直线的两点式方程化简得. （2）首先得中点，然后结合点坐标，由两点式化一般式即可得解. 【详解】（1）边过两点 由两点式，得，即， 故边的方程是． （2）设的中点为， 则，， 所以， 又边的中线过点， 所以，即， 所以边上的中线所在直线的方程为． （四） 直线的截距式方程 1． 直线的截距式方程：在x，y轴上的截距分别为a，b（其中a≠0，b≠0）的直线方程： ＋＝1. 2．截距的概念： (1)横截距：直线与x轴交点的横坐标；在直线方程中，令y=0，解出x； (2)纵截距：直线与y轴交点的横坐标；在直线方程中，令x=0，解出y. 3.截距式方程应用的注意事项 (1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可． (2)选用截距式直线方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直． (3)要注意截距式直线方程的逆向应用． 题型4：求直线的截距式方程 18．（2026高二·四川绵阳·阶段检测）两条直线和在同一直角坐标系中的图象可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线的截距式方程，可得直线的横、纵截距分别为，，直线的横、纵截距分别为，，逐项根据截距的正负判断即可． 【详解】由截距式方程可得直线的横、纵截距分别为，，直线的横、纵截距分别为，， 选项A，由的图象可得，即，则，可得直线的截距均为正数，故正确； 选项B，由的图象可得，即，则，可得直线的截距均为正数，由图象不对应，故错误； 选项C，由的图象可得，即，则，可得直线的横截距为负数，纵截距为正数，由图象不对应，故错误； 选项D，由的图象可得，即，则，可得直线的横截距为正数，纵截距为负数，由图象不对应，故错误． 19．【多选】（2026高二·全国·暑假作业）过点，并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据直线在坐标轴上的截距是否为零进行分类讨论，结合截距互为相反数求得正确答案. 【详解】若直线在坐标轴上的截距为0，设直线方程为， 又直线过点，所以，即， 所以直线方程为，即； 若直线在坐标轴上的截距不为0， 设直线方程为，又直线过点， 所以，解得，所以直线方程为，即． 综上可知，所求直线方程为或． 20．过点且在两坐标轴上的截距之差为3的直线的截距式方程是______. 【答案】或 【详解】由题可知，直线过点，所以直线在x轴上的截距为， 又直线在两坐标轴上的截距之差为3，所以直线在y轴上的截距为1或， 则所求直线方程为或. 21．经过点，在两坐标轴上的截距之和等于6的直线的截距式方程为______. 【答案】或 【详解】依题意，该直线的截距不能为0，则可设其方程为， 因为直线过点，所以， 整理得，解得或． 于是所求直线方程的截距式为或． 22．（2026高二·河南新乡·阶段检测）经过点，并且在y轴上的截距是在x轴上的截距的两倍的直线方程为_______． 【答案】或 【分析】分截距为零和不为零两种情况求直线方程即可. 【详解】①当横纵截距为零时，直线的斜率，所以直线方程为，即； ②当横纵截距不为零时，设直线方程为，将点代入得，解得，所以直线方程为，即. 故答案为：或. 23．（2026高二·天津和平·期末）直线过点，且直线在轴上的截距与在轴上的截距之和为零，则直线的斜率为_______. 【答案】或1 【分析】根据题意先设直线的斜率，进而可得直线在轴上的截距与在轴上的截距，进而根据截距之和为零可得. 【详解】由题意显然直线的斜率存在且，设斜率为， 则直线的方程为：， 令得直线在y轴上的截距为， 令得直线在轴上的截距为， 由题意得， 故答案为：或1 24．（2026高二·全国·课后作业）过点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据直线的截距式方程分析运算，注意讨论截距是否为0. 【详解】设直线在x，y轴上的截距分别为，则， 若，即直线过原点，设直线为， 代入，即，解得， 故直线方程为； 若，设直线为， 代入，即，解得， 故直线方程为，即； 综上所述：直线方程为或. 故选：D. （五） 直线的一般式方程 1.直线的一般式方程： 关于x和y的二元一次方程都表示一条直线．我们把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式． 2.求直线一般式方程的策略 在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选出四种特殊形式之一求方程，然后转化为一般式． 3.含参直线方程的研究策略 (1)若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则需满足A，B不同时为0. (2)令x＝0可得在y轴上的截距．令y＝0可得在x轴上的截距．若确定直线斜率存在，可将一般式化为斜截式． (3)解分式方程要注意验根． 4.利用一般式解决直线平行与垂直问题的策略 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0， (1)若l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)． (2)若l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. 题型5：求直线的一般式方程 25．（2026高二·新疆乌鲁木齐·期末）平面直角坐标系中下列关于直线的几何性质说法中，正确的有几个（    ） ①直线：过点 ②直线在轴的截距是2 ③直线的图像不经过第四象限 ④直线的倾斜角为 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】①代入验证即可；②当时可得在轴的截距；③由可判断；④先求斜率可得倾斜角. 【详解】①将代入得，故正确； ②当时，，故在轴的截距是，故错误； ③由得， 故， 故其图像不经过第四象限，故正确； ④的斜率为，故倾斜角为，故正确； 故选：C 26．（2026高二·四川凉山·阶段检测）已知直线经过第一、二、四三个象限，则（    ） A．若，则， B．若，则， C．若，则， D．若，则， 【答案】D 【分析】根据直线所过象限得到，从而进行判断. 【详解】经过第一、二、四三个象限，则， 故变形为， 故，则同号，异号， 若，则，若，则， D选项正确，其他三个选项均错误. 故选：D 27．（2026高二·吉林长春·期中）已知的三个顶点是，，.求： (1)边上的中线所在直线方程； (2)边上的高所在直线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出点的坐标为，由两点式斜率公式求出的斜率，代入点斜式即可求解. （2）由两点式斜率公式求出斜率，利用垂直关系得的斜率，代入点斜式即可求解. 【详解】（1）由题知的中点，所以直线的斜率， 则边上的中线所在直线的方程为，化简得. （2）由题意得直线AC的斜率，且，所以. 则边上的高所在直线的方程为，化简得. 28．（2026高二·河北唐山·阶段检测）已知直线的倾斜角为，则直线的斜率k=（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用直线方程求出，结合二倍角的余弦公式及正余弦齐次式法求出. 【详解】由直线的倾斜角为，得， 所以直线的斜率. 故选：B 题型6：由一般式方程判断直线的平行、垂直 29．（2026高二·福建厦门·阶段检测）若直线：与直线：平行，则（ ） A．4 B． C．1或 D．或4 【答案】D 【分析】根据直线一般方程的平行关系求的值，并代入检验. 【详解】由题可得：直线：与直线：平行， 则，整理可得，解得或， 若，直线：与直线：平行，符合题意； 若，直线：与直线：平行，符合题意； 综上所述：或. 30．（2026高二·广东汕头·期末）已知，则直线与垂直的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两直线垂直，则，化简即可判断. 【详解】因为，所以直线的斜率存在， 故两条直线的斜率分别为与， 由垂直可知，即. 故选：A 31．（2026高二·江苏苏州·期末）若直线和直线平行，则的值为（    ） A．1 B． C．1或 D． 【答案】B 【分析】由两直线平行，根据平行的判定求的值即可. 【详解】直线和直线平行， ，解得或，经检验时两条直线重合舍去， 所以． 32．（2026高二·安徽·期末）已知直线与平行，则的值为（    ） A． B．0 C．3 D． 或3 【答案】D 【分析】根据两直线平行的性质进行求解即可. 【详解】∵直线与平行， 解得或， 经检验均满足直线不重合的条件. 故选：D 33．【多选】（2026高二·安徽亳州·期末）已知直线，则下列说法正确的是（    ） A．可能垂直于轴 B．可能垂直于轴 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【分析】根据直线平行的条件、直线垂直的条件逐项判断即可. 【详解】对于A，因为直线，的系数不为0，所以不垂直于轴，A错误； 对于B，当时，，与轴垂直，B正确； 对于C，当时，. 因为直线的斜率均为且不重合，所以两直线平行，C正确； 对于D，因为，所以，解得或. 当时，由C选项知两直线是平行的； 当时，，斜率均为，且两直线不重合，所以两直线平行. 故时或，D错误； 故选：BC. 34．（2026高二·安徽·期末）已知直线，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先求出两直线斜率，再分别从充分性和必要性两个方向进行推导，最后结合充要条件的定义得出结论即可. 【详解】根据已知条件，直线的斜率为，直线的斜率为. 充分性：若，则，解得或，由不能唯一推出， 所以“”不是“”的充分条件； 必要性：若，则，所以，则有， 所以“”是“”的必要条件. 综上，“”是“”的必要不充分条件. 故选: B. 35．（2026高二·广东韶关·期末）若直线与直线垂直，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线的一般式方程判断两直线垂直的条件列式，求解可得答案. 【详解】若直线与直线垂直， 则，解得． 故选：C． 36．（2026高二·广西崇左·期末）若直线与互相垂直，则（    ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】利用两直线垂直的条件建立方程，求解参数即可. 【详解】因为直线与互相垂直， 所以，解得，故D正确. 故选：D 题型7：由两条直线平行、垂直求直线方程 37．求满足下列条件的直线方程； (1)过点，且与直线平行的直线方程； (2)过点，且与直线垂直的直线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平行直线的斜率相等即可求解； （2）根据互相垂直的直线的斜率乘积为，从而求解直线方程. 【详解】（1）设与直线平行的直线方程为， 由于过点，代入， 解得，可得， 所以所求的直线方程为； （2）设与直线垂直的直线方程为， 由于过点，代入，解得， 可得， 所以所求的直线方程为. 38．（2026高三·全国·一轮复习）经过点C（－1,－1），与x轴平行的直线方程为_____；经过点D（1,1），与x轴垂直的直线方程为___． 【答案】 y＝－1 x＝1 【详解】经过点C（－1,－1），与x轴平行的直线方程为y＝－1； 经过点D（1,1），与x轴垂直的直线方程为x＝1． 39．（2026高二·贵州遵义·阶段检测）直线l过点且与直线平行，则l的方程为____________ 【答案】 【详解】设直线， 依题意得直线l过点， 则， 得， 故l的方程为． 40．（2026高二·河南信阳·阶段检测）经过点且与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】直线 的斜率为 。 因为所求直线与已知直线平行，故设所求直线方程为 。 将点 代入方程得： ， 因此，所求直线方程为：。 41．（2026高三·全国·专题练习）若过点的直线与直线垂直，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设所求直线方程为，代入求解即可. 【详解】设所求直线方程为， 代入， 得， 解得， 所以所求直线方程为. 42．（2026高二·福建厦门·期中）已知点在直线l上的投影是，则直线l的方程为__________________． 【答案】 【详解】因为直线的斜率为，又点在直线l上的投影是, 则直线l的斜率，故直线l的方程为，即． 题型8：直线与坐标轴围成三角形的面积问题 43．（2026高三·全国·专题练习）过点作直线，使直线与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为8，这样的直线一共有（   ） A．3条 B．2条 C．1条 D．0条 【答案】C 【分析】设直线方程为，根据过点及直线与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为8，列出方程组求解即可. 【详解】假设存在过点的直线，使它与两坐标轴围成的三角形的面积为8， 设直线的方程为，则，即， 直线与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积，即， 联立解得直线的方程为，即， 即这样的直线有且只有一条． 44．（2026高二·甘肃武威·期中）已知的顶点坐标是，为的中点． (1)求中线的方程； (2)求经过点且与直线平行的直线与坐标轴围成的三角形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件，求得，再由直线方程的两点式，即可求解； （2）根据条件，求出直线过点且与直线平行的直线方程，进而求出其与坐标轴的交点坐标，即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 所以的方程是， 即. （2）因为直线的斜率， 所以经过点且与直线平行的直线方程为， 即， 设其与轴交点为，与轴交点为，令，得，令，得， 所以，所以， 故经过点且与直线平行的直线与坐标轴围成的三角形面积为． 45．【多选】（2026高二·河南·阶段检测）已知O为坐标原点，过点的直线与坐标轴交于A，B两点，若的面积为2，则直线在x轴上的截距可以是（    ） A． B． C．-2 D．2 【答案】ABC 【分析】利用截距式方程，由点在直线上，及三角形面积公式列式求解即可. 【详解】由题意直线显然不过原点，所以不妨设直线的方程为， 其中a，b分别为在x轴，y轴上的截距，，， 又点在直线上，所以， 又的面积为2，所以，即或． 当时，，即，解得或； 当时，，即，解得． 故选：ABC． 46．（2026高二·上海·期中）四条不重合的直线、、、都经过点，且其中任意一条直线与两坐标轴正半轴围成的三角形面积都是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线的截距式结合基本不等式计算求解. 【详解】设直线与与两坐标轴交于，所以设直线为， 因为直线过点，所以， ，所以，， 所以. 当且仅当时取面积最小值，所以. 故选：D. 47．（2026高二·江苏无锡·阶段检测）已知直线的方程为：. (1)求证：不论为何值，直线必过定点； (2)求与原点距离最大的直线方程； (3)过点引直线交坐标轴正半轴于、两点，当面积最小时，求的周长. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）将直线方程改写成形式，解方程组即可得解； （2）原点到直线的距离最大时，，先求出直线的斜率，即可求解； （3）设直线的方程为，求出点坐标，表示出面积，利用基本不等式求出面积的最小值得解. 【详解】（1）由可得：， 令，解得， 经检验，满足， 所以直线过定点． （2）由（1）知直线过定点，当时，原点到直线的距离最大， 又，所以直线的方程为，即， 所以与原点距离最大的直线方程为. （3）由（1）知，直线恒过定点， 由题意可设直线的方程为， 设直线与轴，轴正半轴交点分别为， 令，得；令，得， 所以面积 ， 当且仅当，即时，面积最小， 此时，，， 的周长为. 所以当面积最小时，的周长为. （六） 直线过定点问题 解决直线过定点问题的思路，把平面上过定点的直线的全体称为中心直线系.定点的确定方法：把含参直线方程化为直线系过定点问题: 解含参数的直线恒过定点问题的策略: (1)方法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解． (2)方法二：含有一个参数的二元一次方程若能整理为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组解得．若整理成y－y0＝k(x－x0)的形式，则表示的所有直线必过定点(x0，y0)． ,求解，即可得出定点坐标. 题型9：直线的恒过定点问题 48．（2026高一·上海·阶段检测）若直线与点构成的线段相交，则的取值范围是_________. 【答案】或 【分析】首先求出直线过定点，利用斜率计算公式求出，，再数形结合即可得解． 【详解】直线过定点，如图，    由，， 由直线与线段相交，可得的取值范围是或. 49．（2026高二·浙江杭州·期中）已知点，，若直线与线段有公共点，则的取值范围是（   ） A．B． C． D． 【答案】B 【详解】可知直线过定点， 如图所示，可知， 所以当直线与线段有公共点时，的取值范围为. 50．（2026高二·江苏常州·期末）设直线的方程为． (1)求经过定点的坐标； (2)若直线在轴上的截距是在轴上的截距的2倍，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）整理可得，进而分析定点即可； （2）求直线在坐标轴上的截距，结合题意列式求解即可直线方程. 【详解】（1）由整理可得， 令，解得， 所以不论为何值，直线必过一定点. （2）由题意可知：，且， 令，解得；令，解得； 因为，解得或， 当时，直线的方程为：； 当时，直线的方程为：； 综上所述：所求直线的方程为或. 51．（2026高二·全国·课后作业）无论取何实数时，直线恒过定点，则定点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将直线方程可化为，再解方程组即可. 【详解】直线方程可化为， 解方程组，得， 即定点的坐标为. 故选：A. 52．（2026高二·全国·课堂例题）已知直线.求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限. 【答案】方法一： 将直线l的方程整理为， ∴l的斜率为a，且过定点， 而点在第一象限（如图），故不论a为何值，l恒过第一象限.   方法二： 直线l的方程可化为. 要使上式对任意的a总成立，必有，即即l过定点， 而点在第一象限（如图），故不论a为何值，l恒过第一象限. 【分析】方法一：将方程整理成点斜式，从而可求出直线过的定点在第一象限，进而可证得结论；方法二：直线l的方程可化为，从而可求出直线过的定点在第一象限，进而可证得结论. 【详解】略 53．（2026高二·湖南邵阳·期末）直线过定点________. 【答案】 【分析】将直线方程整理成关于的方程，根据题意列方程组求解即得定点. 【详解】由整理得：， 因，则，解得，即直线经过定点. 故答案为：. 1．（2026高二·陕西咸阳·竞赛）已知直线，，若，则实数（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【详解】因为，所以，所以. 2．（2026高二·上海·期末）已知线段中点为，且，则线段的垂直平分线方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，则线段的垂直平分线的方向向量为， 又线段中点为，则线段的垂直平分线为. 3．（2026高二·湖北·期中）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】借助斜率与倾斜角的关系计算即可得. 【详解】设该直线的倾斜角为，则由题意， 又，所以. 4．（2026高三·全国·课后作业）在同一平面直角坐标系中，直线和直线的图象有可能是（   ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】将直线的方程化为斜截式，结合图象，根据斜率和在y轴上的截距的正负判断. 【详解】直线可化为，斜率为，在y轴上的截距为； 直线可化为，斜率为，在y轴上的截距为， A.由图知：，则， 在y轴上的截距为 ，则， 从而，在y轴上的截距为，故错误； B.由图知：，则， 在y轴上的截距为 ，则， 从而，在y轴上的截距为，故正确； C.由图知：，则， 在y轴上的截距为 ，则， 从而，在y轴上的截距为，故错误； D.由图知：，则， 在y轴上的截距为 ，则， 从而，在y轴上的截距为，故错误； 故选：B 5．【多选】（2026高二·黑龙江哈尔滨·期末）如果且，那么直线通过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】ABD 【分析】先将直线的一般式方程化为斜截式方程，然后根据斜率和纵截距的正负判断出结果. 【详解】由题意可知不为，所以直线即为， 所以的斜率为，纵截距为， 因为，，所以，所以， 所以，所以斜率小于，纵截距大于， 所以直线经过第一、二、四象限， 故选：ABD 6．（2026高二·湖南邵阳·期中）下列直线中与直线平行的直线是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两条直线存在斜率时，它们的斜率相等且在纵截距不相等，两直线平行，逐一对四个选项进行判断. 【详解】∵直线的斜率，纵截距为， 对A：直线的斜率，纵截距为； 对B：直线的斜率，纵截距为； 对C：直线的斜率，纵截距为； 对D：直线的斜率，纵截距为； 若两直线平行，由题意可知：斜率相等，纵截距不相等，只有C选项符合. 故选：C. 7．（2026高二·北京·期中）已知直线l的方程为，则直线l（　　） A．恒过点且不垂直x轴 B．恒过点且不垂直y轴 C．恒过点且不垂直x轴 D．恒过点且不垂直y轴 【答案】B 【分析】由直线l的方程，令，对分类讨论即可求解. 【详解】由直线l的方程为， 令，解得． ∴直线恒过点， 若，则直线不垂直y轴， 若，则直线不垂直于轴， 综上所述，恒过点且不垂直y轴. 故选：B． 8．（2026高三·江西新余·期末）已知直线：与直线；相互平行，则实数的值是（    ） A． B．1 C． D．或1 【答案】A 【分析】根据两条直线平行，斜率相等求解即可. 【详解】因为直线：的斜率，斜率存在，且， 所以直线；的斜率存在，且， 化简得：，解得或. 当时，直线：，直线；，此时. 当时，直线：，直线；，此时重合，舍去. 所以. 故选：A 9．（2026高二·四川凉山·期末）过点且与直线平行的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线的斜率相同排除A、B；再由所过的点排除C，即可得答案. 【详解】由斜率为，而A、B中的直线斜率为，与该直线不平行，排除； C、D中直线斜率为，对于，显然不过，而过已知点， 所以C中直线不符合，D中直线符合要求. 故选：D 10．（2026高二·吉林长春·开学考试）不论k为任何实数，直线恒过定点，则这个定点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直线方程即，一定经过和 的交点，联立方程组可求定点的坐标． 【详解】直线 即， 根据的任意性可得，解得， 不论取什么实数时，直线都经过一个定点． 故选：B 11．（2026·广东江门·模拟预测）若直线，的倾斜角分别为，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，直线的斜率， 所以直线的斜率. 12．（2026·江西宜春·模拟预测）已知直线的斜率为，，直线在两坐标轴上的截距相等，则是的（   ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】分析充分性： 已知，设直线的方程为：， 当时，，在轴上的截距为， 当时，，在轴上的截距为， 所以直线在两坐标轴上的截距相等，即充分性成立； 分析必要性： 已知直线在两坐标轴上的截距相等，分两种情况： （1）截距不为0时，设两截距均为，则直线方程为，即，此时斜率； （2）截距为0时，直线过原点，此时斜率不一定为. 所以必要性不成立. 13．（2026高三·山东·阶段检测）若直线过点，则的最小值为（） A．7 B． C．6 D． 【答案】C 【详解】直线过点，代入得，即，且， 由此解得（），代入目标函数并化简得： ， ， 因为，所以， 所以由基本不等式， 得：， 当且仅当即时取等， 故的最小值为. 14．【多选】（2026高二·福建厦门·阶段检测）已知直线： ，则下列结论正确的是（    ） A．直线的倾斜角是 B．过与直线平行的直线方程是 C．直线的两个截距相等 D．若直线：，则 【答案】BD 【详解】由，得，所以直线的斜率为，所以直线的倾斜角是，故A错误； 过与直线平行的直线方程是，即，故B正确； 直线，令，得；令，得， 即直线在轴上的截距为，在轴上的截距为1，故C错误； 由，得，所以直线的斜率为，直线的斜率为， ，所以，故D正确. 15．【多选】（2026高二·河北雄安·期末）过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】分“截距为”和“截距不为”两种情况，分别设直线方程，再代入点求出对应方程. 【详解】若两截距都为，则该直线过原点，其方程为，即； 若截距不为，不妨设其在横轴上的截距为，则在纵轴上的截距为， 此方程为，代入得，解得，整理得． 16．（2026高二·全国·暑假作业）直线在轴上的截距为_____________. 【答案】 【详解】令，得，所以直线在轴上的截距为. 17．（2026高一·全国·课后作业）若方程表示一条直线，则实数满足_________． 【答案】 【分析】根据直线的一般式方程，，不全为0的条件，求值判断即可. 【详解】解：当时，或； 当时，或． 要使方程表示一条直线， 则，不能同时为0，所以． 18．（2026高二·上海·期中）已知直线过点，且与直线的夹角为，则直线的方程为______________. 【答案】或 【分析】先求出直线的倾斜角，再根据直线和直线夹角为，可得直线的倾斜角，进而得到直线的斜率，从而求得直线的方程. 【详解】由题意得：直线的斜率为，所以其倾斜角为， 设直线的倾斜角为， 又直线与直线的夹角为，所以或， 又直线过点， 当时，直线的方程为：， 当时，斜率，所以直线的方程为：， 即. 19．（2026高二·海南海口·期中）已知点，直线，若直线l与线段有交点，则实数m的取值范围为___________. 【答案】 【分析】首先求出直线恒过定点，表示出直线的斜率，再结合图形即可求出参数的取值范围. 【详解】∵，即， 令，则， 即直线过定点，且斜率， 则， 根据题意结合图形可得或，即或. 故答案为：. 20．（2026·上海青浦·模拟预测）过点与直线垂直的直线方程为_______________. 【答案】 【分析】设所求直线方程为，将点的坐标代入所求直线方程，求出的值，即可得出所求直线的方程. 【详解】设所求直线方程为，将点的坐标代入所求直线方程可得， 解得， 故所求直线方程为. 故答案为：. 21．（2026高二·上海·阶段检测）过点且垂直于直线的直线方程为______． 【答案】 【详解】垂直于直线的直线斜率为，又过点， 由点斜式可得所求直线方程为，即. 22．（2026高二·四川宜宾·期末）已知直线，，且，则______． 【答案】 【分析】先将两直线方程转化为斜截式，再由平行充要条件即可求a. 【详解】直线即，直线即，且， 则. 故答案为： 23．（2026高二·安徽马鞍山·期中）已知直线与直线垂直，则实数a的值为__________． 【答案】或 【分析】根据向量垂直列方程，由此求得的值. 【详解】由于，所以， ，解得或. 故答案为：或 24．（2026高二·全国·暑假作业）求下列直线的方程，并把它化为一般式． (1)过点，斜率为； (2)在轴、轴上的截距分别为和4． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据点斜式求得直线方程，并化为一般式. （2）根据截距式直线方程，并化为一般式. 【详解】（1）由点斜式可得直线方程为． 化为一般式为． （2）由截距式可得直线方程为． 化为一般式为． 25．（2026高一·上海嘉定·期末）已知直线． (1)讨论直线与直线的位置关系； (2)若直线交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程． 【答案】(1)当时，直线与重合；当时，直线与相交 (2)的最小值为，此时直线的方程为。 【分析】（1）先将两直线方程化为斜截式，再进行判断即可； （2）由题设易得，，，进而表示出，再根据基本不等式求解即可. 【详解】（1）直线，即， 直线，即， 当时，直线即为，此时两直线重合； 当时，直线与直线斜率不相等，即两直线相交. （2）直线：， 当时，直线：，显然不满足题意，所以， 令，得，令，得，即，． 依题意得，解得， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以，此时直线的方程为． 26．（2026高二·广东·期中）已知点，位于直线上，其中在轴上，是平面中的一点. (1)若为正三角形，求直线的斜率； (2)设为的重心. （i）证明：始终在同一条直线上，并求这条直线的方程； （ii）若的面积为3，求点的坐标. 【答案】(1)或. (2)（i）设，设中点， 由为的重心，故，解得. ，，解得， 故始终在直线上. （ii）或. 【分析】（1）求正三角形时 的斜率，确定直线 的倾斜角为 ，利用正三角形性质，找到 所在直线与轴正半轴的夹角角度 ，计算对应的正切值，得到 的斜率. （2）（i）证明 在定直线上，设 的坐标为参数 ，利用重心坐标公式（三点坐标平均值为重心坐标），建立 与 的关系，消去参数 ，得到 的坐标满足的直线方程.（ii）已知面积求 的坐标，利用重心性质：三个小三角形面积相等，每个面积为原三角形的 ，用 的坐标计算 的面积，得到关于 的方程，解出 ，代入 与 的关系式，得到 的坐标. 【详解】（1）因为在轴上，所以，因为直线的倾斜角为， 若为正三角形，则直线的倾斜角为或， 故斜率为， 或. （2）（i）略 （ii）因为为的重心，所以，故， ，解得或， 故代入的坐标得或. 27．（2026高二·山东泰安·期中）已知顶点，，. (1)若直线过点，且的纵截距是横截距的2倍，求直线的方程； (2)求角的平分线所在直线的方程. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）设的纵截距为，分和两种情况讨论即可； （2）由两角差的正切公式结合点斜式计算可得. 【详解】（1）设的纵截距为， 当时，则； 当时，则， 代入点可得，可得， 所以直线的方程为或. （2）设角的平分线所在直线为，其斜率为， 由题意可得，， 根据倾斜角的正切值表示的意义和两角差的正切公式可得： 直线到直线的角的正切为，直线到直线的角的正切为， 所以， 化简可得，解得或， 若，则直线的倾斜角为钝角，但，不符合题意， 所以， 所以由点斜式可得，即. 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年高二数学人教A版2019选择性必修第一册同步知识·题型解题秘籍 2.2直线的方程9题型分类 一、直线的点斜式方程 直线的点斜式方程和斜截式方程： 类别 点斜式 斜截式 适用范围 斜率存在 已知条件 点P(x0，y0)和斜率k 斜率k和在y轴上的截距b 图示 方程 y－y0＝k(x－x0) y＝kx＋b 截距 直线与y轴交点(0,b)的纵坐标b叫做直线在y轴上的截距 二、直线的两点式方程 直线的两点式方程和截距式方程： 名称 两点式 截距式 条件 两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2) (x1≠x2，y1≠y2) 在x，y轴上的截距分别为a，b (a≠0，b≠0) 示意图 方程 ＝ ＋＝1 适用范围 斜率存在且不为0 斜率存在且不为0，不过原点 三、直线的一般式方程 1．直线的一般式方程： 关于x和y的二元一次方程都表示一条直线．我们把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式． 2．直线的五种形式的方程： 形式 方程 局限 点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不能表示斜率不存在的直线 斜截式 y＝kx＋b 不能表示斜率不存在的直线 两点式 ＝ x1≠x2，y1≠y2 截距式 ＋＝1 不能表示与坐标轴平行及过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0 无 3．直线各种形式方程的互化： （一） 直线的点斜式方程 1．直线的点斜式方程： 过点P(x0，y0)且斜率为k的直线的方程：y－y0＝k(x－x0). 2．两种特殊的直线： (1)垂直于x轴的直线：如图，过定点，倾斜角为90°，斜率不存在，没有点斜式，其方程为或. (2)平行于x轴（或与x轴重合）的直线：如图，过定点，倾斜角为0°，斜率为0，其点斜式方程为. 3.求直线的点斜式方程的步骤及注意点 (1)求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)→定斜率k→写出方程y－y0＝k(x－x0)． (2)点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但x＝x0除外． 题型1：求直线的点斜式方程 1．（2026高二·河南平顶山·期末）已知直线的点斜式方程为，则的倾斜角为（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 2．（2026高二·湖北省直辖县级单位·期末）过点且倾斜角为的直线方程为（   ） A． B． C． D． 3．直线经过点，斜率是，写出直线的点斜式方程. 4．（2026高二·全国·暑假作业）已知直线过点，且与两点，的连线垂直，则直线的方程为_________． 5．（2026高二·河南郑州·期末）已知两点，，则线段的垂直平分线的方程为______． 6．（2026高二·陕西安康·期中）过点且方向向量为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 7．（2026高二·全国·课后作业）求经过点，倾斜角是直线倾斜角的2倍的直线的点斜式方程． 8．（2026高二·江苏南通·期中）若直线不经过第四象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． （二） 直线的斜截式方程 1．直线的斜截式方程: 斜率为k且在y轴上的截距为b的直线方程：y＝kx＋b. 2．(1)直线的斜截式是直线点斜式的特例. (2)一条直线与轴的交点为的纵坐标叫做直线在轴上的截距. 特别的，倾斜角为直角的直线没有斜截式方程. 3.求直线的斜截式方程的策略: (1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在． (2)直线的斜截式方程y＝kx＋b中只有两个参数，因此要确定直线方程只需两个独立条件即可． 题型2：求直线的斜截式方程 9．（2026高二·新疆昌吉·期中）已知直线经过点，斜率为，则直线方程是（    ） A． B． C． D． 10．（2026高二·山东菏泽·阶段检测）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 11．（2026高二·全国·课堂例题）根据条件写出下列直线的斜截式方程： (1)斜率为2，在y轴上的截距是5； (2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2； (3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3. （三） 直线的两点式方程 1．直线的两点式方程： 过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程：＝. 2．(1)与坐标轴垂直的直线没有两点式方程. (2)两点式变形为,其可以表示任何直线. 3.利用两点式求直线的方程： (1)首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，然后代入两点式． (2)若满足即可考虑用两点式求方程．在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程． 题型3：求直线的两点式方程 12．（2026高二·全国·课后作业）经过两点的直线方程可以表示为（    ） A． B． C． D． 13．（2026高二·全国·课后作业）经过点的直线的两点式方程为（    ） A． B． C． D． 14．（2026高二·河南·期中）已知直线的两点式方程为，则直线的倾斜角为（   ） A．150° B．120° C．60° D．30° 15．（2026高二·全国·课后作业）在中，已知点，，．求边上中线所在直线的两点式方程． 16．（2026高二·甘肃金昌·阶段检测）已知直线l经过点，，则下列不在直线l上的点是（    ） A． B． C． D． 17．（2026高二·四川成都·阶段检测）已知，在中， (1)求边的方程； (2)求边上的中线所在直线的方程． （四） 直线的截距式方程 1． 直线的截距式方程：在x，y轴上的截距分别为a，b（其中a≠0，b≠0）的直线方程： ＋＝1. 2．截距的概念： (1)横截距：直线与x轴交点的横坐标；在直线方程中，令y=0，解出x； (2)纵截距：直线与y轴交点的横坐标；在直线方程中，令x=0，解出y. 3.截距式方程应用的注意事项 (1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可． (2)选用截距式直线方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直． (3)要注意截距式直线方程的逆向应用． 题型4：求直线的截距式方程 18．（2026高二·四川绵阳·阶段检测）两条直线和在同一直角坐标系中的图象可以是（ ） A． B． C． D． 19．【多选】（2026高二·全国·暑假作业）过点，并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（   ） A． B． C． D． 20．过点且在两坐标轴上的截距之差为3的直线的截距式方程是______. 21．经过点，在两坐标轴上的截距之和等于6的直线的截距式方程为______. 22．（2026高二·河南新乡·阶段检测）经过点，并且在y轴上的截距是在x轴上的截距的两倍的直线方程为_______． 23．（2026高二·天津和平·期末）直线过点，且直线在轴上的截距与在轴上的截距之和为零，则直线的斜率为_______. 24．（2026高二·全国·课后作业）过点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是（    ） A． B． C． D．或 （五） 直线的一般式方程 1.直线的一般式方程： 关于x和y的二元一次方程都表示一条直线．我们把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式． 2.求直线一般式方程的策略 在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选出四种特殊形式之一求方程，然后转化为一般式． 3.含参直线方程的研究策略 (1)若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则需满足A，B不同时为0. (2)令x＝0可得在y轴上的截距．令y＝0可得在x轴上的截距．若确定直线斜率存在，可将一般式化为斜截式． (3)解分式方程要注意验根． 4.利用一般式解决直线平行与垂直问题的策略 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0， (1)若l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)． (2)若l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. 题型5：求直线的一般式方程 25．（2026高二·新疆乌鲁木齐·期末）平面直角坐标系中下列关于直线的几何性质说法中，正确的有几个（    ） ①直线：过点 ②直线在轴的截距是2 ③直线的图像不经过第四象限 ④直线的倾斜角为 A．1 B．2 C．3 D．4 26．（2026高二·四川凉山·阶段检测）已知直线经过第一、二、四三个象限，则（    ） A．若，则， B．若，则， C．若，则， D．若，则， 27．（2026高二·吉林长春·期中）已知的三个顶点是，，.求： (1)边上的中线所在直线方程； (2)边上的高所在直线方程. 28．（2026高二·河北唐山·阶段检测）已知直线的倾斜角为，则直线的斜率k=（   ） A． B． C． D． 题型6：由一般式方程判断直线的平行、垂直 29．（2026高二·福建厦门·阶段检测）若直线：与直线：平行，则（ ） A．4 B． C．1或 D．或4 30．（2026高二·广东汕头·期末）已知，则直线与垂直的充要条件是（    ） A． B． C． D． 31．（2026高二·江苏苏州·期末）若直线和直线平行，则的值为（    ） A．1 B． C．1或 D． 32．（2026高二·安徽·期末）已知直线与平行，则的值为（    ） A． B．0 C．3 D． 或3 33．【多选】（2026高二·安徽亳州·期末）已知直线，则下列说法正确的是（    ） A．可能垂直于轴 B．可能垂直于轴 C．若，则 D．若，则 34．（2026高二·安徽·期末）已知直线，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 35．（2026高二·广东韶关·期末）若直线与直线垂直，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 36．（2026高二·广西崇左·期末）若直线与互相垂直，则（    ） A． B． C．4 D． 题型7：由两条直线平行、垂直求直线方程 37．求满足下列条件的直线方程； (1)过点，且与直线平行的直线方程； (2)过点，且与直线垂直的直线方程. 38．（2026高三·全国·一轮复习）经过点C（－1,－1），与x轴平行的直线方程为_____；经过点D（1,1），与x轴垂直的直线方程为___． 39．（2026高二·贵州遵义·阶段检测）直线l过点且与直线平行，则l的方程为____________ 40．（2026高二·河南信阳·阶段检测）经过点且与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 41．（2026高三·全国·专题练习）若过点的直线与直线垂直，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 42．（2026高二·福建厦门·期中）已知点在直线l上的投影是，则直线l的方程为__________________． 题型8：直线与坐标轴围成三角形的面积问题 43．（2026高三·全国·专题练习）过点作直线，使直线与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为8，这样的直线一共有（   ） A．3条 B．2条 C．1条 D．0条 44．（2026高二·甘肃武威·期中）已知的顶点坐标是，为的中点． (1)求中线的方程； (2)求经过点且与直线平行的直线与坐标轴围成的三角形的面积． 45．【多选】（2026高二·河南·阶段检测）已知O为坐标原点，过点的直线与坐标轴交于A，B两点，若的面积为2，则直线在x轴上的截距可以是（    ） A． B． C．-2 D．2 46．（2026高二·上海·期中）四条不重合的直线、、、都经过点，且其中任意一条直线与两坐标轴正半轴围成的三角形面积都是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 47．（2026高二·江苏无锡·阶段检测）已知直线的方程为：. (1)求证：不论为何值，直线必过定点； (2)求与原点距离最大的直线方程； (3)过点引直线交坐标轴正半轴于、两点，当面积最小时，求的周长. （六） 直线过定点问题 解决直线过定点问题的思路，把平面上过定点的直线的全体称为中心直线系.定点的确定方法：把含参直线方程化为直线系过定点问题: 解含参数的直线恒过定点问题的策略: (1)方法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解． (2)方法二：含有一个参数的二元一次方程若能整理为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组解得．若整理成y－y0＝k(x－x0)的形式，则表示的所有直线必过定点(x0，y0)． ,求解，即可得出定点坐标. 题型9：直线的恒过定点问题 48．（2026高一·上海·阶段检测）若直线与点构成的线段相交，则的取值范围是_________. 49．（2026高二·浙江杭州·期中）已知点，，若直线与线段有公共点，则的取值范围是（   ） A．B． C． D． 50．（2026高二·江苏常州·期末）设直线的方程为． (1)求经过定点的坐标； (2)若直线在轴上的截距是在轴上的截距的2倍，求直线的方程． 51．（2026高二·全国·课后作业）无论取何实数时，直线恒过定点，则定点的坐标为（    ） A． B． C． D． 52．（2026高二·全国·课堂例题）已知直线.求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限. 53．（2026高二·湖南邵阳·期末）直线过定点________. 1．（2026高二·陕西咸阳·竞赛）已知直线，，若，则实数（    ） A． B． C．或 D． 2．（2026高二·上海·期末）已知线段中点为，且，则线段的垂直平分线方程为（     ） A． B． C． D． 3．（2026高二·湖北·期中）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 4．（2026高三·全国·课后作业）在同一平面直角坐标系中，直线和直线的图象有可能是（   ） A．B． C． D． 5．【多选】（2026高二·黑龙江哈尔滨·期末）如果且，那么直线通过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．（2026高二·湖南邵阳·期中）下列直线中与直线平行的直线是（    ）． A． B． C． D． 7．（2026高二·北京·期中）已知直线l的方程为，则直线l（　　） A．恒过点且不垂直x轴 B．恒过点且不垂直y轴 C．恒过点且不垂直x轴 D．恒过点且不垂直y轴 8．（2026高三·江西新余·期末）已知直线：与直线；相互平行，则实数的值是（    ） A． B．1 C． D．或1 9．（2026高二·四川凉山·期末）过点且与直线平行的直线方程是（    ） A． B． C． D． 10．（2026高二·吉林长春·开学考试）不论k为任何实数，直线恒过定点，则这个定点的坐标为（    ） A． B． C． D． 11．（2026·广东江门·模拟预测）若直线，的倾斜角分别为，，则（   ） A． B． C． D． 12．（2026·江西宜春·模拟预测）已知直线的斜率为，，直线在两坐标轴上的截距相等，则是的（   ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 13．（2026高三·山东·阶段检测）若直线过点，则的最小值为（） A．7 B． C．6 D． 14．【多选】（2026高二·福建厦门·阶段检测）已知直线： ，则下列结论正确的是（    ） A．直线的倾斜角是 B．过与直线平行的直线方程是 C．直线的两个截距相等 D．若直线：，则 15．【多选】（2026高二·河北雄安·期末）过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为（    ） A． B． C． D． 16．（2026高二·全国·暑假作业）直线在轴上的截距为_____________. 17．（2026高一·全国·课后作业）若方程表示一条直线，则实数满足_________． 18．（2026高二·上海·期中）已知直线过点，且与直线的夹角为，则直线的方程为______________. 19．（2026高二·海南海口·期中）已知点，直线，若直线l与线段有交点，则实数m的取值范围为___________. 20．（2026·上海青浦·模拟预测）过点与直线垂直的直线方程为_______________. 21．（2026高二·上海·阶段检测）过点且垂直于直线的直线方程为______． 22．（2026高二·四川宜宾·期末）已知直线，，且，则______． 23．（2026高二·安徽马鞍山·期中）已知直线与直线垂直，则实数a的值为__________． 24．（2026高二·全国·暑假作业）求下列直线的方程，并把它化为一般式． (1)过点，斜率为； (2)在轴、轴上的截距分别为和4． 25．（2026高一·上海嘉定·期末）已知直线． (1)讨论直线与直线的位置关系； (2)若直线交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程． 26．（2026高二·广东·期中）已知点，位于直线上，其中在轴上，是平面中的一点. (1)若为正三角形，求直线的斜率； (2)设为的重心. （i）证明：始终在同一条直线上，并求这条直线的方程； （ii）若的面积为3，求点的坐标. 27．（2026高二·山东泰安·期中）已知顶点，，. (1)若直线过点，且的纵截距是横截距的2倍，求直线的方程； (2)求角的平分线所在直线的方程. 1 学科网（北京）股份有限公司 $